CAPTULO 2 ESTATICIDAD GEOMTRICA DE LAS ESTRUCTURAS2. 1. Equilibrios estable e inestable.Consideremos las dos estructuras, constituidas por tres elementos, esquematizadas en la Figura I. Las conexiones entre los elementos y con el punto de referencia (que puede ser el suelo o una clase de ) son articulaciones, es decir que permiten un giro sin esfuerzo en el plano del dibujo. Suponemos que, considerando los pesos de cada elemento, las dos estructuras dibujadas son estticas gracias a un equilibrio entre las fuerzas (incluidas las de las referencias sobre los elementos que tienen contacto con ellas). Es evidente para cualquier persona que tiene un mnimo de sentido de observacin que: - si una fuerza dbil (ms o menos horizontal) acta sobre la estructura 1-'1 comenzando a cambiar su forma (su geometra), sta va a seguir deformndose irreversiblemente por causa de su peso hasta otra posicin de equilibrio esttico (pero con dao); - si una fuerza dbil (ms o menos horizontal) acta sobre la estructura 1-2 sta cambiar mnimamente la forma de la estructura (la geometra), que por causa de su peso tomar la posicin inicial de equilibrio cuando la'fuerza desaparezca. Es una evidencia: un edificio arquitectnico tiene que ser esttico, es decir, al responder a las fuerzas que actan sobre 1, debe resistir sin cambiar irreversiblemente de posicin con respecto del suelo o una referencia y/o sin deformarse irreversiblemente, pasando de una posicin prevista de equilibrio esttico a otra que corresponde a una destruccin. Sin duda el equilibrio esttico depende de la resistencia a los esfuerzos del conjunto constituido por la estructura pero, en el caso general de una estructura constituida de varios elementos, el equilibrio del conjunto puede ser considerado dependiente de la ensambladura de los elementos y del tipo de conexiones entre ellos, es decir de aspectos geomtricos. As, es necesario estudiar las leyes que explican que, independientemente de las acciones de las fuerzas que van a actuar sobre una estructura suponiendo por ejemplo que estas fuerzas son nulas o despreciables -, una estructura puede existir o no (estticamente) nicamente por sus propiedades de tipo geomtrico. Esto permite adems entender en la prctica que, aunque varias formas de estructuras pueden prestar el mismo servicio, entre ellas tienen diferencias de costos ms o menos lmportantes, lo que es fundamental. Antes de desarrollar este punto de vista debemos ver que hay varios equilibrios estaticos. Se dice entonces que al principio la estructura 1-1 est en equilibrio esttico inestable mientras que la estructura 1-2 est en equilibrio esttico estable, ambos casos producto de su naturaleza que considera la geometra de las dos estructuras y los tipos de conexiones en relacin con las referencias" Se pueden concebir estructuras en equilibrio estable que pueden deformarse escasamente, por ejemplo por causa del viento, y volver naturalmente a su posicin primitiva: es el caso de estructuras suspendidas por el uso de cables. Sin lugar a dudas hay que evitar absolutamente Ias estructuras que pueden tener un equilibrio inestable pues su fracaso est asegurado porque, de hecho, estas estructuras no son estticas. Entonces, hay que conocer las leyes de la estaticidad, planteando primero cmo acercarse al problema.Figura I

vistas superiores

s15

perspectvas

2.2. Planteamiento del problema geomtrico de la estabilidad.Miremos las estructuras esquematizadas en la Figura 2 y, por el momento, nicamente con nuestro sentido comn y nuestra vista en el espacio, hagamos observaciones: hay varios modos de asegurar la estaticidad de las dos estructuras. Por ejemplo, todos los pilares pueden estar empotrados en el suelo y un extremo de cada viga puede estar ligado a un pilar con una conexin articulada, mientras que la otra extremidad puede tener una cierta libertad de movimiento en la misma direccin de la viga. De esta manera las estructuras no caern por razones geomtricas.

f-.1 F.l

i-inf-

v/sfas de /os p/aros veftcales segn a,b,c,d y e,f,g

I'

Figto'a )

AROUITECTURA

Y

ESTRUCTURAS

Por ejemplo, segn las vistas de los planos verticales a,b,c,d,e,f y g mostradas por la Figtra 2, los pilares tienen una conexin articulada con el suelo y cada vga tene un extremo completamente ligado al pilar y el otro extremo ligado con una conexin del tipo articulacin. Nuevamente las estructuras no podrn caer por razones geomtricas. Por ejemplo, si el rectngulo horizontal de la estructura izquierda es rigidizado por lo menos con una diagonal o si la supedicie del rectngulo fuese maciza, se podra pensar, con respecto del caso precedente, suprimir una ligazn completa entre extremos de viga y pilar. Hay que observar que el problema de la rigidizacin (geomtrica) del tringulo no existe: un iringulo con conexiones del tipo articulacin es indeformable por naturaleza (y con una diagonal un rectngulo se transforma en dos tringulos). Se constata que para estudiar la estaticidad de una estructura hay que saber que:

3. Los tipos de conexiones en un plano.2.Empecemcs :a-s 3e-a.3c solamente dos elemenics l- es:--c:;'a o un elemento y' u-a re=e':^3 a como el suelo (en el hechc. !r' s e-e^:3 grande), que estn ligados iriercec a ia conexin. En el plano. una cc:exr" es deflnida por su papel cc- 'es:e.:c de las dos translaciones iilrec: - ,,-r> y direccin ny), y el giro ros;:ie segn el ngulo ) entre dos eierer:os. segn ia Figura 3. Hav por- :art. :'es carmetros de desplaza'nie^to 'ela:', oEntonces hay tres tipos de conexiones, por lo que comenzaremos estudiando las conex cres (bsicas), es

Imagen 27

decir las que ur'ren dos elementos.

2.3.

1 Conexiones t.

Figtra3

Las conexiones simples son las que poseen un parmetro de conexin. Es el caso clsico de a mnexin de un puente constituido por' -ra viga que est dispuesta sobre dos apcy'cs. donde por lo menos uno es una conexrn que tiene slo el parmetro de conexin ny, fljo. Segn la Figura ] la viga puede tener un pequeo desplazamiento de translacin (necesarlo para permitir la dilatacin) segn el parn'etro ,(-rD y J'r pequeo desplazamlento de rotacin segn el parmetro . Estos desplazamientos pueden hacerse gracias a rodillos o. actualmente. un bloque de algn material que puede admitir una pequea deformacin lateral con un esfuezo desoreciable (elastmetro). De manera general. cualquier elemento que tiene una ruedecilla sobre la superflcie que sirve de contacto o que no tiene un roce importante posee una conexin simple con la otra superficie. La representacin simblica de una conexin simple es un tringulo con un crculo en una punta I que expresa la posibilidad de giro y un circulo sobre un lado $ que expresa la funcin de, rodillo o de la ruedecilla. Aunque estudiamos aspectos geomtricos, podemos hacer una observacin fundamental referida a los esfuerzos: las fuerzas resultantes F de la accin de la referencia sobre un elemento o la reaccin (accin del elemento sobre la referencia). que constituyen el nico tipo de esfuezo que existe, tienen siempre una direccin perpendicular a la referencia.

16

- para que la estaticidad exista siempre hay que tazonar, de acuerdo a y por Io menos, en dos planos diferentesy que entre ellos estn en un ngulo distinto de 0'o 180"; - a veces se puede tener en cuenta una superficie rgida que puede tener un papel sobre otro plano ubicado en otra parte de la estructura;

apoyo rnv:l

- hay varias soluciones que estncondicionadas particularmente a los tipos de conexiones entre elementos, dependiendo de si stas corresponden al tipo articulacin o al tipo que tolera movimiento de traslacin o al tipo empotramiento (este ltimo de la misma familia que la ligazn completa). Como el caso de la intervencin de una rigidez particular es bastante escaso y depende ms (al momento de la concepcin) de una costumbre de reflexin que de teora; que un razonamiento sobre la estaticidad de una estructura debe realizarse de acuerdo a dos planos y que las conexiones que permiten movimiento relativo en el espacio son muy escasas (como lo ilustra fa Imagen 27 que representa abajo de un pilar una conexin con una esfera .>

representa los parmetros necesarios para ubicar en el espacio esa Parte de estructura.A veces se ven barras cruzadas en la zona central de las vigas

al nivel del pilar en el partido propuesto en el esquema ?La solucin del esquema es buena Porque es isoesttica, pues C = N = 6.

Entonces qu estructura instalar

c=8 N=3x3=9 223

c = 10

N=3x3=9

trianguladas, tal Y como lo hemos representadlo en el esquema usando lneas Punteadas Veremos el Por qu ms tarde, pero se debe saber que cuando existe lo que se llama una , una sola barra de la cruz lrabaia a la vez, mientras que la otra (de acuerdo a los desplazamientos de carga).

Pero realizar un buen empotramiento en el suelo no es tan fcil Y barato, y el pilar y la viga horizontal ligada a l (conexin triPle) sufren una flexin muY imPortante Y deben ser muy gruesos, lo que Puede no ser elegante y seguramente no muy econmico. La solucin del esquema es un mecanismo (C = 8 < N = 9) que permite una rotacin. Para ser esttica con este tiPo de (pilares dobles> la estructura debera tener un. par de ellos. Las soluciones de los esquemas y , concebidas con simetra, son

c

=

.10

N=3x3=9

4_c=12N=3x4=',12

Cuando una estructura tiene un conjunto de 2 barras tales que solo una trabaja alavez, haY que dibujar una de ellas Punteada Y no tenerla en cuenta en el razonamiento.

2 - Seguimos eStudiando la estticidad geomtrica en los otros planos.Consideremosla Figura 18 que presenta vistas superiores ( y oQ)) y desde la izquierda (nKo, oLr, (M), (N) Y nO)).Un caso podra ser que la N = 9, donde el grado de hiperestaticidad es igual a 1, lo que es poco. Como se trata de casos sencillos, en los cuales se puede tener en cuenta las propiedades elsticas del material, es Posible imaginar tomar este tipo de partidos con ayuda de algunos clculos. Pero la realizacin, que es bastante costosa, adems debe ser Perfecta, mientras que la perfeccin no es algo muy comn en la mayora de las construcciones. Entonces, si no hay otros Problemas de por medio, la solucin ms segura y barata para una vivienda, que es una construccin convencional, es la del

o

N=3x1

c=20 N=3x7=21

esquema .En efecto:

(K>, (L), (M), (N)

-z-(r +({ o r 4 --.\------ Yo -'dos casos diferentes FiguraIE

Pero este caso (ideal> no lo es tanto, porque es carsimo y pesado. Hay que ser realista y proponer una estructura que ayude al conjunto a resistir, por una parte, aunafuerza resultante Fy producto del viento o de un terremoto y. por otra parte, a una fuerza resultante Fp producto del peso (que puede producir una torsin si no est en el eje).

Y .

- la estructura es isoesttica pues C = N = 12. Observemos que no setrabaja al mismo tiempo que la otra) para calcular el nmero de parmetros de conexin. - y, como lo veremos en otro caPtulo, los pilares y la cruz de San Andrs son elementos delgados.ha tomado en cuenta la barra punteada (que existe Pero que no

t_

CAPTULO 2

ESTATICIDAD GEOMETRICA DE LAS ESTRUCT;iTS

Para terminar el estudio geomtrico (muy parcial) de la estaticidad de la vivienda, no hay que evitar tomar un partido respecto a la obtencin de una rigidez aceptable del volumen de la vivienda con respecto del efecto de una fuerza lateral (por ejemplo viento). Sabemos que el piso y el techo necesitan bastantes vigas para constituirlos, pero si las conexiones con las vigas trianguladas (esquema Figura I7) son dobles, no se obtendr la rigidez necesaria (puede averiguarlo si as lo desea). Aunque depender de la tcnica elegida para la constitucin del piso y del techo, se puede lograr rigidez utilizando, por ejemplo, ciertos tipos de revestimientos continuos para recubrir la estructura de piso y de cubierta. Si no es ste el caso, hay que concebir la rigidez con un armado especial de la estructura. El esquema muestra una solucin sencilla y eficiente: usar dos cruces de San Andrs (usar una cruz para cada rectngulo de la estructura sera demasiado). As logramos en el piso y en el techo una clase de viga triangulada horizontal. Si los dos lados del piso y del techo son elementos continuos (sera ridculo cortarlos en la mitad para luego hacer una conexin), las estructuras son hiperestticas pues

Como cada elemento grande se transforma en dos elementos tenemos

N=3x9=27,

Entonces C + 3 = 24 + 3 = 27 = N, y se puede considerar que la estructura es isoesttica. Despus de un estudio de acuerdo a tres planos, se debe hacer una observacin tpicamente geomtrica:

c=.13

N

=3x4=12

El uso del tringulo, por naturaleza geomtricamente indeformable, para lograr rigidez (incluida la cruz de San Andrs) permite a menudo realizar estructuras isoestticas sencillas y seguras.Hemos hecho varias observaciones importantes. Pero, adems de las precedentes, hay otras MUy IMPORTANTES que no hemos tenido oportunidad de mencionar.

c=12 N=3x4=12

LA CONDICI OC ESTATICIDAD: Q = (isoestaticidad) > N

(hiperestaticidad dominada)

ES NECESARIA, PERO NO SUFICIENTE.

C+3=20+3=23>N=21.

Por ejemplo, tomando el esquema de la Figura 17, dibujamos su equivalente con un suelo de nivel nico, de acuerdo al esquema de la Figura 19. Se necesita un pilar con un empotramiento con el suelo. Para evitar la hiperestaticidad se puede pensar que el esquema es bueno, pues C = N. Pero es evidente que esta estructura est prcticamente en equilibrio inestable, lista para el fracaso. Esta familia de estructuras no pasa de ser un mecanismo, incluso cuando puede aparecer como hiperesttica segn el esquema .En el hecho, la estructura del esquema es hiperesttica pues aunque el peso de E pueda ser nulo, existen fuerzas en los elementos verticales.

o

[ il--r _fz-.cr=-- aT-t-2

25

Pero, con un poco de costumbre y de sentido de realidad eso tiene una importancia despreciable.Es importante hacer la siguiente distincin: cuando un elemento continuo recibe una conexin doble plantea un caso diferente respecto de que si es la conexin la que recibe todos los elementos de la misma manera. En la Figura 18 se puede ver la simbolizacin de ambos casos. Se conciben estructuras segn los dos tipos de conexiones.

Pero, para el caso de las estructuras trianguladas, si los ejes de los elementos convergen en un mismo punto, es muy corriente confundir el caso de un elemento que recibe otros elementos en una conexin doble con el caso en el que una conexin doble su punto de convergencia) recibe de modo semejante todos los elementos veremos ms tarde la justificacin).Entonces, en el caso del esquema se puede admitir que

c=12 N=3x4=12

Este tipo de estructura no puede existir pues cuando se deforma, a lo mejor cambiando su condicin de equilibrio como es el caso de , los elementos o no se deforman o no lo hacen de modo importante. Entonces no hay resistencia a la deformacin general. El esquema de estructura con un elemento E horizontal y tres elementos de tipo barra que es verdaderamente isoesttico es . Se puede entonces concluir que:

E estabie

C=4+4+4+2+8+2=24 12 ) 4;6 )B)

c=12 N=3\4=12

Al concebir un conjunto,

Figura I 9

ARQUITECTURA

Y

ESTRUCTURAS

C=N=6

-isoesttico

SE DEBE VERIFICAR QUE CADA ELEMENTO DE LA ESTRUCTURA TENGA UNA DEFORMACIN RELATIVA IMPORTANTE JUNTO CON UNA DEFORMACIN GENERAL DEL CONJUNTO DESPRECIABLE. De manera general Y como hemos observado a Propsito de varias otras consideraciones durante todo el razonamiento realizado con el ejemplo de la vivienda estudiada. PARA CONCEBIR UNA ESTRUCTURA SE NECESITA UN ESTUDIO DEL NMERO oe pnnvrerRos DE coNEXlN, PERO TAMBIN UNA INTENSA REFLEXIN SOBRE EL PARTIDO

+G)

24444442 c=42 N=3x15=45isoesttico (ideal)

C+3=N

c

=

21 N =3x7

=21

c=18 N=3x6=18

arquitectnico-estructural y multiplicaciones).

(que no se resume en hacer adiciones

c = 15 = N = 3 x 5 = 15isoesttico (ideal)

Miremos la Figtrra 20 sobre la cual hay algunos errores encontrados entre muchos.

C=36 N=3x12

C=8 N=9Segn el esquema es inteligente tener un pilar que puede desplazarse sobre el suelo y que para solucionarlo se hace algo comPlicado Y caro, mientras que la solucin del esquema es ms segura Y barala?

26

C=N=6

*isoesttco

C=12 N=12

C=5

Segn el esquema es razonable concebir una estructura que necesita tres conexiones triples y que adems sufre una flexin muY imPortante, cuando con una conexin doble cambia todo?c = 16N = 3 x 5 = 15 hiperesttico G" = 1C=12N=12(C) Cmo no ver que el esquema es inestable si se usa una conexin simple en el pie de un pilar? iNo es por C = N que se obtiene la esttica, sino por el error de tener en cuenta las dos barras de una cruz de San Andrs al contabilizar!La estructura del esquema es esttica porque C = N? Si se hubiese@c=9=NC=9=NC=N=6-isoestticoe--\--\ l\L 2\t"21-=--,hecho un razonamiento como el que hemos aprendido considerando al elemento como rgido se habra visto, segn el esquema , que la estructura es un mecanismo (C . N), mientras que es h iperesttico interiormente (hay demasiados parmetros de conexin), lo que explica que en resultecoincidenteC=36=N.El esquema es un mecanismo,c=24=N=3x8C :c=N=6C=14