Cap01 Laintegralindefinida 520139 2015-2 (4)

7/25/2019 Cap01 Laintegralindefinida 520139 2015-2 (4)

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Captulo 1: LA INTEGRAL INDEFINIDADefinicion, propiedades, tecnicas de integracion. Integracion de funciones

trigonometricas. Sustitucion trigonometrica.

Calculo II (520139)

Departamento de Ingeniera MatematicaFacultad de Ciencias Fsicas y Matematicas

Universidad de Concepcion

520139 Captulo 1 DIM, UdeC 1 / 22
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Estimado(a) Alumno(a):

Estas transparencias son solo para desarrollar las clases del captulo La IntegralIndefinida de la asignatura Calculo II (520139).

En las clases se detallan y complementan los diferentes temas tratados en estas

transparencias, se agregan figuras, ejemplos, comentarios, etc.

Para su estudio Ud. debe usar los textos sugeridos en la bibliografa incluida en elSyllabus del curso.

El Profesor.



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LA INTEGRAL INDEFINIDA

Definicion.

Dada una funcion real f, definida en un intervalo I, se llamaprimitiva o antiderivadade fa cualquier funcion real F tal que:

F(x) =f(x), x I

Ejemplo.Sea f(x) = cos(x), x R. Entonces, I = R y la funcion F(x) = sen(x) es unaantiderivada (o primitiva) de cos(x) en R, ya que:

F(x) =

d

dx sen(x) = cos(x) =f(x), x R

Ademas, para cualquier constante real c, la funcion F(x) = sen(x) +c; verificaF(x) =f(x), x I; y luego es primitiva de coseno. Entonces:

c R : sen(x) +c es una primitiva de cos(x)

Existiran primitivas de coseno que tengan otra forma?

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Lema 1.Sean F y G funciones derivables en un intervalo Iy tales que G(x) =F(x),x I.Entonces:

G(x) =F(x) +C, para alguna constante C

Observacion

Del lema se concluye que dos primitivas cualquiera de una funcion f difieren solo por unaconstante, luego basta conocer una de ellas para poder representar toda la familia deprimitivas de fsumando una constante a la que se conoce.

Si y=F(x) es una primitiva de f(x), entonces laforma generalde una primitiva def(x), oprimitiva general, es F(x) +C, donde Ces una constante.

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Al proceso para determinar y=F(x) +Cpartiendo de f(x), o de la ecuacion:

dx

dy =f(x), o equivalentemente, de dy=f(x)dx, x

I

se llamaintegracionde f(x); la solucion de la ecuacion se escribe:

y=

f(x) dx=F(x) +C, con C constante

y recibe el nombre deintegral indefinida de f, es decir, f(x) dx=F(x) +C, donde Ces una constante y x I : F(x) =f(x)

Ademas:

es el signode la integral.dx indica lavariablede integracion.

fes la funcionintegrando.

Ces laconstantede integracion.

Ejemplo.

cos(x) dx= sen(x) +C.

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LA INTEGRAL INDEFINIDAPROCESOS INVERSOS

La integracion y la derivacion son procesos inversos, pues si F(x) =f(x), x I:

al derivar

f(x) dx=F(x) +C, con C constante, se obtiene:

d

dx

f(x) dx

=

d

dx [F(x) +C] =F(x) =f(x)

(la derivacion es la inversa de la integracion).

al reemplazar f por F en

f(x) dx=F(x) +C, con C constante, se obtiene:

F(x) dx=

d

dx [F(x)] dx=F(x) +C, C constante

(la integracion es la inversa de la derivacion).



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Primeras 10 formulas de integracion.Para a, c, rconstantes reales, con a >0 y a= 1:

1 dx=x+C

x

rdx=

xr+1

r+ 1+C, r=1

sen(x) dx= cos(x) +C e

xdx=ex +C

11

x2

dx= Arcsen(x) +C

x dx=

1

2x

2 +C x

1dx= ln(|x|) +C

cos(x) dx= sen(x) +C a

xdx=

1

ln(a)ax +C

1

1 + x2dx= Arctan(x) +C

Cada formula de derivacion da origen a una formula de integracion.

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Teorema 1. (Propiedades de la integral)

Propiedad de linealidad. Sean f y g funciones con integrales f(x) dx y g(x) dx.Si es una constante real, entonces:

f(x) dx=

f(x) dx

[f(x)+g(x)] dx= f(x) dx+ g(x) dxPropiedad de linealidad generalizada. Para cada n N:

[1f1(x) + + 2f2(x)] dx=1

f1(x) dx+ + 2

f2(x) dx

Ejemplos.Calcular las integrales:

1

(7 + 2x 3x4) dx 2

3x2 5

2

x dx

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TECNICAS DE INTEGRACION

Ayudan a la integracion de funciones mas complejas. Veremos ahora las mas utilizadas.

Integrando con la Regla de la Cadena.

f(g(x))g(x) dx.

Suponemos que F es una primitiva de f en un intervalo Iy que F gexiste en I.Entonces (F

g)(x) =F(g(x)), y por la Regla de la Cadena:

d

dxF(g(x)) =f(g(x))g(x)

es decir, F(g(x)) es una primitiva de f(g(x))g(x), para x en I, y en consecuencia:

f(g(x))g(x) dx=F(g(x)) +C, C constante.Para usar esta regla se deben identificar f y g, y luego obtener la primitiva F.

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TECNICAS DE INTEGRACIONMETODO DE SUSTITUCION O DEL CAMBIO DE VARIABLE

Es mas general que el anterior y consiste en introducir una nueva variable, digamos:

u:=g(x), cuyo diferencial es du:=g(x) dx,

luego integrar en la variable uy, finalmente, volver a la variable original.

Aplicando este metodo a la integral

f(g(x))g(x) dx se tiene:

f(g(x)u

) g

(x) dx du

= f(u) duUna vez encontrada una primitiva F de f se tendra que:

f(u) du=F(u) +Cy volviendo a la variable original xse obtiene:

f(g(x))g(x) dx=F(g(x)) +C, C constante.

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TECNICAS DE INTEGRACIONINTEGRACION POR PARTES

Sean f, g funciones de la variable x, derivables y con primera derivada continua. De laregla de la derivada de un producto se tiene:

[f(x)g(x)]

=f

(x)g(x) +f(x)g

(x)

y al integrar se obtiene:

f(x)g(x) =

f

(x)g(x) dx+

f(x)g(x) dx

o bien: f(x)g(x) dx=f(x)g(x)

g(x)f (x) dx

Esta igualdad se llamaregla de integracion por partes, y tambien escribe como: u dv=uv

v du

donde

(u=f(x) = du=f (x) dx) y (v=g(x) = dv=g(x) dx)

Idea: elegir ufacil de derivar y dv facil de integrar.

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TECNICAS DE INTEGRACIONDESCOMPOSICION EN SUMA DE FRACCIONES PARCIALES

Para integrar funciones racionales

f(x) = p(x)

q(x)

donde p(x), q(x) son polinomios reales, se utiliza la descomposicion en suma de

fracciones parciales.Esta descomposicion se basa en la factorizacion del denominador q(x) en un producto depolinomios irreducibles enP(R), y en la posterior utilizacion del procedimiento estudiadoen el curso Algebra y Trigonometra (522115). Finalmente, se integra cada una de lasfracciones parciales obtenidas para, usando las propiedades de linealidad de la integral,obtener la integral buscada.

Ejemplos.(En Clases).

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TECNICAS DE INTEGRACIONINTEGRACION DE FUNCIONES CIRCULARES

Es conveniente recordar que a partir de la derivada:

ddx ln(|x|) = 1x, x= 0se obtiene la regla de integracion:

1

x dx= ln(|x|) +C.

En forma general, usando la regla de la cadena, se obtiene la igualdad:

d

dx ln(|u(x)|) = u

(x)

u(x), u(x)= 0

que permite extender la integral anterior a:

u(x)

u(x) dx= ln(|u(x)|) +C,

para cualquier funcion uque sea derivable y con u(x)= 0.



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Ejemplos.

tomando u= cos(x) tenemos tan(x) dx=

sen(x)

cos(x)dx=

du

u = ln (| cos(x)|) +C

tomando u= sec(x) + tan(x) tenemos

sec(x) dx=

sec(x)

sec(x) + tan(x)

sec(x) + tan(x)

dx

= duu =ln (| sec(x) + tan(x)|) +C

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Sugerencias para tratar las integrales:

senm(x) dx, cosn(x) dx, senm(x)cosn(x) dxSi m es impar positivo, m= 2k+ 1, factorizar

senm(x) = (sen2(x))k sen(x) = (1 cos2(x))k sen(x)

y luego hacer la sustitucion u= cos(x).

Si n es impar positivo, n= 2k+ 1, factorizar

cosm(x) = (cos2(x))k cos(x) = (1 sen2(x))k cos(x)y luego hacer la sustitucion u= sen(x).

Si n y m son pares no negativos, usar las identidades

sen2(x) = 1

2 1

2cos(2x) y cos2(x) =

1

2+

1

2cos(2x)

para transformar el integrando en uno con potencias impares de coseno.


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Por su importancia, consideramos ahora las integrales de sen2(x) y cos2(x).

sen2(x) dx=

1

2 1

2cos(2x)

dx

= 1

2dx 1

2cos(2x) dx

= x

2 1

4sen(2x) +C.

De la misma forma se evalua la integral de cos2(x). Se obtiene:

cos2(x) dx= x2

+14

sen(2x) +C


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ObservacionesLas integrales

secm(x)tann(x) dxse tratan en forma similar a las anteriores,

usando la identidad sec2(x) = 1 + tan2(x).

Las integrales cscm(x)cotn(x) dxse tratan en forma similar a las anteriores,

usando la identidad csc2(x) = 1 + cot2(x).

Para integrandos del tipo sen(ax) cos(bx), sen(ax) sen(bx) y cos(ax) cos(bx), seusan las identidades que transforman productos en sumas.

Ejemplo.(En clases) sec3(x) dx=

1

2[sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)|] +C


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TECNICAS DE INTEGRACIONSUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

Las siguientes sustituciones trigonometricas se usan para eliminar del integrando una razdel tipo que se indica:

x=a tan(), con2

< <

2,

a2 +x2, a>0

x=a sen(), con2

2, a2 x2, a>0

x=a tan(), con 0 < 2

o

2 < , x2 a2, a>0

Los ejemplos que siguen muestan detalles de su utilizacion.


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Para x=a tan(), con2

< <

2, dx=a sec2() d y se tiene:

a2 +x2 =

a2(1 + tan2()) =a sec()

Ejemplo.

a2 +x2 dx=a2

sec3() d

= 1

2

x

a2 +x2 +a2 lnx+

a2 +x2

+C.


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Para x=a sen(), con2

2, dx=a cos() d y entonces:

a2 x2 =

a2(1 sen2()) =a cos()

Ejemplo.

a2 x2 dx = a2

cos2() d =

1

2

a

2Arcsen

x

a

+x

a2 x2

+C.


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Para x=a sec(), con 0 y = 2

, dx=a sec()tan() d y entonces:

x2 a2 =

a2(sec2() 1) =a tan()

donde el valor positivo corresponde al caso x >a y el negativo a x a

x2 a2 dx=a2

tan2()sec() d

= 1

2 xx

2

a2

a

2 ln x+ x2

a2+C.

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