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6. CALCULO DE SECCIONES

CAPITULO 6. CALCULO DE SECCIONES

6.0 NOTACINAcp = Area encerrada por el permetro exterior de la seccin transversal de hormign, mm2

Ag = Area total de la seccin, mm2

As = Area de armadura en traccin, mm2

A's = Area de armadura en compresin, mm2

b = Ancho del borde en compresin del elemento, mm

bw = Ancho del alma

c = Distancia desde la fibra externa en compresin al eje neutro, mm

Cc = Esfuerzo de compresin en el centroide del bloque de compresin del hormign

Ca = Esfuerzo de compresin en las barras de acero a compresin

d = Altura til, mm

dc = Espesor del recubrimiento de hormign, medido desde la fibra extrema en traccin

al centro de la barra ms cercana a esta fibra, mm

dt = Distancia desde la fibra extrema en compresin hasta la barra de acero ms

comprimida

st = Deformacin unitaria en la barra ms traccionadacu = Deformacin unitaria en la fibra extrema en compresinMu = Momento mayorado en la seccin considerada

Mn = Momento resistente nominal de una seccin

Nu = Carga axial mayorada normal a la seccin transversal, que ocurre simultneamente

con Vu; debe considerarse positiva para la compresin, negativa para la traccin.

pcp = Permetro exterior de la seccin transversal de hormign, mm

Pn = Resistencia nominal a carga axial para una excentricidad dadaPu = Es equivalente a NuTn = Momento de torsin resistente nominalTu = Momento de torsin mayorado en la seccin = Factor de reduccin de la resistencia

= Cuanta de armadura en traccinmin = Cuanta de armadura mnimab = Cuanta de armadura que produce condiciones balanceadas de deformacin

70


s = Razn entre el voumen de armadura en zuncho y el volumen total del nucleo (medido desde el dimetro exterior del zuncho), de un elemento armado con zuncho sujeto a

compresin.

w = As/(bwd)Vc = Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormign

Vn = Resistencia nominal al corte

Vs = Resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte

Vu = Esfuerzo de corte mayorado en la seccin

71


6.1 FLEXIN

Se presentan a continuacin las expresiones de diseo para vigas rectangulares sometidas aflexin simple, flexin compuesta y flexin esviada destacando la cuanta mnima (min) y lacuanta de balance (b ). 6.1.1 Aspectos bsicos para diseo a flexin

6.1.1.1 Condicin de diseo

Mn Mu

El factor varia segn el caso:

Caso 1: Flexin Simple = 0,9

Caso 2: Flexin Compuesta:

a) Elementos con zunchos que cumplen:

s = 0,45x(Ag _ 1) x fc = 0,75Ac fy

b) Otros casos = 0,7

6.1.1.2 Cuanta de armadura:

= Asbw

x d

0,75 x b6.1.1.3 Cuanta de balance:

b = 1 x 0,85 x fc x 600fy 600 +fydonde:

0,85 Para fc 30 MPa

1 = 0,85 - 0.008 (fc - 30) Para 30 < fc 55 MPa0,65 Para fc > 55 MPa

6.1.1.4 Condicin de armadura mnima:

min =

fc 1,4

4 x fy fy; fc en MPa

{

(VER FIGURA11)

72


6.1.1.5 Para armadura de vigas T y secciones con el ala traccionada:

min = fc 1,42 x fy fy 6.1.1.6 Ecuaciones Generales

Figura 9

Nu = (0,85 x fc x 1 x c x b + As x s Ax s) x

Mu = 0,85 x fc x 1 x c x b x d

1x c +As x s x (d d) x Nu (d h )2 2

Se definen los siguientes parmetros:

=Mu+Nu x (d h/2)

(0,85 x fc x b x d2)x

= As x fy(0,85 x fc x b x d)

= As x fy(0,85 x fc x b x d)

= u(0,85 x fc x b x d) x

= cd

= dd

[ [

AsCa

Cc

AsNu

Mu

T =As fy

0,85 fc

Donde: Cc = 0,85 x fc x 1cbCa = As s

dt 1cs

cu = 0,003

sdc

hd

c

b = bw

73


6.1.2 Flexin simple

Para este caso, Nu = 0 = 0 y considerando = 0,9 y = fy; adems de si s > y, para lamayor parte de los casos, por lo que podemos tomar a s = fy. Las ecuaciones quedan:

1 x + = 0 (6-1)

1 x 1 1 x

+ (1 ) = (6-2)2

Si < 0 = 0,75 b s < 0,75 b s = 0

1 x = (1 ) = = 1 1 2 x

2

6342: 0,4412 1 ; Si 1 = 0,85 0 = 0,3750 lim = 0,3047 0 =

4428: 0,5114 1 ; Si 1 = 0,85 0 = 0,4347 lim = 0,3402

Si > lim As = 0 y se reemplaza: 1 (1 1 ) = lim

2

1 = 0en las ecuaciones (6-1) y (6-2) respectivamente.

6.1.3 Flexin compuesta

Para este caso Nu 0 0 ; luego, las ecuaciones de diseo quedan:

1 x + = v (6-3)

1 x 1 1 x + (1 ) = (6-4)

2

Si < 0 = 0,75 b s < 0,75 b s = 0

1 x = v +

(v + )(1 v + ) = v + = 1 1 2 x 2

y el procedimiento es anlogo al anterior.

{

74


6.1.4 Flexin esviada

Figura 10Flexin esviada

Para el diseo de un elemento a flexin esviada, se puede recurrir a un clculo aproximado, enel cual se transforma el caso de flexin esviada a flexocompresin, mediante las frmulasmostradas a continuacin. De lo contrario, se puede disear el elemento utilizando bacos .

Se debe calcular a flexocompresin, utilizando la siguiente transformacin:

Siex

h( 1 octante ) ex = ex + x h x eyey b b

Mx =N x ex

Siex 0,6 1 = b + 0,1Si 0,2 1 = b 0,1

Donde = Atotal x fy de bacos de interaccin0,85 x fc x b x h

ex = Mx

N

ey = My

N

My

b

Nh Mx

75


Figura 11Armaduras mnimas de flexin

As 1,2

As 1,2 As 1,2/2

As min

SECCION 12.11.1; 12.11.2 ACI 318-99)

0,25/fc 1,4fy fy

PARA LO MENOS

PUNTO DEINFLEXION

CERCO

Los subindices 1y 2 indican apoyos izquierdo y derecho respectivamente

As 1,2/3

d =

n

d

d12 dbn/16

(SECCION 12.12.3ACI 318-99)

0,025 bd

76


6.2 DIAGRAMAS DE INTERACCIN MOMENTO FLECTOR VERSUS CARGA AXIAL MU PU

Se han confeccionado diagramas adimensionales de diseo para pilares y muros sometidos acarga axial y momento flector combinados, o bien con cargas axiales excntricas.

Para esto se han considerado las siguientes variables :

1. Tipo de elemento (pilar o muro)2. Distribucin y cuanta de armadura3. Resistencia cilndrica del hormign ( fc )4. Alturas tiles relativas (factor gamma = )

La distribucin y cuanta de armadura adoptadas, se eligieron segn el tipo deelemento estructural. Los valores de resistencia cilndrica fc elegidos son: 20, 25, 30 y 35 MPa. Para bacos de flexin biaxial, los fc elegidos son 16, 20, 25, 30, 35 y 40 MPa.

Los factores gamma ( ) se han seleccionado tambin en funcin del tipo de elemento,as para pilares se han adoptado valores de 0,7; 0,8 y 0,9; en tanto para muros losvalores son 0,9 y 1,0.

En un mismo diagrama se presentan curvas de interaccin para distintas cuantasgeomtricas de armadura, sealndose el punto de balance (fs = fy) y el punto en el cual toda la armadura entra en comprensin (fs = 0).

Los diagramas se han nombrado de acuerdo a la siguiente nomenclatura :

Nombre [ fc ] / [ fy ] / [ ] con fc y fy en MPa.

El primer grupo de 12 diagramas corresponde a pilares con armadura en sus dos carasextremas (nombre = E). El segundo grupo de 12 diagramas corresponde a pilares conarmadura distribuida uniformemente en sus cuatro caras laterales (nombre = P). El tercer grupo de12 diagramas corresponde a pilares con armadura en sus caras laterales (nombre = L).

A continuacin se presentan los diagramas para muros. Un grupo de 8 diagramas para muroscon armadura lateral uniformemente distribuida, para cuantas altas (nombre = M) y cuantasbajas (nombre = CR). Otro grupo de 8 diagramas para muros con armadura uniformementedistribuida en la parte central y armadura concentrada con cuanta variable en sus extremos(nombre = AC).

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6.3 ESFUERZO DE CORTE VU

Se presentan a continuacin las expresiones para el diseo al esfuerzo de corte, evaluando lacontribucin del hormign Vc y del acero Vs.

Se distinguen adems tres condiciones: Sin solicitacin axial, con comprensin axial, y contraccin axial.

Se indica la armadura mnima al corte y las limitaciones del espaciamiento de los estribos.

6.3.1.- Condiciones de diseo.

Vn Vu , con = 0,85

Vn = Vc + Vs (6-5)

6.3.2 Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormign

6.3.2.1 Cuando existe corte y flexin:

Vc = fc bw d6 (6-6)

o mediante un mtodo mas detallado:

Vc = fc +120 wVu d x bwd

Mu 7 (6-7)

donde: = Asbd

78


6.3.2.2 Cuando existe compresin axial.

Vc = 1 + N

ufc bw d

14 Ag 6 (6-8)

Nu en MPa

Ag

6.3.2.3 Cuando existe una traccin axial significativa.

La armadura por corte debe disearse para que resista el corte total, o bien considerar que:

Vc = 1 + Nufc bw d

3,5Ag 6 (6-9)

si es que este resultado es positivo, considerando que Nu es negativa en traccin y N

u en MPa.Ag

6.3.3 Armadura por corte

6.3.3.1 Resistencia Nominal al corte proporcionada por la armadura

Vs = A

vfy

d

s (6-10)

Av = Seccin del total de ramas

s = espaciamiento entre estribos

Vs = V

u - Vc (6-11)

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6.3.3.2 Armadura mnima

Avmin = bw x s (6-12)3 x fy

6.3.3.3 Limitaciones del espaciamiento de los estribos

a) Si Vn - Vc >fc x bw x d x smax

=> d 600 mm (6-13)3 4

b) Si Vn - Vc fc x bw x d x smax

=> d 600 mm (6-14)3 2

c) Si Vn - Vc >2 x fc x bw x d x smax => Aumentar seccin (6-15)

3

6.4 TORSIN TU EN ELEMENTOS NO PRETENSADOS

Se indica la condicin para la cual no se realiza diseo a la torsin. Se considera la interaccinentre las solicitaciones de torsin y de corte, para secciones slidas y secciones huecas.

Se entregan las expresiones para el clculo de la resistencia nominal a la torsin Tn y se dan laslimitaciones de espaciamiento de la armadura de torsin.

Adems se dan las expresiones para el clculo de armadura longitudinal adicional y dearmadura de corte adicional en caso de corte y torsin combinados.

6.4.1 Condiciones de diseo.

Tn Tu

6.4.1.1 Si en la seccin crtica, a una distancia d de la cara del apoyo, el esfuerzo de torsinTu cumple con la siguiente condicin, entonces no se considera torsin.

Tu fc Acp

2

12 cp(6-16)

Acp = Area de la seccin

cp = Permetro de la seccin

80


6.4.1.2 Para torsin de compatibilidad se debe tomar Tu como el menor valor entre el Tuaplicado y

fc Acp

2

3 cp (6-17)

6.4.1.3 La seccin se debe dimensionar de modo que :

a) Para secciones slidas :

Vu +

Tu

Ph Vc + 2 fc (6-18)

bw d 1,7 Aoh2 bw d 3

b) Para secciones huecas :

Vu +

Tu

Ph Vc + 2 fc (6-19)

bw d 1,7 Aoh2 bw d 3

(Si el espesor de la pared es menor que Aoh/Ph, el segundo trmino debe tomarse como:

Tu

1,7 x Aoh x t

Donde :

Aoh = Area encerrada por el eje de la armadura de torsin cerrada de la periferia.

t = espesor de la pared hueca

h = Permetro en la armadura de torsin cerrada de la periferia.

Vc = fc x bw x d6

2 2

81


6.4.2 Armadura por Torsin

6.4.2.1 La armadura transversal por torsin debe disearse usando:

At=

Tns 2 x Ao x fyv x cot

Donde:

Ao = Area bruta encerrada por el eje del flujo de corte.

At = Seccin de una rama de armadura cerrada.

fyv = Tensin de fluencia de la armadura de torsin 420 MPa

= Angulo de las bielas diagonales comprimidas de hormign.

Para efectos prcticos usar:

Ao = 0,85 Aoh y = 45

Adems, donde se requiera armadura por torsin segn criterio indicado en 6.4.1.1, elrea mnima de estribos cerrados, debe calcularse segn:

(Av + 2 x At) =0,35 x b

wx s

fyv

El espaciamiento mximo de la armadura vertical por torsin es el mnimo entre Ph/8 y 300 mm

Extender los estribos una distancia bt + d, ms all del punto donde tericamente no son necesarios; bt = ancho de la seccin que contiene los estribos cerrados de torsin

6.4.2.2 La armadura longitudinal adicional debe calcularse como:

AL = Av x h x fyv x cot2

s x fyl

y esta no debe ser inferior a:

A Lmin =5 x fc x Acp - At x Ph x

fyv

12 x fyl s fyl

Donde:

82


fyl = Tensin de fluencia de la armadura longitudinal.

At 0,175 x bw

s fyv

Las barras de la armadura transversal deben tener un dimetro al menos de s/24, pero nomenor que 10 mm, y debe haber al menos una barra en cada esquina del estribo.

fyv y fyL no debe exceder de 420 MPa.

Para torsin y corte combinado agregar armadura de corte de modo que:

Av =V

s

s fy x d

Donde:

Vs = Vn - Vc

con Vn >Vu

Vc = fc x bw x d6

83

6.5 EJEMPLOS DE CALCULO

Ejemplo 6.5.1 Disear a flexin la seccin de la figura. Considerar H-30 (90%) confc=25 MPa, acero A63-42H, 35% de cargas vivas y 65% de cargas muertas.

1. MS = 20 T-m.

=1,505 x 20

= 0,1734 < 0,3047 => A = 00,9 x 350,6 x 0,55

No se necesita armadura a compresin

=1 1-2 x = 0,1918

= x 0,85 x fc x b x d = 16,01 cm2 => 232 (16,08 cm2 )fy

2. MS = 40 T-m

= 0,3468 > 0,3047 => se necesita armadura a compresin

lim + x s x (1 ) =

fy

= 0,3468 0,3047 = 0,0463 => A= 3,86 cm2 (216)1- 0,0909

= 0,3750 + = 0,4213 =>A = 35,17 cm2 (332[1a C] + 228[2a C])


55 60

30

30

60

216

228

1mm

332

2 cm

84


Como la armadura esta colocada en dos capas, es necesario hacer una correccin de la altura til, y con esto de la armadura colocada:

dreal = 60 - (24,13 x 4,6 + 12,32 x 12,6) = 52,736,45Entonces la armadura requerida realmente es:

dreal = 55 x Acolocado= 55 x 35,17 = 36,7 cm252,7 52,7Pero Acolocado = 36,45 cm2 = -0,7 % => Aceptable.

Chequeamos la armadura:

= 36,45 = 0,022 < 0,03 => Cuanta aceptable30 x 55

Ejemplo 6.5.2 Disear la seccin de la figura anterior, utilizando las ecuaciones para el diseo de flexin compuesta.

Pu = 40TMu = 36 T-m = 0,7 = 36 + 40 x (0,55 - 0,30) = 0,3408 > 0,3047

0,7 x 350,6 x 0,55

= 0,3408 - 0,3047 = 0,0397 =>A = 3,31 cm2 (216)1 - 0,0909

= 40 = 0,16290,7 x 350,6

+ - = 0,3750 + 0,0397 - = 0,1629 = 0,2518 =>A = 21,02 cm2 (232 + 125)Atotal = 24,33 cm

2

85


Ejemplo 6.5.3 Disear la seccin de la figura anterior, utilizando los bacos de flexin compuesta.

Nu = 40T Mu = 36 T-mSe utiliza el baco A = A para = 0,8 y calculando los adimensionales respectivos:

Pu = 0,0888fc x AgPu x e = 0,1333

fc x Ag x hy entrando con estos adimensionales en el baco 16, tenemos = 0,018Luego:A = A =

0,018 x 30 x 60 = 16,2cm

2(232) => ATotal = 32,4cm

2

2

Si se comparan los diseos obtenidos en los ejemplos 6.5.2 y 6.5.3, se puedeobservar que para el ejemplo 6.5.2 se obtuvo una armadura de 24,33cm2; mientras que en el ejemplo 6.5.3 se obtuvo un armadura de 32,4 cm2,por lo cual, el diseo con ecuaciones resulta mucho ms eficiente.

Ejemplo 6.5.4 Disear la seccin de la figura anterior, utilizando los bacos A =A, = 0,8 (baco 16).

Nu = 250 T

Mu = 50 T-m

fc x Ag = 450 TNu = 0,5555

fc x AgNu x e = 0,1852

fc x Ag x h

Del baco se obtiene: = 0,037 => A = A = 33,3 cm2 (332[1aC]+225[2aC]) = 33,95 cm2

Chequeamos si cabe la armadura:30 cm - 4 cm - 2 cm - 3 x 3,2 = 14,4 cm =>s = 7,2 cm OK

Como la armadura esta colocada en 2 capas, es necesario corregir el factor

24,13 x 4,6 + 9,82 x 12,6 = 33,95 x x =>x = 6,91

=>real = h - 2 x = 0,77 h

=>A = Acalculado x0,8

= 34,778cm2

0,77

As, la armadura colocada es un 2,38% inferior a la requerida, lo cual es aceptable.

86


Ejemplo 6.5.5 Disear la seccin de la figura anterior utilizando los bacos para flexin esviada.

Nu = 36 T Muh = 40 T-mMub = 15 T-m

= Nu = 36 x 0,01 = 2,0 MPaAg 0,6 x 0,3

h = 40 x 0,01 = 3,70 MPa0,3 x 0,6 x 0,6

b = 15 x 0,01 = 2,78 MPa0,3 x 0,6 x 0,3

x = 3,70y = 2,78

Y ocupando = 0,1 obtenemos

g = 0,045=>ATotal = 0,045 x 30 x 60 = 81 cm

2(636 + 425)

Chequeamos los espaciamientos:

En direccion h: s = 13,1 cm OKEn direccion b: s = 8,4 cm OK

87


Ejemplo 6.5.6 Utilizar el mtodo ruso para el ejemplo anterior.

= 0,7 =

Nu =36

= 0,1467 x (0,85 x fc x b x d) 0,7 x (0,85 x 2500 x 0,3 x 0,55)

= 0,7467ex =

Mx = 40 = 1,1111Nu 36

ey =M

y = 15 = 0,4167Nu 36

ex = 2,666 > h = 2ey b

=>ex = ex + x h x ey = 1,1111 +

0,7467 x 0,6 x 0,4167 = 1,733b 0,3

Mux = Nu x ex = 62,4 T-m = 0,5289

= 0,1467 = 0,2466 = 0,4749 => < 0,6 ^ > 0,2

=> no tiene correccionesAs, utilizando baco 16, para A=A, = 0,8 y calculando los adimensionalespara entrar al grfico:

Pu =36

= 0,08fc x Ag 2500 x 0,3 x 0,6

Pu x e = 36 x 1,733 = 0,2311fc x Ag x h 2500 x 0,6 x 0,3 x 0,6

=> = 0,0,4 =>ATotal = 72 cm2=> A = A = (336 + 222)

Y utilizando el grfico de armadura distribuida => = 0,05=> ATotal = 90 cm

2(1232)

Como se puede apreciar, con este mtodo da ms armaduras que cuando se utilizan lasrosetas para el clculo de flexin esviada.

88


Ejemplo 6.5.7 Disear el muro de la figura, utilizando bacos para =0,9

Vu = 120 T Mu = 2250T - mNu = 700 Te = 0,6428

Calculando los adimensionales para el uso de los bacos:

Pu = 0,1866fc x Ag

Pu x e = 0,12 fc x Ag x

Usando bacos Pu- Mu con armadura en los bordes extremos, tenemos:

= 0,011 =>A = A= 82,5 cm2

Usando bacos para muros, (baco 47), considerando = 0,0025 tenemos:

= 0,05 => A = A= 0,05 x 25 x 30 = 37,5 cm2

Donde A y A son las armaduras en las puntas de muros, y la armaduara vertical esta dada por:

w =Asw =>Asw = 33,75 cm2 => DMV 8a13

h x Lw

Estudio Terico

Considerando fs = fy

Mue = 2250 + 700 x 2,35 = 3.895 T - md = 485 cm0,1 x fc x Ag = 375 T => = 0,70,85 x fc x b x d = 3.091,9 T

= 3.895 = 0,3712 > 0,30470,7 x 3.091,9 x 4,85

= 700 = 0,32343.091,9 x 0,7

= 0,3712 - 0,3047 = 0,06862 =>A = 50,52 cm2

1- 0,03090,3750 + 0,06862 - = 0,3234 = 0,1202 =>A = 88,5 cm2

500500

30

cap6

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