Cap tulo 24 Aplica˘c~oes da Integral De nidawaldecir/calculo1/calculo1pdf/... · 2011. 3. 17. ·...

Caṕıtulo 24

Aplicações da Integral Definida

24.1 Introdução

As integrais surgiram no estudo das áreas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicações.Mostraremos neste e nos próximos caṕıtulos como as integrais aparecem no cálculo de posições, áreas, volumes,comprimento de arco, massa, probabilidade, momentos, centros de gravidade e trabalho.

O racioćınio empregado em cada um dos casos é sempre o mesmo e segue os seguintes passos:

1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann deuma função;

2. A solução exata para o problema é obtida pela passagem ao limite;

3. O limite das somas de Riemann é identificado à integral de uma função.

24.2 Distância

O problema é deduzir a mudança de posição de uma part́ıcula que se desloca ao longo de uma linha reta comvelocidade v(t) conhecida para todos os instantes t de um certo intervalo de tempo [a, b]. Se conseguirmos, de algummodo, determinar a posição s(t) da part́ıcula para qualquer instante de tempo t do intervalo [a, b], a mudança deposição da part́ıcula em relação ao instante inicial t = a, será dada por s(b)-s(a).

Existem duas maneiras de abordarmos este problema. A primeira delas foi utilizada na motivação do teoremafundamental do cálculo e consiste em considerar a velocidade da part́ıcula constante em cada subintervalo de umapartição do intervalo [a, b]. Assim, seja τi um ponto qualquer de cada subintervalo [ti−1, ti] da partição considerada.Em cada um desses subintervalos, considerando a velocidade da part́ıcula igual a v(τi), podemos aproximar a mudançade posição da part́ıcula por

v(τi) (ti − ti−1) = v(τi)∆ ti .

Dessa maneira, a mudança total de posição será aproximadamente igual a

n∑i=1

v(τi)∆ ti .

À medida que o comprimento ∆ ti de cada subintervalo se torna menor, esta soma se aproxima, cada vez mais, dovalor exato da mudança de posição da part́ıcula. Como

lim∆ ti→0

n∑i=1

v(τi)∆ ti =

∫ ba

v(t) dt ,

temos que a mudança de posição da part́ıcula de t = a até t = b é dada pela integral∫ ba

v(t) dt .

Podemos obter este mesmo resultado aplicando, diretamente, o teorema fundamental do cálculo à função v(t) =s′(t). Desse modo,

s(b)− s(a) =∫ ba

s′(t) dt =

∫ ba

v(t) dt,

como antes.

321

322 Cap. 24. Aplicações da Integral Definida

É importante observar que quando v < 0, a part́ıcula se move para a esquerda e a função posição, s(t), decresce.

A integral∫ bav(t) dt fornece, portanto, a variação ĺıquida de posição da part́ıcula. A distância total percorrida pela

part́ıcula neste intervalo de tempo será dada por∫ ba| v(t) | dt.

Da mesma maneira, conhecendo-se a aceleração da part́ıcula para todos os instantes t do intervalo [a, b], podemosdeterminar a sua velocidade. Como a aceleração da part́ıcula é a taxa de variação da sua velocidade em relação aotempo, isto é, a(t) = v′(t), aplicando, novamente, o teorema fundamental do cálculo, a velocidade da part́ıcula emqualquer instante de tempo t será dada por

v(t)− v(a) =∫ ta

v′(u) du =

∫ ta

a(u) du

ou, equivalentemente,

v(t) = v0 +

∫ ta

a(u) du,

onde v0 é a velocidade da part́ıcula no instante inicial t = a. Repare que, como no caso anterior, a integral∫ ba| a(t) | dt

fornece a variação total de velocidade da part́ıcula no intervalo [a, b].

Exemplo

1. Sabendo que uma part́ıcula, com velocidade inicial v0 e posição inicial s0, se desloca com aceleração a constante,determine a sua velocidade e posição em qualquer instante de tempo.

Solução A velocidade da part́ıcula, em qualquer instante de tempo t, será dada por

v(t) = v(0) +

∫ t0

a dt .

Assim, v(t) = v0 + a t em qualquer instante de tempo t. Do mesmo modo, a sua posição é dada por

s(T )− s(0) =∫ T0

v0 + a t dt = v0 T +aT 2

2,

para qualquer instante de tempo T , ou equivalentemente,

s(T ) = s0 + v0 T +a T 2

2.

2. Uma part́ıcula se desloca em linha reta com velocidade dada por v(t) = t2. Qual o deslocamento total dapart́ıcula entre t = 1 e t = 2?

Solução Como a velocidade é positiva, o deslocamento total da part́ıcula será dado por

s(2)− s(1) =∫ 21

t2 dt .

Como a função F (t) = t3

3 é uma primitiva de f(t) = t2, o teorema fundamental do cálculo garante que∫ 2

1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣21

=23

3− 1

3

3=

7

3.

24.3 Área de regiões planas

Na introdução do estudo de integral, vimos como é posśıvel calcular a área sob o gráfico de uma função cont́ınua epositiva f , definida em um intervalo [a, b]. A solução deste problema motivou a definição de integral como limite desomas de Riemann.

Vamos abordar agora o problema da determinação de áreas de regiões planas mais gerais, limitadas lateralmentepelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função cont́ınua f e inferiormente por outra função cont́ınuag, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) ≤ f(x), em [a, b] . As ilustrações mostram regiões deste tipo.

W.Bianchini, A.R.Santos 323

0x

0x

Como g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], então, f(x)− g(x) ≥ 0 em [a, b]. Assim,∫ ba

(f(x)− g(x)) dx ≥ 0.

Vamos provar que a integral acima fornece a área A, da região hachurada. Para isso vamos construir somas deRiemann para a função h(x) = f(x)− g(x).

Considere uma partição a = x0 < x1< ... < xi−1< xi < ... < xn = b do intervalo [a, b], em n subintervalos iguaisde comprimento ∆x. Seja ci um ponto qualquer de cada subintervalo [ xi−1, xi]. Denotando-se por ∆Ai a área daregião entre os gráficos de f e g, sobre o i-ésimo intervalo [xi−1, xi], então ∆Ai é aproximadamente igual a área deum retângulo de altura f(ci)− g(ci) e base ∆x, ou seja,

∆Ai = (f(ci)− g(ci))∆x,

como mostra a figura:

iC

–3

–2

–1

0

1

2

3

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x

Somando as áreas dos n retângulos assim constrúıdos sobre o intervalo [a, b], temos uma aproximação para a áreaA dada por:

n∑i=1

∆Ai =n∑

i=1

(f(ci)− g(ci))∆x

À medida que se aumenta o número de pontos considerados na partição do intervalo [a, b], esta aproximação se tornacada vez melhor. Veja esta afirmação ilustrada no diagrama:

x

x x

xx

x

Desse modo,

A = limn→∞

n∑i=1

∆Ai = limn→∞

n∑i=1

(f(ci)− g(ci))∆x.

Note que a soma

n∑i=1

(f(ci)− g(ci))∆x é uma soma de Riemann para a função h(x) = f(x)− g(x), de modo que:

limn→∞

n∑i=1

(f(ci)− g(ci))∆x = limn→∞

n∑i=1

h(ci)∆x =

∫ ba

h(x) dx =

∫ ba

f(x)− g(x) dx,


como queŕıamos mostrar.

Exemplo 1 Nos exemplos a seguir, calcule a área da região limitada pelas curvas dadas

(a) y = x2

4 , x = 0 e y = 4 (situada no primeiro quadrante). Estaregião é mostrada na primeira figura ao lado.Solução A área da região hachurada é dada pela integral∫ 4

0

4− x2

4dx = 4x− x

3

12

∣∣∣∣40

=32

3.

Note que a integral acima pode ser escrita como:∫ 40

4− x2

4dx =

∫ 40

4 dx−∫ 40

x2

4dx.

0

2

4

2 4x

Geometricamente, a primeira integral calcula a área do quadradode lado igual a 4 e a segunda integral calcula a área da região

sob gráfico da função x2

4 , no intervalo [0, 4], ou seja, a área daregião hachurada é a área do quadrado de lado 4 menos a áreahachurada da figura ao lado.

0

2

4

2 4x

(b) y = x2 e y = 2x.Esta região corresponde à parte hachurada da figura ao lado.

A área desta região é dada pela integral∫ 202x− x2 dx, pois os

pontos de interseção das curvas y = x2 e y = 2x são x = 0 e

x = 2. Além disso, como a função F (x) = x2 − x3

3 é uma primi-tiva da função f(x) = 2x− x2, o teorema fundamental do cálculogarante que∫ 2

0

2x− x2 dx = x2 − x3

3

∣∣∣∣20

= 22 − 23

3=

4

3.

0

2

4

1 2x

(c) y = x2 − 1 e y = x+ 5. Veja esta região no gráfico ao lado.Para calcular a área da região hachurada é necessário determinaros pontos de interseção das curvas y = x2 + 1 e y = x+ 5. Paraisto basta resolver a equação x2 + 1 = x+ 5. Usando o comandosolve do Maple, obtemos

> f:=x->x+5:g:=x->x^2-1:

> solve({f(x)=g(x)},x);{x = −2}, {x = 3}

0

2

4

6

8

–2 –1 1 2 3x

A área da região hachurada é dada, portanto, pela integral:∫ 3−2x+ 6− x2 dx = x

2

2+ 6x− x

3

3

∣∣∣∣3−2

=125

6.

Exemplo 2 Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x e x− y = 4.Esta região é esboçada na figura ao lado.Observe que a curva dada pela equação y2 = 2x define, implicita-mente, duas funções de x, a saber: f1(x) =

√2x e f2(x) = −

√2x.

Na ilustração, o gráfico da função f1 é a parte da parábola y2 = x,

situada acima do eixo x, e f2 é a parte situada abaixo. O pontode interseção da função f2 com a reta y = x− 4 é o ponto (2,−2),e o ponto de interseção da função f1 com a mesma reta é o ponto(8, 4). –3

–2

–1

0

1

2

3

4

2 4 6 8x

Assim, a área da região hachurada é dada por:


∫ 20

√2x− (−

√2x) dx+

∫ 82

√2x− (x− 4) dx = (2

√2x

32 )∣∣∣20+ (

√2x

32 − x

2

2 + 4x)∣∣∣82= 18

Outro modo de calcular esta área é integrar emrelação à variável y, isto é, pensar em y como avariável independente, como é ilustrado no gráfico aolado.Neste caso a área da região hachurada pode ser cal-culada por meio de uma única integral, a saber:∫ 4

−2y + 4− y

2

2dy = y

2

2 + 4 y +y3

6

∣∣∣4−2

= 18 –2

2

4

6

8

–2 –1 1 2 3 4y

Em resumo Para achar a área de uma região por integração, devemos:

1. Esboçar a região cuja área se quer determinar.

2. Achar os pontos de interseção das curvas que delimitam a região.

3. Decidir se, para integrar, é mais fácil considerar faixas verticais ou horizontais, isto é, se é mais fácil considerara região limitada por curvas do tipo y = f(x) ou do tipo x = g(y).

4. Expressar a área da região como uma integral definida, onde os limites de integração e o integrando são encon-trados examinando-se o esboço feito.

5. Resolver a integral resultante.

24.4 Áreas e cálculo de probabilidades (opcional)

Em matemática, a palavra probabilidade significa uma medidanumérica da possibilidade de um certo evento acontecer. Con-sidere, por exemplo, o alvo desenhado ao lado. Um ponto destealvo é escolhido ao acaso quando alguém, com os olhos vendados,lança um dardo contra ele. Admitindo-se que é tão provável queo dardo atinja um determinado ponto como um outro qualquer,a probabilidade de que o ponto escolhido esteja na mosca (regiãocentral mais escura) deve expressar a razão entre o número depontos existentes na área central e o número total dos pontos doalvo.

É intuitivamente claro que esta probabilidade é igual à razão entre a área da região central e a área total do alvo.Dessa maneira, se os discos acima têm raios 1/2, 2 e 4, respectivamente, a probabilidade de que um ponto, escolhidoao acaso, esteja na região central é de 115 . Do mesmo modo, a probabilidade de que o dardo, lançado por alguém deolhos vendados, atinja a coroa externa mais escura é de 14 .

Esta probabilidade, em termos estat́ısticos, significa que, se for feito um grande número de lançamentos ao acaso, arazão entre o número de lançamentos que atingem o aro externo e o número de lançamentos totais é de 1 para 4 e estarazão teórica se aproxima cada vez mais da razão experimental à medida que aumentamos o número de lançamentos.

Uma aplicação da integral definida no cálculo de probabilidades aparece no célebre problema da agulha de Buffon,inventado pelo cientista francês Buffon, no ińıcio do século XVIII. Este problema consiste em calcular a probabilidadede que uma agulha de L cm de comprimento, lançada ao acaso num assoalho feito de tábuas corridas de L cm delargura, caia atravessando uma das junções.

A posição em que a agulha cai no chão pode ser descrita por duasvariáveis x e θ, onde x é a distância do ponto médio O da agulhaà junção mais próxima e θ é o menor ângulo que a reta horizontalque passa pelo ponto médio da agulha faz com ela própria. Vejaa figura ao lado, onde a agulha está representada pelo segmento

de reta inclinado e m = L cos(θ)2 .

θ

m

xO


Repare que um lançamento da agulha corresponde a uma escolha aleatória das variáveis x e θ nos intervalos[0, L2 ] e [0,

π2 ], respectivamente, que, por sua vez, corresponde a uma escolha ao acaso de um ponto no retângulo

[0, L2 ]× [0,π2 ].

Além disso, a queda da agulha atravessando uma junção das

tábuas corresponde à desigualdade x < L cos(θ)2 . Esta desigual-dade é descrita pela região hachurada sob o gráfico da função

x = L cos(θ)2 , como mostrado na figura ao lado, no caso particularem que L = 4. Portanto, a probabilidade de a agulha cair atrav-essando uma junção das tábuas é igual a razão entre a área daregião hachurada e a área do retângulo.

0

1

2

1 2theta

Usando integral definida para calcular a área sob o gráfico da curva, temos que a probabilidade que queremoscalcular é dada por

π

2

∫ π2

0

cos(θ) dθ =2

π.

Essa expressão pode ser usada para estimar, empiricamente, o valor do número π. Se realizarmos, de fato, oexperimento de lançar um número grande de vezes uma agulha sobre um piso de tábuas cuja largura é igual aocomprimento da agulha e contarmos, cuidadosamente, o número k de vezes em que a agulha cai atravessando umajunção, a probabilidade acima deverá ser, aproximadamente, igual à razão kn , onde n é o número de lançamentos

efetuados. Esta aproximação melhora à medida que o número de lançamentos cresce. Assim, limn→∞

k

n=

2

π. Este limite

significa que o número π pode ser aproximado pela razão 2nk , para grandes valores de n. Este método, além de tedioso,não permite grande precisão pelos erros inerentes em todas as medições.

Outro exemplo do uso de integrais para o cálculo de probabilidades pode ser encontrado no Projeto Calculando aprobabilidade de que uma equação quadrática tenha ráızes reais.

24.5 Volume de um sólido de revolução: Método do disco

Um sólido de revolução é obtido fazendo-se girar uma superf́ıcie plana em torno de um eixo. Esferas, cones, bolasde futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume da esfera já era conhecido desde o século III A.C., quandoArquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integração para calculá-lo. (Veja a seção Um poucode História.)

Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do eixo x, a região limitada por uma funçãof cont́ınua, positiva e definida em um intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a região limitada pelacurva y = f(x) = (2− x)3 + 2, pelo eixo x e pelas retas x = a = 1 e x = b = 3, como é mostrado na figura a seguir àesquerda. Girando-se esta região em torno do eixo x, obtemos o sólido mostrado à direita.

0

1

2

3

4

1 2 3 4x

–3

–2

–1

1

2

3

1.52

2.53

–3–2

01

23

Neste caso, o eixo x é dito eixo de revolução. O problema que se coloca é como calcular o volume de um sólidodeste tipo?

Se a curva y = f(x) fosse uma reta, o sólido resultante seria um cilindro do qual conhecemos o volume. Veja afigura a seguir, onde a geratriz do cilindro é a reta y = 3.


–3

–2

–1

1

2

3

1.52

2.53

–3–2

01

23

Para calcular o volume de um sólido de revolução mais geral, isto é, de um sólido obtido pela rotação de uma curvay = f(x) em torno do eixo x, como descrevemos anteriormente, a idéia é dividir este sólido por planos perpendicularesao eixo x, em fatias muito finas, como é mostrado na figura a seguir à esquerda, e, depois, aproximar o volume decada pequena fatia pelo volume de um cilindro. Veja a figura à direita, onde aproximamos uma dessas fatias por umcilindro.

–3

–2

0

1

2

3

1.5 2 2.5 3

–2

2

–3

–2

1

2

3

1.5 2 2.5 3

–2

0

2

Para “fatiar” o sólido de revolução, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais, isto é, consideramos a seguintepartição do intervalo [a, b]:

a = xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xi ≤ xi+1 ≤ . . . xn = b ,onde |xi+1 − xi| = b−an = ∆x. Assim, cada ponto xi desta partição é da forma xi = a + i∆x. Logo, a i-ésima fatiapode ser aproximada por um cilindro de altura ∆x e raio f(ci), onde ci é um ponto qualquer no intervalo [xi−1, xi].(Repare que, para esta aproximação, estamos considerando a função f constante e igual a f(ci), em cada subintervaloda partição.) O volume do i-ésimo cilindro é, portanto, π f(ci)

2 ∆x. Então, uma aproximação para o volume total dosólido, denotado por V , pode ser obtida pela soma dos volumes dos n cilindros considerados, isto é,

V ≈n∑

i=1

π f(ci)2 ∆x.

Execute, na versão eletrônica, a animação que mostra que, à me-dida que aumentamos o número n de cilindros considerados nesteprocesso, a soma dos volumes dos n cilindros se aproxima, cadavez mais, do volume que queremos calcular. Execute-a passo apasso para melhor visualizar esta afirmação! A seguir mostramosa aproximação obtida quando consideramos cinco subintervalosna partição, o que corresponde à construção de cinco cilindros damaneira descrita anteriormente.

–3

–2

0

1

2

3

1.5 2 2.5 3

–2

2

A soma acima fornece, portanto, o volume de uma seqüência de n cilindros. À medida que a espessura dessescilindros tende para zero, a soma se aproxima cada vez mais do volume do sólido em questão. Podemos concluir,portanto, que o volume do sólido é dado por

limn→∞

n∑i=1

π f(ci)2 ∆x = lim

∆ x→0

∑i

π f(ci)2 ∆x .

Como já vimos em outros exemplos, tentar calcular somas deste tipo “no braço” não é uma tarefa nem muitofácil, nem muito eficiente, mesmo fazendo uso de um programa de computador do tipo do Maple. Podemos fazer algomelhor que isso! Se estudarmos com afinco os caṕıtulos anteriores, podemos observar, sem dificuldade, que a soma∑n

i=1 π f(ci)2 ∆x é uma soma de Riemann para a função y = π f(x)2, portanto, o limite acima nada mais é do que a

integral desta função, isto é,

V = limn→∞

n−1∑i=0

π f(ci)2 ∆x =

∫ 31

π f(x)2 dx


e, graças ao teorema fundamental do cálculo, podemos calcular esta integral sem necessidade de usar limites denenhuma espécie. Podemos, agora, com a ajuda do Maple e usando a igualdade acima, verificar, facilmente, que ovolume do sólido obtido no caso que estamos estudando é dado por

V =

∫ 31

π ((2− x)3 + 2)2 dx = 26, 03033913

Resolva você esta integral e comprove o resultado acima por seus próprios meios!Conclusão Para uma função qualquer f , cont́ınua e positiva em [a, b], o volume do sólido de revolução obtido

ao girarmos a região limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x é dado por

limn→∞

n∑i=1

π f(ci)2 ∆x =

∫ ba

π f(x)2 dx.

Um resultado semelhante poderia ser obtido considerando-se uma função x = g(y) cont́ınua, definida em um inter-valo [c, d]: girando-se a região limitada por g, pelo eixo y e pelas retas y = c e y = d em torno do eixo y, o volume V,do sólido de revolução obtido, é dado por

V =

∫ dc

π g(y)2 dy

Exemplo 1Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico

de f , de −1 a 1.

Solução A figura a seguir ilustra o sólido obtido e uma fatia ciĺındrica t́ıpica.

–2

–1

1

2

–1 –0.50.5 1

–2

12

Como o raio de cada fatia ciĺındrica é dado por f(xi) = xi2 + 1 para algum ponto do subintervalo considerado,

temos que seu volume será dado por π (xi2 + 1)2 ∆x. Assim, o volume do sólido será

V =

∫ 1−1π (x2 + 1)2 dx = π

∫ 1−1x4 + 2x2 + 1 dx = π

[x5

5+

2x3

3+ x

]1−1

=56π

15

Exemplo 2 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por y = x3, y = 1, y = 8 e o eixoy, em torno deste eixo.

Solução A figura a seguir ilustra o sólido e uma fatia ciĺındrica t́ıpica.

–2

23

4

5

6

7

8

–2–112

Como o raio da fatia ciĺındrica t́ıpica, neste caso, é dado por f(yi) = yi13 para algum ponto do subintervalo con-

siderado, temos que seu volume será dado por π (yi13 )2 ∆ y. Assim, o volume do sólido será

∫ 81π (y

13 )

2dy. Resolvendo

esta integral temos que

V = π

∫ 81

y2/3 dy = π 35 y53

∣∣∣81= π (

24

582/3 − 3

5).


24.6 Volume de um anel de revolução

Considere uma região do plano limitada acima pela curva y = f(x) e abaixo pela curva y = g(x), onde f e g são duasfunções cont́ınuas e positivas (veja figura a seguir à esquerda). Ao girarmos esta região em torno do eixo x, obtemosum sólido de revolução, chamado anel de revolução (figura à direita).

0

1

2

3

4

1 2 3 4x

–3

–2

–1

1

2

3

12

3

O volume do anel será dado, então, pela diferença entre o volume do sólido obtido ao girarmos a região limitadapela curva y = f(x), definida no intervalo [a, b], pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x (figura a seguir à esquerda), eo volume do sólido de revolução obtido ao girarmos, em torno do mesmo eixo, a região limitada pela curva y = g(x),pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b (figura à direita).

–3

–2

–1

1

2

3

12

3

–3

–2

–1

1

2

3

12

3

Assim, o volume do anel de revolução é dado por∫ ba

π f(x)2 dx−∫ ba

π g(x)2 dx =

∫ ba

π (f(x)2 − g(x)2) dx.

Exemplo 1 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela revolução, em torno do eixo x, da regiãolimitada pelos gráficos de x2 = y − 2, 2 y − x− 2 = 0, x = 0 e x = 1.

Solução Como a rotação é feita em torno do eixo x, é necessário exprimir y como uma função de x. Assim, aprimeira equação dada é equivalente a y = x2 + 2 e a segunda, a y = x2 + 1. Um esboço da região limitada pelo gráficodessas funções e pelas retas dadas é mostrado na figura a seguir à esquerda. O sólido obtido pela revolução destaregião em torno do eixo x é mostrado na figura à esquerda.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

–3

–2

0

1

2

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2

O volume deste sólido será dado por

V =

∫ 10

π [(x2 + 2)2 − (x2+ 1)2] dx = π

∫ 10

[x4 +15x2

4− x+ 3] dx.

Como F (x) = x5

5 +5 x3

4 −x2

2 + 3x é uma primitiva da função f(x) = x4 + 15 x

2

4 − x+ 3, a integral acima é igual aF (1)− F (0) = 79π20 .

Exemplo 2 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da mesma região descrita no Exemplo 1 emtorno da reta y = 3.

Solução Girar a região dada em torno da reta y = 3, é equivalente a girar a região limitada pelas funçõesy = x2 + 2− 3 = x2 − 1 e y = x2 + 1− 3=

x2 − 2 em torno do eixo x, isto é, a transladar verticalmente toda a região,

três unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Veja os gráficos:


0

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

22.22.42.62.8

3

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

–3–2.8–2.6–2.4–2.2

–2–1.8–1.6–1.4–1.2

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

y

x

Raciocinando como no item anterior, temos que o volume do sólido gerado pela revolução desta nova região emtorno do eixo x é dado por

V = π

∫ 10

[(x

2− 2)2 − (x2 − 1)2] dx = π

∫ 100

[3− 2x+ 9x2

4− x4] dx = 51π

20

Exemplo 3 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região do primeiro quadrante,

limitada pelos gráficos de y = x3

8 e y = 2x, em torno do eixo y.Solução : A figura seguinte, à esquerda, mostra a região a ser girada em torno do eixo y e a figura à direita, o

sólido de revolução obtido.

0

2

4

6

8

y

1 2 3 4 5x

–5

5 1

2

3

4

5

–8–6–4–22468

Como devemos integrar em relação a y, expressamos as equações dadas como funções do tipo x = g(y). Assim

temos, respectivamente, que x = 2 y13 e x = y2 .

Os pontos de interseção destas duas curvas são y = 0 e y = 8. Dáı, o volume do sólido resultante da rotação destaregião em torno do eixo y será dado por

V = π

∫ 80

[4 y23 − y

2

4] dy =

512π

15

24.7 Comprimento de arco

O problema da retificação de arcos

Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos, A e B, especificados. Fisicamente, é fácil calcular ocomprimento de um arco de uma determinada curva. Esticamos um pedaço de barbante, ajustando-o à curva de Aaté B; “endireitamos”, isto é, retificamos o fio, e medimos o seu comprimento com uma régua (dáı o termo retificarum arco).

Matematicamente, o problema é um pouco mais complicado: na realidade, é posśıvel dar exemplo de uma curvacont́ınua, que não tem comprimento definido! Esse fato, bastante surpreendente, sugere que a teoria necessária aocálculo de comprimentos de arcos é mais complicada do que parece.

Embora, desde a Antiguidade já fosse conhecido o comprimento de um arco de circunferência, até meados doséculo XVII pensava-se que o problema de retificação de curvas algébricas era imposśıvel de ser resolvido. Em 1650,William Neil, usando técnicas do cálculo diferencial e integral, calculou pela primeira vez o comprimento de um arcoda parábola semicúbica y2 = x3.

O método empregado no cálculo de comprimentos de arcos consiste em um procedimento de aproximação e passagemao limite, que se presta a um tratamento matemático, como é descrito na próxima seção.

Calculando comprimentos de arcos

Dizemos que uma curva no plano xy, descrita pelo gráfico de uma função y = f(x), é suave ou lisa quando f temderivada cont́ınua em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto significa que uma pequena variação em x produz


uma pequena variação no coeficiente angular f ′(x), da tangente ao gráfico de f . Assim, não há bicos no gráfico deuma função suave.

O problema que se coloca é como calcular o comprimento de arco entre dois pontos A e B de uma curva lisa.Obviamente, se a curva dada fosse um segmento de reta, o comprimento seria dado pela distância entre as suas

extremidades. (Se f é suave em um intervalo fechado [a,b], os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) são chamadosextremidades do arco AB.)

A idéia, então, é dividir a curva em pequenos segmentos de reta e aproximar o comprimento do arco em questãopela soma do comprimento de cada um destes pequenos segmentos de reta. Isto é, aproximamos o comprimento doarco pelo comprimento de uma poligonal de n lados, cujos vértices estão sobre o arco dado.

Para diminuir o erro cometido nesta aproximação, basta dividir o arco em um número maior de segmentos. Ouseja, à medida que n cresce, o comprimento da poligonal se aproxima cada vez mais do comprimento do arco emquestão.Para precisar matematicamente esta idéia, vamos considerar umapartição regular do intervalo [a, b], ou seja, vamos dividir o intervalo[a, b] em n partes iguais, a saber, a = xo < x1 < ... < xn−1 < xn = b,onde cada subintervalo [xi−1, xi] tem o mesmo comprimento, dado por∆x = xi − xi−1.A cada ponto da subdivisão do intervalo [a, b] corresponde um ponto[xi, f(xi)] sobre a curva y = f(x). Estes pontos serão os vértices dapoligonal. Observe o gráfico ao lado, onde dividimos o intervalo [a, b]em cinco partes iguais e constrúımos a poligonal correspondente. 0

2

4

6

8

10

12

y

1 2 3 4 5x

Veja agora, no diagrama a seguir, como à medida que n cresce, a poligonal de n lados se aproxima da curva e comoo comprimento desta poligonal se aproxima de um limite. Este limite é o comprimento do arco em questão.

22.47158240

24.51856939

11.62591907

24.3885415510.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

23.91378736

23.49181175

24.62364094

24.25799919

24.11035914

A partir desta idéia geométrica, é fácil obter, analiticamente, uma fórmula que forneça o comprimento da poligonalconsiderada. O comprimento de cada segmento de reta desta poligonal é dado por

distância(Pi−1, Pi) =√

(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 (∗)

Como, por hipótese, f é uma função cont́ınua, pelo teorema do valor médio aplicado ao subintervalo [xi−1, xi],existe um ponto ci neste intervalo, tal que,

f(xi)− f(xi−1) = f ′(ci)(xi − xi−1) = f ′(ci)∆x .

Substituindo este valor em (*), temos

distância(Pi−1Pi) =

√(∆x)

2+ [(f ′(ci))∆x]

2=√

1 + (f ′(ci))2 ∆x.

A soma do comprimento de todos os segmentos de reta que compõem a poligonal nos dará o comprimento totaldela. Assim, o comprimento da poligonal será dado por

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x

Se, à medida que aumentarmos o número n de lados da poligonal, esta soma se aproximar de um limite, o arco serádito retificável e o comprimento L do arco da curva considerada será dado por

limn→∞

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x .


Lembrando a definição da integral definida, conclúımos que:

L = limn→∞

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x =

∫ ba

√1 + (f ′(x))

2dx .

Assim, se f é uma função suave no intervalo [a, b], a fórmula acima fornece o comprimento do arco do gráfico def do ponto A = (a, f(a)) até o ponto B = (b, f(b)).

No caso de um arco de curva suave dado como gráfico de x = g(y), para y variando no intervalo [c, d], começandocom uma partição do intervalo [c, d] e usando argumentos análogos aos empregados no caso anterior, podemos deduzira fórmula

L =

∫ dc

√1 + (g′(y))

2dy.

A maioria dos matemáticos lembra das fórmulas sem necessidade de memorizá-las, mas raciocinando de tal formaque seja rápido e fácil deduzi-las, sem perigo de errar.

No caso de comprimentos de arcos, se usarmos a notação de Leibniz para derivadas, existe uma abordagem intuitivaque torna estas fórmulas muito mais fácil de entender e de memorizar.

Vamos denotar por s o comprimento de arco variável de A atéum ponto qualquer na curva. Se denotarmos por ds um pequenoacréscimo no comprimento s, isto é, se entendermos esta grandezacomo a diferencial da função comprimento de arco, ds pode sertomado tão pequeno que esta parte da curva se confunde com ahipotenusa de um pequeno triângulo retângulo de catetos dx edy, que correspondem às mudanças ocorridas nas variáveis x e y,quando o comprimento do arco cresce de s para s + ds (veja afigura ao lado).

dy

ds

dx

Aplicando o teorema de Pitágoras a este pequeno triângulo, temos que ds2 = dx 2 + dy2 e, desta equação simples,podemos deduzir todas as fórmulas de comprimento de arco. Assim,

ds =

√dx 2 + dy2 =

√1 + (

dy

dx)2 dx

Podemos entender, também, o comprimento total do arco AB como a soma (ou integral) de todos os elementos dearco ds, quando ds percorre a curva desde A até B. Desse modo, temos que

comprimento do arco AB =

∫ BA

ds =

∫ ba

√1 + (

dy

dx)2 dx.

Da mesma maneira, tratando x como função de y obtemos

ds =

√dx 2 + dy2 =

√(dx

dy)2 + 1 dy .

Nesse caso, a integral para o comprimento do arco AB é dada por:

∫ BA

ds =

∫ dc

√(dx

dy)2 + 1 dy.

É muito fácil esquecer fórmulas, mas é quase imposśıvel esquecer um conjunto de idéias, quando verdadeiramentecompreendidas!

Exemplo Calcule o comprimento de arco da parábola semi-cúbica y = x32 no intervalo [0,5].

Solução: Como√1 + (dydx )

2 =

√1 +

(3 x

12

2

)2=

√4+9 x2 , temos que o comprimento em questão será dado por

l =

∫ 50

√4 + 9x

2dx =

1

18

∫ 444

√u du =

335

27


24.8 Área de uma superf́ıcie de revolução

Vamos considerar uma curva suave que esteja acima do eixo x. A rotação desta curva ao redor do eixo x gera umasuperf́ıcie de revolução. Veja o gráfico a seguir que mostra a superf́ıcie obtida pela rotação da curva y = 1x2 em tornodo eixo x, para x variando no intervalo [1, 3].

–1–0.8–0.6–0.4

0.20.40.60.8

1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

–1

1

De um modo geral, uma superf́ıcie de revolução é a superf́ıcie obtida fazendo-se um arco de curva girar em tornode uma reta situada no mesmo plano que ele. Nosso problema é o de calcular a área de tal superf́ıcie.

Podemos obter uma aproximação para esta área considerando a superf́ıcie gerada pela revolução, em torno do eixox, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco, descrito pela curva geratriz da superf́ıcieoriginal. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotação gerará um tronco de cone, como é ilustrado abaixo.

–1–0.8–0.6–0.4

0.20.40.60.8

1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

–1

1

Desse modo, se conhecermos a área lateral de um tronco de cone, poderemos calcular de um modo razoavelmentesimples a área da superf́ıcie de revolução.

A área lateral S de um tronco de cone com raio médio rm =r1+r2

2 , onde r1 e r2 são, respectivamente, os raiosda base menor e da base maior do tronco, e geratriz (altura inclinada) L é dada pela fórmula S = 2π rm L. (VejaProblema 10 ).

Assim, podemos calcular uma aproximação para a área da superf́ıcie de revolução gerada pela rotação, em torno doeixo x, do arco suave y = f(x), com x variando no intervalo [a, b], dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos iguaisde comprimento ∆x e, tal como no estudo que fizemos para o comprimento do arco, aproximar o arco subtendido pelospontos Pi = (xi, f(xi)) e Pi−1 = (xi−1, f(xi−1)) pelo comprimento do segmento retiĺıneo que une estes dois pontos,ou seja,

arco(Pi−1 Pi) ≈ |Pi−1 Pi | =√1 + (f ′ (ci))2 ∆x ,

para algum ponto ci, no i-ésimo subintervalo [xi−1, xi] da partição considerada.

Repare que o tronco de cone obtido pela revolução deste segmento de reta em torno do eixo x tem geratriz

Li = |Pi−1 Pi| e raio médio rmi =f(xi−1)+f(xi)

2 . Como a função f é cont́ınua e rmi está entre dois valores desta função(f(xi−1) e f(xi)), o teorema do valor intermediário para funções cont́ınuas garante que existe um ponto di no intervalo[xi−1, xi], tal que rmi = f(di). Pela fórmula estabelecida para a área de troncos de cones, temos que a área destetronco de cone é dada por

2π rmi Li = 2π f(di)√1 + (f ′ (ci))2 ∆x.

Somando-se as áreas desses cones obtemos a área da superf́ıcie aproximadora

A =n∑

i=1

2π f(di)√

1 + (f ′ (ci))2 ∆x .

Se ci e di fossem o mesmo ponto do intervalo [xi−1, xi], então esta soma seria a soma de Riemann para a integral∫ ba

2π f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx .


Intuitivamente, é claro, que embora os números ci e di não sejam iguais, quando ∆x tende a zero, a diferença entreci e di também tende a zero, portanto, a soma aproximadora tende para a integral acima, quando ∆x tende a zero.(Veja Problema 11.)

Tendo em vista o exposto acima, define-se a área A da superf́ıcie gerada pela revolução em torno do eixo x, doarco suave y = f(x), para x em [a,b], pela fórmula

A = limn→∞

n∑i=1

2π f(di)√

1 + (f(ci))2 ∆x =

∫ ba

2π f(x)√1 + (f ′(x))2 dx,

desde que o limite acima exista.

Escrevendo-se y em vez de f(x) e ds em vez de√1 + ( dfdx )

2 d x podemos abreviar a fórmula acima por

A =

∫ ba

2π y ds.

Esta última fórmula é fácil de guardar, se pensarmos em 2π y ds como a área de um tronco de cone estreito, obtidopela revolução do pequeno arco ds em torno do eixo x. Nesse caso, y = f(x) é o raio médio desse tronco estreito.

Uma fórmula semelhante pode ser obtida se girarmos a curva y = f(x), em torno do eixo y. Neste caso, temos que

A =

∫ dc

2π y

√1 + ((f−1)

′(y))

2dy

(Veja Problema 12.)

Exemplo: Um parabolóide de revolução é a superf́ıcie obtida aogirarmos um ramo de parábola em torno de seu eixo. Ache aárea do pabolóide de revolução obtido pela rotação do arco daparábola y = x2, para x em [0,

√2], em torno do eixo y. Veja ao

lado o gráfico desta superf́ıcie.0.5

1

1.5

2

–1

0.5 1

–10.51

Solução Usando a última fórmula dada, tem-se

A = 2π

∫ √20

x√1 + (2x)2 dx =

π

4

∫ 80

√1 + u du =

13π

3.

24.9 Trabalho

Quando a bateria do carro descarrega e você precisa empurrá-lo para que o motor “pegue no tranco”, você estárealizando um trabalho, e o efeito deste trabalho é fazer o carro funcionar e se movimentar. Nosso objetivo nesta seçãoé mostrar o papel da integral no estudo do conceito de trabalho. Quando você empurra o carro para ele “pegar notranco”, o motor vai ser acionado dependendo da força F que você está aplicando e da distância d, durante a qual aforça F é aplicada. Assim , força e distância são os ingredientes na definição de trabalho.

DefiniçãoQuando uma força constante de módulo F, move um objeto de uma distância d, então definimos o trabalho W

realizado pela força F sobre o objeto como sendo

W = F d

Exemplo 1 Se você aplica uma força constante F = 50 N (newtons) para empurrar um carro por uma distânciade 10 metros, o trabalho realizado será:

W = 50 N . 10 m = 500 (N.m) (newtons-metros).

Agora, se uma força variável F (x) movimenta uma part́ıcula ao longo do eixo x de um ponto a até outro ponto b,qual o trabalho exercido pela força F (x)?

A idéia é fazer uma partição do intervalo [a, b] em n subintervalos suficientemente pequenos nos quais a força F nãovarie muito e possamos aproximá-la por uma constante. Assim podemos usar a definição acima em cada subintervalo


para obter um valor aproximado do trabalho realizado em cada subintervalo. O trabalho realizado ao longo do intervalo[a, b] será aproximado pela soma de Riemann dos valores obtidos em cada subintervalo. Tomando-se o limite da somade Riemann iremos obter uma integral para o trabalho realizado ao longo de [a, b].

Para isto, considere uma partição x0 = a < x1 < ...< xi−1 < xi < ... < xn = b do intervalo [a, b]. Assim, o trabalhoWi realizado no subintervalo [xi−1, xi] é aproximado por:

Wi ≈ F(ci)∆xi

onde ∆xi = xi − xi−1 e ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Somando-se estas aproximações, obtém-sea seguinte soma de Riemann, que aproxima o trabalho W realizado ao longo de [a, b]:

W =n∑

i=1

Wi ≈n∑

i=1

F(ci)∆xi

Tomando-se o limite quando n→ ∞, com a condição de que ∆xi → 0, obtém-se a integral:

W = lim|∆ xi|→0

n∑i=1

F(ci)∆xi =

∫ ba

F(x) dx

Exemplo 2 Suponha que você deseja tirar água de uma cisterna com 12 metros de profundidade. O balde pesa2 kg, tem capacidade para 10 litros d’água, e a corda pesa 0,10 kg/m. Acontece que o balde tem um furo no fundode modo que ele chega na boca da cisterna com apenas metade de sua capacidade. Suponha que você puxe o baldecom velocidade constante e que a água saia pelo buraco também com razão constante. Determine o trabalho realizadopara puxar o balde até a boca da cisterna. Considere que a água pesa 1 kg por litro.

Solução Considere um sistema de coordenadas com x = 0 na boca da cisterna e x = 12 no ńıvel d’água. A forçatotal F(x) que é exigida para puxar o balde, Fb(x), a água, Fa(x), e a corda, Fc(x), é dada por:

F(x) = Fa(x) + Fb(x) + Fc(x)

- A força produzida pelo balde é uma constante, uma vez que o peso em qualquer profundidade é constante e iguala 2 kg. Assim, Fb(x) = 2.

- A força produzida pela corda varia com a profundidade. Quando a corda está esticada x metros, o peso dela seráde 0,10 kg/m vezes xm = 0, 1x kg, isto é, Fc(x) = .1x kg .

- Já que o balde tem um furo vazando água, o peso da água varia com a profundidade x. Quando o balde começaa subir, ele contém 10 litros d’água pesando 10 kg, e quando chega ao topo ele contém apenas 5 litros d’água pesando5 kg. Supondo que o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a água vaza também a uma razão constante zkg/s, o tempo t que ele leva para chegar até a boca da cisterna percorrendo 12 m é o mesmo tempo para ele ficar com5 kg de água, o que nos dá:

t =5

z=

12

vi. e.,

z

v=

12

5.

Agora, o peso da água restante após um tempo t é p = 10− z t e o comprimento da corda é x = 12− v t . Resolvendoesta equação para t, substituindo na equação do peso e usando o fato de que vz =

125 , obtemos

p = 10− z (12− x)v

= 5 +5x

12

Assim,

Fa(x) = 5 +5x

12.

Logo, a força exigida para puxar o balde, a corda e a água a uma profundidade de x metros é

F(x) = 5 +5x

12+ 2 + 0, 1x = 7 + 0, 52x

Assim, o trabalho realizado para puxar o balde é

W =

∫ 120

7 + 0, 52x dx = 121, 44 m-kg

Exemplo 3 Um reservatório de álcool tem a forma de um cone circular reto invertido com 10 metros de altura e 8metros de diâmetro no topo. Ele contém álcool até a altura de 8 metros. Encontre o trabalho realizado para bombearo álcool para o topo do tanque. (A densidade do álcool é aproximadamente de 1000 kg/ m3)


Solução Veja a figura a seguir onde colocamos o eixo x apontando para baixo e a origem no topo. O álcoolvai de uma profundidade de 2 até 10 metros. Considerando uma partição 2 = x0 < x1 < x2 < ... < xn = 10 dointervalo [2, 10] em n partes iguais, tem-se uma divisão do reservatório cônico em n partes na forma de um tronco decone com altura ∆x = 8n . Escolhendo em cada subintervalo [xi−1, xi] , um ponto ci, podemos aproximar o volumedo i-ésimo tronco de cone pelo volume de um cilindro de raio f(ci) e altura ∆x, onde f é a função geratriz do cone,

isto é, f(x) = 2 (10−x)5 .

X

Y

z

2

4

6

8

10

X

Y

Assim,

Vi = π f(ci)2 ∆x =

π 4 (10− ci)2

25∆x

e sua massa é

mi = densidade.volume ≈1000π 4 (10− ci)2

25∆x = 160π (10− ci)2 ∆x

Assim, o trabalho exigido para bombear este elemento até o topo será igual a Wi = Fi ci = mi g ci, que é aproximada-mente igual a

Wi = [9, 8] 160π (10− ci)2 ci ∆x = 1570π (10− ci)2 ci ∆x.Logo, o trabalho realizado é dado por

W = lim|∆ x|→0

n∑i=1

1570π (10− ci)2 ci ∆x =∫ 102

1570π (10− x)2 x dx = 1570π 20483

.

24.10 Exerćıcios

1. Calcule a área da região limitada pelas curvas:

(a) y = x2 e y = −x2 + 4x(b) y2 = 2x− 2e y = x− 5(c) y = sen(x) e y = cos(x) , para x em [−π2 ,

π2 ]

(d) y = 2 sen(x) e y = −3 sen(x), para x em [0, 2π](e) y = 1√

1−x2 e y = 0, para x em [−1/2, 1/2]

(f) y = x4 − 2x2e y = 2x2

(g) y = f(x) = x3 − 3x + 3, y = 0, x = a e x = b, onde a é o ponto de máximo local de f e b é o ponto demı́nimo local.

(h) x2 − y2 = a2e x = 2 a(i) y = |x+ 1 |+ |x |, y = 0, x = −2 e x = 3(j) y = x2e x2 = 18− y(k) y = x3, y = 2x e y = x

2. A área da região delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4 é dividida em duas partes iguais pela reta x = a.Determine a.

3. Calcule c > 0, de modo que a área limitada por y = x2 − c e y = c− x2 seja igual a 9.

4. Cada uma das integrais abaixo representa a área de uma região R. Faça um esboço da região e calcule a suaárea.

(a)

∫ 10

4x+ 1 dx

(b)

∫ 10

4− x2 dx

(c)

∫ 0−4x+ 6− (−x

2) dx+

∫ 20

x+ 6− x3 dx

(d)

∫ 10

x− x3 dx(e)

∫ 2−2y2 − (2 y2 − 4) dy


5. Nos itens abaixo, esboce a região limitada pelos gráficos das equações dadas e determine a área dessa região pordois processos: (i) integrando em relação a x e (ii) integrando em relação a y.

(a) y = −x2 e y = x2 − 8(b) y2 = 4− x e x+ 2 y − 1 = 0

(c) 2 y2 = x+ 4 e x = y2

6. Prove que o volume de uma esfera de raio R é igual a 4π R3

3 .

7. Ao girarmos o segmento de reta y = ax, a > 0, com x no intervalo [h,H], em torno do eixo x, obtemos umtronco de cone. Calcule seu volume.

8. Determine o volume do elipsóide gerado pela rotacão da elipse x2

a2 +y2

b2 = 1 em torno do eixo x.

9. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva y =√x em torno do eixo y, para y entre 0 e 1.

10. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos de y = x2 e y = 4 em torno:

(a) da reta y = 4 (b) da reta y = 5 (c) da reta x = 2Sugestão: O volume não se altera se as regiões são transladadas.

11. Cada uma das integrais abaixo representa o volume de uma sólido de revolução. Descreva o sólido correspondenteem cada caso.

(a)

∫ 40

π x2 dx

(b)

∫ 40

π y dy

(c)π b2

a2

∫ a−aa2 − x2 dx

(d) π

∫ 10

x4 − x6 dx

12. Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos a região plana limitada por y =√4− x2, y = 2

√2x e y = −2

√2x

em torno do eixo x.

13. Um torneiro vazou uma esfera sólida de metal de raio 5 cm com uma broca de 6 cm de diâmetro, passando ofuro pelo centro da esfera. Determine o volume do sólido que restou.

14. Num copo ciĺındrico de raio 2 e altura 8 cheio de água, coloca-se um parabolóide de revolução voltado pra cimacom o vértice centrado no fundo do copo. Calcule o volume de água que resta no copo. (O parabolóide derevolução é obtido ao girarmos uma parábola em torno de seu eixo de simetria.)

15. (a) Para cada x pertencente ao intervalo [0, 1], seja Tx o triângulo cujos vértices são (0, 0), (1, 0) e (x, 1). Quevalor (ou valores) de x fornece o sólido de volume máximo, quando Tx é girado em torno do eixo x?

(b) Suponha que o triângulo Tx seja girado em torno do eixo y. Que valores de x fornecem o sólido de volumemáximo?

16. Considere as elipses de equação x2

a2 +y2

b2 = 1, que tem a soma dos dois semi-eixos igual a 2, isto é, (a + b) = 2.Qual dessas elipses giradas em torno do eixo x fornecerá um elipsóide de volume máximo?

17. Mostre graficamente que a circunferência de raio 1 pode ser aproximada por uma poligonal e calcule, desse modo,uma aproximação para o valor de π. Compare a aproximação que você achou com o resultado obtido usando afórmula do comprimento de arco.

18. Em cada caso, estabeleça a integral que fornece o comprimento do arco indicado. No estágio em que estamos,você é capaz de calculá-las?

(a) y =√x , para x no intervalo [1, 4]

(b) y = x2 , para x no intervalo [0, 1](c) y = x3 , para x no intervalo [0,1](d) a parte de y = −x2 + 4x− 3 acima do eixox.

19. Ache a área da superf́ıcie gerada pela revolução da curva dada em torno do eixo indicado:

(a) y =√x, para x em [0, 1], em torno do eixo x

(b) y = x3, para x em [1, 2], em torno do eixo x

(c) y = x5

5 +1

12 x3 , para x em [1, 2], em torno do eixo y.

20. Você pode obter uma esfera de raio r fazendo girar o gráfico de f(x) =√r2 − x2, para x variando no intervalo

[−r, r], em torno do eixo x. Calcule a área desta esfera.

21. (a) Calcule o comprimento de arco total da astróide x(23 ) + y(

23 ) = 1.

(b) Determine a área da superf́ıcie gerada pela revolução da astróide do item anterior em torno do eixo y.


24.11 Problemas

1. Uma part́ıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo té dada por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a part́ıcula está na origem.

(a) No intervalo de tempo [0, π], ache todos os valores de t para os quais a part́ıcula está se deslocando para aesquerda.

(b) Determine a posição da part́ıcula em qualquer instante de tempo t.

(c) Determine o valor médio da função posição encontrada em (b), no intervalo [0, π2 ].

2. Uma part́ıcula se desloca ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t) = 2 t− 10 + 12t para t ≥ 1.

(a) Sabendo que v(1) = 9, determine a velocidade da part́ıcula para t ≥ 1.(b) Para que valores de t, no intervalo [1, 3], a velocidade atinge seu valor máximo? Justifique a sua resposta.

(c) Sabendo que s(1) = −16, determine a posição s(t) da part́ıcula para t ≥ 1.

3. Uma part́ıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que a sua aceleração em qualquer instante de tempot > 0 é dada por a(t) = 18 −

1t2 . Quando t = 1, sua velocidade é igual a

916 m/s e sua posição em relação à origem

é 2548 m.

(a) Ache a velocidade da part́ıcula como função do tempo.

(b) Ache a distância da part́ıcula à origem em t = 2.

4. Seja R a região limitada pelo gráfico de (x− 4)2 + y2 = 9.

(a) Exprima a área A de R como uma integral.

(b) Determine A sem integrar.

5. Se A é a área da região limitada pelos gráficos de 2x+ 3 y = 6, x = 0 e y = 0, exprima o valor de A como umaintegral. Determine o valor de A sem integrar.

6. Calcule os valores de m para os quais a reta y = mx e a curva y = xx2+1 delimitam uma região fechada. Calculea área de tal região.

7. Calcule a área acima do eixo x, limitada pela curva y = 1x2 e pelas retas x = 1 e x = b, onde b é um númeroqualquer maior que um. O que acontece com essa área quando b→ ∞?

8. Resolva o problema anterior para a região limitada pelas mesmas retas e pela curva y = 1xp , onde p é um númeropositivo maior que um. O que acontece quando p é um número positivo menor que um?

9. Se lim∆ x→0

∑i

π xi4 ∆x representa o limite de uma soma de Riemann para uma função f no intervalo [0, 1], resolva

os ı́tens abaixo:

(a) Determine o valor do limite.

(b) Interprete o limite como a área de uma região do plano xy.

(c) Interprete o limite como o volume de um sólido de revolução.

10. Mostre por cada um dos métodos a seguir que a área de um cone circular reto cuja geratriz tem comprimento le cuja base tem raio r é π r l.

(a) Corte o cone ao longo de uma das suas geratrizes e “desenrole-o”. Sua superf́ıcie forma, então, uma fraçãode um ćırculo de raio l, cuja área você pode calcular facilmente.

(b) Imagine que o cone é constitúıdo por n triângulos de altura l e base 2π rn (esta hipótese se torna cada vezmelhor à medida em que n cresce). Deduza a partir deste racioćınio a fórmula para a área da superf́ıcie docone.

(c) Da fórmula obtida para a área da superf́ıcie do cone, deduza uma fórmula para a área de um tronco decone reto com raios r1(base menor) e r2(base maior) e geratriz (altura inclinada) L. (A área de um troncode cone pode ser obtida como a diferença das áreas de dois cones um com base r2 e geratriz L2, e o outrocom base r1 e geratriz L1 = L2 − L ).


11. Este problema se destina a formalizar as idéias intuitivas empregadas para estabelecer a fórmula para a área deuma superf́ıcie de revolução.

(a) Suponha que∣∣∣ dfdx ∣∣∣ ≤M em [a, b]. Mostre a partir do teorema do valor médio que

|f(x1)− f(x2)| ≤M |x1 − x2| ,

se x1 e x2 estão em [a, b].

(b) Suponha que xi−1 ≤ ci ≤ xi. Mostre que

| f(xi) + f(xi−1)− 2 f(ci)| ≤ 2M |xi − xi−1 | ,

isto é, que f(xi) + f(xi−1) não pode diferir de 2 f(ci) por mais do que 2M(xi − xi−1).(c) Mostre que se todos os intervalos na partição a = x0 < ... < xn = b têm comprimentos menores ou iguais

a ∆x, então cada termo da soma

(∗)∑i

π (f(xi) + f(xi−1))√1 + (f ′(ci))2 ∆xi

difere do termo correspondente da soma∑i

2π f(ci)√1 + (f ′(ci))2 ∆xi

por não mais que 2πM ∆x√1 +M2 ∆xi.

(d) Mostre que a diferença entre as duas somas anteriores é menor ou igual a

2πM ∆x√

1 +M2 (b− a)

e, portanto, é despreźıvel quando ∆x é pequeno. Assim, tanto (*) quanto (**) tendem para o mesmo limitequando ∆x tende para zero.

12. Prove a fórmula A =∫ dc2π x

√1 + ( dfdx )

2 dx para a área de uma superf́ıcie de revolução obtida pela rotação da

curva suave y = f(x), em torno do eixo y, para x em [a, b].

13. Resolva o exemplo 3 com o reservatório tendo a forma de uma esfera com 5 metros de raio e estando totalmentecheio.

24.12 Um pouco de história

No século III A.C., Arquimedes considerou a esfera como um sólido de revolução ao estabelecer a sua famosa fórmula

V = 4π r3

3 para o volume de uma esfera de raio r.Para chegar a este resultado, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nesta seção para o

cálculo de áreas de superf́ıcies de revolução, e não cilindros, como fizemos para o cálculo de volumes.Além de descobrir o volume de uma esfera, Arquimedes encontrou também a área de sua superf́ıcie, relacionando

estas duas quantidades de uma forma brilhante. Sua idéia foi dividir a esfera sólida em um grande número de pequenas“pirâmides” da maneira descrita a seguir.

Imagine a superf́ıcie da esfera dividida em muitos pequenos ”triângulos”. Como não há linhas retas na superf́ıcieesférica, estas pequenas figuras não são triângulos de verdade, no entanto, se elas forem suficientemente pequenas cadafigura está em um plano aproximador e pode ser considerada, aproximadamente, como triângulos. Suponha que cada“triângulo” seja usado como base de uma pirâmide de altura r (raio da esfera) e com vértice no centro da esfera. SeAk é a área da base de uma destas pequenas “pirâmides” e Vk o seu volume, sabemos que Vk =

Ak r3 , para todo k (este

fato foi descoberto por Demócrito, em V A.C.). Assim,

n∑k=1

Vk =n∑

k=1

Ak r

3= (

r

3) (

n∑k=1

Ak) .

Como todas as pirâmides preenchem a esfera sólida, esta fórmula nos diz que o volume da esfera e a sua área estãorelacionados pela equação

V =Ar

3.


Ao descobrir o volume da esfera, Arquimedes, usando esta fórmula, concluiu também, que

4π r3

3=Ar

3.

Logo, A = 4π r2 é a área da esfera de raio r.

24.13 Para você meditar

24.13.1 Regiões ilimitadas têm, necessariamente, áreas infinitas?

O teorema fundamental do cálculo não se aplica ao cálculo de integrais definidas em intervalos onde o integrando nãoseja uma função cont́ınua. Em especial, não é posśıvel aplicar este teorema para o cálculo de integrais em intervalosonde o integrando se torna ilimitado. Um exemplo deste tipo de situação foi explorado no Problema 7 do Cap. 22.

Naquele problema, ao aplicar o teorema fundamental do cálculo para resolver a integral∫ 1−1

1x2 dx, obtivemos para ela

um valor negativo, o que é, evidentemente, um absurdo, visto ser o integrando sempre positivo. No entanto, usandoum processo de limite, é posśıvel calcular esta integral de uma maneira bastante fácil e intuitiva. Sua tarefa é descobrircomo isto é posśıvel. (O Problema 7, deste caṕıtulo fornece uma pista de como isto pode ser feito.)

Use suas conclusões para calcular a integral acima. Interprete o resultado obtido como a área de uma região doplano. Você é capaz de achar um exemplo de uma região ilimitada cuja área seja finita?

24.13.2 Volumes iguais?

Sejam T e T ′ triângulos com um dos seus lados sobre o eixo x. Se T e T ′ têm a mesma área, os sólidos obtidos quandoestes triângulos são girados em torno do eixo x terão o mesmo volume?

24.13.3 A raiz quadrada de 2 é igual a 1?

Qualquer que seja o arco de curva definido pelo gráfico de uma função suave y = f(x), desde o ponto A = (a, f(a))até o ponto B = (b, f(b)), existe uma seqüência de funções escada (veja no Cap. 22 na seção Para você meditar) queconverge para o arco em questão. Execute a animação do texto eletrônico ou examine os gráficos a seguir que ilustrampasso a passo esta idéia para a função y = x.

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

Em cada passo, a soma dos comprimentos dos n segmentos de reta que compõem a função degrau é igual a 1,pois esta soma é igual ao comprimento do intervalo [0, 1]. Como esta seqüência de funções converge para a diagonaldo quadrado de lado 1, temos que

√2 = 1, pois, no limite, a soma dos n segmentos de reta, que é sempre constante

e igual a 1, deve convergir para a diagonal do quadrado unitário. Se temos certeza que√2 ̸= 1, onde está o erro do

racioćınio acima?

24.14 Projetos

24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equaçãoquadrática ter ráızes reais

O objetivo deste projeto é calcular a probabilidade P de que uma equação quadrática do tipo x2 + b x+ c = 0, ondeb e c são constantes aleatórias reais, tenha ráızes reais.

Para isso siga os seguintes passos:


1. Determine a condição algébrica sobre os coeficientes c e b para que a equação acima tenha ráızes reais.

2. Determine, graficamente, a região do plano bc que satisfaz a condição anterior, isto é, marque no eixo das abscissasos valores de b e, no das ordenadas, os valores de c e determine a região que satisfaz a condição imposta.

3. Reduza o problema dado ao problema mais simples de calcular a probabilidade P (N) de os valores de b e de c,escolhidos aleatoriamente num retângulo do tipo [−N,N ], cáırem na região que satisfaz a condição imposta noprimeiro item.

4. Resolver o problema proposto originalmente é equivalente a permitir que, no valor calculado no item anterior,N aumente sem limite. Calcule P e interprete em termos estat́ısticos o resultado encontrado.

5. Os comandos a seguir calculam as ráızes da equação x2 + b x+ c = 0 , onde os coeficientes b e c são númerosno intervalo [−1, 1], gerados aleatoriamente. Execute estes comandos um grande número de vezes, por exemplo100 vezes, e verifique, experimentalmente, que a probabilidade P (N) (N = 1) que você encontrou está correta.Repita esta tarefa para valores sucessivamente maiores de N e verifique, também, que à medida que o valor deN aumenta, P (N) se aproxima cada vez mais de P .

> N:=1:

> n1:=rand():n2:=rand(1..2):n3:=rand():

> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);

> c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)

> ;

> solve(x^2+b*x+c,x);

b := −.009104967988c := .4668664455

.004552483994− .6832610924 I, .004552483994 + .6832610924 I

6. A equação quadrática mais geral a x2 + b x+ c = 0 pode ser reduzida ao caso anterior dividindo-se ambos osmembros por a ̸= 0. No entanto, neste caso, a probabilidade das ráızes desta equação serem reais diminuibastante. Comprove experimentalmente esta afirmação executando os comandos abaixo um grande número devezes e justifique este fato mesmo que intuitivamente.

> N:=1:

> n1:=rand():n2:=rand(-1..0):n3:=rand():n4:=rand():

> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)> ;a:=N*evalf(n4()*(-1)^(n2())/10^12);

> solve(x^2+b/a*x+c/a,x);

b := .1079981641

c := .5820868907

a := −.2641263567−1.294094224, 1.702982475

24.14.2 Volumes de sólidos: seções retas

Suponha que um sólido qualquer esteja situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro emx = b. Se um plano perpendicular ao eixo x intercepta o sólido, a região comum ao plano e ao sólido é chamada seçãoreta ou seção transversa do sólido.

Todas as seções transversas de sólidos de revolução obtidas pela interseção de planos perpendiculares ao eixo derevolução com o sólido são circunferências. A figura à esquerda ilustra esta afirmação no caso do sólido ser um conede revolução. Esta propriedade foi usada neste caṕıtulo ao obtermos uma fórmula para o cálculo do volume de sólidosde revolução. Quando todas as seções retas de um sólido forem iguais, o sólido será considerado um cilindro. A figuraa seguir à direita mostra um cilindro onde todas as seções retas são parábolas idênticas.


–15

–10

–5

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14

10

100

200

300

400

500

0.2 0.4 0.6 0.8 1

–10510

Se estamos interessados apenas na parte do gráfico limitada pelos planos que passam pelos pontos de coordenadasx = a e x = b (na figura da direita, a = 0 e b = 1), então as seções transversas, limitadas por estes planos, sãochamadas bases do cilindro e a distância entre as bases é a sua altura.

O objetivo deste projeto é estabelecer uma fórmula para calcular volumes de cilindros e de sólidos mais gerais, istoé, de sólidos tais que a área das seções retas seja dada por uma função A(x), onde A é uma função cont́ınua em [a, b].

1. Estabeleça uma fórmula para calcular volumes de cilindros sendo conhecidas a área da sua base e a altura. Comocaso especial, mostre que o volume de um cilindro circular reto com raio da base r e altura h é π r2 h.

2. Utilizando a idéia de dividir o sólido em fatias finas e aproximar o seu volume somando os volumes de cada umadessas fatias, estabeleça uma fórmula para calcular o volume de um sólido cuja área de cada seção reta seja dadapor A(x), onde A é uma função cont́ınua em [a, b].

3. O cone mais geral é gerado por todas as retas que passam por um ponto dado V (o vértice) e por uma regiãoplana dada (a base). Imagine um eixo vertical com origem em V e a base B de um cone contida no plano y = h.Mostre que a área da seção reta passando por y0 é (

yoh )

2A, onde A é a área da base dada B. Use este resultado

e a fórmula que você obteve no item anterior para mostrar que o volume de um cone é Ah3 .

4. Determine, por integração, o volume de uma pirâmide reta se a sua altura é h e a base um retângulo de lados ae 2a.

5. Mostre que a fórmula obtida para calcular volumes de sólidos de revolução pelo método do disco é um casoparticular do método das seções retas, onde cada seção reta é um disco cujo raio é conhecido.

6. Demonstre o teorema de Cavalieri : “Se dois sólidos têm alturas iguais e se todas as seções transversas por planosparalelos às suas bases e à mesma distância delas têm áreas iguais, então os sólidos têm o mesmo volume”.

24.14.3 Volumes de sólidos de revolução: método das cascas ciĺındricas

O método das seções retas (projeto anterior) é geral e se aplica, teoricamente, a qualquer problema de cálculo de

volume de sólidos, isto é, é sempre verdade que V =∫ baA(x) dx. No entanto, na prática, esta fórmula não é muito útil.

Considere, por exemplo, o sólido gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico da função y = cos(x) e pelas

retas x = 0 e x = π2 , em torno do eixo y. O volume de tal sólido será dado por∫ 10A(y) dy =

∫ 10π [arccos(y)]2 dy. Esta

última integral é bastante dif́ıcil de calcular.

O objetivo deste projeto é ilustrar um outro método, útil emmuitas situações, para calcular volumes de sólidos de revolução.Em vez de aproximarmos o sólido por discos finos, a idéia éaproximá-lo por cascas ciĺındricas finas, por este motivo estemétodo é chamado método das cascas ciĺındricas.Uma casca ciĺındrica é a região obtida ao girarmos em torno doeixo y um retângulo com base sobre o eixo x. Veja a figura aolado

0.20.40.60.81

–1–0.5

0.51

–1–0.5

0.51

Como dissemos acima, a idéia é aproximar o volume do sólido que queremos calcular pela soma do volume decascas ciĺındricas muito finas. Assim, podemos aproximar o volume de um sólido gerado pela revolução em torno doeixo y, de uma região limitada pelo gráfico da função y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, pela somados volumes de i cascas ciĺındricas concêntricas, cujas espessuras recobrem o intervalo [a, b], de tal modo que a alturada i-ésima casca seja dada por f(xi). À medida que a espessura de cada casca se aproxima de zero, a soma de seusvolumes se aproxima cada vez mais do volume do sólido, da mesma forma como as camadas concêntricas de umacebola preenchem o seu volume. Veja a figura a seguir, onde esta idéia é ilustrada.


1. Mostre que a área de um anel circular de raios r1 e r2 é dada por

π (r22 − r12) = π (r2 − r1) (r2 + r1) = 2π rm ∆ r,

onde rm é o raio médio do anel e ∆ r a sua espessura.

2. Mostre que o volume de uma casca ciĺındrica de raios r1 e r2 e altura h é dada por

π h (r2 − r1) (r2 + r1) = 2π h rm ∆ r

3. Seja A o conjunto {(x, y); a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f(x)}, onde a ≥ 0 e g ≤ f no intervalo [a, b]. Um sólidode revolução é gerado fazendo-se A girar em torno do eixo y. Mostre que o volume do sólido é dado por∫ ba2π x (f(x)− g(x)) dx.

4. Use a fórmula acima para determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficosde y = 4− x2 e y = 0, em torno do eixo y.

5. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através de uma esfera sólida. Se aesfera tem raio a e o anel altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de a.

24.14.4 Usando matemática para modelar um objeto real

Muitos objetos com que lidamos na vida cotidiana são exemplos de sólidos de revolução. Uma forma de pudim éexemplo de um desses objetos. O objetivo deste projeto é descrever um objeto real, no caso uma fôrma de pudim,como um sólido de revolução e obter o seu volume pelos métodos tratados neste caṕıtulo. Para isso, siga os seguintespassos:

1. Aproxime a seção reta da forma por uma função conhecida.

2. Seja f uma função positiva, definida num intervalo [a,b]. Sabemos que, no plano yz, onde z é o eixo verticale y o horizontal, a região limitada pelo gráfico da função z = f(y) e pelo eixo y, ao ser girada em torno doeixo z, gera um sólido de revolução. A superf́ıcie deste sólido pode ser descrita em função dos parâmetros y edo ângulo de giro t. Mostre que as coordenadas de um ponto genérico desta superf́ıcie podem ser dadas por(y sen(t), y cos(t), f(y)).

3. Use a função obtida no primeiro item e o comando plot3d do Maple para visualizar a sua forma de pudim. Paraisso, no comando abaixo substitua f(y) pela função que você definiu no primeiro item e as constantes a e b pelocorreto intervalo de variação de y.

> plot3d([y*sin(t),y*cos(t),f(y)],t=0..2*Pi,y=a..b);

4. Calcule o volume da sua fôrma pelos métodos estudados nesta seção.

5. Meça o diâmetro, o diâmetro do canudo central e a profundidade de uma forma de pudim. Ajuste o seu modeloteórico às dimensões verdadeiras (faça uma redução em escala, se necessário) e calcule o volume da sua fôrmateórica depois do ajuste feito. Verifique a validade do modelo teórico: descubra qual a capacidade da fôrma real(em litros, por exemplo) e compare o resultado teórico com o volume real.

Cap tulo 24 Aplica˘c~oes da Integral De nidawaldecir/calculo1/calculo1pdf/... · 2011. 3. 17. ·...

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