Cap09
description
Transcript of Cap09
![Page 1: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/1.jpg)
Momentum Lineal y Choques
Capítulo 09
![Page 2: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/2.jpg)
Contenido
• Momentum lineal y su conservación• Conservación del momentum para dos partículas• Impulso y momentum• Colisiones• Clasificación de las colisiones• Colisiones perfectamente inelásticas• Choques elásticos• Colisiones en dos dimensiones• Centro de masa• Centro de masa de un objeto extendido• Movimiento de un sistema de partículas
![Page 3: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/3.jpg)
Momentum Lineal y su Conservación
Por lo tanto, el momentum lineal de una partícula es: una MF Vectorial; que se mide en kgm/s o Ns y quedepende en forma directamente proporcional a la masa y a la velocidad de la partícula.
El Momentum Lineal o Momentum, , de una partícula se define como el producto de la masa m porla velocidad de la partícula:
p
v
p m v≡
![Page 4: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/4.jpg)
Momentum Lineal y su Conservación
La segunda ley de Newton establece que la fuerza netasobre un objeto es igual a la rapidez de cambio del momentum del objeto.
En términos del momentum, la segunda ley de Newton se escribe como:
dpFdt
=
![Page 5: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/5.jpg)
Para dos partículas aisladasque interactúan entre sí, se cumple por segunda ley de Newton que:
De la tercera ley de Newton, tenemos que:
Conservación del Momentum Lineal para dos partículas
11 2
d pF
d t= 2
2 1d p
Fd t
=
12 21 12 21 0F F F F= − ⇒ + =
m1
1 1 1p m v=
12F
m2 2 2 2p m v=
2 1F
![Page 6: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/6.jpg)
De ambas ecuaciones se obtiene que:
Esto significa que:
La ley de la conservación del momentum lineal establece que siempre que dos o más partículas aisladasinteractúan entre sí, su momentum total permanece constante.
( )1 21 2 0
dp dp d p pdt dt dt
+ = + =
1 2 .totp p p cte= + =
Conservación del Momentum Lineal para dos partículas
![Page 7: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/7.jpg)
Impulso y Momentum
El impulso de una fuerza se define como la integral de dichafuerza en el tiempo, durante el intervalo de tiempo que actúa:
f
i
t
tI F d t≡ ∫
Por lo tanto, el impulso de una fuerza es: una MF Vectorial; que se mide en Ns o kgm/s y que dependeen forma directamente proporcional a la fuerza y al intervalo de tiempoque actúa.
![Page 8: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/8.jpg)
Impulso y Momentum
El impulso de la fuerza neta es igual al cambio de momentum de la partícula.
f f
i i
t t
neta f it t
dpF dt dt I p p pdt
= ⇒ = − = Δ∫ ∫
Si es la fuerza neta, entonces:F
![Page 9: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/9.jpg)
El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al “área bajo la curva”fuerza-tiempo.
F
t
t ft i
A una fuerza que actúa en un tiempo muy corto se le llama fuerza impulsiva.
F
El impulso se puede escribir como: , donde es la fuerza promedio durante el intervalo de tiempo.
I F t= Δ F
t i t f
t
F
F
" " Área I=
![Page 10: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/10.jpg)
Colisiones
Se llama colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva.
Sea: m1 y m2 las masas de los cuerpos y, , y son las velocidades iniciales y
finales de las masas m1 y m2, respectivamente.iv 1 iv2 fv1 fv2
Entonces, la conservación del momentum lineal establece que:
m1 m2
F12F21
i i f fm v m v m v m v+ = +1 1 2 2 1 1 2 2
![Page 11: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/11.jpg)
Tipos de Colisiones
Una colisión inelástica es aquella en la que se conserva el momentum del sistema, pero no se conserva la energía cinética del sistema.
Una colisión perfectamente inelástica entre dos objetos es una colisión inelástica en la cual los dos objetos permanecen juntosdespués de la colisión, por lo que sus velocidades finales son las mismas.
Una colisión elástica es aquella en la que se conserva tanto el momentum, como la energía cinética del sistema.
Según si se conserva o no la energía cinética del sistema de partículas que colisionan, las colisiones se clasifican en: inelásticas y elásticas.
![Page 12: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/12.jpg)
Tipos de Colisiones
Una colisión unidimensional es aquella en la que las direccionesde las velocidades de las partículas que colisionan, antes y después del choque, están todas contenidas en una misma línea.
Una colisión bidimensional es aquella en la que las direcciones de las velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en una misma superficie.
Una colisión tridimensional es aquella en la que las direcciones de las velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en el espacio.
Según las direcciones de las velocidades de laspartículas que colisionan, las colisiones se clasifican en: unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.
![Page 13: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/13.jpg)
Colisiones en Una Dimensión
Colisiones Perfectamente Inelásticas
m1
iv1
m2
iv2
m1+m2
fv
Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:
1 1i 2 2i 1 2 fm v m v (m m )v+ = +
1 1i 2 2if 1f 2f
1 2
(m v m v )v v v
(m m )+
= = =+
![Page 14: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/14.jpg)
Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple que:
Si m2 está inicialmente en reposo, entonces:
Colisiones perfectamente inelásticas
m1+m2
fv
Si: m1» m2, entonces: f iv v≈ 1
Si: m1« m2, entonces:fv 0 m / s≈
1 1i 2 2 if
1 2
(m v m v )v
(m m )+
=+
1f 1i
1 2
mv v
(m m )=
+
![Page 15: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/15.jpg)
Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple que:
Colisiones perfectamente inelásticas
Si en este caso m1= m2, entonces: vf = 0 m/s
Si: , entonces:i iv v= −2 1m1
iv 1
m2
iv2
1 1i 2 2 if
1 2
(m v m v )v
(m m )+
=+
1 2f 1i
1 2
(m m )v v
(m m )−
=+
![Page 16: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/16.jpg)
Colisiones Elásticas
Si conocemos las velocidades de ambas partículas antes de la colisión, las ecuaciones de arriba corresponden a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen una solución única para ambas velocidades finales.
Por ley de conservación del momentum lineal, se tiene:
Por ley de conservación de la energía cinética, se tiene:
m1iv1
m2iv2m1
fv 1m2
fv2
i i f fm v m v m v m v+ = +1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 21 1i 2 2i 1 1f 2 2f
1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2
+ = +
![Page 17: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/17.jpg)
La solución al sistema de ecuaciones queda:
Casos especiales:
a) Entonces, se tiene: y
¡ Hay intercambio de velocidades !
1 2 21f 1i 2i
1 2 1 2
m m 2mv v v
m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 12f 1i 2i
1 2 1 2
2m m mv v v
m m m m⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2Si: m m= 1f 2iv v= 2 f 1 iv v=
![Page 18: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/18.jpg)
Y las ecuaciones para las velocidades finales quedan:
De aquí se obtienen los siguientes casos límites:
b) Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2i = 0 m/s
1f 1i 2f 1iSi: m m v v y v 2v>> ⇒ ≈ ≈1 2
1 2 1f 1i 2fSi: m << m v v y v 0⇒ ≈ − ≈
1 21f 1i
1 2
m mv v
m m⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠1
2f 1i1 2
2mv v
m m⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
![Page 19: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/19.jpg)
Colisiones en Dos Dimensiones
Para el caso de dos dimensiones la conservación del momentum se expresa para cada componente como:
Antes de la colisión Después de la colisión
m1 1iv
m2
2iv m1
1fv
m2 2fv
1 1 ix 2 2 ix 1 1fx 2 2 fxm v m v m v m v+ = +
1 1 iy 2 2 iy 1 1 fy 2 2 fym v m v m v m v+ = +
![Page 20: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/20.jpg)
Consideraremos el caso en que m2 está inicialmente en reposo.
1m
i1v
2m
Antes de la colisión
f1v
) θ
)sin(v f1 θ)(cosv f1 θ
) φ
f2v)(sinv f2 φ−
)(cosv f2 φ
Después de la colisión
Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ sobre la horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ bajo la horizontal.
m1 v1i = m1 v1f cos(θ) + m2 v2f cos(φ)
0 = m1 v1f sen(θ) - m2 v2f sen(φ)
Las ecuaciones anteriores quedan como:
![Page 21: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/21.jpg)
La ley de la conservación de la energía cinética da otra ecuación:
Con esta ecuación formamos un sistema de tres ecuaciones independientes, con cuatro incógnitas.
Por lo tanto, dadas las masas y la velocidad inicial, deberádarse alguna de las cantidades restantes v1f , v2f , θ o φ.
2 2 2 21 1i 2 2i 1 1f 2 2f
1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2
+ = +
![Page 22: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/22.jpg)
Centro de Masa
El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual pareciera estarconcentrada toda la masa del sistema.
x
y
z
RCM
m1
m2
m3
mi
r 1r 2
r 3
r i
En un sistema formado por una distribución discreta de partículas, la posición del centro de masa se define mediante la ecuación siguiente :
i i i iCM
i
m r m rr
m M= =∑ ∑
∑
![Page 23: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/23.jpg)
Centro de Masa de un objeto extendido
La posición del centro de masa de un objeto extendido o distribución continua de masa se define mediante la integral:
El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.
R CM
r i
m
x
y
z
CM1r r dmM
= ∫
![Page 24: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/24.jpg)
Movimiento de un Sistema de Partículas
Si se deriva respecto al tiempo la posición del centro de masa de un sistema de partículas, se obtiene la velocidad del centro de masa:
El momentum total del sistema es:
CM iCM CM i
dr dr1v = v = mdt M dt
→ ∑
i iCM
m vv
M= ∑
tot CMp M v=
CM i i i totMv m v p p= = =∑ ∑
![Page 25: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/25.jpg)
La aceleración del centro de masa se obtiene, por definición, derivando con respecto al tiempo la velocidad del centro de masa, o sea:
De esta definición y con la Segunda Ley de Newton, se tiene:
CM iCM CM i
dv dv1a a mdt M dt
= → = ∑
i iC M
m aa
M= ∑
C M i i iM a m a F= =∑ ∑
![Page 26: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/26.jpg)
Y tomando en cuenta la 3ra. Ley de Newton, se tiene la ley:
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.
totext C M
dpF M a
d t= =∑
![Page 27: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/27.jpg)
La fuerza neta actúa sobre un cuerpo como si éste fuese un objeto puntual y toda la masa del objeto estuviera concentrada en un sólo punto que es el Centro de Masa.
¡ El centro de masa del bate sigue una trayectoria parabólica, como la seguida por un objeto puntual bajo la acción de una fuerza gravitacional !
![Page 28: Cap09](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022060110/555e2985d8b42a6a4c8b51a0/html5/thumbnails/28.jpg)
Por otro lado, es inmediato que si las fuerzas externas se anulan, el centro de masa se mueve con velocidad uniforme.
Por lo que:
i1v 0=v i2
fvColisión perfectamente inelástica
totCM
dp M a 0
dt= =
tot CMp M v c te.= =