PROBLEMAS DE SISTEMAS DE COLAS DONDE

LA CAPACIDAD DEL SISTEMA ES FINITO

1.- En una peluquería, con un solo peluquero, no se dan citas previas,

sino que se atiende al primero que llega. Por su gran prestigio, los

clientes generalmente tienen que esperar. Se observa que los clientes

llegan según un proceso de Poisson, con razón media de llegadas de 8

clientes por hora. Se sabe también que el tiempo que el peluquero tarda

en atender a los clientes se distribuye exponencialmente, con una media

de 10 minutos por cliente. Si en la peluquería solo hay 4 asientos para

espera de atención y no se permite que ningún cliente tenga que

esperar de pie. Se pide:

(a) ¿Cual es el numero medio de clientes en la peluquería?

(b) ¿Y el número medio de clientes esperando a ser atendidos?

(c) ¿Cuál es el numero esperado de clientes que se retira del sistema sin

atención?

(d) ¿Que porcentaje de tiempo esta desocupado (ocioso) el peluquero?

(e) ¿Que probabilidad tiene un cliente de llegar a la peluquería y no

tener que esperar para ser atendido?

(f) ¿Que porcentaje de clientes tienen que esperar antes de ser

atendidos?

(h) ¿Cual es el tiempo medio que espera un cliente antes de ser

atendido?

(i) ¿Y el tiempo medio que permanecen los clientes en la peluquería?

2.- El tráfico de llamadas a una central telefónica tiene llegadas

Poissonianas con razón media de llegadas de 10 por hora. La línea tiene

una capacidad de mantener a 5 llamadas en espera. El tiempo que dura

cada llamada esta distribuido según una ley exponencial con media de

15 minutos.

(a). Calcular las medidas de efectividad del sistema, suponiendo que

este lleva funcionando un tiempo suficientemente grande.

(b)¿Cual es la probabilidad de que 3 llamadas esperen para ser

atendidos?

3.- Una clínica de oftalmología ofrece tests de glaucoma gratis cada

martes por la tarde hay tres oftalmólogos en servicio. El tiempo de

servicio es exponencial y cada test lleva una media de 20 minutos. Los

clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con media 8 clientes

por hora y el primer cliente en llegar es el primero en ser atendido. Si

como máximo en la línea de espera puede haber 5 pacientes. La clínica

esta interesada en saber:

a. El número de personas que esperan por termino medio.

b. El tiempo medio de permanencia de los pacientes en la clínica.

c. Porcentaje de tiempo que está cada oftalmólogo desocupado (ocioso).

d. Probabilidad de que algún (al menos un) oftalmólogo esté

desocupado.

4.- Considérese una estación de inspección de vehículos con tres

puestos de inspección, cada uno con sitio para un solo vehículo. Cuando

cualquiera de los puestos se queda vacante, el vehículo que está

primero en la fila entra en él. El taller sólo tiene espacio para que cuatro

vehículos estén esperando a la vez. El proceso de llegadas es de Poisson

con media de un coche por minuto. El tiempo de servicio en cada puesto

es exponencial con media de seis minutos por coche. El jefe desea

saber:

(a) El tiempo medio que está un coche en la estación.

(b) El número medio de coches por hora que llegan, pero no pueden

entrar, porque está lleno (razón de pérdidas del sistema).

(c) El número medio de coches que hay en cola.

(d) La probabilidad de que el sistema no esté vacío.

(e) El tiempo que cada servidor está ocioso.

5.- En una carretera hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de

vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media

10 a la hora mientras que el tiempo medio de servicio es de 7.5 minutos

por cliente, siendo éste exponencial. Sí solo pueden esperar por

atención 6 vehículos.

a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor

esté vacío.

b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la

gasolinera, haya más de dos esperando en la cola.

c) Cuando llega un vehículo al sistema ¿cual es el número esperado de

vehículos que encontrará en la cola?.

d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio.

e) Cual es la tasa de llegada efectiva en el sistema.

f) Cual es el factor de utilización del sistema.

6.- A una impresora le llegan trabajos para imprimir con una tasa de 8 al

minuto, siguiendo las llegadas un proceso de Poisson. El tiempo de

impresión es exponencial de media 5 segundos. Esta impresora

almacena los trabajos que le llegan en un buffer con capacidad para 3

mensajes. Suponer que la memoria de la impresora es suficiente como

para almacenar en ella todo el trabajo que está siendo impreso.

Calcular:

a) Probabilidad de que un mensaje llegue directamente a la impresora

sin tener que esperar en cola.

b) Probabilidad de que en este sistema de impresión haya menos de tres

trabajos esperando a ser imprimidos.

c) Número medio de trabajos en el sistema de impresión.

d) Tiempo medio de espera en el buffer de un trabajo hasta que pasa a

la impresora.

e) Probabilidad de que se pierda un mensaje que llega al sistema para

ser imprimido.

7.- Una máquina está formada por tres componentes que funcionan

independientemente. Cada componente necesita un reajuste para su

correcto funcionamiento una vez cada cuatro días, en media. Este

reajuste se lleva a cabo por un técnico que tarda, en media, medio día

en poner a punto cada componente. Se supone que tanto los tiempos

entre llegadas al sistema de reparación como los tiempos de servicio

son exponenciales.

a) Obtener el factor de utilización del sistema.

b) Obtener las probabilidades de equilibrio partiendo de la expresión

general de las mismas en un proceso de nacimiento y muerte (matriz de

transición de probabilidades).

c) ¿Qué porcentaje de tiempo está el técnico sin trabajar?.

d) Calcular el número medio de componentes que hay en este sistema

de reparación.

e) Obtener el número medio de llegadas al sistema de reparación por

día (tasa global de llegadas).

f) Calcular el tiempo medio de estancia de cada componente en la cola

de reparación.

8.- Diez maquinas están siendo atendidas por una sola grúa. Cuando una

maquina termina su carga se pide a la grúa que descargue la máquina y

la provea de una nueva carga tomada de un área de funcionamiento

adyacente. El tiempo de maniobra por carga se supone exponencial con

media de 30 minutos. El tiempo desde el momento en que la grúa pone

a trabajar una maquina hasta que le trae una nueva carga, también es

exponencial con media de 10 minutos.

a) encuentre el porcentaje del tiempo que la grúa está ociosa.

b) Cual es el número esperado de maquinas que esperan servicio de

la grúa.

9.- Dos mecánicos están atendiendo cinco maquinas en un taller. Cada

maquina se descompone según una distribución de Poisson con media

de 3 por hora. El tiempo de reparación por maquina es exponencial con

media de 15 minutos. Si cada maquina inactiva le cuesta a la empresa

$15 por día, y el sueldo de cada mecánico esta avaluado en $100 al día

a) encuentre la probabilidad que los dos mecánicos estén ociosos y

que uno de ellos esté desocupado.

b) Cual es el número esperado de máquinas inactivas que no se les

esta dando servicio.

c) Cual es el costo del sistema.

10.- En una instalación de autoservicio las llegadas ocurren según una

distribución con una media de 50 por hora. Los tiempos de servicio por

cliente están exponencialmente distribuidos con media de 5 minutos.

a) Encuentre el número esperado de clientes en servicio.

b) Cual es el porcentaje de tiempo que la instalación esta inactiva.