Cap 5 Torsión (a) Versión 2014

Mecnica Estructural Escuela de Posgrado PUCP

CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas

Profesor: Jos Acero Martnez

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CAPITULO 5

TORSION DE BARRAS PRISMATICAS

Introduccin

Se estudiar en detalle el efecto de la torsin sobre barras de seccin no circular. Para

iniciar el anlisis, sin embargo, se estudiar el caso de elementos de seccin circular,

utilizando los mtodos de la Teora de Elasticidad.

La solucin de un problema por medio de la Teora de la Elasticidad requiere que las

componentes de esfuerzos satisfagan las ecuaciones diferenciales de equilibrio (ecuaciones

2.59), y las condiciones de borde. En muchos casos este planteamiento conduce a

formulaciones matemticas sumamente complicadas, pues se trabaja a partir de segundos

derivadas parciales.

Una manera de lograr un desarrollo que termine en ecuaciones de ms fcil solucin es

utilizar el denominado mtodo semi-inverso o mtodo de Saint Venant. La simplificacin

se puede lograr si se parte de ciertas suposiciones sobre las componentes de los esfuerzos, o

las componentes de las deformaciones unitarias o de los desplazamientos, dejando libertad

suficiente como para satisfacer las ecuaciones de la Elasticidad. Si se logra satisfacer estas

ecuaciones, se habr encontrado la solucin al problema planteado (unicidad de la

solucin).

Saint Venant utiliz este mtodo para resolver el problema de la torsin, asumiendo valores

de las componentes del desplazamiento (u, v, w).

5.1. Torsin de una barra cilndrica de seccin circular

Sea un cilindro de seccin circular de radio "R" y longitud "L", al cual se aplica un

momento torsor "T". Se ubica el eje "z" coincidente con el eje del cilindro, y los ejes "x" e

"y" en una seccin extrema del mismo (figura 5.1)

Figura 5.1. Deformada de una seccin circular sometida a una fuerza de torsin T

Debido a la accin de T, la generatriz AB pasa a la posicin A*B*. Es posible asegurar que,




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en este caso, "una seccin plana, perpendicular al eje "z", continuar siendo plana y

perpendicular a este eje despus de la deformacin" debido a las siguientes razones:

- La seccin circular tiene simetra radial - Una seccin deformada debe ser la misma, si se le mira desde cualquiera de los dos

extremos del cilindro.

Los radios de esta seccin permanecen rectos, y para pequeas deformaciones su longitud

no vara.

Esto permite afirmar que el momento torsor T hace que cada seccin gire como un disco

rgido, alrededor del eje z. La rotacin " " de una seccin, con respecto al plano z = 0,

depender de la distancia "z" de la seccin a dicho plano. Para pequeas deformaciones se

puede asumir que la variacin de este ngulo es lineal, esto es:

z (5.1)

Se conoce a " " como el ngulo de torsin por unidad de longitud.

Las suposiciones hechas, relativas a deformaciones, son:

- Las secciones permanecen planas despus de la aplicacin de las cargas. - El ngulo de rotacin " " vara linealmente (ecuacin 5.1).

A partir de ellas se buscar la solucin. Para ello se intentar satisfacer las condiciones de

la elasticidad, en aplicacin del mtodo del semi-inverso.

Como las secciones planas permanecen planas, no hay deformacin en el sentido del eje z,

es decir: 0w

Sea un punto ),( yxP en una seccin transversal ubicada a una distancia "z" del origen.

Luego de la deformacin, P pasa a ocupar la posicin *)*,(* yxP (figura 5.2)

Figure 5.2. Desplazamiento del punto interno P a una distancia z, debido a un momento

torsor T




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Donde se puede indicar que:

OPOP

cos)cos( OPxxu sensenOPyyv )(

Expandiendo el )cos( y el )( sen y notando que cosOPx y OPseny

ysenxu 1cos 1cos yxsenv

En desplazamientos pequeos:

1cos0 sen

Por lo tanto:

0 wxvyu (5.2)

Al utilizar la ecuacin (5.1) se obtendr:

0 wxzvyzu (5.3)

Que son los componentes del desplazamiento. Ahora, si se reemplaza los valores (5.3) en

las siguientes ecuaciones:

x

uxx

;

y

vyy

;

z

wzz

y

u

x

vyxxy 2/1

z

u

x

wzxxz 2/1

z

v

y

wzyyz 2/1

Se obtiene las ecuaciones 5.4:

0 zzyyxx (5.4a, b y c)

0)(2/1 zzxy (5.4d)

yy xzxz )(2/1 (5.4e)

xx yzyz )(2/1 (5.4f)




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Si se reemplaza estos valores en la ley de Hooke se tiene:

0 xyzzyyxx (5.5 a,b,c y d)

GxGy yzxz (5.5 e y f )

Como las ecuaciones (5.4) son lineales, las ecuaciones de compatibilidad que se muestra, se

satisfacen totalmente

yxxy

xyyyxx

2

2

2

2

2

2 ; zxxz

xzzzxx

2

2

2

2

2

2 ; zyyz

yzzzyy

2

2

2

2

2

2

zyzxzyx

xzyzxyzz

22

2

22

yxzyyzx

yzxyxzyy

22

2

22

zxyxxzy

xyxzyzxx

22

2

22

Por ejemplo:

0002

2

2

2

2

2

yxxy

xyyyxx

Del mismo modo, si las fuerzas de masa son cero (Bx=By=Bz=0), las ecuaciones (5.5)

satisfacen las ecuaciones diferenciales de equilibrio mostradas:

0

Bx

zyx

xzxyxx

0

By

zyx

yzyyxy

0

Bz

zyx

zzyzxz

Por ejemplo:

00000

Bx

zyx

xzxyxx

Ahora se verificar las condiciones estticas de borde, tanto en las paredes laterales como

en las caras extremas.




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a) Paredes laterales. Se deben cumplir las ecuaciones de los esfuerzos de superficie:

xzxyxxS nmX 1

yzyyxyS nmY 1

zzyzxzS nmZ 1

Como no hay cargas en estas paredes laterales:

0 SSS ZYX

Figura 5.3. Fuerzas de superficie en una seccin circular sometida a torsin

Los cosenos directores de la normal a la superficie lateral son (1, m, 0); donde:

R

ysenm

R

xl cos

Las dos primeras ecuaciones se cumplen, al aplicar las ecuaciones (5.4 a, b, c y d). La

tercera ecuacin tambin se cumple:

0SX

0SY

0)()()( R

xy

R

xyGxG

R

yyG

R

xZS

b) Paredes (caras) extremas. En este caso se den cumplir las seis ecuaciones de equilibrio;

al utilizar nuevamente las ecuaciones (5.4 a, b, c y d) se puede afirmar que:

0 MyMxFz

A continuacin la figura 5.4, muestra los esfuerzos internos debido a un momento torsor T.




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Figura 5.4. Esfuerzos dentro de una seccin circular debido a un momento torsor T

En cuanto a las dems ecuaciones:

0 AA

xzx ydAGdAF

0 AA

yzy xdAGdAF

Las ecuaciones anteriores son cero, pues los ejes "x" e "y" son centroidales, en cuanto al

momento alrededor del eje z, se tiene:

A

zxzyz dAyxTM )(

Reemplazando valores:

A

dAyGxGT )( 22

A

dAyxGT )( 22

Siendo:

2)(

422 RJdAyx

A

Expresin del momento polar de inercia por lo tanto:

GJ

TJGT

En una longitud L, el ngulo de giro relativo entre z, se puede definir como L/ , por

ejemplo entre una seccin A y B es:

GJ

TLABABAB / (5.6a)




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Principio de Saint Venant

Como se han cumplido las ecuaciones de equilibrio y las de compatibilidad, esta solucin

es vlida si las componentes zy y zx se distribuyen en las caras extremas donde actan

los momentos torsores, de acuerdo a los valores dados por las ecuaciones (5.5). Al aplicar

directamente las cargas de torsin en los extremos, muy probablemente esto no ocurra en

las caras extremas (figura 5.5). Se asume que zy y zx sufren una redistribucin, de modo

que a una pequea distancia de las caras cumplen con las ecuaciones (5.5). Este concepto se

conoce como el Principio de Saint Venant, quien fue el primero en formularlo y utilizarlo.

Figura 5.5. Se muestra como a una distancia corta donde se aplica el torsor T, recin tienen

validez las ecuaciones deducidas.

Como zy y zx son independientes de "z" estos esfuerzos son iguales en todas las

secciones transversales. El vector esfuerzo ser:

),( xGyG y su mdulo es:

rGyxG 22

Si se reemplaza en esta ecuacin el valor de , se obtendr:

J

Tr

(5.6b)

El mximo valor de ocurre para .Rr Este resultado tambin es vlido para secciones tubulares, de radio interno R1 y radio externo R2. En este caso:

21

4

1

4

2 .)(2

RrRRRJ

Las ecuaciones 5.6 a y b, son conocidas de la resistencia de materiales y solo tienen validez

para secciones circulares slidas y tubulares.

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