Cap´ıtulo 1 Espacios Vectoriales -...

Capıtulo 1

Espacios Vectoriales

(4 de Abril de 2003)

1.1. Introduccion

Frecuentemente se encuentran objetos matematicos que pueden ser sumados entre si omultiplicados por un numero. Ejemplos de tales objetos son los vectores geometricos, lasmatrices, las funciones, los polinomios, las soluciones de ecuaciones diferenciales, etc. Entodos estos ejemplos los objetos matematicos son de naturaleza completamente diferentes ylas operaciones para la suma y la multiplicacion por un numero estan perfectamente definidas.Se puede tener una vision unificada de todos estos objetos a traves del concepto de EspacioVectorial.

1.2. Espacio Vectorial

Definicion 1. Sea V un conjunto no vacıo de elementos, V = {x0,x1,x2,x3...}. Elconjunto V se denomina un Espacio Vectorial si satisface el siguiente conjunto de axiomas:

1. Axiomas de Clausura:

Axioma 1. Clausura respecto a suma: A todo par de elementos x1 y x2 deV le corresponde un unico elemento de V llamado la suma de x1 y x2, el cual sedesigna por x1 + x2.

Axioma 2. Clausura respecto a la multiplicacion por un numero real: Atodo elemento x de V le corresponde un unico elemento de V llamado el productode α por x1 y designado por αx1.

Las dos operaciones anteriores deben satisfacer los siguientes axiomas:

2. Axiomas para la suma:

Axioma 3. Ley Conmutativa: x1 + x2 = x2 + x1.

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2 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

Axioma 4. Ley Asociativa: (x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3).

Axioma 5. Existencia del elemento Cero: Existe un elemento en V, desig-nado por el sımbolo 0, tal que: x1 + 0 = x1.

Axioma 6. Existencia de opuestos: Para todo elemento x1 deV, existe unelemento, designado por −x1, tal que: x1 + (−x1) = 0.

3. Axiomas para la multiplicacion por numeros:

Axioma 7. Ley Asociativa: α(βx1) = (αβ)x1.

Axioma 8. Ley Distributiva para la suma en V: α(x1 +x2) = αx1 +αx2.

Axioma 9. Ley Distributiva para la suma de numeros:(α + β)x1 = αx1 + βx1.

Axioma 10. Existencia del elemento identico: Para todo elemento x1 deV,se tiene que: 1x1 = x1.

Es natural llamar a los elementos de un espacio vectorial vectores. Los espacios vectorialesdefinidos de esta manera se llaman Espacios Vectoriales Reales por el hecho de que loselementos de V son multiplicados por numeros reales (α, β, γ...). Si en los axiomas se utilizannumeros complejos en lugar de numeros reales el espacio vectorial se denomina EspacioVectorial Complejo.

Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales:

1. El conjunto V=R, el conjunto de los numeros reales.

2. Los conjuntos ordenados de n numeros reales (x1, x2, x3...xn), designados por Rn.

3. Los vectores geometricos en el espacio de dimension tres, es decir, los segmentos diri-gidos utilizados en el calculo vectorial.

4. El conjunto V=C, el conjunto de todos los numeros complejos. Aunque los elementosde V son numeros complejos este es un espacio vectorial real porque los escalares sonreales.

5. El conjunto de funciones vectoriales definidas en algun intervalo [a, b]. Con la suma defunciones definidas de manera usual: (f + g)(x) = f(x) + g(x), y la multiplicacion deuna funcion f por un escalar: (αf)(x) = αf(x).

6. El conjunto de todas las funciones definidas en el punto 1, siendo f(1) = 0. Si sereemplaza el 0 por un numero c 6= 0 se violarıan los axiomas de clausura.

7. El conjunto de todos los polinomios de grado ≤ n.

8. El conjunto de matrices de orden n.

1.2. ESPACIO VECTORIAL 3

1.2.1. Dimensionalidad de un espacio vectorial

Se definen a continuacion los conceptos de dependencia e independencia de vectores.Definicion 2 Sea V un espacio vectorial. Se dice que los vectores x0,x1,x2, ...xk son Li-nealmente Dependientes si existen numeros α, β, γ ... θ no todos iguales a cero tal que:

αx0 + βx1 + γx2 + ... + θxk = 0. (1.1)

Los vectores que no son linealmente dependientes se dice que son Linealmente Inde-pendientes, es decir, un conjunto de vectores x0,x1,x2...xk se llaman vectores linealmenteindependientes si la igualdad:

αx0 + βx1 + γx2 + ... + θxk = 0,

implica que: α = β = γ = ... = θ = 0 .Cuando los vectores son linealmente dependientes, ecuacion (1.1), y al menos uno de los

coeficientes, digamos α, es diferente de cero. Entonces:

αx0 = −βx1 − γx2 − ...− θxk.

Al dividir por α:

x0 = −β

αx1 −

γ

αx2 − ...− θ

αxk.

Si definimos ξ1 = −βα

, ξ2 = − γα

, . . . ξk = − θα

, la ecuacion anterior se puede escribir como:

x0 = ξ1x1 + ξ2x2 + ... + ξkxk =k∑

i=1

ξixi (1.2)

Siempre que un vector x0 pueda ser expresado a traves de los vectores x1,x2...xk en laforma (1.2) se dice que x0 es una combinacion lineal de los vectores x1,x2...xk, es decir, silos vectores x0,x1,x2...xk son linealmente dependientes entonces al menos uno de ellos esuna combinacion lineal de los otros.

Si R3 es el conjunto de vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces es posibleencontrar tres vectores linealmente independientes y cualquier cuarto vector formara unconjunto de vectores linealmente dependientes.Definicion 3: Un espacio vectorial V se dice de dimension n si este contiene n vectoreslinealmente independientes y cualquier n + 1 vectores de V sera linealmente dependiente.

Si V es un espacio vectorial que contiene un numero arbitrariamente grande de vectoreslinealmente independientes, entonces se dice que V es de dimension infinita.

Al definir el termino espacio vectorial de dimension n tal espacio contendra n vectoreslinealmente independientes y se dice que el espacio contiene una base.Teorema 1: Todo vector x0 de un espacio vectorial V de dimension n queda unıvocamenterepresentado como una combinacion lineal de vectores base: e1, e2, ... en .Demostracion: Sea e1, e2, ... en una base de V y x un vector arbitrario de V. El conjunto


x, e1, e2, ... en conforman entonces un conjunto de n+1 elementos linealmente dependientes,es decir existen n + 1 numeros: ξ0, ξ1, ξ2, ...ξn no todos iguales a cero tal que:

ξ0x + ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen = 0,

Como ξ0 6= 0, entonces:

x = −ξ1

ξ0e1 −

ξ2

ξ0e2 − ...− ξn

ξ0en.

Es decir, todo vector x de R es en realidad una combinacion lineal de los vectores e1, e2, ... en.Por otro lado, si se supone que:

x = ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen,

y ademasx = γ1e1 + γ2e2 + ... + γnen,

al restar estas ultimas ecuaciones resulta:

0 = (ξ1 − γ1)e1 + (ξ2 − γ2)e2 + ... + (ξn − γn)en.

Ya que los vectores e1, e2, ... en son linealmente independientes, entonces

ξ1 − γ1 = ξ2 − γ2 = ... = ξn − γn = 0,

es decir:ξ1 = γ1 , ξ2 = γ2, ... ξn = γn.

lo que demuestra la unicidad de la representacion para el vector x.Definicion 4: Si e1, e2, ... en forman una base de un espacio vectorial V de dimension ny:

x =n∑

i=1

ξiei = ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen, (1.3)

entonces los numeros ξ1, ξ2, ... ξn se denominan las coordenadas del vector x relativa a lasbases e1, e2, ... en.

Por lo enunciado en el Teorema 1, cualquier vector x de V tiene un unico conjunto decoordenadas.Convencion de Einstein: De ahora en adelante se utilizara el convenio de suma implıcitade Einstein, en el cual, ındices repetidos dentro de una sumatoria implica la suma de 1 a n,es decir, la ecuacion (1.3) puede escribirse como:

x = ξiei . (1.4)

Con la introduccion de las componentes de un vector se simplifica enormemente lasoperaciones con los elementos de un espacio vectorial, sin embargo, las componentes {ξi}dependen de la base elegida {ei} y un cambio de base implica un cambio en las componentes.

Por ejemplo:

1.3. ESPACIOS EUCLIDEOS 5

Sea V el espacio vectorial conformado por los polinomios de grado ≤ n − 1. En esteespacio los n polinomios: 1, t,..., tn−1 forman una base. Es decir, que las coordenadasdel polinomio P (t) = a0t

n−1 + a1tn−2 + ... + an−1, en esta base, son los coeficientes: a0,

a1,...,an−2, an−1.

Sea el conjunto e1 = (1, 0, ..,0), e2 = (0, 1, ..,0),..., en = (0, 0, ..,1). Entonces los numerosξ1, ξ2, ... ξn son las coordenadas del vector x = ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen, relativa a lasbases e1, e2,...., en.

1.2.2. Subespacio de un Espacio Vectorial

Dado un espacio vectorial V y sea U un subconjunto no vacıo de V. Si U es un espaciovectorial, entonces U se llama un Subespacio de V.Definicion 5: Un subconjunto no vacıo U de un espacio vectorial V se denomina un Sub-espacio de V si cumple con los axiomas de clausura de la Definicion 1.

Es decir, un conjunto U de vectores x1,x2, ... de V se llama un subespacio de V si paralos vectores x1 ∈ U y x2 ∈ U entonces esto implica que x1 + x2 ∈ U y λx1 ∈ U.

Como un subespacio de un espacio vectorial es un espacio vectorial es correcto hablar deuna base de un subespacio vectorial. Es claro que la dimension de un subespacio arbitrariode un espacio vectorial no puede ser mayor que la dimension del espacio vectorial.

El espacio vectorial mas simple, si ignoramos los espacion nulos, es el espacio vectorial dedimension 1, (1D). Una base es este espacio es el unico vector e1 6= 0. Es decir, un espaciovectorial 1D esta conformado por el conjunto de todos los vectores αe1, donde α es un escalararbitrario.

Si ahora consideramos el conjunto de vectores de la forma x = x0 + αe1 , donde x0 ye1 6= 0 son vectores fijos y α un escalar arbitrario. Este espacio 1D es llamado, en su analogıacon el el espacio tridimensional, una lınea en el espacio vectorial V. De la misma manera alconjunto x = x0 + αe1 + βe2 es llamado un plano en el espacio vectorial V de dimension 2,(2D).

1.3. Espacios Euclıdeos

En la geometrıa euclıdea son intruducidos conceptos que tienen que ver con la longitudde un vector o angulo entre vectores. Con la nocion de espacio vectorial, donde unicamentecontamos con las operaciones de suma y de multiplicacion por un escalar, no es posibleformular estos conceptos de la geometrıa euclıdea. Sin embargo, a partir del concepto deproducto interior es posible alcanzar las ideas desarrolladas en la geometrıa euclıdea.Definicion 6: Si para todo par de elementos x1 y x2 pertenecientes a un espacio vectorialV existe un numero real, denotado por (x1 · x2), tal que:

1. (x1 · x2) = (x2 · x1),

2. (αx1 · x2) = α(x2 · x1) (α un numero real),


3. (x1 + x2 · x3) = (x1 · x3) + (x2 · x3),

4. (x1 · x1) ≥ 0 , y (x1 · x1) = 0 si y solo si x1 = 0,

entonces se dice que se ha definido un “producto interior”. Un espacio vectorial con unproducto interior definido se denomina un espacio euclıdeo En.

Los siguientes son ejemplos de espacios euclıdeos:

1. El espacio tridimensional ordinario R3 de vectores. Aqui el producto interior se definecomo el producto de las longitudes de cada vector por el coseno del angulo entre ellos.

2. El espacio vectorial conformado por conjuntos ordenados de numeros reales. Sean x1 =(ξ1, ξ2, ..., ξn) y x2 = (η1, η2, ..., ηn) elementos de este espacio vectorial, el productointerior definido como:

(x1 · x2) = ξ1η1 + ξ2η2 + ... + ξnηn,

cumple con las condiciones 1− 4.

3. Sea C(a, b) un espacio vectorial conformado por funciones continuas en el intervalo[a, b]. Se define el producto interior de dos funciones f y g con:

(f · g) =

∫ b

a

f(x)g(x)dx

Definicion 7: La Longitud o Norma de un vector x de un espacio euclıdeo se definecomo:

||x|| =√

(x · x). (1.5)

Definicion 8: El angulo ϕ entre dos vectores x1 y x2 de un espacio euclıdeo se definede la siguiente manera:

ϕ = arc cos

[(x1 · x2)

||x1||||x2||

]. (1.6)

Los vectores x1 y x2 se llaman ortogonales si (x1 · x2) = 0. Un par de elementos ortogo-nales se denomina ortonormales si cada uno de los vectores tiene norma igual a la unidad.

El siguiente ejemplo no es mas que la conexion de lo anteriormente expuesto con elteorema de Pitagoras.

Sean x1 y x2 dos vectores ortogonales, entonces por la definicion de norma de un vectorresulta:

||x1 + x2||2 = (x1 + x2 · x1 + x2),

por la ley distributiva del producto interior (Condicion 3) se tiene:

||x1 + x2||2 = (x1 + x2 · x1 + x2) = (x1 · x1) + (x1 · x2) + (x2 · x1) + (x2 · x2).

Ya que los vectores x1 y x2 son ortogonales, entonces (x1 · x2) = (x2 · x1) = 0, resultando

||x1 + x2||2 = (x1 · x1) + (x2 · x2) = ||x1||2 + ||x2||2.


Es decir, el cuadrado de la longitud de la diagonal de un rectangulo es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de sus dos lados ortogonales.

Otro resultado que se puede obtener es el siguiente. Sea ϕ el angulo entre dos vectoresx1 y x2, esto es:

cos ϕ =(x1 · x2)

||x1||||x2||,

por otro lado se tiene que:

−1 ≤ (x1 · x2)

||x1||||x2||≤ 1,

o de manera equivalente(x1 · x2)

2

||x1||2||x2||2≤ 1,

esto significa que(x1 · x2)

2 ≤ (x1 · x1)(x2 · x2). (1.7)

Desigualdad que se conoce con el nombre de Desigualdad de Schwarz.Si x1 y x2 son dos vectores de En, entonces:

||x1 + x2||2 = (x1 + x2 · x1 + x2) = (x1 · x1) + 2(x1 · x2) + (x2 · x2),

pero como 2(x1 · x2) ≤ 2||x1||||x2||, resulta

||x1 + x2||2 = (x1 + x2 · x1 + x2) ≤ ||x1||2 + 2||x1||||x2||+ ||x2||2 = (||x1||+ ||x2||)2.

es decir, una consecuencia de (1.7) es que:

||x1 + x2|| ≤ ||x1||+ ||x2||. (1.8)

En geometrıa la distancia entre dos puntos se define como la longitud del vector x1−x2.De manera general, en un espaci oeuclıdeo En se define la distancia entre x1 y x2 por

s = ||x1 − x2||.

1.3.1. Transformacion de coordenadas bajo un cambio de bases

Sea {ei} y {ei′} dos bases de un espacio vectorial de dimension n, y sea la conexion entrelas bases:

e1′ = a1′1e1 + a1′

2e2 + ... + a1′nen

e2′ = a2′1e1 + a2′

2e2 + ... + a2′nen

: : : : (1.9)

en′ = an′1e1 + an′

2e2 + ... + an′nen

Si se utiliza la convencion de Einstein, este sistema de ecuaciones se puede escribir como:

ei′ = ai′jej , (1.10)


donde los coeficientes ai′j son cantidades escalares que tienen que ver con la transformacion

de coordenadas:

ai′j =

∂xj

∂xi′

Sea {ξi} las coordenadas de un vector x en la primera base y {ξi′} sus coordenadas enla segunda base. Entonces

x = ξiei = ξi′ei′ .

Utilizando las expresiones dadas por las ecuaciones (1.10) se tiene:

x = ξiei = ξi′(ai′jej) = ξj′

(aj′iei) = (ξj′

aj′i)ei .

Como los {ei} son linealmente independientes, los coeficientes de los {ei} deben ser losmismos:

ξi = aj′iξj′ ⇒ ak′

iξi = ak′

iaj′iξj′

(1.11)

Hay que hacer la acotacion de que las cantidades ai′j, que determinan el cambio de bases,

se pueden representar como los elementos de una matriz A. Las cantidades aj′ i, que aparecenen la ecuacion (1.11), son las componentes de la transpuesta de A y los elementos ak′

i por laque se multiplico la ecuacion (1.11) son los elementos de la inversa de la transpuesta de A.

En general, se tiene que para cualquier transformacion se cumple que :

akiaj

i = δkj ⇒ AA−1 = 1 (1.12)

El sımbolo δij, llamado Delta de Kronecker, de define por

δij =

{0 si i 6= j1 si i = j

(1.13)

De esta manera la ecuacion (1.11) resulta en:

ak′iξ

i = ak′iaj′

iξj′= δk′

j′ξj′= ξk′

.

Se puede notar claramente que mientras los vectores bases transforman de acuerdo a(1.10), es decir:

ei′ = ai′jej ,

y las componentes de un vector transforman con la inversa de ai′j, es decir:

ξi′ = ai′jξ

j. (1.14)

Los elemetos ai′j tambien se pueden determinar a partir de la transformacion de coorde-

nadas:

ai′j =

∂xi′

∂xj(1.15)

En los dos casos, A y A−1, determinan la transformacion de coordenadas por completo.Para que la transformacion sea una transformacion de coordenadas correcta esta debe serno singular, es decir, su Jacobiano debe ser diferente de cero: detA 6= 0.


Un ejemplo de una transformacion de coordenadas es cuando se rota el sistema de coor-denadas cartesianas un angulo α en torno al eje z. Un vector x de E2 puede descomponerseen componentes tanto en el sistema no rotado {x1, x2} como en el sistema rotado {x1′

, x2′}y la relacion entre ambos sistemas es:

x1′= x1 cos(α) + x2sen(α) (1.16)

x2′= −x1sen(α) + x2 cos(α) (1.17)

Se dice que las componentes del vector x transforman bajo rotaciones.En general, para un campo vectorial con componentes Ai = Ai(x1, x2, x3...xn) se tiene

que estas componentes transforman bajo rotaciones de la misma manera que (1.16) y (1.17)y asi se garantiza que el vector A es independiente de la rotacion del sistema de coordenadas.

Se puede generalizar el sistema (1.16) y (1.17) para el caso de En si se define:

a1′1 = cos(α), a1′

2 = sen(α), a2′1 = −sen(α), a2′

2 = cos(α),

y asi escribir (1.16) y (1.17) de una manera mas compacta:

xi′ = ai′jx

j , i = 1, 2, (1.18)

A manera de generalizar se dice que el conjunto de cantidades Ai constituyen las com-ponentes de un vector A de dimension n, sı y solo sı:

Ai′ = ai′jA

j , i = 1...n, (1.19)

Es posible resolver el sistema (1.16) y (1.17) para {x1, x2}, resultando:

x1 = x1′cos(α)− x2′

sen(α) (1.20)

x2 = x1′sen(α) + x2′

cos(α) (1.21)

En coordenadas cartesianas es facil verificar que:

ai′j =

∂xi′

∂xj=

∂xj

∂xi′= ai′

j,

por ejemplo:

a2′1 =

∂x2′

∂x1=

∂x1

∂x2′ = −sen(α).

1.3.2. Bases Ortogonales

Con anterioridad se introdujo la nocion de una base (sistema coordenado) para un espaciovectorial. En un espacio vectorial quizas no existe razon para preferir una base de otra, peroen un espacio euclıdeo es preferible utilizar las llamadas bases ortogonales, por la mismarazon que en la geometrıa se prefieren los sistemas coordenados cartesianos.Definicion 9: Los vectores {ei} forman una base ortogonal en un espacio euclıdeo En si se


cumple que: (ei · ej) = 0, para i 6= j. Un conjunto ortogonal se denomina ortonormal si cadauno de sus elementos tiene norma igual a la unidad, es decir si:

(ei · ej) = δij

Sea {ei} una base ortonormal en un espacio euclıdeo de dimension n, entonces si:

x1 = ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen

x2 = η1e1 + η2e2 + ... + ηnen

entonces:

(x1 · x2) = (ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen · η1e1 + η2e2 + ... + ηnen)

pero como: (ei · ej) = δij resulta que:

(x1 · x2) = ξ1η1 + ξ2η2 + ... + ξnηn

Esto significa que el producto de dos vectores relativos a una base ortonormal es igual a lasuma de los productos de las correspondientes coordenadas de esos vectores.

Si se tienen una base arbitraria wi entonces se tiene que:

(x1 · x2) = aijξiηj , i, j = 1...n

Por otro lado, si

x = ξ1e1 + ξ2e2 + ... + ξnen

entonces al multiplicar por e1, resulta:

(x · e1) = ξ1(e1 · e1) + ξ2(e2 · e1) + ... + ξn(en · e1)

Por ser los (ei · ej) = 0, para i 6= j, entonces:

ξ1 =(x · e1)

(e1 · e1)

de manera similar

ξ2 =(x · e2)

(e2 · e2), . . . , ξn =

(x · en)

(en · en).

Es claro que si la base es ortonormal, entonces:

ξ1 = (x · e1) , ξ2 = (x · e2) , . . . , ξn = (x · en).

Es natural llamar al producto interno (x · ei), la proyeccion del vector x sobre ei.

1.4. FUNCIONES LINEALES 11

1.4. Funciones Lineales

En esta seccion se estudiaran las funciones mas simples que se pueden definir sobre unespacio vectorial.Definicion 10: Una funcion lineal o forma lineal f se define sobre un espacio vectorial sipara cualquier vector x es posible asociar un numero f(x) de manera que se cumplen lassiguientes condiciones:

1. f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).

2. f(λx) = λf(x).

De esta manera, si {ei} es una base para un espacio vectorial V de dimension n y comotodo vector x puede ser representado como una combinacion lineal de los vectores basex = ξiei, entonces, por las propiedas de una funcion lineal resulta que:

f(x) = f(ξiei

)= ξif(ei).

Si se define f(ei) = ωi, se tiene que:

f(x) = ωiξi.

Es facil demostrar que las cantidades ωi transforman bajo un cambio de base de la mismamanera que lo hacen los vectores covariantes, es decir de la forma:

ωi′ = ai′jωj.

Por otra lado, la suma de dos funciones lineales y el producto de una funcion lineal por unescalar son funcionea lineales, esto significa que el conjunto de funciones lineales conformanun espacio vectorial.

1.4.1. Espacios Duales

Definicion 11: Sea V un espacio vectorial de dimension n. Se entiende por un espaciovectorial dual ∗V de V al espacio cuyos elementos son funciones lineales definidas sobre V.

Al espacio vectorial V se le suele llamar tambien espacio directo. Los vectores que per-tenecen al espacio directo son los vectores contravariantes y a los objetos que pertenecen alespacio dual se denominan vectores covariantes.

1.4.2. Bases Duales

Se puede denotar el valor de una funcion lineal f en un punto x por (f · x), de estamanera para todo par de elementos f ∈ ∗V y x ∈ V existe asociado un numero (f · x) talque:

1. (f · x1 + x2) = (f · x1) + (f · x2).


2. (f · λx) = λ(f · x).

3. (λf · x) = λ(f · x).

4. (f1 + f2 · x) = (f1 · x) + (f2 · x).

No se debe confundir 1-4 con la definicion del producto interno en un espacio euclıdeo,ya que en aquel caso el producto interno es un numero asociado con un par de vectoresdel espacio euclıdeo mientras que en 1-4 es un numero asociado con un par de vectores quepertenecen a espacios vectoriales diferentes V y∗V.

Los vectores f y x son llamados ortogonales si (f · x) = 0.Definicion 12: Dada un base en el espacio directo {ei} existe una base canonica en elespacio dual definida por:

(µi · ej) = µi (ej) = δij (1.22)

Para un vector arbitrario:

(µi · x) = µi(ξjej

)= ξjµi (ej) = ξjδi

j = ξi.

Se puede decir que que µi es una funcion, tambien llamada una forma, que asocia a to-do vector x su componente contravariante ξi. El conjunto de formas {µi} son linealmenteindependientes.

Si {ei} es una base en el espacio directo y f una forma arbitraria en el dual, entonces(f ·ei) = f (ei) definen cantidades escalares ωi que determinan la funcion lineal f del espaciodual.

ωi = f (ei) , i = 1...n,

por lo tanto, para un vector arbitrario

f(x) = f(ξiei

)= ξif (ei) = ξiωi.

Las cantidades {ωi} se conocen como las componentes covariantes de f , esto significa quepermiten expresar a f como una combinacion lineal de ωi:

f(x) = ωiξi = ωiµ

i(x) ⇒ f = ωiµi. (1.23)

Por lo tanto, el conjunto {µi} forma una base en el espacio dual de dimension n.Si x = ξiei es un vector en en el espacio directo y f = ωiµ

i un vector en el espacio dualentonces:

(f · x) =(ωiµ

i · ξjej

)=

(µi · ej

)ωiξ

j = δijωiξ

j = ωiξi.

Para bases arbitrarias {ei} y {µi} en V y ∗V se tiene:

(f · x) = aijωjξ

i. (1.24)

donde aij = (µj · ei).

1.4. FUNCIONES LINEALES 13

1.4.3. Bases duales en un espacio euclıdeo

Sea En un espacio euclıdeo de dimension n. Cualquier funcion lineal f sobre En puedeser expresada de la siguiente forma:

f(x) = (x · x1), (1.25)

donde x1 es un vector fijo unıvocamente determinado por la funcion lineal f .Es decir, si {ei} es una base ortonormal de En y x = ξiei, entonces f(x) es de la forma:

f(x) = ωiξi , i = 1...n.

Nada impide que los coeficientes {ωi} sean las coordenadas de un vector x1 y como las bases{ei} son ortonormales:

(x · x1) = ωiξi , i = 1...n,

esto demuestra que existe un vector x1 tal que

f(x) = (x · x1).

Por otro lado, x1 es unico ya que si

f(x) = (x · x1) y f(x) = (x · x2),

entonces(x · x1) = (x · x2) ⇒ (x · x1 − x2) = 0 ∀ x,

lo que significa que x1 = x2.De esta manera, en el caso de un espacio euclıdeo toda funcion f puede ser reemplazada

por el correspondiente vector x1 y en lugar de escribir (f · x) se puede escibir (x1 · x). Estosignifica que en En se pueden reemplazar los vectores covariantes con los contravariantes.

Es licito tratar de encontrar expresiones para {µi} en terminos de una base dada {ei}.Sea

ei = gijµj .

Para encontrar los coeficientes gij procedemos de la siguiente manera:

(ei · ek) =(gijµ

j · ek

)= gij

(µj · ek

)= gijδk

j = gik.

Es decir, si la base {µi} es la base dual a {ei}, entonces

ei = gijµj, (1.26)

dondegik = (ei · ek). (1.27)

Es claro que tambien se podrıa haber resuelto (1.26) para µi y obtener entonces:

µi = gijej, (1.28)


donde gij es la inversa de la matriz gij, esto es:

gijgjk = δik (1.29)

Al objeto g que tiene componentes gij y que pueden representarse por una matriz bidi-mensional se le denomina metrica. Como se vio anteriormente este objeto permite conectarlos espacios directo y duales de la siguiente manera. Sea {Ai} las componentes de un vectorcovariante en el espacio dual, entonces este vector tiene asociado un vector en el espaciodirecto dado por

Ai = gijAj,

de la misma manera, un vector contravariante de componentes {Bi} tiene asociado un vectorcovariante de componentes

Bi = gijBj.

Este manera de bajar y subir ındices se denomina contraccion de ındices.En coordenadas cartesianas {ei} = {ı, , k}, y como estos vectores base son mutuamente

ortogonales, por (1.27) resulta que:

gij = gij =

1 0 00 1 00 0 1

(1.30)

1.5. Analisis Vectorial

A partir de la definicion de vectores es natural proceder a operar con estos objetos. Lasoperaciones con vectores deben ser matematicamente consistentes con todo lo anteriormenteexpuesto y en esta seccion se tendra en cuenta que los vectores pertenecen a un espacioeuclıdeo tridimensional.

1.5.1. Producto Escalar

Definicion 13: Sean los campo vectoriales A(x) = Aiei y B(x) = Bjej. El productoescalar o producto punto se define como:

A(x) ·B(x) ≡ AiBi = gijAiBj. (1.31)

Es de hacer notar que la cantidad AiBi, por ser una cantidad sin ındices libres, es unacantidad que es invariante, es decir, que no depende del sistema de coordenadas. En coor-denadas cartesianas es claro que A(x) ·B(x) = AiBi.

Se puede demostrar que (1.31) es invariante bajo rotaciones:

A′ ·B′ = Ai′Bi′ = (ai′jA

j)(ai′kBk) = ai′

jai′kAjBk = δj

kAjBk = AkBk = A ·B.

Si se representa el sistema de coordenadas de manera tal que el plano definido por los vectoresA y B sea el plano x − y, y si se hace coincidir al vector A con el eje x, entonces A = Aı

1.5. ANALISIS VECTORIAL 15

y B = B cos(θ)ı + Bsen(θ), donde A y B son las magnitudes de los vectores A y B y θ elangulo que forman.

Por lo tanto:A(x) ·B(x) = AB cos(θ). (1.32)

Con esta ultima expresion es facil ver que los vectores A y B son ortogonales si cos(θ) = 0,es decir, si A y B son perpendiculares.

Para calcular la norma del vector A, se tiene que cos(θ) = 1 en (1.32) y entones:

A ·A = A2 = AiAi ⇒ ||A|| =√

AiAi

Si C = A + B, la norma de C sera:

C ·C = (A + B) · (A + B) = A ·A + A ·B + B ·A + B ·B= A2 + 2A ·B + B2 = A2 + B2 + 2AB cos(θ). (1.33)

Si C = (B ·B)A− (A ·B)B, entonces

C ·C = ((B ·B)A− (A ·B)B) · ((B ·B)A− (A ·B)B) ≥ 0

= (B ·B)2(A ·A)− (B ·B)(A ·B)2 − (A ·B)2(B ·B) + (A ·B)2(B ·B)

= (B ·B)2(A ·A)− (B ·B)(A ·B)2 ≥ 0

= (B ·B)(A ·A)− (A ·B)2 ≥ 0,

La ultima expresion no es mas que la desigualdad de Schwarz:

(A ·A)(B ·B) ≥ (A ·B)2

1.5.2. Producto Vectorial

Es posible definir otro tipo de producto entre vectores en espacios euclıdeos.Definicion 14: Sean los campo vectoriales A(x) = Aiei y B(x) = Bjej. El producto vectorialse define de la siguiente manera:

C = A×B, (1.34)

dondeCi = AjBk − AkBj. (1.35)

Los ındices i, j, k son todos diferentes y pueden cambiar solo en orden cıclico, es decir, quelas unicas posibildades diferentes de cero, son:

C1 = A2B3 − A3B2 , C2 = A3B1 − A1B3 , C3 = A1B2 − A2B1.

Es posible demostrar que los Ci transforman como las componentes de un vector bajorotaciones. Segun la ley de transformacion:

Ci′ = ai′jC

j,


utilizando (1.35) se tiene lo siguiente:

Ci′ = Aj′Bk′ − Ak′

Bj′

= (aj′lA

l)(ak′mBm)− (ak′

lAl)(aj′

mBm)

= aj′l a

k′m AlBm − ak′

l aj′

m AlBm

=(aj′

l ak′

m − ak′l a

j′m

)AlBm,

en la ultima expresion se puede ver que si m = l entonces el termino entre parentesis es iguala cero. Considerese el caso para i = 1, j = 2, k = 3.

C1′=

(a2′

l a3′

m − a3′l a

2′m

)AlBm

=(a2′

1 a3′m − a3′

1 a2′m

)A1Bm +

(a2′

2 a3′m − a3′

2 a2′m

)A2Bm +

(a2′

3 a3′m − a3′

3 a2′m

)A3Bm

=(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

)A1B2 +

(a2′

1 a3′3 − a3′

1 a2′3

)A1B3

+(a2′

2 a3′1 − a3′

2 a2′1

)A2B1 +

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

)A2B3

+(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

)A3B1 +

(a2′

3 a3′2 − a3′

3 a2′2

)A3B2

=(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

)A1B2 −

(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

)A1B3

−(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

)A2B1 +

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

)A2B3

+(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

)A3B1 −

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

)A3B2,

al factorizar se tiene:

C1′=

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

) (A2B3 − A3B2

)+

(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

) (A3B1 − A1B3

)+

(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

) (A1B2 − A2B1

),

al utilizar la ecuacion (1.35) resulta:

C1′=

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

)C1 +

(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

)C2 +

(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

)C3.

Si se utilizan las siguientes identidades:

a1′1 =

(a2′

2 a3′3 − a3′

2 a2′3

)a1′

2 =(a2′

3 a3′1 − a3′

3 a2′1

)a1′

3 =(a2′

1 a3′2 − a3′

1 a2′2

),

resulta que:C1′

= a1′1 C1 + a1′

2 C2 + a1′3 C3.


Por lo tanto,

C1′= a1′

i Ci , i = 1.,3.

Si se procede de la misma manera para C2′y C3′

se puede demostrar que C es un vectorporque todas sus componentes transforman correctamente bajo rotaciones.

Analogamente a como se definio el sımbolo δij se define un nuevo objeto llamado sımbolo

de Levi-Civita:

εijk =

1 , si i, j, k son diferentes y cambian en orden cıclico

−1 , si i, j, k son diferentes y cambian en orden no cıclico0 , en cualquier otro caso.

(1.36)

Esto significa que:

ε123 = ε231 = ε312 = 1,

mientras:

ε132 = ε213 = ε321 = −1,

lo que puede resumirse en:

εijk = −εikj (1.37)

Con este nuevo sımbolo se puede reescribir la ecuacion (1.35), que define el productovectorial, pero ahora a traves de su componente covariante:

Ci ≡ εijk AjBk, (1.38)

y se tomara esta ecuacion como la definicion para el producto vectorial del vector A por elvector B. En ese orden.

Es facil ver que A×B = −B×A

Ci = εijk AjBk = εikj AkBj = −εijk BjAk

Si C = A×B, entonces:

A ·C = AiCi = Aiεijk AjBk = εijk AiAjBk,

pero se puede ver que:

εijk AiAjBk = εjik AjAiBk = −εijk AjAiBk,

por lo tanto,

εijk AiAjBk = 0 ⇒ A · (A×B) = 0,

lo que indica que C es ortogonal tanto a A como a B.


Calculo de la norma de C = A×B.

C2 = C ·C = CiCi =(εijk AjBk

)(εimn AmBn) = εijk εimn AjBkA

mBn.

Ahora es necesario introducir las siguientes identidades:

εijk εimn = δjm δk

n − δjn δk

m (1.39)

εijk εijm = 2δkm (1.40)

εijk εijk = 6. (1.41)

Por lo tanto,

C2 = εijk εimn AjBkAmBn =

(δjm δk

n − δjn δk

m

)AjBkA

mBn

= δjm δk

n AjBkAmBn − δj

n δkm AjBkA

mBn

= δjm Am Aj δk

n BnBk − δkm Am δj

n BnAjBk

= AjAjBkBk − AkBjAjBk

= AjAjBkBk − AkBkAjB

j

= (A ·A) (B ·B)− (A ·B) (A ·B)

= A2B2 − (AB cos(θ))2 = A2B2(1− cos2(θ)

)= A2B2sen2(θ),

lo que implica que la norma de C es

||C|| = ||A×B|| = ABsen(θ) (1.42)

1.5.3. Triple producto escalar y triple producto vectorial

Estudiaremos las siguientes combinaciones A · (B×C) y A× (B×C) que aperecen conmucha frecuencia en una gran variedad de problemas.

A · (B×C)

A · (B×C) = Ai(B×C)i = Aiεijk BjCk = εijk AiBjCk,

por otro lado, se sabe que:εijk = εjki = εkij,

entoncesεijk AiBjCk = εjki B

jCkAi = Bj εjki CkAi = B · (C×A) ,

de la misma manera,

εijk AiBjCk = εkij CkAiBj = Ck εkij AiBj = C · (A×B) .

Es decirA · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B) . (1.43)

El triple producto escalar se interpreta gemetricamente como el volumen del paralele-pıpedo definido por los tres vectores geometricos A, B y C.


A× (B×C)

(A× (B×C))i = εijk Aj (B×C)k = εijk Ajεkmn BmCn = εijk εkmn AjBmCn.

por otro lado se tiene que εijk = −εkji, por lo tanto

(A× (B×C))i = εijk εkmn AjBmCn

= −εkji εkmn AjBmCn

= −(δmj δn

i − δnj δm

i

)AjBmCn

=(δnj δm

i − δmj δn

i

)AjBmCn

= δnj δm

i AjBmCn − δmj δn

i AjBmCn

= δnj Cn δm

i Bm Aj − δmj Bm δn

i CnAj

= CjBiAj −BjCiA

j

= BiAjCj − CiA

jBj

= Bi (A ·C)− Ci (A ·B) ,

la ultima expresion implica que

A× (B×C) = B (A ·C)−C (A ·B) (1.44)

1.5.4. El operador diferencial ∇En analogıa con el operador diferencial d/dx que opera sobre una funcion escalar φ(x),

produciendo una funcion diferente, podemos definir tambien un operador que al actuar sobrecampos escalares y vectoriales produzca cambios sobre esos campos.

Gradiente de un campo escalar

Sea ϕ(x) un campo escalar y ϕ′(x′) el mismo campo escalar en un sistema rotado. Comolos campos escalares son invariantes bajo rotaciones, entonces:

ϕ′(x′) = ϕ(x),

al derivar a ambos lados con respecto a xi′ y al considerar la regla de la cadena resulta

∂ϕ′(x′)

∂xi′=

∂ϕ(x)

∂xi′=

∂ϕ(x)

∂xj

∂xj

∂xi′= ai

j ∂ϕ(x)

∂xj.

Las componentes del objeto ∂ϕ∂xi transforman bajo rotaciones como las componentes cova-

riantes y lo podemos denotar por dϕi. Al vector cuyas componentes son dϕi se le llamagradiente de ϕ.

dϕi ≡∂ϕ

∂xi. (1.45)


Al utilizar una base coordenada entonces definimos al vector gradiente de la siguiente manera

gradϕ ≡ gij dϕiej = gij ∂ϕ

∂xiej (1.46)

En coordenadas cartesianas es facil ver que

gradϕ = ∇ϕ =∂ϕ

∂xiei =

∂ϕ

∂xı +

∂ϕ

∂y +

∂ϕ

∂zk.

El operador diferencial ∇ al actuar sobre campos escalares da como resultado un campovectorial.

Sea ϕ un campo escalar, la diferencial total viene dada por:

dϕ = dϕidxi = gradϕ · dx.

Al considerar puntos sobre las superficies de nivel de ϕ, es decir, puntos sobre una superficieS de manera que si x ∈ S, entonces ϕ = constante, lo que implica que dϕ = gradϕ · dx = 0sobre S. Por lo tanto gradϕ es un vector perpendicular a la superficie S. Esto significa quesi ϕ es un campo escalar, gradϕ es un vector normal a las superficies de nivel de ϕ.

Por otro lado, sea n un vector unitario, al producto escalar

gradϕ · n,

se le denomina derivada direccional en la direccion n. De esta manera es claro que en coor-denadas cartesianas las derivadas parciales ∂ϕ

∂xi no son mas que derivadas direccionales en lasdireccion de los vectores coordenados unitarios.

Derivada de campos vectoriales

En general los vectores base ei dependen de las coordenadas, esto significa que si se quierederivar un campo vectorial V(x) = V iei resulta

∂V

∂xi=

∂

∂xi

(V jej

)=

∂V j

∂xiej + V j ∂ej

∂xi.

Ahora bien, al derivar los vectores base ej respecto a la coordenada xi no se produceun vector en la misma direccion de ej, existe un efecto por el hecho de utilizar una basecoordenada que debe ser tomado en cuenta. Esto se hace definiendo la Derivada Covariantela cual se denota por Di y que al actuar sobre las componentes de un campo vectorial resulta

DiVk =

∂V k

∂xi+ Γij

kV j, (1.47)

donde los sımbolos Γijk, llamados Sımbolos de Christoffel, se definen por:

Γijkek ≡

∂ei

∂xj(1.48)

Es claro que para un campo escalar

Diϕ =∂ϕ

∂xi,

es decir, la derivada covariante coincide con la derivada parcial.


Divergencia de un campo vectorial

Sea V(x) = V iei un campo vectorial, se define la divergencia de V(x) por

divV ≡ DiVi =

∂V i

∂xi+ Γij

iV j. (1.49)

El resultado de esta operacion es un campo escalar, y en coordenas cartesianas

DiVi = ∇ ·V =

∂V i

∂xi=

∂V x

∂x+

∂V y

∂y+

∂V z

∂z. (1.50)

En coordenadas cartesianas la derivada covariante coincide con la derivada parcial

Di = ∂i ≡∂

∂xi

Si ϕ(x) es un campo escalar y V(x) un campo vectorial, para el producto ϕ(x)V(x)se tiene:

Di

[ϕ(x)V i(x)

]= (∂iϕ) V i + ϕ DiV

i

Si DiVi = 0, se dice que V es un vector solenoidal.

Rotor de un campo vectorial

Por definicion, el rotor de un campo vectorial V es

[rotV]k ≡ εijk√|g|

gjlDiVl, (1.51)

donde|g| = detg.

En coordenadas cartesianas,

[rotV]i = [∇×V]i = εijk∂jVk, (1.52)

Calculo de div (A×B)

div (A×B) = Di (A×B)i

= Di

(εijk AjBk

)= εijk DiAjBk

= εijk [(DiAj) Bk + (DiBk) Aj]

=(εijkDiAj

)Bk + Ajε

ijkDiBk

=(εkijDiAj

)Bk − Ajε

jikDiBk .

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas

∇ · (A×B) = [∇×A]k Bk − Aj [∇×B]j

= (∇×A) ·B−A · (∇×B) . (1.53)


Calculo de rot (ϕV)

[rot (ϕV)]k =εijk√|g|

gjl Di(ϕV l)

=εijk√|g|

gjl (∂iϕ) V l +εijk√|g|

gjl ϕ (DiVl) ,

por lo tanto, en coordenadas cartesianas

∇× (ϕV) = (∇ϕ)×V + ϕ (∇×V) . (1.54)

Calculo de div (gradϕ)

div (gradϕ) = Di(gij∂jϕ) = Dj∂jϕ ,

en coordenadas cartesianas

∇ · (∇ϕ) = ∂j∂jϕ = ∇2ϕ , (1.55)

donde ∇2 es el operador Laplaciano.

Calculo de rot (gradϕ)

[rot (gradϕ)]k =εijk√|g|

gjl Di(glm∂mϕ) =

εijk√|g|

gjl ∂i(glm∂mϕ)

=εijk√|g|

∂i∂jϕ =εjik√|g|

∂j∂iϕ = − εijk√|g|

∂j∂iϕ,

pero∂i∂j = ∂j∂i;

por lo tanto,

[rot (gradϕ)]k =εijk√|g|

∂i∂jϕ = − εijk√|g|

∂j∂iϕ = 0,

es decir,∇× (∇ϕ) = 0 (1.56)

Cap´ıtulo 1 Espacios Vectoriales -...

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