Cap 4 Modos y Criterios de Falla (a) Versión 2015

7/23/2019 Cap 4 Modos y Criterios de Falla (a) Versin 2015

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Mecnica Estructural Escuela de Posgrado PUCPCAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla

Profesor: Jos Acero Martnez 132

CAPITULO 4 MODOS Y CRITERIOS DE FALLA

INTRODUCCION

Al disear un sistema estructural, el ingeniero debe tener una idea clara de las posiblesformas o modos en los que el sistema pueda fallar en efectuar su funcin. Por ello, elingeniero debe determinar los posibles modos de falla del sistema y luego establecer loscriterios de fallaadecuados que permitan predecir con precisin los modos de falla. Engeneral, la determinacin de los modos de falla requiere un conocimiento profundo de larespuesta del sistema estructural ante las cargas aplicadas. En particular, se requiere unanlisis completo de los esfuerzos en el sistema. Dado que la respuesta de un sistemaestructural depende fundamentalmente del material empleado, tambin el modo de falladepende del material. A su vez, el modo de falla de un material dado depende de lahistoria de cargas, como por ejemplo el nmero de ciclos de carga aplicadas a unatemperatura particular. De acuerdo a esto, los criterios de falla deben adecuarse a los

diferentes materiales, diferentes historias de carga, y a los factores que influyen en ladistribucin de esfuerzos en los elementos.

En el curso ya se estudi parte del anlisis de esfuerzos y del comportamiento de losmateriales bajo carga, y ahora se ver la relacin entre el modo de falla y los

parmetros crticos asociados a la falla. Estos parmetros pueden ser esfuerzos,deformaciones unitarias, carga, nmero de ciclos de carga, o una combinacin de losanteriores. La discusin en este curso se limitar a situaciones en que la falla delsistema se refiere a un slo parmetro crtico. Adicionalmente, se examina la precisinde las teoras propuestas respecto a su habilidad para predecir el comportamiento delsistema. En particular, los lmites en el diseo se introducen al emplear los factores deseguridad o los conceptos basados en la confiabilidad los que nos proveen de medidas

de seguridad contra la falla.

Histricamente, los lmites en el diseo de un sistema se han establecido usando unfactor de seguridad, FS que se puede definir como:

FS = Rn/Rw

Donde Rn es la resistencia nominal (el parmetro crtico asociado a la falla) y Rw es lamagnitud de trabajo segura de ese mismo parmetro. La letra R se usa para expresar la

resistencia del sistema a la falla. Generalmente, la magnitud de Rn se basa en la teora oen observacin experimental. El factor de seguridad se escoge en base a losexperimentos con sistemas similares hechos del mismo material bajo condicionessimilares de carga. Luego, el parmetro de trabajo seguro Rw se determina despejandode la ecuacin anterior. El factor de seguridad debe considerar incgnitas incluyendo lavariabilidad de las cargas, las diferencias entre las propiedades del material,desviaciones de la geometra, y nuestra habilidad para predecir el parmetro crtico.

Generalmente, se emplea una inecuacin de diseo para relacionar los efectos de lascargas con la resistencia. La inecuacin de diseo es:

N

i

Qi Rn / FS


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Donde cada Qi representa el efecto de una carga particular de trabajo (o nivel deservicio) tal como la presin interna o un cambio de temperatura y N denota el nmerode tipos de carga considerados.

En tiempos ms recientes, se han desarrollado filosofas de diseo basadas en los

conceptos de confiabilidad. Se reconoce que un nico factor de seguridad es inadecuadopara tomar en cuenta todas las incgnitas mencionadas lneas arriba. Ms an, cada unode los tipos de carga particulares exhibir su propia variabilidad estadstica. Enconsecuencia, se deben aplicar factores de carga y de resistencia a ambos lados de lainecuacin de diseo. As modificada, la inecuacin de diseo se reformula a:

N

i

i Qi Rn

Donde i son los factores de carga para los efectos de carga Qi y es el factor de

resistencia para la capacidad nominal Rn. La variacin estadstica de las cargasindividuales se toma en cuenta en los i, mientras que la variabilidad en resistencia(asociado con propiedades del material, geometra, procedimientos de anlisis), serepresenta por . El uso de este procedimiento conocido como diseo por estadoslmites, es ms racional que el procedimiento del factor de seguridad y produce unaconfiabilidad ms uniforme a travs del sistema.

Un estado lmitees una condicin por la cual un sistema o componente, deja de cumplirla funcin para la que fue diseado. Esta definicin es esencialmente la misma que ladefinicin de falla usada anteriormente. Sin embargo, se prefiere el trmino estadoslmites porque el trmino falla tiende a implicar slo un evento catastrfico (fractura

frgil), en lugar de no cumplir la funcin adecuadamente (exceso de deflexioneselsticas o fractura frgil).

4.1 MODOS DE FALLA

Dependiendo de cmo se carga el elemento, ste puede fallar por deflexiones excesivas,que hace que el elemento no pueda realizar su funcin de diseo; puede fallar pordeformacin plstica o fluencia generalizada, que ocasiona un cambio permanente eindeseado en la forma; puede fallar por fractura o rotura lo que dependiendo delmaterial puede ser de tipo dctilprecedido por una apreciable deformacin plstica o de

tipo frgilcon escasa deformacin plstica. Materiales como vidrio, cermica, rocas yconcreto simple, son ejemplos de materiales que fallan en fractura de una manera frgil

bajo condiciones normales del medio ambiente, y aplicacin lenta de la carga axial detraccin. En compresin uniaxial, tambin fallan de manera frgil, pero de una maneradiferente que en traccin. Dependiendo de una serie de factores como las condicionesambientales, la velocidad de aplicacin de la carga, la naturaleza de la carga, y la

presencia de fisuras, los metales pueden tener falla dctil o frgil.

Un tipo de carga que puede ocasionar falla frgil de metales dctiles es por cargasrepetidas. Como ejemplo, una barra cargada uniaxialmente sometida a ciclos repetidosde carga, puede fallar por fractura, usualmente de manera frgil. Este tipo de fractura

bajo cargas repetidas se denomina fractura por fatiga o falla por fatiga. Esta puedeiniciarse con una o ms fisuras pequeas, usualmente en la vecindad de los mximos


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esfuerzos crticos en el elemento. Los ciclos repetidos de carga causan que la(s) fisura(s)se propaguen hasta que el elemento no es capaz de soportar la carga a lo largo de laregin fisurada, y el elemento se rompe.

Otra manera en que un elemento puede fallar es por inestabilidad elstica o plstica. En

este tipo de falla, el elemento puede sufrir grandes desplazamientos desde suconfiguracin de diseo cuando las cargas aplicadas alcanzan un valor crtico, llamadala carga de pandeo o carga de inestabilidad. Se producen desplazamientos excesivos o

prdida de capacidad (por la fluencia o fractura) para soportar la carga de diseo.

Otro tipo de falla de los elementos estructurales es la falla por corrosin debido almedio ambiente (accin qumica).

Los modos de falla se discutirn en ms detalle divididos en las siguientes categoras omodos de falla.

A. Falla por deflexiones excesivasa) Deflexiones elsticas

b) Deflexiones por flujo plstico (creep)

B. Falla por fluencia generalizada

C. Falla por fracturaa) Falla sbita de materiales frgiles

b) Fractura de elementos fisuradosc) Fractura progresiva

D. Falla por corrosin

Estos modos de falla y los criterios de falla asociados, tienen un significado claro enelementos estructurales simples (elementos en traccin, columnas, vigas, elementos deseccin circular en torsin, etc). Para problemas ms complicados, de dos y tresdimensiones, el significado de tales modos de falla simples es una cuestin abierta adiscusin.

A. Falla por deflexin excesiva

a) Deflexiones elsti cas

La carga mxima que puede aplicarse a un elemento sin que deje de funcionaradecuadamente, puede estar limitada por la deformacin unitaria elstica o la deflexinen el elemento. La deflexin elstica que puede causar dao a un elemento puedeocurrir bajo alguna de las siguientes condiciones:

- Deflexiones bajo condiciones de equi li bri o estable, como el estrechamientode un elemento en traccin, el ngulo de giro de un eje en torsin, o ladeflexin del extremo de una viga en voladizo. Un ejemplo de falla pordeflexin es la que se muestra en la viga en voladizo de la figura 4.1, donde

la albailera ha sufrido dao por deflexin de la viga que se encuentradebajo de esta.


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Figura 4.1. Deflexin de viga, que ocasion dao en albailera

- Pandeo, o la deflexin sbita asociada a un equilibrio inestable y quefrecuentemente resulta en el colapso total del elemento. El caso tpico es elde columnas esbeltas que exceden la carga de Euler.

- Deflexiones elsticas que son las ampl i tudes de vibracin de elementos,que ocasionalmente provocan la falla del elemento por fuerzas vibratorias,choque de partes movibles con partes fijas, etc.

Cuando un elemento falla por deformacin elstica, las ecuaciones de inters para eldiseo son las que relacionan cargas y deflexiones elsticas. Para las condiciones de lostres elementos mencionados en el prrafo a) son e=PL/EA, =TL/GJ, y =PL3/3EI. Se

puede notar que en estas ecuaciones aparecen las propiedades de los materiales en rangoelstico, tal como el mdulo de elasticidad E, y el mdulo de corte G. Los esfuerzoscausados por las cargas no son las cantidades significativas; es decir los esfuerzos nolimitan las cargas que puedan ser aplicadas a los elementos. En otras palabras, si elelemento falla y no puede resistir la carga aplicada por deflexiones excesivas, sucapacidad no se incrementa con un material de mayor resistencia, sino en forma msefectiva, por un cambio de la forma o incremento de las dimensiones de la seccintransversal, aunque tambin se puede emplear un material de mayor rigidez.

b) Def lexiones por fl uj o plstico CREEP o Deformacin dependiente del tiempo

A temperaturas ordinarias, entre 0 y 50 C, y sin la presencia de un ambiente afectadode corrosin, un elemento adecuadamente diseado debe soportar su carga esttica porun tiempo ilimitado. Sin embargo, a temperaturas elevadas, la vida del elemento puedeestar severamente limitada, incluso para cargas menores a su carga de diseo. En altastemperaturas, una carga sostenida puede producir una deformacin inelstica en elmaterial que se incremente con el tiempo. Por consiguiente, el material se dice quetiene creep (flujo plstico), entendindose este trmino como deformacin inelstica

que depende del tiempo ante cargas sostenidas y temperaturas altas. Si este fenmeno semantiene por un tiempo suficientemente largo, ocurre deflexin excesiva o fractura.


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Las combinaciones de carga, temperatura y tiempo que producen este fenmenodependen del material y del medio ambiente, y por tanto, este fenmeno puede darse

para un amplio rango de cargas y temperatura.

Un estudio ms detallado de este fennemo est fuera de los alcances de este curso.

Para los interesados, leer el Captulo 17 del libro de Boresi-Schmidt-SidebottomAdvanced Mechanics of Materials 5ta. Edicin.

B. Falla por fluencia generalizada

La fluencia generalizada es la deformacin inelstica de una porcin considerable delelemento. Es pues diferente a tener una fluencia localizada en una porcin relativamente

pequea del elemento. Se discute la fluencia de metales a temperaturas ordinarias, estoes a temperaturas que no excedan la temperatura de recristalizacin. La fluencia atemperaturas elevadas (creep) no se discute en este curso, pero se present elconcepto asociado en el tem anterior

Los metales policristalinos estn compuestos de un nmero muy grande de pequeasunidades llamadas cristales o granos. Los cristales tienen planos de deslizamiento en loscuales la resistencia al esfuerzo cortante es muy baja. Ante carga elstica, antes de queocurra el deslizamiento, el cristal mismo se distorsiona debido al estrechamiento ocompresin de los vnculos atmicos desde su estado de equilibrio. Si la carga se retira,el cristal regresa a su forma original no distorsionada y no existe deformacin

permanente. Cuando se aplica una carga que haga que se alcance el esfuerzo defluencia, los cristales estn nuevamente distorsionados, pero adicionalmente, losdefectos denominados dislocaciones (Eisenstadt, 1971) se mueven en los planos dedeslizamiento rompiendo y reformando los vnculos atmicos. Al retirar la carga, slose recupera la distorsin del cristal debido al estrechamiento de los vnculos (figura 4.2).El movimiento de las dislocaciones queda como deformacin permanente.

Figura 4.2. Mecanismo de deformacin, de un cristal perfecto

Despus de que ha ocurrido bastante fluencia en algunos cristales bajo la carga dada,estos cristales no fluyen ms all sin incremento de la carga. Esto se debe a laformacin de enlaces en las dislocaciones que hacen que el movimiento de lasdislocaciones sea ms dificultoso. Se necesita de un esfuerzo mayor para empujar

nuevas dislocaciones a travs de estos enlaces. Este incremento de resistencia que sedesarrolla despus de la fluencia se conoce como el endurecimiento por deformacin,el


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cual es permanente. Por tanto, para metales que muestran este endurecimiento, tanto ladeformacin plstica como el incremento en el esfuerzo resistente de fluencia semantienen despus de que la carga se retira.

Cuando se produce la falla por fluencia generalizada, las concentraciones de esfuerzos

usualmente no son significativas entre la interaccin y los ajustes que ocurren entre loscristales en las regiones de concentracin de esfuerzos. El deslizamiento en unos pocoscristales muy esforzados no limita la capacidad general de carga del elemento, sino tanslo causa reacomodo de los esfuerzos que permiten que los cristales menos esforzados

puedan tomar esfuerzos mayores. La distribucin de esfuerzos se aproxima a aquellaque ocurre en un elemento sin concentraciones de esfuerzos. Por esto, el elemento comoun todo, acta sustancialmente como un elemento homogneo ideal, libre deconcentraciones de esfuerzos (cambios abruptos de seccin).

Es importante observar que si un elemento que falla por fluencia se reemplaza por otromaterial con un mayor valor del esfuerzo de fluencia, el modo de falla puede cambiar a

otro como deflexiones elsticas, pandeo, o vibraciones excesivas. Luego, el criteriogeneral del diseo puede cambiarse si es que las condiciones para prevenir undeterminado modo de falla se han alterado.

C. Falla por fractura

Algunos elementos dejan de funcionar satisfactoriamente porque se rompen (sefracturan). Se pueden dar tres tipos o mecanismos diferentes de fractura que ocurren,especialmente en metales.

- Fractura sbita de material frgil: Algunos materiales llamados frgiles,funcionan satisfactoriamente en resistir cargas bajo condiciones estticashasta que el material se rompe de manera sbita con poca o casi nulaevidencia de deformacin plstica (Figura 4.3). Ordinariamente, enelementos hechos de estos materiales el esfuerzo de traccin se consideraque es la cantidad significativa asociada a la falla, y la resistencia ltima setoma como la medida de la resistencia mxima utilizable del material.

Figura 4.3. Mecanismo de falla de un barco por fractura


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- Fractura de elementos defectuosos: Un elemento hecho de un materialdctil y sometido a cargas estticas de traccin no se fractura de manerafrgil siempre que el elemento est libre de fallas o defectos (fisuras

pequeas, agujeros u otras concentraciones de esfuerzos), y la temperaturano sea inusualmente baja. Sin embargo, en presencia de defectos, los

materiales dctiles pueden tener fractura frgil a temperaturas normales. Eldefecto usualmente contribuye al desarrollo de esfuerzos de traccinelevados del tipo hidrosttico. La fluencia de metales dctiles no se veinfluida significativamente por los esfuerzos hidrostticos, as que ladeformacin plstica puede ser pequea o inexistente a pesar de que lafractura sea inminente. Por lo tanto, el esfuerzo resistente de fluencia no esel parmetro crtico del material cuando la falla ocurre por fractura frgil. Ensu lugar, la tenacidad del defecto, es decir la habilidad del material deabsorber energa en la presencia de un defecto es el parmetro que gobiernael modo de falla. Cargas dinmicas y temperaturas bajas tambinincrementan la tendencia del material a fracturarse de una manera frgil.

- Fractura progresiva (Fatiga)

Si un metal que ordinariamente falla por fluencia generalizada bajo unacarga esttica, se somete a ciclos repetidos de esfuerzos, puede fallar porfractura sin evidencias visuales de fluencia, si es que el esfuerzo repetido esmayor que un valor llamado esfuerzo de fatiga. Bajo tales condiciones, seinician fisuras mnimas en uno o ms puntos del elemento, usualmente en los

puntos de esfuerzos altos localizados tales como cambios abruptos deseccin, y gradualmente se propagan por fractura del material en los bordesde las fisuras en donde el esfuerzo est muy concentrado. La fractura

progresiva contina hasta que el elemento finalmente se rompe. Este modode falla se denomina falla por fatiga, pero es mejor denominarlo falla por

fractura progresiva,producida por las cargas repetidas

La cantidad usualmente considerada como la ms significativa en la falla porfractura progresiva es el esfuerzo de traccin localizado (a pesar de que lafisura por fatiga ocurre a veces en los planos de esfuerzo cortante mximo), yel valor til de la resistencia mxima utilizable del material (la resistencia ala fatiga), se considera que es el esfuerzo o resistencia de fatiga,correspondiente a una determinada vida (nmero de repeticiones del

esfuerzo). Si el material tiene un lmite de durabilidad (resistencia de fatigapara vida infinita) y se desea disear para la denominada vida infinita,entonces el lmite de durabilidad es el valor de la resistencia lmite o laresistencia mxima utilizable del material.

D. Falla por corrosin

La corrosin es la destruccin o deterioro de un material causada por su reaccin con elambiente. Algunos autores slo consideran el trmino corrosin en metales. Lacorrosin de metales se define como el ataque destructivo no intencional de un metal; se

produce por mecanismo electroqumico y por lo comn se inicia sobre la superficie.


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La corrosin puede ser rpida o lenta. Un acero inoxidable es atacado en horas poralgunos cidos (corrosin rpida). Los rieles de un ferrocarril tienen corrosin muylenta (aos).

Las temperaturas elevadas y la presin son factores que producen mayor corrosin. La

corrosin puede ser hmeda o seca. La corrosin hmeda ocurre cuando hay un lquido,por ejemplo, acero en agua. La corrosin seca ocurre con vapores o gases, atemperaturas altas.

La corrosin tiene algunos efectos directos:

- Reduccin del espesor efectivo del material.- Microfisuracin y cambios en fisuracin.- Cambios en la resistencia a fatiga.- Concentra esfuerzos.

Desde el punto de vista de la mecnica estructural, la corrosin puede producir:

- Falla inesperada por corrosin- Una apariencia no aceptable (figura 4.4)- Contaminacin de un producto que se almacena y/o se transporta- Perforacin de una tubera con prdida del lquido que se transporta, y susconsecuencias, o bien que descargan productos txicos al ambiente.

Figura 4.4. Corrosin en varillas de acero de refuerzo en columna de concreto


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4.2 CRITERIOS DE FALLA

Conceptos Generales

En un elemento cargado, puede darse un comportamiento inelstico bajo un estado

multiaxial de esfuerzos, an si ninguno de los componentes de esfuerzos individualesexcede el esfuerzo de fluencia uniaxial del material. Esto implica que, ante un estadomultiaxial de esfuerzos, el inicio de la fluencia est gobernado por alguna ciertacantidad diferente de los componentes de esfuerzo mismos. Por esto, es necesariocombinar las componentes de esfuerzos en un esfuerzo uniaxial equivalente o efectivo(Figura 4.5). Este esfuerzo efectivo se debe comparar con alguna propiedad delmaterial, como por ejemplo el esfuerzo uniaxial de fluencia, usando un criterio defluencia para predecir el inicio de la respuesta inelstica.

Figura 4.5. Estado multiaxial de esfuerzos y estado uniaxial de esfuerzo equivalente

Los criterios de falla discutidos anteriormente se limitan a estado de esfuerzo uniaxiales.Sin embargo, por lo general se debe aplicar criterios de falla a estados multiaxiales deesfuerzos. Se dice que ocurre la falla si se inicia el comportamiento inelstico delmaterial a travs de la fluencia o la fractura. Una teora de plasticidad completa debecontemplar tres componentes: un criterio de fluencia (o funcin de fluencia) que definela respuesta inelstica inicial del material, una regla del flujo que relacione losincrementos de deformacin unitaria con los incrementos de esfuerzo despus del iniciode la respuesta inelstica, y una regla para el endurecimiento que permita predecir loscambios en la superficie de fluencia debido a la deformacin plstica (Mendelson,1983). En estas notas nos limitamos a la prediccin del inicio del comportamiento

inelstico, es decir se estudia slo la primera componente de la teora de plasticidad: elcriterio de fluencia.

El objetivo de esta seccin es extender el concepto de criterio de fluencia a estados deesfuerzos multiaxiales. Debe definirse un esfuerzo uniaxial efectivo (o equivalente), quesea una combinacin de las componentes del estado multiaxial. Se entiende que lafluencia en un estado multiaxial se inicia cuando el esfuerzo efectivo alcanza un valorlmite (que es una cierta funcin del esfuerzo de fluencia uniaxial). Este mismoconcepto se puede usar para predecir la fractura, siempre que se establezca un criteriode falla apropiado. En los siguientes prrafos se examinan los diversos criterios defluencia y su eficacia para predecir el inicio de la respuesta inelstica de varios

materiales sometidos a estados multiaxiales de esfuerzos.


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Desafortunadamente, no existe un nico criterio que pueda predecir con precisin lafluencia (o fractura) de todos los materiales. Sin embargo, el inicio de la fluencia enmetales dctiles se puede predecir en forma razonable ya sea por el criterio del mximoesfuerzo cortante o por el criterio del mximo esfuerzo octaedral.

Un criterio de fluencia puede ser cualquier concepto descriptivo que defina lascondiciones por las cuales la fluencia puede ocurrir. Puede ser expresado en trminos decantidades especficas, tales como el estado de esfuerzo, el estado de deformaciones,una cantidad de energa de deformacin, u otras. En forma matemtica, el criterio defalla se expresa por medio de la funcin de fluencia f (ij,f), donde ijdefine el estadode esfuerzos y fes el esfuerzo de fluencia en traccin uniaxial (o compresin uniaxial).La funcin de fluencia se define tal que el criterio de fluencia se satisface cuandof(ij,f)=0. Cuando f(ij,f)0 queda indefinida.

Para desarrollar una funcin de fluencia, las componentes del estado multiaxial deesfuerzos se combinan en una nica cantidad denominada el esfuerzo efectivo e. Elesfuerzo efectivo se compara entonces con el esfuerzo de fluencia f, de alguna maneraapropiada, para determinar si es que la fluencia ocurre o no.

Para ilustrar mejor la naturaleza del criterio de fluencia, el concepto de la superficie defluencia se emplea de forma exhaustiva (Lubliner, 1990). Una superficie de fluencia esla representacin grfica de una funcin de fluencia. Para un estado de esfuerzostridimensional, la superficie de falla se grafica en el espacio de esfuerzos principales,tambin conocido como el espacio de esfuerzos de Haigh-Westergard. Esto es, lasuperficie de fluencia se grafica usando los esfuerzos principales 1, 2, 3 como

coordenadas de tres ejes mutuamente perpendiculares. Sabemos que la matriz deesfuerzos multiaxial, se puede representar mediante un esfuerzo medio o hidrostticoms un esfuerzo distorsionante o desviador, como se indica:

)(00

0)(0

00)(

00

00

00

00

00

00

3

2

1

3

2

1

m

m

m

m

m

m

m= 1/3 (xx + yy+ zz) = 1/3 (1 + 2+ 3) = I1/3

Bridgman, comprob experimentalmente que la fluencia de los materiales esindependiente del esfuerzo medio m, por lo que la primera matriz, no intervieneenel proceso de fluencia, esta matriz produce cambio de volumen pero no de forma. Por elcontrario la segunda matriz que es la matriz desviadora, produce cambio de forma y node volumen, debido a que su primer invariante es cero; el cambio de forma es la queocasiona la fluencia de un material.

La investigacin que realiz Bridgman nos conduce a una interesante representacingeomtrica del fenmeno de la plastificacin. Si consideramos un estado de esfuerzoarbitrario representado por el punto B (1,2,3) que se encuentra sobre la lnea M en el

espacio de esfuerzos principales, el vector OB, se puede descomponer en doscomponentes OA, que se encuentra sobre el eje hidrosttico [lnea L con cosenos


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directores (l,m,n)=(1/ 3 ,1/ 3 ,1/ 3 )] y AB, que se encuentra sobre el plano normal ala lnea L (figura 4.6). Es obvio que el vector OAes la componente hidrosttica y elvector ABes la componente desviadora. Puesto que el esfuerzo hidrosttico no influyeen la fluencia, es suficiente considerar la superficie de fluencia slo en trminos de lacomponente desviadora (el vector AB). El plano que contiene al punto B y es normal al

eje hidrosttico tambin contiene todos otros puntos que representa un estado deesfuerzos con el mismo esfuerzo hidrosttico; dicho plano, es llamado plano desviador.

Ahora si consideramos un segundo estado de esfuerzos representados por el punto Dque se encuentra sobre la lnea M y difiere del punto B solamente por su componente deesfuerzo hidrosttico. Se sabe adems, que la fluencia se iniciar cuando el mdulo delvector AB CD, alcance un valor crtico (que puede ser por ejemplo un esfuerzo defluencia), independientemente del valor que pueda alcanzar OA OC, con lo que segenera una superficie de fluencia, esta superficie ser un cilindro de generatrices

paralelas al eje hidrosttico y es tal que si el punto B D representativo del estadotensional de un determinado punto de un slido, es interior a la superficie, el slidoestar trabajando en ese punto en rgimen elstico. Si por el contrario, el punto B Dest sobre la superficie o est exterior a la superficie, en el punto del slido consideradoexistirn deformaciones plsticas.

Figura 4.6. Eje Hidrosttico y plano desviador

La figura 4.7, muestra las superficies de fluencia y de fractura que se obtieneexperimentalmente. Se distinguen dos zonas, una interior a la superficie de fluenciadonde se produce una falla frgil sin fluencia previa; y otra exterior a la superficie defluencia que indica el comportamiento de materiales dctiles.

A continuacin se presentan varios criterios de fluencia, sus funciones de fluencia ysuperficies de fluencia.


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Figura 4.7. Superficies de fluencia y de rotura

Criterio del mximo esfuerzo normal (principal)

Tambin se denomina criterio de Rankine o de Coulomb. Se dice que la fluencia en unpunto de un elemento se inicia cuando el mximo esfuerzo principal alcanza un valorigual al esfuerzo de fluencia f (en traccin o compresin). Segn este criterio, en la

figura 4.8a, la fluencia ocurre cuando 1alcanza el valor de f. Si el estado es biaxialcomo en la figura 4.8b, con esfuerzos principales 1y 2, tal que 1 > 2, el criterio deRankine nuevamente predice que la fluencia ocurre cuando 1alcanza el valor de f,independientemente del hecho que 2 est actuando tambin en el punto. En otras

palabras, este criterio ignora el efecto de los otros esfuerzos principales.

Figura 4.8. Estado de esfuerzos uniaxial y biaxial

Si 1= - 2 = , el esfuerzo cortante es igual en magnitud a , y ocurre en planosdiagonales a 45 (figura 4.8c). Este estado de esfuerzos ocurre en una barra cilndricasometida a torsin. Por tanto, si el criterio del mximo esfuerzo principal (1= = f)debe cumplirse para un material particular bajo cualquier condicin de carga, elesfuerzo cortante de fluencia fdebe ser igual al esfuerzo de fluencia en traccin f.


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Por la evidencia experimental, este criterio no es aplicable para metales dctiles. Sinembargo, para materiales frgiles que fallan por fractura frgil, este criterio puede serusado para predecir la fractura por traccin. De hecho, este criterio del mximo esfuerzonormal se usa en conjunto con otros criterios para predecir la falla de materiales frgilescomo el concreto (Chen y Han, 1988).

La funcin de fluencia del criterio del mximo esfuerzo normal se expresa por medio

de:

f = mx (1, 2 , 3) - f (4.1)

Donde los esfuerzos principales no estn ordenados. De la ecuacin (4.1) se observaque el esfuerzo efectivo es:

e= mx ( 1, 2, 3)

Por tanto, la funcin de fluencia queda definida por:

f = e - f

La superficie de fluencia correspondiente queda definida por la condicin del estado deesfuerzos que satisfaga el criterio de fluencia (f=0). Por tanto, la superficie de fluencia

para el criterio del mximo esfuerzo normal (principal) est definida por las relaciones:

1= f 2= f 3 = f (4.2)

La superficie de fluencia consiste entonces de seis planos, perpendiculares a los ejes deesfuerzos principales (Ver figura 4.9). Hay que notar que no siempre la superficie defluencia ser un cubo cuyo centro coincida con el origen de coordenadas, estodepender de los esfuerzos mximos a traccin o compresin del material. En el caso deun estado de esfuerzo plano, 3=0, la superficie de falla consiste en un rectngulo.

Figura 4.9. Superficie de fluencia, para el criterio de mximo esfuerzo normal


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Criterio de la mxima deformacin unitaria lineal (principal)

Este criterio de la mxima deformacin unitaria lineal, o de la mxima deformacinunitaria principal tambin se conoce como criterio de Saint Venant. Se dice que lafluencia se inicia cuando la mxima deformacin unitaria lineal en un punto alcanza el

valor de la deformacin unitaria de fluencia f= f / E. Segn este criterio, en el bloquede la figura 4.8a la fluencia se inicia cuando 1= f, lo cual es similar a que 1= f. Enel caso de la figura 4.8b con esfuerzo biaxial, si el material es isotrpico, la mximadeformacin unitaria principal es:

1= (1/ E) - (2/ E)

En la figura 4.8b, si el esfuerzo 2es positivo (de traccin), la fluencia se inicia con unvalor de 1>f. Si en cambio 2es negativo (de compresin) el valor mximo de 1que se puede aplicar sin que ocurra la fluencia es menor que f (observar esto en lafigura 4.10). El criterio de la mxima deformacin unitaria principal no predice con

precisin la fluencia de metales dctiles, pero puede ser una mejora con respecto alcriterio del mximo esfuerzo normal, para predecir la fractura de materiales frgiles.

A pesar de que este criterio predice la fluencia en trminos de las magnitudes dedeformacin, se puede expresar la funcin de fluencia en trminos de los esfuerzos. Si1se expresa como:

1= (1/ E) - (2/ E) - (3/ E) (4.3)

Adems 1 es la mayor deformacin principal, se iguala 1con f, para obtener la

funcin de fluencia:

f1= 1- 2- 3- f 1- 2- 3= f (4.4a)

Si las deformaciones principales no estn ordenadas, tanto 2como 3pueden ser las demayor valor. Por lo tanto existen las posibilidades adicionales:

f2= 2- 1- 3- f, 2- 1 - 3= f (4.4b)

f3= 3- 1 - 2- f , 3- 1- 2= f (4.4c)

Por lo tanto, el esfuerzo efectivo epuede ser definido como:

e = mx i- j - k (4.5)i jk

La funcin de fluencia es:f = e - f (4.6)

En un estado de esfuerzo plano, 3=0, la superficie de falla consiste en unparalelogramo. En la figura 4.10, se observa que en esta situacin, pueden ocurrir

esfuerzos principales individuales mayores que f sin ocasionar la fluencia.


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Figura 4.10. Superficie de fluencia en estado plano para el criterio de la mximadeformacin unitaria lineal

Criterio de la densidad de energa de deformacin

Este criterio fue propuesto por Beltrami, y propone que la fluencia en un punto se iniciacuando la densidad de energa de deformacin en el punto se hace igual a la densidad deenerga de deformacin en la fluencia de un estado uniaxial de traccin o compresin.

En trminos de los esfuerzos principales, se ha deducido que la densidad de energa de

deformacin es:

Uo = [12+ 22+ 32- 2 (12 + 13+ 23) ] / (2 E) > 0 (4.7)

Para el caso de estado uniaxial en fluencia, 1= f, 2= 3= 0, la densidad de energade deformacin en esta condicin resulta ser:

Uof= f2/ (2E) (4.8)

Por lo tanto, el criterio establece que la fluencia se inicia cuando la densidad de energade deformacin Uo dada por (4.7) para un estado de esfuerzos cualquiera alcance el

valor Uofde la expresin (4.8).

Si se aplica este criterio al estado mostrado en la figura 4.8a, de traccin uniaxial, lafluencia se alcanza cuando el esfuerzo 1=f como es natural. Para el estado biaxial dela figura 4.8b, si se tuviera que 1=2=, al reemplazar en (4.7) e igualar a (4.8) setiene:

Uo (biaxial)= [ 2 2 - 2 (2) ] / ( 2E) = f2/ (2E)

Es decir, la fluencia se alcanza cuando 22(1 - ) = f2


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La funcin de fluencia para el criterio de densidad de energa de deformacin es obtienede igualar Uo (ecuacin 4.7) y Uof (ecuacin 4.8), para obtener:

12+ 22+ 32- 2 (12 + 13+ 23) - f2= 0 (4.9)

Por tanto, la funcin de fluencia tiene la forma:

f = e2- f2 (4.10)

Donde el esfuerzo efectivo se calcula con la ecuacin 4.11:

e2= 12+ 22+ 32- 2 (12 + 13+ 23) (4.11)

Para obtener una grfica para un estado de esfuerzo plano, es decir 3=0, la superficiede falla consiste en una elipse (figura 4.11). De la ecuacin 4.9, se puede despejar paraobtener la siguiente ecuacin.

12 21

2

2

2

1

ffff

Figura 4.11. Superficie de fluencia en estado plano para el criterio de la densidad deenerga de deformacin

Ejemplo 4.1.Determinar el factor de seguridad:

a) Por el criterio del mximo esfuerzo normal - Rankine o Coulombb) Por el criterio de la mxima deformacin unitaria Saint Venant (considerar

mdulo de Poisson 2.0 )c) Por el criterio de la densidad de energa - Beltrami

Si el estado de esfuerzos en un punto es: MPa

XX 60

, MPa

YY 80

, MPa

XY 70

Adems el esfuerzo crtico en un punto es: MPaULT

460 (Esfuerzo ltimo)


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En estado plano de esfuerzos se sabe que:

2

YXC

MPa102

8060

MPaR 9970)1080( 22

El esfuerzo mximo y mnimo es:RC

MINMAX

,

MPaMAX

1099910

MPaMIN

899910

03

Z

Graficando el crculo de Morh, se tiene:

a) Por el criterio del mximo esfuerzo normal - Rankine o Coulomb, se tiene:

MPaMAX

109

22.4109

460

MAX

ULTFS

b) Por el criterio de la mxima deformacin unitaria Saint Venant (considerarmdulo de Poisson 2.0 )

EE

8.126)0)89(2.0109(

11

EE

8.110)0)109(2.089(

12

EE

4))89(2.0)109(2.00(

13

EE

ULT

ULTMAX

460

63.3/8.126

/460

E

EFS

MAX

ULT


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El criterio de Saint-Venant tambin puede obtenerse grficamente haciendo unarelacin entre los segmentos OS y OP de la siguiente figura

63.372.140

50.510

OP

OSFS

c) Por el criterio de la densidad de energa - Beltrami

)89)(109(2.02089109 222

xe

4.23682e

MPae

89.153

99.289.153

460FS

4.3 FLUENCIA DE METALES DCTILES

En la discusin precedente, se han presentado criterios de falla basados en puntosdefinidos de esfuerzo o deformacin unitaria. En metalurgia se conoce que los cristalesde ciertos metales tienen planos de deslizamientos en los cuales la resistencia a fuerzacortante es relativamente pequea. Entonces, para esos metales, el criterio de fluenciase basa en valores lmites del esfuerzo cortante o cantidades asociadas.

Criterio del Mximo Esfuerzo Cortante (Tresca)

El criterio del mximo esfuerzo cortante, conocido tambin como criterio de Tresca,establece que la fluencia se inicia cuando el mximo esfuerzo cortante en un puntoalcanza el mximo esfuerzo cortante en la fluencia de un estado de esfuerzos uniaxial de

traccin (o compresin). Para un estado de esfuerzos multiaxial, el mximo esfuerzocortante es: mx = (mx - mn)/2, en donde mx, mn denotan las componentes


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ordenadas mxima y mnima de los esfuerzos principales. En traccin uniaxial (1= ,2 = 3 = 0), el mximo esfuerzo cortante es mx = /2. Dado que la fluencia entraccin uniaxial se inicia cuando 1= f, entonces el esfuerzo cortante asociado con lafluencia debe ser f = f /2. Por tanto, la funcin de fluencia para el criterio delmximo esfuerzo cortante puede definirse como:

f = e- f/ 2 (4.12)

Donde el esfuerzo efectivo es:e = mx (4.13)

Las magnitudes de los valores extremos de los esfuerzos cortantes son:

1= (2- 3) / 2 2= ( 1- 3) / 2 3= ( 1- 2) / 2 (4.14)

El esfuerzo cortante mximo mxes el mayor de 1, 2, 3. Si los esfuerzos principalesno estn ordenados, la fluencia para un estado multiaxial de esfuerzos puede ocurrirpara cualquiera de las condiciones siguientes:

2- 3= f 1- 3= f 1- 2= f (4.15)

De las expresiones de (4.15), la superficie de fluencia es un prisma hexagonal regular enel espacio de los esfuerzos principales (figura 4.12). En el caso de esfuerzos biaxiales(3= 0), la superficie de fluencia para el criterio del mximo esfuerzo cortante es unhexgono elongado en el plano (1,2), como se observa en la figura 4.13.

Figura 4.12. Superficie de falla tridimensional criterio de Tresca


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Figura 4.13. Superficie de falla bidimensional criterio de Tresca

El criterio de Tresca muestra buena concordancia con los resultados experimentales deciertos metales dctiles. En el caso de un estado de corte puro, como en un ensayo detorsin, se ha encontrado que el esfuerzo de corte en fluencia fes alrededor del 15%mayor que el valor que se predice con el criterio de Tresca. Por lo tanto, el criterio deTresca es conservador para estos metales. Sin embargo, dado que es ms o menoscertero, y computacionalmente fcil de usar, este criterio es una eleccin razonable parala mayora de metales dctiles.

Criterio de la densidad de energa de distorsin (Von Mises)

Este criterio fue propuesto por Von Mises (fruto de los trabajos analticos de Huber yHenchy) y propone que la fluencia se alcanza cuando la densidad de energa dedistorsin en un punto alcanza el valor de la densidad de energa de distorsin en lafluencia de un estado uniaxial de traccin o compresin.

La densidad de energa de distorsin es aquella parte de la energa total asociada con elcambio en la forma del cuerpo. La densidad de energa de deformacin Uo se divide endos partes: una parte causa el cambio volumtrico UVy la otra causa la distorsin UD.

Uo = UV+ UD (4.16)

Se parte de la expresin de la densidad de energa de deformacin Uo, en funcin de losesfuerzos principales:

Uo = [ 12+ 22+ 32- 2 (12+ 13+ 23) ] / (2 E) (a)

Se divide el estado de esfuerzos en dos, uno de esfuerzos constantes e iguales a p queslo produce cambios de volumen y otro, con esfuerzos 1, 2 y 3, que slo producecambios de forma o distorsin (figura 4.14). Entonces, se tiene que:

1= p + 1, 2= p + 2, y 3= p + 3 (b)


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Figura 4.14. Estado de esfuerzo divido en dos partes, un estado donde se producecambio de volumen y otro donde se produce cambio de forma

En el segundo estado, al no haber cambios de volumen, la expresin del cambiovolumtrico por unidad de volumen es:

x+ y+ z= 1 + 2+ 3= 0

Al ser: x+ y+ z= [(1-2)/E] (x+ y+ z), en este caso se tiene :

1 + 2+ 3= 0 (c)

Combinando (b) y (c) se logra: 1 + 2 + 3= 3p

En el primer estado, UVse puede evaluar con la frmula (a) para Uo, considerando quelos esfuerzos son: 1= 2= 3= p

UV(estado 1) = [1/(2E)] [3p2- 2(3p2)] = [3/(2E)][ (1-2) p2]

= [3/(2E)] (1-2) [( 1 + 2+ 3)/3]2

= [(1-2) / (6E)] (1

+ 2+

3)2

Finalmente: UD= U0- UV

UD= [12+ 22+ 32- 2(12+ 13+ 23) ] / (2 E) - [(1-2) / 6E] (1 + 2+ 3)2

Simplificando:

UD= [ (1- 2) 2 + (2- 3) 2 + (3- 1)2] (1+ )/6E

O tambin:

UD= [(1- 2)2

+ (2- 3)2

+ (3- 1)2

] / (12 G) (4.17)

En la fluencia para un estado uniaxial, (1= f, 2= 3= 0), UD=UDf= 2f2/ (12G).Luego, en un estado de esfuerzos multiaxial, este criterio establece que la fluencia seinicia cuando la densidad de energa de distorsin UDdada por la expresin (4.17) seaigual a f2/ (6G), esto es:

(1- 2) 2 + (2- 3) 2 + (3- 1) 2= 2 f2 (4.18)

Una forma alternativa como puede escribirse el criterio de la densidad de energa dedistorsin es en funcin del esfuerzo cortante octaedral oct. Recordando que:

9 oct2= (1- 2) 2 + (2- 3) 2 + (3- 1) 2 (4.19)


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En el caso del estado uniaxial de esfuerzos, (1= , 2= 3= 0), en la fluencia,

9 oct 2= 2 f2 (4.20)

Igualando las expresiones (4.19) y (4.20) y operando, se logra la ecuacin (4.18). Por

este motivo, al criterio de la densidad de energa de distorsin o criterio de Von Mises,se le conoce tambin como el criterio del esfuerzo cortante octaedral.

La funcin de fluencia para este criterio se puede escribir como:

f = [(1- 2) 2 + (2- 3) 2 + (1- 3) 2] / 6 - f2/3 (4.21)

Pero una expresin ms compacta,

f = e2- f2 (4.22)

Donde el esfuerzo efectivo es:

e= 2/231232221 (4.23)

La forma alternativa de la funcin f, en funcin del esfuerzo cortante octaedral es:

f = oct - 3/2 f (4.24)

Esto significa que si f=0, el esfuerzo cortante octadrico en un punto alcanza el valor

oct= 3/2 f = 0.4714 f , alcanzando el material la fluencia.

En el caso de un estado de esfuerzos tridimensional, la superficie de fluencia del criteriode Von Mises es un cilindro que envuelve al prisma hexagonal de Tresca (figura 4.15)

Figura 4.15. Superficie de fluencia tridimensional criterio de Von Mises


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En el caso de estado plano de esfuerzos, 3 = 0, la superficie de fluencia del criterio deVon Mises es una elipse que envuelve al hexgono de Tresca en el plano (1, 2), verla figura 4.16.

Figura 4.16. Superficie de fuencia para un estado plano, criterio de Von Mises

El criterio de Von Mises tambin permite predecir acertadamente la fluencia de unaserie de metales dctiles.

Este criterio es ms preciso que el criterio de Tresca para algunos materiales, en el caso

de predecir la fluencia en un estado de corte puro, el cual se puede representar a travsde un estado biaxial donde 1= - 2= , 3=0. Con las ecuaciones (4.18), la fluenciaante corte puro ocurre cuando:

3 2= f2 (4.25)

En este estado de corte puro, el mximo esfuerzo cortante es mx= |1 - 2| / 2 = , esdecir, en la fluencia, mx= = f. Si se reemplaza este valor en la ecuacin (4.25):

f= f/ 3 = 0.577 f (4.26)

Este valor se puede comparar contra el resultado obtenido con el criterio de Tresca, f=f/ 2 = 0.5 f. Por lo tanto, el criterio de Von Mises predice que el esfuerzo de fluenciade corte puro es 0.577/0.5 1.15, es decir aproximadamente un 15% mayor que el quese predice con el criterio de Tresca.

Si se conocen los esfuerzos principales, el criterio de Tresca es ms fcil de aplicar queel criterio de Von Mises. Sin embargo, dado que la funcin de fluencia de Von Miseses continuamente diferenciable, esto es su superficie de fluencia tiene una nica normalhacia afuera en todos los puntos (ver figuras 4.10 y 4.11), se prefiere emplear enaquellos estudios de plasticidad en donde se considera el flujo plstico y el

endurecimiento por deformacin.


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Caso de estados de esfuerzo plano 3=0

Criterio de Tresca:

1- 2< f

Caso de 2 = 0 1< f

Caso de 1 = 0 2< f

Caso de 1 0 y 2 0 la relacin 1- 2= f conduce a doslneas rectas inclinadas en el plano de ejes coordenados de 1 y 2

Criterio de Von Mises:

12

- 12+ 22

< f2

Caso de 2 = 0 1< f

Caso de 1 = 0 2< f

Caso de 1 0 y 2 0 la relacin 12- 12+ 22= f2 conduce ala ecuacin de una cnica de ejes inclinados en el plano de ejes coordenados de1 y 2

Al graficar las ecuaciones e inecuaciones de ambos criterios en el sistema coordenado

1 y 2, se forma el HEXGONO DE TRESCA Y LA ELIPSE DE VON MISES.

Ejemplo 4.2.Un punto en estado plano de esfuerzos en el plano XY tiene las siguientescomponentes: x= 80 MPa, y= -40 MPa, xy= 25 MPa, f= 250 MPa. Determinarlos Factores de Seguridad de acuerdo a los criterios de Tresca y de Von Mises.

Centro del Crculo de Mohr: C = med= (x+ y) = (80-40) = 20 MPa

Radio del Crculo de Mohr: R = mx = 22 25)2080( = 65 MPa

Esfuerzos Principales:

1= C + R = 20 + 65 = 85 MPa,2= C - R = 20 - 65 = -45 MPa, adems 3=0

a) Criterio de Tresca o del Esfuerzo Cortante Mximo

El esfuerzo cortante correspondiente a la fluencia es f = f= 1/2(250) = 125 MPa.

El factor de seguridad es F.S. = f / mx = 125/65 = 1.92


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b) Criterio de Von Mises o de la densidad de energa de distorsin

F.S. = f/ e= f/ 2132322212

1

En estado plano, con 3=0, se reduce a:

F.S. = f/ e= f/ 21222212

1

F.S. = f/ e= f/ 222121

F.S. = 250 / 22 45)45(8585 = 250 / 114.3 = 2.19

Comentario: para un material dctil con f = 250 MPa, se ha dibujado el hexgonoasociado con el criterio de esfuerzo cortante mximo y la elipse asociada con el criteriode la mxima energa de distorsin. El estado de esfuerzos principales est representado

por el punto H. Ntese que la lnea recta dibujada por los puntos O y H interseca elhexgono en el punto T y la elipse, en el punto M. Para cada criterio, el valor obtenidodel Factor de seguridad FS, puede verificarse midiendo los segmentos indicados ycalculando sus razones

- FS = OT / OH = 1.92- FS = OM / OH = 2.19

Cap 4 Modos y Criterios de Falla (a) Versión 2015

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