Cap 9 Escoamento Externo
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8/18/2019 Cap 9 Escoamento Externo
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Cap.9 - Escoamento Externo
9.1 – O conceito de camada limite
9.2 – Espessuras da camada limite
9.3 – Camada limite laminar em placa plana
9.4 – Equação integral da quantidade de moimento
9.! – "radientes de pressão no escoamento
9.# – Emprego da equação integral
9.$ – %rrasto
9.& – 'ustentação
-
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9.1 – O conceito de camada limite
PARTE A C%(%)%' *+(+,E
-
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ν=
µρ
= -x-x
ex
!Cr x
# 1/x3e1/x2
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9.2 – Espessuras da camada limite
% camada limite 0 a região adacente a uma supercie slidana qual as orças iscosas são importantes.
% espessura da camada-limite5 δ 5 0 deinida como a dist6nciada supercie ao ponto em que a elocidade situa-se dentro de 1 por
cento da elocidade de corrente lire.
% espessura de deslocamento5 δ∗ 5 0 a dist6ncia da qual aronteira slida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito
para dar a mesma dierença de a7ão em massa que existe na
camada-limite.
∫ ∞
−ρ=δρ/
8 d:;u-
∫ ∞
−=δ /8
d-
u
1 ∫ δ
−=δ /8
d-
u
1
-
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% espessura de quantidade de movimento, θ 5 0 deinidacomo a espessura da camada de luido5 de elocidade 5 para a qual
o luxo de quantidade de moimento 0 igual ao d0icit do luxo dequantidade de moimento atra0s da camada-limite.
∫ ∞
−ρ=θρ/
2 d:;u-
∫ ∞
−=θ
/d
-
u1
-
u∫ δ
−=θ
/d
-
u1
-
u
-
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∫ ∞
−=/
d;u-
-
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∂∂+∂∂µ+∂∂−ρ= ∂∂+∂∂+∂∂ρ2
2
2
2
x uxuxpguxuutu
∂∂
+∂∂
µ+∂∂
−ρ=
∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ2
2
2
2
x
pg
x
u
t
Simplificações utili7adas no modelo de @lasius
-
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9.3 – Camada limite laminar em placa plana
% solução analtica para a camada limite laminar em placa plana
ori7ontal oi otida por @lasius em 19/&.
.;(.C
-
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O modelo de @lasius considera que o peril uG 0 similar para toda
a extensão de x ao longo da placa plana.
δ=η
;x
e
u∂ψ ∂
−=∂ψ ∂
=
2
2
uuxuu ∂∂ρµ=∂∂+∂∂ 33
2
22
xx ∂ ψ ∂ ν=∂ ψ ∂∂ψ ∂−∂∂ ψ ∂∂ψ ∂
%pesar da equação a ser resolida apresentar uma Inica ariHel
dependente5 ψ 5 a diiculdade em oter a solução ainda permanece.
-
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=ara contornar a diiculdade oi proposto o uso da unção corrente
adimensional aaixo5 como unção a ser otida de η5 alterando a orma daequação da J.).(. >
x-;
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=eris de elocidade
similares ao longo de x
-
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'olução de @lasius para camada limite laminar em placa plana
x
-
ν=η
-
u
;
-
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% solução de @lasius mostra que uGK/599 quando ηK# >
x
-
ν=η
-
x
νη=
-
x#;x< ν=δ
-x
x#
2 ν=δ
ν=δ-x
x#
xe
x#=δ
% tensão de cisalamento na parede pode ser expressa como>
/
2
2
/
L d d
x--
u
=η=
η νµ=
∂∂µ=τ
xG--3325/L ρµ=τx
221
Le
-!!45/
ρ=τ
%ssim5 o coeiciente de tensão de cisalamento na parede5 ou
coeiciente local de atrito5 serH>
x2
21
L
e
!!45/
-C =
ρτ
=
-
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Exemplo >
-
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9.4 – Equação integral da quantidade de moimento
∫ ∫ ρ+
∂
ρ∂=+=
'C
OC'C %d.OO
t
dOODDD
∫∫ ρ+ρ=+ −−21x'xC %d.Ou %d.OuDD
-
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:τ
∫ ∫ ∑ ρ+ρ=− 21x' %d.Ou %d.OuD
∫ ∫ τ−=τ−=−placa
:
placa
:) dx:d%D
∫∫∑ ρ++ρ−=−
2
2
1
2
x' d%u;
-
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∫ ∫ ∑ ρ++ρ−=−=− 22
1
2
)x' d%u;
-
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∫ δ
−=θ
/d
-
u1
-
u∫ δ
−ρ=/
) d;u-
dx
d
dx
dD 2) θρ=
dx
d
2
:
θ
ρ=τ
dxdD :) τ=
-
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=eris de elocidade tpicos utili7ados na anHlise
integral da camada limite.
-
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9.# – Emprego da equação integral
/
L
u
=
∂∂
µ=τ -
uδ
=δ
µ=τ -
L
Exemplo> Considere o escoamento laminar de um luido incompresselsore uma placa plana posicionada no plano com K/. %dmita que o peril de
elocidade 0 linear5 u K Gδ para P δ e u K para Q δ .
)etermine a tensão de cisalamento utili7ando a equação integral.
Solução>dxd2: θρ=τ
Perfil de velocidade linear
∫ δ
−=θ
/d
-
u1
-
u
-
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tili7ando a deinição da espessura de quantidade de moimento>
∫
δ
−=θ/
d
-
u1
-
u
∫
δ
δ
−
δ
=θ/
d
1
!
δ=θ
dx
d-2L
θρ=τ
dx
d
!
1
dx
d
d
d
dx
d δ=
δδθ
=θ
dx
d
!
1-
- 2 δρ=δ
µ dx-
!d
ρµ
=δδ
∫ ∫ ν=δδ
δ x
// dx-
!d x-
!
2
2 ν=
δ-
x122 ν=δ ν=δ G-x
x12 22xe
x4!53
=δ
% tensão de cisalamento na parede pode ser otida cominando as eq. anteriores>
δρ=τdx
d
!
1-2L
νρ=τ
G-x
12
!
1-221L
x-
12 ν
=δ x
1
-
12
2
1
dx
d ν
=
δ
νρ
=τG-x
-#$$5/
221
L
δ
δ
−
δ
=θ/
2
32
3
2
-
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Considerando uma unção geral para o peril de elocidade
adimensional uG5 tem-se>
1/Gp
g;
1Gp/dGdge1;1
-
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% tensão de cisalamento na parede pode ser escrita como>
/
L
u
=
∂∂
µ=τ
δ
=η= -g;
-
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x
21
2
)e
xCC2-D ρ=
x1
2
e
x
C
C2;x< =δ
x
221
21:e
-CC2 ρ
=τ
21x)
x22
1
)
CC22eC
e*-
D
=
=ρ
1
2x
C
C2
x
e=δ
21x
x221
:
CC2ec
e-
=
=ρτ
-
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Exemplo: m luido escoa sore uma placa plana de /5# por /5# Nm2M com
elocidade de aproximação igual a 1 mGs.
)etermine a orça de arrasto deido ao atrito5 considerando os seguintes
luidos>
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Transição de camada limite laminar para turbulenta.
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Perfis tpicos de
velocidade para os
re!imes laminar" de
transição e turbulento do
escoamento
na camada limite sobreuma placa plana#
!
Cr x
#
1/x3e1/x2
-
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Exemplo: m luido escoa sore uma placa plana com elocidade de
aproximação igual a 351 mGs.
)etermine a dist6ncia em relação ao ordo de ataque da placa em que
ocorre a transição do regime laminar para o turulento e estime a espessura dacamada limite neste local.
Considere os seguintes luidos>
-
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Considere o escoamento turulento de um luido incompressel sore
uma placa plana.
%dmitindo que o peril de elocidade na camada limite 0 dado por uG K
ao in0s da expressão para luidosne:tonianos5 anteriormente utili7ada na
modelagem da camada limite laminar
sore plana plana.
4
221
:-
-/4#5/
νδρ
=τ
-
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dx
d2:
θρ=τ
a tensão de cisalamento na parede5 dada pela conseração da quantidade de
moimento5 pode ser utili7ada para escoamento laminar ou turulento>
∫ δ
−=θ
/d
-
u1
-
u( )∫ ηη−ηδ=θ
1
/d1 $
1$1 δ=θ
$2
$
4
221
:-
-/4#5/
νδρ
=τdx
d
$2
$2:
δρ=τ
dx
d
$2
$
G
/22#5/4
δ=
νδ
dxG-
2415/
d 441
ν=δδ ∫ ∫ ν=δδδ x
/ 4/ dxG-
2415/
d41
xG-
2415/
#
44
4#
ν=δ
#4
xG-
3&35/# ν
=δ xG-x
3&35/# ν
=δ xe
3&35/
#x
=δ
dx
d
$2
14221:
δρ=τ#
1
x#
4
G-
3&35/
dx
d#
−
ν=δ
#x
22
1
:
e
/#9!5/
-=
ρτ
θρ= D 2)# *
2
)
e
*3&35/
$2
$D ρ=
# *
221
)
e
/$45/
*-
D=
ρ
-
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$oeficiente m%dio
de atrito
para uma placa
plana
posicionada
paralelamente ao
escoamento#
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Exemplo: )etermine a orça de arrasto deido ao atrito em dois casos de
escoamento de luidos sore uma placa plana de 1/ por 1/ Nm2M> na situação
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9.! – "radientes de pressão no escoamento
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PARTE & E'CO%(EA,O 'O@E CO=O' '@(E'O'
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9.$ – %rrasto
'()
%O
DC
221
)) ρ=
Coeiciente de %rrasto
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)ois oetos com ormas dierentes
mas que apresentam o mesmo
coeiciente de arrasto
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Exemplo> m grão de areia5 com di6metro
RK/51 mm e densidade igual a 253 decanta para o
undo de um lago. )etermine a elocidade do
moimento do grão de areia admitindo que a Hguado lago estH estagnada.
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mGs
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Exemplo: m ento orte pode remoer a ola de gole de seu apoio
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Exemplo: m ento orte pode remoer a ola de gole de seu apoio
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Comportamento do coeiciente de atrito em unção de e para Hrios corpos
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,endSncia istrica da redução do coeiciente de
arrasto dos automeis
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9.& – 'ustentação
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