Ejercicios torsión Concreto Armado

Concreto Armado I

• Contenido:

• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión

• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes

• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte

• 3.3 Resistencia a torsión

• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión

Prof. Ing. José Grimán Morales 1


EJERCICIO DE TORSIÓN 01 (PROF. JOSÉ GRIMAN) La viga con 8,8 m de longitud, sostiene una losa monolítica con un voladizo de 1,8 m desde el centro de la viga como aparece en la sección. La viga en L resultante sostiene una carga viva de 1340 kgf/m a lo largo de la línea central de la viga más 244 kgf/m2 distribuida uniformemente sobre la superficie superior de la losa. La altura útil d de la viga es de 58,5 cm y la distancia desde la superficie de la viga hasta el centroide del acero de los estribos es de 4,635 cm. Las resistencias de los materiales son f’c = 350 kgf/cm2 y fy = 4200 kgf/cm2. Diseñe el refuerzo a torsión y a cortante de la viga.


SOLUCIÓN:

1. Análisis de cargas.

Datos:

Sobre la losa: Se estudia para un metro de ancho.

Wconcreto =2400 kgf/m3,

Carga permanente wpl = 0,15·1,65·2400 =

esp = 0,15

long = 1,65

WC = 2400

wp = 594 kgf/m

Carga variable wvl = 1,65·244 =

long = 1,65

wvlosa 244 kgf/m2

wv = 402,6 kgf/m2


Sobre la viga:

Carga permanente wpv =0,30·0,65·2400 =

b = 0,3

h = 0,65

WC = 2400

wpv = 468 kgf/m

Carga variable wvv = 1340 kgf/m

Cargas mayoradas aplicadas a la losa:

wuL1 = 1.4·594 =

factor = 1,4

wpl 594 kgf/m

wuL1 = 831,6 kgf/m

wuL2 = 1,2·594+1,6·402,6 =

factor cp = 1,2

factor cv = 1,6

wpl = 594

wvl = 402,6

wuL2 = 1356,96 kgf/m


Cargas mayoradas aplicadas a la viga:

wuv1 = 1.4·468 =

factor = 1,4

wpl 468 kgf/m

wuL1 = 655,2 kgf/m

wuv2 = 1,2·468+1,6·1340 =

factor cp = 1,2

factor cv = 1,6

wpl = 468

wvl = 1340

wuL2 = 2705,6 kgf/m

La carga mayorada distribuida total sobra la viga:

wuvt = 1356,96+2705.6 =

wuL2 = 1356,96 kgf/m

wuv2 = 2705,6 kgf/m

wuvt = 4062,56 kgf/m


Actúa también sobre la viga un momento torsor distribuido uniforme igual a la carga

mayorada por unidad de longitud de la losa, multiplicada por una excentricidad de

0,975 m.

Tdist = 0,975·1356,96 =

excentr = 0,975 m

wuL2 = 1356,96 kgf/m

Tdist = 1323,036 kgf·m/m

La fuerza cortante mayorada de la viga, en el centro del apoyo es Vu:

Vu = 4062.56·(8,8/2) =

Luz = 8,8 m


Vu = 17875,264 kgf

El momento de torsión mayorado en el centro del apoyo es Tu:

Tu = 1323,036·(8,8/2) =

Luz = 8,8 m

Tdist = 1323,036 kgf·m/m

Tu = 5821,3584 kgf·m


Como d = 58,5 cm y el ancho del apoyo es de 30 cm, las secciones críticas para cote y

para torsión quedan a (58,5 + 30/2) = 73,5 cm desde el centro del apoyo.

Vucrit = 17875,264 – 4062,56·0,735 =

Vu = 17875,264 kgf


x secc crit = 0,735 m

Vucrit = 14889,2824 kgf

Tucrit = 5821,36 – 1323,036·0,735 =

Tu = 5821,36 kgf

Tdist = 1323,036 kgf/m

x secc crit = 0,735 m

Tucrit = 4848,92854 kgf·m


El ancho efectivo de la losa considerada como parte de la sección de la viga para el

cálculo de Acp y Pcp, se muestra en la figura (ACI 11.5.1 y 13.2.4):


Como hw = (65-15) = 50 cm < (4·15 = 60 cm) , el ancho efectivo es igual a 50 cm.

Se chequea si 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (16.6). Si se cumple entonces se pueden

despreciar los efectos de la torsión.

Acp = 65·30 + 50·15 =

b = 30 cm

h = 65 cm

hw = 50 cm

hf = 15 cm

Acp = 2700 cm2

Pcp = 2·65+2·80 =

h = 65 cm

bw + hw = 80 cm

Pcp = 290 cm


𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑= 𝟎,𝟕𝟓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟓𝟎 ∙

𝟐𝟕𝟎𝟎𝟐

𝟐𝟗𝟎 = 952,332444 kgf·m

Como Tu crit = 4848,93 kgf·m, > 952.332 kgf·m, se debe considerar la torsión.

Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual Tu

no se debe reducir.

Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la

ecuación:


Lo que es equivalente a la sección 11.5.2 de la norma venezolana 1753-2006

Son ecuaciones equivalentes porque Vc / (bw·d) = 0,53· 𝑓′𝑐.


Aunque para verificar si la torsión podía despreciarse, Acp , se calculó considerando

las aletas (tal como lo exige el Código ACI 11.5.1); los cálculos subsecuentes para

funcionalidad y resistencia se desprecian las aletas y no se proporciona ningún

refuerzo a torsión en las mismas.

Entonces se calcula Aoh y Ph considerando solo las dimensiones de la viga:

xo = 30 – 2·4,635 = 20,73 cm

yo = 65 – 2·4,635 = 55,73 cm

Aoh = xo·yo = 20,73·55,73 = 1155,2829 cm2


Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 20,73+55,73)

Ph = 152,92 cm

Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06

14889,28

30 · 58,5

2

+ 4848,93 ∙ 100 · 152,92

1,7 · 1155,2832

2

≤ 0,75 ∙ 2.7 ∙ 350

33,7634632 < 37,884281 kgf/cm2

Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería

aumentar la sección de concreto.


Diseño por torsión:

Como se cumple que 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 se considera la torsión

Se calcula el acero transversal por torsión:

2𝐴𝑡

𝑠=

𝑇𝑢 𝜙

𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1155,283= 981,99055 cm2

2𝐴𝑡

𝑠=

4848,93·100 0.75

981.991∙4200 ∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,15675733 cm2/cm


Se calcula el acero transversal por cortante:

Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :

Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · 350 · 30 · 58,5 =

𝜙·Vc = 13051,1348 kgf

Como Vu = 14889,28 kgf es mayor que 𝜙Vc = 13051,135 kgf , se requiere acero

transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:

Se calcula Vs =𝑉𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡 −𝜙𝑉𝑐

𝜙=

14889,28−13051 ,135

0.75= 2450,86 kgf

Se chequea con Vsmax = 2.1 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 2.1 · 350 · 30 · 58,5 =

𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 68949,3915 kgf

Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la

sección.


Calcula el acero necesario por cortante:

𝐴𝑣

𝑠=

𝑉𝑢 𝜙 −𝑉𝑐

𝑓𝑦𝑣 ·𝑑=

14889,28 0.75 −13051 ,135 0.75

4200·58,5= 0,00997501 cm^2/cm

Se compara con Av / s min = 0.20· 𝑓′𝑐·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣≥

3.5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣

𝐴𝑣

𝑠min =

0,20· 350·30

4200= 0,02672612 cm^2/cm

3,5·30

4200= 0,025 cm^2/cm

Se debe colocar 𝐴𝑣

𝑠=

𝐴𝑣

𝑠𝑚í𝑛 =0.027 cm

2/cm

Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:

𝐴𝑣𝑡

𝑠=

𝐴𝑣

𝑠+ 2 ·

𝐴𝑡

𝑠= 0.027 + 0,1568 = 0,1838 cm2/cm

Se chequea que 𝐴𝑣𝑡

𝑠≥

3,5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣⟹ se cumple 0,1838 > 0,025


Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2=

𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠

𝐴𝑣𝑡 𝑠 =

2,54

0,1838= 13,8193689 cm

Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más

exigente:

Por torsión 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ 𝑃𝑕 8 ; 30 𝑐𝑚 = 152,92 8 ; 30 𝑐𝑚 = 19,12 𝑐𝑚

Por cortante:

Se chequea si Vs es menor que 1,06 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 32423,3321 kgf

Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm


𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

𝑏𝑤 · 𝑓′𝑐; 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣3,5 · 𝑏𝑤

=

𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 58,5 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 2,54 · 4200

30 · 350;

2,54 · 4200

3,5 · 30 =

0,5·58,5 = 29,25 cm

5·2,54·4200

30· 350= 95,0380976 cm

2,54·4200

3,5·30= 101,6 cm

Separación elegida es : s = 13 cm, a partir de 5 cm de la cara del apoyo, hasta donde

sea necesario.


En este caso particular se requiere colocar Av mín, acero mínimo por corte hasta el

punto donde el cortante es igual a 0,5·𝜙·Vc ,

xzv = 4,4 · 17875 ,264−0.5·13051 ,135

17875 ,264 = 2,79373018 m

Teóricamente a partir de x = 2,8 m desde el centro de apoyo, no se requiere refuerzo

transversal. Como se debe colocar es la suma 2At/s +Av/s y cómo el torque varía

linealmente hasta el centro del tramo, se debe tener en cuenta esta variación para

colocar el acero por torsión, el cual se debe colocar al todo lo largo de la viga.

Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las

separaciones de los estribos:


x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)

0,735 14889,28 4848,93 0,15675781 0,027 0,18375781 13,8225419

0,8 14625,2136 4762,93266 0,15397766 0,027 0,18097766 14,0348817

1 13812,7016 4498,32546 0,14542335 0,027 0,17242335 14,7311836

1,5 11781,4216 3836,80746 0,12403758 0,027 0,15103758 16,8170072

2 9750,1416 3175,28946 0,1026518 0,027 0,1296518 19,5909345

2,5 7718,8616 2513,77146 0,08126603 0,027 0,10826603 23,4607286

2,8 6500,0936 2116,86066 0,06843457 0,027 0,09543457 26,6150937

3 5687,5816 1852,25346 0,05988026 0 0,05988026 42,4179852

3,5 3656,3016 1190,73546 0,03849449 0 0,03849449 65,983472

4 1625,0216 529,21746 0,01710872 0 0,01710872 148,462335

4,4 -0,0024 0,00306 9,8925E-08 0 9,8925E-08 25676098

Se puede observar en la tabla a partir de 2 m desde el apoyo se puede colocar el

acero mínimo por torsión dado por la separación máxima (Ph / 8 ) =19,12 cm.

Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,

luego 14 estribos a cada 13 cm hasta una distancia de 202 cm del centro del

apoyo. Igual para el otro extremo y en la zona central 24 estribos a cada 19 cm.


Se calcula ahora el acero longitudinal.

Se tiene 2𝐴𝑡

𝑠=

4848,93·100 0.75

981.991∙4200 ∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,15675733 cm2/cm

Entonces 𝐴𝑡

𝑠= 0,07837866 cm^2/cm

𝑨𝒍 = 𝑨𝒕

𝒔 · 𝒑𝒉 ·

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍 · 𝑪𝒕𝒈𝟐𝜽 ≥

𝟏,𝟑𝟑 · 𝒇′𝒄 · 𝑨𝒄𝒑

𝒇𝒚𝒍−

𝑨𝒕

𝒔 · 𝒑𝒉 ·

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍

𝑨𝒍 = 𝟎,𝟎𝟕𝟖𝟒 · 𝟏𝟓𝟐,𝟗𝟐 · 𝟏 · 𝟏𝟐 = 11,988928 cm^2

𝟏,𝟑𝟑· 𝟑𝟓𝟎·𝟐𝟕𝟎𝟎

𝟒𝟐𝟎𝟎− 𝟎.𝟎𝟕𝟖𝟒 · 𝟏𝟓𝟐.𝟗𝟐 · 𝟏 = 4,00665733 cm^2

Se distribuye esta área 12 cm2 en tres partes, en la parte central de la sección de

la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y en la zona a tensión y a compresión se

agregan 4,02 cm2.

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