GUIA 9

Sistemas de ecuaciones linealesUn mundo en el que habitara una sola especie no serıa interesante, como tampoco es muyinteresante un circuito RLC aislado o un oscilador mecanico desconectado de su entorno. Laexistencia de varias especies que interactuan hace interesante al mundo natural, los milagrosde la electronica posibilitan la integracion de muchos circuitos electricos, las leyes de lamecanica permiten modelar el comportamiento de objetos complejos tales como cuerdas,puentes, inclusive edificios, mediante sistemas de masas puntuales acopladas a traves deresortes.

En este capıtulo se estudian ecuaciones diferenciales que modelan la dinamica de unsistema en el que sus componentes interactuan entre sı, regidos por leyes fisıcas, economicassociales o biologicas.

Como ejemplo introductorio consideremos un sistema que consta de dos bloques, que semueven a lo largo de un eje horizontal, conectados entre sı y a un par de paredes verticalesmediante sendos resortes, tal y como lo muestra la figura Fig. 1. Supongamos ademas queambos bloques tienen la misma masa m, que el resorte que los une tiene constante kc, y quelos resortes que los conectan a las paredes tienen ambos la misma constante k.

K KKc

x2 x1

Figura 1: sistema acoplado de dos bloques

Si las variables x1 = x1(t) y x2 = x2(t) representan el desplazamiento en el tiempo t, delprimero y el segundo de los bloques respectivamente, cuando estos desplazamientos se midena partir de la correspondientes posiciones de equilibrio, entonces, aplicando la segunda leyde Newton a cada uno de los bloques se obtienen las ecuaciones

md2x1

dt2= −k x1 − kc (x1 − x2)

md2x2

dt2= −k x2 − kc (x2 − x1)

(1)

Si se introducen las variables

v1 =dx1

dt, v2 =

dx2

dt,

1

y se tiene en cuenta quedv1

dt=

d2x1

dt2,

dv2

dt=

d2x2

dt2,

el sistema (1) se convierte en

dx1

dt= v1

dv1

dt= −k + kc

mx1 +

kc

mx2

dx2

dt= v2

dv2

dt= −k + kc

mx2 +

kc

mx1

(2)

que en notacion matricial puede escribirse como

d

dt

x1

v1

x2

v2

=

0 1 0 0

−k+kc

m0 kc

m0

0 0 0 1kc

m0 −k+kc

m0

x1

v1

x2

v2

. (3)

El sistema de ecuaciones (2) (o su forma matricial (3)), constituye un ejemplo de un sistemalineal de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Si no existe acople entre los bloques, es decir, si kc = 0, el sistema (1) se reduce a unsistema desacoplado,

md2x1

dt2= −k x1, m

d2x2

dt2= −k x2,

en donde las masas se mueven de forma independiente.Frecuentemente la descripcion dinamica de un sistema fısico (como puede ser un conjunto

de partıculas o una red de circuitos), cuyo estado en cada instante viene caracterizado porlos valores x1(t), . . . , xn(t), que tomen las n variables x1, . . . xn, en el tiempo t, puede darseen terminos de un sistema de ecuaciones diferenciales que expresen las leyes de variacion delestado (x1, . . . , xn) respecto a la variable temporal t :

x′1 = f1(t, x1, . . . , xn),...

x′n = fn(t, x1, . . . , xn)

(4)

El anterior sistema puede reescribirse como una ecuacion vectorial para la variable vectorialx(t) = (x1(t), . . ., xn(t)) :

x′ = f(t,x), (5)

donde f(t,x) = (f1(t,x), . . . , fn(t,x)) .Desafortunadamente no contamos con metodos generales que permitan resolver un sis-

tema de ecuaciones diferenciales arbitrario como el dado en (5). Una de las pocas clases desistemas (y la mas importante) para la cual es posible obtener las soluciones en terminos de

2

funciones elementales es la de los sistemas lineales con coeficientes constantes. El sistema(5) es lineal con coeficientes constantes si para cada i = 1, . . . , n

fi(t, x1, . . . , xn) = ai1 x1 + · · ·+ ain xn + bi(t).

Un sistema lineal puede presentarse como el modelo matematico de un sistema con carac-terısticas lineales, tal como sucede con ciertas redes de circuitos, pero lo mas frecuente esque se introduzca como una aproximacion lineal de un sistema no lineal.

El estudio que hacemos de los sistemas lineales es completamente analogo al de lasecuaciones lineales de segundo orden (o de orden n), en una variable.

1. Conceptos basicos.

Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las n variablesx1 = x1(t), . . . , xn = xn(t), es un sistema de n ecuaciones de la forma

x′1 = a11(t) x1 + · · ·+ a1n(t) xn + b1(t)...

x′n = an1(t) x1 + · · ·+ ann(t) xn + bn(t)

(6)

en donde los coeficientes aij(t), bi(t), i, j = 1, . . . , n, son funciones dadas, definidas en unintervalo J. En notacion matricial el sistema (6) se puede escribir como

x′ = A(t)x + b(t) (7)

donde b(t) = (b1(t), . . . , bn(t))T y

A(t) =

a11(t) · · · a1n(t)...

...an1(t) · · · ann(t)

.

Vale la pena senalar en este punto que una ecuacion lineal de segundo orden puedesiempre verse como un sistema de ecuaciones de primer orden. En efecto, introduciendo lavariable v = x′ y teniendo encuenta entonces que v′ = x′′, la ecuacion

x′′ + a(t) x′ + b(t) x = f(t),

se transforma en el sistema

x′ = v,

v′ = −a(t) v − b(t) x + f(t),

Mas generalmente la ecuacion diferencial lineal de orden n,

x(n) + an−1(t) x(n−1) + · · ·+ a1(t) x′ + a0(t) x = f(t)

3

es equivalente al sistema lineal de primer orden en las variables x1 = x, x2 = x′, . . . , xn =x(n−1) dado por

x′1 = x2,...

x′n−1 = xn,x′n = −a0(t) x1 − a1(t) x2 − · · · − an−1(t) xn + f(t)

EjerciciosHalle un sistema lineal de ecuaciones de primer orden equivalente a la ecucion dada en cadacaso:

1. x′′+2x′+5x = 0 2. x′′−2x′−3x = 0 3. x′′ − x = 0 4. x′′ + ω2 x = 0

A continuacion discutiremos algunas de las principales caracterısticas de la estructurade las soluciones de un sistema lineal, estructura que facilita su calculo en ciertos casos. Enlo sucesivo supondremos que los coeficientes aij(t) y bi(t) son funciones continuas definidassobre un cierto intervalo J.

Definicion. Una solucion del sistema (7) en un intervalo J es una funcion vectorial x(t) =(x1(t), . . . , xn(t))T , definida y derivable en J y tal que para todo t de este intervalo se satisface

x′(t) = A(t)x(t) + b(t)

Ejemplo 1. Las funciones

x1(t) =

(e−t

−e−t

)y x2(t) =

(e3t

3e3t

)son soluciones del sistema (

x′1x′2

)=

(0 13 2

) (x1

x2

).

¿Que clase de trayectorias describen las funciones x1(t) y x2(t) en el plano x1, x2?

EjerciciosLos sistemas que se dan a continuacion son equivalentes a una ecuacion lineal de segundoorden. Emplee esa equivalencia para hallar las soluciones del sistema.

1.

(x′1x′2

)=

(0 11 0

) (x1

x2

)2.

(x′1x′2

)=

(0 1

−2 −5

) (x1

x2

) 3.

(x′1x′2

)=

(0 1

−ω2 0

) (x1

x2

)

El siguiente teorema es analogo a los teoremas de existencia y unicidad de solucionespara ecuaciones lineales de primer y segundo orden.

4

Teorema 1 (Teorema fundamental). Dados t0 en el intervalo J y x0 = (x01, . . ., x

0n) un

punto cualquiera de Rn, existe una unica funcion x(t) = (x1(t), . . ., xn(t))T , definida en J,que satisface el problema de valores iniciales{

x′ = A(t)x + b(t),

x(t0) = x0

Omitimos la demostracion de este resultado. El lector interesado puede consultar porejemplo E. Coddington and N. Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955.

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que, dado un punto t0 cualquiera deJ la funcion constante x(t) ≡ 0 es la unica solucion del sistema homogeneo

x′ = A(t)x, (8)

que ademas satisface la condicion x(t0) = 0.

Teorema 2. Si las funciones x1(t), ...,xr(t) son soluciones del sistema homogeneo (8), en-tonces tambien es solucion cada una de las combinaciones lineales de x1, . . . ,xr,

x(t) = c1x1(t) + ... + crxr(t)

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de la linealidad del sistema.

Definicion. Un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogeneo de dimension n(8), en el intervalo J, es un conjunto de n soluciones de (8) que sean linealmentes indepen-dientes en J.

Definicion. Si xj(t) = (x1j(t), . . . , xnj(t))T , j = 1, . . . , n, son n soluciones del sistema

homogeneo de dimension n (8), el Determinante de Wronski de estas funciones, W (t) =W (x1, . . . ,xn)(t), se define como

W (x1, . . . ,xn)(t) = det

x11(t) · · · x1n(t)...

...xn1(t) · · · xnn(t)

.

Ejemplo 2. Considerese el sistema del ejemplo 1. Como se puede ver facilmente las solucionesx1(t) y x2(t) son linealmente independientes en J = (−∞,∞) y por lo tanto constituyen unconjunto fundamental de soluciones del sistema en ese intervalo. Ademas

W (x1,x2)(t) = det

(e−t e3t

−e−t 3e3t

)= 4e2t

Ejemplo 3. Las funciones

x1(t) =

(cos ωt

−ω sen ωt

), x2(t) =

(sen ωt

ω cos ωt

)forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema(

x′

y′

)=

(0 1

−w2 0

) (xy

)

5

Teorema 3 (Criterio para conjunto fundamental). Si x1(t), . . .,xn(t) son n solucionesdel sistema homogeneo de dimension n (8), entonces las tres siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) x1(t), . . .,xn(t) forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema.

(ii) W (t) 6= 0 para todo t de J.

(iii) W (t0) 6= 0 para algun t0 de J.

Teorema 4 (Propiedad de base). Sea {x1(t), . . .,xn(t)} un conjunto fundamental desoluciones del sistema homogeneo (8), en un intervalo J. Entonces cada una de las solucionesde (8) en J puede expresarse como una combinacion lineal de x1(t), . . . ,xn(t). En otraspalabras para cada solucion x = x(t) del sistema existen constantes c1, . . . , cn tales que

x(t) = c1x1(t) + · · ·+ cnxn(t), (9)

para todo t de J. Se acostumbra decir en ese caso que (9) representa la solucion general de(8).

Las demostraciones de estos dos teoremas son completamente analogas a las de los co-rrespondientes teoremas de la guıa 5 (Ecuaciones lineales de segundo orden).

Dos propiedades basicas de un sistema no homogeneo (7), que son consecuencias inme-diatas de la linealidad del sistema homogeneo asociado (8) son:

Teorema 5 (Primer principio de superposicion para sistemas no homogeneos). Sixk = xk(t) es una solucion del sistema

x′ = A(t)x + bk(t), k = 1, . . . , n

entonces x(t) = c1x1(t) + · · ·+ crxr(t) es solucion del sistema no homogeneo

x′ = A(t)x + c1 b1(t) + · · ·+ cr br(t).

Teorema 6 (Segundo principio de superposicion para sistemas no homogeneos).Si xp(t) es una solucion particular del sistema no homogeneo (7), entonces cada una de lassoluciones x = x(t) de ese sistema puede escribirse en la forma

x(t) = xp(t) + xH(t),

para alguna solucion xH = xH(t) del sistema homogeneo asociado (8).

Observacion. Si x(t) y y(t) son dos soluciones de (7), la diferencia x(t)−y(t) es solucion dela ecuacion homogenea asociada (8)

6

2. Sistemas homogeneos con coeficientes constantes

En esta seccion presentaremos un metodo que permite hallar las soluciones de un sistemahomogeneo con coeficientes constantes.

x′ = Ax .

La matriz A asociada al sistema es una matriz n×n cuyos componentes son numeros realesaij :

A =

a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

.

La idea, debida a L. Euler, es buscar soluciones del tipo x(t) = eλtw, donde λ es unaconstante y w = (w1, ..., wn)T es un vector de Rn, ambos por determinar.

Como ddt

(eλtw) = λ eλt w y A (eλt w) = eλt Aw, entonces x(t) = eλt w es solucion dex′ = Ax si y solo si Aw = λw. Si x(t) es ademas una solucion no nula entonces λ debe serun valor propio de la matriz A y w debe ser un vector propio asociado a λ. En consecuenciala busqueda de soluciones de la forma x(t) = eλtw se reduce a la busqueda de valores yvectores propios de la matriz A.

Recuerdese que λ es un valor propio de la matriz A si existe un vector w 6= 0 para el cualAw = λw. En consecuencia los valores propios de la matriz A son las raıces de la ecuacioncaracterıstica

pA(λ) = det(A− λI) = 0,

donde I es la matriz identidad n×n y los vectores propios asociados a un valor propio λ sonlas soluciones w de la ecuacion

(A− λI)w = 0

Ejemplo 4. Buscamos las soluciones del sistema

dx

dt= y,

dy

dt= 3x− 2y.

La matriz del sistema es la matriz

A =

(0 13 2

),

(ver ejemplo 1) y la ecuacion caracterıstica es la ecuacion

det(A− λI) =

∣∣∣∣ 0− λ 13 2− λ

∣∣∣∣ = −λ (2− λ)− 3

= λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3)(λ + 1)

= 0.

Los valores propios son pues λ1 = 3 y λ2 = −1 y resolviendo las ecuaciones (A− 3I)w = 0y (A + I)w = 0 se obtienen los vectores propios asociados. En particular

w1 =

(13

)y w2 =

(−1

1

)7

son vectores propios que respectivamente corresponden a λ1 y a λ2. Correspondiendo a estaseleccion de vectores propios se tienen dos soluciones de la forma eλt w :

eλ1t w1 = e3t

(13

)eλ2t w2 = e−t

(−11

).

Estas dos soluciones forman un conjunto fundamental, pues

W (t) =

∣∣∣∣ e3t −e−t

3e3t e−t

∣∣∣∣ = 4e2t 6= 0.

Por lo tanto la solucion general del sistema puede escribirse en la forma

x(t) =

(x(t)y(t)

)= c1 e3t

(13

)+ c2 e−t

(−1

1

),

donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias.

La situacion del ejemplo anterior se generaliza a matrices n × n que tengan n valorespropios reales distintos de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema 7. Supongase que la matriz A (de dimension n), tiene n valores propios realesy distintos, λ1, . . . , λn, y sean w1, . . . ,wn vectores propios (no nulos) asociados a dichosvalores propios. Entonces las funciones

eλ1t w1, . . ., eλnt wn

forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema x′ = Ax y cada una de lassoluciones de este sistema puede escribirse en la forma

x(t) = c1 eλ1t w1 + . . . + cn eλnt wn, c1, . . ., cn ∈ R

Ejemplo 5. Se buscan las soluciones del sistema

dx

dt= x− y,

dy

dt= x + y.

En este caso la matriz del sistema es la matriz A = ( 1 −11 1 ) cuya ecuacion caracterıstica

esta dada por

det(A− λ I) =

∣∣∣∣ 1− λ −11 1− λ

∣∣∣∣ = (1− λ)2 + 1 = λ2 − 2λ + 2 = 0

Los valores propios son λ1 = 1+ i y λ2 = 1− i, un par de nmeros complejos conjugados. Parahallar los vectores propios asociados debemos resolver ecuaciones de la forma (A−λI)w = 0donde el vector w = (w1, w2)

T tiene en general componentes complejas. Para λ1 = 1 + i laecuacion por resolver es (

−i −11 −i

) (w1

w2

)=

(00

)

8

que se reduce a la ecuacion w1 − iw2 = 0. Los vectores propios son entonces vectores de laforma

w =

(iw2

w2

)= w2

(i1

)= w2

(01

)+ iw2

(10

),

donde w2 un numero (complejo) arbitario. En particular tomando w2 = 1 se obtiene el vectorpropio

w =

(i1

)=

(01

)+ i

(10

)= α + i β

cuyas partes real e imaginaria, α y β, son vectores reales linealmente independientes. Aso-ciada a este vector propio tenemos una solucion (compleja) linealmente independiente,

x(t) = eλ1t w = e(1+i)t (α + iβ)

= et(cos t + i sen t) (α + iβ)

=((et cos t) α− (et sen t) β

)+ i

((et sen t) α + (et cos t) β

)= u(t) + iv(t)

(10)

Procediendo en la misma forma puede obtenerse una segunda solucion compleja asociada alsegundo de los valores propios, λ2 = λ1.

Se observa que, trabajando como en el ejemplo anterior, se obtienen soluciones complejasde la forma x(t) = eλt w en el caso en el que la matriz A posea valores propios complejos.Puede notarse de otro lado que si λ = a + ib es un valor propio complejo de una matriz realA y w es un vector propio (no nulo), asociado a ese valor propio, entonces

Aw = Aw = λw = λw.

En consecuencia λ es tambien un valor propio de la matriz A, y w es uno de los vectorespropios asociados a este valor propio. Esto quiere decir que los vectores propios asociados aλ no son otra cosa que “conjugados” de los vectores propios asociados a λ; es de esperarseentonces que el valor propio λ no aporte informacion realmente “nueva”. Se tiene en efectoel siguiente resultado, analogo a los ya conocidos de la Guıa 5:

Teorema 8. Si la matriz A(t) es real y si z(t) = u(t) + iv(t) es una solucion compleja delsistema lineal homogeneo x′ = A(t)x, donde u(t) y v(t) son respectivamente las partes reale imaginaria de z(t), entonces u(t) y v(t) son soluciones reales del mismo sistema.

Demostracion.

z′(t) = A(t) z(t) ⇒ u′(t) + iv′(t) = A(t)u(t) + i A(t)v(t)

⇒ u′(t) = A(t)u(t) y v′(t) = A(t)v(t)

Ahora podremos finalizar el ejemplo 5. En efecto retomando (10) se observa que lasfunciones

u(t) = (et cos t) α− (et sen t) β = et

(− sen t

cos t

)

9

v(t) = (et sen t) α + (et cos t) β = et

(cos tsen t

)son soluciones del sistema. Mas aun, teniendo en cuenta que

W (t) =

∣∣∣∣ −et sen t et cos tet cos t et sen t

∣∣∣∣ = −e2t 6= 0

puede concluirse que u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones, de formaque la solucion general del sistema puede escribirse como

x(t) =

(x(t)y(t)

)= c1 et

(− sen t

cos t

)+ c2 et

(cos tsen t

)La situacion del ejemplo anterior se generaliza en el teorema que sigue.

Teorema 9. Si λ = a + ib y λ = a − ib son dos valores propios complejos conjugados(b 6= 0), de la matriz A, w = α + iβ es un vector propio asociado a λ, y los vectores α, βson respectivamente las partes real e imaginaria de w, entonces las funciones

u(t) = eat (cos bt α− sen bt β), v(t) = eat (sen bt α + cos bt β)

son soluciones linealmente independientes del sistema x′ = Ax

Observacion. Si A es una matriz de dimension n × n que posee n vectores propios (realeso complejos) linealmente independientes w1, . . .,wn, asociados a valores propios, λ1, . . ., λn,(que pueden ser reales o complejos y no son necesariamente distintos), entonces las funciones

x1(t) = eλ1t w1, . . .,xn(t) = eλnt wn

forman un conjunto fundamental de soluciones (reales o complejas) del sistema x′ = Ax. Enparticular si para los valores propios reales los vectores propios asociados pueden siempreescogerse como vectores reales, sin embargo si algunos de los valores propios de la matrizreal A no son reales, digamos λj = aj + ibj (aj, bj reales, bj > 0), entonces el vector propiocorrespondiente wj es necesariamente un vector complejo (i.e. con parte imaginaria diferentede cero), que se puede expresar en la forma

wj = αj + iβj

donde αj y βj son vectores reales. En este caso las partes real e imaginaria uj(t) y vj(t), dela solucion compleja eλjt w = uj(t) + ivj(t) proporcionan dos soluciones reales linealmenteindependientes del sistema x′ = Ax. El numero λj es tambien un valor propio de A, pero lassoluciones del sistema asociadas a este valor propio corresponden a combinaciones linealesde uj(t) y vj(t).

Desafortunadamente no siempre una matriz de dimension n×n tiene asociados n vectorespropios linealmente independientes. Esto ocurre cuando el polinomio caracterıstico tieneraıces “repetidas”, digamos de multiplicidad k > 1 pero la dimension del espacio de vectorespropios asociados a esa raız es estrictamente menor que k.

En esos casos el conocimiento de los vectores propios asociados a los distintos valorespropios no basta para conseguir un conjunto fundamentalde soluciones y se hace necesarioconsiderar vectores propios generalizados.

10

Definicion. Se dice que un vector w es un vector propio generalizado asociado al valorpropio λ si v es solucion de la ecuacion

(A− λI)kw = 0

donde k es la multiplicidad de λ.

2.1. Metodo de los vectores propios generalizados

La idea es generalizar el metodo de solucion de la ecuacion diferencial lineal 1–dimensional,

dx

dt= a x

Se recordara que multiplicando por e−at esta ecuacion se reduce a ddt

(e−atx(t)) = 0. Deallı seconcluye que e−atx(t) es igaul a una constante constante c y en consecuencia x(t) = eatv.Consideremos ahora el sistema homogeneo,

x′ = Ax (11)

Supongase que dada una matriz n×n constante A se encuentre definida la matriz etA, t real,de modo que la funcion t 7→ etA sea diferenciable y se satisfaga

(etA)′ = etAA.

En ese caso si x = x(t) es una solucion del sistema (11) en cierto intervalo J, aplicando lasreglas usuales de derivacion se sigue que para todo t en J

(e−tAx)′(t) = e−tA x′(t)− e−tA Ax(t) = 0.

Lo anterior por supuesto implica que e−tAx(t) es igual a un vector constante w :

e−tAx(t) = w

Despejando x(t) (y asumiendo que la exponencial etA satisface las propiedades “usuales” dela funcion exponencial) se concluye que las soluciones de (11) son de la forma

x(t) = etA w, (12)

donde w es un vector constante.

2.1.1. La matriz exponencial

Definicion. Si A es una matriz compleja constante de dimension n × n y t es un numeroreal, etA es la matriz definida como la suma de la siguiente serie infinita:

etA =∞∑

m=0

1

m!(tA)m = lım

N→∞

(I + tA + · · ·+ tN

N !AN

)(13)

11

Ejemplo 6.

a) Si A es la matriz

A = λ I =

λ 0 · · · 00 λ · · · 0...

......

0 0 · · · λ

,

entonces (tA)m = (tλ)mI y

etA = etλI = lımN→∞

(I + tλI +

1

2!(tλ)2I + · · ·+ 1

N !(tλ)NI

)= lım

N→∞

(1 + tλ +

(tλ)2

2!+ · · ·+ (tλ)N

N !

)I

= etλ I

b) Considerse la matriz A =(

λ1 00 λ2

), de modo que (tA)m =

((λ1t)m 0

0 (λ2t)m

). En este caso

la matriz exponencial etA esta dada por

etA = lımN→∞

((1 00 1

)+

(λ1t 00 λ2t

)+ · · ·+ 1

N !

((λ1t)

N 00 (λ2t)

N

))=

(eλ1t 00 eλ1t

)c) Si A es la matriz

A =

0 1 00 0 10 0 0

se tiene que

A2 =

0 0 10 0 00 0 0

, A3 =

0 0 00 0 00 0 0

= 0, A4 = A5 = · · · = 0.

Se sigue entonces que

etA =∞∑

m=0

tm

m!Am = I + tA +

1

2!t2A2 =

1 t t2

2

0 1 t0 0 1

Observacion. La definicion de etA para t y A dados tiene sentido en la medida en que la serieen (13) “converja”. Empleando tecnicas analogas a las que se usan en calculo para demostrarque para todo numero real x la serie

∑∞n=0

xn

n!converge hacia un cierto numero real, se puede

probar que para toda matriz A y todo numero real t la serie de “matrices”∑∞

m=01

m!(tA)m

converge hacia una cierta matriz n × n. En otras palabras se puede probar que el lımite

12

lımN→∞

(I + tA + · · ·+ tN

N !AN) existe, quienquiera que sean la matriz A y el numero t. En este

caso estamos hablando del lımite de una sucesion de matrices, que debe entenderse en elmismo sentido en el que se entidende el lımite de una sucesion de vectores. A fin de cuentasuna matriz n× n puede verse como un vector de n2 componentes.

Se puede ademas verificar que la funcion etA definida mediante (13) satisface las propiedades“usuales” de la funcion exponencial, como se especifica a continuacion.

Teorema 10. Para cada matriz A de dimension n la funcion t 7→ etA, definida para todo treal, es diferenciable y satisface las propiedades

i) e0A = I,

ii) e(s+t)A = esAetA = etAesA,

iii) etA es invertible y (etA)−1 = e−tA,

iv) ddt

(etA) = AetA.

Sin embargo etA+tB = etAetB solamente si AB = BA.

Demostracion. Ver por ejemplo el texto de M.W. Hirsch and S. Smale, Differential Equations,Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974.

La definicion de la matriz etA y sus propiedades validan ahora nuestro trabajo previo,que condujo a las soluciones (12) de (11):

Teorema 11 (Soluciones de dxdt

= Ax). Dados x0 ∈ Rn y A una matriz real n × n, lasolucion del problema de valores iniciales

dx

dt= Ax, x(t0) = x0

esta dada porx(t) = e(t−t0)Ax0, −∞ < t < ∞. (14)

Ejemplo 7. La solucion del problema de valores iniciales

dx

dt=

0 1 00 0 10 0 0

x, x(0) =

123

esta dada por

x(t) = etA

123

=

1 t t2

2

0 1 t0 0 1

123

=

1 + 2t + 3t2

2

2 + 3t3

El calculo de etA se hizo en el ejemplo 6c).

13

2.1.2. Conjuntos fundamentales de soluciones

La utilizacion directa de las formulas (12) o (14) para obtener una expresion para elconjunto de todas las soluciones de (11) presenta una dificultad: se requiere calcular lamatriz exponencial etA, lo que puede ser mas bien complicado si uno se basa simplementeen la definicion de matriz exponencial como la suma de una serie infinita.

Una alternativa es (en lugar de calcular explıcitamente etA), buscar n soluciones lineal-mente independientes etA w, correspondientes a n vectores w convenientes.

Una observacion clave es que para cierto tipo de vectores w el calculo del vector etA w,se reduce a una suma finita. Notese primero que

etAw = et(A−λI)+tλIw = et(A−λI)etλIw = eλtet(A−λI)w,

donde se ha tenido en cuenta que (A− λI)λI = λI(A− λI). De esta forma

etAw = eλt

∞∑m=0

tm

m!(A− λI)mw. (15)

Ası, si por ejemplo w es un vector propio asociado a λ, entonces (A− λI)w = 0 de maneraque (A−λI)mw = 0 para m ≥ 1. En este caso la serie en (15) se reduce al termino Iw = wy por lo tanto etA w = eλt w.

Si w es un vector propio “generalizado” de A asociado al valor propio λ y k es un numeroentero k ≥ 1 para el cual se satisface la condicion

(A− λI)kw = 0,

entonces, dado que (A− λI)k+1w = (A− λI)k+2w = · · · = 0 la serie (15) se reduce a

x(t) = etA w = eλt

(w + t(A− λI)w + · · ·+ tk−1

(k − 1)!(A− λI)k−1 w

). (16)

Podemos entonces obtener un conjunto fundamental de soluciones formado por solucionesde la forma (16), apoyandonos en el siguiente teorema de algebra lineal:

Teorema 12 (Teorema de la descomposicion primaria). Sea A una matriz n× n realo compleja. Supongase que el polinomio caracterıstico de A, pA(λ) = det(A − λI) tiene rraıces reales o complejas distintas λ1, · · · , λr con multiplicidades k1, · · · , kr de forma que

pA(λ) = (−1)n(λ− λ1)k1 . . . (λ− λr)

kr , k1 + · · ·+ kr = n.

Entonces

(i) Para cada valor propio λj, j = 1, . . ., r, el sistema lineal

(A− λjI)kjw = 0

tiene kj soluciones linealmente independientes

w(1)j , . . .,w

(kj)j .

(Si λj es “no real”, los vectores wlj son “vectores complejos”).

14

(ii) Los n vectores w(1)1 , . . .,w

(k1)1 ,w

(1)2 , . . .,w

(k2)2 , . . . ,w

(1)r , . . .,w

(kr)r son linealmente inde-

pendientes.

Demostracion. Se da en los textos de algebra lineal avanzada; consultar por ejemplo: M.W.Hirsch and S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Aca-demic Press, New York, 1974.

El conjunto de todos los valores propios λ1, . . ., λr de la matriz A y sus respectivos vectorespropios generalizados, w

(l)j j = 1, . . . , r; l = 1, . . . , kj) tales como los descritos en el

teorema de la descomposicion primaria, permiten construir un conjunto fundamental desoluciones de la forma

xj,l(t) = etA w(l)j = eλjt

kj−1∑m=0

tm

m!(A− λjI)m w

(l)j , j = 1, . . ., r, l = 1, . . . , kj (17)

Separando en sus partes reales e imaginarias las kj soluciones complejas (17), que corres-pondan a un valor propio no real λj = aj + ibj, bj > 0, se producen 2kj soluciones reales. Elvalor propio complejo conjugado λj = aj − ibj conduce a las mismas soluciones reales, porlo cual basta considerar los valores propios complejos con parte imaginaria positiva, bj > 0.

Ejemplo 8. Buscamos las soluciones del sistema

dx

dt=

−1 1 −20 −1 40 0 1

x.

El polinomio caracterıstico es

pA(λ) =

∣∣∣∣∣∣−1− λ 1 −2

0 −1− λ 40 0 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = (λ + 1)2(1− λ).

Los valores propios son λ1 = −1, de multiplicidad 2 y λ2 = 1, de multiplicidad 1. Los vectorespropios “generalizados” asociados a λ1 = −1 se obtienen como sigue:

A + I =

0 1 −20 0 40 0 2

, (A + I)2 =

0 0 00 0 80 0 4

.

La ecuacion (A + I)2w = 0, para w = (w1, w2, w3)T , se reduce a w3 = 0. En otras palabras

los vectores propios generalizados son vectores de la forma w = (w1, w2, 0)T con w1 y w2

numeros arbitrarios. En particular los vectores

w1 =

100

, w2 =

010

son dos vectores propios generalizados linelamente independientes. Correspondientemente seobtienen las soluciones

x1(t) = e−tet(A+I)w1 = e−t[I + t(A + I)]w1 = e−t

1 t −2t0 1 4t0 0 1 + 2t

100

= e−t

100

,

15

x2(t) = e−tet(A+I)w2 = e−t[I + t(A + I)]w2 = e−t

1 t −2t0 1 4t0 0 1 + 2t

010

= e−t

t10

Los vectores propios asociados al valor propio simple λ2 = 1 son las soluciones de (A−I)w =0: −2 1 −2

0 −2 40 0 0

w1

w2

w3

=

000

,

que se reduce a las ecuaciones w1 = 0 y w2− 2w3 = 0, de forma que los vectores propios sonlos vectores de la forma (0, 2w3, w3)

T con w3 un numero arbitrario. En particular, tomandopor ejemplo w3 = 1, se obtiene el vector propio linealmente independiente w3

w3 =

021

.

La solucion asociada esta dada por

x3(t) = etw3 = et

021

.

Finalmente la solucion general del sistema puede escribirse en la forma

x(t) = c1 e−t

100

+ c2 e−t

t10

+ c3 et

021

=

e−t te−t 00 e−t 00 2 et

c1

c2

c3

.

Ejemplo 9. Buscamos las soluciones del sistema

dx

dt=

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −11 0 1 0

x.

El polinomio caracterıstico es el polinomio

pA(λ) = |A− λ I| = (λ2 + 1)2 = (λ− i)2(λ + i)2.

Los valores propios son los numeros λ1 = i, y λ2 = λ1 = −i, ambos de multiplicidad 2.Bastara con obtener las soluciones correspondientes a λ1. Los vectores propios generalizadosasociados se hallan resolviendo el sistema (A− i I)2 w = 0. Se tiene

A− i I =

−i −1 0 01 −i 0 00 0 −i −11 0 1 −i

, (A− i I)2 =

−2 2i 0 0−2i −2 0 0−1 0 −2 2i−2i −1 −2i −2

.

16

El sistema (A− iI)2w = 0 se reduce a las ecuaciones,

w1 + 2 w3 − 2i w4 = 0, w2 − 2i w3 − 2 w4 = 0,

En consecuencia los vectores propios generalizados son vectores de la forma

w =

w1

w2

w3

w4

=

−2 w3 + 2i w4

2i w3 + 2 w4

w3

w4

= w3

−22i10

+ w4

2i201

.

Dos vectores propios generalizados linealmente independientes pueden obtenerse tomandow3 = 1, w4 = 0 y w3 = 0, w4 = 1 :

w1 =

−22i10

, w2 =

2i201

.

Las soluciones del sistema correspondientes a este par de vectores son correspondientemente

z1(t) = etA w1 = eit et(A−iI) w1 = eit (I + t(A− iI))w1

= (cos t + i sen t)

−22i

1− i t−t

=

−2 cos t−2 sen t

cos t + t sen t−t cos t

+ i

−2 sen t2 cos t

sen t− t cos t−t sen t

z2(t) = etA w2 = eit et(A−iI) w2 = eit (I + t(A− iI))w2

= (cos t + i sen t)

2i2−t

1 + i t

=

−2 sen t2 cos t−t cos t

cos t− t sen t

+ i

2 cos t2 sen t−t sen t

t cos t + sen t

Las partes real e imaginaria de cada una de estas soluciones complejas son soluciones reales;en consecuencia las siguientes funciones forman un conjunto fundamental de soluciones(reales):

−2 cos t−2 sen t

cos t + t sen t−t cos t

,

−2 sen t2 cos t

sen t− t cos t−t sen t

,

−2 sen t2 cos t−t cos t

cos t− t sen t

,

2 cos t2 sen t−t sen t

t cos t + sen t

.

2.2. Calculo de la matriz exponencial

Mostraremos en esta seccion como puede calcularse la matriz exponencial en el caso enel que se conozca un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogeneo x′ = A x.En efecto supongase que se tiene un conjunto fundamental de soluciones formado por lasfunciones

x1(t) = etA w1, . . . ,xn(t) = etA wn

17

La matriz

Π(t) = (x1(t), . . .,xn(t)) =

x11(t) · · · xn1(t)...

...x1n(t) · · · xnn(t)

,

cuya j–esima columna es el vector xj(t), es una matriz invertible dado que x1(t), . . .,xn(t)son soluciones linealmente independientes de manera que W (t) 6= 0. Como ademas

Π(t) = (etA w1, . . ., etA wn) = etA Π(0), y Π(0) = (w1, . . .,wn),

se sigue que etA = Π(t) Π(0)−1

Ejemplo 10. Para la matriz A del Ejemplo 8, se tiene

Π(t) =

e−t te−t 00 e−t 2et

0 0 et

, Π(0)−1 =

1 0 00 1 −20 0 1

de manera que

etA = Π(t) Π(0)−1 =

e−t te−t −2te−t

0 e−t 2(et − e−t)0 0 et

Ejercicios 1. Reduzca el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden dado a

un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden en las variables x1 = y, x2 = y′, x3 =z, x4 = z′ :

d2y

dt2+ 2α

dz

dt+ y = A cos ωt,

d2z

dt2+ 2β

dy

dt+ z = B cos ωt

2. En cada caso escriba el sistema de ecuaciones con condiciones iniciales dado como unproblema de valor inicial en forma normal x′ = Ax, x(t0) = x0.

a)dx

dt= x− 2y + z,

dy

dt= 3x + y − 8z,

dz

dt= −x + y − z,

x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 10.

b)du

dt= −w,

dv

dt= −u + w,

dw

dt= u− w,

u(1) = α, v(1) = 0, w(1) = 1α, (α > 0).

3. Sea xp(t) la solucion del sistema dxdt

= A(t)x+b(t) que satisface la condicion x(t0) = 0.Muestre que la solucion del problema de valores iniciales

dx

dt= A(t)x + b(t), x(t0) = x0,

es la funcion x(t) = xp(t) + xH(t), donde xH(t) es la solucion del problema de valoresiniciales

dx

dt= A(t)x, x(t0) = x0

18

4. Suponga que Aw = λw. Verifique que x(t) = eλ(t−t0) w es la solucion del sistemax′ = Ax que satisface la condicion x(t0) = w.

5. Suponiendo que las funciones x1(t) =

et + e2t

e2t

0

, x2(t) =

et + e3t

e3t

e3t

y x3(t) = et − e3t

−e3t

−e3t

son soluciones de un sistema de dimension 3, x′ = Ax, a) decida si

estas funciones forman o no un conjunto fundamental de soluciones del sistema yb) determine, de ser posible, la solucion que satisface la condicion x(0) = (1, 1, 1)T

6. En cada uno de los siguientes casos halle la solucion general del sistema y la solucionparticular que satisface la condicion inicial dada.

a) x′ =

(6 −32 1

)x, x(0) =

(12

).

b) x′ =

(1 −3

−2 2

)x, x(0) =

(11

).

c) x′ =

1 −3 20 −1 00 −1 −2

x, x(0) =

10

−1

.

d) x′ =

3 1 −2−1 2 1

4 1 −3

x, x(0) =

123

.

e) x′ =

(1 −15 −3

)x, x(0) =

(11

).

f ) x′ =

(3 −24 −1

)x, x(0) =

(12

).

g) x′ =

−3 0 21 −1 0

−2 −1 0

x, x(0) =

0−1−1

.

h) x′ =

0 2 0 0

−2 0 0 00 0 0 −30 0 3 0

x, x(0) =

1010

.

i) x′ =

(a 10 a

)x, a constante, x(0) =

(01

).

j ) x′ =

2 0 1 00 2 1 00 0 2 00 0 −1 2

x, x(0) =

1010

.

19

7. Dada la matriz A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

, donde λ representa un numero real.

a) Determine los valores propios de A con sus respectivas multiplicidades, y encuentrebases para los espacios propios asociados, {v ∈ R3 : (A− λ I)v = 0}.

b) Teniendo en cuenta que A−λI = N =

0 1 00 0 10 0 0

, verifique que (A− λI)2 6= 0

y que (A− λI)3 = 0.

c) Calcule la matriz etA = eλtI+tN = eλtetN .

8. Generalice el resultado del anterior ejercicio para la matriz n× n

A =

λ 1 · · · 0

0 λ. . .

......

. . . . . . 10 · · · 0 λ

.

9. Si A0 es la matriz

(0 −11 0

),

a) Verifique que A20 = −I, y deduzca que A2k

0 = (−1)kI, A2k+10 = (−1)kA0 para

k = 0, 1, 2, . . .

b) Muestre que

etA0 =∞∑

k=0

t2k

2k!A2k

0 +∞∑

k=0

t2k+1

(2k + 1)!A2k+1

0 = (cos t)I + (sen t)A0

10. Dada la matriz

A =

(a −bb a

)= aI + bA0

donde a y b representan numeros reales con b ≥ 0, muestre que

etA = eat

(cos bt −sen btsen bt cos bt

)Observacion: Si a y b no son ambos nulos (es decir si a2 + b2 > 0), entonces existe ununico θ, 0 ≤ θ < 2π para el cual a =

√a2 + b2 cos θ y b =

√a2 + b2 sen θ, de donde(

a −bb a

)=√

a2 + b2

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)La matriz A puede entonces interpretarse como una rotacion del plano de un anguloθ, seguida de una homotecia de razon

√a2 + b2.

20

11. Halle etA si A es la matriz de coeficientes en los ejercicios a) (6d), b) (6g) y c) (6j )

Respuestas

1. x′1 = x2, x′2 = −2αx4 − x1 + A cos ωt, x′3 = x4, x′4 = −2βx2 − x3 + B cos ωt.

2. a) x′ =

1 −2 13 1 −8−1 1 −1

, x (0) =

0010

.

b) u′ =

0 0 −1−1 0 11 0 −1

, u (1) =

α01α

(α > 0) .

5. b) Si x (0) = (1, 1, 1)T entonces x (t) = e3t (1, 1, 1)T .

6. a) x (t) = e3t

(44

)+ e4t

(−3−2

).

b) x (t) = e−t

(6545

)+ e4t

(−1

515

).

c) x (t) =

23e−2t + 1

3et

0−e−2t

d) x (t) = 1

3e−t

7−213

+ et

40

−4

+ 13e2t

888

e) x (t) = e−t cos t

(11

)+ e−t sen t

(13

).

f ) x (t) = et

(cos 2t− sen 2t

2 cos 2t

).

g) x(t) = e−2t

2−2

1

+ e−t

−√

2

sen√

2t− 2 cos√

2t

−√

2 sen√

2t + cos√

2t

−3 cos√

2t

.

h) x(t) = cos 2t

10032

− sen 2t

0100

+

00

e−3t

−32

.

i) x (t) = eat

(t1

).

j ) x (t) = e2t

1 + t

t1−t

.

21

7. b) etA = eλt

1 t 12t

0 1 t0 0 1

.

11. a) etA = e3t

(−2 3−2 3

)+ e4t

(3 −32 −2

).

b) etA =

2e−2t −2e−2t e−2t√

2e−t cos√

2t e−tsen√

2t√

2e−t cos√

2t− e−tsen√

2t

−√

2e−tsen√

2t e−t cos√

2t −e−t cos√

2t−√

2sen√

2t

c) etA = e2t

1 0 t 00 1 t 00 0 1 00 0 −t 1

.

3. Sistemas no homogeneos con coeficientes constantes

Se estudiara la ecuacion no homogenea,

dx

dt= Ax + b (18)

dondeA = (aij)

es una matriz n× n, real y constante y

b(t) =

b1(t)...

bn(t)

es una funcion vectorial continua en un intervalo J.

3.1. Metodo de los coeficientes indeterminados

Por el segundo principio de superposicion para (18) (Teorema 6), si se conoce una solucionparticular xp(t) de (18), entonces una solucion general de (18) es

x(t) = xp(t) + xH(t),

donde xH(t) es una solucion general del sistema homogeneo dxdt

= Ax, que se puede obtener,teoricamente al menos, por el metodo de § 10.2.

Ejemplo 11. Para

dx

dt=

0 1 00 0 10 0 0

x +

et

0e2t

, (19)

22

se puede buscar una solucion xp(t) = et

a1

a2

a3

+ e2t

b1

b2

b3

. Derivando y reemplazando

en (19) se obtiene

et

a1

a2

a3

+ 2e2t

b1

b2

b3

=

a2et + b2e

2t

a3et + b3e

2t

0

+

et

0e2t

de donde (igualando los respectivos coeficientes), se tiene que a1 = 1, a2 = a3 = 0, b1 =18, b2 = 1

4, b3 = 1

2.

En el ejemplo 3 iii) de § 10.2, B se calculo etA =

1 t 12t2

0 1 t0 0 1

. Ası , una solucion general

sera

x(t) = xp(t) + xH(t) =

et + 18e2t

14e2t

12e2t

+

0 t 12t2

0 1 t0 0 1

c1

c2

c3

,

donde c1, c2, c3 son constantes arbitrarias.

3.2. Formula de variacion de parametros

Si se conoce la exponencial etA, es posible hallar todas las soluciones de un sistema nohomogeneo (18) en una forma completamente analoga a como resolvimos la ecuacion lineal1–dimensional dx

dt= ax + b en la guıa 2 (Como hallar soluciones de ecuaciones de primer

orden).Busquemos la solucion x(t) de (18) que satisface

x(t0) = x0 (t0 en J, x0 en Rn dados).

Recordemos que e−tA es invertible y que ddt

(e−tA) = −Ae−tA. Entonces, multiplicandopor e−tA la ecuacion (18)

dx

dt− Ax(t) = b(t),

se convierte en

e−tA dx

dt− e−tAAx = e−tAb(t).

Es decir,d

dt(e−tAx(t)) = e−tAb(t), para t en J.

Integrando entre t0 y t,

e−tAx(t)− e−t0Ax0 =

∫ t

t0

d

ds(e−sAx(s))ds =

∫ t

t0

e−sAb(s)ds.

Se concluye que para t en J , la solucion esta dada por: (formula de variacion de parametros)

x(t) = etA

(e−t0Ax0 +

∫ t

t0

e−sAb(s)ds

)= e(t−t0)Ax0 +

∫ t

t0

e(t−s)Ab(s)ds

23

Observacion.

xH(t) = e(t−t0)Ax0 es la solucion dex′ = Ax

x(t0) = x0

xp(t) =

∫ t

t0

e(t−s)Ab(s)ds es la solucion particular dex′ = Ax + b(t),

x(t0) = x0

Ejemplo 12. Sean α y β constantes. Buscamos la solucion del problema de valor inicial

dxdt

=

0 1 00 0 10 0 0

x +

α cos t0β t

x(0) = 0.

Sabemos, (Ejemplo 3 iii), § 10.2) que

etA =

1 t t2

2

0 1 t0 0 1

.

Por la formula de variacion de parametros, la solucion particular es

xp(t) = etA∫ t

0e−sAb(s)ds = etA

∫ t

0

α cos s + β2s3

−βs2

βs

ds = etA

α sen t + β8t4

−β3t3

β2t

=

α sen t + 124

β4

16βt3

12βt2

Ejercicios 1. Halle la solucion general de los problemas no homogeneos siguientes:

a) dxdt

=

(6 −32 1

)x +

(t

cos t

).

b) dxdt

=

2 0 1 00 2 1 00 0 2 00 0 −1 2

x +

e−t

010

Respuestas

1. a) x (t) =

(5

144− 1

12t− 33

170cos t + 21

170sen t

772

+ 16t− 73

170cos t + 31

170sen t

)+ e3t

(1 3et

1 2et

) (C1

C2

).

b) x (t) = e2t−e−t

3

1000

− 1−e−2t

2

1212

−1−1

2

+ te−2t

2

110−1

+e2t

1 0 t 00 1 t 00 0 1 00 0 −t 1

C1

C2

C3

C4

Nota: Hemos tomado t0 = 0.

24