CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.

En la vida diaria existe una enorme cantidad de objetos en movimiento, y otros que

aparentemente no se mueven, pero que en realidad lo hacen, ya que nuestro planeta realiza

una serie de movimientos como el de rotación y el de traslación, de tal manera que nos lleva

a concluir que todo lo que percibimos se mueve. Pero, ¿cómo describir el movimiento de un

automóvil en una autopista, una pelota de beisbol cuando es bateada, el movimiento de

traslación de los planetas, una sonda enviada a Júpiter, o el movimiento que describen las

partículas elementales en los aceleradores de partículas?, ¿cómo relacionar los movimientos

simples y los complejos?. Las respuestas relativas al estudio del movimiento las proporciona

la rama de la Física denominada Mecánica.

La Mecánica estudia las fuerzas y el movimiento, así como sus cambios o evolución en el

tiempo, y se divide en cinemática y dinámica. La cinemática describe el movimiento

matemáticamente, sin considerar las causas que lo generan, a través de los conceptos de

desplazamiento, velocidad y aceleración. La dinámica por su parte estudia también el

movimiento, pero analiza las fuerzas externas que lo generan y su resultado.

2.1.MOVIMIENTO RECTILÍNEO.

Uno de los objetivos de este capítulo es describir los modelos básicos con los que se puede

analizar el movimiento, así como sus ecuaciones y desarrollos generales para analizarlo.

Entre las tres clases de movimientos; traslación (un auto desplazándose), rotatorio (el giro de

un planeta) y vibratorio (movimiento de un péndulo), nos enfocaremos en el movimiento de

traslación. Este será descrito inicialmente por medio del modelo de la partícula y en línea

recta. Hay que tener presente que los conceptos desplazamiento, velocidad y aceleración son

vectores, pero en el movimiento rectilíneo no los usamos porque es unidimensional, mientras

que en los sistemas bidimensional y tridimensional si se debe realizar. Inicialmente se

revisarán los casos donde no existe aceleración (velocidad constante), posteriormente el caso

especial de la aceleración constante y luego la aceleración variable. Al final del capítulo se

estudiará el movimiento curvilíneo, con dos casos especiales, el movimiento de proyectiles

y el movimiento circular uniforme.

Posición y Desplazamiento.

En el estudio del movimiento, es necesario ubicar en todo momento la posición de la partícula

para poder definir su trayectoria y sus cambios, por lo tanto, es necesario definir un sistema

de referencia. En el movimiento rectilíneo se requiere un solo eje, no importa si se mueve en

forma horizontal, vertical o inclinada, y debe establecerse un origen sobre él, para poder

definir sus variaciones o cambios.

CAPÍTULO 2

Si se mueve horizontalmente podría definirse como eje 𝑥, o eje 𝑦 si lo hace verticalmente, si

está entre ejes como componentes 𝑥 y 𝑦. Otra forma de hacerlo es utilizando una sola

denominación para el eje del movimiento, sin importar la dirección en que se desplace. Esto

presenta cierta simplificación porque las ecuaciones son las mismas en cualquier dirección

(no se distingue entre 𝑥 y 𝑦). Por tanto, definiremos a nuestro eje, como “eje s”. En el

movimiento bidimensional y tridimensional se requerirá expresarlo en forma vectorial (𝑥, 𝑦

y 𝑧).

La posición de una partícula estará definida por la distancia del origen al punto donde se

ubica. En la figura 2.1 (a) se representa la posición de una partícula en el eje “s” en un

movimiento horizontal, pero también puede ser representado verticalmente, como en la caída

libre de un objeto. Si la partícula p en 𝑝0 (usaremos los subíndices cero para expresar

condiciones iniciales) se mueve a ocupar la posición p (Fig. 2.1 (b)), existe un cambio, y ese

cambio se representa por ∆. El cambio en la posición es llamado desplazamiento, y tiene que

ver solo con la coordenada inicial y la coordenada final, no importa el camino que haya

seguido, por ejemplo, si un corredor realiza una carrera en una pista de 400 m, al final de la

carrera su desplazamiento será cero, porque la coordenada final y la inicial es la misma. Lo

mismo sería para el caso ejemplo de un auto de fórmula 1 en el autódromo Hermanos

Rodríguez (cd. de México), al dar una vuelta completa se diría que su desplazamiento es cero,

aunque la distancia total recorrida sería de 4 304 m. Se debe de tener presente la diferencia

entre estos dos conceptos.

Ec. 2.1 Desplazamiento ∆𝑠 = 𝑠 − 𝑠0

Las unidades básicas utilizadas son unidades de longitud, metros (m) en sistema internacional

y pies (ft) en sistema inglés. El signo será positivo si la posición final está a la derecha de la

inicial y negativo si se encuentra a la izquierda de la inicial.

Fig. 2.1 𝑎) Posición, b) Desplazamiento

Velocidad promedio, rapidez y velocidad instantánea.

El cambio en la posición puede ser muy lento o puede ser rápido, si se desea saber que tan

rápido cambia de posición, deberá medirse el tiempo que tarda en realizarlo. Dividiendo el

desplazamiento, entre el tiempo empleado, obtenemos la velocidad promedio. Su expresión

matemática será (con la barra encima):

Ec. 2.2 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = �̅� =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠−𝑠0

𝑡−𝑡0

El signo de la velocidad está definido por la dirección del movimiento, es decir, la velocidad

será positiva si la partícula se mueve hacia la derecha, será negativo si mueve hacia la

izquierda. Las unidades, en el sistema internacional serán metros por segundo (m/s), y en el

sistema inglés pies por segundo (ft/s).

El término rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad; en ocasiones se utiliza el término

rapidez promedio, y hace referencia a la distancia total recorrida entre el tiempo total

empleado.

Ec. 2.3 [𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜] =[𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]

[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]

Las unidades son las mismas de velocidad, y siempre es un escalar positivo.

Si el tiempo (∆𝑡) pudiera ser reducido, de tal forma que cada vez se tomaran valores más

pequeños, es decir 𝑝 se aproximaría a 𝑝0, entonces el tiempo (∆𝑡) tiende a hacerse cero, (sin

llegar a serlo) por tanto, se está tratando con una cantidad infinitesimal de tiempo, por lo que

ahora se le puede llamar, “velocidad instantánea”.

Ec. 2.4 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡

Teniendo presente el concepto de derivada, se puede representar así (sin la barra encima de

la 𝑣):

Ec. 2.5 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Aceleración promedio y aceleración instantánea.

Si consideramos los puntos 𝑝0 y 𝑝, de nuestras gráficas anteriores, y ahora suponemos que

la partícula tiene una velocidad creciente, de tal manera que la velocidad en 𝑝 es mayor que

en 𝑝0, tenemos un cambio (∆) en la velocidad, tal como sucedía con el cambio de la posición,

y lo representamos con ∆𝑣, lo cual ocurre en un tiempo ∆𝑡, como sucedió en el planteamiento

del concepto de velocidad. Si existe un cambio de velocidad, y si medimos el tiempo en que

ocurre, podemos definir la aceleración, como el cociente del cambio de velocidad entre el

cambio del tiempo, en otras palabras, es la rapidez con que cambia la velocidad.

La aceleración promedio la podemos expresar:

Ec. 2.6 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 = �̅� =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣−𝑣0

𝑡−𝑡0

La aceleración instantánea será cuando tomemos valores de ∆𝑡 cada vez más pequeños, de

tal manera que ∆𝑡 tienda a cero, tal como se señaló con la velocidad instantánea, por tanto,

se representa (la aceleración instantánea no lleva la barra encima):

Ec. 2.7 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡

Ec. 2.8 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

Si tenemos presente que la velocidad es la derivada de la posición, y ahora derivamos la

velocidad, entonces la aceleración será la segunda derivada de la posición:

Ec. 2.9 𝑎 =𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

(a)

Fig. 2.2 (a)La velocidad en 𝑝 es mayor que la velocidad en 𝑝0 (𝑣0 < 𝑣). La aceleración

es positiva. (b) la velocidad en 𝑝 es menor que en 𝑝0 (𝑣0 > 𝑣). La aceleración es

negativa.

(b)

La aceleración puede ser tanto positiva como negativa. Se debe de tener presente que tanto

la aceleración como la velocidad y el desplazamiento son vectores, y se debe cuidar el sistema

de referencia y el convencionalismo de los signos.

La figura 2.2 (a) y (b) muestra una partícula que se mueve en ambos casos hacia la derecha.

En el caso (a) la magnitud de la velocidad va en aumento, es decir la velocidad en 𝑝 es mayor

que en 𝑝0 (𝑝 > 𝑝0), la aceleración será positiva; en el caso (b) la magnitud de la velocidad

disminuye, la velocidad en 𝑝 es menor que en 𝑝0 (𝑝 < 𝑝0), la aceleración es negativa, suele

llamársele desaceleración. Ejemplo, si fuera el movimiento de un auto que se desplaza hacia

la derecha, en el caso (a) acelera, y su aceleración es positiva; continúa moviéndose a la

derecha, y empieza a frenar o desacelerar (caso b), el vector aceleración cambia de dirección

y la aceleración se vuelve negativa, pero el auto sigue moviéndose a la derecha hasta

detenerse.

Si el auto se desplaza hacia la izquierda acelerando, su aceleración será negativa; si continúa

desplazándose hacia la izquierda y empieza a frenar (desacelerar), entonces el vector

aceleración cambia de dirección y se vuelve aceleración positiva, pero el auto continúa

desplazándose a la izquierda.

Las unidades de la aceleración son unidades de longitud entre unidades de tiempo al

cuadrado. En sistema internacional las unidades básicas son m/s2 y en el sistema inglés ft/s2.

Podemos obtener otra ecuación diferencial con la combinación de las ecuaciones 2.5 y 2.8,

al despejar el diferencial 𝑑𝑡 en ambas, e igualarlas. Obtenemos

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑣 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝑑𝑡 =𝑑𝑣

𝑎 𝑑𝑡 =

𝑑𝑠

𝑣

𝑑𝑣

𝑎=

𝑑𝑠

𝑣

Ec. 2.10 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣

Estas tres ecuaciones (2.11) son conocidas como “ecuaciones diferenciales del movimiento”.

Ecs. 2.11

2.1.1. Movimiento rectilíneo uniforme.

En el análisis y resolución de problemas existen situaciones que son comunes en muchos

casos, en algunos de ellos, se observan patrones de comportamiento y resoluciones muy

parecidas. Estos problemas pueden ser agrupados en familias, y expresados como un modelo.

En Cinemática existen modelos que facilitan la explicación del comportamiento, análisis y

resolución de las diversas situaciones. Entre los modelos más simples se encuentra la

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣

partícula, ya utilizada anteriormente, que nos facilita representar y analizar la situación,

sustituyendo cualquier cuerpo, ya sea un átomo o un avión por la partícula,

complementándola con la representación de la trayectoria. Además, los modelos nos ayudan,

identificando un pequeño conjunto de ecuaciones aplicables a esa situación.

El modelo de movimiento más sencillo es el de velocidad constante en línea recta

(movimiento uniforme rectilíneo). Este modelo se aplica a cualquier situación en la que un

objeto se mueva con velocidad constante. Si un objeto se mueve a velocidad constante,

entonces su velocidad instantánea es la misma que la velocidad promedio y su aceleración es

cero, porque no existe cambio en la velocidad.

Si la velocidad promedio es: �̅� =∆𝑠

∆𝑡

Si, la velocidad promedio es igual a la instantánea,

�̅� = 𝑣 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠−𝑠0

𝑡−𝑡0

Ec. 2.12

Por tanto, la ecuación para obtener la posición en cualquier tiempo a velocidad constante es:

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡

La ecuación, señala que la posición se obtiene con la suma de la posición inicial más el

desplazamiento (𝑣𝑡). En la mayoría de los casos al inicio del intervalo de tiempo suele ser

tomado como 𝑡0 = 0 (los subíndices cero indican condiciones iniciales), por tanto,

Ec. 2.13

Las ecuaciones 2.12 y 2.13 son las ecuaciones básicas para el modelo de una partícula bajo

velocidad constante.

A través del proceso de integración se obtiene la misma ecuación; partiendo de la ecuación

2.5 (𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ ).

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠𝑠

𝑠0

= ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡

0

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

El resultado es la misma ecuación 2.13, previamente desarrollada.

Representación gráfica.

El movimiento de una partícula se puede describir con ecuaciones matemáticas, pero también

se puede representar en forma gráfica. El enfoque matemático es el más utilizado en la

resolución de problemas, dando una mayor exactitud, mientras que el gráfico muestra a la

vista, el comportamiento del movimiento en sus diferentes características (posición,

velocidad y aceleración). Para la representación gráfica de las ecuaciones elegimos un

sistema de referencia de coordenadas cartesianas, donde representamos la posición,

velocidad y aceleración en función del tiempo. La posición, velocidad y aceleración son

representados en la ordenada, mientras que el tiempo se representa en la abscisa. La Fig. 2.3

representa gráficamente una partícula en reposo, en la posición A (la posición no varía con

el paso del tiempo). En la Fig. 2.5 a), la posición está variando con el tiempo en forma

constante (la distancia recorrida, incrementa el mismo valor cada unidad de tiempo), por lo

que genera una línea recta inclinada, es decir, representa un Movimiento Uniforme.

La línea recta representa la velocidad de la partícula, y la pendiente de la recta define el valor

de la velocidad. La pendiente, es expresada por la razón de cambio de ∆𝑠 ∆𝑡⁄ , pudiendo ser

positiva, negativa o cero (Fig. 2.4).

La Fig. 2.5 representa las gráficas de las funciones de posición, velocidad y aceleración con

respecto al tiempo de un Movimiento Uniforme. La gráfica posición-tiempo, de la Fig, 2.5

a), representa la posición en la ordenada y el tiempo en la abscisa, y la gráfica que genera, es

una línea recta inclinada y definida por la ecuación 𝑠(𝑡) = 𝐴 + 𝐵𝑡, (que es la expresión de

una línea recta, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏) donde A es la posición inicial con valor, cuando 𝑡 = 0, y se

desplaza en dirección positiva de 𝑠, y 𝐵 es la pendiente. La gráfica posición tiempo representa

la velocidad, y ésta es constante. La gráfica velocidad-tiempo (Fig. 2.5 b), representa la

velocidad en la ordenada, y el tiempo en la abscisa, la velocidad es constante y es

representada por la línea horizontal, y al no existir cambio en la velocidad, no hay aceleración

(es decir 𝑎 = 0), por tanto la curva (representada por una recta horizontal) velocidad-tiempo

define la aceleración y la pendiente de esa línea es el valor de la aceleración. La pendiente

de la línea horizontal es cero, por tanto, el valor de la aceleración es cero. La gráfica

aceleración-tiempo (Fig. 2.5 c) ), para el Movimiento Uniforme, muestra una aceleración

nula.

2.1.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

El modelo anterior nos ayuda a analizar la familia de movimientos con velocidad constante

en línea recta. Pero en la mayoría de los movimientos, existen variaciones en la velocidad,

por lo cual se deben emplear otros modelos que analicen estos cambios en el movimiento.

En el caso anterior la aceleración es cero. En los siguientes modelos consideramos los casos

en que la aceleración tiene valor, el primero y más sencillo, es el de la aceleración constante

y el segundo cuando la aceleración es variable.

Fig. 2.3 Gráfica posición-tiempo, de

una partícula en reposo.

Fig. 2.5 Representación de una partícula con Movimiento Uniforme

(velocidad constante). a). Gráfica posición-tiempo, b). Gráfica velocidad-

tiempo, c). Gráfica aceleración-tiempo.

Fig. 2.4 Pendientes en tres puntos de

una curva con velocidad variable.

a) b)

c)

En esta clasificación son incluidos los cuerpos

en caída libre, cuando la fricción con el aire no

es importante o puede ser despreciable, así

también los objetos en planos horizontales o

inclinados. Son incluidos aquellos objetos cuya

aceleración es casi constante, en donde para

simplificar, puede ser considerada constante,

como la aceleración de una bala dentro del

cañón de un rifle o la desaceleración de un

automóvil al colisionar.

En el caso de la aceleración constante, la

aceleración promedio y la aceleración

instantánea tienen la misma magnitud, y la

velocidad cambia al mismo ritmo durante todo

el tiempo. El modelo se le conoce como

“Movimiento uniformemente acelerado”.

En este modelo lo que permanece constante

(uniforme) es la aceleración, y su representación

gráfica es una línea horizontal, (la pendiente es

cero), como muestra la Fig 2.6 c). La gráfica de

la velocidad (Fig 2.6 b)) muestra una línea recta

(ecuación de primer grado), donde la velocidad

siempre está cambiando, 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, tal como

lo hacía la posición en el modelo anterior. La

pendiente de la recta tiene valor (positivo o

negativo) constante, en caso de que la pendiente

sea cero, se trataría de un caso de velocidad

uniforme. El valor de la pendiente de la

velocidad, es el valor de la aceleración.

La posición (Fig. 2.6 a)) es siempre cambiante,

como una función directa del cuadrado del

tiempo, es decir, se trata de una ecuación de

segundo grado (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0), de ahí, que

su representación es una parábola.

Su pendiente representa la velocidad instantánea que en todo instante está cambiando, y en

cualquier punto, el valor de la pendiente es el valor de la velocidad.

Para el desarrollo de las ecuaciones, podemos partir de la aceleración promedio, y tomando

en cuenta que ésta, y la aceleración instantánea tienen la misma magnitud;

�̅� =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣 − 𝑣0

𝑡 − 𝑡0

a)

b)

c)

Fig 2.6 Representación de una partícula

con Movimiento Uniformemente

Acelerado. a) Gráfica posición-tiempo,

b) Gráfica velocidad-tiempo, c) Gráfica

aceleración-tiempo.

Si �̅� = 𝑎 y 𝑡0 = 0:

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣 − 𝑣0

𝑡 − 0

Ec. 2.14

Ecuación general de la velocidad de un objeto en función del tiempo de su trayectoria, si

conocemos su 𝑣0 y su aceleración (constante).

Para deducir la ecuación de la posición en función del tiempo cuando la aceleración es

constante, partimos de la velocidad promedio �̅�, en el intervalo de 𝑡0 = 0 hasta cualquier

tiempo posterior.

Ec. 2.15 �̅� = 𝑣 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠−𝑠0

𝑡

También podemos usar otra expresión para la velocidad promedio �̅�, pero solo, cuando la

aceleración es constante, así la velocidad media en cualquier intervalo, será la velocidad

promedio de la posición inicial y final.

Ec. 2.16 �̅� =𝑣0+𝑣

2

Sustituyendo la ecuación 2.14 en la ecuación c 2.16

�̅� =𝑣0+(𝑣0+𝑎𝑡)

2= 1

2(2𝑣0 + 𝑎𝑡)

Ec. 2.17 �̅� = 𝑣0 + 1

2𝑎𝑡

Igualando las ecuaciones 2.14 y 2.16,

𝑠 − 𝑠0

𝑡= 𝑣0 +

1

2𝑎𝑡

Ec. 2.18

Ecuación general de la posición de una partícula o de un objeto para cualquier tiempo dentro

del intervalo de análisis, iniciando en 𝑡0 = 0 y con aceleración constante.

Una relación adicional que es muy útil para analizar algunas situaciones cuando no se cuenta

con el tiempo, puede ser expresada de la siguiente forma: partiendo de la ecuación 2.14,

despejando el tiempo y sustituyéndolo en la ecuación 2.18 obtenemos:

𝑡 =𝑣 − 𝑣0

𝑎

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 (𝑣 − 𝑣0

𝑎) +

1

2𝑎 (

𝑣 − 𝑣0

𝑎)

2

trasladando 𝑠0 al término izquierdo y multiplicando por 2𝑎

Ec. 2.19

Ecuación general para la velocidad cuando no se cuenta con el tiempo.

El movimiento con velocidad constante (𝑀𝑈), es un caso especial del movimiento con

aceleración constante (𝑀𝑈𝐴), ya que 𝑣 = 𝑣𝑜 = 𝑐𝑡𝑒, por tanto, 𝑎 = 0 y las ecuaciones del

movimiento con aceleración constante se convierten en una sola para este caso,

Si los alumnos tienen bases de cálculo integral, se pueden obtener las ecuaciones del

movimiento con aceleración constante, partiendo de las ecuaciones diferenciales del

movimiento (Ec. 2.11).

Si consideramos el movimiento horizontal de una partícula de la posición inicial A, donde el

tiempo inicial es cero, a una posición B para cualquier tiempo.

𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ , 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ y 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣, y si consideramos la aceleración constante 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒;

Velocidad en función del tiempo. Iniciando con la aceleración 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ , (𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡), con

la representación de los límites de acuerdo a las condiciones iniciales y finales representadas

en la Fig 2.3.

∫ 𝑑𝑣𝑣

𝑣0

= ∫ 𝑎𝑑𝑡𝑡

0

𝑣 − 𝑣0 = 𝑎𝑡

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡

Fig. 2.7 Representación del movimiento horizontal hacia la derecha, de una

partícula con aceleración constante, y la representación de las condiciones

iniciales (A) y finales (B). El tiempo es cero al inicio.

Ec. 2.20

Ecuación general para determinar la velocidad en cualquier tiempo, si se conoce la velocidad

inicial y la aceleración (constante).

Posición en función del tiempo. Sustituyendo la ec. 2.19 en 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ ,

𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠𝑠

𝑠0

= ∫ (𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

𝑠 − 𝑠0 = 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

Ec. 2.21

Ecuación general para determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo con

aceleración constante y con las condiciones iniciales conocidas.

La velocidad en función de la posición. Utilizando la tercera ecuación diferencial del

movimiento e integrando.

∫ 𝑣𝑑𝑣𝑣

𝑣0

= ∫ 𝑎𝑑𝑠𝑠

𝑠0

𝑣2

2−

𝑣02

2= 𝑎𝑠 − 𝑎𝑠0

𝑣2 − 𝑣02 = 2(𝑎𝑠 − 𝑎𝑠0)

Ec. 2.22

Ecuación general para determinar la velocidad con aceleración constante que no incluye el

tiempo.

Movimiento relativo de dos partículas.

Los casos de varias partículas con movimientos independientes a lo largo de la misma línea,

pueden ser planteados, desarrollando ecuaciones independientes para cada partícula. De ser

posible los desplazamientos y direcciones se deben de medir desde el mismo origen y el

tiempo de registro para todos debe de ser el mismo instante inicial. Con las ecuaciones de

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

cada partícula desarrolladas, se busca una relación entre ellas. El tiempo inicial es cuando las

partículas empiezan a moverse, o el tiempo en que la primera partícula empieza a moverse

EJEMPLO 2.1

El caso típico lo ilustra la siguiente situación; un conductor, conduce su automóvil a una

velocidad constante de 80 km/h, sobrepasando el límite permitido, en ese preciso momento

un auto patrulla parado en un crucero, arranca persiguiendo al conductor del auto. Inicia su

movimiento desde el reposo con una aceleración constante de 4 m/s2. a) ¿cuánto tarda la

patrulla en dar alcance al auto? b) ¿Qué velocidad lleva el policía en ese instante? c) ¿cuál es

la distancia que habrá recorrido cada vehículo hasta ese punto?

Observaciones: consideramos el movimiento de dos partículas, el conductor infractor se

mueve a velocidad constante, por tanto le aplica el modelo de “movimiento rectilíneo

uniforme”, mientras que la patrulla se mueve con una aceleración constante, es decir se ajusta

al modelo de “movimiento uniformemente acelerado”.

Tomamos el crucero como origen común para ambos, por tanto, las posiciones y tiempos

iniciales son, 𝑠0 = 0, 𝑡0 = 0 para los dos, (cuando el auto pasa justo donde está la patrulla,

ésta inicia su movimiento) y, tomamos como dirección positiva hacia la derecha. El subíndice

𝑝 representará a la patrulla y 𝑎 al automóvil. Las velocidades iniciales son 𝑣0𝑎 = 80 𝑘/ℎ

para el auto, y la velocidad inicial para la patrulla 𝑣0𝑝 = 0; las aceleraciones son constantes

para los dos, la del automóvil 𝑎𝑎 = 0, y 𝑎𝑝 = 4 𝑚 𝑠2⁄ . Las incógnitas son en: a) el tiempo

en que la patrulla de alcance al automóvil, es decir cuando la patrulla está nuevamente

alineada con el auto (los dos están ubicados en la misma posición o coordenada). En el inciso

b) nos interesa la rapidez de la patrulla, (la rapidez es la magnitud de la velocidad) en el

tiempo del inciso a). En el inciso c) nos interesa la distancia que ha recorrido cada vehículo

hasta ese punto.

Se recomienda que antes de resolverlo se homogenicen las unidades, expresándolas

preferentemente en unidades básicas.

Fig 2.8 En las coordenadas iniciales y finales se encuentran

alineados.

Auto. Patrulla.

Condiciones iniciales. 𝑠0𝑎 = 0 𝑠0𝑝 = 0

𝑣0𝑎 = 80𝑘𝑚

ℎ= 22.22𝑚/𝑠 𝑣0𝑝 = 0

𝑡0𝑎 = 0 𝑡0𝑝 = 0

Ecuaciones 𝑣𝑎 =∆𝑠

∆𝑡 𝑣𝑝 = 𝑣0𝑝 + 𝑎𝑡

𝑠𝑎 = 𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 𝑠𝑝 = 𝑠0𝑝 + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 1

2𝑎𝑡2

Se elijen las ecuaciones que relacionan ambos movimientos, sabemos que en el momento

que la patrulla alcanza al auto, se encuentran en la misma posición o coordenada, por tanto,

lo que relaciona los movimientos de las partículas son las ecuaciones de la posición, es decir

“𝑠𝑎 = 𝑠𝑝". Igualando las ecuaciones y sustituyendo los datos conocidos.

𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 = 𝑠0𝑝 + 𝑣0𝑝𝑡 +1

2𝑎𝑡2

(22.22 𝑚 𝑠⁄ )𝑡 =1

2(4 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2

2(𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2 − 22.22(𝑚 𝑠⁄ )𝑡 = 0

Resolviendo la ecuación por cualquiera de los métodos de simultaneas o la calculadora, se

obtienen dos resultados para el tiempo (por ser una ecuación de segundo grado tiene dos

soluciones).

Resp. 𝑡1 = 0 𝑡2 = 11.11 𝑠

Existen dos coordenadas en que coinciden, en el origen y cuando la patrulla alcanza al auto.

Con este tiempo podemos determinar la velocidad de la patrulla y la distancia que nos

interesa.

Velocidad de la patrulla 𝑣𝑝 = 𝑣0𝑝 + 𝑎𝑡 = 0 + 4(𝑚 𝑠2⁄ )(11.11 𝑠)

Resp. 𝑣𝑝 = 44.44 𝑚/𝑠

Distancia recorrida por la patrulla 𝑠𝑝 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + 1

2𝑎𝑡2 =

1

2(4 𝑚 𝑠2⁄ )(11.11 𝑠)2

𝑠𝑝 = 246.86 𝑚

Distancia recorrida por el automóvil 𝑠𝑎 = 𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 = (22.22 𝑚 𝑠⁄ )(11.11 𝑠)

Resp. 𝑠𝑎 = 246.86 𝑚

Los dos vehículos se encuentran a la misma distancia del origen (misma coordenada).

Caída libre.

Dentro del modelo de movimiento uniformemente acelerado, existe un caso muy común que

puede ser tratado con las mismas ecuaciones, pero a diferencia de los casos anteriores que

son movimientos horizontales, estos son verticales. Galileo Galilei demostró en forma

notable, que todos los cuerpos independientemente de su forma, tamaño o composición, caen

con la misma aceleración, en ausencia de la fricción con el aire. Esta aceleración es

denominada aceleración en caída libre, aceleración debida a la gravedad o aceleración

gravitacional, y es denotada por el símbolo 𝑔, y siempre se dirige hacia abajo, por el efecto

de la masa de la tierra. Cerca de la superficie de la tierra la magnitud de 𝑔 es de

aproximadamente 9.81 𝑚 𝑠2⁄ . El valor de la aceleración no es constante, varía según la

altitud y la latitud, además varía por diferencias en la densidad de la corteza terrestre.

Las condiciones del modelo de caída libre, establecen que el objeto se mueve libremente bajo

la acción de la gravedad (es la única fuerza actuando sobre el cuerpo), se ignora la fricción

con el aire, y se considera que el valor de la gravedad es constante (en distancias

verticalmente cortas).

El movimiento de una partícula moviéndose verticalmente es equivalente al movimiento de

una partícula bajo aceleración constante que se mueve horizontalmente. Por esto utilizamos

las ecuaciones que ya hemos determinado previamente. El movimiento puede partir del

reposo, pero también puede ser lanzado hacia arriba o hacia abajo. La dirección del

movimiento la consideraremos positiva hacia arriba, es decir, la posición será positiva de la

referencia hacia arriba, y negativa si se encuentra por debajo de ella; si se mueve en forma

ascendente su velocidad es positiva, si se mueve descendiendo, la velocidad es negativa; y la

aceleración gravitacional es hacia abajo, por tanto, la consideramos negativa, 𝑔 =

−9.81 𝑚 𝑠2⁄ . El signo negativo indica que la aceleración de un objeto en caída libre es hacia

abajo.

EJEMPLO 2.2 Caída libre del reposo.

Fig. 2.9 Gráfica posición-tiempo. El policía y el conductor se encuentran en el

instante t donde se cruzan sus gráficas 𝑠-𝑡.

Una pelota se deja caer desde el reposo de una altura de 50 m sobre el nivel del piso. a) ¿Cuál

es su velocidad justo antes de que toque el piso? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?13.

Observaciones: ignorando la resistencia del aire, lo podemos ubicar como un movimiento

con aceleración constante, la aceleración hacia abajo con valor de 𝑔 = −9.81 𝑚 𝑠2⁄ y

considerando el movimiento hacia abajo como dirección negativa. Al ser cero la velocidad

inicial, no puede ascender, por lo tanto se dirige hacia abajo.

Condiciones iniciales: 𝑠0 = 0, 𝑣0 = 0, 𝑡0 = 0

Si tomamos como referencia el punto donde se libera la pelota, ahí estará el origen de nuestro

eje 𝑠, y la 𝑠0 = 0, el punto donde impacta en el suelo será nuestra coordenada final 𝑠 =

−50 𝑚. Existen diversas formas de plantearlo, como tomar el suelo como origen del eje, o

utilizar la aceleración como positiva, pero en nuestra resolución, usaremos siempre como

origen el punto donde inicia el movimiento y la aceleración gravitacional negativa.

La Fig. 2.10 representa en forma simple de la situación. Por

sencilla que sea, se recomienda realizar una representación que

ayude a aclarar la situación y poner a la vista la información

conocida y las incógnitas. Antes de aplicar las ecuaciones,

homogenizar las unidades, empleando las unidades básicas.

Ec. de la velocidad 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑣 = 0 + (−9.81 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡

Ec. de la posición 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + 1

2𝑎𝑡2

−50 𝑚 = 0 + 0 +1

2(−9.81 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2

Se observa que la primera ecuación tiene dos incógnitas

mientras que la segunda ecuación solo tiene una, por tanto,

resolvemos la segunda, y su resultado lo sustituimos en la primera.

Resp: 𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟗 𝒔

Resp: 𝒗 = −𝟑𝟏. 𝟑 𝒎𝒔⁄

El signo negativo indica que se mueve hacia abajo. Otra forma de resolverlo es con la Ec.

2.22 para la velocidad y posteriormente encontrar el tiempo, 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

𝑣2 = 0 + 2(−9.81 𝑚 𝑠⁄ )(−50 𝑚 − 0)

𝒗 = −𝟑𝟏. 𝟑 𝒎𝒔⁄

Cuando se tenga el resultado de una raíz (±), se deberá definir la dirección utilizando uno de

los dos signos; en este caso tomamos el signo negativo, porque su movimiento es hacia abajo.

Fig. 2.10 Condiciones

iniciales y finales.

Para determinar el tiempo usamos; 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡,

𝑡 =𝑣 − 𝑣0

𝑎=

−31.32 𝑚 𝑠⁄ − 0

−9,81 𝑚 𝑠2⁄

𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟗 𝒔

EJEMPLO 2.3 Caída libre en movimiento ascendente y descendente.

Una pelota de beis bol es lanzada hacia arriba en la luna con una velocidad inicial de 35 𝑚 𝑠⁄ .

Calcular: a) la máxima altura alcanzada por la pelota, b) el tiempo en alcanzar la altura

máxima, c) su velocidad a 30 segundos de haber sido lanzada y d) el tiempo cuando la pelota

alcanza la altura de 100 m13.

Como en el caso anterior se mueve libremente bajo la atracción gravitacional, tomando ahora

el valor de la aceleración de la luna (1.6 𝑚 𝑠2⁄ ), por tanto, se utiliza el modelo de aceleración

constante. En esta situación, la velocidad inicial es positiva, porque es lanzada hacia arriba,

y en su ascenso disminuirá progresivamente la magnitud de la

rapidez, hasta el punto más alto, donde la velocidad 𝑣 = 0, en seguida

empezará a descender con velocidad creciente, pero ahora será

negativa. La aceleración será igual que en el caso anterior, a lo largo

de toda la trayectoria. La trayectoria es una línea vertical, pero para

poder apreciar el ascenso y descenso, se representa en esa forma (no

confundir con tiro parabólico).

a) Se puede determinar directamente la altura máxima con

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

0 = (35 𝑚 𝑠⁄ )2 + 2(−1.6 𝑚 𝑠2⁄ )(𝑠 − 0)

“𝑠” es la incógnita correspondiente a la coordenada de la altura

máxima

−(35)2 = −3.2𝑠

Resp. 𝒔 = 𝟑𝟖𝟐. 𝟖 𝒎 = 0.38 𝑘𝑚

b) Tiempo en alcanzar la altura máxima 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

0 = 35 𝑚 𝑠⁄ + (−1.60 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡 𝑡 =35𝑚 𝑠⁄

1.60𝑚 𝑠2⁄

Resp. 𝒕 = 𝟐𝟏. 𝟗 𝒔

a)

c) La velocidad a los 30 s después de haber sido lanzada,

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 =35 𝑚 𝑠⁄ + (−1.60 𝑚 𝑠2⁄ )(30 𝑠)

Resp. 𝒗 = −𝟏𝟑 𝒎 𝒔⁄

El signo negativo señala que va descendiendo.

d) Se conoce la altura y podemos usar la ecuación de la

posición,

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

100 𝑚 = 0 + (35 𝑚 𝑠⁄ ) +1

2(1.60 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2

Usando la fórmula cuadrática 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Resp. 𝒕𝟏 = 𝟑. 𝟎𝟕 𝒔 𝒕𝟐 = 𝟒𝟎. 𝟕 𝒔

Nos da dos resultados ambos positivos, la interpretación es que

pasa dos veces por veces por la coordenada + 100 m, cuando

va ascendiendo (a los 3.07 s) y cuando va descendiendo (40.7

s).

Movimiento con cambios en la aceleración.

No todos los movimientos suelen comportarse como un tipo exclusivo de los modelos

planteados, sino que suelen ser analizados como una combinación de varios movimientos.

Un ejemplo puede ser un auto que inicia su movimiento en un semáforo, acelera hasta

alcanzar una velocidad constante dada y, al acercarse nuevamente a otro semáforo vuele a

detenerse hasta el reposo. El análisis se realizará segmentado el movimiento, como si fueran

tres movimientos sucesivos, es decir, considerar la aceleración como un primer movimiento,

suponiendo aceleración constante, luego le sigue el movimiento uniforme (velocidad

constante) y posteriormente el frenado, que sería considerado como una aceleración

constante. Los movimientos pueden ser en cualquier dirección, no solo la horizontal.

EJEMPLO 2.4 Variación en la aceleración.

Se dio la noticia de que una mujer había caído 144 ft desde el décimo séptimo piso de un

edificio, golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador que se aplastó 18

pulgadas. La mujer solo sufrió pequeñas lesiones. Despreciando la resistencia del aire

calcule: (a) la rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el

ventilador, (b) su desaceleración al estar en contacto con la caja y (c) el tiempo que tardó en

aplastar la caja.

El movimiento trata inicialmente de una caída libre, partiendo desde del reposo en el punto

A, como muestra la figura 2.12 a), y va adquiriendo velocidad hasta hacer contacto en el

Fig. 2.11 a) Incisos a) y b),

b) Incisos c) y d)

b)

punto B, que representaría el punto donde hace contacto con la caja del ventilador, en ese

punto tiene la máxima velocidad que adquirió en la caída libre; pero al hacer contacto con la

caja del ventilador, la mujer empieza a frenarse, hasta que llega al reposo en el punto C.

En la primera fase, entre A y B, la aceleración es la

gravitacional (𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2⁄ ), pero en la segunda, entre B y

C, la aceleración es desconocida; por tanto, son dos

movimientos diferentes, y los dos pueden ser considerados de

aceleración uniforme. Se analiza la caída libre para determinar

la velocidad final en B, y esa velocidad será la velocidad inicial

del segundo movimiento.

Movimiento A-B: (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑔)

𝑣𝐴 = 0 𝑣𝐵 =?

𝑠𝐴 = 0 𝑠𝐵 = −144 𝑓𝑡

𝑡𝐴 = 0 𝑡𝐵 =?

De las ecuaciones del MUA, solo una de ellas tiene una

incógnita, mientras las otras dos tienen dos incógnitas cada

una, por tanto, podemos utilizar la Ec. 2.22 del MUA y obtener

directamente la velocidad, o utilizar las Ecs. 2.21 y 2.20, y

encontraríamos el mismo resultado.

Con la Ec. 2.22 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

𝑣𝐵2 = 0 + 2(−32.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄ )(−144𝑓𝑡 − 0)

𝑣𝐵 = ±96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄

De ambos resultados elegimos el negativo porque se desplaza

hacia abajo.

Resp. 𝒗𝑩 = −𝟗𝟔. 𝟑 𝒇𝒕 𝒔⁄

Y será la velocidad inicial de B a C.

Movimiento B-C: (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 =? )

𝑣𝐵 = −96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ 𝑣𝐶 = 0

𝑠𝐵 = 0 𝑠𝐶 = 18 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 1.5𝑓𝑡

𝑡𝐵 = 0 𝑡𝐶 =?

De las tres ecuaciones del MUA, una de ellas (Ec 2.22) tiene una sola incógnita, las otras dos

ecuaciones tienen dos incógnitas cada una de ellas, por tanto, iniciamos con la Ec 2.22.

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0); 𝑣𝐶

2 = 𝑣𝐵2 + 2𝑎(𝑠𝐶 − 𝑠𝐵)

a)

b)

Fig. 2.12

a) Primer movimiento

𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑔.

b) Segundo movimiento

𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎.

𝑎 =𝑣𝐶

2 − 𝑣𝐵2

2(𝑠𝐶 − 𝑠𝐵)=

(−96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ )2 − (0)

2(−1.5 𝑓𝑡 − 0)

Resp. 𝒂 = 𝟑 𝟎𝟗𝟏. 𝟐 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄ = 𝟑. 𝟏 × 𝟏𝟎𝟑 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄

Ahora la Ec. 2.20 tiene solo una incógnita:

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡; 𝑣𝐶 = 𝑣𝐵 + 𝑎𝑡

𝑡 =𝑣𝐶 − 𝑣𝐵

𝑎=

0 − (−96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ )

3 091.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄

Resp. 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟑 𝒔

Análisis con empleo de cálculo.

Esta sección es un complemento, y queda a consideración del profesor la aplicación o no de

este apartado, ya que habrá grupos que no han cursado las materias de Cálculo. Los

movimientos de aceleración uniforme pueden ser analizados, utilizando directamente las

ecuaciones que se obtuvieron para el modelo de aceleración uniforme, pero también pueden

ser resueltos utilizando el proceso de cálculo. Se debe de tener presente que conocer el

movimiento de una partícula, implica conocer en todo momento su posición, velocidad y

aceleración, es decir, debemos de tener ecuaciones que definan estos parámetros, y que éstas

estén interrelacionadas. Según los conceptos básicos, la velocidad es la derivada de la

posición, y la aceleración es la derivada de la velocidad, por tanto, se identifica la información

con que se cuenta y se define si es necesario derivar o integrar. Si conocemos la ecuación de

la posición debemos derivar para encontrar la ecuación de la velocidad y la segunda derivada

nos dará la ecuación de la aceleración. Al contrario, si conocemos la ecuación o valor de la

aceleración, podremos encontrar la velocidad integrando la aceleración, y si se integra la

ecuación de la velocidad, se obtendrá la ecuación de la posición.

Ejemplo 2.5 La posición de un bote (lancha) deportivo durante el intervalo de tiempo de 𝑡 =

2𝑠 a 𝑡 = 10𝑠 está dado por 𝑠 = 4𝑡 + 1.6𝑡2 − 0.08𝑡3 m. a) Determine la velocidad y la

aceleración a los 4𝑠. b) ¿Cuál es la máxima velocidad en el intervalo de tiempo y cuándo

ocurre?

La ecuación de la posición en función del tiempo es conocida; derivando esta ecuación se

puede encontrar la ecuación de la velocidad, y derivando nuevamente (segunda derivada de

la ecuación de la posición) se obtendrá la ecuación de la aceleración.

Ec. de la posición: 𝑠 = 4𝑡 + 1.6𝑡2 − 0.08𝑡3

Ec. de la velocidad 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 4 + 3.2𝑡 − 0.24𝑡2

Ec. de la aceleración 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 3.2 − 0.48𝑡

Estas son las ecuaciones generales del movimiento del bote en función del tiempo, ahora se

puede sustituir la condición conocida, es decir 𝑡 = 4 𝑠 para encontrar la velocidad y

aceleración del bote.

Resp. 𝑣 = 4 + 3.2(4𝑠) − 0.24(4𝑠)2 = 𝟏𝟐. 𝟗𝟔 𝒎 𝒔⁄

Resp. 𝑎 = 3.2 − 0.48(4𝑠) = 𝟏. 𝟐𝟖 𝒎 𝒔𝟐⁄

En el inciso b) se desea determinar la máxima velocidad durante el intervalo de tiempo dado

y el tiempo en que ocurre. Teniendo presente que la gráfica velocidad-tiempo, muestra la

velocidad máxima cuando la pendiente de la curva es cero (es horizontal, como representa la

Fig. 2.13), y que esta curva representa la aceleración, se puede igualar la ecuación de la

aceleración a cero (𝑎 = 0) y así encontrar el tiempo en la velocidad máxima.

𝑎 = 3.2 − 0.48𝑡 = 0

Resp. 𝑡 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒔

Resp. 𝑣 = 4 + 3.2(6.67𝑠) − 0.24(6.67𝑠)2 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟕 𝒎 𝒔⁄

Ejemplo 2.6 Un auto de carreras parte del reposo y acelera a 𝑎 = 5 + 2𝑡 𝑓𝑡 𝑠2⁄ durante 10

segundos. Se aplican los frenos y el auto adquiere una aceleración constante 𝑎 = −30 𝑓𝑡 𝑠2⁄

hasta que se detiene. Determine: a) La velocidad máxima; b) La distancia total recorrida; c)

El tiempo total del recorrido.8

Este movimiento está sujeto a dos fases de aceleración diferente, en la primera fase la

aceleración es una función del tiempo y la segunda es un Movimiento con Aceleración

Uniforme (constante). Para la primera fase es necesario integrar, pero en la segunda podemos

emplear las ecuaciones del modelo de aceleración constante.

Se conoce la ecuación general de la aceleración, la cual es una función del tiempo, partiendo

de ella podemos encontrar las ecuaciones de la velocidad y posición, integrando dos veces,

y posteriormente determinar el resto de la información.

Fig. 2.13 Curva velocidad-tiempo, el punto más alto es la velocidad

máxima. La pendiente en cualquier punto de la curva es la aceleración.

Ec. general de la aceleración: 𝑎 = 5 + 2𝑡

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡; 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑣𝑣0

0

= ∫ (5 + 2𝑡)𝑡

0

𝑑𝑡 = 5 ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

+ 2 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡

0

𝑣 = 5𝑡 +2𝑡2

2

Ec. general de la velocidad: 𝑣 = 5𝑡 + 𝑡2

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡; 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠𝑠

0

= ∫ (5𝑡 + 𝑡2)𝑡

0

𝑑𝑡 = 5 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡

0

+ ∫ 𝑡2𝑑𝑡𝑡

0

Ec. general de la posición: 𝑠 =5𝑡2

2+

𝑡3

3

La velocidad máxima se alcanza a los 𝑡1 = 10 segundos; sustituyendo en la ecuación general

de la velocidad de la primera fase.

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 5𝑡 + 𝑡2 = 5(10𝑠) + (10𝑠)2

Resp. 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄

La distancia total recorrida se obtiene sumando las distancias recorridas en cada fase, para la

primera parte usamos la ecuación de la distancia determinada por integración (𝑠1), y la

segunda usamos las ecuaciones del movimiento de aceleración uniforme (𝑠2).

En la segunda fase del movimiento, la velocidad inicial será la final de la primera fase, y la

velocidad final será cero. La aceleración es 𝑎 = −30 𝑓𝑡 𝑠2⁄ .

𝑠1 =5𝑡2

2+

𝑡3

3=

5(10𝑠)2

2+

(10𝑠)3

3= 583.33 𝑓𝑡

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡; 𝑡 =𝑣−𝑣0

𝑎

𝑡2 =0 − 150 𝑓𝑡/𝑠

−30 𝑓𝑡 𝑠2⁄= 5 𝑠

𝑠2 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2; 𝑠2 = 150(5 𝑠) +

1

2(−30)(5)2 = 375 𝑓𝑡 𝑠⁄

Resp. 𝒔𝑻𝒐𝒕 = 𝑠1 + 𝑠2 = 583.33 𝑓𝑡 + 375 𝑓𝑡 = 𝟗𝟓𝟖. 𝟑 𝒇𝒕

Resp. 𝒕𝑻𝒐𝒕 = 𝑡1 + 𝑡2 = 10 𝑠 + 5 𝑠 = 𝟏𝟓 𝒔

Ejemplo 2.7 Se analiza el movimiento de un Porsche, iniciando en 𝑡 = 0. Durante los

primeros 10 segundos de su movimiento, su velocidad en 𝑘𝑚 ℎ⁄ está dada como una función

del tiempo por 𝑣 = 22.8𝑡 − 0.88𝑡2, donde 𝑡 se da en segundos. a) ¿Cuál es la aceleración

máxima del automóvil en 𝑚 𝑠2⁄ , y en qué momento ocurre? b) ¿Qué distancia en km viaja el

automóvil durante los 10 segundos?

Como primer paso se recomienda homogeneizar unidades.

22.8𝑘𝑚

ℎ(

1000𝑚

1𝑘𝑚) (

1ℎ

3600𝑠) = 6.33

𝑚

𝑠

0.88𝑘𝑚

ℎ(

1000𝑚

1𝑘𝑚) (

1ℎ

3600𝑠) = 0.244

𝑚

𝑠

La ecuación de la velocidad será: 𝑣 = 6.33𝑡 − 0.244𝑡2 𝑚 𝑠⁄

donde 𝑡 se da en segundos.

Se conoce la ecuación general de la velocidad para el movimiento, por tanto, se puede

determinar la ecuación general de la aceleración derivando y la ecuación general de la

posición, integrando.

𝑎 = 6.33 − 0.488𝑡 𝑚 𝑠2⁄

Partiendo de la ecuación diferencial de la velocidad,

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 ; 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠𝑠

0

= ∫ (6.33𝑡 − 0.244𝑡2)𝑡

0

𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑠𝑠

0

= 6.33 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡

0

− 0.244 ∫ 𝑡2𝑡

0

𝑑𝑡

𝑠 =1

2(6.33)𝑡2 −

1

30.244𝑡3

La distancia que recorre el automóvil en los primero 10 segundos es,

Resp. Distancia recorrida 𝑠 = [1

2(6.33)(10)2 −

1

3(0.244)(10)3] = 𝟐𝟑𝟓. 𝟐𝒎

La ecuación de la aceleración, es una ecuación de primer grado, por tanto, es una línea recta

inclinada con pendiente negativa como se muestra en la Fig. 2.14. Para determinar el valor

de la pendiente (constante) se deriva la aceleración.

La máxima aceleración ocurre cuando 𝑡 = 0 (Fig. 2.14), es decir, la aceleración va

decreciendo linealmente desde el valor inicial (se trata de un frenado).

Resp. Aceleración max. 𝑎 = 6.33 − 0.488(0) = 𝟔. 𝟑𝟑 𝒎 𝒔𝟐⁄

Pendiente 𝑑

𝑑𝑡𝑎 = 6.33 − 0.488𝑡 = −0.488

La derivada de la aceleración suele ser poco utilizada, y es denominada sobreaceleración,

tirón, jalón, o jerk en inglés, y es la variación de la aceleración.

2.2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO.

En el tema anterior vimos el movimiento en línea recta, ahora trataremos los movimientos

curvilíneos en el plano (bidimensional), que pueden ser tan simples como el lanzamiento de

una piedra, una pelota, o el movimiento de un automóvil en una curva, hasta las trayectorias

de satélites o planetas. La descripción del movimiento bidimensional es una generalización

del movimiento unidimensional que por aspecto práctico, fue definido como eje “s”, pero

que ahora debe de ser expresado en dos direcciones y más adelante en tres, por lo tanto entre

los sistemas de coordenadas que existen, aplicaremos las coordenadas cartesianas

rectangulares (otros sistemas de coordenadas son las polares, cilíndricas y esféricas).

En esencia el movimiento bidimensional, son dos movimientos unidimensionales que

ocurren simultáneamente y se le aplican las ecuaciones planteadas en el tema anterior, por

separado a cada uno de los movimientos. Como aplicaciones de este movimiento, se analizará

el movimiento de proyectiles y movimiento circular uniforme.

Para definir el movimiento de traslación de una partícula, necesitamos expresar los vectores

de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración en las dos direcciones 𝑥 y 𝑦.

Fig. 2.14 Gráfica aceleración-tiempo del auto

que va frenándose con una desaceleración

uniforme.

Posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.

Posición. Consideramos una partícula que se desplaza

en una trayectoria 𝑠, si definimos una referencia 𝑂,

como muestra la figura 2.15 a), entonces podemos

definir y expresar su posición utilizando un vector de

posición (𝑟). Este vector de posición cambiará en cada

momento es decir 𝑟 = 𝑟(𝑡), y variará, tanto la

magnitud como la dirección a medida que la partícula

se desplaza en su trayectoria.

Desplazamiento. Si la partícula se desplaza en su

trayectoria, una distancia ∆𝑠, como en la figura 2.15

b) en un tiempo breve ∆𝑡, entonces 𝑟 pasa a 𝑟′, es

decir, existe un desplazamiento, representado por

Ec. 2.23 ∆𝑟 = 𝑟′ − 𝑟

Al igual que en el movimiento rectilíneo, ∆𝑠 es la

distancia total recorrida en el movimiento curvilíneo,

mientras que ∆𝑟 solo es coordenada final menos la

coordenada inicial, sin importar el camino recorrido.

Velocidad. Como en el tema anterior, la velocidad

media es el cambio de la posición en el tiempo

transcurrido

Ec. 2.24 �⃗�𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑟

∆𝑡

Velocidad instantánea. Se determina de la ecuación

anterior, pero tomando intervalos de tiempo cada vez

más pequeños, tal que ∆𝑡 → 0, y por tanto 𝑑𝑟 se hace

tan pequeño que tiende a la tangente a la curva, por

tanto

Ec. 2.25 �⃗� = lim∆𝑡→0

(∆𝑟

∆𝑡) =

𝑑𝑟

∆𝑡

La velocidad instantánea es la derivada del vector de

posición con respecto al tiempo, y ésta es tangente a

la curva, por tanto, la velocidad se representa tangente

a la trayectoria y en la dirección del movimiento, tal

como lo muestra la Fig. 2.15 c).

La magnitud del vector velocidad instantánea, es

denominada rapidez, 𝑣 = |�⃗�|.

Fig. 2.15 Vectores de a)

Posición b) Desplazamiento

c) Velocidad

a)

b)

c)

Aceleración promedio e instantánea. La aceleración promedio de una partícula, se define

como el cambio en su vector velocidad entre el intervalo de tiempo ∆𝑡 en que se realiza el

cambio:

Ec. 2.26 �⃗�𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆�⃗⃗�

∆𝑡

Ec. 2.27 �⃗� = lim∆𝑡→0

(∆�⃗⃗�

∆𝑡) =

𝑑�⃗⃗�

∆𝑡

La aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. La

aceleración puede cambiar de varias formas: primero, puede variar la magnitud del vector

velocidad, como en el caso de un movimiento rectilíneo (varía la magnitud de la aceleración,

pero no la dirección), segundo caso, la dirección del vector aceleración puede cambiar, como

en el caso de movimiento circular uniforme (varía la dirección de la aceleración, pero la

magnitud permanece constante) y por último varía la magnitud y la dirección del vector

aceleración simultáneamente.

El análisis del movimiento con coordenadas cartesianas, requiere expresar los vectores en

componentes 𝑥, 𝑦 𝑧, en nuestro caso trataremos con el movimiento bidimensional. El vector

de posición se expresará así

Ec. 2.28 𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦𝑗̂

La magnitud del vector de posición la obtenemos con el teorema de Pitágoras:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

Al desplazarse la partícula, el vector de posición variará con el tiempo, es decir 𝑟 = 𝑟(𝑡), las

componentes variarán también, lo mismo será con las componentes de la velocidad. Podemos

obtener la ecuación de la velocidad utilizando las ecuaciones Ec. 2.25 y Ec. 2.28.

Ec. 2.29 �⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖̂ +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗̂ = 𝑣𝑥 �̂� + 𝑣𝑦𝑗̂

La magnitud de la velocidad será 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2

La aceleración de la partícula será la derivada de la velocidad con respecto al tiempo,

Ec. 2.30 �⃗� =𝑑�⃗⃗�

𝑑𝑡= 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂

Ec. 2.31 Magnitud de la aceleración 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2

Movimiento de proyectiles.

Un movimiento de proyectil es un movimiento en caída libre, pero a diferencia del

movimiento unidimensional, ahora se analiza en forma bidimensional, y puede ser desde un

lanzamiento de una piedra, pelota, flecha, o hasta rocas incandescentes lanzadas por un

volcán o misiles balísticos intercontinentales. Nuestro modelo o idealización de la situación,

considerará la aceleración constante (aceleración gravitacional), se despreciará el efecto de

la resistencia del aire, así como la curvatura y rotación terrestre.

El movimiento de proyectil se desarrolla en el plano vertical 𝑥𝑦, con el eje horizontal 𝑥,

positivo a la derecha, y el eje vertical 𝑦 positivo hacia arriba. La aceleración es únicamente

vertical, la gravedad solo puede acelerar verticalmente a los cuerpos, no puede acelerarlos

lateralmente. Por tanto la componente de la aceración en 𝑥 es cero, y la componente de la

aceleración en 𝑦 es −𝑔. El análisis del movimiento de un proyectil se puede estudiar como

una combinación de dos movimientos simultáneos. Un movimiento uniforme horizontal

(𝑎 = 0) y un movimiento uniformemente acelerado vertical (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒).

La figura 2.16 representa el movimiento de un

proyectil con la velocidad inicial y dos puntos

de análisis más comunes, la altura máxima y el

alcance.

Se recomienda colocar el origen de las

coordenadas en donde inicia el movimiento. Por

consiguiente, las coordenadas iniciales son 𝑥0 =

0 y 𝑦0 = 0. La posición está definida por el

vector de posición �⃗⃗�, que se dirige del origen

(0, 0) al punto que se analiza (𝑥, 𝑦). Su

representación es

𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂.

La distancia del proyectil al origen será:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

La velocidad inicial tiene componentes 𝑣0𝑥 y 𝑣0𝑦 (figura

2.17)

𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃

Las ecuaciones que se utilizan en proyectiles son las

mismas del movimiento con aceleración constante, pero

definidas para la dirección 𝑥 (movimiento horizontal),

donde 𝑎𝑥 = 0 y para la dirección 𝑦 (movimiento

vertical), donde la aceleración es 𝑎𝑦 = −𝑔. De tal forma

que 𝑠, será sustituida por 𝑥 o 𝑦, y la velocidad se definirá

como 𝑣𝑥 o 𝑣𝑦, y la velocidad inicial se deberá de expresar

como 𝑣0𝑥 o 𝑣0𝑦.

Fig. 2.16 Trayectoria del proyectil.

Fig. 2.17 Componentes

de la velocidad inicial

Aceleración constante Movimiento

Horizontal (x)

Movimiento vertical (y)

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 Ec. 2.33

𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 Ec. 2.32 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 − 1

2𝑔𝑡2 Ec. 2.34

𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂(𝒔 − 𝒔𝟎) 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦

2 = 𝑣0𝑦2 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0) Ec 2.35

La tabla 2.1 muestra las ecuaciones para el movimiento de proyectiles adaptadas del modelo

de aceleración constante. Las ecuaciones 1 y 3 del movimiento horizontal, expresan que la

velocidad horizontal, siempre es constante (𝑎𝑥 = 0).

Las ecuaciones del movimiento vertical, mantienen su estructura básica (solo se sustituyen

las expresiones para definir la dirección 𝑦), y sustituimos la aceleración (𝑎𝑦) por la

representación de la gravitacional (−𝑔).

La figura 2.18 muestra el cambio en las componentes de la velocidad, y un comparativo con

lo que sería un tiro vertical con la misma velocidad inicial en 𝑦. Como se señaló el

movimiento horizontal no tiene aceleración, por consecuencia, la componente 𝑣𝑥 no varía en

toda la trayectoria, su valor siempre es el valor de la 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑜𝑐𝑜𝑠𝜃. La componente de la

velocidad 𝑣𝑦, varía en todo momento (como lo haría en el tiro vertical mostrado en el lado

derecho de la figura), partiendo de una velocidad 𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃, asciende (su signo es

positivo), reduciendo su magnitud, hasta llegar al punto más alto, donde 𝑣𝑦 = 0, pero la

componente 𝑣𝑥 mantiene su valor. Al continuar su movimiento, empieza a descender y la 𝑣𝑦

crece en forma negativa, hasta llegar al nivel del piso de donde salió. A este nivel la magnitud

de 𝑣0 = 𝑣, la componente de 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑥 y la componente de 𝑣0𝑦 = −𝑣𝑦 es igual en magnitud,

pero diferente en signo, porque su movimiento es en sentido contrario, el ángulo con que

sale, es el mismo con que llega al final de la trayectoria, pero medido en sentido contrario

(con respecto al eje +𝑥). La figura a la derecha representa las mismas variaciones en la

componente de la velocidad que el movimiento del proyectil, comparando los puntos A, B,

C, D y E. La magnitud de la velocidad (rapidez), puede ser determinada por

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2

Y la dirección puede definirse con respecto al ángulo formado con el eje +𝑥

tan 𝜃 =𝑣𝑦

𝑣𝑥

Tabla 2.1 Ecuaciones para movimiento de proyectiles.

EJEMPLO 2.8 Cuerpo con movimiento inicial horizontal.

Un paracaidista se lanza de un avión que se desplaza horizontalmente a 150 km/h, determine

la posición, distancia desde la posición inicial y velocidad del paracaidista, 5 segundos

después de haberse lanzado (aun no abre el paracaídas). Desprecie la fricción con el aire.

Observaciones: El paracaidista puede ser analizado como un proyectil. El paracaidista lleva

la velocidad y dirección del avión, por lo que representamos su velocidad como horizontal y

su velocidad inicial es de 150 km/h. Se recomienda representar el origen del sistema de

coordenadas en el punto donde empieza el movimiento, tal como se muestra en la figura

(𝑥0 = 0 , 𝑦0 = 0).

Se recomienda antes de iniciar la resolución,

homogeneizar las unidades y representarlas

en unidades básicas.

𝑣0 = 150 𝑘𝑚 ℎ⁄ = 41.66 𝑚 𝑠⁄

Las componentes de la velocidad inicial

serán,

𝑣0𝑥 = (41.66 𝑚 𝑠)⁄ 𝑐𝑜𝑠0° = 41.66 𝑚 𝑠⁄

𝑣0𝑦 = (41.66 𝑚 𝑠⁄ )𝑠𝑒𝑛0° = 0

Sustituyendo 𝑡 = 5 𝑠, en las ecuaciones de

las coordenadas (Ecs. 2.32 y 2.34 de tabla

2.1)

Fig. 2.18 Variaciones de las componentes de la velocidad, y a la derecha, comparación

con el tiro vertical.

Fig. 2.19 En la salida horizontal, la

componente vertical de la velocidad

inicial, es cero

𝑥 = 41.66 𝑚 𝑠⁄ (5 𝑠) = 208.3 𝑚

𝑦 = −1

2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(5 𝑠)2 = −122.6 𝑚

El valor negativo para 𝑦, indica que se ubica por debajo del nivel de donde partió.

Resp. Posición a 5 segundos 𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦𝑗̂ = (208.3 𝑚)𝑖̂ − (122.6 𝑚)𝑗̂

La distancia desde el origen es 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(208.3 𝑚)2 + (−122.6 𝑚)2

Resp. 𝑟 = 𝟐𝟒𝟏. 𝟕 𝒎

La velocidad está dada por las dos componentes; sabemos que la 𝑣𝑥 no cambia, por tanto

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 41.66 𝑚 𝑠⁄

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = −9.81 𝑚 𝑠2⁄ (5 𝑠) = −49.1 𝑚 𝑠⁄

�⃗� = 𝑣𝑥 �̂� + 𝑣𝑦𝑗̂ = (41.66 𝑚 𝑠⁄ )�̂� − (49.1 𝑚 𝑠⁄ )𝑗̂

También podemos expresar la velocidad y dirección como magnitud y dirección, tal como

muestra el diagrama.

Resp. 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 = √(41.66)2 + (−49.1)2 = 64.4 𝑚 𝑠⁄

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑣𝑦

𝑣𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (

−49.1 𝑚 𝑠⁄

41.66 𝑚 𝑠⁄) = −49.7°

El ángulo negativo indica sentido horario desde el eje +𝑥.

EJEMPLO 2.9 Altura máxima y alcance de un proyectil

Una pistola que dispara una luz bengala le imprime una velocidad inicial de 125 𝑚 𝑠⁄ en un

ángulo de 55.0° sobre la horizontal. Ignore la resistencia del aire. Si la bengala se dispara,

obtenga su altura máxima y la distancia del punto de disparo al punto de caída.

La bengala es lanzada regresando al nivel de donde partió. Si la fricción con el aire es

considerada nula y la aceleración constante, entonces la trayectoria es simétrica; lo que tarda

en llegar al punto más alto es lo mismo que tarda en llegar al nivel de donde partió, la

velocidad con que salió, es la misma tiene al llegar al punto de impacto, y el ángulo será el

mismo, pero medido en sentido contrario desde el eje +𝑥.

Estableciendo el origen de las coordenadas en el punto de salida tendremos las coordenadas

iniciales (0,0). La velocidad de salida tiene valor en ambas componentes.

𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = (125 𝑚 𝑠⁄ ) cos 55.0° =

71.7 𝑚 𝑠⁄

𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 = (125 𝑚 𝑠⁄ ) sin 55.0 °

= 102.4 𝑚 𝑠⁄

Recordar que en la altura máxima 𝑣𝑦 = 0.

Encontrar la altura máxima es equivalente a

encontrar la coordenada 𝑦 = ℎ𝑚𝑎𝑥. Se puede

resolver de dos formas; primero usar las ecuaciones

2.33 y 2.34 del movimiento vertical. Sustituyendo

𝑣𝑦 = 0 en la ec. 2.33 de la tabla 2.1. La única

incógnita es 𝑡: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡

𝑡 =𝑣𝑦 − 𝑣0𝑦

−𝑔=

0 − 102.4 𝑚 𝑠⁄

−9.81 𝑚 𝑠2⁄

Tiempo en alcanzar la altura máxima: 𝑡 = 10.4 𝑠

Sustituyendo en la ec. 2.34 de la tabla 2.1

𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2 = 102.4 𝑚 𝑠⁄ (10.4 𝑠) −

1

2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(10.4 𝑠)2

Resp. Altura máxima 𝒉𝒎𝒂𝒙 = 𝒚 = 𝟓𝟑𝟒. 𝟒 𝒎

Otra forma de resolverlo, es utilizar la ec. 2.35, y despejar la incógnita 𝑦 (ℎ𝑚𝑎𝑥). En la

mayoría de los casos existe más de una forma de resolver los ejercicios.

𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦

2 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0)

𝑦 =𝑣𝑦

2 − 𝑣0𝑦2

−2(𝑔)=

0 − (102.4 𝑚 𝑠⁄ )2

−2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )= 534.4 𝑚

Para determinar el alcance o distancia horizontal recorrida, se debe considerar que el

proyectil regresa al nivel de donde partió, es decir regresa al eje 𝑥. Por tanto 𝑦 = 0.

𝑦 = 0 = 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2 = 𝑡 (𝑣0𝑦 −

1

2𝑔𝑡)

Es una ecuación cuadrática, que tiene dos resultados para t,

𝑡1 = 0 y 𝑡2 =2𝑣0𝑦

𝑔=

2(102.4𝑚 𝑠⁄ )

9.81= 20.9 𝑠

Existen dos instantes de tiempo donde 𝑦 = 0, cuando inicia el movimiento, y cuando llega

al nivel de donde partió. Con el tiempo, podemos determinar la distancia horizontal, desde el

punto de disparo, hasta el punto de impacto, es decir, la coordenada 𝑥.

𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 = (71.7 𝑚 𝑠⁄ )(20.9 𝑠)

Fig. 2.20 Altura máxima y

Alcance.

Resp. Alcance o distancia horizontal, 𝒙 = 𝟏𝟒𝟗𝟗 𝒎

Como ejercicio adicional, podemos determinar la velocidad, rapidez y dirección en el punto

de impacto. Como se señaló al inicio, estos resultados deben de coincidir con los iniciales,

excepto en signo de la 𝑣𝑦, porque ahora va hacia abajo, y el ángulo debe de ser negativo,

porque es sentido horario desde el eje +𝑥.

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 71.7 𝑚 𝑠⁄ 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡 = (102.4 𝑚 𝑠⁄ ) − (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(20.9 𝑠)

𝑣𝑦 = −102.6 𝑚 𝑠⁄

Vector velocidad �⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ = (71.7 𝑚 𝑠⁄ )�̂� − (102.6 𝑚 𝑠⁄ )𝑗̂

Magnitud 𝑣 = √(71.7 𝑚 𝑠⁄ )2 + (−102.6 𝑚 𝑠⁄ )2 = 𝟏𝟐𝟓. 𝟐 𝒎 𝒔⁄

Dirección 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑣𝑦

𝑣𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (

−102.6𝑚 𝑠⁄

71.7𝑚 𝑠⁄) = −𝟓𝟓. 𝟏°

EJEMPLO 2.10 Velocidad inicial.

Se diseña un mortero para lanzar una cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque

en zozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por el mortero. El mortero se

montará en forma tal que disparará a 45° sobre la horizontal. Si se ignora la resistencia del

aire y el peso de la cuerda en el diseño preliminar, ¿cuál debe de ser la velocidad en la salida

del mortero para alcanzar barcos a una distancia de 1 000 pies?

Como en el caso anterior el proyectil regresa al nivel de donde partió. Nos interesa la

velocidad de salida del proyectil, y tenemos la distancia en la que debe impactar, es decir

solo relacionamos el punto inicial y el punto final.

Identificar la información en esos puntos.

𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = 𝑣0 cos 45°

𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 = 𝑣0 sin 45°

Al revisar las ecuaciones, encontramos que todas

las ecuaciones, tiene al menos dos incógnitas. En

esta situación podemos recurrir a la resolución por

simultaneas.

Conociendo la coordenada 𝑥 final, se puede sustituir en la ecuación de la coordenada del

movimiento horizontal (Ec. 2.32). Tiene dos incógnitas, despejando 𝑡 en función de 𝑣0, y

sustituyendo 𝑣0𝑥

𝑥 = 𝑣𝑜𝑥𝑡 ; 𝑡 =𝑥

𝑣0 cos 𝜃

Fig. 2.21 Determinación de la

velocidad inicial.

La coordenada final, 𝑦 = 0 se puede sustituir en la ecuación del movimiento vertical (Ec.

2.34), así como también el despeje anterior de 𝑡.

𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2

0 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛 𝜃 (𝑥

𝑣0 cos 𝜃) −

1

2(𝑔) (

𝑥

𝑣0 cos 𝜃)

2

Recordar que, sin 𝜃

cos 𝜃= 𝑡𝑎𝑛𝜃, sustituyendo, y anulando 𝑣0, nos quedará solo una incógnita

(𝑣0), despejarla,

0 = 𝑥 tan 𝜃 −1

2(𝑔) (

𝑥2

𝑣02𝑐𝑜𝑠2𝜃

)

Despejando 𝑣0 y sustituyendo 𝑥 = 1 000 𝑓𝑡, 𝜃 = 45° y 𝑔 = 32.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄ ,

Resp. 𝒗𝟎 = 𝟏𝟕𝟗. 𝟒 𝒇𝒕 𝒔⁄

Movimiento circular uniforme.

Es el movimiento que posee una partícula cuando se mueve en forma circular y a velocidad

constante. Este modelo suele ser muy frecuente pues lo encontramos en casos como autos o

aviones que se mueven en círculo (o segmento de un círculo), en juegos mecánicos de las

ferias, engranes, poleas, ruedas (que giran), etc., con la condición de que lo realizan a

velocidad constante.

En la figura 2.22 se muestra una partícula en un

movimiento circular en tres posiciones, y se

representa el vector velocidad tangente a la

trayectoria en los tres puntos. La velocidad es

constante �⃗�1 = �⃗�2 = �⃗�3 = 𝑐𝑡𝑒, pero la dirección

cambia. Aunque la velocidad es constante, se trata

de un movimiento acelerado, debido al cambio en

la dirección de la velocidad, ya que el vector

velocidad puede cambiar tanto en magnitud como

en dirección. Por tanto, si cambia la dirección de la

velocidad, estamos ante un movimiento acelerado.

Fig. 2.22 Movimiento

circular uniforme.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, siempre

que exista una fuerza, existirá una aceleración; aquí

tenemos una aceleración, por lo tanto, también

debe existir una fuerza que la provoca.

La Fig. 2.23 a) muestra una partícula en

movimiento circular uniforme, que pasa de 𝑃1a 𝑃2

y gira en un círculo de radio 𝑟 que pasa de la

posición 𝑟1 a una posición 𝑟2, se obtiene un cambio

de posición de ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1, en un tiempo ∆𝑡. Los

vectores velocidad se han vuelto a dibujar, con un

origen común, en la figura 2.23 b), ∆�⃗� = �⃗�2 − �⃗�1.

El ángulo que se forma entre 𝑟1 y 𝑟2, en a), y el

ángulo que se forma entre los vectores velocidad en

b), son iguales (ya que la velocidad es

perpendicular al radio). Por tanto, el triángulo

formado por 𝑟1, 𝑟2 y ∆𝑟 y el triángulo formado por

�⃗�1, �⃗�2 y ∆�⃗� son triángulos semejantes. De esta

forma, se puede utilizar la relación de semejanza

para obtener relaciones matemáticas. El

planteamiento de la relación de correspondencia

entre las longitudes de los lados para los dos

triángulos es,

∆𝑣

𝑣=

∆𝑟

𝑟

Se podrá obtener una expresión para la aceleración si dividimos todo entre ∆𝑡,

∆𝑣

𝑣∆𝑡=

∆𝑟

𝑟∆𝑡 ;

∆𝑣

∆𝑡=

𝑣∆𝑟

𝑟∆𝑡

Teniendo presente que la velocidad media es el cambio de posición en el tiempo �̅� = ∆𝑠

∆𝑡 , esta

expresión puede ser sustituida por �̅� =∆𝑟

∆𝑡 y cuando ∆𝑡 → 0, la velocidad se vuelve

instantánea,

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑣

𝑟lim

∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=

𝑣

𝑟𝑣

Ec. 2.32 𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

La aceleración es denominada centrípeta porque se dirige hacia el centro de la trayectoria y

se representa con el subíndice 𝑐. En muchos casos es útil describir el movimiento en función

del periodo 𝑇, que puede ser expresado como el tiempo que requiere una partícula para

desarrollar una revolución completa. En el periodo, la partícula se desplaza una distancia

equivalente a la circunferencia, y por lo tanto la distancia recorrida es 2𝜋𝑟. La velocidad o

Fig. 2.23 a) El vector velocidad

cambia de dirección.

b) representación del cambio

de velocidad.

a)

b)

rapidez de traslación de la partícula, es la distancia recorrida entre el tiempo empleado en

una vuelta, y es denominada velocidad lineal o tangencial. Se puede expresar,

Ec. 2.33 𝑣 =2𝜋𝑟

𝑇

Ec. 2.34 𝑇 =2𝜋𝑟

𝑣

Sustituyendo la ecuación de velocidad 2.33 en la de aceleración centrípeta 2.32, obtenemos

una ecuación alternativa para la aceleración centrípeta cuando conocemos el periodo.

Ec. 2.35 𝑎 =𝑣2

𝑟=

(2𝜋𝑟

𝑇)

2

𝑟=

4𝜋2𝑟

𝑇2

Periodo es el tiempo en que desarrolla un ciclo o revolución y su unidad básica es el segundo.

Otro término muy práctico para la descripción del movimiento es la frecuencia, siendo la

cantidad de ciclos o revoluciones que desarrolla una partícula por unidad de tiempo. Se

representa por 𝑓 y es el inverso del periodo. Sus unidades son los hercios.

Ec. 2.36 𝑓 =1

𝑇=

1

𝑠= 𝑠−1 = 𝐻𝑧

Otras unidades para expresar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm), por hora, día,

etc.

Velocidad angular. Una revolución completa de una partícula alrededor de un círculo

corresponde a un ángulo de 2𝜋 radianes, y del producto de 2𝜋 por la frecuencia, se obtiene

la velocidad angular 𝜔 de la partícula, medida en 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑠⁄ o 𝑠−1;

Ec. 2.37 𝜔 = 2𝜋(𝑓) =2𝜋

𝑇

Combinando esta ecuación con la frecuencia

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (1

2𝜋𝑟𝑣

) =𝑣

𝑟

Ec. 2.38 𝑣 = 𝑟𝜔

Esta ecuación relaciona la velocidad angular y la rapidez de traslación conocida como

velocidad lineal o tangencial.

Utilizando la segunda ley de Newton, podemos encontrar la magnitud de la fuerza que genera

la aceleración y que mantiene a la partícula girando alrededor de un punto. La fuerza y la

aceleración son vectores y tienen la misma dirección. La fuerza es denominada también

centrípeta. Sus expresiones son;

Ec. 2.39 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚 (𝑣2

𝑟) =

𝑚4𝜋2𝑟

𝑇2

Esta fuerza centrípeta deberá identificarse, porque en ocasiones es la fuerza de gravedad,

como en el caso de un satélite en trayectoria circular uniforme o la fricción en el caso de un

automóvil en movimiento en una curva o puede ser la tensión de un cordel en el caso de una

piedra atada con una cuerda que gira a velocidad constante.

EJEMPLO 2.11 Movimiento circular uniforme.

La tierra tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en 24 horas. a) ¿Qué aceleración

centrípeta tiene un objeto en el ecuador? De su respuesta en 𝑚 𝑠2⁄ y como fracción de 𝑔. b)

Si la 𝑎𝑐 en el ecuador fuera mayor que 𝑔, los objetos saldrían volando hacia el espacio. ¿cuál

tendría que ser el periodo de rotación para que esto sucediera?1

La información que nos dan es el radio de la tierra y lo que tarda en dar una vuelta, es decir,

el periodo. Se recomienda homogeneizar las unidades, convirtiendo a unidades básicas y

utilizar notación científica.

𝑟 = 6380 𝑘𝑚 = 6.38 × 106 𝑚

𝑇 = 24 ℎ = 86 400 𝑠 = 8.64 × 104 𝑠

El inciso a) nos pide encontrar la aceleración centrípeta 𝑎𝑐 en 𝑚 𝑠2⁄ , y nos pide ese resultado

como una fracción del valor de la aceleración gravitacional (para comparar su magnitud con

𝑔). De las expresiones de la aceleración centrípeta, elegimos la Ec. 2.35, que está en función

del periodo,

𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟

𝑇2=

4𝜋2(6.38 × 106 𝑚)

(8.64 × 104 𝑠)2= 𝟎. 𝟎𝟑𝟒 𝒎 𝒔𝟐⁄

Resp. 𝑎𝑐 = 0.034 𝑚 𝑠2⁄ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟒 𝒈

El inciso b) nos pide encontrar el periodo 𝑇 para un valor de la aceleración centrípeta, en el

cuál los objetos en el ecuador saldrían volando hacia el espacio. Valores por debajo de 𝑔, se

mantendrían en la superficie, mayores de 𝑔 saldrían volando, por tanto, elegimos el valor de

𝑔 para la aceleración centrípeta.

𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟

𝑇2 𝑇 = √4𝜋2𝑟

𝑎𝑐

𝑇 = √4𝜋2(6.38 × 106 𝑚)

9.81 𝑚 𝑠2⁄= 5067 𝑠

Resp. 𝑻 = 𝟓𝟎𝟔𝟕 𝒔 = 𝟏, 𝟒 𝒉

Hipotéticamente, si la Tierra diera una vuelta en 1.4 horas, los objetos en el ecuador saldrían

volando al espacio.

EJEMPLO 2.12 Movimiento circular uniforme.

Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 3.4 m de longitud desde

el eje central hasta la punta. El modelo se gira en un túnel de viento a 550 rpm. a) ¿Qué

rapidez lineal tiene la punta del aspa en 𝑚 𝑠⁄ ?. b) ¿Qué aceleración centrípeta tiene la punta

del aspa, expresada como un múltiplo de la aceleración debida a la gravedad, es decir, 𝑔?1

Al identificar las unidades, encontramos que gira a 550 rpm, es decir, es una cantidad de

ciclos o revoluciones en una unidad de tiempo (1 minuto), por lo cual esto es frecuencia, pero

se convierte a segundos.

𝑟 = 3.4 𝑚

𝑓 = 550𝑟𝑒𝑣

𝑚𝑖𝑛= 9.17

𝑟𝑒𝑣

𝑠= 9.17 𝑠−1 = 9.17 𝐻𝑧

𝑇 =1

𝑓=

1

9.17𝑠−1= 0.109 𝑠

Aplicamos la ecuación de la velocidad (lineal o tangencial) Ec. 2.33,

Resp. 𝑣 =2𝜋(3.4 𝑚)

(0.109 𝑠)= 𝟏𝟗𝟔 𝒎 𝒔⁄

El inciso b) busca determinar la aceleración centrípeta y expresarla en función de 𝑔. Se pude

usar la Ec. 2.32, pero también se puede resolver con la Ec. 2.35,

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟=

(196 𝑚 𝑠⁄ )2

(3.4 𝑚)= 11 298. 2 𝑚 𝑠2⁄ = 1.13 × 104 𝑚 𝑠2⁄

𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟

𝑇2=

4𝜋2(3.4 𝑚)

(0.109 𝑠)2= 1.13 × 104 𝑚 𝑠2⁄

Resp. 𝒂𝒄 = 𝟏 𝟏𝟓𝟏 𝒈