CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.
En la vida diaria existe una enorme cantidad de objetos en movimiento, y otros que
aparentemente no se mueven, pero que en realidad lo hacen, ya que nuestro planeta realiza
una serie de movimientos como el de rotación y el de traslación, de tal manera que nos lleva
a concluir que todo lo que percibimos se mueve. Pero, ¿cómo describir el movimiento de un
automóvil en una autopista, una pelota de beisbol cuando es bateada, el movimiento de
traslación de los planetas, una sonda enviada a Júpiter, o el movimiento que describen las
partículas elementales en los aceleradores de partículas?, ¿cómo relacionar los movimientos
simples y los complejos?. Las respuestas relativas al estudio del movimiento las proporciona
la rama de la Física denominada Mecánica.
La Mecánica estudia las fuerzas y el movimiento, así como sus cambios o evolución en el
tiempo, y se divide en cinemática y dinámica. La cinemática describe el movimiento
matemáticamente, sin considerar las causas que lo generan, a través de los conceptos de
desplazamiento, velocidad y aceleración. La dinámica por su parte estudia también el
movimiento, pero analiza las fuerzas externas que lo generan y su resultado.
2.1.MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
Uno de los objetivos de este capítulo es describir los modelos básicos con los que se puede
analizar el movimiento, así como sus ecuaciones y desarrollos generales para analizarlo.
Entre las tres clases de movimientos; traslación (un auto desplazándose), rotatorio (el giro de
un planeta) y vibratorio (movimiento de un péndulo), nos enfocaremos en el movimiento de
traslación. Este será descrito inicialmente por medio del modelo de la partícula y en línea
recta. Hay que tener presente que los conceptos desplazamiento, velocidad y aceleración son
vectores, pero en el movimiento rectilíneo no los usamos porque es unidimensional, mientras
que en los sistemas bidimensional y tridimensional si se debe realizar. Inicialmente se
revisarán los casos donde no existe aceleración (velocidad constante), posteriormente el caso
especial de la aceleración constante y luego la aceleración variable. Al final del capítulo se
estudiará el movimiento curvilíneo, con dos casos especiales, el movimiento de proyectiles
y el movimiento circular uniforme.
Posición y Desplazamiento.
En el estudio del movimiento, es necesario ubicar en todo momento la posición de la partícula
para poder definir su trayectoria y sus cambios, por lo tanto, es necesario definir un sistema
de referencia. En el movimiento rectilíneo se requiere un solo eje, no importa si se mueve en
forma horizontal, vertical o inclinada, y debe establecerse un origen sobre él, para poder
definir sus variaciones o cambios.
CAPÍTULO 2
Si se mueve horizontalmente podría definirse como eje 𝑥, o eje 𝑦 si lo hace verticalmente, si
está entre ejes como componentes 𝑥 y 𝑦. Otra forma de hacerlo es utilizando una sola
denominación para el eje del movimiento, sin importar la dirección en que se desplace. Esto
presenta cierta simplificación porque las ecuaciones son las mismas en cualquier dirección
(no se distingue entre 𝑥 y 𝑦). Por tanto, definiremos a nuestro eje, como “eje s”. En el
movimiento bidimensional y tridimensional se requerirá expresarlo en forma vectorial (𝑥, 𝑦
y 𝑧).
La posición de una partícula estará definida por la distancia del origen al punto donde se
ubica. En la figura 2.1 (a) se representa la posición de una partícula en el eje “s” en un
movimiento horizontal, pero también puede ser representado verticalmente, como en la caída
libre de un objeto. Si la partícula p en 𝑝0 (usaremos los subíndices cero para expresar
condiciones iniciales) se mueve a ocupar la posición p (Fig. 2.1 (b)), existe un cambio, y ese
cambio se representa por ∆. El cambio en la posición es llamado desplazamiento, y tiene que
ver solo con la coordenada inicial y la coordenada final, no importa el camino que haya
seguido, por ejemplo, si un corredor realiza una carrera en una pista de 400 m, al final de la
carrera su desplazamiento será cero, porque la coordenada final y la inicial es la misma. Lo
mismo sería para el caso ejemplo de un auto de fórmula 1 en el autódromo Hermanos
Rodríguez (cd. de México), al dar una vuelta completa se diría que su desplazamiento es cero,
aunque la distancia total recorrida sería de 4 304 m. Se debe de tener presente la diferencia
entre estos dos conceptos.
Ec. 2.1 Desplazamiento ∆𝑠 = 𝑠 − 𝑠0
Las unidades básicas utilizadas son unidades de longitud, metros (m) en sistema internacional
y pies (ft) en sistema inglés. El signo será positivo si la posición final está a la derecha de la
inicial y negativo si se encuentra a la izquierda de la inicial.
Fig. 2.1 𝑎) Posición, b) Desplazamiento
Velocidad promedio, rapidez y velocidad instantánea.
El cambio en la posición puede ser muy lento o puede ser rápido, si se desea saber que tan
rápido cambia de posición, deberá medirse el tiempo que tarda en realizarlo. Dividiendo el
desplazamiento, entre el tiempo empleado, obtenemos la velocidad promedio. Su expresión
matemática será (con la barra encima):
Ec. 2.2 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = �̅� =∆𝑠
∆𝑡=
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
El signo de la velocidad está definido por la dirección del movimiento, es decir, la velocidad
será positiva si la partícula se mueve hacia la derecha, será negativo si mueve hacia la
izquierda. Las unidades, en el sistema internacional serán metros por segundo (m/s), y en el
sistema inglés pies por segundo (ft/s).
El término rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad; en ocasiones se utiliza el término
rapidez promedio, y hace referencia a la distancia total recorrida entre el tiempo total
empleado.
Ec. 2.3 [𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜] =[𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]
[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙]
Las unidades son las mismas de velocidad, y siempre es un escalar positivo.
Si el tiempo (∆𝑡) pudiera ser reducido, de tal forma que cada vez se tomaran valores más
pequeños, es decir 𝑝 se aproximaría a 𝑝0, entonces el tiempo (∆𝑡) tiende a hacerse cero, (sin
llegar a serlo) por tanto, se está tratando con una cantidad infinitesimal de tiempo, por lo que
ahora se le puede llamar, “velocidad instantánea”.
Ec. 2.4 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
Teniendo presente el concepto de derivada, se puede representar así (sin la barra encima de
la 𝑣):
Ec. 2.5 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
Aceleración promedio y aceleración instantánea.
Si consideramos los puntos 𝑝0 y 𝑝, de nuestras gráficas anteriores, y ahora suponemos que
la partícula tiene una velocidad creciente, de tal manera que la velocidad en 𝑝 es mayor que
en 𝑝0, tenemos un cambio (∆) en la velocidad, tal como sucedía con el cambio de la posición,
y lo representamos con ∆𝑣, lo cual ocurre en un tiempo ∆𝑡, como sucedió en el planteamiento
del concepto de velocidad. Si existe un cambio de velocidad, y si medimos el tiempo en que
ocurre, podemos definir la aceleración, como el cociente del cambio de velocidad entre el
cambio del tiempo, en otras palabras, es la rapidez con que cambia la velocidad.
La aceleración promedio la podemos expresar:
Ec. 2.6 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 = �̅� =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣−𝑣0
𝑡−𝑡0
La aceleración instantánea será cuando tomemos valores de ∆𝑡 cada vez más pequeños, de
tal manera que ∆𝑡 tienda a cero, tal como se señaló con la velocidad instantánea, por tanto,
se representa (la aceleración instantánea no lleva la barra encima):
Ec. 2.7 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
Ec. 2.8 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
Si tenemos presente que la velocidad es la derivada de la posición, y ahora derivamos la
velocidad, entonces la aceleración será la segunda derivada de la posición:
Ec. 2.9 𝑎 =𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
(a)
Fig. 2.2 (a)La velocidad en 𝑝 es mayor que la velocidad en 𝑝0 (𝑣0 < 𝑣). La aceleración
es positiva. (b) la velocidad en 𝑝 es menor que en 𝑝0 (𝑣0 > 𝑣). La aceleración es
negativa.
(b)
La aceleración puede ser tanto positiva como negativa. Se debe de tener presente que tanto
la aceleración como la velocidad y el desplazamiento son vectores, y se debe cuidar el sistema
de referencia y el convencionalismo de los signos.
La figura 2.2 (a) y (b) muestra una partícula que se mueve en ambos casos hacia la derecha.
En el caso (a) la magnitud de la velocidad va en aumento, es decir la velocidad en 𝑝 es mayor
que en 𝑝0 (𝑝 > 𝑝0), la aceleración será positiva; en el caso (b) la magnitud de la velocidad
disminuye, la velocidad en 𝑝 es menor que en 𝑝0 (𝑝 < 𝑝0), la aceleración es negativa, suele
llamársele desaceleración. Ejemplo, si fuera el movimiento de un auto que se desplaza hacia
la derecha, en el caso (a) acelera, y su aceleración es positiva; continúa moviéndose a la
derecha, y empieza a frenar o desacelerar (caso b), el vector aceleración cambia de dirección
y la aceleración se vuelve negativa, pero el auto sigue moviéndose a la derecha hasta
detenerse.
Si el auto se desplaza hacia la izquierda acelerando, su aceleración será negativa; si continúa
desplazándose hacia la izquierda y empieza a frenar (desacelerar), entonces el vector
aceleración cambia de dirección y se vuelve aceleración positiva, pero el auto continúa
desplazándose a la izquierda.
Las unidades de la aceleración son unidades de longitud entre unidades de tiempo al
cuadrado. En sistema internacional las unidades básicas son m/s2 y en el sistema inglés ft/s2.
Podemos obtener otra ecuación diferencial con la combinación de las ecuaciones 2.5 y 2.8,
al despejar el diferencial 𝑑𝑡 en ambas, e igualarlas. Obtenemos
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡 =𝑑𝑣
𝑎 𝑑𝑡 =
𝑑𝑠
𝑣
𝑑𝑣
𝑎=
𝑑𝑠
𝑣
Ec. 2.10 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
Estas tres ecuaciones (2.11) son conocidas como “ecuaciones diferenciales del movimiento”.
Ecs. 2.11
2.1.1. Movimiento rectilíneo uniforme.
En el análisis y resolución de problemas existen situaciones que son comunes en muchos
casos, en algunos de ellos, se observan patrones de comportamiento y resoluciones muy
parecidas. Estos problemas pueden ser agrupados en familias, y expresados como un modelo.
En Cinemática existen modelos que facilitan la explicación del comportamiento, análisis y
resolución de las diversas situaciones. Entre los modelos más simples se encuentra la
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
partícula, ya utilizada anteriormente, que nos facilita representar y analizar la situación,
sustituyendo cualquier cuerpo, ya sea un átomo o un avión por la partícula,
complementándola con la representación de la trayectoria. Además, los modelos nos ayudan,
identificando un pequeño conjunto de ecuaciones aplicables a esa situación.
El modelo de movimiento más sencillo es el de velocidad constante en línea recta
(movimiento uniforme rectilíneo). Este modelo se aplica a cualquier situación en la que un
objeto se mueva con velocidad constante. Si un objeto se mueve a velocidad constante,
entonces su velocidad instantánea es la misma que la velocidad promedio y su aceleración es
cero, porque no existe cambio en la velocidad.
Si la velocidad promedio es: �̅� =∆𝑠
∆𝑡
Si, la velocidad promedio es igual a la instantánea,
�̅� = 𝑣 =∆𝑠
∆𝑡=
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
Ec. 2.12
Por tanto, la ecuación para obtener la posición en cualquier tiempo a velocidad constante es:
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
La ecuación, señala que la posición se obtiene con la suma de la posición inicial más el
desplazamiento (𝑣𝑡). En la mayoría de los casos al inicio del intervalo de tiempo suele ser
tomado como 𝑡0 = 0 (los subíndices cero indican condiciones iniciales), por tanto,
Ec. 2.13
Las ecuaciones 2.12 y 2.13 son las ecuaciones básicas para el modelo de una partícula bajo
velocidad constante.
A través del proceso de integración se obtiene la misma ecuación; partiendo de la ecuación
2.5 (𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ ).
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠𝑠
𝑠0
= ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡
0
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
𝑣 =∆𝑠
∆𝑡
El resultado es la misma ecuación 2.13, previamente desarrollada.
Representación gráfica.
El movimiento de una partícula se puede describir con ecuaciones matemáticas, pero también
se puede representar en forma gráfica. El enfoque matemático es el más utilizado en la
resolución de problemas, dando una mayor exactitud, mientras que el gráfico muestra a la
vista, el comportamiento del movimiento en sus diferentes características (posición,
velocidad y aceleración). Para la representación gráfica de las ecuaciones elegimos un
sistema de referencia de coordenadas cartesianas, donde representamos la posición,
velocidad y aceleración en función del tiempo. La posición, velocidad y aceleración son
representados en la ordenada, mientras que el tiempo se representa en la abscisa. La Fig. 2.3
representa gráficamente una partícula en reposo, en la posición A (la posición no varía con
el paso del tiempo). En la Fig. 2.5 a), la posición está variando con el tiempo en forma
constante (la distancia recorrida, incrementa el mismo valor cada unidad de tiempo), por lo
que genera una línea recta inclinada, es decir, representa un Movimiento Uniforme.
La línea recta representa la velocidad de la partícula, y la pendiente de la recta define el valor
de la velocidad. La pendiente, es expresada por la razón de cambio de ∆𝑠 ∆𝑡⁄ , pudiendo ser
positiva, negativa o cero (Fig. 2.4).
La Fig. 2.5 representa las gráficas de las funciones de posición, velocidad y aceleración con
respecto al tiempo de un Movimiento Uniforme. La gráfica posición-tiempo, de la Fig, 2.5
a), representa la posición en la ordenada y el tiempo en la abscisa, y la gráfica que genera, es
una línea recta inclinada y definida por la ecuación 𝑠(𝑡) = 𝐴 + 𝐵𝑡, (que es la expresión de
una línea recta, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏) donde A es la posición inicial con valor, cuando 𝑡 = 0, y se
desplaza en dirección positiva de 𝑠, y 𝐵 es la pendiente. La gráfica posición tiempo representa
la velocidad, y ésta es constante. La gráfica velocidad-tiempo (Fig. 2.5 b), representa la
velocidad en la ordenada, y el tiempo en la abscisa, la velocidad es constante y es
representada por la línea horizontal, y al no existir cambio en la velocidad, no hay aceleración
(es decir 𝑎 = 0), por tanto la curva (representada por una recta horizontal) velocidad-tiempo
define la aceleración y la pendiente de esa línea es el valor de la aceleración. La pendiente
de la línea horizontal es cero, por tanto, el valor de la aceleración es cero. La gráfica
aceleración-tiempo (Fig. 2.5 c) ), para el Movimiento Uniforme, muestra una aceleración
nula.
2.1.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
El modelo anterior nos ayuda a analizar la familia de movimientos con velocidad constante
en línea recta. Pero en la mayoría de los movimientos, existen variaciones en la velocidad,
por lo cual se deben emplear otros modelos que analicen estos cambios en el movimiento.
En el caso anterior la aceleración es cero. En los siguientes modelos consideramos los casos
en que la aceleración tiene valor, el primero y más sencillo, es el de la aceleración constante
y el segundo cuando la aceleración es variable.
Fig. 2.3 Gráfica posición-tiempo, de
una partícula en reposo.
Fig. 2.5 Representación de una partícula con Movimiento Uniforme
(velocidad constante). a). Gráfica posición-tiempo, b). Gráfica velocidad-
tiempo, c). Gráfica aceleración-tiempo.
Fig. 2.4 Pendientes en tres puntos de
una curva con velocidad variable.
a) b)
c)
En esta clasificación son incluidos los cuerpos
en caída libre, cuando la fricción con el aire no
es importante o puede ser despreciable, así
también los objetos en planos horizontales o
inclinados. Son incluidos aquellos objetos cuya
aceleración es casi constante, en donde para
simplificar, puede ser considerada constante,
como la aceleración de una bala dentro del
cañón de un rifle o la desaceleración de un
automóvil al colisionar.
En el caso de la aceleración constante, la
aceleración promedio y la aceleración
instantánea tienen la misma magnitud, y la
velocidad cambia al mismo ritmo durante todo
el tiempo. El modelo se le conoce como
“Movimiento uniformemente acelerado”.
En este modelo lo que permanece constante
(uniforme) es la aceleración, y su representación
gráfica es una línea horizontal, (la pendiente es
cero), como muestra la Fig 2.6 c). La gráfica de
la velocidad (Fig 2.6 b)) muestra una línea recta
(ecuación de primer grado), donde la velocidad
siempre está cambiando, 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, tal como
lo hacía la posición en el modelo anterior. La
pendiente de la recta tiene valor (positivo o
negativo) constante, en caso de que la pendiente
sea cero, se trataría de un caso de velocidad
uniforme. El valor de la pendiente de la
velocidad, es el valor de la aceleración.
La posición (Fig. 2.6 a)) es siempre cambiante,
como una función directa del cuadrado del
tiempo, es decir, se trata de una ecuación de
segundo grado (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0), de ahí, que
su representación es una parábola.
Su pendiente representa la velocidad instantánea que en todo instante está cambiando, y en
cualquier punto, el valor de la pendiente es el valor de la velocidad.
Para el desarrollo de las ecuaciones, podemos partir de la aceleración promedio, y tomando
en cuenta que ésta, y la aceleración instantánea tienen la misma magnitud;
�̅� =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
a)
b)
c)
Fig 2.6 Representación de una partícula
con Movimiento Uniformemente
Acelerado. a) Gráfica posición-tiempo,
b) Gráfica velocidad-tiempo, c) Gráfica
aceleración-tiempo.
Si �̅� = 𝑎 y 𝑡0 = 0:
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 0
Ec. 2.14
Ecuación general de la velocidad de un objeto en función del tiempo de su trayectoria, si
conocemos su 𝑣0 y su aceleración (constante).
Para deducir la ecuación de la posición en función del tiempo cuando la aceleración es
constante, partimos de la velocidad promedio �̅�, en el intervalo de 𝑡0 = 0 hasta cualquier
tiempo posterior.
Ec. 2.15 �̅� = 𝑣 =∆𝑠
∆𝑡=
𝑠−𝑠0
𝑡
También podemos usar otra expresión para la velocidad promedio �̅�, pero solo, cuando la
aceleración es constante, así la velocidad media en cualquier intervalo, será la velocidad
promedio de la posición inicial y final.
Ec. 2.16 �̅� =𝑣0+𝑣
2
Sustituyendo la ecuación 2.14 en la ecuación c 2.16
�̅� =𝑣0+(𝑣0+𝑎𝑡)
2= 1
2(2𝑣0 + 𝑎𝑡)
Ec. 2.17 �̅� = 𝑣0 + 1
2𝑎𝑡
Igualando las ecuaciones 2.14 y 2.16,
𝑠 − 𝑠0
𝑡= 𝑣0 +
1
2𝑎𝑡
Ec. 2.18
Ecuación general de la posición de una partícula o de un objeto para cualquier tiempo dentro
del intervalo de análisis, iniciando en 𝑡0 = 0 y con aceleración constante.
Una relación adicional que es muy útil para analizar algunas situaciones cuando no se cuenta
con el tiempo, puede ser expresada de la siguiente forma: partiendo de la ecuación 2.14,
despejando el tiempo y sustituyéndolo en la ecuación 2.18 obtenemos:
𝑡 =𝑣 − 𝑣0
𝑎
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 (𝑣 − 𝑣0
𝑎) +
1
2𝑎 (
𝑣 − 𝑣0
𝑎)
2
trasladando 𝑠0 al término izquierdo y multiplicando por 2𝑎
Ec. 2.19
Ecuación general para la velocidad cuando no se cuenta con el tiempo.
El movimiento con velocidad constante (𝑀𝑈), es un caso especial del movimiento con
aceleración constante (𝑀𝑈𝐴), ya que 𝑣 = 𝑣𝑜 = 𝑐𝑡𝑒, por tanto, 𝑎 = 0 y las ecuaciones del
movimiento con aceleración constante se convierten en una sola para este caso,
Si los alumnos tienen bases de cálculo integral, se pueden obtener las ecuaciones del
movimiento con aceleración constante, partiendo de las ecuaciones diferenciales del
movimiento (Ec. 2.11).
Si consideramos el movimiento horizontal de una partícula de la posición inicial A, donde el
tiempo inicial es cero, a una posición B para cualquier tiempo.
𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ , 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ y 𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣, y si consideramos la aceleración constante 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒;
Velocidad en función del tiempo. Iniciando con la aceleración 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ , (𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡), con
la representación de los límites de acuerdo a las condiciones iniciales y finales representadas
en la Fig 2.3.
∫ 𝑑𝑣𝑣
𝑣0
= ∫ 𝑎𝑑𝑡𝑡
0
𝑣 − 𝑣0 = 𝑎𝑡
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
Fig. 2.7 Representación del movimiento horizontal hacia la derecha, de una
partícula con aceleración constante, y la representación de las condiciones
iniciales (A) y finales (B). El tiempo es cero al inicio.
Ec. 2.20
Ecuación general para determinar la velocidad en cualquier tiempo, si se conoce la velocidad
inicial y la aceleración (constante).
Posición en función del tiempo. Sustituyendo la ec. 2.19 en 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ ,
𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠𝑠
𝑠0
= ∫ (𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡𝑡
0
𝑠 − 𝑠0 = 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
Ec. 2.21
Ecuación general para determinar la posición de la partícula en cualquier tiempo con
aceleración constante y con las condiciones iniciales conocidas.
La velocidad en función de la posición. Utilizando la tercera ecuación diferencial del
movimiento e integrando.
∫ 𝑣𝑑𝑣𝑣
𝑣0
= ∫ 𝑎𝑑𝑠𝑠
𝑠0
𝑣2
2−
𝑣02
2= 𝑎𝑠 − 𝑎𝑠0
𝑣2 − 𝑣02 = 2(𝑎𝑠 − 𝑎𝑠0)
Ec. 2.22
Ecuación general para determinar la velocidad con aceleración constante que no incluye el
tiempo.
Movimiento relativo de dos partículas.
Los casos de varias partículas con movimientos independientes a lo largo de la misma línea,
pueden ser planteados, desarrollando ecuaciones independientes para cada partícula. De ser
posible los desplazamientos y direcciones se deben de medir desde el mismo origen y el
tiempo de registro para todos debe de ser el mismo instante inicial. Con las ecuaciones de
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
cada partícula desarrolladas, se busca una relación entre ellas. El tiempo inicial es cuando las
partículas empiezan a moverse, o el tiempo en que la primera partícula empieza a moverse
EJEMPLO 2.1
El caso típico lo ilustra la siguiente situación; un conductor, conduce su automóvil a una
velocidad constante de 80 km/h, sobrepasando el límite permitido, en ese preciso momento
un auto patrulla parado en un crucero, arranca persiguiendo al conductor del auto. Inicia su
movimiento desde el reposo con una aceleración constante de 4 m/s2. a) ¿cuánto tarda la
patrulla en dar alcance al auto? b) ¿Qué velocidad lleva el policía en ese instante? c) ¿cuál es
la distancia que habrá recorrido cada vehículo hasta ese punto?
Observaciones: consideramos el movimiento de dos partículas, el conductor infractor se
mueve a velocidad constante, por tanto le aplica el modelo de “movimiento rectilíneo
uniforme”, mientras que la patrulla se mueve con una aceleración constante, es decir se ajusta
al modelo de “movimiento uniformemente acelerado”.
Tomamos el crucero como origen común para ambos, por tanto, las posiciones y tiempos
iniciales son, 𝑠0 = 0, 𝑡0 = 0 para los dos, (cuando el auto pasa justo donde está la patrulla,
ésta inicia su movimiento) y, tomamos como dirección positiva hacia la derecha. El subíndice
𝑝 representará a la patrulla y 𝑎 al automóvil. Las velocidades iniciales son 𝑣0𝑎 = 80 𝑘/ℎ
para el auto, y la velocidad inicial para la patrulla 𝑣0𝑝 = 0; las aceleraciones son constantes
para los dos, la del automóvil 𝑎𝑎 = 0, y 𝑎𝑝 = 4 𝑚 𝑠2⁄ . Las incógnitas son en: a) el tiempo
en que la patrulla de alcance al automóvil, es decir cuando la patrulla está nuevamente
alineada con el auto (los dos están ubicados en la misma posición o coordenada). En el inciso
b) nos interesa la rapidez de la patrulla, (la rapidez es la magnitud de la velocidad) en el
tiempo del inciso a). En el inciso c) nos interesa la distancia que ha recorrido cada vehículo
hasta ese punto.
Se recomienda que antes de resolverlo se homogenicen las unidades, expresándolas
preferentemente en unidades básicas.
Fig 2.8 En las coordenadas iniciales y finales se encuentran
alineados.
Auto. Patrulla.
Condiciones iniciales. 𝑠0𝑎 = 0 𝑠0𝑝 = 0
𝑣0𝑎 = 80𝑘𝑚
ℎ= 22.22𝑚/𝑠 𝑣0𝑝 = 0
𝑡0𝑎 = 0 𝑡0𝑝 = 0
Ecuaciones 𝑣𝑎 =∆𝑠
∆𝑡 𝑣𝑝 = 𝑣0𝑝 + 𝑎𝑡
𝑠𝑎 = 𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 𝑠𝑝 = 𝑠0𝑝 + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 1
2𝑎𝑡2
Se elijen las ecuaciones que relacionan ambos movimientos, sabemos que en el momento
que la patrulla alcanza al auto, se encuentran en la misma posición o coordenada, por tanto,
lo que relaciona los movimientos de las partículas son las ecuaciones de la posición, es decir
“𝑠𝑎 = 𝑠𝑝". Igualando las ecuaciones y sustituyendo los datos conocidos.
𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 = 𝑠0𝑝 + 𝑣0𝑝𝑡 +1
2𝑎𝑡2
(22.22 𝑚 𝑠⁄ )𝑡 =1
2(4 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2
2(𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2 − 22.22(𝑚 𝑠⁄ )𝑡 = 0
Resolviendo la ecuación por cualquiera de los métodos de simultaneas o la calculadora, se
obtienen dos resultados para el tiempo (por ser una ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones).
Resp. 𝑡1 = 0 𝑡2 = 11.11 𝑠
Existen dos coordenadas en que coinciden, en el origen y cuando la patrulla alcanza al auto.
Con este tiempo podemos determinar la velocidad de la patrulla y la distancia que nos
interesa.
Velocidad de la patrulla 𝑣𝑝 = 𝑣0𝑝 + 𝑎𝑡 = 0 + 4(𝑚 𝑠2⁄ )(11.11 𝑠)
Resp. 𝑣𝑝 = 44.44 𝑚/𝑠
Distancia recorrida por la patrulla 𝑠𝑝 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + 1
2𝑎𝑡2 =
1
2(4 𝑚 𝑠2⁄ )(11.11 𝑠)2
𝑠𝑝 = 246.86 𝑚
Distancia recorrida por el automóvil 𝑠𝑎 = 𝑠0𝑎 + 𝑣0𝑡 = (22.22 𝑚 𝑠⁄ )(11.11 𝑠)
Resp. 𝑠𝑎 = 246.86 𝑚
Los dos vehículos se encuentran a la misma distancia del origen (misma coordenada).
Caída libre.
Dentro del modelo de movimiento uniformemente acelerado, existe un caso muy común que
puede ser tratado con las mismas ecuaciones, pero a diferencia de los casos anteriores que
son movimientos horizontales, estos son verticales. Galileo Galilei demostró en forma
notable, que todos los cuerpos independientemente de su forma, tamaño o composición, caen
con la misma aceleración, en ausencia de la fricción con el aire. Esta aceleración es
denominada aceleración en caída libre, aceleración debida a la gravedad o aceleración
gravitacional, y es denotada por el símbolo 𝑔, y siempre se dirige hacia abajo, por el efecto
de la masa de la tierra. Cerca de la superficie de la tierra la magnitud de 𝑔 es de
aproximadamente 9.81 𝑚 𝑠2⁄ . El valor de la aceleración no es constante, varía según la
altitud y la latitud, además varía por diferencias en la densidad de la corteza terrestre.
Las condiciones del modelo de caída libre, establecen que el objeto se mueve libremente bajo
la acción de la gravedad (es la única fuerza actuando sobre el cuerpo), se ignora la fricción
con el aire, y se considera que el valor de la gravedad es constante (en distancias
verticalmente cortas).
El movimiento de una partícula moviéndose verticalmente es equivalente al movimiento de
una partícula bajo aceleración constante que se mueve horizontalmente. Por esto utilizamos
las ecuaciones que ya hemos determinado previamente. El movimiento puede partir del
reposo, pero también puede ser lanzado hacia arriba o hacia abajo. La dirección del
movimiento la consideraremos positiva hacia arriba, es decir, la posición será positiva de la
referencia hacia arriba, y negativa si se encuentra por debajo de ella; si se mueve en forma
ascendente su velocidad es positiva, si se mueve descendiendo, la velocidad es negativa; y la
aceleración gravitacional es hacia abajo, por tanto, la consideramos negativa, 𝑔 =
−9.81 𝑚 𝑠2⁄ . El signo negativo indica que la aceleración de un objeto en caída libre es hacia
abajo.
EJEMPLO 2.2 Caída libre del reposo.
Fig. 2.9 Gráfica posición-tiempo. El policía y el conductor se encuentran en el
instante t donde se cruzan sus gráficas 𝑠-𝑡.
Una pelota se deja caer desde el reposo de una altura de 50 m sobre el nivel del piso. a) ¿Cuál
es su velocidad justo antes de que toque el piso? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?13.
Observaciones: ignorando la resistencia del aire, lo podemos ubicar como un movimiento
con aceleración constante, la aceleración hacia abajo con valor de 𝑔 = −9.81 𝑚 𝑠2⁄ y
considerando el movimiento hacia abajo como dirección negativa. Al ser cero la velocidad
inicial, no puede ascender, por lo tanto se dirige hacia abajo.
Condiciones iniciales: 𝑠0 = 0, 𝑣0 = 0, 𝑡0 = 0
Si tomamos como referencia el punto donde se libera la pelota, ahí estará el origen de nuestro
eje 𝑠, y la 𝑠0 = 0, el punto donde impacta en el suelo será nuestra coordenada final 𝑠 =
−50 𝑚. Existen diversas formas de plantearlo, como tomar el suelo como origen del eje, o
utilizar la aceleración como positiva, pero en nuestra resolución, usaremos siempre como
origen el punto donde inicia el movimiento y la aceleración gravitacional negativa.
La Fig. 2.10 representa en forma simple de la situación. Por
sencilla que sea, se recomienda realizar una representación que
ayude a aclarar la situación y poner a la vista la información
conocida y las incógnitas. Antes de aplicar las ecuaciones,
homogenizar las unidades, empleando las unidades básicas.
Ec. de la velocidad 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣 = 0 + (−9.81 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡
Ec. de la posición 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + 1
2𝑎𝑡2
−50 𝑚 = 0 + 0 +1
2(−9.81 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2
Se observa que la primera ecuación tiene dos incógnitas
mientras que la segunda ecuación solo tiene una, por tanto,
resolvemos la segunda, y su resultado lo sustituimos en la primera.
Resp: 𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟗 𝒔
Resp: 𝒗 = −𝟑𝟏. 𝟑 𝒎𝒔⁄
El signo negativo indica que se mueve hacia abajo. Otra forma de resolverlo es con la Ec.
2.22 para la velocidad y posteriormente encontrar el tiempo, 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
𝑣2 = 0 + 2(−9.81 𝑚 𝑠⁄ )(−50 𝑚 − 0)
𝒗 = −𝟑𝟏. 𝟑 𝒎𝒔⁄
Cuando se tenga el resultado de una raíz (±), se deberá definir la dirección utilizando uno de
los dos signos; en este caso tomamos el signo negativo, porque su movimiento es hacia abajo.
Fig. 2.10 Condiciones
iniciales y finales.
Para determinar el tiempo usamos; 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡,
𝑡 =𝑣 − 𝑣0
𝑎=
−31.32 𝑚 𝑠⁄ − 0
−9,81 𝑚 𝑠2⁄
𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟗 𝒔
EJEMPLO 2.3 Caída libre en movimiento ascendente y descendente.
Una pelota de beis bol es lanzada hacia arriba en la luna con una velocidad inicial de 35 𝑚 𝑠⁄ .
Calcular: a) la máxima altura alcanzada por la pelota, b) el tiempo en alcanzar la altura
máxima, c) su velocidad a 30 segundos de haber sido lanzada y d) el tiempo cuando la pelota
alcanza la altura de 100 m13.
Como en el caso anterior se mueve libremente bajo la atracción gravitacional, tomando ahora
el valor de la aceleración de la luna (1.6 𝑚 𝑠2⁄ ), por tanto, se utiliza el modelo de aceleración
constante. En esta situación, la velocidad inicial es positiva, porque es lanzada hacia arriba,
y en su ascenso disminuirá progresivamente la magnitud de la
rapidez, hasta el punto más alto, donde la velocidad 𝑣 = 0, en seguida
empezará a descender con velocidad creciente, pero ahora será
negativa. La aceleración será igual que en el caso anterior, a lo largo
de toda la trayectoria. La trayectoria es una línea vertical, pero para
poder apreciar el ascenso y descenso, se representa en esa forma (no
confundir con tiro parabólico).
a) Se puede determinar directamente la altura máxima con
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
0 = (35 𝑚 𝑠⁄ )2 + 2(−1.6 𝑚 𝑠2⁄ )(𝑠 − 0)
“𝑠” es la incógnita correspondiente a la coordenada de la altura
máxima
−(35)2 = −3.2𝑠
Resp. 𝒔 = 𝟑𝟖𝟐. 𝟖 𝒎 = 0.38 𝑘𝑚
b) Tiempo en alcanzar la altura máxima 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
0 = 35 𝑚 𝑠⁄ + (−1.60 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡 𝑡 =35𝑚 𝑠⁄
1.60𝑚 𝑠2⁄
Resp. 𝒕 = 𝟐𝟏. 𝟗 𝒔
a)
c) La velocidad a los 30 s después de haber sido lanzada,
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 =35 𝑚 𝑠⁄ + (−1.60 𝑚 𝑠2⁄ )(30 𝑠)
Resp. 𝒗 = −𝟏𝟑 𝒎 𝒔⁄
El signo negativo señala que va descendiendo.
d) Se conoce la altura y podemos usar la ecuación de la
posición,
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2
100 𝑚 = 0 + (35 𝑚 𝑠⁄ ) +1
2(1.60 𝑚 𝑠2⁄ )𝑡2
Usando la fórmula cuadrática 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Resp. 𝒕𝟏 = 𝟑. 𝟎𝟕 𝒔 𝒕𝟐 = 𝟒𝟎. 𝟕 𝒔
Nos da dos resultados ambos positivos, la interpretación es que
pasa dos veces por veces por la coordenada + 100 m, cuando
va ascendiendo (a los 3.07 s) y cuando va descendiendo (40.7
s).
Movimiento con cambios en la aceleración.
No todos los movimientos suelen comportarse como un tipo exclusivo de los modelos
planteados, sino que suelen ser analizados como una combinación de varios movimientos.
Un ejemplo puede ser un auto que inicia su movimiento en un semáforo, acelera hasta
alcanzar una velocidad constante dada y, al acercarse nuevamente a otro semáforo vuele a
detenerse hasta el reposo. El análisis se realizará segmentado el movimiento, como si fueran
tres movimientos sucesivos, es decir, considerar la aceleración como un primer movimiento,
suponiendo aceleración constante, luego le sigue el movimiento uniforme (velocidad
constante) y posteriormente el frenado, que sería considerado como una aceleración
constante. Los movimientos pueden ser en cualquier dirección, no solo la horizontal.
EJEMPLO 2.4 Variación en la aceleración.
Se dio la noticia de que una mujer había caído 144 ft desde el décimo séptimo piso de un
edificio, golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador que se aplastó 18
pulgadas. La mujer solo sufrió pequeñas lesiones. Despreciando la resistencia del aire
calcule: (a) la rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el
ventilador, (b) su desaceleración al estar en contacto con la caja y (c) el tiempo que tardó en
aplastar la caja.
El movimiento trata inicialmente de una caída libre, partiendo desde del reposo en el punto
A, como muestra la figura 2.12 a), y va adquiriendo velocidad hasta hacer contacto en el
Fig. 2.11 a) Incisos a) y b),
b) Incisos c) y d)
b)
punto B, que representaría el punto donde hace contacto con la caja del ventilador, en ese
punto tiene la máxima velocidad que adquirió en la caída libre; pero al hacer contacto con la
caja del ventilador, la mujer empieza a frenarse, hasta que llega al reposo en el punto C.
En la primera fase, entre A y B, la aceleración es la
gravitacional (𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2⁄ ), pero en la segunda, entre B y
C, la aceleración es desconocida; por tanto, son dos
movimientos diferentes, y los dos pueden ser considerados de
aceleración uniforme. Se analiza la caída libre para determinar
la velocidad final en B, y esa velocidad será la velocidad inicial
del segundo movimiento.
Movimiento A-B: (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑔)
𝑣𝐴 = 0 𝑣𝐵 =?
𝑠𝐴 = 0 𝑠𝐵 = −144 𝑓𝑡
𝑡𝐴 = 0 𝑡𝐵 =?
De las ecuaciones del MUA, solo una de ellas tiene una
incógnita, mientras las otras dos tienen dos incógnitas cada
una, por tanto, podemos utilizar la Ec. 2.22 del MUA y obtener
directamente la velocidad, o utilizar las Ecs. 2.21 y 2.20, y
encontraríamos el mismo resultado.
Con la Ec. 2.22 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
𝑣𝐵2 = 0 + 2(−32.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄ )(−144𝑓𝑡 − 0)
𝑣𝐵 = ±96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄
De ambos resultados elegimos el negativo porque se desplaza
hacia abajo.
Resp. 𝒗𝑩 = −𝟗𝟔. 𝟑 𝒇𝒕 𝒔⁄
Y será la velocidad inicial de B a C.
Movimiento B-C: (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 =? )
𝑣𝐵 = −96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ 𝑣𝐶 = 0
𝑠𝐵 = 0 𝑠𝐶 = 18 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 1.5𝑓𝑡
𝑡𝐵 = 0 𝑡𝐶 =?
De las tres ecuaciones del MUA, una de ellas (Ec 2.22) tiene una sola incógnita, las otras dos
ecuaciones tienen dos incógnitas cada una de ellas, por tanto, iniciamos con la Ec 2.22.
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0); 𝑣𝐶
2 = 𝑣𝐵2 + 2𝑎(𝑠𝐶 − 𝑠𝐵)
a)
b)
Fig. 2.12
a) Primer movimiento
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑔.
b) Segundo movimiento
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎.
𝑎 =𝑣𝐶
2 − 𝑣𝐵2
2(𝑠𝐶 − 𝑠𝐵)=
(−96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ )2 − (0)
2(−1.5 𝑓𝑡 − 0)
Resp. 𝒂 = 𝟑 𝟎𝟗𝟏. 𝟐 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄ = 𝟑. 𝟏 × 𝟏𝟎𝟑 𝒇𝒕 𝒔𝟐⁄
Ahora la Ec. 2.20 tiene solo una incógnita:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡; 𝑣𝐶 = 𝑣𝐵 + 𝑎𝑡
𝑡 =𝑣𝐶 − 𝑣𝐵
𝑎=
0 − (−96.3 𝑓𝑡 𝑠⁄ )
3 091.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄
Resp. 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟑 𝒔
Análisis con empleo de cálculo.
Esta sección es un complemento, y queda a consideración del profesor la aplicación o no de
este apartado, ya que habrá grupos que no han cursado las materias de Cálculo. Los
movimientos de aceleración uniforme pueden ser analizados, utilizando directamente las
ecuaciones que se obtuvieron para el modelo de aceleración uniforme, pero también pueden
ser resueltos utilizando el proceso de cálculo. Se debe de tener presente que conocer el
movimiento de una partícula, implica conocer en todo momento su posición, velocidad y
aceleración, es decir, debemos de tener ecuaciones que definan estos parámetros, y que éstas
estén interrelacionadas. Según los conceptos básicos, la velocidad es la derivada de la
posición, y la aceleración es la derivada de la velocidad, por tanto, se identifica la información
con que se cuenta y se define si es necesario derivar o integrar. Si conocemos la ecuación de
la posición debemos derivar para encontrar la ecuación de la velocidad y la segunda derivada
nos dará la ecuación de la aceleración. Al contrario, si conocemos la ecuación o valor de la
aceleración, podremos encontrar la velocidad integrando la aceleración, y si se integra la
ecuación de la velocidad, se obtendrá la ecuación de la posición.
Ejemplo 2.5 La posición de un bote (lancha) deportivo durante el intervalo de tiempo de 𝑡 =
2𝑠 a 𝑡 = 10𝑠 está dado por 𝑠 = 4𝑡 + 1.6𝑡2 − 0.08𝑡3 m. a) Determine la velocidad y la
aceleración a los 4𝑠. b) ¿Cuál es la máxima velocidad en el intervalo de tiempo y cuándo
ocurre?
La ecuación de la posición en función del tiempo es conocida; derivando esta ecuación se
puede encontrar la ecuación de la velocidad, y derivando nuevamente (segunda derivada de
la ecuación de la posición) se obtendrá la ecuación de la aceleración.
Ec. de la posición: 𝑠 = 4𝑡 + 1.6𝑡2 − 0.08𝑡3
Ec. de la velocidad 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡= 4 + 3.2𝑡 − 0.24𝑡2
Ec. de la aceleración 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡= 3.2 − 0.48𝑡
Estas son las ecuaciones generales del movimiento del bote en función del tiempo, ahora se
puede sustituir la condición conocida, es decir 𝑡 = 4 𝑠 para encontrar la velocidad y
aceleración del bote.
Resp. 𝑣 = 4 + 3.2(4𝑠) − 0.24(4𝑠)2 = 𝟏𝟐. 𝟗𝟔 𝒎 𝒔⁄
Resp. 𝑎 = 3.2 − 0.48(4𝑠) = 𝟏. 𝟐𝟖 𝒎 𝒔𝟐⁄
En el inciso b) se desea determinar la máxima velocidad durante el intervalo de tiempo dado
y el tiempo en que ocurre. Teniendo presente que la gráfica velocidad-tiempo, muestra la
velocidad máxima cuando la pendiente de la curva es cero (es horizontal, como representa la
Fig. 2.13), y que esta curva representa la aceleración, se puede igualar la ecuación de la
aceleración a cero (𝑎 = 0) y así encontrar el tiempo en la velocidad máxima.
𝑎 = 3.2 − 0.48𝑡 = 0
Resp. 𝑡 = 𝟔. 𝟔𝟕 𝒔
Resp. 𝑣 = 4 + 3.2(6.67𝑠) − 0.24(6.67𝑠)2 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟕 𝒎 𝒔⁄
Ejemplo 2.6 Un auto de carreras parte del reposo y acelera a 𝑎 = 5 + 2𝑡 𝑓𝑡 𝑠2⁄ durante 10
segundos. Se aplican los frenos y el auto adquiere una aceleración constante 𝑎 = −30 𝑓𝑡 𝑠2⁄
hasta que se detiene. Determine: a) La velocidad máxima; b) La distancia total recorrida; c)
El tiempo total del recorrido.8
Este movimiento está sujeto a dos fases de aceleración diferente, en la primera fase la
aceleración es una función del tiempo y la segunda es un Movimiento con Aceleración
Uniforme (constante). Para la primera fase es necesario integrar, pero en la segunda podemos
emplear las ecuaciones del modelo de aceleración constante.
Se conoce la ecuación general de la aceleración, la cual es una función del tiempo, partiendo
de ella podemos encontrar las ecuaciones de la velocidad y posición, integrando dos veces,
y posteriormente determinar el resto de la información.
Fig. 2.13 Curva velocidad-tiempo, el punto más alto es la velocidad
máxima. La pendiente en cualquier punto de la curva es la aceleración.
Ec. general de la aceleración: 𝑎 = 5 + 2𝑡
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡; 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑣𝑣0
0
= ∫ (5 + 2𝑡)𝑡
0
𝑑𝑡 = 5 ∫ 𝑑𝑡𝑡
0
+ 2 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡
0
𝑣 = 5𝑡 +2𝑡2
2
Ec. general de la velocidad: 𝑣 = 5𝑡 + 𝑡2
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡; 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠𝑠
0
= ∫ (5𝑡 + 𝑡2)𝑡
0
𝑑𝑡 = 5 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡
0
+ ∫ 𝑡2𝑑𝑡𝑡
0
Ec. general de la posición: 𝑠 =5𝑡2
2+
𝑡3
3
La velocidad máxima se alcanza a los 𝑡1 = 10 segundos; sustituyendo en la ecuación general
de la velocidad de la primera fase.
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 5𝑡 + 𝑡2 = 5(10𝑠) + (10𝑠)2
Resp. 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓𝟎 𝒇𝒕 𝒔⁄
La distancia total recorrida se obtiene sumando las distancias recorridas en cada fase, para la
primera parte usamos la ecuación de la distancia determinada por integración (𝑠1), y la
segunda usamos las ecuaciones del movimiento de aceleración uniforme (𝑠2).
En la segunda fase del movimiento, la velocidad inicial será la final de la primera fase, y la
velocidad final será cero. La aceleración es 𝑎 = −30 𝑓𝑡 𝑠2⁄ .
𝑠1 =5𝑡2
2+
𝑡3
3=
5(10𝑠)2
2+
(10𝑠)3
3= 583.33 𝑓𝑡
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡; 𝑡 =𝑣−𝑣0
𝑎
𝑡2 =0 − 150 𝑓𝑡/𝑠
−30 𝑓𝑡 𝑠2⁄= 5 𝑠
𝑠2 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +1
2𝑎𝑡2; 𝑠2 = 150(5 𝑠) +
1
2(−30)(5)2 = 375 𝑓𝑡 𝑠⁄
Resp. 𝒔𝑻𝒐𝒕 = 𝑠1 + 𝑠2 = 583.33 𝑓𝑡 + 375 𝑓𝑡 = 𝟗𝟓𝟖. 𝟑 𝒇𝒕
Resp. 𝒕𝑻𝒐𝒕 = 𝑡1 + 𝑡2 = 10 𝑠 + 5 𝑠 = 𝟏𝟓 𝒔
Ejemplo 2.7 Se analiza el movimiento de un Porsche, iniciando en 𝑡 = 0. Durante los
primeros 10 segundos de su movimiento, su velocidad en 𝑘𝑚 ℎ⁄ está dada como una función
del tiempo por 𝑣 = 22.8𝑡 − 0.88𝑡2, donde 𝑡 se da en segundos. a) ¿Cuál es la aceleración
máxima del automóvil en 𝑚 𝑠2⁄ , y en qué momento ocurre? b) ¿Qué distancia en km viaja el
automóvil durante los 10 segundos?
Como primer paso se recomienda homogeneizar unidades.
22.8𝑘𝑚
ℎ(
1000𝑚
1𝑘𝑚) (
1ℎ
3600𝑠) = 6.33
𝑚
𝑠
0.88𝑘𝑚
ℎ(
1000𝑚
1𝑘𝑚) (
1ℎ
3600𝑠) = 0.244
𝑚
𝑠
La ecuación de la velocidad será: 𝑣 = 6.33𝑡 − 0.244𝑡2 𝑚 𝑠⁄
donde 𝑡 se da en segundos.
Se conoce la ecuación general de la velocidad para el movimiento, por tanto, se puede
determinar la ecuación general de la aceleración derivando y la ecuación general de la
posición, integrando.
𝑎 = 6.33 − 0.488𝑡 𝑚 𝑠2⁄
Partiendo de la ecuación diferencial de la velocidad,
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 ; 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠𝑠
0
= ∫ (6.33𝑡 − 0.244𝑡2)𝑡
0
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠𝑠
0
= 6.33 ∫ 𝑡𝑑𝑡𝑡
0
− 0.244 ∫ 𝑡2𝑡
0
𝑑𝑡
𝑠 =1
2(6.33)𝑡2 −
1
30.244𝑡3
La distancia que recorre el automóvil en los primero 10 segundos es,
Resp. Distancia recorrida 𝑠 = [1
2(6.33)(10)2 −
1
3(0.244)(10)3] = 𝟐𝟑𝟓. 𝟐𝒎
La ecuación de la aceleración, es una ecuación de primer grado, por tanto, es una línea recta
inclinada con pendiente negativa como se muestra en la Fig. 2.14. Para determinar el valor
de la pendiente (constante) se deriva la aceleración.
La máxima aceleración ocurre cuando 𝑡 = 0 (Fig. 2.14), es decir, la aceleración va
decreciendo linealmente desde el valor inicial (se trata de un frenado).
Resp. Aceleración max. 𝑎 = 6.33 − 0.488(0) = 𝟔. 𝟑𝟑 𝒎 𝒔𝟐⁄
Pendiente 𝑑
𝑑𝑡𝑎 = 6.33 − 0.488𝑡 = −0.488
La derivada de la aceleración suele ser poco utilizada, y es denominada sobreaceleración,
tirón, jalón, o jerk en inglés, y es la variación de la aceleración.
2.2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO.
En el tema anterior vimos el movimiento en línea recta, ahora trataremos los movimientos
curvilíneos en el plano (bidimensional), que pueden ser tan simples como el lanzamiento de
una piedra, una pelota, o el movimiento de un automóvil en una curva, hasta las trayectorias
de satélites o planetas. La descripción del movimiento bidimensional es una generalización
del movimiento unidimensional que por aspecto práctico, fue definido como eje “s”, pero
que ahora debe de ser expresado en dos direcciones y más adelante en tres, por lo tanto entre
los sistemas de coordenadas que existen, aplicaremos las coordenadas cartesianas
rectangulares (otros sistemas de coordenadas son las polares, cilíndricas y esféricas).
En esencia el movimiento bidimensional, son dos movimientos unidimensionales que
ocurren simultáneamente y se le aplican las ecuaciones planteadas en el tema anterior, por
separado a cada uno de los movimientos. Como aplicaciones de este movimiento, se analizará
el movimiento de proyectiles y movimiento circular uniforme.
Para definir el movimiento de traslación de una partícula, necesitamos expresar los vectores
de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración en las dos direcciones 𝑥 y 𝑦.
Fig. 2.14 Gráfica aceleración-tiempo del auto
que va frenándose con una desaceleración
uniforme.
Posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.
Posición. Consideramos una partícula que se desplaza
en una trayectoria 𝑠, si definimos una referencia 𝑂,
como muestra la figura 2.15 a), entonces podemos
definir y expresar su posición utilizando un vector de
posición (𝑟). Este vector de posición cambiará en cada
momento es decir 𝑟 = 𝑟(𝑡), y variará, tanto la
magnitud como la dirección a medida que la partícula
se desplaza en su trayectoria.
Desplazamiento. Si la partícula se desplaza en su
trayectoria, una distancia ∆𝑠, como en la figura 2.15
b) en un tiempo breve ∆𝑡, entonces 𝑟 pasa a 𝑟′, es
decir, existe un desplazamiento, representado por
Ec. 2.23 ∆𝑟 = 𝑟′ − 𝑟
Al igual que en el movimiento rectilíneo, ∆𝑠 es la
distancia total recorrida en el movimiento curvilíneo,
mientras que ∆𝑟 solo es coordenada final menos la
coordenada inicial, sin importar el camino recorrido.
Velocidad. Como en el tema anterior, la velocidad
media es el cambio de la posición en el tiempo
transcurrido
Ec. 2.24 �⃗�𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑟
∆𝑡
Velocidad instantánea. Se determina de la ecuación
anterior, pero tomando intervalos de tiempo cada vez
más pequeños, tal que ∆𝑡 → 0, y por tanto 𝑑𝑟 se hace
tan pequeño que tiende a la tangente a la curva, por
tanto
Ec. 2.25 �⃗� = lim∆𝑡→0
(∆𝑟
∆𝑡) =
𝑑𝑟
∆𝑡
La velocidad instantánea es la derivada del vector de
posición con respecto al tiempo, y ésta es tangente a
la curva, por tanto, la velocidad se representa tangente
a la trayectoria y en la dirección del movimiento, tal
como lo muestra la Fig. 2.15 c).
La magnitud del vector velocidad instantánea, es
denominada rapidez, 𝑣 = |�⃗�|.
Fig. 2.15 Vectores de a)
Posición b) Desplazamiento
c) Velocidad
a)
b)
c)
Aceleración promedio e instantánea. La aceleración promedio de una partícula, se define
como el cambio en su vector velocidad entre el intervalo de tiempo ∆𝑡 en que se realiza el
cambio:
Ec. 2.26 �⃗�𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆�⃗⃗�
∆𝑡
Ec. 2.27 �⃗� = lim∆𝑡→0
(∆�⃗⃗�
∆𝑡) =
𝑑�⃗⃗�
∆𝑡
La aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. La
aceleración puede cambiar de varias formas: primero, puede variar la magnitud del vector
velocidad, como en el caso de un movimiento rectilíneo (varía la magnitud de la aceleración,
pero no la dirección), segundo caso, la dirección del vector aceleración puede cambiar, como
en el caso de movimiento circular uniforme (varía la dirección de la aceleración, pero la
magnitud permanece constante) y por último varía la magnitud y la dirección del vector
aceleración simultáneamente.
El análisis del movimiento con coordenadas cartesianas, requiere expresar los vectores en
componentes 𝑥, 𝑦 𝑧, en nuestro caso trataremos con el movimiento bidimensional. El vector
de posición se expresará así
Ec. 2.28 𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦𝑗̂
La magnitud del vector de posición la obtenemos con el teorema de Pitágoras:
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
Al desplazarse la partícula, el vector de posición variará con el tiempo, es decir 𝑟 = 𝑟(𝑡), las
componentes variarán también, lo mismo será con las componentes de la velocidad. Podemos
obtener la ecuación de la velocidad utilizando las ecuaciones Ec. 2.25 y Ec. 2.28.
Ec. 2.29 �⃗� =𝑑𝑟
𝑑𝑡=
𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑖̂ +
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑗̂ = 𝑣𝑥 �̂� + 𝑣𝑦𝑗̂
La magnitud de la velocidad será 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2
La aceleración de la partícula será la derivada de la velocidad con respecto al tiempo,
Ec. 2.30 �⃗� =𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡= 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂
Ec. 2.31 Magnitud de la aceleración 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2
Movimiento de proyectiles.
Un movimiento de proyectil es un movimiento en caída libre, pero a diferencia del
movimiento unidimensional, ahora se analiza en forma bidimensional, y puede ser desde un
lanzamiento de una piedra, pelota, flecha, o hasta rocas incandescentes lanzadas por un
volcán o misiles balísticos intercontinentales. Nuestro modelo o idealización de la situación,
considerará la aceleración constante (aceleración gravitacional), se despreciará el efecto de
la resistencia del aire, así como la curvatura y rotación terrestre.
El movimiento de proyectil se desarrolla en el plano vertical 𝑥𝑦, con el eje horizontal 𝑥,
positivo a la derecha, y el eje vertical 𝑦 positivo hacia arriba. La aceleración es únicamente
vertical, la gravedad solo puede acelerar verticalmente a los cuerpos, no puede acelerarlos
lateralmente. Por tanto la componente de la aceración en 𝑥 es cero, y la componente de la
aceleración en 𝑦 es −𝑔. El análisis del movimiento de un proyectil se puede estudiar como
una combinación de dos movimientos simultáneos. Un movimiento uniforme horizontal
(𝑎 = 0) y un movimiento uniformemente acelerado vertical (𝑎 = 𝑐𝑡𝑒).
La figura 2.16 representa el movimiento de un
proyectil con la velocidad inicial y dos puntos
de análisis más comunes, la altura máxima y el
alcance.
Se recomienda colocar el origen de las
coordenadas en donde inicia el movimiento. Por
consiguiente, las coordenadas iniciales son 𝑥0 =
0 y 𝑦0 = 0. La posición está definida por el
vector de posición �⃗⃗�, que se dirige del origen
(0, 0) al punto que se analiza (𝑥, 𝑦). Su
representación es
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂.
La distancia del proyectil al origen será:
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
La velocidad inicial tiene componentes 𝑣0𝑥 y 𝑣0𝑦 (figura
2.17)
𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃
Las ecuaciones que se utilizan en proyectiles son las
mismas del movimiento con aceleración constante, pero
definidas para la dirección 𝑥 (movimiento horizontal),
donde 𝑎𝑥 = 0 y para la dirección 𝑦 (movimiento
vertical), donde la aceleración es 𝑎𝑦 = −𝑔. De tal forma
que 𝑠, será sustituida por 𝑥 o 𝑦, y la velocidad se definirá
como 𝑣𝑥 o 𝑣𝑦, y la velocidad inicial se deberá de expresar
como 𝑣0𝑥 o 𝑣0𝑦.
Fig. 2.16 Trayectoria del proyectil.
Fig. 2.17 Componentes
de la velocidad inicial
Aceleración constante Movimiento
Horizontal (x)
Movimiento vertical (y)
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 Ec. 2.33
𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏
𝟐𝒂𝒕𝟐 𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 Ec. 2.32 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 − 1
2𝑔𝑡2 Ec. 2.34
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂(𝒔 − 𝒔𝟎) 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦2 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0) Ec 2.35
La tabla 2.1 muestra las ecuaciones para el movimiento de proyectiles adaptadas del modelo
de aceleración constante. Las ecuaciones 1 y 3 del movimiento horizontal, expresan que la
velocidad horizontal, siempre es constante (𝑎𝑥 = 0).
Las ecuaciones del movimiento vertical, mantienen su estructura básica (solo se sustituyen
las expresiones para definir la dirección 𝑦), y sustituimos la aceleración (𝑎𝑦) por la
representación de la gravitacional (−𝑔).
La figura 2.18 muestra el cambio en las componentes de la velocidad, y un comparativo con
lo que sería un tiro vertical con la misma velocidad inicial en 𝑦. Como se señaló el
movimiento horizontal no tiene aceleración, por consecuencia, la componente 𝑣𝑥 no varía en
toda la trayectoria, su valor siempre es el valor de la 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑜𝑐𝑜𝑠𝜃. La componente de la
velocidad 𝑣𝑦, varía en todo momento (como lo haría en el tiro vertical mostrado en el lado
derecho de la figura), partiendo de una velocidad 𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃, asciende (su signo es
positivo), reduciendo su magnitud, hasta llegar al punto más alto, donde 𝑣𝑦 = 0, pero la
componente 𝑣𝑥 mantiene su valor. Al continuar su movimiento, empieza a descender y la 𝑣𝑦
crece en forma negativa, hasta llegar al nivel del piso de donde salió. A este nivel la magnitud
de 𝑣0 = 𝑣, la componente de 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑥 y la componente de 𝑣0𝑦 = −𝑣𝑦 es igual en magnitud,
pero diferente en signo, porque su movimiento es en sentido contrario, el ángulo con que
sale, es el mismo con que llega al final de la trayectoria, pero medido en sentido contrario
(con respecto al eje +𝑥). La figura a la derecha representa las mismas variaciones en la
componente de la velocidad que el movimiento del proyectil, comparando los puntos A, B,
C, D y E. La magnitud de la velocidad (rapidez), puede ser determinada por
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2
Y la dirección puede definirse con respecto al ángulo formado con el eje +𝑥
tan 𝜃 =𝑣𝑦
𝑣𝑥
Tabla 2.1 Ecuaciones para movimiento de proyectiles.
EJEMPLO 2.8 Cuerpo con movimiento inicial horizontal.
Un paracaidista se lanza de un avión que se desplaza horizontalmente a 150 km/h, determine
la posición, distancia desde la posición inicial y velocidad del paracaidista, 5 segundos
después de haberse lanzado (aun no abre el paracaídas). Desprecie la fricción con el aire.
Observaciones: El paracaidista puede ser analizado como un proyectil. El paracaidista lleva
la velocidad y dirección del avión, por lo que representamos su velocidad como horizontal y
su velocidad inicial es de 150 km/h. Se recomienda representar el origen del sistema de
coordenadas en el punto donde empieza el movimiento, tal como se muestra en la figura
(𝑥0 = 0 , 𝑦0 = 0).
Se recomienda antes de iniciar la resolución,
homogeneizar las unidades y representarlas
en unidades básicas.
𝑣0 = 150 𝑘𝑚 ℎ⁄ = 41.66 𝑚 𝑠⁄
Las componentes de la velocidad inicial
serán,
𝑣0𝑥 = (41.66 𝑚 𝑠)⁄ 𝑐𝑜𝑠0° = 41.66 𝑚 𝑠⁄
𝑣0𝑦 = (41.66 𝑚 𝑠⁄ )𝑠𝑒𝑛0° = 0
Sustituyendo 𝑡 = 5 𝑠, en las ecuaciones de
las coordenadas (Ecs. 2.32 y 2.34 de tabla
2.1)
Fig. 2.18 Variaciones de las componentes de la velocidad, y a la derecha, comparación
con el tiro vertical.
Fig. 2.19 En la salida horizontal, la
componente vertical de la velocidad
inicial, es cero
𝑥 = 41.66 𝑚 𝑠⁄ (5 𝑠) = 208.3 𝑚
𝑦 = −1
2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(5 𝑠)2 = −122.6 𝑚
El valor negativo para 𝑦, indica que se ubica por debajo del nivel de donde partió.
Resp. Posición a 5 segundos 𝑟 = 𝑥�̂� + 𝑦𝑗̂ = (208.3 𝑚)𝑖̂ − (122.6 𝑚)𝑗̂
La distancia desde el origen es 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(208.3 𝑚)2 + (−122.6 𝑚)2
Resp. 𝑟 = 𝟐𝟒𝟏. 𝟕 𝒎
La velocidad está dada por las dos componentes; sabemos que la 𝑣𝑥 no cambia, por tanto
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 41.66 𝑚 𝑠⁄
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = −9.81 𝑚 𝑠2⁄ (5 𝑠) = −49.1 𝑚 𝑠⁄
�⃗� = 𝑣𝑥 �̂� + 𝑣𝑦𝑗̂ = (41.66 𝑚 𝑠⁄ )�̂� − (49.1 𝑚 𝑠⁄ )𝑗̂
También podemos expresar la velocidad y dirección como magnitud y dirección, tal como
muestra el diagrama.
Resp. 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2 = √(41.66)2 + (−49.1)2 = 64.4 𝑚 𝑠⁄
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑣𝑦
𝑣𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−49.1 𝑚 𝑠⁄
41.66 𝑚 𝑠⁄) = −49.7°
El ángulo negativo indica sentido horario desde el eje +𝑥.
EJEMPLO 2.9 Altura máxima y alcance de un proyectil
Una pistola que dispara una luz bengala le imprime una velocidad inicial de 125 𝑚 𝑠⁄ en un
ángulo de 55.0° sobre la horizontal. Ignore la resistencia del aire. Si la bengala se dispara,
obtenga su altura máxima y la distancia del punto de disparo al punto de caída.
La bengala es lanzada regresando al nivel de donde partió. Si la fricción con el aire es
considerada nula y la aceleración constante, entonces la trayectoria es simétrica; lo que tarda
en llegar al punto más alto es lo mismo que tarda en llegar al nivel de donde partió, la
velocidad con que salió, es la misma tiene al llegar al punto de impacto, y el ángulo será el
mismo, pero medido en sentido contrario desde el eje +𝑥.
Estableciendo el origen de las coordenadas en el punto de salida tendremos las coordenadas
iniciales (0,0). La velocidad de salida tiene valor en ambas componentes.
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = (125 𝑚 𝑠⁄ ) cos 55.0° =
71.7 𝑚 𝑠⁄
𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 = (125 𝑚 𝑠⁄ ) sin 55.0 °
= 102.4 𝑚 𝑠⁄
Recordar que en la altura máxima 𝑣𝑦 = 0.
Encontrar la altura máxima es equivalente a
encontrar la coordenada 𝑦 = ℎ𝑚𝑎𝑥. Se puede
resolver de dos formas; primero usar las ecuaciones
2.33 y 2.34 del movimiento vertical. Sustituyendo
𝑣𝑦 = 0 en la ec. 2.33 de la tabla 2.1. La única
incógnita es 𝑡: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
𝑡 =𝑣𝑦 − 𝑣0𝑦
−𝑔=
0 − 102.4 𝑚 𝑠⁄
−9.81 𝑚 𝑠2⁄
Tiempo en alcanzar la altura máxima: 𝑡 = 10.4 𝑠
Sustituyendo en la ec. 2.34 de la tabla 2.1
𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2 = 102.4 𝑚 𝑠⁄ (10.4 𝑠) −
1
2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(10.4 𝑠)2
Resp. Altura máxima 𝒉𝒎𝒂𝒙 = 𝒚 = 𝟓𝟑𝟒. 𝟒 𝒎
Otra forma de resolverlo, es utilizar la ec. 2.35, y despejar la incógnita 𝑦 (ℎ𝑚𝑎𝑥). En la
mayoría de los casos existe más de una forma de resolver los ejercicios.
𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦
2 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0)
𝑦 =𝑣𝑦
2 − 𝑣0𝑦2
−2(𝑔)=
0 − (102.4 𝑚 𝑠⁄ )2
−2(9.81 𝑚 𝑠2⁄ )= 534.4 𝑚
Para determinar el alcance o distancia horizontal recorrida, se debe considerar que el
proyectil regresa al nivel de donde partió, es decir regresa al eje 𝑥. Por tanto 𝑦 = 0.
𝑦 = 0 = 𝑣0𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2 = 𝑡 (𝑣0𝑦 −
1
2𝑔𝑡)
Es una ecuación cuadrática, que tiene dos resultados para t,
𝑡1 = 0 y 𝑡2 =2𝑣0𝑦
𝑔=
2(102.4𝑚 𝑠⁄ )
9.81= 20.9 𝑠
Existen dos instantes de tiempo donde 𝑦 = 0, cuando inicia el movimiento, y cuando llega
al nivel de donde partió. Con el tiempo, podemos determinar la distancia horizontal, desde el
punto de disparo, hasta el punto de impacto, es decir, la coordenada 𝑥.
𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 = (71.7 𝑚 𝑠⁄ )(20.9 𝑠)
Fig. 2.20 Altura máxima y
Alcance.
Resp. Alcance o distancia horizontal, 𝒙 = 𝟏𝟒𝟗𝟗 𝒎
Como ejercicio adicional, podemos determinar la velocidad, rapidez y dirección en el punto
de impacto. Como se señaló al inicio, estos resultados deben de coincidir con los iniciales,
excepto en signo de la 𝑣𝑦, porque ahora va hacia abajo, y el ángulo debe de ser negativo,
porque es sentido horario desde el eje +𝑥.
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 71.7 𝑚 𝑠⁄ 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡 = (102.4 𝑚 𝑠⁄ ) − (9.81 𝑚 𝑠2⁄ )(20.9 𝑠)
𝑣𝑦 = −102.6 𝑚 𝑠⁄
Vector velocidad �⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ = (71.7 𝑚 𝑠⁄ )�̂� − (102.6 𝑚 𝑠⁄ )𝑗̂
Magnitud 𝑣 = √(71.7 𝑚 𝑠⁄ )2 + (−102.6 𝑚 𝑠⁄ )2 = 𝟏𝟐𝟓. 𝟐 𝒎 𝒔⁄
Dirección 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑣𝑦
𝑣𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−102.6𝑚 𝑠⁄
71.7𝑚 𝑠⁄) = −𝟓𝟓. 𝟏°
EJEMPLO 2.10 Velocidad inicial.
Se diseña un mortero para lanzar una cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque
en zozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por el mortero. El mortero se
montará en forma tal que disparará a 45° sobre la horizontal. Si se ignora la resistencia del
aire y el peso de la cuerda en el diseño preliminar, ¿cuál debe de ser la velocidad en la salida
del mortero para alcanzar barcos a una distancia de 1 000 pies?
Como en el caso anterior el proyectil regresa al nivel de donde partió. Nos interesa la
velocidad de salida del proyectil, y tenemos la distancia en la que debe impactar, es decir
solo relacionamos el punto inicial y el punto final.
Identificar la información en esos puntos.
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = 𝑣0 cos 45°
𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 = 𝑣0 sin 45°
Al revisar las ecuaciones, encontramos que todas
las ecuaciones, tiene al menos dos incógnitas. En
esta situación podemos recurrir a la resolución por
simultaneas.
Conociendo la coordenada 𝑥 final, se puede sustituir en la ecuación de la coordenada del
movimiento horizontal (Ec. 2.32). Tiene dos incógnitas, despejando 𝑡 en función de 𝑣0, y
sustituyendo 𝑣0𝑥
𝑥 = 𝑣𝑜𝑥𝑡 ; 𝑡 =𝑥
𝑣0 cos 𝜃
Fig. 2.21 Determinación de la
velocidad inicial.
La coordenada final, 𝑦 = 0 se puede sustituir en la ecuación del movimiento vertical (Ec.
2.34), así como también el despeje anterior de 𝑡.
𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2
0 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛 𝜃 (𝑥
𝑣0 cos 𝜃) −
1
2(𝑔) (
𝑥
𝑣0 cos 𝜃)
2
Recordar que, sin 𝜃
cos 𝜃= 𝑡𝑎𝑛𝜃, sustituyendo, y anulando 𝑣0, nos quedará solo una incógnita
(𝑣0), despejarla,
0 = 𝑥 tan 𝜃 −1
2(𝑔) (
𝑥2
𝑣02𝑐𝑜𝑠2𝜃
)
Despejando 𝑣0 y sustituyendo 𝑥 = 1 000 𝑓𝑡, 𝜃 = 45° y 𝑔 = 32.2 𝑓𝑡 𝑠2⁄ ,
Resp. 𝒗𝟎 = 𝟏𝟕𝟗. 𝟒 𝒇𝒕 𝒔⁄
Movimiento circular uniforme.
Es el movimiento que posee una partícula cuando se mueve en forma circular y a velocidad
constante. Este modelo suele ser muy frecuente pues lo encontramos en casos como autos o
aviones que se mueven en círculo (o segmento de un círculo), en juegos mecánicos de las
ferias, engranes, poleas, ruedas (que giran), etc., con la condición de que lo realizan a
velocidad constante.
En la figura 2.22 se muestra una partícula en un
movimiento circular en tres posiciones, y se
representa el vector velocidad tangente a la
trayectoria en los tres puntos. La velocidad es
constante �⃗�1 = �⃗�2 = �⃗�3 = 𝑐𝑡𝑒, pero la dirección
cambia. Aunque la velocidad es constante, se trata
de un movimiento acelerado, debido al cambio en
la dirección de la velocidad, ya que el vector
velocidad puede cambiar tanto en magnitud como
en dirección. Por tanto, si cambia la dirección de la
velocidad, estamos ante un movimiento acelerado.
Fig. 2.22 Movimiento
circular uniforme.
De acuerdo a la segunda ley de Newton, siempre
que exista una fuerza, existirá una aceleración; aquí
tenemos una aceleración, por lo tanto, también
debe existir una fuerza que la provoca.
La Fig. 2.23 a) muestra una partícula en
movimiento circular uniforme, que pasa de 𝑃1a 𝑃2
y gira en un círculo de radio 𝑟 que pasa de la
posición 𝑟1 a una posición 𝑟2, se obtiene un cambio
de posición de ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1, en un tiempo ∆𝑡. Los
vectores velocidad se han vuelto a dibujar, con un
origen común, en la figura 2.23 b), ∆�⃗� = �⃗�2 − �⃗�1.
El ángulo que se forma entre 𝑟1 y 𝑟2, en a), y el
ángulo que se forma entre los vectores velocidad en
b), son iguales (ya que la velocidad es
perpendicular al radio). Por tanto, el triángulo
formado por 𝑟1, 𝑟2 y ∆𝑟 y el triángulo formado por
�⃗�1, �⃗�2 y ∆�⃗� son triángulos semejantes. De esta
forma, se puede utilizar la relación de semejanza
para obtener relaciones matemáticas. El
planteamiento de la relación de correspondencia
entre las longitudes de los lados para los dos
triángulos es,
∆𝑣
𝑣=
∆𝑟
𝑟
Se podrá obtener una expresión para la aceleración si dividimos todo entre ∆𝑡,
∆𝑣
𝑣∆𝑡=
∆𝑟
𝑟∆𝑡 ;
∆𝑣
∆𝑡=
𝑣∆𝑟
𝑟∆𝑡
Teniendo presente que la velocidad media es el cambio de posición en el tiempo �̅� = ∆𝑠
∆𝑡 , esta
expresión puede ser sustituida por �̅� =∆𝑟
∆𝑡 y cuando ∆𝑡 → 0, la velocidad se vuelve
instantánea,
𝑎 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡=
𝑣
𝑟lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡=
𝑣
𝑟𝑣
Ec. 2.32 𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟
La aceleración es denominada centrípeta porque se dirige hacia el centro de la trayectoria y
se representa con el subíndice 𝑐. En muchos casos es útil describir el movimiento en función
del periodo 𝑇, que puede ser expresado como el tiempo que requiere una partícula para
desarrollar una revolución completa. En el periodo, la partícula se desplaza una distancia
equivalente a la circunferencia, y por lo tanto la distancia recorrida es 2𝜋𝑟. La velocidad o
Fig. 2.23 a) El vector velocidad
cambia de dirección.
b) representación del cambio
de velocidad.
a)
b)
rapidez de traslación de la partícula, es la distancia recorrida entre el tiempo empleado en
una vuelta, y es denominada velocidad lineal o tangencial. Se puede expresar,
Ec. 2.33 𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇
Ec. 2.34 𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣
Sustituyendo la ecuación de velocidad 2.33 en la de aceleración centrípeta 2.32, obtenemos
una ecuación alternativa para la aceleración centrípeta cuando conocemos el periodo.
Ec. 2.35 𝑎 =𝑣2
𝑟=
(2𝜋𝑟
𝑇)
2
𝑟=
4𝜋2𝑟
𝑇2
Periodo es el tiempo en que desarrolla un ciclo o revolución y su unidad básica es el segundo.
Otro término muy práctico para la descripción del movimiento es la frecuencia, siendo la
cantidad de ciclos o revoluciones que desarrolla una partícula por unidad de tiempo. Se
representa por 𝑓 y es el inverso del periodo. Sus unidades son los hercios.
Ec. 2.36 𝑓 =1
𝑇=
1
𝑠= 𝑠−1 = 𝐻𝑧
Otras unidades para expresar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm), por hora, día,
etc.
Velocidad angular. Una revolución completa de una partícula alrededor de un círculo
corresponde a un ángulo de 2𝜋 radianes, y del producto de 2𝜋 por la frecuencia, se obtiene
la velocidad angular 𝜔 de la partícula, medida en 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑠⁄ o 𝑠−1;
Ec. 2.37 𝜔 = 2𝜋(𝑓) =2𝜋
𝑇
Combinando esta ecuación con la frecuencia
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (1
2𝜋𝑟𝑣
) =𝑣
𝑟
Ec. 2.38 𝑣 = 𝑟𝜔
Esta ecuación relaciona la velocidad angular y la rapidez de traslación conocida como
velocidad lineal o tangencial.
Utilizando la segunda ley de Newton, podemos encontrar la magnitud de la fuerza que genera
la aceleración y que mantiene a la partícula girando alrededor de un punto. La fuerza y la
aceleración son vectores y tienen la misma dirección. La fuerza es denominada también
centrípeta. Sus expresiones son;
Ec. 2.39 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚 (𝑣2
𝑟) =
𝑚4𝜋2𝑟
𝑇2
Esta fuerza centrípeta deberá identificarse, porque en ocasiones es la fuerza de gravedad,
como en el caso de un satélite en trayectoria circular uniforme o la fricción en el caso de un
automóvil en movimiento en una curva o puede ser la tensión de un cordel en el caso de una
piedra atada con una cuerda que gira a velocidad constante.
EJEMPLO 2.11 Movimiento circular uniforme.
La tierra tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en 24 horas. a) ¿Qué aceleración
centrípeta tiene un objeto en el ecuador? De su respuesta en 𝑚 𝑠2⁄ y como fracción de 𝑔. b)
Si la 𝑎𝑐 en el ecuador fuera mayor que 𝑔, los objetos saldrían volando hacia el espacio. ¿cuál
tendría que ser el periodo de rotación para que esto sucediera?1
La información que nos dan es el radio de la tierra y lo que tarda en dar una vuelta, es decir,
el periodo. Se recomienda homogeneizar las unidades, convirtiendo a unidades básicas y
utilizar notación científica.
𝑟 = 6380 𝑘𝑚 = 6.38 × 106 𝑚
𝑇 = 24 ℎ = 86 400 𝑠 = 8.64 × 104 𝑠
El inciso a) nos pide encontrar la aceleración centrípeta 𝑎𝑐 en 𝑚 𝑠2⁄ , y nos pide ese resultado
como una fracción del valor de la aceleración gravitacional (para comparar su magnitud con
𝑔). De las expresiones de la aceleración centrípeta, elegimos la Ec. 2.35, que está en función
del periodo,
𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟
𝑇2=
4𝜋2(6.38 × 106 𝑚)
(8.64 × 104 𝑠)2= 𝟎. 𝟎𝟑𝟒 𝒎 𝒔𝟐⁄
Resp. 𝑎𝑐 = 0.034 𝑚 𝑠2⁄ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟒 𝒈
El inciso b) nos pide encontrar el periodo 𝑇 para un valor de la aceleración centrípeta, en el
cuál los objetos en el ecuador saldrían volando hacia el espacio. Valores por debajo de 𝑔, se
mantendrían en la superficie, mayores de 𝑔 saldrían volando, por tanto, elegimos el valor de
𝑔 para la aceleración centrípeta.
𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟
𝑇2 𝑇 = √4𝜋2𝑟
𝑎𝑐
𝑇 = √4𝜋2(6.38 × 106 𝑚)
9.81 𝑚 𝑠2⁄= 5067 𝑠
Resp. 𝑻 = 𝟓𝟎𝟔𝟕 𝒔 = 𝟏, 𝟒 𝒉
Hipotéticamente, si la Tierra diera una vuelta en 1.4 horas, los objetos en el ecuador saldrían
volando al espacio.
EJEMPLO 2.12 Movimiento circular uniforme.
Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 3.4 m de longitud desde
el eje central hasta la punta. El modelo se gira en un túnel de viento a 550 rpm. a) ¿Qué
rapidez lineal tiene la punta del aspa en 𝑚 𝑠⁄ ?. b) ¿Qué aceleración centrípeta tiene la punta
del aspa, expresada como un múltiplo de la aceleración debida a la gravedad, es decir, 𝑔?1
Al identificar las unidades, encontramos que gira a 550 rpm, es decir, es una cantidad de
ciclos o revoluciones en una unidad de tiempo (1 minuto), por lo cual esto es frecuencia, pero
se convierte a segundos.
𝑟 = 3.4 𝑚
𝑓 = 550𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛= 9.17
𝑟𝑒𝑣
𝑠= 9.17 𝑠−1 = 9.17 𝐻𝑧
𝑇 =1
𝑓=
1
9.17𝑠−1= 0.109 𝑠
Aplicamos la ecuación de la velocidad (lineal o tangencial) Ec. 2.33,
Resp. 𝑣 =2𝜋(3.4 𝑚)
(0.109 𝑠)= 𝟏𝟗𝟔 𝒎 𝒔⁄
El inciso b) busca determinar la aceleración centrípeta y expresarla en función de 𝑔. Se pude
usar la Ec. 2.32, pero también se puede resolver con la Ec. 2.35,
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟=
(196 𝑚 𝑠⁄ )2
(3.4 𝑚)= 11 298. 2 𝑚 𝑠2⁄ = 1.13 × 104 𝑚 𝑠2⁄
𝑎𝑐 =4𝜋2𝑟
𝑇2=
4𝜋2(3.4 𝑚)
(0.109 𝑠)2= 1.13 × 104 𝑚 𝑠2⁄
Resp. 𝒂𝒄 = 𝟏 𝟏𝟓𝟏 𝒈
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