Capitolul 1Modulul 3: Calibrarea geometri  a amerei

2CAPITOLUL 1. MODULUL 3: CALIBRAREA GEOMETRIC� ACAMEREI

Cuprins1 Modulul 3: Calibrarea geometri   a amerei 11.1 Introdu ere model geometri al amerei . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Proie µia de perspe tiv  . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Proie µia a�n  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Parametrii intrinse i ³i extrinse i . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Sisteme de oordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Transformarea sistemului de oordonate . . . . . . . . 111.2.3 Parametrii geometri i ai amerei . . . . . . . . . . . . . 181.3 Calibrarea geometri   a amerei . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Estimarea parametrilor din perspe tiva metodei elormai mi i p trate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2 O abordare liniar  a problemei alibr rii amerei . . . 351.3.3 Calibrarea amerei luând în al ul distorsiunile radiale 381.3.4 Exemplu pra ti de metod  de alibrare . . . . . . . . 431.1 Introdu ere model geometri al amereiModul de formare al unei imagini opti e într-un dispozitiv spe i� de ap-tare a informaµiei vizuale, ³i ai i ne referim atât la dispozitivele arti� ialeele troni e ("imaging devi es") ât ³i la ele biologi e (o hiul uman), estebazat pe aptarea ³i fo alizarea razelor de lumin . Astfel, imaginea opti  per eput  nu este alt eva de ât o proie µie a lumii în onjur toare, in�nit spaµial ³i spe tral, pe o suprafaµ  limitat . Suprafaµa de proie µie poate di-feri de la dispozitiv la dispozitiv. De exemplu, o amer  foto va proie talumina pe �e are unitate spaµial  a unui plan (formând eea e numim pixelisau "pi ture elements"), retina uman  este mai aproape de o form  sferi  , amerele foto panorami e foloses o suprafaµ  de proie µie ilindri  , ³i a³amai departe. S opul a estui apitol este a ela de a adu e în dis uµie proble-mati a model rii geometri e a modului de formare al unei imagini. În a estsens vom porni expunerea de la un model simpli at ³i anume el al "pinhole

4 CUPRINS amera", model are st  la baza evoluµiei tuturor dispozitivelor de aptarea tuale. Informaµiile prezentate în a est apitol urm res modul de expunereal a estora din [1℄.1.1.1 Proie µia de perspe tiv Un model simplu al geometriei imaginii e ofer  totu³i o serie de avantajedin perspe tiva modelului matemati aso iat, este el al "pinhole amera".În iuda ipotezelor restrânse, a est model se dovede³te a � o aproximarea eptabil  în multe dintre apli aµiile spe i� e.Modelul poate � des ris astfel: având la dispoziµie o utie în his , folosimun a pentru a perfora un ori� iu mi în entrul uneia dintre suprafeµelea esteia, iar pe suprafaµa opus  în interior poziµion m o pla   translu id 1.Da   într-o amer  întune at  poziµionam în faµa ori� iului utiei o surs  delumin , vom observa faptul   pe pla a translu id  se va proie ta o imaginer sturnat . Pro esul este ilustrat în Figura 1.1 ³i poarta numele de proie µiede perspe tiv .imagine virtuală

plan imagine

Figura 1.1: Modelul "pinhole amera" (surs  imagine Wikipedia).Da   ori� iul este redus la un pun t ( az ipoteti ), atun i �e are pun tdin planul imaginii va � generat de o singur  raz  de lumin . Cum ori� iulare în realitate o dimensiune �nit , dar totu³i foarte redus , �e are pun t dinplanul imaginii va � în realitate obµinut prin proie µia unui on de raze. Mai1translu id se refer  la un material parµial transparent, e poate � str b tut de unfas i ul de lumin  pe are îl împr ³tie parµial, astfel în ât, privind orpul sau mediul res-pe tiv nu pot � distinse ontururile sau detaliile obie telor a�ate de partea opus  (de�niµieDi tionarul Expli ativ al Limbii Române).

1.1. INTRODUCERE MODEL GEOMETRIC AL CAMEREI 5mult, imaginea reat  este r sturant , astfel   uneori este mai onvenabil s �e onsiderat  o imagine virtual , e este aso iat  unui plan e se a�  în faµaori� iului, la o distanµ  egal  u ea faµ  de planul imaginii real. Imagineavirtual  este astfel e hivalent  imaginii reale (vezi Figura 1.1).Ox

d dd

obiect A

obiect B

obiect A

obiect B

plan imagine

Ox

plan imagine

linia Alinia B

linia A

linia B

x

x

xx

x

x

x

xx

linia C

¥

Figura 1.2: Exemple de aberaµii opti e spe i� e proie µiei de perspe tiv .Proie µia de perspe tiv , datorit  ipotezelor simpli� ate, ondu e la oserie de aberaµii opti e. Una dintre ele mai semni� ative dintre a esteaeste faptul   dimensiunea aparent  a obie telor depinde de distanµ . Deexemplu, în Figura 1.2 (imaginea de sus) se observ  faptul   dou  obie tede dimensiuni diferite (obie tul B este aproximativ de dou  ori mai marede ât obie tul A), dar a�ate la distanµe diferite, sunt proie tate în planulimaginii la dimensiuni similare. Alt efe t nedorit este a ela   liniile paraleleproie tate în planul imaginii par s  se interse teze (vezi imaginea de jos

6 CUPRINSdin Figura 1.2). De asemenea, linia C a�at  într-un plan paralel u planulimaginii e tre e prin O nu poate avea proie µie.Pentru a determina e uaµiile e realizeaz  orespondenµa între oordona-tele pun telor �zi e la nivelul obie telor din s en  ³i proie tiile a estora înplanul imagini se va lua în onsiderare sistemul de oordonate de�nit de a-mer . Fie (O, i, j,k) sistemul de oordonate ata³at ori� iului O, unde i, j ³ik reprezint  versorii bazei2 iar Π reprezint  planul imaginii ales astfel în âts  �e perpendi ular pe axa de�nit  de k3 e se a�  la o distanµ  f de O.De notat faptul   planul Π poart  în general denumirea de retin  iar liniaperpendi ular  pe Π e tre e prin ori� iul O poart  denumirea de ax  opti  .Pun tul A în are a easta interse teaz  planul Π poart  numele de entrulimaginii. A esta joa   un rol important în pro esul de alibrare putând �ales drept origine a sistemului de oordonate al imaginii. Notaµiile de maisus sunt ilustrate în Figura 1.3.

plan imagine P

Ox

ii

k

j

Axx

f

P(x,y,z)

P’(x’,y’,z’)

x

x

Figura 1.3: Modelul geometri al proie µiei de perspe tiv .Da   not m u P un pun t din s ena real  de oordonate (x, y, z) ³i P ′proie µia a estuia în planul imaginii Π, de oordonate (x′, y′, z′), datorit  oliniarit µii pun telor P , O ³i P ′ putem dedu e faptul   −−→OP ′ = λ · −→OP ,unde λ este o onstant  oare are. Astfel, putem dedu e mai departe relaµiadintre proie µiile pe �e are ax  a �ind x′ = λ · x, y′ = λ · y ³i respe tiv2ve tori ortogonali de amplitudine unitar  e de�nes de regul  un sistem de oordo-nate, a de exemplu sistemul Cartezian.3pe par ursul întregii lu r ri, în azul în are nu este spe i� at expli it prin intermediulunei s geµi (exemplu −−−−→

vector), ve torii vor � reprezentaµi u litere îngro³ate (exemplu k).

1.1. INTRODUCERE MODEL GEOMETRIC AL CAMEREI 7z′ = λ · z. Cu alte uvinte, raporturile între oordonate sunt onstante:

λ =x′

x=

y′

y=

z′

z(1.1)Ad ugând faptul   z′ = f , obµinem urm toarele relaµii pentru x′ ³i y′:

x′ = f · xz, y′ = f · y

z(1.2)A este e uaµii onstituie proie µia de perspe tiv  a oordonatelor pun tului

P din s ena real  în planul imaginii.1.1.2 Proie µia a�n O alt  aproximare a geometriei imaginii o onstituie modelele de proie µiea�n . Pentru a easta, pe lâng  planul imaginii,Π, vom onsidera un al doileaplan Π0, paralel u Π, are se a�  în faµa entrului O la distanµa z0 (un num rpozitiv). Pro esul este ilustrat în Figura 1.4.

plan imagine P

Ox

ii

k

j

Ax

f

P

P’

x

x

plan paralel P

Ax

x

Q

Q’x

-z0

0Figura 1.4: Modelul geometri al proie µiei a�ne.Astfel, da   relu m e uaµia 1.2, atun i a easta devine:x′ = −f · x

z0, y′ = −f · y

z0(1.3)unde minusul provine de la faptul   planul Π0 se a�  în faµa originii siste-mului de referinµ  ata³at ori� iului O, pe axa negativ . Notând u m = f

z0

8 CUPRINSfa torul de ampli� are al sistemului (o valoare pozitiv ), atun i putem re-s rie:x′ = −m · x, y′ = −m · y (1.4)A est parametru este important pentru a realiza orespondenµa între dimen-siunile reale ale obie telor din s en  ³i dimensiunea obie telor obµinut  dinproie µia a estora în planul imagine. A est lu ru reiese din urm torul expe-riment. Da   pe lâng  pun tele P ³i P ′ onsider m pun tul Q în planul Π0³i imaginea a estuia Q′ în planul imagine Π, ve torii −→PQ ³i respe tiv −−→

P ′Q′�ind paraleli, se poate dedu e faptul   |−−→P ′Q′| = m · |−→PQ|, unde operatorul|.| desemneaz  norma unui ve tor. Cu alte uvinte, dimensiunea segmentuluiPQ este ampli� at  în modul u m în planul imaginii.Da   parametrul m este osiderat onstant, atun i avem de-a fa e u unmodel de perspe tiv  slab  ("weak perspe tive"), situaµie e orespunde înrealitate azului în are adân imea s enei este mi   în omparaµie u distanµafaµ  de amer . Da   prin normalizarea oordonatelor imagini obµinem m =−1, atun i modelul obµinut poart  numele de proie µie ortogra�   ³i în a est az x′ = x ³i y′ = y. A est lu ru semni�   faptul   toate razele de lumin  eproie teaz  pun tele din planul Π0 în planul imagine Π sunt paralele u axaversorului k. Imaginea obµinut  p streaz  dimensiunile obie telor iniµiale.Evident   a est model este nerealisti , dar totu³i î³i g se³te apli aµie înanumite situaµii.1.2 Parametrii intrinse i ³i extrinse iPentru a putea analiza me anismul de proie µie al �gurilor geometri e dins ena real  în planul imaginii este nevoie de de�nirea unui anumit formalismmatemati . În ele e urmeaz  vom introdu e o serie de noµiuni de geome-trie Eu lidiana analiti   e sunt ne esare pentru a putea des rie pro esul demodelare geometri   a amerelor [1℄.1.2.1 Sisteme de oordonateDa   dispunem de un anumit pun t O din spaµiu ³i onsider m trei ve toriunitate, i, j ³i k e sunt �e are perpendi ulari unul pe el lalt, atun i putemde�ni un sistem ortonormal de oordonate (F ) a �ind vadruplul (O, i, j,k).În a est az este evident faptul   pun tul O reprezint  originea sistemuluiiar ve torii i, j ³i k reprezint  ve torii baz  sau versori (vezi Se µiunea 1.1.1).Pentru de�nirea sistemelor de oordonate vom folosi prin ipiul mâiniidrepte, astfel   ve torii i, j ³i k vor � onsideraµi a � ata³aµi degetelor

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 9mâinii drepte în ipostaza în are degetul mare indi   în sus, degetul ar t torarat  în faµ  iar degetul din mijlo indi   în stânga. Pro esul este ilustrat înFigura 1.5. A east  onvenµie ondu e la urm toarele identit µi:i× j = k, j× k = i, k× i = j (1.5)unde × denot  produsul ve torial.j

ii

k

O

xP( )x,y,z

x

y

z

Figura 1.5: Prin ipiul mâinii drepte în de�nirea sistemelor de oordonate.Este bine ³tiut faptul   un pun t arbitrar P va � reprezentat în a estsistem de oordonate prin proie µiile ve torului −→OP pe ele trei axe, notatede regul  u x, y ³i z. A estea sunt de�nite astfel:x =

−→OP · i, y =

−→OP · j, x =

−→OP · k (1.6)unde · reprezint  de a east  dat  produsul s alar. A este e uaµii ondu las rierea ve torului −→OP a sum  de proie µii, astfel:

−→OP = x · i+ y · j+ z · k (1.7)Sub form  matri eal , se poate spune   pun tul P este de�nit în sistemul

(F ) de ve torul de oordonate:P =

xyz

∈ R3 (1.8)Folosind a ela³i raµionament, se pot de�ni oordonatele ori  rui ve tor libern în fun µie de lungimea proie µiilor a estuia pe ele trei axe.

10 CUPRINSMai departe, vrem s  vedem um se de�ne³te un plan în sistemul de oordonate (F ). Pentru a easta onsider m urm torul s enariu: �e un planΠ, un pun t O din afara planului, un pun t arbitrar P onµinut de a esta ³iun ve tor unitate n perpendi ular pe Π (vezi Figura 1.6). Ve torul −−→OH esteperpendi ular pe Π ³i oliniar u n. Astfel, pun tele P din planul Π vor � ara terizate de −−→

HP · n = 0 (�ind perpendi ulare). Dar ve torul −−→HP poate� s ris a diferenµa dintre −→OP ³i −−→OH eea e ondu e la −→OP ·n−−−→

OH ·n = 0.Da   lu m a referinµ  sistemul de oordonate (F ) de�nit anterior în are x,y ³i z reprezint  oordonatele pun tului P iar u a, b ³i c not m oordonateleve torului n, atun i obµinem urm toarea e uaµie:

a · x+ b · y + c · z − d = 0 (1.9)unde d =−→OP · n reprezint  distanµa de la originea O la planul Π ³i esteindependent  de alegerea lui P .

Ox

n

plan P

H

P

x

x

Figura 1.6: E uaµia unui plan într-un sistem de oordonate.Matri eal a est lu ru poate � s ris a un produs de doi ve tori:[a b c −d

]·

xyz1

= 0 (1.10)sau mai pe s urt:

ΠT ·P = 0 (1.11)

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 11unde Π =

abc−d

, P =

xyz1

iar T reprezint  transpusa unei matri e.E uaµia 1.11 reprezint  e uaµia planului Π în sistemul de oordonate (F )unde (x, y, z, 1) reprezint  oordonatele omogene ale pun tului P iar similar

(a, b, c,−d) reprezint  oordonatele omogene ale planului Π. Se observ  fap-tul   reprezentarea în oordonate omogene impli   ad ugarea unei a patravalori. Avantajul a estei notaµii va � ilustrat on ret în se µiunile urm toare.Coordonatele omogene pot � folosite la des rierea unor �guri geometri emai omplexe de ât un simplu pun t sau plan. S  lu m exemplul unei sfereS de raz  r, entrat  în originea sistemului. Este bine unos ut faptul  o ondiµie ne esar  ³i su� ient  a un pun t P de oordonate x, y ³i z s aparµin  lui S o reprezint  e uaµia x2 + y2 + z2 − r2 = 0. E uaµia e des riea east  sfer  în oordonate omogene se poate s rie a �ind:

[x y z 1

]·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −r2

·

xyz1

= 0 (1.12)Da   generaliz m problema la o suprafaµ  p trati  , de�nit  a lo ulgeometri al pun telor P al  ror oordonate satisfa o e uaµie de tipul:

a · x2 + b · y2 + c · z2 + 2 · f · y · z + 2 · g · z · x+ 2 · h · x · y ++2 · p · x+ 2 · q · y + 2 · r · z + d = 0 (1.13)unde a, b, c, f , g, h, p, q, r ³i d sunt s alari, atun i e uaµia a esteia în oordonate omgene poate � s ris  a �ind:

PT ·Q ·P (1.14)unde P =

xyz1

iar Q =

a h g ph b f qg f c rp q r d

este o matri e e de�ne³te supra-faµa. Se observ  faptul   a easta este de dimensiune 4× 4 ³i este simetri  .1.2.2 Transformarea sistemului de oordonateÎn ele e urmeaz  vom presupune existenµa mai multor sisteme de referinµ .În a east  ipotez  vrem s  studiem problema tre erii de la un sistem de

12 CUPRINS oordonate la altul. Pentru a easta, vom de�ni urm toarea onvenµie denotaµie: �e (F ) un sistem de oordonate de�nit de vadruplul (O, i, j,k) (Oeste originea sistemului iar i, j ³i k sunt versorii bazei) ³i P un pun t dinspaµiu. Prin notaµia FP se va înµelege reprezentarea lui P în sistemul (F ) (seobserv  faptul   sistemul apare a supers ript în partea stâng ), ³i anume:FP =

−→OP (vezi e uaµia 1.7, unde x, y ³i z reprezint  proie µiile pe �e aredintre axe).S  onsider m în ontinuare dou  sisteme de oordonate, (A) = (OA, iA,

jA, kA) ³i respe tiv (B) = (OB, iB, jB, kB) ³i pun tul P din spaµiu. Vrems  reprezent m BP în sistemul (A) ³i anume în fun µie de AP .Translaµia. Pentru a easta s  onsider m urm toarea ipotez  simpli� at : ele dou  sisteme au axele paralele, ³i anume iA = iB, jA = jB ³i kA = kBdar OA 6= OB. A east  on�guraµie este ilustrat  în Figura 1.7 ³i poart numele de translaµie pur .O

ii

k

j

xA

Oii

k

j

xB

A

A

A

B

B

B

xPFigura 1.7: Translaµia sistemului de oordonate.În a est az se observ  faptul  :−−−→OBP =

−−→OAP +

−−−−→OBOA (1.15)³i mai departe folosind notaµia de mai sus obµinem:

BP =A P +B OA (1.16) u alte uvinte, P reprezentat în sistemul de oordonate (B) se s rie a �indsuma dintre oordonatele lui P reprezentat în sistemul (A) ³i oordonatele entrului OA reprezentat în sistemul (B), rezultat de altfel intuitiv.

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 13Rotaµia. Da   revenim asupra ipotezei de axe paralele, ³i de a east  dat  onsider m originile elor dou  sisteme a �ind omune, ³i anume OA =OB = 0, atun i obµinem o rotaµie pur . A east  situaµie este ilustrat  înFigura 1.8.

O

ii

k

j

x

A

A

A

xP

iiB

kB

jB

Figura 1.8: Rotaµia sistemului de oordonate.În a est az e uaµia 1.16 devine −→OP =B P =A P , eea e ondu e laurm toarea identitate:

Bx · iB +B y · jB +B z · kB =A x · iA +A y · jA +A z · kA (1.17)unde Bx, By ³i Bz reprezint  proie µiile pun tului P în sistemul (B) (similaravem proie µiile în sistemul (A)). Da   reprezent m e uaµia obµinut  subform  matri eal , obµinem:[iB jB kB

]·

BxByBz

=

[iA jA kA

]·

AxAyAz

(1.18)Da   înmulµim de o parte ³i de alta în stânga u ve torul [ iB jB kB

]Tobµinem urm toarea e uaµie:

BxByBz

=

iB · iA iB · jA iB · kA

jB · iA jB · jA jB · kA

kB · iA kB · jA kB · kA

·

AxAyAz

(1.19)sau pres urtat:

BP =BA R ·A P (1.20)unde B

AR de�ne³te matri ea rotaµiei sistemului de oordonate (A) astfel în âts  se suprapun  peste sistemul (B).

14 CUPRINSDin modul de de�nire al lui BAR, se poate obseva faptul   �e are oloan  orespunde de fapt reprezent rii ve torilor iA, jA ³i respe tiv kA în sistemulde oordonate (B), în timp e �e are linie orespunde reprezent rii ve torilor

iB, jB ³i respe tiv kB în sistemul (A). Astfel putem res rie:BAR =

[BiA

BjABkA

]=

AiBT

AjBT

AkBT

(1.21)de unde reiese mai departe faptul   A

BR =BA RT ³i anume: rotaµia sistemului

(B) astfel în ât s  se suprapun  peste (A) este transpusa rotaµiei sistemului(A) peste (B). De asemenea, se poate vedea faptul   B

BR reprezint  matri eaidentitate.De notat este faptul   un set de matri e de rotaµie împreun  u produsulmatri eal formeaz  un grup, deoare e:• produsul a dou  matri e de rotaµie este de asemenea o matri e de ro-taµie;• produsul a dou  matri e de rotaµie este aso iativ, astfel (R ·R′) ·R′′ =R · (R′ · R′′) unde R, R′ ³i R′′ sunt matri e de rotaµie;

• matri ea unitate Id este element neutru deoare e R · Id = Id · R = R;• ori e matri e de rotaµie R admite o invers  R−1 = RT astfel în âtR · R−1 = R−1 · R = Id;Totu³i grupul format nu are proprietatea de omutativitate, astfel   în ge-neral R · R′ 6= R′ ·R.S  onsideram în ontinuare un az parti ular de rotaµie, ³i anume rotaµiaîn jurul unei singure axe. Da   kA = kB = k putem nota u θ unghiul aretrebuie apli at lui iA pentru a se suprapune peste iB (se va onsidera o rotatieîn sens invers a elor de easorni ). Datorit  ortogonalit µii axelor, unghiul θva � identi ³i pentru jA ³i respe tiv jB. De reµinut faptul   ve torul k esteastfel perpendi ular atât pe planul format de iA ³i jA ât ³i pe planul formatde iB ³i jB. Pro esul este ilustrat în Figura 1.9.Matri ea rotaµiei în a est az poate � determinat  simplu pe baza ob-servaµiei anterioare onform  reia �e are oloan  a matri ei A

BR reprezint proie µiile ve torilor iA, jA ³i k în sistemul de oordonate (B). Astfel, iA estede�nit de proie µiile [ c −s 0]T , jA de [ s c 0

]T iar k de [ 0 0 1]T .Se observ  în Figura 1.9 faptul   c = cos(θ) ³i s = sin(θ), eea e ondu e

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 15

iiA

jiA

iiB

jiB

q

qc

-s

s

ck

Figura 1.9: Rotatia axelor in plan.la matri ea de rotaµie:BAR =

cos(θ) sin(θ) 0−sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

(1.22)Considerând ve torul k în dire µia axei opti e a amerei (vezi Figura 1.3),matri ea [

cos(θ) sin(θ)−sin(θ) cos(θ)

] reprezint  de fapt rotaµia oordonatelor ima-ginii u un unghi θ în sensul invers a elor de easorni .Transformarea rigid . Revenind la azul general iniµial al elor dou  sis-teme de oordonate (A) ³i (B), de origini OA 6= OB ³i ale  ror axe de oordonate nu sunt neap rat paralele (iA 6= iB, jA 6= jB, kA 6= kB), punândlaolalt  e uaµiile determinate anterior, obµinem eea e se nume³te e uaµiageneral  a unei transform ri rigide, ³i anume:BP =B

A R ·A P +B OA (1.23)Cu alte uvinte, reprezentarea oordonatelor pun tului P în sistemul de o-ordonate (B) în fun µie de oordonatele din sistemul (A) se fa e în modul

16 CUPRINSurm tor: oordonatele lui P în sistemul (B) sunt obµinute prin rotaµia oor-donatelor din (A) pe baza unei matri e de rotaµie BAR e reprezint  rotaµiaaxelor de oordonate ale sistemului (A) astfel în ât s  devin  paralele u eleale sistemului (B) la are se adaug  o translaµie e orespunde translat riioriginii OA în originea sistemului (B). Transformarea general  este prezen-tat  în Figura 1.10. Transformarea se nume³te rigid  deoare e nu deformeaz distanµele dintre pun te, astfel   distanµa Eu lidian  a dou  pun te din spa-µiu al ulat  în sistemul (A) este egal  distanµei dintre a estea obµinut  însistemul (B). De asemenea, a easta p streaz  ³i unghiurile dintre drepte.

O

ii

k

j

xA

O

ii

k

j

xB

A

A

A B

B

B

xPFigura 1.10: Transformarea rigid  general  a sistemului de oordonate.În ele mai multe azuri ³i în spe ial în dispozitivele de prelu rare digital a imaginilor, este mult mai avantajos a a este e uaµii s  �e reprezentate subform  matri eal  (imaginile sunt modelate matri eal). Astfel, e uaµia uneitransform ri rigide poate � exprimat  matri eal pe baza oordonatelor omo-gene (vezi e uaµia 1.11). Pentru a de�ni o transformare rigid  în oordonateomogene, ne vom folosi de o proprietate a produsului matri eal are permitereprezentarea a estuia pe baza produselor la nivel de blo uri.Astfel, da   avem dou  matri e A ³i B de dimensiuni m× n ³i respe tivn× p ³i le reprezent m sub forma unor blo uri de valori dup  um urmeaz :

A =

[A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

], B =

[B1,1 B1,2

B2,1 B2,2

] (1.24)unde Ai,j ³i Bk,l, u i, j, k, l ∈ {1, 2} reprezint  sub-matri e de dimensiunimi × nj ³i respe tiv nk × pl ( u alte uvinte num rul de oloane al sub-matri elor A1,1 ³i A2,1 este egal u num rul de linii al sub-matri elor B1,1 ³iB1,2; ³i similar pentru oloanele lui A1,2, A2,2 u liniile lui B2,1, B2,2), atun i

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 17produsul matri eal al lui A u B poate � s ris a:A · B =

[A1,1 · B1,1 + A1,2 · B2,1 A1,1 · B1,2 + A1,2 · B2,2

A2,1 · B1,1 + A2,2 · B2,1 A2,1 · B1,2 + A2,2 · B2,2

] (1.25)adi  , a sum  de produse ale blo urilor. Se poate observa   A · B este omatri e de dimensiune m× p, unde m =∑

i mi ³i p =∑

l pl.S  onsider m exemplul urm tor, �e:A =

a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

, B =

b1,1 b1,2b2,1 b2,2b3,1 b3,2

Este evident   A · B se poate s rie a �ind:

A · B =

a1,1 · b1,1 + a1,2 · b2,1 + a1,3 · b3,1 a1,1 · b1,2 + a1,2 · b2,2 + a1,3 · b3,2a2,1 · b1,1 + a2,2 · b2,1 + a2,3 · b3,1 a2,1 · b1,2 + a2,2 · b2,2 + a2,3 · b3,2a3,1 · b1,1 + a3,2 · b2,1 + a3,3 · b3,1 a3,1 · b1,2 + a3,2 · b2,2 + a3,3 · b3,2

³i mai departe produsele pot � grupate pe blo uri astfel:

A · B =

[a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3

]·

b1,1b2,1b3,1

[a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3

]·

b1,2b2,2b3,2

[a3,1 a3,2 a3,3

]·

b1,1b2,1b3,1

[

a3,1 a3,2 a3,3]·

b1,2b2,2b3,2

Cu alte uvinte sub-matri ele onsiderate sunt urm toarele:

A · B =

a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

·

b1,1 b1,2b2,1 b2,2b3,1 b3,2

Folosindu-ne de a east  proprietate, putem res rie e uaµia 1.23 sub form matri eal : [

BP1

]=

[BAR

BOA

0T 1

]·[

AP1

] (1.26)unde BP reprezint  oordonatele pun tului P în sistemul (B), ³i anume ve -torul [ Bx By Bz]T (dimensiune 3×1), 1 este s alar (dimensiune 1×1), BARreprezint  matri ea rotaµiei sistemului (A) astfel în ât s  devin  paralel usistemul (B) (dimensiune 3×3), 0T =

[0 0 0

]T (dimensiune 3×1), BOAreprezint  oordonatele entrului OA în sistemul (B) ³i anume [ tx ty tz]T

18 CUPRINS(au sens de translaµie, dimensiune 3×1) iar AP reprezint  oordonatele pun -tului P în sistemul (A), [ Ax Ay Az]T (dimensiune 3× 1).Se observ  faptul   matri ele folosite sunt de fapt reprezent ri în oordo-nate omogene iar matri ea e de�ne³te s himbarea sistemului de oordonatedevine o matri e 4× 4 ((3 + 1)× (3 + 1)).Avantajul a estei reprezent ri este imediat ³i anume faptul   ori e trans-formare rigida poate � s ris  dire t a produs matri eal f r  a � nevoie deînsumarea unor matri e, um era azul e uaµiei 1.23. A est lu ru are avantajedin pun t de vedere al implement rii hardware.Am v zut faptul   o transformare rigid  permite reprezentarea oor-donatelor dintr-un sistem artezian în altul. A est lu ru poate � v zut ³idintr-o alt  perspe tiv . Da   avem un sistem de oordonate (F ), a east transformare poate � folosit  ³i pentru a reprezenta oordonatele unui pun t

P relativ la oordonatele altui pun t P ′ în adrul a eluia³i sistem de oordo-nate. A est lu ru poate � s ris a:[

FP ′

1

]=

[R t

0T 1

]·[

FP1

] (1.27)unde R este o matri e de rotaµie iar ve torul t ∈ R3.Da   înlo uim matri ea R u o matri e A arbitrar  de a elea³i dimen-siuni, e uaµia 1.27 î³i p streaz  sensul de reprezentare a oordonatelor relativla pun te diferite dar nu mai garanteaz  onservarea distanµelor dintre a es-tea, eea e înseamn    noua reprezentare a oordonatelor nu este neap ratuna într-un sistem ortonormal. Matri ea [A t

0T 1

] poart  numele de trans-formare a�n . Da   valorile a esteia sunt l sate a � alese omplet arbitraratun i spunem   avem de-a fa e u o transformare proie tiv .1.2.3 Parametrii geometri i ai amereiObservam în se µiunile anterioare faptul   e uaµia 1.2 realizeaz  leg turadintre oordonatele (x, y, z) ale unui pun t P din s ena real  ³i proie µiaa estuia în planul imaginii (vezi Figura 1.3). În realitate, a east  e uaµieeste valabil  doar da   distanµele sunt m surate în sistemul de referinµ  al amerei iar oordonatele imaginii obµinute au a origine pun tul în are axaopti   interse teaz  planul imaginii (retina amerei), notat u A în Figura1.3. În pra ti   leg tura dintre lumea real  ³i sistemul de oordonate al amerei este guvernat  de mai mulµi parametri �zi i ai dispozitivelor, pre um

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 19distanµa fo al  a lentilelor, dimensiunea pixelilor4, poziµia entrului imaginii ât ³i poziµia ³i orientarea amerei.Relativ la pro esul de alibrare geometri   a amerei, se identi�   dou  ategorii de astfel de parametri:• pe de-o parte sunt eea e numim parametrii intrinse i ai amerei,³i anume parametrii e fa leg tura dintre sistemul de oordonate al amerei ³i un sistem ideal, normalizat, e este onsiderat   se a�  ladistanµ  unitar  de a esta dintâi,• pe de alt  parte avem parametrii extrinse i ai amerei e fa leg turadintre sistemul de oordonate al amerei ³i sistemul de oordonate allumii reale spe i� ând poziµia ³i orientarea a estuia în spaµiu.În ele e urmeaz , pentru simpli� area prezent rii, vom neglija efe tul len-tilelor opti e u are sunt e hipate de regul  amerele ³i impli it aberaµiileopti e e sunt introduse de a estea, urmând a ulterior s  revenim la a esteaîn Se µiunea 1.3.3.Parametrii intrinse i ai amereiDup  um am menµionat anterior, este posibil s  aso iem planului imaginiiunei amere, un plan imagine normalizat, paralel u a esta dar are se a� la distanµ  unitar  de originea sistemului amerei (ori� iul O). Pro esul esteilustrat în Figura 1.11.Vom ata³a a estui plan un sistem de oordonate propriu al  rui entru sea�  în pun tul C, ³i anume pun tul în are axa opti   a amerei interse teaz planul normalizat al imaginii. Not m u p proie µia în a est plan a unui pun t

P din s ena real , de oordonate (x, y, z). Coordonatele omogene ale lui p,[u v 1

]T pot � determinate folosind e uaµia de proie µie 1.2, astfel:u =

x

z, v =

y

z(1.28)unde în a est az distanµa f este unitar . Matri eal, a est lu ru poate � s ris a:

p =1

z·[Id 0

]·[P

1

] (1.29)4în general imaginile digitale sunt reprezentate sub form  matri eal , un element almatri ei purtând denumirea de pixel ("pi ture element"). Pixelii orespund înregistr riiradiaµiei luminoase pentru o anumit  regiune spaµial  a s enei, ideal ât mai apropiat  deun pun t. În realitate, pixelii au diverse forme geometri e, pot � p trati i, dreptunghiulari,³i a³a mai departe.

20 CUPRINS

plan imagine

Ox

xz

y

p

x

f

P(x,y,z)x

C^

u

v^

^

x x

^

C

u

vx

xC0

p

plan normalizat

1

sistem de axe cameră

Figura 1.11: Tre erea de la sistemul de oordonate al amerei la un sistemnormalizat.unde Id este matri ea unitate de dimensiune 3 × 3, 0 =[0 0 0

]T iar Preprezint  ve torul de oordonate al pun tului P , [ x y z]T .S  ne fo aliz m a um atenµia asupra planului imaginii (retina amerei).A esta se a�  la o distanµ  f de entrul sistemului amerei în dire µia axeiopti e. Not m u p =

[u v 1

]T ve torul de oordonate al proie µieipun tului P din lumea real  în a est plan (vezi Figura 1.11). Semni� aµiaa estuia este de pixel al imaginii astfel formate. Luând în al ul onstrânge-rile �zi e, ³i anume faptul   în realitate pixelii nu sunt pun te i mai degrab au form  dreptunghiular , în e uaµia 1.2 vom mai onsidera doi fa tori des al  suplimentari k ³i l astfel în ât un pixel va avea dimensiunea 1k× 1

l.Astfel, putem s rie:

u = α · xz, v = β · y

z(1.30)unde α = k · f ³i β = l · f sunt parametri de s al .A east  e uaµie este valabil  totu³i doar da   sistemul de referinµ  on-siderat în planul imaginii are originea în pun tul C0, ³i anume pun tul deinterse µie al axei opti e u planul imaginii (vezi Figura 1.11). Fiind vorba deo imagine, sistemul de oordonate ata³at a estuia î³i are de regul  originea�e în olµul din stânga jos sau uneori din stânga sus, oordonatele imaginiiavând sensul de indi i ai liniilor ³i oloanelor pixelilor din a easta. Astfel,sistemul de oordonate ata³at imaginii este translatat u originea în pun tul

C (vezi Figura 1.11) iar e uaµia 1.30 devine:u = α · x

z+ u0, v = β · y

z+ v0 (1.31)

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 21unde u0 ³i v0 reprezint  translaµia lui C faµ  de pun tul C0.Totu³i în realitate sistemul de referinµ  ata³at amerei poate � în linatdatorit  erorilor de fabri aµie, astfel   unghiul dintre axele a estuia, de�nitede versorii jv ³i iu, este θ 6= 900 (dar de regul  de o valoare foarte apropiat ).A est lu ru este ilustrat în Figura 1.12 unde j′v ³i i′u = iu reprezint  versoriinoilor axe în linate iar v′ ³i u′ sunt noile proie µii ale pun tului p pe a esteaxe. De remar at faptul   datorit  faptului   noul sistem nu este unulortogonal, proie µia u′ pe axa i′u este diferit  de u pe axa iu.

x

C0 iu

jv jv ’

px

u

v

v ‘

u ‘

q

j

x x

x

x

Figura 1.12: Tre erea de la sistemul de axe real în linat u unghiul θ lasistemul ideal ortogonal.Pentru simpli� area al ulelor vom porni de la proie µiile u, v de�nite dee uaµia 1.30, ³i astfel de la azul în are originea sistemului de oordonate alimaginii se a�  în pun tul C0 de pe axa opti   (vezi Figura 1.11).Pentru a fa e lagatura între oordonatele reale v′ ³i u′ din azul sistemuluide axe în linat ³i oordonatele din azul ideal ând axele sunt ortogonale (v³i u) pornim de la expresia ve torului −−→C0p ³i anume:−−→C0p = u′ · iu + v′ · j′v (1.32)Da   înmulµim la stânga ³i la dreapta u versorii iu ³i respe tiv j′v obµinemurm torul sistem de e uaµii:

−−→C0p · iu = u′ · iu · iu + v′ · j′v · iu (1.33)−−→C0p · j′v = u′ · iu · j′v + v′ · j′v · j′v (1.34)

22 CUPRINSLuând în al ul faptul   −−→C0p · iu nu este alt eva de ât proie µia lui −−→C0p peaxa iu egal  u u, iar j′v · iu este de fapt cos(θ), prima e uaµie devine:

u = u′ + v′ · cos(θ) (1.35)În a doua e uaµie, −−→C0p · j′v se poate s rie a �ind:−−→C0p · j′v = |−−→C0p| · cos(θ − ϕ) (1.36)unde |−−→C0p| =

√u2 + v2.Dezvoltând termenii ³i onsiderând faptul   cos(ϕ) =

u√u2 + v2

iarsin(ϕ) =

v√u2 + v2

obµinem:−−→C0p · j′v = u · cos(θ) + v · sin(θ) (1.37)iar e uaµia a doua devine:

u · cos(θ) + v · sin(θ) = u′ · cos(θ) + v′ (1.38)Din e uaµiile 1.35 ³i 1.38 obµinem urm toarele relaµii pentru proie µiile v′ ³irespe tiv u′:u′ = u− v · ctan(θ), v′ =

v

sin(θ)(1.39)Tinând ont de e uaµia 1.30 ³i de translaµia entrului sistemului de oor-donate al imaginii din pun tul C0 în pun tul C (vezi Figura 1.11), obµineme uaµiile proie µiei pun tului P în sistemul de oordonate ata³at planuluiimaginii e iau în al ul parametrii intrinse i ai amerei:

u′ = α · xz− α · ctan(θ) · y

z+ u0, v′ =

β

sin(θ)· yz+ v0 (1.40)Înlo uind în e uaµia 1.41 oordonatele pun tului din planul normalizat,a�at la distanµ  unitate de entrul O (vezi Figura 1.11), obµinem relaµiadintre planul �zi al imaginii ³i a esta din urm :

u′ = α · u− α · ctan(θ) · v + u0, v′ =β

sin(θ)· v + v0 (1.41)iar tre ând la oordonate omogene putem s rie:

p = K · p (1.42)

1.2. PARAMETRII INTRINSECI �I EXTRINSECI 23undeK =

α −α · ctan(θ) u0

0 β

sin(θ)v0

0 0 1

, p =

[u′ v′ 1

]T iar p =[u v 1

]T .Da   revenim ³i exprim m proie µiile u′ ³i v′ în fun µie de oordonatelepun tului P , (x, y, z), din sistemul de oordonate al amerei, atun i putems rie în oordonate omogene:p =

1

z·[K 0

]·P (1.43)unde 0 =

[0 0 0

]T iar P =[x y z 1

]T .A east  e uaµie reprezint  leg tura dintre oordonatele din sistemul a-merei (x, y, z) ³i oordonatele din planul imaginii (u′, v′) fun µie de parametriiintrinse i ai amerei, ³i anume: α, β, θ, u0 ³i v0.Parametrii extrinse i ai amereiS  presupunem a um   sistemul de oordonate al amerei, notat (C), estediferit de sistemul de oordonate aso iat lumii în onjur toare, notat în on-tinuare (W ). În a est az, dorim s  fa em legatur  dintre oordonatele unuipun t CP în (C) ³i reprezentarea a estuia în sistemul (W ), WP . A easta estedat  de e uaµia 1.23:CP =C

W R ·W P +C OW (1.44)unde CWR reprezint  matri ea de rotaµie a sistemului (W ) astfel în ât s  de-vin  paralel u sistemul (C), iar COW reprezint  proie µia originii sistemului

(W ) relativ la originea sistemului (C) (vezi Se tiunea 1.2.2). Conform e u-aµiei 1.26 a easta poate � exprimat  matri eal în oordonate omogene a�ind:CP =

[R t

0T 1

]·W P (1.45)unde CP =

[x y z 1

]T , R =CW R reprezinta matri ea unei rotaµii (di-mensiune 3 × 3), t =C OW reprezint  o translaµie (dimensiune 3 × 1), 0T =[

0 0 0] ³i WP =

[Wx W y W z 1

]T reprezint  oordonatele pun tuluiP în sistemul (W ).Luând în al ul e uaµia 1.43 e permite exprimarea oordonatelor pun -tului p din planul imaginii în fun µie de oordonatele pun tului CP din planul amerei (C), obµinem leg tura dintre a esta dintâi ³i sistemul de oordonateal lumii reale (W ), astfel:

p =1

z·[K 0

]·[

R t

0T 1

]·W P (1.46)

24 CUPRINSunde p =[u′ v′ 1

]T ; eea e ondu e mai departe la e uaµia:p =

1

z·K ·

[R t

]·W P (1.47)Se observ  faptul   tre erea de la oordonatele omogene ale lui P în sistemul

(W ) la oordonatele lui p din sistemul imaginii se fa e pe baza unei matri eM = K ·

[R t

] de dimensiune 3×4. Da   not m u mTi , i = 1, ..., 3 liniilematri ei M atun i:

u′

v′

1

=

1

z·

mT1

mT2

mT3

·W P (1.48)de unde reiese faptul   z = mT

3 ·W P ³i mai departe e uaµia 1.47 se poates rie simpli� at:u′ =

mT1 ·W P

mT3 ·W P

, v′ =mT

2 ·W P

mT3 ·W P

(1.49)De notat este faptul   matri ea M depinde de 11 parametri: ei 5 para-metri intrinse i (α, β, θ, u0 ³i v0, vezi Se µiunea anterioar ) la are se adaug 6 parametri noi, ³i anume: 3 unghiuri e de�nes matri ea de rotaµie R ³i 3translaµii e de�nes ve torul de translaµie t, parametri e poart  denumireade parametri extrinse i.Matri ea M poate � s ris  expli it sub forma urm toare:[

α · r1T − α · ctan(θ) · r2T + u0 · r3T α · tx − α · ctan(θ) · ty + u0 · tzβ

sin(θ) · r2T + v0 · r3T βsin(θ) · ty + v0 · tz

rT

3tz

] (1.50)unde R =[r1

T r2T r3

T]T ³i t =

[tx ty tz

]T . Matri ea M de�ne³teastfel ve torul entrului de oordonate al amerei, O, în sistemul de oordo-nate (W ) al lumii reale.1.3 Calibrarea geometri   a amereiPro esul de alibrare geometri   a amerei onst  la baza în estimarea pa-rametrilor intrinse i ³i respe tiv extrinse i ai a esteia (vezi Se µiunea 1.2.3).Astfel, se urm re³te realizarea unei orespondenµe dire te între oordonatelepun telor din lumea real , de�nite de sistemul de oordonate (W , iW, jW,kW), ³i orespondenµa a estora în planul imagine reprezentat  în sistemul amerei (C, iC, jC, kC). Pro esul este ilustrat în Figura 1.13.Pentru a easta se foloses de regul  imagini de alibrare în are sunt mar- ate o serie de pun te heie pentru are se onsider    poziµia a estora este

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 25kW

(W)

jW

iiW

OW

P

P’

kC

iiC

jC

((C)

OC

Figura 1.13: Calibrarea geometri   a amerei, (dreapta) imaginea de ali-brare, (W ) ³i (C) reprezint  sistemele de oordonate ale lumii ³i respe tiv al amerei.�x  ³i unos ut  "a priori" în sistemul de oordonate al lumii (W ). În a est ontext, pro esul de alibrare poate � v zut din perspe tiva unei probleme deoptimizare ³i anume minimizarea dis repanµei dintre poziµiile pun telor heieobservate în lumea real  ³i poziµia teoreti a a a estora obµinut  pe baza pro-ie µiei de perspe tiv , optimizare e este guvernat  în fun µie de parametriiintrinse i ³i extrinse i ai amerei.Odat  e amera este alibrat  geometri , se poate aso ia în ori e pun tal imaginii observate din (W ) o raz  bine de�nit  e one teaz  a est pun t³i entrul opti al amerei. Pe baza a estei orespondenµe se pot realizam sur tori 3D pre ise folosind doar imaginea proie tat  în planul amerei.A east  problem  de optimizare poate � rezolvat  folosind atât abord riliniare ât ³i neliniare [1℄.1.3.1 Estimarea parametrilor din perspe tiva metodei elor mai mi i p trateDup  um am menµionat anterior, alibrarea geometri   a amerei se redu ela problema estim rii parametrilor intrinse i ³i extrinse i ai a esteia. În a est ontext, problema de optimizare este enunµat  a �ind determinarea para-metrilor intrinse i ³i extrinse i ai amerei e minimizeaz  abaterea p trati  medie dintre oordonatele observate ³i ele prezise.

26 CUPRINSAbordare liniar S  onsider m pentru în eput un sistem liniar u p e uatii ³i q ne unos ute,de�nit astfel:

u11 · x1 + u12 · x2 + ... + u1q · xq = y1u21 · x1 + u22 · x2 + ... + u2q · xq = y2... ...up1 · x1 + up2 · x2 + ...+ upq · xq = yp

(1.51)Notând U =

u11 u12 ... u1q

u21 u22 ... u2q

... ... ... ...up1 up2 ... upq

, x =

[x1 x2 ... xq

]T ³i respe tivy =

[y1 y2 ... yp

]T , atun i sistemul se poate s rie matri eal a �ind:U · x = y (1.52)Este bine unos ut faptul   în general da   p < q atun i sistemul ad-mite mai multe soluµii e formeaz  un sub-spaµiu ve torial al lui Rq, (q − p)dimensional. Da   p = q atun i sistemul este uni determinat admiµând osingur  soluµie. Da   p > q atun i a esta nu admite ni i o soluµie. Totu³ia east  a�rmaµie este valabil  doar da   rangul lui U (num rul maxim delinii sau oloane independente) este maximal, ³i anume egal u min{p, q}.Da   rangul lui U este mai mi de ât min{p, q} atun i existenµa unei soluµiidepinde de valorile lui y.În ontinuare vom onsidera azul în are sistemul are mai multe on-strângeri de ât ne unos ute, p > q iar U are rangul maximal q. Cum îna est az nu exist  o soluµie exa t , ne vom limita în a determina o aproxi-mare a a esteia ³i anume ve torul x e minimizeaza eroarea p trati  :

E =

p∑

i=1

(ui1 · x1 + ... + uiq · xq − yi)2 = |U · x− y|2 (1.53)unde |.| reprezint  norma unui ve tor.Notând u e = U · x − y, atun i E = eT · e. Soluµia x e minimizeaz valoarea lui E este obµinuta din anularea derivatelor parµiale relative la ne- unos utele xi, u i = 1, ..., q, astfel:

∂E

∂xi

= 2 · ∂eT

∂xi

· e (1.54)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 27Da   not m oloanele matri ei U u cj =[u1j u2j ... upj

]T u j =1, ..., q, atun i U =

[c1 c2 ... cq

] iar derivata lui e devine:∂e

∂xi

=∂

∂xi

[c1 c2 ... cq

]·

x1

x2

...xq

− y

(1.55)³i mai departe:

∂

∂xi

(c1 · x1 + ...+ cq · xq − y) = ci (1.56)Anulând derivatele obµinem:ci

T · (U · x− y) = 0 (1.57) u i = 1, ..., q. Punând ap la ap toate e uaµiile putem s rie matri eal:

c1T

c2T

...cq

T

· (U · x− y) = UT · (U · x− y) = 0 (1.58)³i astfel obµinem e uaµiile aso iate metodei elor mai mi i p trate:

UT · U · x = UT · y (1.59)Da   U are rangul maxim q atun i matri ea UT · U este inversabil  iarsoluµia e uaµiei anterioare este:x = U † · y (1.60)unde U † = (UT · U)−1 · UT este pseudo-inversa matri ei U . Da   U estep trati   ³i non-singular  (determinantul a esteia este diferit de 0), atun ise poate observa   U † = U−1.S  onsider m în ontinuare azul sistemului omogen unde y = 0, astfel:

u11 · x1 + u12 · x2 + ...+ u1q · xq = 0u21 · x1 + u22 · x2 + ...+ u2q · xq = 0... ...up1 · x1 + up2 · x2 + ...+ upq · xq = 0

(1.61)sau sub form  matri eal :U · x = 0 (1.62)

28 CUPRINSÎn a est az, da   x reprezint  o soluµie, atun i impli it λ · x este deasemenea o soluµie pentru ori e λ 6= 0. Da   p = q iar matri ea U este non-singular  sistemul adminte o singur  soluµie x = 0. Da   p ≥ q pot existasoluµii diferite de zero da   matri ea U este singular  iar rangul a esteia estestri t mai mi de ât q. În a est az, pentru a minimiza eroarea p trati  medie E = |U · x|2 este ne esar  adoptarea unor onstrângeri suplimentaredeoare e valoarea x = 0 ondu e la minimul global al lui E. Dat �ind faptul   E(λ·x) = λ2·E(x) o onstrângere avantajoas  e permite evitarea situaµieimentionate anterior este |x|2 = 1.Eroarea p trati   medie E poate � exprimat  în fun µie de matri ea Uda   s riem:E = |U · x|2 = (U · x)T · U · x = xT · UT · U · x (1.63)unde matri ea UT · U este prin de�niµie simetri   ³i pozitiv semi-de�nit (pentru ∀x ∈ Cq, x∗T ·(UT ·U)·x ≥ 0, unde ∗ reprezint  omplex onjugatul).Matri ea UT · U poate � diagonalizat  prin reprezentarea sa în baza or-tonormat  format  de ve torii proprii ei, u i = 1, ..., q, aso iaµi valorilorproprii 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λq. Astfel se poate s rie  :

(UT · U) · ei = λi · ei (1.64)Ne putem folosi de a east  observaµie pentru a reprezenta ori e ve tor x îna east  baz , astfel:x = µ1 · e1 + µ2 · e2 + ...+ µq · eq (1.65)unde µi, u i = 1, ..., q, reprezint  proie µiile lui x pe versorii a estei baze(adi   ve torii proprii).În ontinuare vrem s  evalu m urm toarea expresie: E(x)−E(e1), unde

e1 reprezint  ve torul propriu e orespunde valorii proprii elei mai mi i.A easta se s rie a �ind:E(x)−E(e1) = xT · (UT · U) · x− e1

T · (UT · U) · e1 = A− B (1.66)Conform e uaµiei 1.64 ³i folosind observaµia   ve torii proprii sunt ortonor-maµi, se observ  imediat   termenul B devine:B = λ1 · e1T · e1 = λ1 · |e1|2 = λ1 (1.67)Revenind la termenul A, a esta se poate s rie pe baza e uaµiei 1.65 a�ind:

A = xT ·q∑

i=1

µi·(UT ·U)·ei = xT ·q∑

i=1

µi·λi·ei =q∑

j=1

µj ·ejT ·q∑

i=1

µi·λi·ei (1.68)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 29³i mai departe onsiderând faptul   ejT · ei = 0 pentru i 6= j ³i are valoarea1 pentru i = j, obµinem:

A =

q∑

i=1

λi · µ2i (1.69)Revenind la e uaµia 1.66 putem s rie:

E(x)−E(e1) = λ1 · µ21 + ...+ λq · µ2

q − λ1 (1.70)diferenµ  e este m rginit  inferior de valoarea λ1 · (µ21 + ... + µ2

q − 1) = 0( onform onstrângerii iniµiale |x|2 = 1) eea e ondu e la observaµia  :E(x) ≥ E(e1) (1.71)În on luzie, ve torul x de norm  unitate e minimizeaz  eroarea p tra-ti   medie E este exa t ve torul propriu e1 orespunz tor elei mai mi ivalori proprii λ1 a matri ei UT · U iar valoarea minim  a lui E este λ1.Exemplu. Pentru a exempli� a ele de mai sus s  onsider m urm toareaproblem  lasi  . Având un sistem de oordonate plan de�nit de (O, ix, jy)³i un set de pun te pi, u i = 1, ..., n, de proie tii (xi, yi), se dore³te s se determine e uaµia dreptei δ e aproximeaz  el mai bine a este pun te.E uaµia dreptei δ o vom exprima în fun µie de distanµa faµ  de origineasistemului O, notat  d, ³i de normala unitar  la a easta, n =

[a b

]T ,unde a ³i b reprezint  proie µiile pe ele dou  axe iar |n| = 1. A est lu rueste ilustrat în Figura 1.14. Vom rezolva a east  problem  în sensul elormai mi i p trate.Prin analogie u ele dis utate în Se µiunea 1.2.1 (vezi e uaµia 1.11), sepoate dedu e   e uaµia unei drepte δ exprimat  în plan este dat  de:a · x+ b · y − d = 0 (1.72)Realizând leg tura u setul de pun te pi are în mod ideal ar trebui s  veri� etoate a east  e uaµie, putem determina eroarea p trati   E a �ind o fun µiede a, b ³i d, astfel:

E(a, b, d) =n∑

i=1

(a · xi + b · yi − d)2 (1.73)În ontinuare urm rim s  minimiz m pe E relativ la ei trei parametri ede�nes dreapta ³i având drept onstrângere faptul   a2 + b2 = 1 (dat  de|n| = 1). Anul m valoarea derivatei parµiale dup  d, astfel:

∂E

∂d= −2 ·

n∑

i=1

(a · xi + b · yi − d) = 0 (1.74)

30 CUPRINS

x

y

d

d

n

p1

p2 p

ii

pn

OFigura 1.14: Determinarea dreptei e aproximeaz  el mai bine un set depun te prede�nite. eea e ondu e la urm toarea valoare a lui d:d = a · x+ b · y, x =

1

n·

n∑

i=1

xi, y =1

n·

n∑

i=1

yi (1.75)unde x ³i y reprezint  oordonatele medii ale elor pi pun te, (x, y) avândastfel sensul de oordonate ale entrului de mas . Înlo uind valoarea lui d îne uaµia 1.73 obµinem:E =

n∑

i=1

[a · (xi − x)2 + b · (yi − y)2] = |U · n|2 (1.76)unde matri ea U =

x1 − x y1 − y... ...

xn − x yn − y

.Astfel problema noastr  se redu e la a minimiza |U ·n|2 în fun µie de n ³iavând onstrângerea |n|2 = 1. Se poate identi� a o problem  de optimizareîn sensul elor mai mi i p trate pentru un sistem de e uaµii omogene a  reisoluµie am demonstrat anterior   este ve torul propriu e orespunde valorii

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 31proprii elei mai mi i a matri ei UT · U . Determinând matri ea UT · U :[x1 − x ... xn − xy1 − y ... yn − y

]·

x1 − x y1 − y... ...

xn − x yn − y

=

n∑

i=1

(xi − x)2n∑

i=1

(xi − x) · (yi − y)

n∑

i=1

(yi − y) · (xi − x)

n∑

i=1

(yi − y)2

=

n∑

i=1

x2i − n · x2

n∑

i=1

xi · yi − n · x · yn∑

i=1

xi · yi − n · x · yn∑

i=1

y2i − n · y2

(1.77)pentru are al ul m ve torul propriu orespunz tor valorii proprii elei maimi i, obµinem valorile lui a ³i b ³i în �nal din e uaµia 1.75 valoarea lui d,problema �ind rezolvat .Abordare neliniar S  generaliz m problema ³i s  onsider m a um azul sistemelor de e uaµiineliniare. Fie un sistem neliniar u p e uaµii ³i q ne unos ute:

f1(x1, x2, ..., xq) = 0f2(x1, x2, ..., xq) = 0... ...fp(x1, x2, ..., xq) = 0

(1.78)unde u fi(), i = 1, ..., p am notat un set de fun µii diferenµiabile u suportRq. Matri eal sistemul poate � exprimat a �ind:

f(x) = 0 (1.79)unde x =[x1 ... xq

]T iar f = [f1 ... fp

]T . Se poate observa   da  fi(x1, ..., xq) = ui1 · x1 + ...+ uiq · xq − yi obµinem azul sistemelor liniare, iarda   yi = 0 atun i obµinem un sistem liniar omogen.În a est az, da   p < q atun i sistemul admite un set de soluµii eformeaz  o sub-mulµime (q − p) dimensional  a lui Rq. Da   p = q vomaveam un set �nit de soluµii iar da   p > q nu exist  soluµii. În literatura despe ialitate nu exist  o soluµie general valabil  pentru determinarea tuturor

32 CUPRINSsoluµiilor în azul p = q sau are s  permit  determinarea minimului globalal erorii p trati e medii din metoda elor mai mi i p trate, E = |f(x)|2.Metodele existente sunt de regul  iterative ³i în ear   liniarizarea problemeipentru a obµine o aproximare ât mai pre is  a soluµiei  utate.A estea pornes de la dezvoltarea în serie Taylor a fun µiilor fi() în ve i-natatea pun tului x:fi(x + δx) ≈ fi(x) + δx1 ·

∂fi∂x1

(x) + ...+ δxq ·∂fi∂xq

(x) (1.80)unde am ignorat termenii de ordin 2 ³i superior. Folosind operatorul gradient,▽fi(x) =

[∂fi∂x1

... ∂fi∂xq

]T , putem res rie e uaµia anterioar  astfel:fi(x+ δx) ≈ fi(x) +▽Tfi(x) · δx (1.81)unde δx =

[δx1 ... δxq

]T .Res riind e uaµia anterioar  pentru setul de fun µii f(x), obµinem:

f1(x + δx)...

fp(x+ δx)

≈

f1(x)...

fp(x)

+

▽Tf1(x)...

▽Tfp(x)

·

δx1

...δxq

(1.82)³i mai departe:

f1(x+ δx)...

fp(x+ δx)

≈

f1(x)...

fp(x)

+

∂f1∂x1

(x) ...∂f1∂xq

(x)

...∂fp∂x1

(x) ...∂fp∂xq

(x)

·

δx1

...δxq

(1.83) eea e poate � s ris pres urtat a:

f(x+ δx) ≈ f(x) + Jf (x) · δx (1.84)unde Jf (x) este Ja obianul lui f .Metoda lui Newton pentru sisteme p trati e de e uaµii neliniare.În ontinuare s  ne fo aliz m atenµia asupra azului în are p = q, az în aresistemul admite un num r �nit de soluµii. Dup  um am menµionat anterior,nu exist  o metod  general  de determinare a soluµiei, dar a easta poate �estimat  iterativ pornind de la e uaµia 1.84.S  presupunem   x reprezint  un estimat al soluµiei sistemului x. În lo s  determin m dire t valoarea a estuia, vom onsidera perturbaµia δx astfel

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 33în ât x ≃ x + δx. Algoritmul urm re³te s  modi� e iterativ valoarea luiδx astfel în ât s  ne apropiem ât mai mult de soluµia real  x a sistemului.A est lu ru se tradu e prin f(x+ δx) = 0, ³i astfel:

Jf (x) · δx = −f(x) (1.85)Da   Ja obianul lui f este nesingular, ³i astfel admite invers , atun i δx seobµine a soluµie a sistemului de q e uaµii u q ne unos ute rezultat. Pro esuleste repetat pân  ând se atinge un anumit riteriu de onvergenµ .A east  metod  onverge rapid doar da   estimatul se a�  aproape desoluµia real  având o rat  de onvergenµ  p trati   (eroarea la iteraµia k+ 1este proporµional  u p tratul erorii de la iteraµia anterioar  k). Da   soluµiade ple are este departe de soluµia real , agoritmul se dovede³te a � ine� ient.Metoda lui Newton pentru sisteme supra- onstrânse de e uaµii ne-liniare. În azul în are p > q se aut  un minim lo al al erorii p trati emedii, E = |f(x)|2. Metoda anterioar  poate � adaptat  în a east  situaµieobservând faptul   un astfel de minim este de fapt un zero al gradientuluierorii E. Notând u F(x) gradientul lui E, astfel:F(x) =

1

2· ▽E(x) (1.86)problema se transpune în determinarea soluµiei sistemului de q e uaµii ³i qne unos ute dat de:

F(x) = 0 (1.87)Conform metodei anterioare, da   not m u x un estimat al soluµiei sistemu-lui,  ut m s  determin m iterativ perturbaµia δx pentru are F(x+δx) = 0,³i astfel:JF(x) · δx = −F(x) (1.88)unde JF reprezint  Ja obianul lui F.S  exprim m e uaµia în fun µie de fun µiile fi u i = 1, ..., p. Da   deta-liem operatorul gradient, F(x) se s rie a �ind:

F(x) =1

2·

∂E

∂x1

(x)

...∂E

∂xq

(x)

(1.89)

unde eroarea p trati a medie poate � exprimat  a �ind E =

p∑

i=1

f 2i (x), eea

34 CUPRINS e ondu e la:F(x) =

p∑

i=1

∂fi∂x1

(x) · fi(x)

...p∑

i=1

∂fi∂xq

(x) · fi(x)

= JT

f (x) · f(x) =

F1(x)...

Fq(x)

(1.90)unde Jf(x) reprezint  Ja obianul lui f . Diferenµiind pe F obµinem Ja obianula estuia a �ind:

JF(x) =

∂F1

∂x1(x) ...

∂F1

∂xq

(x)

... ... ...∂Fq

∂x1(x) ...

∂Fq

∂xq

(x)

(1.91)Pentru o mai bun  lizibilitate, s  al ul m separat unul dintre termeni, deexemplu ∂F1

∂x1(x). Înlo uind pe F1 u p∑

i=1

∂fi∂x1

(x) · fi(x) obµinem:∂

∂x1

[p∑

i=1

∂fi∂x1

(x) · fi(x)]=

p∑

i=1

[∂2fi∂x2

1

(x) · fi(x) +∂fi∂x1

(x) · ∂fi∂x1

(x)

] (1.92)Folosind a ela³i raµionament, obµinem Ja obianul lui F de forma urm toare:

p∑

i=1

[

∂2fi

∂x2

1

(x) · fi(x) +

[

∂fi

∂x1

(x)

]2]

...

p∑

i=1

[

∂2fi

∂x1∂xq

(x) · fi(x) +∂fi

∂x1

(x) ·∂fi

∂xq

(x)

]

... ... ...p

∑

i=1

[

∂2fi

∂xq∂x1

(x) · fi(x) +∂fi

∂xq

(x) ·∂fi

∂x1

(x)

]

...

p∑

i=1

[

∂2fi

∂x2q

(x) · fi(x) +

[

∂fi

∂xq

(x)

]2]

Da   not m u Hfi(x) matri ea Hessiana a lui fi, ³i anume:Hfi(x) =

∂2fi∂x1∂x1

(x) ...∂2fi

∂x1∂xq

(x)

... ... ...∂2fi

∂xq∂x1(x) ...

∂2fi∂xq∂xq

(x)

(1.93)Ja obianul lui F poate � res ris a:JF(x) = JT

f (x) · Jf (x) +

p∑

i=1

fi(x) ·Hfi(x) (1.94)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 35iar e uaµia 1.88 devine:[JT

f (x) · Jf (x) +

p∑

i=1

fi(x) ·Hfi(x)] · δx = −JTf (x) · f(x) (1.95)Algoritmul Gauss-Newton. A east  metod  porne³te de asemenea de ladezvoltarea în serie Taylor a fun µiilor f (vezi e uaµia 1.80). Ca ³i în azulmetodei lui Newton, se porne³te de la un estimat al soluµiei sistemului, x³i se aut  determinarea unei perturbaµii δx astfel în ât x ≃ x + δx, unde

x reprezint  soluµia real  a sistemului. Spre deosebire de a easta, nu vom  uta s  minimiz m pe f(x+δx), i vom  uta iterativ pe δx e minimizeaz eroarea E(x + δx). Conform e uaµiei 1.84 se poate s rie:E(x+ δx) = |f(x + δx)|2 ≈ |f(x) + Jf (x) · δx|2 (1.96) eea e orespunde minimiz rii erorii p trati e medii în azul unui sistemliniar de e uaµii unde δx ⇔ x, −f(x) ⇔ y ³i Jf (x) ⇔ U (vezi e uatia 1.53din Se µiunea 1.3.1). Soluµia sistemului este astfel dat  de:

JTf (x) · Jf (x) · δx = −JT

f (x) · f(x) (1.97)Da   ompar m a east  e uaµie u e uaµia 1.95, se observ    metoda Gauss-Newton poate � onsiderat  o aproximare a metodei lui Newton pentru aretermenul aferent matri ei Hessiane este neglijat. A est lu ru este adev ratda   valorile reziduale ale fun µiilor fi sunt mi i.Algoritmul Levenberg-Marquardt. O alt  variant  onst  în modi� areae uaµiei 1.97 în felul urm tor:[JTf (x) · Jf (x) + µ · Iq

]· δx = −JT

f (x) · f(x) (1.98)unde µ este un parametru de reglaj e poate varia de la o iteraµie la alta. Seobserv    termenul aferent matri ei Hessiene este de a east  dat  aproximat u o matri e diagonal  onstant . A est algoritm are o onvergenµ  similar metodei Gauss-Newton dar este de regul  mai robust putând � folosit hiarda   matri ea Ja obian  a lui f nu are rang maximal ³i da   pseudo-inversaa esteia nu poate � al ulat .1.3.2 O abordare liniar  a problemei alibr rii amereiRevenind la problema alibr rii geometri e a amerei, s  presupunem  avem la dispoziµie o imagine de alibrare de forma elei prezentate în Figura

36 CUPRINS1.13, în are sunt unos ute "a priori" poziµiile a n pun te de oordonateomogene Pi, u i = 1, ..., n. A este pun te sunt observate în planul imaginiiprin intermediul pun telor pi de oordonate (u′i, v

′i) (vezi e uaµia 1.47 dinSe tiunea 1.2.3). C ut m s  determin m, onform observaµiilor, parametriiintrinse i ³i extrinse i ai amerei. Pro esul de alibrare se realizeaz  de regulaîn dou  etape distin te:

• determinarea matri ei M de dimensiune 3 × 4 a transform rii de per-spe tiv  de�nit  în e uaµia 1.50;• estimarea parametrilor intrinse i ( oe� ienµii de s alare α ³i β; de ala-jele u0 ³i v0; unghiul de în linare al axelor amerei θ) ³i respe tiv extrin-se i ( ele trei unghiuri ³i trei parametri de translaµie e de�nes poziµiasistemului amerei relativ la sistemul lumii, vezi Se µiunea 1.2.3).Estimarea matri ei de proie µie MNotând u mj

T (j = 1, ..., 3) liniile matri ei M , e uaµia 1.49 poate � ex-primat  pentru �e are pere he de pun te {Pi; (u′i, v

′i)} (i = 1, ..., n) în felulurm tor:

(m1T − u′

i ·m3T ) · Pi = 0, (m2

T − v′i ·m3T ) · Pi = 0 (1.99)Punând ap la ap toate e uaµiile aferente elor n pun te, obµinem un sistemliniar omogen u 2 · n e uaµii e poate � s ris matri eal a:

P ·m = 0 (1.100)unde P =

P T1 0T −u′

1 · P T1

0T P T1 −v′1 · P T

1

... ... ...P Tn 0T −u′

n · P Tn

0T P Tn −v′n · P T

n

iar m =

m1

m2

m3

.Da   n ≥ 6 atun i se poate determina soluµia sistemului în sensul elormai mi i p trate, minimizând eroarea |P ·m|2 ³i având onstrângerea |m| = 1(soluµia �ind dat  de ve torii proprii, vezi Se µiunea 1.3.1).Estimarea parametrilor intrinse i ³i extrinse iAvând determinat  matri ea M , pe baza valorilor a esteia vom determinaîn ontinuare valorile parametrilor intrinse i ³i respe tiv extrinse i. Pentrua easta, unos ând originea valorilor din M ³i folosind e uaµia 1.47 putems rie în azul general faptul  :

M = ρ ·[A b

]= K ·

[R t

] (1.101)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 37unde ρ reprezint  un fa tor de s alare ne unos ut e a fost introdus pentrua asigura faptul   |M | = |m| = 1, A =[a1

T a2T a3

T]T (unde aj, j =

1, ..., 3, reprezint  liniile matri ei) iar b este un ve tor u sens de translaµie.Se observ  imediat faptul  :ρ ·

a1T

a2T

a3T

=

α · r1T − α · ctan(θ) · r2T + u0 · r3Tβ

sin(θ)· r2T + v0 · r3T

r3T

(1.102)unde rj

T , u j = 1, ..., 3, reprezint  liniile matri ei de rotaµie R, R =[r1

T r2T r3

T]T .În ele e urmeaz  pentru a fa ilita al ulele vom tre e la reprezentareave torial , al ulele �ind reprezentate pe baza de produse s alare (·) ³i ve -toriale (×). Din pun t de vedere ve torial, liniile lui R de�nes un sistem de oordonate ortonormat, astfel |rj| = 1 iar rj · rk = 0 pentru j 6= k ³i 1 pentru

j = k.Din e uaµia 1.102 rezult  imediat faptul  : ρ · a1 = α · r1 − α · ctan(θ) ·r2 + u0 · r3, ρ · a2 = β

sin(θ)· r2 + v0 · r3 ³i ρ · a3 = r3, eea e ne permite s  al ul m valoarea lui ρ a �ind:

ρ = ± 1

|a3|(1.103)Cal ulând valoarea lui ρ · a1 · r3 obµinem:

u0 = ρ · a1 · r3 = ρ2 · (a1 · a3) (1.104)³i în mod similar pentru ρ · a2 · r3 obµinem:v0 = ρ · a2 · r3 = ρ2 · (a2 · a3) (1.105)Mai departe al ul m produsele ve toriale ρ ·a1×r3 ³i ρ ·a2×r3 ³i obµinem:

ρ2 · (a1×a3) = −α ·r2−α · ctan(θ) ·r1, ρ2 · (a2×a3) =β

sin(θ)·r1 (1.106)unde am folosit observaµiile   rj × rj = 0 ³i r1 × r3 = −r2, r2 × r3 = r1 onform onvenµiei mâinii drepte (vezi Figura 1.5). Cal ulând modulele îne uaµia anterioar , obµinem:

ρ2 · |a1 × a3| =√

α2 + α2 · ctan2(θ) =|α|

sin(θ)(1.107)

ρ2 · |a2 × a3| =|β|

sin(θ)(1.108)

38 CUPRINSunde sin(θ) este onsiderat pozitiv deoare e unghiul θ este de regul  în ve- inatatea lui π/2. Mai departe onsiderând faptul   semnul parametrilorde s alare α ³i β este unos ut iniµial, a esta poate � onsiderat a � pozitiv,astfel:α = ρ2 · |a1 × a3| · sin(θ) (1.109)β = ρ2 · |a2 × a3| · sin(θ) (1.110)Realizând produsul s alar dintre e uaµiile 1.106 obµinem:

ρ4 · (a1 × a3) · (a2 × a3) = −α · β · cos(θ)sin2(θ)

=

−ρ4 · |a1 × a3| · |a2 × a3| · cos(θ) (1.111)de unde rezult  unghiul θ:cos(θ) = −(a1 × a3) · (a2 × a3)

|a1 × a3| · |a2 × a3|(1.112)Tot din e uaµiile 1.106 rezult  faptul  :

r1 =sin(θ)

β· ρ2 · (a2 × a3) =

a2 × a3

|a2 × a3|(1.113)iar r2 se obµine din r1 ³i r3 a:

r2 = r3 × r1 (1.114)unde r3 a fost obµinut iniµial a �ind r3 = ρ · a3.În a est pun t, pentru a determina omplet parametrii extrinse i maitrebuie s  determin m ve torul de translaµie t. A esta este obµinut u³or dine uaµia ρ · b = K · t (vezi e uaµia 1.42) a �ind:t = ρ ·K−1 · b (1.115)1.3.3 Calibrarea amerei luând în al ul distorsiunileradialePân  în a est moment al expunerii, am onsiderat faptul   amera estee hipat  u lentile perfe te, erorile introduse de a estea �ind neglijate. S  onsider m a um una dintre ele mai fre vente perturbatii ³i anume distor-siunea radial . În a est az, gradul de distorsiune este dependent de distanµadintre axa opti   ( entrul opti al imaginii) ³i pun tul din imagine onsiderat.Un exemplu este ilustrat în Figura 1.15.

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 39Figura 1.15: Exemple de distorsiuni radiale, prima imagine - efe t de butoi,a doua imagine - efe t de pern ; a treia imagine prezint  un az on ret dedistorsiune ³i ore µia a esteia în ultima imagine folosind [2℄.În ele e urmeaz  vom onsidera faptul   entrul imaginii este unos- ut "a priori", astfel în ât s  putem onsidera u0 = v0 = 0. Ca ³i în azulpre edent, vom onsidera unos ute poziµiile a n pun te de oordonate omo-gene Pi, u i = 1, ..., n, e sunt observate în planul imaginii prin intermediulpun telor pi de oordonate (u′

i, v′i). E uaµia 1.47 se poate res rie µinând ontde distorsiunile radiale în felul urm tor:.

p =1

z·

1λ

0 00 1

λ0

0 0 1

·M · P (1.116)unde M este matri ea de proie µie iar λ = f(d2) este o fun µie polinomial de distanµa dintre entrul opti al imaginii (în a est az am onsiderat  a esta este identi u entrul planului imaginii) ³i pixelul p, notat  d.Pentru marea parte a apli aµiilor este su� ient s  folosim fun µii polino-miale de grad redus, λ putând � exprimat a �ind:

λ = 1 +

q∑

p=1

kp · d2·p (1.117)unde de regul  q ≤ 3 iar kp, p = 1, ..., q reprezint  oe� ienµii de distorsiune(de regul  de valori mi i).S  exprim m în ele e urmeaz  valoarea lui d2 în fun µie de oordonateledin planul imaginii, (u′, v′). Considerând faptul   exprimat în oordonateleplanului normal, (u, v) (vezi Figura 1.11), d2 = u2 + v2 ³i folosindu-ne maideparte de e uaµiile 1.41 de tre ere de la planul normal la planul imaginii,putem s rie:v =

v′ · sin(θ)β

, u =u′

α+

v′ · cos(θ)β

(1.118)

40 CUPRINS³i mai departe:d2 =

u′2

α2+

v′2

β2+ 2 · u

′ · v′α · β · cos(θ) (1.119)Exprimând pe d2 în fun µie de (u′, v′) ne permite de fapt s  exprim m pe λîn fun µie de oordonatele din planul imaginii. Astfel e uaµia 1.116 devineun sistem u q ( oe� ienµii de distorsiune) + 11 (parametri intrinse i ³i ex-trinse i) parametri, puterni neliniar. Cu toate   este posibil  rezolvareaa estuia u metodele dis utate în Se µiunea 1.3.1, este mai avantajoas  oabordare în doi pa³i: eliminarea din 1.116 a parametrului λ pentru liniariza-rea problemei estim rii a 9 dintre parametrii amerei urmat  de rezolvareaneliniar  a restului de q + 2 parametri dup  um urmeaz .Estimarea matri ei de proie µie MVom în er a astfel liniarizarea e uaµiilor pentru determinarea primilor 9 pa-rametri ai amerei. Pentru a easta ne vom folosi de observaµia   de faptdistorsiunea radial  s himb  distanµa dintre pun te ³i entrul imaginii darnu modi�   dire µia ve torului e fa e leg tura între a estea [3℄. S  detalieme uaµia 1.116 astfel:

u′

v′

1

=

1

z·

1λ

0 00 1

λ0

0 0 1

·

m1T · P

m2T · P

m3T · P

(1.120)unde mi

T , i = 1, ..., 3, reprezint  liniile matri ei M . S  eliminam a treiadimensiune, astfel:[u′

v′

]=

1

λ · z · I2 ·[m1

T · Pm2

T · P

] (1.121)Tinând ont de faptul   z = m3T · P putem s rie  :

λ ·[u′

v′

]=

m1T · P

m3T · P

m2T · P

m3T · P

(1.122)³i mai departe:

v′ · (m1T · P )− u′ · (m2

T · P ) = 0 (1.123)Înlo uind a um valorile oordonatelor elor n seturi de pun te, {Pi; (u′i, v

′i)}(i = 1, ..., n) obµinem n e uaµii liniare u 8 parametri daµi de liniile m1

T ³irespe tiv m2T , astfel:

Q · n = 0 (1.124)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 41unde Q =

v′1 · P T1 −u′

1 · P T1

... ...v′n · P T

n −u′n · P T

n

³i n =

[m1

m2

].Da   n ≥ 8 evident sistemul este supra- onstrâns iar soluµia a estuiapoate � aproximat  în sensul elor mai mi i p trate.Estimarea parametrilor intrinse i ³i extrinse iCa ³i în azul liniar, vom s rie:ρ ·

[A b

]= M (1.125)unde ρ reprezint  un fa tor de s alare ne unos ut e a fost introdus pentrua asigura faptul   |M | = |m| = 1, A =

[a1

T a2T a3

T]T (unde aj,

j = 1, ..., 3, reprezint  liniile matri ei) iar b =[b1 b2 b3

]T este un ve tor u sens de translaµie.Adaptând la faptul   pân  în a est pun t unoa³tem doar prima ³i adoua linie a matri ei M (³i anume m1T ³i m2

T ), vom res rie e uaµia doar îna est az:ρ ·

[ [a1

T

a2T

] [b1b2

] ]=

[ [α · r1T − α · ctan(θ) · r2T

β

sin(θ)· r2T

] [α · tx − α · ctan(θ) · ty

β

sin(θ)· ty

] ] (1.126)unde r1T ³i r2T sunt prima ³i a doua linie a matri ei de rotaµie R iar tx ³i tysunt primii doi oe� ienµi de translaµie (vezi e uaµia 1.50).În ele e urmeaz  pentru a fa ilita al ulele vom tre e la reprezenta-rea ve torial , al ulele �ind reprezentate pe baz  de produse s alare (·) ³ive toriale (×). Astfel putem s rie:ρ · a1 = α · r1 − α · ctan(θ) · r2, ρ · a2 =

β

sin(θ) · r2(1.127)Cal ulând modulul de o parte ³i de alta ³i tinand ont de observaµia   ve torii

ri (i = 1, ..., 3) �ind ve torii unei rotaµii de�nes un sistem ortonormat iarunghiul θ este în ve inatatea lui π/2 obµinem:ρ · |a1| = ± α

sin(θ), ρ · |a2| = ± β

sin(θ)(1.128)³i astfel obµinem valorile lui α ³i β:

α = ±ρ · |a1| · sin(θ), β = ±ρ · |a2| · sin(θ) (1.129)

42 CUPRINS³i astfel β

α=

|a2||a1|

. Mai departe, putem obµine unghiul θ da   realiz mprodusul s alar între e uaµiile 1.127 ³i ne folosim de faptul   r1 · r2 = 0, eidoi ve tori �ind ortogonali, astfel:ρ2 · a1 · a2 = − α · β

sin(θ) · sin(θ) · cos(θ) = −|a1| · |a2| · cos(θ) (1.130)de unde rezult :cos(θ) = − a1 · a2

|a1| · |a2|(1.131)În ontinuare s  al ul m ve torii r1 ³i r2. Din e uaµia 1.127 rezult  imediatfaptul  :

r2 = ρ · a2 ·sin(θ)

β= ± a2

|a2|(1.132)³i înlo uind în prima relaµie obµinem:

r1 =ρ

α· a1 ±

cos(θ)

sin(θ)· a2

|a2|= ± 1

sin(θ)·[a1

|a1|+

a2

|a2|· cos(θ)

] (1.133)În �nal, r3 se obµine a produs ve torial r3 = r1 × r2 eea e ne permite s determin m omplet matri ea de rotaµie R.Revenind la e uaµia 1.126 obµinem:ρ · b1 = α · tx − α · ctan(θ) · ty, ρ · b2 =

β

sin(θ)· ty (1.134)de unde obµinem imediat:

ty = ± b2|a2|

(1.135)³itx =

ρ

α· b1 +

cos(θ)

sin(θ)· ty = ± 1

sin(θ)

[b1|a1|

+b2|a2|

· cos(θ)] (1.136)În a est pun t, f r  s  folosim onstrângeri suplimentare nu putem de-termina parametrul tz ³i respe tiv pe ρ. Pentru a easta trebuie s  revenimla sistemul din e uaµia 1.122. Exprimând �e are oordonat , obµinem urm -toarele e uaµii:

(m1T − λ · u′ ·m3

T ) · P = 0

(m2T − λ · v′ ·m3

T ) · P = 0 (1.137)unde valorile lui m1T ³i m2

T sunt unos ute, iar m3T este dat de e uaµia1.50, m3

T =[r3

T tz] unde r3 este de asemenea unos ut.

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 43Da   înlo uim în expresia lui d2 din e uaµia 1.119 pe α, β ³i cos(θ) obµi-nem:d2 =

u′2

ρ2 · |a1|2 · sin2(θ)+

v′2

ρ2 · |a2|2 · sin2(θ)+

2 · u′ · v′ · a1 · a2

ρ2 · |a1|2 · |a2|2 · sin2(θ)=

|u′ · a2 − v′ · a1|2ρ2 · |a1 × a2|2

(1.138)Înlo uind a east  valoare în valoarea lui λ din sistemul de e uaµii 1.137 ³i onsiderând toate ele n pun te vom obµine un sistem de e uaµii neliniar dene unos ute: ρ, tz ³i kp (p = 1, ..., q) oe� ienµii de distorsiune. A esta poate� rezolvat folosind metodele prezentate anterior. Fiind vorba de o estimareiterativ , este ne esar  stabilirea unor estimate iniµiale ale soluµiilor. În azulρ ³i tz, a e³tia pot � determinaµi iniµial în azul absenµei distorsiunilor radiale,³i anume λ = 1. Dat �ind faptul   valorile kp sunt mi i, o estimare iniµial a a estora poate porni de la valoarea 0.1.3.4 Exemplu pra ti de metod  de alibrareÎn ele e urmeaz  vom detalia un exemplu on ret de alibrare a amerei ³ianume metoda propus  în [3℄ e ofer  o pre izie a m sur torilor de pân  la1/4000. Pentru exempli� are vom folosi notaµiile urm toare:

• P =[xi yi zi

]T (i = 1, ..., n) reprezint  oordonatele pe ele treiaxe a n pun te din lumea real  (W ),• p =

[ui vi

]T reprezint  oordonatele proie µiei pun telor Pi în pla-nul imaginii (sistemul (C), de regul  u este omponenta pe orizontal axa �ind orietat  spre dreapta iar v este omponenta pe verti al  axa�ind orientat  în sus),• a =

[ri ci

]T reprezint  un pixel al matri ei imaginii identi� at prinnum rul liniei r ³i respe tiv num rul oloanei c (sistemul de axe folositla prelu rarea de imagini onsider  axa liniilor verti al  ³i orientat  înjos în timp e axa oloanelor este orizontal  ³i indi   spre dreapta),• (u0, v0) orespund oordonatelor pun tului de interse µie al axei opti e u planul imaginii ( entrul opti ³i indi   de alajul planului imaginiifaµ  de a est pun t),• {dx, dy} reprezint  ei doi fa tori de s al  e de�nes dimensiunea real a pixelilor (l µime, în lµime),

44 CUPRINS• τ reprezint  fa torul de distorsiune al ratei de aspe t al imaginii;• f reprezint  distanµa fo al  �ind distanµa dintre originea sistemului amerei ³i planul imaginii,• k1 reprezint  oe� ientul de distorsiune radial ,• t =

[tx ty tz

]T reprezint  translaµiile sistemului lumii reale (W )faµ  de sistemul amerei (C),• R =

r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

reprezint  matri ea de rotaµie e des rie rotaµiasistemului lumii (W ) faµ  de sistemul amerei (C).Dup  um am menµionat în se µiunile anterioare, pro esul de alibrare onst  în determinarea parametrilor intrinse i ³i extrinse i ai amerei. În ele e urmeaz , vom presupune   parametrii u0, v0, dx, dy ³i τ sunt unos uµipentru modelul de amer  folosit, a e³tia �ind parametri onstru tivi.Leg tura dintre oordonatele reale (u, v) din planul imaginii ³i poziµiapixelului în imagine (r, c, ), poate � exprimat  pe baza parametrilor intrinse i a �ind:u = τ · dx · (c− u0) (1.139)v = −dy · (r − v0) (1.140)AlgoritmAdoptând a este onsideraµii, algoritmul de alibrare poate � des ris astfel:1. pe baza elor n pere hi de pun te {Pi(xi, yi, zi);pi(ui, vi)} (de regul 

n ≥ 5) de�nim urm torul sistem de e uaµii:A · µ = b (1.141)

v1 · x1 v1 · y1 −u1 · x1 −u1 · y1 v1... ... ... ... ...

vn · xn vn · yn −un · xn −un · yn vn

·

r11

tyr12

tyr21

tyr22

tytx

ty

=

u1u2u3...

u5

(1.142)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 45Folosind metode spe i� e rezolv m sistemul de e uaµii obµinând astfelvalorile ve torului µ.2. notând u U = µ21 + µ2

2 + µ23 + µ2

4 al ul m valoarea lui ty astfel:t2y =

U−√

U2−4·(µ1·µ4−µ2·µ3)2

2·(µ1·µ4−µ2·µ3)2daca (µ1 · µ4 − µ2 · µ3) 6= 0

1µ2

1+µ2

2

daca (µ21 + µ2

2) 6= 01

µ2

3+µ2

4

daca (µ23 + µ2

4) 6= 0

(1.143)De observat faptul   semnul lui ty nu poate � determinat în a estpun t.3. se onsider  ty pozitiv ³i se al uleaz :r11 = µ1 · ty (1.144)r12 = µ2 · ty (1.145)r21 = µ3 · ty (1.146)r22 = µ4 · ty (1.147)tx = µ5 · ty (1.148)4. pentru a determina semnul lui ty se onsider  unul dintre ele n pun tea  rui oordonate sunt ât mai dep rtate de entrul imaginii, �e

P (x, y, z) a el pun t. Cal ul m:ξx = r11 · x+ r12 · y + tx (1.149)ξy = r21 · x+ r22 · y + ty (1.150)Da   ξx nu are a ela³i semn u u, sau da   ξy nu are a ela³i semn u

v atun i se s himb  semnul lui ty ³i orespunz tor se re al uleaz  r11,r12, r21, r22 ³i tx.5. al ul m parametrii de rotaµie r ma³i astfel:

r13 =√1− r211 − r212 (1.151)

r23 =√1− r221 − r222 (1.152)

r31 =1− r211 − r12 · r21

r13(1.153)

r32 =1− r21 · r12 − r222

r23(1.154)

r33 =√1− r31 · r13 − r32 · r23 (1.155)

46 CUPRINSDe observat faptul   în a est pun t semnul valorilor lui r23, r31 ³i r32nu poate � determinat ore t. Da   r11 · r21 + r12 · r22 este o valoarepozitiv  atun i se va s himba semnul lui r23. Pentru validarea elorlaltedou  valori avem nevoie de valoarea lui f .6. de�nim sistemul urm tor:A′ · v = b′ (1.156)

r21 · x1 + r22 · y1 + ty v1... ...

r21 · xn + r22 · yn + ty vn

·

[f

tz

]=

(r31 · x1 + r32 · y1) · v1...

(r31 · xn + r32 · yn) · vn

(1.157)din are obµinem un estimat al lui f ³i tz. Da   f < 0 atun i s himb msemnul parametrilor r13, r23, r31, r32, f ³i tz.7. al ul m modul de modi� are al oordonatelor datorit  distorsiuniiradiale. Vom onsidera   a easta poate � modelat  u un singur pa-rametru de distorsiune k1 astfel:

u = u · (1 + k1 · d2) (1.158)v = v · (1 + k1 · d2) (1.159)unde (u, v) sunt oordonatele reale obµinute în urma distorsiunii iar deste unos ut �ind distanµa radial  de la pun tul onsiderat la entrulimaginii. Se obµine astfel un sistem neliniar de n e uaµii:

vi · (1 + k1 · d2) = f · r21 · xi + r22 · yi + r23 · zi + tyr31 · xi + r32 · yi + r33 · zi + tz

(1.160) u i = 1, ..., n a  rui rezolvare ondu e la estimarea valorilor lui f , tz³i k1.Exemplu numeri S  onsider m urm torul exemplu numeri pra ti [5℄: avem la dispoziµie oordonatele reale a 5 pun te, Pi(xi, yi, zi) (i = 1, ..., 5) ³i respe tiv proie µiilea estora în planul imaginii, pi(ui, vi). Valorile sunt ilustrate în Tabelul 1.1.În ele e urmeaz  vom folosi algoritmul propus în [3℄ pentru a determinaparametrii amerei e in lud poziµia, orientarea ³i distanµa fo al . Astfel,matri ea A este dat  de:A =

0.0 0.0 0.0 2.89 0.010.0 7.5 −17.32 −12.99 1.00.0 0.0 −17.32 −8.66 0.05.0 10.0 0.0 0.0 1.0

−5.0 0.0 0.0 0.0 −1.0

(1.161)

1.3. CALIBRAREA GEOMETRIC� A CAMEREI 47Tabela 1.1: Exemplu de date de alibrare.i xi yi zi ui vi1 0.0 5.0 0.0 -0.58 0.02 10.0 7.5 0.0 1.73 1.03 10.0 5.0 0.0 1.73 0.04 5.0 10.0 0.0 0.0 1.05 5.0 0.0 0.0 0.0 -1.0³i b:

b =

−0.581.731.730.00.0

(1.162)de unde obµinem ve torul µ a �ind:µ =

−0.170.00.0

−0.20.87

(1.163)Mai departe obµinem:U = 0.07, t2y = 25 (1.164)Folosind a este valori obµinem oe� ienµii de rotaµie ³i tx:r11 = −0.87 (1.165)

r12 = 0.0 (1.166)r21 = 0.0 (1.167)

r22 = −1.0 (1.168)tx = 4.33 (1.169)Pentru estimarea valorilor ξx ³i ξy vom folosi pun tul P2(10.0, 7.5, 0.0) ³irespe tiv p2(1.73, 1.0). Astfel ξx = −4.33 ³i ξy = −2.5. Cum obµinem semne

48 CUPRINSdiferite faµ  de u2 ³i v2 vom s himba semnul lui ty = −5 ³i astfel re al ul m:r11 = 0.87 (1.170)r12 = 0.0 (1.171)r21 = 0.0 (1.172)r22 = 1.0 (1.173)

tx = −4.33 (1.174)Cal ul m în ontinuare restul de parametri de rotaµie:r13 = 0.5 (1.175)r23 = 0.0 (1.176)r31 = 0.5 (1.177)r32 = 0.0 (1.178)r33 = 0.87 (1.179)Valoarea lui r11 · r21 + r12 · r22 = 0 ³i astfel l s m nes himbat semnul lui r23.Mai departe form m al doilea sistem de e uaµii unde A′ este:

A′ =

0.0 0.02.5 −1.00.0 0.05.0 −1.0

−5.0 1.0

(1.180)iar b′ este:b′ =

0.05.00.02.5

−2.5

(1.181)de unde obµinem:f = −1.0, tz = −7.5 (1.182)Cum f < 0 vom s himba semnul lui r13 = −0.5, r23 = 0.0, r31 = −0.5,

r32 = 0.0, f = 1 ³i tz = 7.5.În a est exemplu am presupus   nu exist  distorsiuni radiale astfel al- ulele se în heie ai i.

Bibliogra�e[1℄ David A. Forsyth, J. Pon e, "Computer Vision: A Modern Approa h",Prenti e Hall, ISBN-10: 0130851981, 2002.[2℄ R. Hartley, A. Zisserman, "Multiple View Geometry in Computer Vi-sion", 2nd Ed., Chap. 7, Cambridge University Press, ISBN: 0521540518,2004.[3℄ R.Y. Tsai, "A Versatile Camera Calibration Te hnique for High-A ura y 3D Ma hine Vision Metrology using O�-the-Shelf TV Came-ras", IEEE Journal of Roboti s and Automation, RA-3(4), pp. 323-344,1987.[4℄ D.H. Ballard, C.M. Brown, "Computer Vision", Prenti e-Hall, ISBN0-13-165316-4, 1982.[5℄ L.G. Shapiro, G. Sto kman, "Computer Vision", Prenti e-Hall, ISBN978-0130307965, 2000.[6℄ R. Szeliski, "Computer Vision: Algorithm and Appli ations", Springer,ISBN 978-1-84882-934-3, 2010.[7℄ O. Faugeras, Q.-T. Luong, T. Papadopoulo, "The Geometry of MultipleImages", MIT Press, ISBN 0-262-56204-9, 2001.

49