MCTB019-17 Matemática Discretaprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/discreta/semana02.pdfConjunto...

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J Donadelli

ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes

ConjuntosAxiomas,informalmente

Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Semana 2

1 Teoria ingenua dos conjuntos

2 Axiomatica ZFC de conjuntos

3 Relacoes e funcoes

4 Conjuntos numericos

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Conjuntos

Conjunto e informalmente entendido como uma colecao deentidades, ou objetos, chamados de elementos doconjunto e eles mesmos podem ser conjuntos.

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Pertinencia

Um elemento x pertence ao conjunto A se x e umelemento de A o que e denotado por

x ∈ A

e escrevemos a negacao como

x 6∈ A

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos sao iguais se, e somente se, tem osmesmos elementos.

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Conjunto vazio

Ha um (unico) conjunto sem elementos, denotado por ∅ echamado de conjunto vazio.

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.

{ 2, 3, 5, 7 }

{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }

• As vezes, abreviamos usando “. . . ”

{ 0, 2, 4, 6, . . . }

, { 3, 5, 7, . . . }?

• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos

A = { x ∈ B : P(x) }

a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos

{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.

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ConjuntosPrimitivas

Inclusao

Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.

{ 2, 3, 5, 7 }

{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }

• As vezes, abreviamos usando “. . . ”

{ 0, 2, 4, 6, . . . }, { 3, 5, 7, . . . }?

• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos

A = { x ∈ B : P(x) }

a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos

{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.

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Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Inclusao

A e subconjunto de B, se, e so se, para todo x

x ∈ A⇒ x ∈ B

Notacao: A ⊂ B (tambem e usual A ⊆ B)

A e subconjunto proprio de B, se, e so se, e verdadeira asentenca: A ⊂ B e A 6= B

Notacao: A ( B

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Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Inclusao

Notacao: A 6⊆ B para “A e nao e subconjunto de B”, o quee equivalente a

∃x(x ∈ A e x 6∈ B)

Exercıcio: Para qualquer conjunto A,

∅ ⊆ A.

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Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Conjunto das partes

O conjunto das partes do conjunto A e o conjunto formadopor todos os subconjuntos de A.

Notacao: 2A ou ℘(A).

Exercıcio: 2{a } ? 2∅ ? 2{∅ } ?

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Operacoes


Produto cartesiano

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Conjuntosnumericos

Operacoes basicas

• Uniao: A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}

• Interseccao A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.

• Diferenca A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.

• Diferenca simetricaA4 B = {x : x ∈ A ∪ B e x 6∈ A ∩ B}.

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Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Exercıcio: Assuma que ∀x ∈ D,P(x) e logicamenteequivalente a ∀x ∈ D,Q(x).

{ x ∈ D : P(x) } = { x ∈ D : Q(x) }?

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Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Algumas propriedades

Seguem das equivalencias logicas notaveis

1 A ∩ B = B ∩A

2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

3 C \ (A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \ B)

+ na pag. 124 do Rosen

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Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Exercıcio: Seja R um conjunto de conjuntos. Denote por⋃

R

a uniao dos elementos de R.

Por exemplo, se A = {X, Y, Z }, por exemplo, entao⋃A = X ∪ Y ∪ Z.

Tome R = { { { 1 }, { 1, 2 } }, { { 1 }, { 1, 3 } }, { { 2 }, { 2, 3 } } }.

Escreva os conjuntos⋃R e

⋃⋃R.

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Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Semana 2





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Conjunto das partes

Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

Axioma da existencia Existe um conjunto que nao temelementos. Na linguagem formal

∃a∀x(x 6∈ a).

Axioma da extensionalidade Quaisquer dois conjuntoscom os mesmos elementos sao iguais. Na linguagemformal

∀a∀b((∀x(x ∈ a↔ x ∈ b))→ a = b).

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Operacoes


Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

Axioma do par Dados conjuntos y e z existe o conjuntoformado somente por tais elementos {y, z }.

∀y∀z∃a∀x(x ∈ a↔ x = y∨ x = z).

Axioma da uniao Para qualquer conjunto z existe oconjunto

⋃z formado pela uniao dos elementos de z.

∀z∃a∀x(x ∈ a↔ ∃y(x ∈ y∧ y ∈ z)).

Exercıcio: Dados os conjuntos A e B, forme A ∪ B.

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Produto cartesiano

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Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

Axioma das partes Para qualquer conjunto y, existe oconjunto a tal que x ∈ a se, e so se, x ⊆ y.

∀y∃a∀x(x ∈ a↔ ∀z(z ∈ x→ z ∈ y)).

Axioma do infinito Existe um conjunto indutivo; tem ∅como elemento e, se x e elemento, tambem e x ∪ { x }.

∃a(∅ ∈ a∧ ∀x(x ∈ a→ x ∪ { x } ∈ a))

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Produto cartesiano

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Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

Axioma da especificacao De um conjunto y e umpredicado P, formamos o conjunto { x ∈ y : P(x) }.

∀y∃a∀x(x ∈ a↔ x ∈ y∧ P(x)).

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Produto cartesiano

Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

A definicao de uniao { x : x ∈ A∨ x ∈ B } nao se enquadra.

Se x e nao vazio entao⋂x ={y ∈

⋃x : ∀z ∈ x, y ∈ z

}.

Nao temos mais o paradoxo de Russell pois se

S = { x ∈ U : x 6∈ x }

entao S ∈ S se e so se S ∈ U e S 6∈ S o que nao econtraditorio.

nao ha conjunto universo: Teorema. ¬∃y∀x(x ∈ y).

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Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

Axioma da fundacao Cada conjunto nao vazio a tem umelemento b com a ∩ b = ∅.

Axioma da substituicao Dado um conjunto x e umpredicado R(s, t) com a propriedade ∀s∃!tR(s, t), existe oconjunto z tal que y ∈ z se, e so se, existe w ∈ x para oqual R(w,y) e verdadeiro.

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Conjuntosnumericos

Axiomas ZFC

O ultimo axioma e controverso para alguns. Embora parecacoerente ha decorrencias nao intuitivas.

Axioma da escolha Para qualquer conjunto x formado deconjuntos nao-vazios, existe uma funcao f que atribui paracada y ∈ x um f(y) ∈ y.

ou

Dado qualquer conjunto x de conjuntos nao vazios edois-a-dois disjuntos, existe pelo um conjunto z que contemexatamente um elemento em comum com cada um dosconjuntos em x.

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Conjuntosnumericos

Par ordenado

Definicao: (a, b) = { {a }, {a, b } }.

Exercıcio: Verifique que a definicao acima satisfaz apropriedade fundamental de par ordenado se

(a, b) = (x, y) entao a = x e b = y.

Conclua que se a 6= b entao (a, b) 6= (b, a).

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Conjuntosnumericos

Produto cartesianoA e B sao conjuntos nao vazios. Vamos definir o conjuntoA× B que contem os partes ordenados (x, y) com x ∈ A ey ∈ B.

—axiomas do par e da uniao: A ∪ B =⋃{A,B }

—axioma das partes: ℘(A ∪ B).

Dados a ∈ A e b ∈ B,—axioma do par: {a } e {a, b } ∈ ℘(A ∪ B).—axioma do par: { {a }, {a, b } } ⊆ ℘(A ∪ B).

Portanto{ {a }, {a, b } } ∈ ℘(℘(A ∪ B)).

Especificando A× B =

{ z ∈ ℘(℘(A ∪ B)) : ∃x, ∃y(x ∈ A∧ y ∈ B∧ z = (x, y)) }

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Produto cartesiano

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Conjuntosnumericos

Semana 2





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Conjuntosnumericos

Relacoes

Se A e B sao conjuntos, uma relacao R com domınio A econtradomınio B e um subconjunto

R ⊆ A× B.

Se A = B escrevemos A2 para A×B e dizemos que R ⊆ A2

e uma relacao sobre A, ou em A.

Se R ⊆ A× B e (a, b) ∈ R escrevemos a R b.

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Conjuntosnumericos

Relacoes

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4} e R ⊆ A×A dada por

R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (3, 1),

(4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1)}

Temos• 1 R 1,• 2 R 1,• 2 R 2 e• 3 6R 4.

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Conjuntosnumericos

Relacoes

Exemplo:

< e uma relacao sobre N.Ao inves de escrevermos (x, y) ∈ < escrevemos x < y.

Temos• 1 6< 1,• 2 6< 1,• 3 < 4.

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Conjuntosnumericos

Funcoes

Uma relacao R ⊆ A× B e uma funcao se para cada x ∈ A

existe um unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ R.

Em sımbolos ∀x ∈ A, ∃!y ∈ A, (x, y) ∈ R.

∃! abrevia “existe unico”.

Como y e unico ganha um nome: imagem de x por R,denotado R(x).

Escrevemos R : A→ B para R ⊆ A× B funcao.

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Conjuntosnumericos

Funcoes

Exemplo:

A funcao f que o axioma da escolha afirma existir e umsubconjunto de x×

⋃x, ou seja, f : x→ ⋃

x, com apropriedade de que f(y) ∈ y, para todo y ∈ x.

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Conjuntosnumericos

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Conjuntosnumericos

Naturais

N = { 0, 1, 2, . . . }

1 (associativa)(a+ b) + c = a+ (b+ c)

2 (comutativa) a+ b = b+ a

3 (elemento neutro da adicao) 0 e o unico natural tal quea+ 0 = 0+ a = a

4 (cancelamento da adicao) Se a+ c = b+ c entao a = b

5 Se a+ b = 0 entao a = b = 0.

6 (elemento neutro da multiplicacao) m · 1 = 1 ·m = m e1 e unico com essa propriedade.

7 (associativa)(m · n) · p = m · (n · p).

8 (comutativa) m · n = n ·m.

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Conjuntosnumericos

Naturais

9 (cancelamento da multiplicacao) Se mp = np e p 6= 0

entao m = n.

10 (multiplicacao e distributiva com respeito a adicao)(a+ b) ·m = a ·m+ b ·m.

11 Se m · n = 0 entao m = 0 ou n = 0.

12 Se m · n = 1 entao m = n = 1.

13 (reflexiva) a 6 a.

14 (simetrica ) Se a 6 b e b 6 a entao b = a.

15 (transitiva) Se a 6 b e b 6 c entao a 6 c.

16 a 6 b ou b 6 a.

17 (tricotomia) Vale uma e so uma das relacoes

a = b, a < b, b < a.

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Relacoes efuncoes

Conjuntosnumericos

Naturais

18 (compatibilidade com +) Se a 6 b entao a+ c 6 b+ c.

19 (compatibilidade com ·) Se a 6 b entao a · c 6 b · c.

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Conjuntosnumericos

Naturais

Princıpio da Boa Ordem (PBO) Todo A ⊂ N nao-vazio temum menor elemento, ou seja, existe a ∈ N tal que

a ∈ A

∀x ∈ A, a 6 x.

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Conjuntosnumericos

Inteiros

Z ={. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

}1 (Associativa) a+ (b+ c) = (a+ b) + c.

2 (Comutativa)a+ b = b+ a.

3 (Elemento neutro) a+ 0 = a e 0 e o unico com essapropriedade.

4 (Elemento inverso) a+ (−a) = 0.

5 (Cancelativa) a+ b = a+ c↔ b = c

6 (Troca de sinal) −(a+ b) = (−a) + (−b) = −a− b

7 (Associativa) a · (b · c) = (a · b) · c.

8 (Comutativa) a · b = b · a.

9 (Elemento neutro) a · 1 = a e 1 e o unico com essapropriedade.

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Conjuntosnumericos

Inteiros10 (Distributiva)

a · (b+ c) = a · b+ a · c

11 (Cancelativab = c⇒ a · b = a · c

a 6= 0 e a · b = a · c⇒ b = c.

12 (Anulamento) se a · b = 0 entao a = 0 ou b = 0.

13 (Tricotomia) vale so um de

a < b ou a = b ou b < a.

14 a 6 b⇔ a+ c 6 b+ c

15 se c ∈ N entao a 6 b⇔ a · c 6 b · c.

16 a < b e b 6 c⇒ a < c.

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Conjuntosnumericos

Inteiros17 a 6 b e b < c⇒ a < c.

18 a 6 b⇔ −a ≥ −b.

19 a < b⇔ −a > −b.

20 Regras de sinal1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 0

2 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0

3 a < 0 e b > 0⇒ ab < 0

21 a 6 b e c 6 d⇒ a+ c 6 b+ d.

22 a 6 b e c < d⇒ a+ c < b+ d.

23 a2 ≥ 0.

24 a < b e c > 0⇒ ac < bc

25 a < b e c < 0⇒ ac > bc

26 ac 6 bc e c < 0⇒ a ≥ b

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Conjuntosnumericos

Inteiros

27 |a| ≥ 0, ademais |a| = 0 se e so se a = 0.

28 −|a| 6 a 6 |a|.

29 |− a| = |a|.

30 |ab| = |a||b|.

31 |a| 6 b⇔ −b 6 a 6 b.

32 ||a|− |b|| 6 |a+ b| 6 |a|+ |b|.

33 |a|− |b| 6 |a− b| 6 |a|+ |b|

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Conjuntosnumericos

Inteiros

A ⊂ Z nao-vazio e limitado inferiormente se existe m ∈ Z(chamado cota inferior) tal que

∀a ∈ A, m 6 a.

Exercıcio: Todo A ⊂ Z nao vazio e limitado inferiormentetem um elemento mınimo.

Exercıcio: Para todos a, b ∈ Z com b 6= 0, existe n ∈ Z talque n · b > a.

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Conjuntosnumericos

Exercıcios: veja na pagina web e nas notas de aula.

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