Capitulo 1 · 2012. 10. 23. · Capitulo 1: RAZONES Y PROPORCIONES BIMESTRE I : 01 de marzo al 04...
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Capitulo 1:
RAZONES Y PROPORCIONES
BIMESTRE I : 01 de marzo al 04 de mayo
Semana Tema Fecha
2
Unidad 1: Razones y Proporciones Razones Razón Aritmética y Geométrica
Lu: 05/03
Aplicaciones Ju: 08/03
3
Series de Razones Equivalentes Propiedades - Aplicaciones
Lu: 12/03
Propiedades - Aplicaciones Ju: 15/03
4
Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica
Lu: 19/03
Aplicaciones Ju: 22/03
5
Proporciones Proporción Aritmética y Geométrica
Lu: 26/03
Aplicaciones Ju: 29/03
1
RAZONES 1.DEFINICIÓN: Se llama RAZON o RELACION a la comparación de dos cantidades por sustracción o división.
1.1 RAZON ARITMETICA – Por Diferencia – Consiste en determinar en cuantas unidades una de las cantidades excede a la otra. Así: consecuente
a – b = r razón aritmética antecedente
Significa que: a es mayor que b, en r unidades b es menor que a, en r unidades a excede a b, r unidades b es excedido por a, r unidades GURPO A : Definición Formar la razón aritmética con los siguientes nume-
ros y escribir las frases que la interpretan: 1) Para 6 y 2 :
Solución 1o) Datos: 6 y 2 2o) Razón Aritmética:
6 – 2 = 4 3o)Significa que: 1) 6 es mayor que 2, en 4 unidades 2) 2 es menor que 6, en 4 unidades 3) 6 excede a 2 , 4 unidades 4) 4 es excedido por 6, 2 unidades
2) Para 12 y 3 :
Solución
1.2 RAZON GEOMETRICA – Por Cociente – Consiste en determinar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. Así: antecedente
consecuente
Significa que: a contiene a b, k veces b está contenido en a, k veces GRUPO A : Definición Formar la razón aritmética con los siguientes nume-
ros y escribir las frases que la interpretan: 1) Para 6 y 2 :
Solución 1o) Datos: 6 y 2 2o) Razón Geométrica:
3o)Significa que:
1) 6 contiene a 2, 3 veces
2) 2 está contenido en 6, 3 veces
2) Para 12 y 3 : Solución
kb
a razón geométrica
32
6
2
3) Para 27 y 9 : Solución
1o) Datos: 4) Para 36 y 6 :
Solución 1o) Datos:
3) Para 27 y 9 : Solución
1o) Datos: 4) Para 36 y 6 :
Solución 1o) Datos:
3
GRUPO B: Consolidación de la Definición En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele-mentos que faltan:
1) — = 3 2) — = 5 3) 17 — = 4) — 5 = 5) — = 7
GRUPO B: Consolidación de la Definición En los siguientes ejercicios colocar y nombrar los ele-mentos que faltan:
1) 2) 3) 4) 5)
5
7
24
8
5
4
GRUPO C: Enunciados de Razones Geométricas
1)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 2 a 5 Interpretación:
La edad de A es tan grande como 2 La edad de B es tan grande como 5 Simbólicamente: Se Lee:
“a es a b como 2 es a 5”
En Particular:
En General:
Otras formas de enunciar: Las edades de A y B están la razón de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de 2 a 5 La razón de las edades de A y B es de 2 a 5 La relación de las edades de A y B es de La razón de las edades de A y B es 1)Las edades de A y B están la relación de 2 a 5, si actualmente A tiene 30 años, cuantos años tiene B?
Solución 1o)Datos:
A = 30
2o) Por teoría y dato:
3o)Piden. B tiene 75 años
2)Las edades de Juan y Toño están la relación de 3
a 7, si actualmente Toño tiene 42 años, ¿cuántos años tiene Juan?
Solución 1o)Datos:
....20
8
15
6
10
4
5
2
B
A
5
2
5
2
A tiene 2k años
B tiene 5k años
2)Enunciado: Las edades de A y B están la relación de 3 a 7
5
2
B
A
5
2
B
A
15k
k230
k5B
k2A
5
2
B
A
k5B
k2A
5
3)Enunciado: Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7 Simbólicamente: Se Lee:
3)Las velocidades de dos autos M y P están la relación de 6 a 7, si la suma de las velocidades de ambos es 390 km/h . ¿A qué velocidad va cada uno?.
Solución 1o)Datos:
4)Enunciado: Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. Simbólicamente: Se Lee:
4)Lo que gana y lo que gasta una persona están en la razón de 11 a 8. ¿Cuánto gana esa persona si lo que gasta es 960 soles?
Solución 1o)Datos:
6
GRUPO D: Aplicaciones Típicas 1)Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a
9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan?. T1
Solución 1o)Datos:
y J + R = 84
2o)Por teoría y dato:
3o)Piden: Juan tiene 30 años
3)La razón geométrica de las edades de Elena y Luis es
8/5 y su diferencia es 12. ¿Cuál es la edad de Elena?
Solución 1o)Datos:
2)Las canicas que tienen Pepo y Toño están en la rela-
ción de 5 a 2 y juntan las de ambos son 70 canicas.
Hallar cuantas canicas tiene cada uno.
Solución 1o)Datos:
4)Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferen-
cia de ellos es 160. Hallar el menor. T2
Solución 1o)Datos:
k9R
k5J
9
5
R
J
6k
84k14
84k9k5
84RJ
7
5)La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado?
Solución 1o)Datos:
7)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu- lo es 2 : 5 . Si la diferencie entre la longitud de sus lados es 24 cm. ¿Cuánto mide el área del rectángulo?.
Solución
1o) Datos-Figura:
6)La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 3 : 5 si la velocidad del tren es de 400 km/h menos que la del avión. ¿Cuál es la velocidad del avión?.
Solución 1o)Datos:
8)La razón de las longitudes de los lados de un rectángu lo es 3 : 4 . Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
Solución
1o) Datos-Figura:
:
8
9)De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres, si del colegio hay 120 varones. ¿Cuántos alumnos son en total?
Solución 1o)Datos:
y H = 120
2o)Por teoría y dato:
H + M = 13k 120 + 3k = 13k 120 = 10k k = 12 M = 36
3o)Piden: Hay en total 156 alumnos
11)Una elección fue ganada por una votación de 5 a 3. ¿Cuántas personas del total están en contra del candidato ganador, si votaron 800 personas?
Solución 1o)Datos:
10)De cada 10 autos en una playa de estacionamiento, 4 son Toyota y el resto de otras marcas, si en dicha pla ya hay 60 Toyotas. ¿Cuántos autos hay en total?.
Solución 1o)Datos:
12)Dos amigos deben repartirse $ 54 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor?
Solución 1o)Datos:
k13MH
k3M
13
3
MH
M
9
13)Mario tiene 38 años y Julio 24 años. ¿Hace cuánto sus edades fueron como 2 a 1?. T1
Solución 1o)Datos:
2o)Por condición del problema:
3o)Piden: Hace 12 años
15)Dentro de cuántos años, la relación de las edades de dos personas será 6/5. Si sus edades actuales son 30 y 20 años. T1
Solución 1o)Datos:
14)Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años
respectivamente. Dentro de cuántos años sus edades
estarán en la relación de 7 a 6.
Solución 1o)Datos:
16)Mona tiene 18 años y Jano 12 años. ¿Dentro de cuan tos años sus edades estarán en la relación de 4 a 3 ?.
Solución 1o)Datos:
:
24x24:J
38x38:F
ActualxPasado
12x
3648xx2
x248x38
)x24(2x38
1
2
x24
x38
10
GRUPO E: Problemas Audaces 1)En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres?. T2
Solución 1o)Datos:
y M — H = 24
2o)Por teoría y dato: M — H = 24
5k — 3k = 24 2k = 24
k = 12
3o)Reemplazo en 1o):
H = 36 M = 60
4o)Se retiran 33 mujeres: M = 60 — 33 M = 27 5o)Piden:
3)A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombres y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, cuál es la nueva razón entre hombres y mujeres?.
Solución 1o)Datos:
2)En una granja el número de pollos es al de gallinas como 9 es a 5 siendo su diferencia 120. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 30 gallinas?.
Solución 1o)Datos:
4)En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay
3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva
relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres.
¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión?
Solución 1o)Datos:
:
k8MH
k3H
8
3
MH
H
9
20
M
H
27M
60H
11
5)La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a Pedro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan?. T2
Solución 1o)Datos:
2o)Variación: Actual Le da 30 J = 17k 17k - 30 P = 8k 8k + 30 3o)Consecuencia: P + 63 = J - 63
8k + 63 = 17k — 63k
63 + 63 = 17k — 8k
126 = 9k
k = 14
4o)Piden: Juan tiene 238 soles
7)La señora Linda le dice a su esposo: “Si me quitára 5 añi tos y te los pusiera a tí, ambos tuviéramos las mismas edades”. Sabiendo que sus edades están en la relación de 4 a 3, ¿cuántos años tiene cada uno?.
Solución 1o)Datos:
6)Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. T2
Solución 1o)Datos:
8)El dinero que tiene Andrea es al dinero que de Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?
Solución 1o)Datos:
:
k17J
k8P
17
8
J
P
12
9La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?
Solución 1o)Datos:
2o)Variación: + x Actual Futuro P = 5k 5k + x L = 6k 6k + x
3o)Consecuencia:
4o)Piden:
11)Un campamento esta dividido en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuál es la población del campamento?.
Solución 1o)Datos:
2o)Variación: + x Original Pasan 60 A = 7k 7k - 60 B = 3k 3k + 60
3o)Consecuencia y 2o) :
4o)Piden: reemplazo en 1o):
La población es de 150 personas
10)En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsidera-
ción se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en con-tra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones
Solución 1o)Datos:
12)Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está e relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?
Solución 1o)Datos:
k6J
k5P
6
5
L
P
k4x
x9k54x10k50
)xk6(9)xk5(10
10
9
xk6
xk5
k6
k4
k6
x
LuisinicialEdad
dotranscurriTiempo
3
2
Luisinicial.E
dotranscurri.T
k3B
k7A
3
7
B
A
k3B
k7A
7
3
B
A
15k
420180k40
180k9420k49
)60k3(3)60k7(7
7
3
60k3
60k7
13
GRUPO D: Aplicaciones Típicas 17)Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una
razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el mayor de los
números.
18)Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas. 20)La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números 21)El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área. 22)La razón de las longitudes de los lados de un rectán gulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? 23)Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años?
24)La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos la nueva relación es de 3 a 5. Hallar el mayor
GRUPO E: Problemas Audaces 13)A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mu jeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? 14)En una academia la relación de hombres y mujeres es 2 : 5, la relación del semestral es 7 : 3 ¿Cuál es la rela ción de los hombres que están en el semestre y el total de alumnos? 15)La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, des pués de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En que relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis? 16)El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido do por dicho empleado? 17)Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se alte re, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 18)De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo. 19)Un cuadrado tiene 8cm de lado y otro cuadrado 2cm de lado. Calcular la razón aritmética y geométrica de sus lados, de sus perímetros y de sus áreas.
GRUPOS en CASA
! Yeee ….ya sé RAZONES,
QUE VENGAN LAS . . .
PROPORCIONES . . .
! Me encanta la Aritmética!
14