CAP_2_PARTE_1

P

xy

yx

xz

zx

zy

yz

xx

yy

zz

x

y

z

P

POSITIVA

y CARA

POSITIVA

x CARA

POSITIVA

z CARA

NEGATIVA

x CARA

Capítulo II ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

2.1) Matrices de Esfuerzos y Deformaciones Unitarias. Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier).

2.1.1) Matrices ;

Consideremos un sólido estructural en equilibrio y un prisma infinitesimal recortado de su interior:

Consideraremos únicamente los Medios Continuos no Polares (Las fuerzas de sección no contienen momentos). En el caso general, en cada cara del prisma actuarán tres componentes de esfuerzo.

Esfuerzos

ZZZYZX

YZYYYX

XYXYXX

z CARA

y CARA

x CARA

(Sobre las caras positivas) Nota: si no se consideran las FUERZAS MÁSICAS, en las caras opuestas (negativas) actúan esfuerzos de la misma intensidad y sentido contrario. Convenio:

Esfuerzos positivos, según las direcciones y sentidos indicados en la gráfica anterior.

Mecánica de Sólidos Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

212

y

x

Definición:

La matriz

ZZZYZX

YZYYYX

XYXYXX

se denomina MATRIZ DE ESFUERZOS

Como una respuesta del sólido a los esfuerzos actuantes indicados, se generan las deformaciones unitarias siguientes:

ZZZYZX

YZYYYX

XYXYXX

z CARA

y CARA

x CARA

Definición:

La matriz

ZZZYZX

YZYYYX

XYXYXX

se denomina MATRIZ DE DEFORMACIONES

UNITARIAS

Las matrices ; definen el Estado Tensional / Deformacional en el punto P del

sólido.

PROPIEDAD: las matrices ; son matrices 3 × 3 SIMÉTRICAS.

Por la Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante, tenemos:

ZYYZZXXZYXXY ; ;

Por la definición de Deformación Unitaria Cortante y propiedad conmutativa de la suma:

YX

XY YXXY

Similar para los otros planos:

XZZXYZZY ;

Debido a la simetría de las matrices ; , para su

determinación basta conocer, en cada caso, seis magnitudes o componentes. TRES ESFUERZOS NORMALES Y TRES ESFUERZOS CORTANTES, PARA LA

MATRIZ .

TRES DEFORMACIONES UNITARIAS NORMALES Y TRES DEFORMACIONES

CORTANTES, PARA LA MATRIZ .

NOTA.

Las matrices de esfuerzo y de deformaciones unitarias ; , se relacionarán entre si

a través de constantes elásticas apropiadas (características del material), mediante una matriz denominada Matriz de Constantes Elásticas..


213

2.1.2) Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier) En Estática se formulan ecuaciones del equilibrio para partículas discretas y cuerpos rígidos, en términos de fuerzas y/o momentos. En Mecánica de Sólidos, interesa establecer las ecuaciones del equilibrio en términos de los esfuerzos desarrollados en el interior de los sólidos deformables. Consideremos un volumen elemental recortado de un sólido deformable, para el cual la configuración deformada (en equilibrio) sea un prisma rectangular sometido a esfuerzos y fuerzas másicas. Fuerzas Másicas (de cuerpo o de volumen): Las que influencian directamente los elementos de masa a través del cuerpo o del sólido. Se las define en términos de Unidades de Fuerza por Unidad de Volumen (o unidad de masa). Así los efectos de la gravedad, efectos electromagnéticos,... etc. Deduciremos la ecuación de equilibrio correspondiente a la dirección X; en las otras direcciones (Y Z) la deducción es similar.

Sea XB la función distribución de Fuerzas por Unidad de Volumen en dirección OX.

(Consideramos únicamente los esfuerzos que generan fuerzas en dirección OX).

0dxdydzBdydx-dydx dyz

dxdz-dxdz dy y

dydz-dydz dx x

0F

xzxzx

zx

yX

yX

yX

XX

X

Simplificando, tenemos:

y

xz

dyy

yxyx

dzz

zx

zx

dy

dVB

x

dxdz

x

zx

dx variación la a debida de Variación

xx

x

dx x

másica fuerza

dz dy dxBdVB xx

yx


214

i 0Bz

y

x

x

zxxyx

Reiterando el procedimiento en las direcciones Y, Z se deducen ecuaciones análogas

a la i :

( ) i i 0=B+z

τ +

y

σ +

x

τ y

yzyxy

∂

∂

∂

∂

∂

∂

i i i 0Bz

y

x

z

zyzxy

Definición) Las ecuaciones i , i i , i i i se denominan Ecuaciones Diferenciales

del Equilibrio (Ecuaciones de Navier). Expresan condiciones para el equilibrio en términos de esfuerzos y distribuciones de fuerzas másicas.

zyx B,B,BB VECTOR DE FUERZAS MÁSICAS

NOTAS: 1. Las ecuaciones de Navier son independientes del material. Esto significa que son

validas en régimen elástico o inelástico. 2. No existen ecuaciones en número suficiente para determinar, a partir de ellas, las

seis componentes de esfuerzo desconocidas. Esto nos indica que en el Análisis de Esfuerzos, los problemas son Estáticamente Indeterminados.

3. Las ecuaciones de equilibrio 0M se consideraron al estudiar la simetría de la

matriz de esfuerzos (Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante).

4. Si además el sólido estuviese en movimiento, las ecuaciones de Navier siguen

siendo válidas, agregando el término representativo de las fuerzas de inercia (Principio de DI Alambert):

0 I F I F 0F CxCxx

2.2) Ley Generalizada de Hooke 2.2.1) Ley de Hooke en Tres Direcciones Ortogonales. Ecuaciones de Lamé Consideremos un prisma recto de material elástico, lineal e isotrópico, sometido a esfuerzo normal en tres direcciones ortogonales (No incluimos la presencia de Fuerzas Másicas).


215

Para cada dirección, la deformación unitaria total, es la suma de una DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por comodidad, puede usarse el Principio de Superposición:

Para cada dirección aplicaremos la Ley de Hooke (uniaxial) y la definición de Relación de Poisson:

1

E'''

E'''

E'''

E''

E''

E''

E'

E'

E'

zy

zy

zx

y

y

y

y

y

x

xy

xy

xx

Por el principio superposición, las deformaciones unitarias totales, son:

y

x

z

y

x

z

y

x

z NORMAL ESFUERZO

DE TRIAXIAL ESTADO

G

E

MATERIAL

= + +

y

x

z

y

x

zy

y

x

x

z

z

z

y

x

x A

D

EB

IDA

S

NES

DEFO

RM

AC

IO

z

y

x

'

'

'

y A

D

EB

IDA

S

NES

DEFO

RM

AC

IO

z

y

x

''

''

''

z

y

x

'''

'''

'''

z A

D

EB

IDA

S

NES

DEFO

RM

AC

IO

TO

TA

LES

NES

DEFO

RM

AC

IO

MATERIAL


216

2

''' '' '

''' '' '

''' '' '

zzzz

yyyy

xxxx

Reemplazando las ecs.1) en las ecs 2) y simplificando, tenemos:

3

E

1

E

1

E

1

yxzz

zxyy

zyxx

Def). Las ecuaciones (3) constituyen la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos

normales en tres direcciones ortogonales). Notas)

1. Si el material es elástico, lineal e isotrópico, los elementos de la matriz y sus

correspondientes de la matriz , se relacionan mediante las ecuaciones:

4

G

1

G

1

G

1

E

1

E

1

E

1

yzyz

xzxz

xyxy

yxzz

zxyy

zyxx

Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y Cortantes, conociendo los esfuerzos y las características elásticas (E, G) del material. 2. Las ecuaciones (4) pueden invertirse para obtener los esfuerzos en función de las deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen:

1.5

2

2

2

zyxzz

zyxyy

zyxxx

2.5

G

G

G

zyzy

xzxz

xyxy


217

y

x

cr

' y' x

Definición). Las ecuaciones (5.1) para , , zyx se denominan Ecuaciones de

LAMÉ (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elásticas , están dadas por:

G

211

E ; G

12

E

(5.3)

denominadas Constantes Elásticas de Lamé. 2.2.2) Definiciones. i) INVARIANTE: cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de

referencia.

2r A Invariante

Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.

ii) La suma zyx (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de

Esfuerzos: zyx1

La suma zyx (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de

Deformaciones Unitarias. zyx1

Entre 1 y 1 se verifica la relación 11E

21

(La invarianza 1 se demostrará al estudiar la Transformación General de Esfuerzos).

iii) El invariante zyx1 es numéricamente igual al cambio Unitario de

Volumen.

0

zyx1V

V

; siendo V0 el volumen inicial.

Por consiguiente el variante θ1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen. iv) Un estado de esfuerzos definido por la matriz

0p

00

00

00

se llama ESTADO HIDROSTÁTICO DE ESFUERZOS.

(Estado volumétrico ó Estado de comprensión triaxial). Recuerda al principio de Pascal: La presión hidrostática es la misma en todas las direcciones.


218

Si el material es elástico, lineal e isotrópico, tenemos:

pppE

211

1213

Ep

, es decir 1Kp , siendo

213

EK el

denominado MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD DEL MATERIAL. (MÓDULO VOLUMÉTRICO, Bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresión necesario para producir una deformación volumétrica igual a la unidad (K es el valor de –p para generar θ1 = 1). EJEMPLOS 1) En el interior de un sólido, los esfuerzos están dados por la matriz

2

32

22

z200

0y3y3

1xy1

0xy1yx

(unidades de esfuerzo)

Determinar la distribución de Fuerzas Másicas, si el equilibrio debe satisfacerse en todo punto del sólido.

Esfuerzos yx2x xy1 2

xy 0zx

y3y3

1 3y 0yz 2

z z2

Reemplazando en las Ecuaciones de Navier (ecs i, ii, iii), obtenemos:

0B 0Bz400

0B0B03y33

1y-1

0B 0B0xy2xy2

zz

yy22

xx

Luego, vector de fuerzas másicas es: B = (0, 0, -4z) (vector típico de efectos de peso propio).

2) Demostrar la igualdad. G3K

GK 9E

, donde

E: Modulo de Elasticidad Lineal G: Modulo de Rigidez. K: Modulo Volumétrico.

Sabemos que:

) i (1g2E

) ii (E

2111

) iii (K 1

De (iii) y (ii) obtenemos

1E

21

K

p

(Estado hidrostático de esfuerzos).

Por definición de 1 :


219

A

B

C

D

"10"24

"2

3 E

21

K

13

E

21

K

p

De donde ) iiii (21K3E

Entre las ecuaciones (i ) y (iiii) eliminamos la relación de Poisson . Obtenemos:

K6

E

2

11

G2

E de donde despejamos E, para obtener finalmente:

G3K

GK 9E

3) Una varilla de latón AD está acoplada a cierto dispositivo que aplica un

confinamiento (presión lateral) de 8,000 lb/pulg2 en la porción BC de la varilla. Sabiendo que E = 15 ×106 lb/pulg2 y 33.0 , determinar:

(i) El cambio en la longitud AD; (ii) El cambio en el diámetro en la sección central

de la varilla. i) En un punto tal como se presenta estado de confinamiento lateral.

2

zx lgpulb 000,8

0y (no hay esfuerzo normal)

Usamos la ley generalizada de Hooke en dirección OY:

Tenemos zxyyE

1 . Reemplazando valores:

6-y

6y

10 x 352

000,8000,833.001015

1

En cambio en la longitud AD será yL

x

x

z

z


220

.lgpu1052.31035210 3611

(Notar que solo la longitud L = 10’’ está afectada por el confinamiento) ii) Cambio en el diámetro:

diámetro) del ón(disminuci 10 x 33.357

800033.080001015

1

E

1

6-x

6x

zyxx

Luego xdd

61033.357''2d

adaslgpu 1066.714d 6

4) La placa representada está restringida, de tal manera que no puede dilatarse ni

contraerse en dirección Y, pero puede hacerlo libremente en las direcciones X, Z. Las superficies de la placa perpendiculares al eje Z están libres de esfuerzo. Si se

produce un cambio uniforme de temperatura (ΔT°), hallar zxy ,, .

Para cada dirección las deformaciones unitarias totales, son:

3TE

1

2T E

1

1TE

1

yxzz

zxyy

zyxx

TOTAL

TOTAL

TOTAL

Condición → restricción → 0TOTAL

y luego:

TEzxx ( haciendo 0TOTAL

y )

Reemplazando datos 0z

0x

, tenemos TE0y

Reemplazando los valores ,, zyx en la ecuación (1) tenemos:

x

y y

z

T

0

; ; E

0 TÉRMICAELÁSTICATOTAL

:GENERAL EN

NESDEFORMACIO


221

T11E

1 20x

TOTAL

Reemplazando en la ecuación (3), tenemos:

T

E1 0

zTOTAL

5) Una placa rectangular de espesor “d” está comprendida entre dos planos paralelos

rígidos cuya separación es invariable. La placa está sometida a las fuerzas indicadas P y Q. Calcular la presión que ejerce la placa sobre los planos rígidos.

Como el espesor “d” de la placa no puede cambiar debe ser 0z . Luego:

yxzE

1o

De donde obtenemos yxz

Reemplazando los esfuerzos normales, obtenemos

ad

P

bd

Qz

La presión total ejercida sobre los planos rígidos, es:

abzPTOTAL (área indicada).

d

aQ

d

bP

bd

Q

ad

Pab

TOTALP (compresión sobre los planos rígidos).

Nota: Observar que 0z NO IMPLICA NECESARIAMENTE 0z

6) En el sistema representado, calcular las nuevas dimensiones de las aristas del

bloque rectangular.

Barras Elásticas

1

1

1

E

A

(cuatro, simétricamente ubicadas)

Bloque Prismático

2

2E

c. b, a, iniciales sarista

x

y y

z

P

P

P

P

P

P

Q Q

Q

Q

; E

a

b

d

a

b

d


222

F

R

F

F

F

Reacciones:

1F 4R

Esfuerzos en el bloque:

ab

Rx (compresión en dirección de x)

y (Dato)

0z (Dato)

Deformaciones unitarias (bloque): (Ley Generalizada de Hooke)

zy2x

2

xE

1

zx2y

2

yE

1

yx2z

2

zE

1

Reemplazando los esfuerzos tenemos:

x

y

z

b

c

a

a

c

b

p

p

p

p

FrentePlanta

2 Bloque

1 Elásticas Barras


223

0p

ab

R

E

12

2

x

0

ab

Rp

E

12

2

y

p

ab

R0

E

12

2

z

Simplificando:

2pab

R

E

12

2

x

3ab

Rp

E

12

2

y

4pab

R

E

12

2

z

Cambios de longitud (bloque):

5pab

R

E

cc 2

2

xx

Cambio de longitud (barra elástica):

6AE4

Rc

AE

FL

1111

Condición (paredes rígidas) → Δx = Δ, luego:

11

2

2 AE4

RCp

ab

R

E

c

de donde obtenemos R:

ab

1

AE4

E

pR

11

2

2

Conocida la fuerza R, reemplazamos su valor en las ecuaciones (2), (3), (4), para obtener las deformaciones unitarias en el bloque.

p

1AE4

abEE

12

11

2

2

2

x

1AE4

abE

pp

E

1

11

2

22

2

y ;

p

1AE4

abE

p

E

1

11

2

22

2

z

Las nuevas dimensiones de las aristas del bloque serán:

a’ = a ( 1 + εy ); b’ = a ( b + εz ); c’ = c ( 1 + εx )


224

7) Sobre un cubo de 1 m. de arista, cuyo material es elástico lineal quiere inducirse el

Estado de Deformación Unitaria dado por la matriz:

k200

0ky2k2

0k2kx2

, donde (x,

y, z), son las coordenadas de cualquier punto del sólido, expresadas en cm. Se

conoce que 25 cmKg10 x 6.2E ; 3.0 ; 510K .

Calcular los esfuerzos requeridos en las caras del bloque.

Con los valores E, determinamos las constantes de Lamé:

255

cm/Kg105.16.013.01

3.0106.2

211

E

25

5

cm/Kg103.012

106.2

12

E

Usamos las ecuaciones de Lamé para calcular los esfuerzos requeridos en las caras del sólido (Ecuaciones 5.1):

zyxxx 2 (y similares)

555555x 102y102x102105.1x102102

(Las deformaciones εx, εy, εz, → se obtienen de la matriz ).

Simplificando se obtiene 3y3x7x

De manera similar procedemos para las direcciones y,z. obtenemos:

3y7x3y ; 7y3x3z

A partir de las ecuaciones para esfuerzo cortante (ecs 5.2) obtenemos;

xyxy G

x

y

zA

B

C

D

E

F

G

o


225

210210 55xy ( recordar que G = μ)

( K 2xy , de la matriz )

De manera similar tenemos:

0xz , 0yz

Resumen de ecuaciones para los esfuerzos

3y3x7x 2xy

3y7x3y 0xz

7y3x3z 0yz

A partir de estas ecuaciones pueden hallarse los esfuerzos en cada cara del prisma.

Cara plano )cm/Kg( 2 )cm/Kg( 2

OCDE……………… y = 0 ……… 3x3y …… 2xy

ABGF……………… y = 100 cm …… 703x3y …… 2xy

AOFE……………… x = 0 ………… 3y3x …… 2xy

CBGD……………… x = 100 (cm) …… 703x3x …… 2xy

OABC……………… Z = 0 ……… 7y3x3z …… 0

EFGD……………… Z = 100 (cm) …… 7y3x3z …… 0

x

y

z

A

B

C

D

E

G

o

F

703y3x

3y3x

703x3y

3x3y

7y3x3z

7y3x3z


226

x

y

z

A

B

C

a

b

c

8) Un prisma rectangular de aristas a, b, c está solicitado por tres fuerzas normales A, B, C paralelas a las aristas. Hallar la relación entre estas seis magnitudes para que el volumen del prisma no cambie. Considerar el prisma de material elástico lineal (E; ).

Esfuerzos

bc

Ax

ac

By

ab

Cz

Deformaciones unitarias: zyxxE

1

ab

c

ac

B

bc

A

E

1x → cCbBaA

abcE

1x

De manera similar, obtenemos:

cCaAbBabcE

1y ; bBaAcC

abcE

1z

Condición: 0V → 0zyx (ver sección 2.2.2)

Reemplazando las deformaciones unitarias, tenemos:

0bBaAcCcCaAbBcCbBaAabcE

1

Simplificando → 0ccbBaA21abcE

1

Como 021abcE

1 ; la condición buscada será:

0cCbBaA

9) Se hace descender, en el océano, una esfera sólida de acero de 100 mm de

diámetro, hasta donde la presión es Pa10 x 90 6 . Sabiendo que Pa 10 x 200E 9 ;

3.0 , determinar:

i) La reducción del diámetro de la esfera.


227

ii) La reducción del volumen de la esfera. iii) El aumento porcentual de la densidad de la esfera.

Principio de Pascal pzyx

Deformaciones unitarias

zyxxE

1

pE

12ppp

E

1x

Similar para zy para y .Obtenemos:

pE

12 zyx

Reemplazando valores numéricos:

4

9

6

zyx 108.110200

109016.0

i) .m108.1108.11.0ddd 54x

ii) 44

0

TOTALzyx1 104.5108.13

V

V

(cambio unitario del

volumen) 3743

TOTAL m1083.2104.505.03

4V

iii) LnVLnmLnpv

mp , de donde:

V

dV

p

dp (puesto que m es constante)

Reemplazando valores: 4

4

7

104.510236.5

1083.2

p

dp

(volumen inicial de la esfera)

00

00 054.0

p

dp

10) Una barra cilíndrica, de material elástico lineal (E, ) está sometida a comprensión

p, según se indica en el esquema. Lateralmente la barra está confinada por un

tubo cilíndrico de pequeño espesor y módulo elástico 1E . Hallar los esfuerzos

normales en la barra.


228

x

z

x

ó

c c

En la barra interior, la deformación unitaria en dirección X, es:

)1.(..........11

xxE

xzyxE

x

En el tubo de confinamiento:

d

2

dd2

de2

LdLe2

1

xc

xc

xc

(Compresión) dd

d

1

xc

(esfuerzo circunferencial)

Deformación unitaria:

)2(Edd

d

E'

11

x

1

cx

P

L

d

1d

1E ; E

x

y

z

:barra la en

cúbicos Elementos


229

x

y

z

o

x x

Compatibilidad: xx ' igualamos (1) y (2)

11

xxx

Edd

dp

E

1

, de donde obtenemos:

z

11

x

dd

d

E

E1

p

(Compresiones).

11) Una barra prismática, de material elástico lineal (E; ) está sometida al estado de

esfuerzos

000

000

00

. Determinar:

i) La superficie transformada de una esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = R2 en el interior de la barra. ii) El volumen encerrado por la nueva superficie. Considerar el origen “O” como punto fijo durante la deformación de la barra.

0yz (dato)

Deformaciones unitarias (barra):

Ley Generalizada de Hooke:

E

1

E

1zyxx

Similarmente: E

y

;

Ez

También: ozxyzxy (ver matriz ).

Campo de Desplazamientos:

)1(x

u

E

1

x

ux


230

)2(y

v

Ey

v y

)3(z

w

Ez

w z

Integrando las ecuaciones (1), (2), (3), tenemos:

)4(z,yfxE

u 1

)5(z,xfyE

v 2

)6(y,xfzE

w 3

Deteminamos las funciones f1 (y; z); f2 (x; z); f3 (x; y) usando las

condiciones para distorsión nula 0zxyzxy . Sabemos que:

z

u

x

w ;

z

v

y

w ;

x

v

y

u yzyzxy

Luego tenemos:

barra. la de ZY,X,P todo Para

***0x

f

z

f :6 y 4 De

**0y

f

z

f :6 y 5 De

*0x

f

v

f :5 y 4 De

31

32

21

De (*) notamos que f1 y f2 han de ser funciones de z De (**) notamos que f2 y f3 han de ser funciones de x De (***) notamos que f1 y f3 han de ser funciones de y

Luego 332211 Cf ;Cf ;Cf

Desplazamientos: Reemplazamos f1, f2 y f3 en las ecuaciones (4), (5) y (6):

1CxE

u

2y CE

v

3z CE

w

Si el origen es punto fijo

0z

0y

0x

para

0w

0v

0u


231

Es decir:

Por lo tanto:

x

y

z

o

r

0r

u

' P

z,y,x P

Con el cual determinamos que 0CCC 321 . En consecuencia el Campo de

Desplazamiento se define por:

xE

u

; yE

v

; zE

w

P Esfera

P’ Nueva superficie

(Transformada de la esfera)

wz , vy , uxr

w,v,uz,y,xr

urr

'z'y'x

0

Es decir:

z

y

Ez' z w z' z

Ey' y uy' y

xE

x' x ux' x

Por lo tanto:

E1

' zz

E1z' z

E1

' yy

E1y' y

E1

' xx

E1x' x

Superficie inicial: x2 + y2 + z2= R2 (esfera) Superficie transformada:

2

2

2

2

2

2

2

R

E1

' z

E1

' y

E1

' xx

(Elipsoide de revolución alrededor del eje x)


232

21E

1R 3

4V

EEE1R

3

4V

1VVV

VV

3FINAL

3FINAL

zyxINICIALFINALzyx

INICIAL

INICIALFINAL

12) Un material elástico (E, , α) originalmente llena una cavidad con lados 2a y altura

h, en un bloque rígido, según se indica en el esquema. Encima del material elástico se coloca una tapa rígida y se aplica una fuerza de comprensión F a ésta, al mismo tiempo que se incrementa la temperatura.

Expresar el movimiento de la tapa en función de F, T y las constantes elásticas del material. Despreciar cualquier efecto de fricción.

Establecemos, en primer lugar los ejes coordenados como se indica en los esquemas. Se excluye la posible fricción → El material deformable no se adhiere a las paredes del bloque rígido ni a la tapa durante la deformación. Con “c” indicaremos el movimiento de la tapa (supuesto positivo según el eje “y” indicado). Como el material deformable es elástico lineal, usamos las ecuaciones de la Ley de Hooke Generalizada, más el efecto de temperatura:

1

TE

1

T E

1

TE

1

yxzz

zxyy

zyxx

x

y

z

F

F

x

c

aa

ha2

a2

Deformable

Material

y


233

Debido a la carga aplica, en el material sólo ocurren esfuerzos normales. Por la restricción del bloque rígido, el material sólo experimentará deformaciones normales

en dirección Y. 0 ; zxy

Por la simetría (sección transversal cuadrada) .zx

(Puede verificarse haciendo 0 ;0 zx en la 1° y la 3° ecuaciones (1))

Reemplazando en la ecuación (1):

( ) TΔαE+σ+σνσ=0 zyx -

De donde obtenemos:

)2(T1

E

1yx

Reemplazando la ecuación (2) en la segunda de las ecuaciones (1) encontramos que:

)3(TE 1

1

1

21E y

2

El esfuerzo en dirección y es: ( ) )4(compresión a4

F=σ

2y

También, la deformación unitaria en dirección y, es )5( h

c

Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en (3) y simplificando obtenemos:

ó

Ta4K 3

F

1

1

h

c

TEa4

F21

1

1

E

1

h

c

2

2

Siendo K el módulo de compresibilidad del material.

Si ΔT = 0 F comprime el material y c es negativo

Si ΔT ≠ 0, la fuerza F requerida para mantener la tapa en su posición inicial (cuando 0c ), es:

TK 3a4F 2

13) (Ecuaciones diferenciales del equilibrio en Coordenadas Polares). Al estudiar la

distribución de esfuerzos en anillos, discos giratorios y otras piezas curvas, es conveniente emplear Coordenadas Polares:


234

: Angulo polar.

: Radio vector.

: Esfuerzo Normal en

dirección radial.

: Esfuerzo Normal en

dirección tangencial.

Consideremos un elemento plano definido en coordenadas polares.

(Esfuerzos en el elemento polar, indicando la variación de los mismos al variar el radio vector y el ángulo polar. No incluimos distribución de fuerzas másicas). Estableciendo el Equilibrio de Fuerzas en dirección radial, tenemos:

02

sen

2senp

pp

Efectuado operaciones, obtenemos:

dibujo.

del plano al unitario,

espesor de Elementos

p

p

p


235

02

2

pp

Simplificando la sumatoria anterior, y dividiendo entre , obtenemos:

0222

Llevando al límite, cuando 0; , tenemos:

0

Expresión que puede escribirse:

0

Finalmente

*01

Estableciendo, ahora, el equilibrio de FUERZAS en dirección tangencial (ortogonal a la dirección radial), tenemos:

**021

Las ecuaciones (*), (**) son las ecuaciones de equilibrio, expresadas en términos de esfuerzos, en un sistema plano de coordenadas polares. No se incluyen las posibles distribuciones polares de fuerzas Másicas. 2.3) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria. Transformación General

de Esfuerzos. 2.3.1) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria. Consideremos un prisma elemental, sometido al estado general de esfuerzos definido

por la matriz .

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Pueden ser definidos los vectores siguientes:

xzxyxx ,; Vector esfuerzo sobre la cara X positiva.

yzyxyy ,; Vector esfuerzo sobre la cara Y positiva.


236

zzyzxz ,; Vector esfuerzo sobre la cara Z positiva.

De manera equivalente, en función de los valores unitarios .k , j , i

1

kji

kji

kji

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

En general x , y , z , son vectores no paralelos a los vectores unitarios k , j , i

respectivamente.

Consideremos, ahora, el vector esfuerzo sobre un plano inclinado ABC que pasa por un punto P del sólido.

xzxyxx ,,

yzyyxy ,,

zzyzxz ,,

i

j

k

x

y

z

contrario. sentido

y intensidad misma la de

Esfuerzo Vectoresactúan

opuestas caras las En

AB

C

x

y

z

P

xy

z

N

P


237

N Vector Unitario Normal al plano ABC

k njmi lN .

Ecuación cartesiana del plano qnzmylx .

Cosenos directores de la normal al plano l2 + m2 + n2 = 1

Sobre el plano ABC, para el equilibrio, se desarrollará un VECTOR ESFUERZO.

P

Vector esfuerzo sobre el plano inclinado ABC. Generalmente P

no es normal

al plano ABC.

El vector esfuerzo P

puede expresarse en función de sus componentes cartesianas

rectangulares.

)2(kji zPyPxPP

Debemos encontrar las componentes zPyPxP ,, en función de los elementos de la

matriz y de los cosenos directores l, m, n, de la normal al plano inclinado ABC.

La suma vectorial de las fuerzas actuantes sobre el tetraedro OABC nos permite escribir:

)3( n m l zyxP

(Vector esfuerzo en el punto P). Reemplazando las expresiones (1) y (2) en (3), tenemos:

kjin

kjim

kji lkji

zyzxz

yzyxy

xzxyxzPyPxP

Simplificando y recordando las condiciones para igualad de vectores, obtenemos:

xy

z

N

cosn

cosm

cosl


238

4

n m l

n m l

n m l

zzyzxPz

yzyyxPy

xzxyxPx

Las ecuaciones (4) definen las Componentes Cartesianas Rectangulares del Vector de

Esfuerzos P , en función de las componentes del Vector Normal Unitario N y de los

elementos de la Matriz de Esfuerzo .

Matricialmente, las ecuaciones (4) se expresan:

n

m

l

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Pz

Py

Px

N ó P

Vector columna de los cosenos directores de la normal al plano inclinado ABC.

Definición: El esfuerzo normal en un plano que pasa por P, es la Proyección Ortogonal del

Vector p sobre el Vector Normal UnitarioN .

EsfuerzoPN Normal en el plano ABC.

EsfuerzoPS Cortante en el plano ABC (en la dirección S).

(Dirección S normal con N ). La magnitud del esfuerzo Normal, es:

escalar) (Producto NPPN En términos de componentes rectangulares, tenemos:

PzPyPxPN

PzPyPxPN

nσmσlσσ

knjmil kσjσiσσ

B

C

N

P

PN

PS

s

PzPyPxP ,,


239

kz,y,x

normal N

x y

z

0P

Reemplazamos Pxσ , Pyσ , Pzσ por sus valores dados en las ecuación (4) y

simplificando, tenemos:

....(5).......... 2mn2ln2lmσnσmσlσ yzxzxyz2

y2

x2

PN ττ

La magnitud del esfuerzo cortante, PS , en dirección S, es:

...(6).......... σσσσσ

σσ σ

2

PN

2

Pz

2

Py

2

PxPS

2

N

2

PPS

Notas: 1. Vector Gradiente

Sea 0P un punto sobre la gráfica de

kz,y,x

El vector unitario normal, es:

N

Siendo el vector gradiente:

kx

jx

ix

, evaluando en

el punto 0P .

2. Recordando las operaciones del álgebra matricial, el esfuerzo normal sobre el plano inclinado ABC (ec.5) puede escribirse:

N σ Nσ

ó

n

m

l

σ l m nσ

T

PN

PN

Siendo

n

m

l

N el vector columna de cosenos directores de la normal al plano

inclinado ABC.


240

z

x y

A B

C

P'' 4 '' 2

'' 6

EJEMPLOS

1. En un sólido la matriz de esfuerzos es 2pulgKlb

210

135

057

. Determinar el

Vector Esfuerzo en un plano que pasa por un punto del sólido, y es paralelo al plano ABC.

Plano ABC:

12z2y6x3

16

z

2

y

4

x

Cosenos directores del vector normal al plano ABC:

7

2

263

2n

7

6

263

6m ,

7

3

263

3l

222222222

Vector esfuerzo:

72

76

73

210

135

057

Pz

Py

Px

Efectuando el producto indicado, tenemos:

k7

10j

7

5i

7

9 :luego

710

75

79

P

Pz

Py

Px

2. El estado de esfuerzos en un sólido viene dado por

0z20

z20y5

0y5xy32

2

(Unidades de esfuerzo), siendo (x, y, z) las coordenadas de cualquier punto del

sólido. Determinar el vector esfuerzo actuante en el punto 3,1,2P0 ubicado

sobre el cilindro 4zy 22


241

Vector unitario normal:

4zy

04zy : siendo N

22

22

Vector gradiente:

2

3,

2

1,0N k

2

3j

2

1i0

3220

k32j2i0N

:luego

k32j2i0

3,1,2P en evaluando kz2jy2i0

222

0

En el punto 0P , la matriz de esfuerzos es:

0320

3205

056

Vector esfuerzo:

23

21

0

0320

3205

056

Pz

Py

Px

Efectuando el producto, e identificando elementos, obtenemos:

25Px 3Py 3Px

Luego: k3j3i2

5P

x

y

z

N

4zy 22

3

,1,2


242

3. La matriz de esfuerzos en un punto es

012

11

210

y

calcular y , de manera

que el Vector Esfuerzo en un plano que pasa por ese punto, sea nulo. Encontrar el Vector Unitario Normal para ese plano libre de esfuerzos.

Vector esfuerzo P :

desconocidos

n

m

l

012

11

210

y

Pz

Py

Px

Efectuando el producto e identificando componentes, tenemos:

n2mPx ; nml yPy ; ml2Px

Condición P = 0. Entonces se requiere:

1.................... 0n2m

2............ 0nml y

3.................. 0ml2

2ml(3) de ; 2mn (1) De Reemplazando en (2):

01m 02

mm

2

myy

0m es imposible, puesto que ocasionaría 0lnm

Entonces 1 01 yy

Para este valor, las ecs. (1), (2), (3) quedan:

0ml2

0nml

0n2m

Que las resolvemos bajo la condición:

1nml 222 (cosenos directores)

6

1n ;

6

2m ;

6

1l :Obtenemos

Los vectores unitarios normales al plano libre de esfuerzos son:

k6

1j

6

2i

6

1N


243

M

1P

2P1n

2n

4. Sean 21 P y P los vectores esfuerzo correspondientes a dos planos que pasan por

un punto M, Sean 21 n y n las normales a dichos planos. Demostrar que la

proyección de 21 n sobre P es igual a la proyección de sobre 12 n sobre P .

Debemos probar que:

*...............n · Pn · P 1221

Estado de esfuerzos en el punto M:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

El vector esfuerzo P1 es:

1

1

1

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z1

y1

x1

c

b

a

P

P

P

Desarrollando el producto, encontramos:

cba, cba ; cbaP 1z1yz1xz1yz1y1xy1xz1xy1x1

La proyección de 2121 n·P es, n sobre P luego:

**).........(..........cccb

ca bcbbba acabaan·P

21z21yz

21xz21yz21y21xy21xz21xy21x21

De manera similar obtenemos la proyección de 12 n sobre P :

*)*........(*..........cccb

ca bcbbba acabaan·P

21z21yz

21xz21yz21y21xy21xz21xy21x12

Comparando (**) con (***) obtenemos (*):

1221 n·Pn·P

Nota: Este resultado, se denomina Ley de Reciprocidad Generalizada.

5. El estado de esfuerzos en un punto es

cb

ca

ba

donde a, b y c son

constantes y es un valor dado no nulo. Encontrar las constantes a, b y c de

manera que el vector esfuerzo sobre el plano octaédrico sea nulo.


244

cos,cos,cosN

A

B

C

z

x

y

ABC es el plano octaédrico, si:

3

1cos

1coscoscos 222

Normal al plano octaédrico:

3

1,

3

1,

3

1N ó

3

1,

3

1,

3

1N

'

Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico:

31

31

31

cb

ca

ba

OCT

Desarrollando el producto, obtenemos:

3

σ

3

cσ

3

bσ,

3

cσ

3

σ

3

aσ,

3

bσ

3

aσ

3

σ σOCT

Condición dada: 0 ,0 ,00 OCT luego:

0σcσbσ 3

1 ; 0cσσaσ

3

1 ; 0bσaσσ

3

1

De donde (como es 0 obtenemos:

*

01cb

0c1a

0ba1

Resolviendo el sistema (*), tenemos: a = -1/2 b = -1/2 c= -1/2

6. El estado de esfuerzos en un sólido es

0cx0

cx0cx

0cx0

donde c es una

constante.


245

i) Probar que se satisfacen las ecuaciones del equilibrio, cuando el vector de fuerzas másicas es nulo.

ii) Determinar el vector esfuerzo en 7,4,4P0 sobre el plano 7zy2x2 y

sobre la esfera 81zyx 222

i) Las componentes de esfuerzo son:

0 ; cx; 0 ; 0; cz; 0 zyzyxyxyx

Reemplazando en las ecuaciones de Navier, notamos que se verifican sólo cuando

0BBB zyx

ii) Plano 7zy2x2 punto 7,4,4P0

07zy2x2

Vector normal al plano:

n (evaluando en 0P )

k3

1j

3

2i

3

2

122

kj2i2n

222

Vector esfuerzo en el punto 0P :

3

8,c

3

18,c

3

14

31-

32

32

0c40

c40c7

0c70

0

0

P

P

Esfera 81zyx 222

k14j8i8

kz2jy2ix281zyx 7,4,4222

Luego: k9

7j

9

4i

9

4

1488

k14j8i8n

222

Vector esfuerzo:

kc9

16j0ic

9

28

916c

0

928c-

97

94-

94

0c40

c40c7

0c70

0

0

P

P

7. En el punto P el estado de esfuerzos es

3507

0217

7714

determinar:

i) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGE. ii) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGFC. iii) Las componentes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante en el plano BGFC.


246

i) Hallamos la ecuación del plano BGE:

12z3y2x6 14

z

6

y

2

x

Los cosenos directores de la normal al plano, son:

7

3 n

7

2 m

7

6l

326

3 n

326

2 m

326

6l

222222222

El vector esfuerzo P es:

73

72

76

3507

0217

7714

P

Efectuando el producto, obtenemos:

k9j12 i 11 ó

9

12

11

PP

(Siendo k ,j ,i los vectores direccionales unitarios)

ii) Hallamos la ecuación del plano BGFC:

4zx2 14

z

2

x

Los cosenos directores de la normal al plano son:

5

1 n 0 m

5

2l

12

1 n 0 m

12

2l

2222

El vector esfuerzo, es:

51

0

52

3507

0217

7714

P

Efectuando el producto, obtenemos:

x

y

z

A

B C

P'' 4

'' 2

'' 6

D

E

FG


247

k5

21j

5

14i

5

21 ó

521

514

521

PP

iii) Sobre el plano BGFC, el esfuerzo normal, es:

normal) e(component 5

63

5

21 0

5

42

512

514

521

5

1 0

5

2

51

0

52

3507

0217

7714

5

1 0

5

2

:luego

51

0

52

N donde NN

N

N

N

N

La componente de esfuerzo cortante , es:

5

696.37

5

63

5

21

5

14

5

212222

2

N

2

P

Nota:

Los esfuerzos N y están expresados en las mismas unidades de esfuerzo que los

elementos de la matriz .

2.3.2) Transformación General de Esfuerzos

i) Propiedad: “Conociendo las componentes de esfuerzo, referidas a tres superficies ortogonales en un punto, pueden calcularse las componentes de esfuerzo que actúan sobre cualquier otra superficie que pasa por el punto referido.”


248

Consideremos un tetraedro infinitesimal OABC, recortado de un sólido en equilibrio. En

los planos coordenados actúan esfuerzos dados por la matriz .

La superficie ABC tiene como vector unitario normal nznynx a,a,an y sobre ella

actúa el esfuerzo normal n y el esfuerzo cortante s 1aaa :recordar2

nz

2

ny

2

nx

La magnitud del esfuerzo normal, es:

nz

ny

nx

nznynxn

a

a

a

a a a

Desarrollando las operaciones matriciales, obtenemos:

1aaaaaaa

aaaaaaaa

2

nzznynzzynxnzzxnznyyz

2

nyynxnyyxnznxxznynxxy

2

nxxn

Nota) Observar la coincidencia con la fórmula deducida en la sección anterior (ec.5), con el cambio de nomenclatura para los cosenos directores del vector normal unitario:

nznynx an am al

n

y x

z

xyyx

xz

zx

yz

zy

n

A B

C

x y

z

s

s

o

P


249

A

B

C

s

n

P

La igualdad (1) demuestra que el esfuerzo normal actuante sobre cualquier superficie que contiene al punto para el cual está definido el estado de esfuerzos (mediante la

matriz ), depende únicamente de las componentes de esfuerzo y de los cosenos

directores de la normal a la superficie de interés.

Sean szsysx a,a,a los cosenos directores

de una dirección s (contenida en el plano

ABC y normal al vector n ).

Recordar: sz2

sy2

sx2 aaa = 1

0aaaaaa sznzsynysxnx

Estableciendo el equilibrio tetraedro OABC, puede establecerse una expresión, similar a

la ec. (1), para el esfuerzo cortante s :

2aaaaaaaa

aaaaaaaaaa

sznzzsynzzysxnzzxsznyyz

synyysxnyyxsznxxzsynxxysxnxxs

La igualdad (2) demuestra que el esfuerzo cortante s , en la dirección s , depende

únicamente del estado de esfuerzos y de los cosenos directores de las direcciones

n y s .

Las ecs. (1) y (2) nos permiten calcular los esfuerzos sobre cualquier superficie que

pase por el punto dado, en función de los elementos de la matriz y de los cosenos

directores de n y s (ortogonales).


250

x y

z

o

' y

' x

' z

ii) Ecuaciones para la Transformación General de Esfuerzos PROBLEMA

Conocida la matriz ,

referida al sistema x, y, z,

encontrar la matriz ’

asociada con el sistema x’ y’ z’. (x, y, z): ortogonal (x’, y’, z’): ortogonal) (x y z) rotación (x’ y’ z’)

Para encontrar 'x

(Esfuerzo Normal en la dirección X’) Podemos usar la ec. (1), anterior, con el cambio apropiado en la nomencla-

tura.

Entonces, en la ec. (1) en vez de usar n para la dirección de una superficie (su normal), usamos x’ (normal a la superficie coordenada z’ o’ y’). Reemplazando n por x’ en la ec. (1), tenemos:

3aaaaaaa

aaaaaaaa

2

z'xzy'xz'xzyx'xz'xzxz'xy'xyz

2

y'xyx'xy'xyxz'xx'xxzy'xx'xxy

2

x'xxn

Donde: x'xa coseno director entre el eje x’ y el eje x.

y'xa coseno director entre el eje x’ y el eje y.

etc.

En forma semejante, pueden hallarse expresiones para los esfuerzos normales 'y y

'z Se obtienen:

4aaaaaaa

aaaaaaaa

2

z'yzy'yz'yzyx'yz'yzxz'yy'yyz

2

y'yyx'yy'yyxz'yx'yxzy'yx'yxy

2

x'yx'y

5 aaaaaaa

aaaaaaaa

2

z'zzy'zz'zzyx'zz'zzxz'zy'zyz

2

y'zyx'zy'zyxz'zx'zxzy'zx'zxy

2

x'zx'z

También el esfuerzo cortante 'z'x puede calcularse a partir de la ec. (2) en forma

análoga a las usadas para determinar los esfuerzos normales en el sistema rotado (x’ y’ z’). Obtenemos:

6aaaaaaaa

aaaaaaaaaa

z'zz'xzy'zz'xzyx'zz'xzxz'zy'xyz

y'zy'xyx'zy'xyxz'zx'xxzy'zx'xxyx'zx'xx'z'x

y similares para 'y'x , 'z'y .

Las ecuaciones para la transformación de esfuerzos, ecuaciones (3), (4), (5), (6),…. Se escriben consistentemente en forma matricial:


251

x

y

z' y

' x

' z

matriz referida a las coordenadas (x ,y, z).

' matriz referida a las coordenadas (x’, y’, z’).

Ambos sistemas de coordenadas son respectivamente ortogonales.

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE

COORDENADAS: A

(MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES)

aaa

aaa

aaa

A

z'zy'zx'z

z'yy'yx'y

z'xy'xx'x

(También denominada matriz rotación de coordenadas).

En base a esta matriz A , las ecs. (3), (4), (5), (6), se

escriben consistentemente: T'

A A

Siendo:

rotación. de matriz la de atranspuest A

rotación. de matriz A

z'. y' x'sistema el en esfuerzos de matriz

z. x y sistema el en esfuerzos de matriz

T

'

Recordar AT

: se intercambian filas con columnas en la matriz A

aaa

aaa

aaa

A

z'zy'zx'z

z'yy'yx'y

z'xy'xx'xT

Recordar también las condiciones de ortonormalidad. EJEMPLOS

1) Demostrar zyxzyn ''''' (Primer invariante de esfuerzos).

Sumando respectivamente las ecs. (3), (4) y (5), tenemos:

z'yx'yxzy'yx'yxy

2

x'yx

2

z'xzy'xz'xzyx'xz'xzx

z'xy'xyz

2

y'xyx'xy'xyx

z'xx'xxzy'xx'xxy

2

x'xx'z'y'x

aaaaa

aaaaa

aa aaa

aaaaa

x y z

x’ x'xa y'xa z'xa

y’ x'ya y'ya z'ya

z’ x'za y'za z'za


252

x'zy'zxzz'zy'zyz

2

y'zy

2

z'yzy'yz'yzyx'yz'yzx

z'yy'yyz

2

y'yyx'yy'yyx

aaaa a

aaaaa

aa aaa

2

z'zzy'zz'zzyx'zz'zzx

z'zy'zyz

2

y'zyx'zy'zyx

aaaaa

aa aaa

Expresión que puede arreglarse de la manera siguiente:

y'zx'zy'yx'yy'xx'xxy

2

z'z

2

z'y

2

z'xz

2

y'z

2

y'y

2

y'xy

2

x'z

2

x'y

2

x'xx'z'y'x

aaaaaaaaa

aaaaaa

Por las condiciones de ortonormalidad, los coeficientes que multiplican a los esfuerzos

normales x , y , z valen UNO (son la suma de cuadrados de cosenos directores.

Condición de normalidad). También los coeficientes que multiplican a los esfuerzos

cortantes ...,xy etc. Valen CERO (condición de ortogonalidad).

En consecuencia:

zyx'z'y'x

(Denominado PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS).

2) Dado el estado de esfuerzos Pa M

0050

0050

505010

, hallar 'x , siendo x’ la

dirección k3j2i .

Vector Unitario en dirección x’:

14

3a ;

14

2a ;

14

1a Directores Cosenos

k14

3j

14

2i

14

1

321

k3j2i'x

z'xy'xx'x

22

Usamos la ecuación (escalar) de transformación (ec. 3) (Ver Pág. 261)

2

z'xzy'xz'xzyx'xz'xzxz'xy'xyz

2

y'xyx'xy'xyxz'xx'xxzy'xx'xxy

2

x'xxn

aaaaaaa

aaaaaaaa

Reemplazando valores de los cosenos directores:

14

3a ;

14

2a ;

14

1a z'xy'xx'x

Tenemos:


253

2

2

2

n

14

30

14

2

14

30

14

2

14

350

14

3

14

20

14

10

14

1

14

250

14

3

14

150

14

2

14

150

14

110

Efectuando operaciones, obtenemos:

Pa M 43.6'

Pa M 14

90

14

150

14

100

14

150

14

100

14

10

x'x

'x

3) El estado de esfuerzos en un punto P, referido al sistema de coordenadas x, y, z

es

30000

000

00100

. Determinar la matriz de esfuerzos correspondiente a un

sistema de ejes obtenido mediante la rotación de 45º, del sistema x y z alrededor del eje z, en sentido horario cuando se mira hacia el punto.

Matriz de rotación A

100

02222

02222

A

Respecto al sistema rotado x’ y’ z’ , la matriz de esfuerzos, es:

TA A'

x y z

x’ º45cos º135cos º90cos

y’ º45cos º45cos º90cos

z’ º90cos º90cos º0cos

x y

z

' y

' x

' z

P

045

045


254

TAσA'σ

Efectuando el triple producto matricial, tenemos:

30000

05050

05050

'

4) En un punto de un sólido, la matriz de esfuerzos está dada por

KPa

8000100

000

1000500

, en el sistema inicial de referencia x, y, z. Un nuevo

sistema de referencia x’ y’ z’ se obtiene girando el sistema inicial 30º alrededor del eje z, según se indica. Determinar la matriz esfuerzos referida al sistema x’ y’ z’. Usaremos la expresión matricial:

T A A'

Definimos la matriz de transformación de coordenadas A :

X Y z

x’ º30cos º30cos º30cos

y’ º30cos º30cos º30cos

z’ º30cos º30cos º30cos

xy

z

' y

' x

' z

o

030

030


255

100

0866.05.0

05.0866.0

AT

TA A'

100

0866.05.0

05.0866.0

8000100

000

1000500

100

0866.05.0

05.0866.0

'z'y'z'x'z

'z'y'y'x'y

'z'x'y'x'x

Desarrollando el triple producto matricial, tenemos:

KPa

800506.86

50125216

6.86216375

'z'y'z'x'z

'z'y'y'x'y

'z'x'y'x'x

Notar que:

.Esfuerzos) de Invariante imer(Pr σ+σ+σ=σ+σ+σ

KPa 300=800+0+500=σ+σ+σ

KPa 300=800+125375=σ+σ+σ

zyx'z'y'x

zyx

'z'y'x

→

5) Respecto al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es:

k00

0k0

00k

determinar la

matriz de esfuerzos referida al sistema x’ y’ z’. x’: Dirección octaédrica.

x

y

z

' y

' x

o

' z

4


256

Usaremos: TA A'

Debemos encontrar la matriz de transformación: A

Como el eje x’ forma ángulos iguales con los ejes x, y, z, es conocida la primera fila de

la matriz A .

También, como el ángulo entre z’ y z es 4

, se conocerá el elemento z'za (= cos 45)

de la matriz A .

Datos:

2

1a :también

3

1cos

1coscoscos

cosaaa

z'z

222

z'xy'xx'x

Condiciones:

'z de directores cosenos1aaa

' yde directores cosenos1aaa

2

x'z

2

y'z

2

x'z

2

x'y

2

y'y

2

x'y

(Provienen del coseno deentre dos direcciones):

'z'y0aaaaaa

'z'x0aaaaaa

'y'x0aaaaaa

z'zz'yy'zy'yx'zx`y

z'zz'xy'zy'xx'xx`x

z'yz'xy'yy'xx'yx`x

Reemplazando en las 5 ecuaciones anteriores los valores conocidos, determinamos el sistema siguiente:

)2( 12

1aa

)1(1aaa

2

y'z

2

x'z

2

x'y

2

y'y

2

x'y

)5( 0a2

1aaaa

)4( 02

1aa0

2

1

3

1a

3

1a

3

1

)3(0aaa0a3

1a

3

1a

3

1

z'yy'zy'yx'zx`y

y'zx'xy'zx'x

z'yy'yx'yz'yy'yx'y

Las ecuaciones (1), (2), (3), (4), (5) determinan un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas:

x'ya , y'ya , z'ya , x'za , y'za

A partir de las ecuaciones (2) y (4), obtenemos:

x y z

x’ x'xa y'xa z'xa

y’ x'ya y'ya z'ya

z’ x'za y'za z'za


257

0a x'z 2

1a y'z

Reemplazando estos valores en (5), obtenemos y'ya = z'ya (*)

Esta condición la reemplazamos en (1) y (3):

(*) 6

1a ia,consecuenc eny

6

1a ,

6

2a

:obtenemos donde

0a2a y 1a2a

z'y

y'yx'y

y'yx'y

2

y'y

2

x'y

Tenemos completada la matriz de rotación A

21210

616162

313131

A

Finalmente, reemplazamos en: T A A'

21210

616131

316231

K00

0K0

00K

21210

616162

313131

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

Desarrollando el triple producto matricial:

k00

0k0

00k

zyzxz

yzyxy

xzxyx

6) La matriz de esfuerzos

kkk

kkk

kkk

está

referida al sistema x y z. Hallar la matriz referida al sistema x’ y’ z’, según se indica en el esquema.

x y z

x’ 31 31 31

y’ 62 61 61

z’ 0 21 21


258

Los ejes y’, z, z’ están en un mismo plano vertical. Los ejes x’, x, y están en un mismo plano vertical.

Determinaremos la matriz de transformación de coordenadas A :

Existen cinco elementos conocidos:

313131

32aa

0aa

A y'yx'y

y'xx'x

Similar al ejemplo anterior, empleamos las condiciones de ortonormalidad:

03

1

3

2

3

1a

3

1a

003

1a

3

1a

00aaaa

13

2aa

1aa

y'yx`y

y'xx`x

y'yy'xx'yx`x

2

y'y

2

x`y

2

y'x

2

x`x

Resolviendo este sistema, obtenemos:

61a

61a

21a

21a

y'y

x`y

y'x

x`x

313131

326161

02121

A

Luego:

x

y

z

' y

' x

' z

3

2cos arc


259

x

y

z

n

P

P

N

s

31320

316121

316121

kkk

kkk

kkk

313131

326161

02121

'

Desarrollando el triple producto matricial, obtenemos:

k300

000

000

'

7) Referida al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es:

00

00

00

3

2

1

demostrar

que el esfuerzo cortante sobre un plano octaédrico, está dado por:

213

2

32

2

21OCT3

1

n Vector normal unitario a

uno de los planos octaédricos.

P Vector esfuerzo sobre

el plano octaédrico.

3

1,

3

1,

3

1n

El esfuerzo sobre el plano octaédrico, es:

3

3

3

31

31

31

00

00

00

3

2

1

P

El esfuerzo normal sobre el plano octaédrico, es:

321

3

2

1

N3

1

31

31

31

00

00

00

313131

El esfuerzo cortante, será:


260

213

2

32

2

21OCT

2

321

2

3

2

2

2

1

2N

2POCT

3

1

: en transforma se Que

9

1

3

1

2.4) Esfuerzos y Direcciones Principales. Diagonalización de la Matriz

Un problema de gran interés en el análisis de esfuerzos, consiste en determinar los máximos valores de los esfuerzos normales y sus direcciones correspondientes. El esfuerzo normal que actúa sobre una cara de un prisma será máximo, cuando en esta cara, los esfuerzos cortantes sean nulos.

( máximo cuando 0 )

En consecuencia, la matriz de esfuerzos

deberá transformarse en una matriz diagonal

T

T: transformación de similaridad.

Los ejes 1-2-3 denominan EJES PRINCIPALES DE ESFUERZO

321

3

2

1

T

zyzxz

yzyxy

xzxyx

00

00

00

1

2

2

3

1

3

DIAGONAL NO : DIAGONAL ATRIZM :

x

y

z


261

1

2

3

1N

Definición)

Los esfuerzos 321 , , se denominan ESFUERZOS PRINCIPALES. Sus direcciones

correspondientes, se denominan DIRECCIONES PRINCIPALES. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan PLANOS PRINCIPALES.

Sean 111 n,m,lN el vector unitario normal paralelo al eje principal 1.

1,z cosn

1,y cosm

1,x cosl

1

1

1

El vector esfuerzo sobre el plano

cuya normal es 1N , es:

(*) N1

Si en el plano indicado, los esfuerzos cortantes son nulos 1N (condición de

paralelismo de vectores). La igualdad (*) nos queda:

(**) NN 11

Siendo un escalar por determinar. En términos de sus componentes, la ecuación (**)

es:

1

1

1

zzyzx

yzyyx

xzxyx

1

1

1

n

m

l

n

m

l

Efectuando el producto matricial, e, identificando componentes, tenemos:

1z1zy1zx1

1yz1y1yx1

1xz1xy1x1

nmln

nmlm

nmll

Ecuaciones que determinan el sistema lineal homogéneo siguiente:

0nml

0nml

0nml

1z1zy1zx

1yz1y1yx

1xz1xy1x


262

Sistema lineal de ecuaciones homogéneas, que notación matricial se expresa:

0

0

0

n

m

l

1

1

1

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(Las incógnitas son los cosenos directores 111 n ,m ,l ).

Una condición del Álgebra Lineal, expresa:”Para que el sistema de ecuaciones

homogéneas ó admita soluciones diferentes de la solución trivial

0n m l 111 , es necesario que: 0)sdet( “

En consecuencia, la condición requerida es:

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Definición)

El determinante del anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas )sdet( se

denomina DETERMINANTE CARACTERISTICO. La ecuación 0)sdet( se denomina

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA. Las raíces de la ecuación característica se denominan RAICES CARACTERÍSTICAS. Nota: Las raíces características vienen a ser los valores buscados del escalar λ. También se denominan Valores Característicos.

Encontradas las raíces características, mediante el sistema ó se encontrarán

los cosenos directores correspondientes (Un juego para raíz característica). Notas:

Debido a que es una matriz simétrica de orden 3, las tres raíces de la ecuación

característica son REALES (Teorema del Álgebra Lineal).

Cada raíz característica es un valor del ESFUERZO PRINCIPAL. Por lo general,

las raíces se ordenan 321321 ó .

Sustituyendo el valor el valor de cada raíz característica en el sistema ó y

recordando que 1nml 222 ; se determinan tres sistemas de COSENOS DIRECTORES.

Cada juego de cosenos directores, define una DIRECCIÓN PRINCIPAL. Puede demostrarse que las tres DIRECCIÓNES PRINCIPALES son mutuamente ORTOGONALES.

En los planos principales NO actúan esfuerzos cortantes. En consecuencia, la matriz que define el estado PRINCIPAL DE ESFUERZOS es una matriz diagonal:


263

00

00

00

3

2

1

Por esto, el proceso de calcular las raíces y los valores característicos, se denomina DIAGONALIZACIÓN DE LA MATRIZ DE ESFUERZOS (Problema de vectores y valores propios)-

Al formular la ecuación características se obtiene un polinomio de la forma

032

22

13 , donde

1 PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS.

2 SEGUNDO INVARIANTE DE ESFUERZOS.

3 TERCER INVARIANTE DE ESFUERZOS.

Sus valores están dados por:

y

2

xzx

2

yzz

2

xyyzxzxyzyx3

2

yz

2

xz

2

xyxzzyyx2

zyx1

2

EJEMPLOS 1) Hallar los esfuerzos principales correspondientes al estado de esfuerzos dado por

la matriz pulglb

20080150

8000

150002

Ecuación Característica:

0

20080150

8000

15000

Desarrollando el determinante, obtenemos:

0900,28200

TICOCARACTERÍS POLINOMIO

23

Resolviendo la ecuación característica, obtenemos las raíces características:

23.97 ; 23.297 ; 0 321

Los esfuerzos PRINCIPALES son:

pulg

lb23.97 ; 0 ;

pulg

lb23.297

21121

2) El estado de esfuerzos en un punto es MPa

100

031

013

. Determinar los

esfuerzos principales y sus direcciones correspondientes.


264


0

100

031

013

Desarrollando el determinante, obtenemos:

01312

Raíces Características: 4 ; 2 ; 1 321

Esfuerzos Principales: MPa 1 ; MPa 2 ; MPa 4 111

MATRIZ DIAGONAL: MPa

100

020

004

Direcciones Principales: Para 4 :

El sistema nos queda

0

0

0

n

m

l

4100

0431

0143

1

1

1

De donde obtenemos las ecuaciones lineales:

0n 0n3

ml 0ml

ml 0ml

11

1111

1111

Que las resolvemos con las condiciones 1nml2

1

2

1

2

1

10ll2

1

2

1

En consecuencia:

0n

21m

21l

1

1

1

Vector unitario correspondiente a la primera dirección principal:

0 ,21 ,21N1

Para 2 :

0

0

0

n

m

l

2100

0231

0123

2

2

2



265

0n 0n

ml 0ml

ml 0ml

22

2222

2222

Que las resolvemos con las condiciones 1nml2

2

2

2

2

2

1l 22

2

En consecuencia:

0n

21m

21l

2

2

2

Vector unitario correspondiente a la segunda dirección principal:

0 ,21 ,21N2

Para 1 :

0

0

0

n

m

l

1100

0131

0113

3

3

3


3333

3333

m2l 0m2l

2ml 0ml2

0ml 33

1n1mnl 3

2

3

2

3

2

3

Vector unitario correspondiente a la tercera dirección principal:

1 ,0 ,0N3

Nota: LOS EJES PRINCIPALES 1-2-3 pueden referirse a los ejes iniciales x, y, z mediante una tabla de cosenos directores:

Se define la matriz

100

02121

02121

B

La matriz diagonal satisfacerá la condición: T

B B

100

02121

02121

100

031

013

100

02121

02121

100

020

004

Encontrando los productos escalares N1.N2; N1

.N3; N2.N3 se comprueba que las tres

direcciones principales con mutuamente ortogonales.

x y z

1 21 21 0

2 21 21 0

3 0 0 1


266

3) Dada la matriz de esfuerzos MPa

202060

204040

604020

, hallar los esfuerzos

principales y sus correspondientes direcciones.


0

202060

204040

604020

Desarrollando el determinante, obtenemos: CÚBICA ECUACIÓN

23 0000,40600040

Resolviendo la ecuación característica, obtenemos:

MPa 83.63 ; 44.6 ; 39.97 321

Los esfuerzos principales son:

MPa 83.63-

MPa 44.6

MPa 97.39

1

1

1

MPa

83.6300

044.60

0039.97

Direcciones principales

Reemplazando 39.971 en el sistema ; o en su equivalente ; obtenemos:

0n39.9720m20l60

0n20m39.9740l40

0n60m40l39.9720

111

111

111

Que se resuelve condicionada con: 1nml2

1

2

1

2

1

Obtenemos:

4402.0n 6116.0m 6574.0l 111

Que constituyen los cosenos directores de la ra1 dirección principal.

Reiterando el procedimiento, obtenemos los cosenos directores de la rada 3 y 2

dirección principal:

7919.0n 0807.0m 6053.0l

4232.0n 7871.0m 4488.0l

333

222


267

A

B

Nota: Es útil recordar las condiciones de ortonormalidad:

1cba

1cba

0ccbbaaBA

unitarios Vectoresc,b,aB

c,b,aA

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

222

111

En todos los casos, las matrices y caracterizan

el mismo ESTADO DE ESFUERZOS.

4) Para el estado de esfuerzos pulglb

6000300

0500200

30020002

se conoce que en

un punto dado, uno de los esfuerzos principales es 749 pulglb 2 ¿Qué valor tiene el

esfuerzo de compresión máximo en el punto y qué dirección tiene? Para facilitar las operaciones numéricas:

pulglbK

6.003.0

05.02.0

3.02.002


0

6.003.0

05.02.0

3.02.0

Desarrollando el determinante, obtenemos: 0069.017.01.1 23

Como un esfuerzo principal es 0.749 pulglbK 2 el polinomio característico debe ser

divisible por 0.749-

Efectuando la división, el cociente es:

00929.0351.02

Ecuación algebraica cuyas raíces son:

y pulgKlb 5275.0' 2 2pulgKlb 1765.0''

Por tanto, el esfuerzo de compresión máximo es 2pulgKlb 1765.0

Para esa raíz característica, hallamos los cosenos directores correspondientes


268

x

y

' y

' x

030

030

0

0

0

n

m

l

1765.06.003.0

01765.05.02.0

3.02.01765.0

Efectuando el producto se tiene las tres ecuaciones:

0n 7765.0l3.0

0m 6765.0l2.0

0n 3.0m 2.0l1765.0

Que se resuelve con la condición: 1nml 222 Obtenemos: 347.0n 266.0m 899.0l

La dirección pedida es k347.0j266.0i 899.0N

5) Los esfuerzos principales en un punto son 1,000 y 500 2pulglb ¿Qué valor tienen

los esfuerzos que actúan en la dirección de unos ejes que forman un ángulo de 30º, en sentido horario, con los ejes principales?

Matriz de esfuerzos principales

000,50

0000,1

() Notar que se trata de un estado bidimensional de esfuerzos. x, yejes principales

x’, yejes principales

Encontramos la matriz rotación A

2321

2123A

La matriz de esfuerzos en el sistema x’, y’ es: T

A A'

x y

X’ cos 30º cos 120º

Y’ cos 60º cos 30º


269

1

2

2

3

1 3

unitario vector

n,m,ln

2321

2123

000,50

0000,1

2321

2123'

Efectuando el producto matricial triple, encontramos:

' pulglb

6253125

3125875'

'y'y'x

'y'x'x2

2.5) Esfuerzos Octaédricos. Estados Medio y Desviador de Esfuerzos. Elipsoide

de Esfuerzos. i) Esfuerzos Octaédricos Un plano cuya normal forma ángulos, iguales con las DIRECCIONES PRINCIPALES de esfuerzos, se denomina PLANO OCTAÉDRICO.

3

1 ,

3

1 ,

3

1n

Propiedad: sobre un plano octaédrico actúan los esfuerzos:

213

2

32

2

21OCT

321OCT

3

1CORTANTE

3

1 NORMAL

En efecto, en el plano octaédrico donde

3

1 ,

3

1 ,

3

1n

El esfuerzo normal es:

31

31

31

σ00

0σ0

00σ

3

1 ,

3

1 ,

3

1

3

2

1

OCT

Desarrollando los productos:


270

321OCT σσσ3

1

El vector esfuerzo sobre el plano octaédrico, es:

31

31

31

σ00

0σ0

00σ

3

2

1

P

3

σ ,

3

σ ,

3

σ 321P

El esfuerzo cortante sobre el plano octaédrico, es:

2321

2

3

2

2

2

1OCT

2

OCT

2POCT

9

1

3333

1

Simplificando, puede escribirse:

213

2

32

2

21OCT3

1

ii) Estados Medio y Desviador de Esfuerzos Muchos trabajos experimentales en laboratorios de ensayo y resistencia de materiales han demostrado que el inicio de la fluencia, en varios tipos de materiales, depende de

la magnitud del esfuerzo normal zyxm3

1 , al cual se denomina Esfuerzo

Normal Medio.

En varios problemas nos interesará descomponer el estado de esfuerzos en una

superposición de dos ESTADOS: dm

Donde: m Estado Medio de Esfuerzos (Estado esférico)

d Estado Desviador de Esfuerzos


271

mzyzxz

yzmyxy

xzxymx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

3

zyx00

03

zyx0

003

zyx

Donde: 3

zyx

m

En el estado desviador de esfuerzos:

0

3

2

3

2

3

2

1

zyxzyxzyx

1

Si el material es elástico, lineal e isotrópico:

El cambio unitario de volumen es: 11

21

es decir, para este caso 01

Propiedad: Como en el Estado Medio de Esfuerzos, no existen esfuerzos cortantes, no se presentan distorsiones angulares. Es decir, el estado medio es responsable de los cambios DE VOLUMEN (sin alterar la FORMA). Como la deformación volumétrica unitaria es NULA en el Estado Desviador de Esfuerzos, no se generan cambios de volumen. Es decir, el estado medio es responsable de los cambios DE FORMA (sin alterar el VOLUMEN). Estas consideraciones serán utilizadas al estudiar los criterios de Falla de Materiales. Nota:

Diagonalizando la matriz del estado desviador de esfuerzos d se determinarán los

ESFUERZOS DESVIADORES PRINCIPALES.

+=

y

x

z

xy

yx

xzzx

yz

zy

xy

yx

xzzx

yz

zymx

my

mz

m

m

m

m

MEDIO ESTADO

GENERAL ESTADO

d

DESVIADOR ESTADO


272

Ejemplo: Hallar los esfuerzos desviadores principales asociados con la matriz de esfuerzos:

MPa

100

0106

0610

.

Encontramos la matriz del estado desviador, a partir de:

dm

Estado medio:

700

070

007

3

1101000

03

110100

003

11010

m

m

Estado desviador: md

6-00

036-

06-3

700

070

007

100

0106

0610

d

Sean s"" los esfuerzos principales desviadores.

Ecuación característica:

0

s-6-00

0s-36-

06-s-3

Desarrollando el determinante y simplificando, obtenemos:

MPa 6s MPa 3s MPa 9s

:luego

03s9-ss-6-

321

Son los esfuerzos desviadores principales. iii) Elipsoide de Esfuerzos. Definición: El lugar geométrico de los extremos de los vectores de esfuerzo total, correspondientes a todos los planos que pasan por un punto, se denomina ELIPSOIDE DE ESFUERZOS (ó ELIPSOIDE DE LAMÉ).


273

2

1

3

xP

yP

zP

La ecuación del elipsoide de esfuerzos puede ser referida al triedro de direcciones principales de esfuerzo.

Vector esfuerzo P :

3

2

1

z

y

x

Pz

Py

Px

n

m

l

n

m

l

00

00

00

1 ó 1

1nml :Pero

l ; l ; l

2

3

2

Pz

2

2

2

Py

2

1

2

Px

2

3

Pz

2

2

Py

2

1

Px

222

3Pz2Py1Px

Es la ecuación del elipsoide de esfuerzos.

El elipsoide de esfuerzos representa la distribución de las magnitudes del esfuerzo total en un ESPACIO DE ESFUERZOS.

1 2

3

x y

z

P

p

n,m,ln

n,m,ln unitaria normal con P, por pasa que Plano


274

EJEMPLOS

1) En un punto P , los esfuerzos principales son 121 ; 32 ; 63 . Determinar

el vector esfuerzo y su componente normal en el plano octaédrico que pasa por P . Cosenos directores del plano octaédrico nml

3

1nml1lll 222

Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico:

k3

6j

3

3i

3

12

36

33

312

31

31

31

600

030

0012

N

OCT

OCT

OCT

La componente normal será NNT

OCT

3

31

31

31

600

030

0012

3

1 ,

3

1 ,

3

1

OCT

OCT

2) Probar que la componente normal del esfuerzo en un plano octaédrico es igual a un tercio del primer invariante de esfuerzos. Cosenos directores de un plano octaédrico:

3

1nml

Vector esfuerzo en el plano octaédrico:

k3

j3

i3

31

31

31

00

00

00

N

321OCT

3

2

1

OCT

OCT

Componente normal del vector esfuerzo en el plano octaédrico:

NNT

OCT

31

31

31

00

00

00

3

1

3

1

3

1

3

2

1

OCT

Desarrollando el producto, tenemos:


275

2

1

3

x y

z

P

* 3333

321321OCT

Dada la matriz

3

2

1

00

00

00

, el primer invariante de esfuerzos es la traza de la

matriz:

** I 3211

Comparando :** y *

1OCT I3

1

2.6) Esfuerzos Cortantes Máximos

Dado el estado general de esfuerzos mediante la matriz , es posible determinar los

planos donde actúan los esfuerzos cortantes de máxima o mínima intensidad. Para simplificar los desarrollos algebraicos, es conveniente trabajar con la matriz de

esfuerzos en el estado principal .

3

2

1

00

00

00

s.principale sdireccione

de triedro al referida

Al rotar el prisma, en sus caras actúan nuevamente esfuerzos normales y cortantes. El propósito es determinar los valores EXTREMOS de los ESFUERZOS CORTANTES y, a su vez, determinar los planos donde estos actúan.

Sea n ,m ,lN entonces, las componentes del vector esfuerzo total, son:

P

máx

pN

N

x

y

z

buscado

Plano s)principale

sdireccione las a (referido

buscado plano al normal

unitario Vector :N


276

3

2

1

z

y

x

Pz

Py

Px

n

m

l

n

m

l

00

00

00

Es decir: kljlil 321P

La componente de esfuerzo normal N (sobre el plano buscado) es: NPN

2

32

22

1N

321N

nml

knjmilknjmil

La componente de esfuerzo cortante, cumple la condición:

23

22

21

2

Pz

2

Py

2

Px2

2N

2P

2

nml

:decir es ;

Reemplazando las componentes PzPyPx ,, dadas por (*) tenemos:

** nmlnml 23

22

21

22

322

222

12

Como depende de los cosenos directores (buscados) n,m,l al variar la dirección del

vector normal N , también variará la intensidad del esfuerzo cortante .

(ó 2 ) resultan ser funciones de tres variables direccionales: n,m,l ; sujetas a la

ecuación de condición 1nml 222 . Estamos frente a un problema de valores extremos condicionados: “Hallar los valores extremos de:

nmlnml 23

22

21

22

322

222

12

con la ecuación de restricción 1nml 222 ”. El problema puede solucionarse por algún procedimiento de Optimización Matemática (por ejemplo usando Multiplicadores de Lagrange)

Sea *** 1nml nmlnmlF 22223

22

21

22

322

222

1

Las condiciones de valor extremo son:

01nml ; 0n

F ; 0

m

F ; 0

l

F 222

(Es evidente que el máximo de F también da el máximo de )

Encontrando las derivadas parciales y simplificando, se plantea un sistema de cuatro

ecuaciones con cuatro incógnitas ,n,m,l .


277

El sistema referido, es:

****

1nml

0 nml2n

0 nml2m

0 nml2l

222

23

22

213

2

3

23

22

212

2

2

23

22

211

2

1

Un conjunto de soluciones para **** y los correspondientes valores de los

esfuerzos cortantes asociados *** , es:

A

0 1n 0m 0l

0 0n 1m 0l

0 0n 0m 1l

Los esfuerzos cortantes dados por A son evidentemente los VALORES MÍNIMOS.

Notar, además que las direcciones dadas por A son las direcciones principales de

esfuerzos (por eso, los esfuerzos cortantes son NULOS).

Un segundo conjunto de soluciones de **** , es:

B

2 0n

2

1m

2

1l

2

2

1n 0m

2

1l

2

2

1n

2

1m 1l

21

13

32

De los tres valores , el mayor es 2

13 puesto que los esfuerzos principales

están ordenados 321 2

13

MÁ X

que actúa en el plano cuya normal

tiene por cosenos directores. Dicho plano, es el plano bisector del ángulo diedro formado por los planos principales

donde actúan el esfuerzo principal mayor 1 y el esfuerzo principal menor 3 .


278

Por ley de reciprocidad del esfuerzo cortante, en un plano perpendicular al plano de

esfuerzo cortante máximo, también actuará MÁX .

En resumen: Para calcular el

MÁX , basta determinar los esfuerzos principales mayor,

menor 31, puesto que 2

13

MÁX

. Mediante operaciones vectoriales es

posible encontrar el vector normal unitario correspondiente a los planos de esfuerzo cortante máximo. Nota. Se definen “Esfuerzos Cortantes Principales” a los valores dados por las ecuaciones (B).

2

, 2

,2

13

13

32

32

21

21

máx

3

1

045

0

45

principal

plano Primer

principal

plano Tercer

(Bisector)

MÁXIMO CORTANTES

ESFUERZOS de Plano

máx

máx

MÁXIMO CORTANTES

ESFUERZOS el

actúan donde Plano


279

Donde los índices NO INDICAN FRACCIONES, sino es una convención para indicar que el esfuerzo cortante actúa en el plano que forma 45º con los planos donde actúan los esfuerzos principales respectivos.

( 2

1 Indica que el cortante actúa en el plano bisector del diedro formado por los

planos donde actúan 21 y ).

EJEMPLOS

1) El estado de esfuerzos en un punto es

1120

1260

005

. Encontrar el máximo

esfuerzo cortante.

Ecuación característica: 0

1120

1260

005

Desarrollando el determinante, obtenemos las raíces características mediante la

ecuación. 010155 10 15 5 321

Esfuerzos principales: 15 5 10 321

Luego el esfuerzo principal máximo es 5.122

)15(10

2

13

MÁX

(en las

mismas unidades que los esfuerzos dados en la matriz) Este esfuerzo actúa en los planos bisectores de los planos principales donde actúan

1

331 y .

2) En un punto P los esfuerzos principales son tales que 3122 . Encontrar el

vector normal unitario del plano en el que 4

y 312N

.

2

1

32

1

3

21 3

21

3

)Normales(

incipalesPrEsfuerzosincipalesPrtestancor Esfuerzos

cosCúbi

Elementos


280

Con respecto a las direcciones principales, el esfuerzo normal N está dado por

23

22

21N nml . El esfuerzo cortante está dado por

nmlnml 23

22

21

22

322

222

12

Condiciones del problema:

3122

4 ;

4 ;

4 3131

N31

2

Reemplazando en las educaciones para y N , tenemos:

** 4

nm2

l4

* nm2

l2

3122

32

2

3122

1

2

31

22

32312

131

Además, teneos la condición: *** 1nml 222

A partir de las ecuaciones * y *** se obtienen de la condición:

nl0ln 2231

Reemplazando “n” por “ l ” en la ecuación ** y teniendo presente que la condición

*** ahora es 22 ml21 , obtenemos: 8

1l2 ; de donde

2

1l . Por consiguiente

2

1n .

De 22 ml21 obtenemos:

2

3m

El vector normal unitario, es

22

1 ,

2

3 ,

22

1N

Nota: Los valores negativos de n,m,l ; definen el otro sentido del mismo vector.

3) Para la matriz de esfuerzos

)5( 0a2

1aaaa

)4( 02

1aa0

2

1

3

1a

3

1a

3

1

)3(0aaa0a3

1a

3

1a

3

1

z'yy'zy'yx'zx`y

y'zx'xy'zx'x

z'yy'yx'yz'yy'yx'y

determinar los esfuerzos

principales, el máximo esfuerzo cortante y el esfuerzo cortante octaédrico.


281

x

y

z

y

x

xy

xy

y

x

Estado bidimensional de esfuerzos

Ecuación característica:

Desarrollando el determinante y simplificando:

Las raíces características son: -49.951'' 951.63'

Por consiguiente, los esfuerzos principales son

MPa 951.63=σ MPa 951.63=σ 21

En este caso, el máximo esfuerzo cortante, es:

MPa 951.56

2

951.49951.63

2

MÁX

21

MÁX

El esfuerzo cortante octaédrico, es:

MPa 62.46

951.63951.4995.49951.633

1

3

1

OCT

222

OCT

2

31

2

32

2

21OCT

Nota: Recordar que los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo NO se representan en los mismos planos. Los esfuerzos bidimensionales se presentan en innumerables aplicaciones de la Mecánica de Sólidos. Por su utilidad, en la sección siguiente estudiaremos en detalle el caso del Estado Bidimensional de Esfuerzos (denominado también ESTADO


282

x

y

z

x

xy

yx

xy

yx

y

y

x

y

x

xy

xy

y

x

x

y

PLANO DE ESFUERZOS). Una aplicación importante del estado plano de esfuerzos, es el estudio de los Recipientes de Pared Delgada sometidos a presión. 2.7) Estado Plano de Esfuerzos 2.7.1) Definiciones Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZO se presentan EL ESTADO PLANO DE ESFUERZOS. Seleccionemos al eje z como el eje perpendicular a las caras libres de esfuerzo.

La matriz de esfuerzos, es:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Que para el caso, puede representarse:

yxy

xyx

(Matriz representativa del estado de plano de esfuerzos).

Esfuerzos del estado plano con signo positivo (CONVENIO).

2.7.2) Transformación de Esfuerzos Bidireccionales El estado plano de esfuerzos es bastante usado y útil, por cuanto aproximadamente corresponde a innumerables situaciones físicas de interés en Ingeniería. En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cambia el sistema de coordenadas de referencia. Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, dejando el eje “z” invariante.


283

y

x

' y

' x

''YX

''YX

'X

'Y

'Y

'X

Nota: Tener en cuenta que estamos frente a un caso particular de la transformación de esfuerzos estudiaremos en la sección 2.3.2. Para el caso, el estado de esfuerzos (en el sistema rotado) viene dado por la matriz

000

0

0

'y'y'x

'y'x'x

000

0

0

'y'y'x

'y'x'x

La matriz transformación de coordenadas es:

100

0cossen

0sencos

A

La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se expresa por T A A'

Luego:

100

0cossen

0sencos

000

0

0

100

0cossen

0sencos

000

0

0

yyx

xyx

'y'y'x

'y'x'x

X y z

x’ cos

2cos

2cos

y’

2cos cos

2cos

z’ 2

cos

2

cos

0cos


284

Desarrollando los productos matriciales, e identificando los respectivos elementos, tenemos:

*

cossen2cossen

sencoscossen

cossen2sencos

xy2

y2

x'y

22xyyx'y'x

xy2

y2

x'x

Conviene expresar las ecuaciones * en términos del ángulo doble:

**

2sen2cos2

1

2

1

2cos2sen2

1

2sen2cos2

1

2

1

xyyxyx'y

xyyx'y'x

xyyxyx'x

Las ecuaciones * o sus equivalentes ** son las ecuaciones de transformación de

esfuerzos planos por rotación de coordenadas. Nota:

Observar que yx'yx' primer invariante de esfuerzos (sumar la primera y

tercera de las ecuaciones ** )

2.7.3) Esfuerzos Principales

Ecuación característica: 0 yyx

xyx

Desarrollando el determinante obtenemos: 02

xyyxyx2

Raíces característica:

2

42

xy

2

yxyx

1

2

42

xy

2

yxyx

2

Los Esfuerzos Principales, son:

2

4

2

4

2

xy

2

yxyx

1

2

xy

2

yxyx

1


285

Para determinar p haremos

0'y'x

(Condición para Esfuerzos Principales).

02cos2sen2

1pxypyx

de donde obtenemos:

yx

xy22tan

La ecuación anterior define dos valores de p2 separados 180º y, por tanto, define dos

valores de p separados 90º (Uno corresponde a la dirección x’ y el otro a la dirección

y’). Def.) Las direcciones x’, y’ a lo largo de las cuales actúan los esfuerzos principales se denominan Direcciones Principales. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan Planos Principales.

2.7.4) Esfuerzo Cortante Máximo. Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es,

2cos2sen2

1xyyxxy

para hallar su valor máximo, hacemos 0d

d 'y'x

de donde obtenemos xy

yx

s2

2tan

p

x

y' y

' x

2

1

2

1

y

x

y

x

xy

xy

sprincipale esfuerzos de Estado

sprincipale planos

p

x

y

' y' x

2

12

1


286

Ecuación que nos permite calcular dos valores s2 separados entre sí 180º .Por

consiguiente, obtenemos dos valores de s separados entre si 90º.

La magnitud del máximo Esfuerzo Cortante, es:

xy

yx

xy

xy

yx

yxMÁX 2arctancos

2arctansen

2

1

Evaluando la composición de funciones, tenemos:

xy22

xyxy2

2

yx

MÁX4

2

1

2

Si efectuamos la diferencia de esfuerzos principales xy

2

xy21 4

En consecuencia: 2

21MÁX

(Coincidente con las expresiones para el caso general). Notas) 1. Consideremos las ecuaciones para determinar los s correspondientes a los

esfuerzos principales y al esfuerzo cortante máximo.

yx

xy

p

22tan

(Esfuerzos Principales)

xy

yx

s2

2tan

(Esfuerzo Cortante Máximo)

MÁX

'y'x

'y

'x

'S

'x

'y

x

y

Máximo Cortante Esfuerzo de Planos


287

Observemos que p2tan 12tan s que es la condición de perpendicularidad. En

consecuencia p2 y s2 están separados 90º.Por tanto p y s están separados 45º.

s.principale esfuerzos

de planos lospor

formado diedro

del bisectores son

τ de planos Los

finalizar al 2.6.2, SecciónRecordar

MÁX

MÁX de plano

al normal Dirección

1S

1P

º451P1S

1

PRINCIPAL

DIRECCION

2

PRINCIPAL

DIRECCION

2P

2S º452p2S

MÁX

de

plano al

normal

Dirección

CAP_2_PARTE_1

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