CAPITULO 10. Valores Actuales

7/21/2019 CAPITULO 10. Valores Actuales

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CAPITULO 10. VALORES ACTUALES .

El cálculo de los valores actuales se efectúa empleando técnicas similares a las que

se utilizaron para determinar los valores finales. La única diferencia que se hallará esque ahora la valuación del flujo de fondos se realiza en el momento presente. Lavaluación en el momento presente se requiere fundamentalmente en las operacionesde préstamo; cuando uno se financia uno de los temas básicos que le interesan escuánto va a recibir hoy y a cuánto ascenderá el monto de las cuotas.

10.1. El Valor Actual de las rentas vencidas.

onsideremos la valuación en el momento presente! aplicando la tasa i! de n cuotasperiódicas! equiespaciadas! abonadas por per"odo vencido. El esquema es elsi#uiente$

0 1 2 3 n-1 n

. . .

c c c . . . c c

c / ( 1 + i )

c/ ( 1 + i )2

c / ( 1 + i )3

. . . . . . . . . .

c/ ( 1 + i )n-1

c/ ( 1 + i )n-1

* VA (1; n; i)

%enotamos mediante &' (); n; i*! el valor actual de esas n cuotas abonadas por per"odo vencido cuyas demás caracter"sticas se mencionaron en el párrafo anterior.&' (); n; i* es simplemente la suma de los valores actuales de esas n cuotas.

La primer cuota! dista un per"odo del ori#en y vale en este! considerado el momento

-36-

presente c + (),i*; la se#unda cuota dista dos periodos del ori#en y vale en éste c +(),i* 2 y as" si#uiendo con las restantes cuotas. -or lo tanto$



&' (); n; i* c + (),i* , c + (),i* 2 ,. . ., c + (),i* n

/ bien! sacando factor común c resulta$

&' (); n; i* c 0 ) + (),i* ,) + (),i* 2 ,. . . , ) + ( ),i* n1 ()2.).)*

Los términos del corchete representan una pro#resión #eométrica de razón ) + (),i*.La aplicación de (3.).)* para efectuar la suma conduce a$

) 4 ) + (),i* n

0 ) + (),i* , ) + (),i* 2 , . . . , ) + (),i* n1 ) + (),i*) 4 ) + (),i*

5i en el se#undo miembro se efectúa la resta! tanto en el numerador como en eldenominador! resulta$

0 (),i* n 6 )1 + (),i* n

) + (),i* .( ) , i 6 )* + (),i*

La e7presión (),i* se cancela puesto que fi#ura en el numerador y en el denominador y además ) , i 6) se reduce a i.

-or consi#uiente$

(),i* n 6 )0 ) + (),i* , ) + (),i* 2 , . . . , ) + (),i* n 1 ()2.).8*

i (),i* n

Esta última e7presión puede ser denotada mediante a (); n; i*.

Es decir$

(),i* n 6 ) a (); n; i* ()2.).9* i (),i* n

-37-

-or lo tanto &' (); n; i* se puede escribir$



(),i* n 6 ) &' (); n; i* c. a (); n; i* c ()2.).:* i (),i* n

5i en esta última e7presión se hace c )! se puede apreciar que a (); n; i*representa el valor actual de n pa#os periódicos! unitarios! equiespaciadoscronoló#icamente! abonados por término vencido! valuados (se#ún las re#las delinterés compuesto* aplicando la tasa i.

ráficamente$

2 ) 8 9 n . . .

1 1 1 . . . 1

) + ( ) , i *

) + ( ) , i *8

) + ( ) , i *9

. . . . . .

) + ( ) , i *n

* a (); n; i*

La e7presión a (); n; i* representa un factor de actualización$ implica asi#narle a lascuotas c el valor que les corresponde en el momento presente. En cierta forma laaplicación de a (); n; i* puede ser visualizada como la operación que <traslada= todaslas cuotas c al ori#en.

-ara obtener la fórmula &' (); n; i* se puede emplear el factor de actualización v enlu#ar de ) + () , i* que utilizamos antes.

omo v ) + () , i* entonces &' (); n; i* c 0 ) + (),i* ,) + (),i* 2 ,. . . , ) + (),i* n 1 se puede escribir$ &' (); n; i* c 0 v , v2 ,. . . , v n 1

-38-

Los términos del corchete constituyen una pro#resión #eométrica de razón v y susuma es$



) 6 v n

0 v , v 2 ,. . . , v n 1 v ()2.).>*) 6 v

-ero como$ ) 6 v ) 4 ) + (), i* (),i 4 )* + (), i* i + (), i*.

Entonces ()2. ). >* puede escribirse$

) 6 v n ) 6 vn

v . y como v y (),i* son simplificables! queda$ i + (),i* i

's" que$

) 4 v n

&' (); n; i* c ()2. ). ?* i La comparación de ()2.).?* con ()2.).:*

(),i* n 6 ) &' (); n; i* c . a (); n; i* c i (),i* n

nos muestra que$

) 4 v n (),i* n 6 ) a (); n; i* ()2.).@* i i (),i* n

/tra forma alternativa de deducir la fórmula de &' (); n; i* es a partir de &A (); n; i*. 5ise observa el esquema si#uiente$

2 ) 8 . . . . n6) n

c c . . . . c c

• B &' (); n; i* () , i* n &A (); n; i*

-39-

5e comprueba que entre &' (); n; i* y &A(); n; i* median n per"odos y el factor decapitalización es () , i* n. omo &A (); n; i* es el valor que toma &' (); n; i* si se locaplitaliza n per"odos! es decir! si se lo multiplica por () , i* n! resulta$



&A (); n; i* &' (); n; i* () , i* n!

de modo que$ ) &' (); n; i* &A (); n; i* ()2.).C* (),i* n

(),i* n 6 )y como &A (); n; i* c ()2.).C* resulta$

i

(),i* n 6 ) ) (),i* n 6 ) &' (); n; i* c . c i (),i* n i (),i* n

Este último procedimiento relaciona los valores actuales y los finales.

Ejemplo 10.1.1

El #obierno del pa"s DD emite el 2>+2:+3? un bono de )22 valor nominal! de acuerdocon las si#uientes condiciones$

1) Los intereses serán abonados semestralmente! el 2>+2: y el 2>+)2 de cada aFo; apartir del 2>+)2+3?;

2) La tasa de interés es el @G nominal anual;

3) El plazo es de 9 aFos! siendo rescatados a su valor nominal! )22! el 2>+2:+33.

Huánto deberé abonar por el bono el 2>+2:+3? si deseo obtener un rendimiento del)2G anualI

5i consideramos un aFo de 9?> d"as la tasa de interés que abona el bonosemestralmente es 2!2@ 7 )C2 2!29:>82>. -or lo tanto el interés resulta$ )22 72!29:>82> 9!:> 9?>

El flujo de fondos se puede representar mediante el si#uiente dia#rama$

-40-

2>+2:+3? 2>+)2+3? 2>+2:+3@ 2>+)2+3@ 2>+2:+3C 2>+)2+3C2>+2:+33

2 ) 8 9 : > ?



9!:> 9!:> 9!:> 9!:> 9!:> 9!:>

B )22

I

El precio del bono es el valor presente de los intereses más el valor presente delcapitalde )22. Este valor presente debe ser valuado aplicando la tasa anual efectiva del)2G.

La tasa del )2G efectivo anual e7presada en términos semestrales es$

()!)2* 180 / 365 6 ) 2!2:C)8:: ó :!C)8::G

Los intereses! 9!:> abonados cada seis meses! constituyen una cuota periódica!constante! pa#adera por término vencido cuyo valor actual está dado por ()2.).:*.

Lue#o$ &' (); ?; 2!2:C)8::* 9!:> . a (); ?; 2!2:C)8::*

omo$

()!2:C)8::*6 6 ) a (); ?; 2!2:C)8::* >!)2?8@3>

2!2:C)8:: ()!2:C)8::*6

Jesulta$

&' (); ?; 2!2:C)8::* 9!:> 7 >!)2?8@3> )@!?8

El valor presente del capital es$

)22 )22 . 2!@>:8?9: @>!:8 ()!2:C)8::* 6

Estos resultados indican que el valor del bono el 2>+2:+3? es @>!:8 , )@!?8 39!2:Este precio me ase#ura un rendimiento del )2G anual.

-41-

10.2. El Valor Actual de las rentas adelantadas.



5alvo como ejercicio al#ebraico tendiente a reafirmar lo visto con respecto a las rentasvencidas no tiene demasiada importancia el tratamiento por separado de las rentasabonadas por término adelantado. El esquema #ráfico de estas es el si#uiente$

2 ) 8 9 n6) n

c c c c c

B&' (2; n; i*

5e puede apreciar que si se calcula el valor actual de una renta vencida de (n6)*términos y a ese resultado se le suma la primer cuota de valor c! que se ha encerradodentro de un c"rculo! se obtiene el valor actual de una renta abonada por términoadelantado que denotamos mediante &' (2; n; i*. %e acuerdo con este punto de vista!las rentas abonadas por término adelantado pueden considerarse un caso particular de las rentas abonadas por término vencido y por lo tanto le son aplicables lasfórmulas inherentes a estas. -ero también el punto de vista opuesto es válido! en elsentido que las vencidas son un caso particular de las rentas adelantadas y por consi#uiente las deducciones podr"an partir de éstas a aquéllas. Esto no esparadójico! el tema central es que sólo e7isten rentas que se abonan en momentosespec"ficos y esta #eneralización evita la distinción entre rentas abonadas por términovencido y por término adelantado. 'qu" se ha ele#ido el camino de hacer el centro enlas rentas vencidas y a partir de ellas se efectúan deducciones por una mera cuestiónde conveniencia ya que son las más difundidas en la práctica y el análisis es un tanto

más simple.-or otra parte! si tenemos en cuenta que el valor actual se aplica básicamente a lasoperaciones de préstamo carece de sentido práctico el hecho de que uno tome hoy unpréstamo de &' ( 2; n; i * y que en ese mismo momento uno ten#a que devolver c.Esta operación &' ( 2; n; i * 6 c! como dijimos! se puede considerar como el casode una renta vencida cuyo valor actual es &' ( ); n 6); i*. Kotemos también que en el#ráfico que hemos presentado carece de si#nificación el per"odo n6ésimo ya que en élno se produjo nin#ún movimiento de fondos.

Estas inconsistencias debe hacer refle7ionar al lector acerca de qué es lo importanteen el álculo Ainanciero para efectuar valuaciones 4 como hemos dicho 4 el flujo de

fondos y las fechas en las que se efectúan los pa#os y esto deja poco lu#ar a muchasdistinciones de terminolo#"as como las que nos ocupa y que parecen más semánticasque dotadas de una base conceptual sólida.

%e acuerdo a lo que hemos e7puesto la fórmula para determinar el valor actual de unarenta adelantada podemos obtenerlo a partir de la si#uiente relación$

&' ( 2; n ; i * &' (); n6)! i * , c

-42-Esto se puede escribir$

(),i* n-1 6 ) &' (2; n; i* c . a (); n; i* , c c , c



i (),i* n-1

(),i* n-1 6 ) &' (2; n; i* c 0 , ) 1

i (),i* n-1

(),i* n-1 6 ) i (),i* n-1

&' (2; n; i* c 0 , 1i (),i* n-1 i (),i* n-1

(),i* n-1 ( ), i * 6 ) &' (2; n; i* c i (),i* n-1

(),i* n 6 )

&' (2; n; i* c i (),i* n-1

5i se multiplica al numerador y al denominador por ( ) , i * resulta$

(),i* n 6 ) &' (2; n; i* c ( ) , i * ( )2. 8. )* i (),i* n

5i se hace c )! entonces puede escribirse$

(),i* n 6 ) a (2; n; i* ( ) , i * ( )2. 8. 8* i (),i* n

donde a (2; n; i* representa el valor actual o presente de n pa#os unitariosequiespaciados cronoló#icamente! abonados por per"odo adelantado y actualizadosmediante la tasa i! se#ún las re#las del interés compuesto.

Kotemos que la aplicación de &' (2; n; i* o la de a (2; n; i* en el caso de una rentaunitaria! es equivalente a <trasladar= al ori#en el flujo de fondos esto es! a descontarloo actualizarlo.

5eFalemos también que el procedimiento que hemos se#uido es uno de variosdesarrollos que permiten obtener &' (2; n; i*. En los ejercicios incluiremos otros.

-43-

10.3. Ejercicios.

1. ndique qué si#nifica$ a) &' (); n; i*

b) a (2; n; i*



(),i* n 6 ) a(2; n; i* () , i *

i (),i* n

El resultado para &' (2; n; i* si#ue de multiplicar a a (2; n; i* por c.

4. %esarrollar la fórmula tendiente a hallar el valor actual de la renta representada enel si#uiente esquema. 5e hace notar que i! iN! iNN representan tasas de interés vi#entesen el per"odo$

i i iN iN iNN iNN iNN) 8 9 : > ? @ C

c c c cN cN cN

Respuesta:

(),i* 3 6 ) (),iNN* 3 6 ) )&alor actual al momento ) c (), i * , cN (),i* 3 i (),iNN* 3 iNN (),i O* 2

(),i*2

5. Malle las si#uientes relaciones$

a* entre a (2; n; i* y a (); n; i*b* entre &' (2; n; i* y &' (); n; i*c* entre s (2; n; i* y a (2; n; i*d* entre &' (2; n; i* y &A (2; n; i*e* entre a (); n; i* y s (); n; i *f* entre &A (2; n; i* y &' (); n; i*

a* entre a (2; n; i* y a (); n; i*. 5e tiene que$

(),i* n 6 ) a(2; n; i* () , i * y que$ i (),i* n

(),i* n 6 ) a(); n; i*

i (),i* n

-45-

-or lo tanto! si se dividen ordenadamente esas e7presiones resulta$

a (2; n; i* + a (); n; i* ( ) , i *

o bien$ a (2; n; i* ( ) , i * a (); n; i*. Es decir! el valor actual de una renta

adelantada unitaria se puede obtener capitalizando por un per"odo el valor actual deuna renta unitaria vencida.



b* entre &' (2; n; i* y &' (); n; i*. se puede observar que cada una de estasfórmulas difiere de la respectiva precedente en el factor c. 'l efectuar la división estefactor se simplifica y por lo tanto resulta$ &' (2; n; i* + &' (); n; i* ( ), i *. Esto

si#nifica que! en #eneral! el valor actual de una renta adelantada se puede obtener capitalizando por un per"odo el valor actual de una renta vencida.

c* entre s (2; n; i* y a (2; n; i*. El esquema si#uiente muestra que los pa#os unitariosse efectúan en la misma fecha y que el momento de la valuación implica trasladar alos valores finales o los actuales n per"odos.

2 ) 8 ......... n6) n

) ) ) ......... )a (2; n; i* s (2; n; i*

-or lo tanto$ s (2; n; i* a (2; n; i* (), i * n. El valor final de una renta unitariaadelantada es i#ual al valor actual de la misma renta capitalizada por n per"odos se#únlas re#las del interés compuesto. El mismo resultado se obtiene si se detallan lasfórmulas de s (2; n; i* y a (2; n; i* y! si por ejemplo! se multiplica a la fórmula de a (2; n;i* por (), i * n se obtiene la fórmula de s (2; n; i*.

d* entre &' (2; n; i* y &A (2; n; i*. 5i en el esquema anterior se sustituyen los ) por el valor c de las cuotas se obtienen las valuaciones de &' (2; n; i*! en el momento 2 yla de &A (2; n; i* en el momento n. omo en el caso anterior se ve que el momento dela valuación implica trasladar a los valores actuales o los finales por n per"odos. -or lotanto$ &A (2; n; i* &' (2; n; i* (), i * n. En #eneral! el valor final de una rentaadelantada se puede obtener capitalizando por n per"odos se#ún las re#las del interés

compuesto! el valor actual de la misma renta.

e* entre a (); n; i* y s (); n; i *. El esquema muestra la relación entre los valoresactuales y finales de las rentas unitarias vencidas.

2 ) 8 ......... n6) n

) ) ......... ) ) a (); n; i* s (); n; i*

Es fácil deducir que s (); n; i* a (); n; i* (), i * n. El valor final de una renta unitaria

-46-

vencida es i#ual al valor actual de la misma renta capitalizada por n per"odos se#únlas re#las del interés compuesto. El mismo resultado se obtiene si se detallan lasfórmulas de s (); n; i* y a (); n; i* y! si por ejemplo! se multiplica a la fórmula de a (); n;i* por (), i * n se obtiene la fórmula de s (); n; i*.

f* entre &A (2; n; i* y &' (); n; i*. 5i en el esquema del ejercicio e* se sustituyen los

unos por el valor c de las cuotas es fácil ver que$ &A (); n; i* &' (); n; i* (), i *n

. El



valor final de una renta vencida es i#ual al valor actual de la misma renta capitalizadapor n per"odos se#ún las re#las del interés compuesto.

Estos resultados nos muestran que! en #eneral! los valores finales se pueden obtener

capitalizando por n per"odos y aplicando las re#las del interés compuesto! loscorrespondientes valores actuales! ya sea de las rentas adelantadas o de las vencidasse#ún el caso.

6. HEs válida la si#uiente i#ualdadI E7plique por qué s" o por qué no.

() , i* n 6 ) ) 6 v n

a (2; n; i* () , i* () , i* i () , i* n i

-ara que ambas e7presiones sean i#uales se debe cumplir que

() , i* n 6 ) sea i#ual a ) 6 v n

i () , i* n i

Esta i#ualdad fue demostrada en ()2.).@*. -or lo tanto la relación es válida.

7. 5e espera que una determinada inversión efectuada el 2)+28+3@ produzca un flujode fondos mensual de 8.)22 durante 3 meses a partir del 2)+29+3@ Huál debe ser elmonto de la inversión si se desea que la rentabilidad sea del 8G efectivo mensualI

Soluci!:

&olcamos los datos en un eje de tiempo$

2)+28+3@ 2)+29+3@ 2)+2:+3@ 2)+2>+3@ 2)+))+3@

8.)22 8.)22 8.)22 8.)22 &' (); 3; 2!28*

( ) , 2!28* 9 6 )

&' (); 3; 2!28* 8.)22 )@.):2!@2( ) , 2!28* 9 2!28

-47-

Respuesta: El monto de la inversión es )@.):2!@2.

8. %eterminar cuánto debo recibir el 2>+2:+3@ por la cesión de un contrato de locaciónque estipula pa#os mensuales de ).>22! durante dos aFos! pa#aderos a partir del2>+2>+3@. La tasa de interés establecida es del 2!3G efectiva mensual.

5e trata del valor actual de una renta vencida de ).>22 durante 8: meses. 's" que$



( ) , 2!223* 24 6 ) &' (); )>; 2!223* ).>22 98.8:@!?:

( ) , 2!223*24

2!223

Respuesta: El 2>+2:+3@ debo recibir 98.8:@!?: por la cesión del contrato delocación.

9. En el pa"s PP el 8)+29+3@ se emiten t"tulos de valor nominal )22! los que seránamortizados en C cuotas mensuales de )9!2@. La primera cuota es abonada el8)+2:+3@. 5e desea saber cuánto estaré dispuesto a ofrecer en la fecha de emisiónpor la compra de un t"tulo de valor nominal )22 si deseo obtener una rentabilidaddel )!9G mensualI

El precio del t"tulo consiste en el valor actual de los pa#os futuros. En este caso elesquema de pa#os es el si#uiente$

8)+29+3@ 8)+2:+3@ 8)+2>+3@ 8)+2?+3@ 8)+))+3@

)9!2@ )9!2@ )9!2@ )9!2@ &' (); C; 2!2)9*

( ) , 2!2)9* 8 6 ) &' (); C; 2!2)9* )9!2@ 3C!@2 ( ) , 2!2)9* 8 2!2)9

Respuesta: Estaré dispuesto a ofrecer 3C!@2

10. on fecha 2?+29+3@ se adquiere un terreno que será abonado mediante 8: cuotasmensuales! de ).:3@!@8! siendo la tasa de financiación del )!>G efectivo mensual!la primer cuota se abona el 2?+2:+3@. 5e desea saber cuál es el valor de contado delbien adquiridoI

Respuesta: El valor de contado se obtiene calculando el valor actual de acuerdo con

las fórmulas ya vistas. En este caso el número de mensualidades es 8: y la tasaaplicada en esta operación es el )!>G mensual. El valor presente o precio de contadoes de 92.222.

-48-11. ' una persona se le presentan las si#uientes alternativas para la compra de unautomóvil$

a) pa#o al contado )?.>22 el )2+2)+3@b) pa#o de 9? cuotas mensuales de >>2. La primer cuota se abona el )2+28+3@! y enla fecha de entre#a de la unidad ()2+2)+3@* se abona! además! un anticipo

equivalente a una cuota. La tasa de financiación es del )8G efectiva anual. Huál delas dos alternativas es la más convenienteI



)2+2)+3@ )2+28+3@ )2+29+3@ )2+2:+3@ )2+)8+33

>>2 >>2 >>2 >>2 >>2♣

&' (2; 9?; i*

La tasa aplicada! i ! es$ ()!)8* 92 + 9?> 4 ) 2!2239>C8

El valor actual de las cuotas es$

( ) , 2!22239>C8* 36 6 ) &' (); 9?; 2!2239>C8* >>2 )?.@:9!3? ( ) , 2!2239>C8* 36 2!2239>C8

Respuesta: La alternativa a) es la más conveniente.

12. La empresa 5ol 5. '. recibió! el 2)+29+822)! t"tulos públicos en dólares en láminasde )222 valor nominal! como pa#o de un juicio contra el Estado en el que la Qusticiaordenó abonar dólares 9>.222 al demandado.

Los t"tulos fueron emitidos por un plazo de )2 aFos! el 23+23+8222 y pa#an interesessemestralmente sobre una base de 9?2 d"as! el 3 de marzo y el 3 de setiembre decada aFo por per"odos vencidos! siendo la tasa el )2G efectivo anual. El capital serádevuelto al vencimiento. 5e desea saber cuántas láminas debe recibir la empresa.

La tasa de interés semestral del t"tulo es $ ()!)2* )C2 +9?2 4 ) 2!2:CC23. El interéssemestral de cada lámina es$ ).222 B 2!2:CC23 :C!C) dólares. 5e#uidamente sepresentan el esquema de pa#os del t"tulo y las fechas correspondientes para efectuar la valuación$

2)+29+2) 23+29+2) 23+23+2) 23+29+28 23+23+)2

:C!C) :C!C) :C!C) :C!C) ).222 ♣

&' ( 2; 82; 2!2:CC23*

-49-El valor actual del t"tulo al 23+29+2) es i#ual al valor actual de las cuotas más el valor actual de los )222 dólares que se abonarán al vencimiento. La tasa de interés queemplearemos será la del t"tulo! es decir el :!CC23G semestral. Lue#o$

( ) , 2!2:CC23* 20 6 )&' ( 2; 82; 2!2:CC23* :C!C) )!2:CC23 ?::!:?. ( ) , 2!2:CC23* 20 2!2:CC23

El valor actual de los ).222 dólares es$ )222 + ( )!2:CC23* )3 :2:!9?.



Esto si#nifica que al 23+23+2) la lámina de ).222 dólares vale$ ).2:C!C8 dólares. Elvalor actual al 2)+29+2)! teniendo en cuenta que hay C d"as de diferencia es$

)2:C!C8 + ()!)2* C + 9?2 )2:?!?2 dólares.

Es decir! el 2)+29+2) la empresa puede recibir 99 láminas y cobrar :?8!82 dólares.

Kotemos que si al valor actual de )2:C!C8 dólares se lo actualiza un per"odo seobtiene el valor actual de la lámina! esto es$ )2:C!C8 + )!2:CC23 )222!2). Ladiferencia de un centavo se debe a los <redondeos=.

13. Rna persona deposita 92.222 el 2>+29+28 a 92 d"as de plazo! renovando laoperación en cada vencimiento. 5uponiendo que desea mantener el depósito durante9? meses y este le reditúa el ) G mensual de interés! Hqué suma podrá retirar mensualmente de manera que el depósito se e7tin#a a su vencimientoI.

5i denominamos c a la suma que retira mensualmente! al cabo del primer mes elinversor posee 92.222 () , 2!2)* 4 c. 'l cabo del se#undo mes posee esa sumacapitalizada por un per"odo más al que hay que deducirle el se#undo retiro! es decir lariqueza del inversor asciende ahora a$ 092.222 ()!2)* 4 c 1 ()!2)* 4 c.

5i se efectúa el producto se puede e7presar como$ 92.222 ()!2)* 8 4 c (), i * 4 c. -or lotanto en el per"odo n 4 ésimo se tendrá$

92.222 ()!2)* n 4 c (), i * n 6) 4 c(), i * n 68 4 .... 4 c 2

Esto se puede escribir! considerando los 9? per"odos de la operación y que el depósito

debe ser nulo al vencimiento! como$

( ) , 2!2)* 36 6 ) 92.222 ()!2)* 9? 4 c 2 . 2!2)

5i se despeja c se halla que el retiro mensual es de$ 33?!:8.

-50-

10. 4. Cuotas relativas a los valores actuales.

En este punto calcularemos la cuota periódica c! equiespaciada cronoló#icamente! queabonada por término vencido y valuada al inicio de la operación mediante la aplicaciónde la tasa i! #enera un valor actual! di#amos &' (); n; i*. El mismo #ráfico que sirviópara apreciar esquemáticamente el si#nificado de &' (); n; i* sirve también paravisualizar las relaciones que este valor presente tiene con c.

La fórmula relativa a &' (); n; i* se deduce inmediatamente de ()2.).:*. En efecto de$



&' (); n; i* c . a (); n; i* en la que$

( ) , i * n 6 ) ) 6 v n

a (); n; i*

i ( ) , i * n ise obtiene$

c &' (); n; i* . a -1 (); n; i* ()2.:.)*donde$

i ( ) , i * n i a -1 (); n; i* ()2.:.8* ( ) , i * n 6 ) ) 6 v n

El si#nificado de a –1 (); n; i* se puede obtener haciendo &' (); n; i* ) en ()2.:.)*.

Entonces! podemos comprobar que a –1 (); n; i* es la cuota periódica! equiespaciadacronoló#icamente! que valuada en el ori#en de la operación mediante la aplicación dela tasa i! se#ún las re#las del interés compuesto! constituye un valor actual de ). Elesquema #ráfico es el si#uiente$

2 ) 8 n6) n

a -1 (); n; i* a -1 (); n; i* a -1 (); n; i* a -1 (); n; i*

B )

Ejemplo 10.4.1

El 2>+2:+3? me otor#an un préstamo de )2.222 que será devuelto en )8 cuotasmensuales! i#uales y consecutivas! la primera de las cuales es abonada el 2>+2>+3?.%eterminar el valor de las cuotas (aplicando las re#las del interés compuesto* si latasa es el )?G nominal anual. j (30) 7 92 2!)? 7 92La tasa mensual resulta$ 2!2)9)>2?C ó )!9)>2?CGmensual

9?> 9?>

-51-Entonces! si para calcular la cuota se aplica ()2.:.)* y ()2.:.8* se obtiene$

c )2.222 a -1 (); )8; 2!2)9)>2?C*

donde$

2!2)9)>2?C . ()!2)9)>2?C*12

a -1 (); )8; 2!2)9)>2?C* 2!232?8@)@ ()!2)9)>2?C*12 6 )

%e modo que$



c )2.222 7 2!232?8@)@ 32?!8@

ráficamente$

2 ) 8 )) )8

32?!8@ 32?!8@ 32?!8@ 32?!8@

B )2.222

El lector puede verificar que el valor actual de )8 pa#os de 32?!8@ cada uno! en lascondiciones enunciadas constituyen un valor actual de )2.222 haciendo$

&' (); )8; 2!2)9)>2?C* 32?!8@ . a (); )8; 2!2)9)>2?C*

5i &' (); n; i* representa un préstamo! entonces la cuota calculada mediante ()2.:.)*$

c &' (); n; i* a -1 (); n; i*

es la cuota que corresponde a un sistema de préstamos denominado francés.&eremos que esta cuota se puede dividir en dos partes$ una de las cuales sedenomina amortización del capital y es la parte de la cuota que tiene por finalidad

reconstituir el monto prestado y la otra es el interés! que es percibido por los serviciosque se derivan del uso del capital.

5i ahora la cuota periódica c! equiespaciada cronoló#icamente! es abonada alcomienzo del per"odo y las cuotas son valuadas en el momento presente! al inicio dela operación! aplicando la tasa i y si#uiendo las re#las del interés compuesto! se#enera un valor actual! di#amos &' (2; n; i*.

-or lo tanto! si efectuamos la pre#unta inversa acerca de qué cuota abonada alcomienzo de cada per"odo produce un valor actual &' (2; n; i*! siempre que lavaluación se ha#a

-52-aplicando la tasa i se#ún las re#las del interés compuesto! este razonamiento nos llevaa determinar la cuota correspondiente al valor actual de las rentas adelantadas.

El mismo #ráfico que sirvió para apreciar esquemáticamente el si#nificado de &' (2; n;i*! sirve también para visualizar las relaciones que este valor presente tiene con c.

2 ) 8 9 n6) n

c c c c c



c )2.222 a -1 (2; )8; 2!2)9)>2?C*

donde$

) 2!2)9)>2?C . ()!2)9)>2?C*12

a -1 (2; )8; 2!2)9)>2?C* 2!2C3:>2@? ()!2)9)>2?C* ()!2)9)>2?C*12 6 )

%e modo que$

c )2.222 7 2!2C3:>2@? C3:!>)

ráficamente$

2 ) 8 )) )8

C3:!>) C3:!>) C3:!>) C3:!>)

B )2.222

El lector puede verificar que el valor actual de )8 pa#os de C3:!>) cada uno! en lascondiciones enunciadas constituyen un valor actual de )2.222 haciendo$

&' (2; )8; 2!2)9)>2?C* C3:!>) . a (2; )8; 2!2)9)>2?C*

5e hace notar que al mismo resultado anterior de C3:!>) se lle#a si se consideraque se trata de un préstamo de 3)2>!:3 que será devuelto mediante )) cuotaspa#aderas al finalizar cada per"odo.En efecto$ c 3)2>!:3 a -1 (); )); 2!2)9)>2?C*

donde$ 2!2)9)>2?C . ()!2)9)>2?C*11

a -1 (); )8; 2!2)9)>2?C* 2!23C89C98C? ()!2)9)>2?C*11 6 )

-54- 's" que$ c 3)2>!:3 B 2!23C89C98C? C3:!>).

Este último procedimiento muestra con qué facilidad las cuotas correspondientes a losvalores actuales de las rentas adelantadas se pueden deducir de las correspondientesfórmulas de las rentas vencidas. 5e hace notar que los préstamos pa#aderos por per"odo vencido no presentan la inconsistencia de los pa#aderos por per"odoadelantado de tener que devolver! en el momento de efectivizarse el préstamo! unaparte de la suma recibida. Esto! por supuesto! es al#o que no ocurre en la práctica.

10. 5. Ejercicios.



1. rafique y defina$

a) a -1 (); n; i*

b) a -1

(2; n; i c) la cuota que corresponde a un valor presente$ &' (2; n; i*

a) El #ráfico de a -1 (); n; i* puede presentarse as"$

2 ) 8 9 n6) n

a –1 a –1 a –1 a –1 a -1

B )

5e puede definir a -1

(); n; i* como la cuota que abonada por término vencido! enintervalos equiespaciados durante n per"odos! valuada a la tasa i se#ún las re#las delinterés compuesto! produce un valor actual unitario.

b) El #ráfico de a -1 (2; n; i* puede presentarse as"$

2 ) 8 9 n6) n

a -1 a –1 a –1 a –1 a –1

B )

En la definición precedente solo hay que cambiar <vencido= por el vocablo adelantadoy se obtiene la correspondiente definición.

c) 5i en el #ráfico del punto b* de este mismo ejercicio se sustituye a -1 (2; n; i* por c y) se sustituye por &' (2; n; i* se obtiene el #ráfico de la cuota que corresponde alvalor presente$ &' (2; n; i*.

5e puede definir la cuota que corresponde a un valor presente &' (2; n; i* comoaquella cuota! c! que abonada al comienzo de cada per"odo! en intervalosequiespaciados!

-55-

durante n per"odos! valuada a la tasa i se#ún las re#las del interés compuesto!produce un valor actual &' (2; n; i*.

2. Malle las fórmulas de$ a) a -1 (2; n; i* a partir de la fórmula de a -1 (); n; i*. b) la cuota c! que corresponde a un valor presente &' (2; n; i* aplicando la fórmula dela suma de los términos de una pro#resión #eométrica.

Los #ráficos si#uientes$

2 ) 8 9 n6) n



a 4) ( 2; n ; i* a 4) ( 2; n ; i* a 4) ( 2; n ; i* a 4) ( 2; n ; i* a 4) ( 2; n ; i*

B )

2 ) 8 9 n6) n

a 4) ( ); n; i* a 4) ( ); n; i* a 4) ( ); n; i* a 4) ( ); n; i* a 4) ( ); n; i*

B )

muestran que si se actualiza por un per"odo el valor de las cuotas a 4) ( ); n ; i* de unarenta vencida de n términos! el esquema resultante es el que corresponde al de larenta pa#adera por per"odo adelantado; es decir$ a 4) ( 2; n ; i* v. a 4) ( ); n 6) ; i*.

Entonces$ ) i (),i* n

a 6 ) (2; n; i* (1+i) (1+i) n - 1

Esta fórmula ya fue obtenida en ()2. :. :*.

/tra forma! aunque bastante más complicada de deducir la fórmula de a 6 ) (2; n; i* sepuede obtener si se considera que se trata de la cuota de una renta vencida por (n6)*per"odos calculada a partir de un valor actual unitario al que se le ha deducido laprimer cuota de la adelantada.

2 ) 8 9 n6) n

a 4) ( ); n6); i* a 4) ( ); n6); i* a 4) ( ); n6); i* a 4) ( ); n6); i*

B )

El esquema precedente es similar al que hemos presentado para a 4) ( 2; n ; i* con lasalvedad de que el valor actual ahora es$ ) 4 a 4) ( 2; n ; i*. -or lo tanto! si se calcula la

-56-cuota vencida por (n 6)* per"odos sobre este valor actual se obtiene la cuotacorrespondiente a la renta adelantada.

Esto si#nifica que$ a 4) ( 2; n ; i* 0 ) 6 a 4) ( 2; n ; i* 1 a 4) ( ); n 6) ; i*

Efectuando el producto indicado y pasando al primer miembro el término que contieneal factor a 4) ( 2; n ; i* resulta$ a 4) ( 2; n ; i* 0 ) , a 4) ( ); n6) ; i* 1 a 4) ( ); n 6) ; i*.

Entonces$ a 4) ( ); n6) ; i*

a 4) ( 2; n ; i* ) , a 4) ( ); n6) ; i*

0 i (),i* n 6 )1 + 0 (),i* n 6 ) 6 ) 1



a 4) ( 2; n ; i* (),i* n 6 ) 4 ) i (),i* n 6 )

,(),i* n 6 ) 6 ) (),i* n 6 ) 4 )

i (),i* n 4 ) i (),i* n 4 ) () ,i*

a 4) ( 2; n ; i* (),i* n 6 ) (),i* n 6 ) () ,i*

%e donde resulta$

) i (),i* n 4 )

a 4) ( 2; n ; i* () ,i* (),i* n 6 )

b) la cuota c! que corresponde a un valor presente &' (2; n; i* aplicando la fórmula dela suma de los términos de una pro#resión #eométrica.

El valor actual de las cuotas c está dado por$

&' (2; n; i* c , c. v , c. v 8 ,...... , c .v n6) c 0) , v , v 8 ,...... , v n6) 1.

La suma de los términos de la pro#resión #eométrica S )! v! .....! v n6)T corresponde alvalor actual a (2; n; i* de la cuota unitaria y está dada por$

a (2; n; i* 0) 6 v n 1 + 0 ) 4 v 1

) 6 v n a (2; n; i* () , i *

iUeniendo en cuenta que &' (2; n; i* c . a (2; n; i* resultará$ c .&' (2; n; i* . a 6 ) (2; n;i*

-57-

donde$ ) i a 6 ) (2; n; i* ( )2. > . )* ), i ) 6 v n

3. Malle las si#uientes relaciones$

a* entre a -1 (2; n; i* y a -1 (); n; i*b* entre a -1 (); n; i* y s-1 (); n; i*c* entre a -1 (); n; i* y s-1 (2; n; i*d* entre a -1 (2; n; i* y s-1 (); n; i*e* entre a -1 (2; n; i* y s-1 (2; n; i*

a* entre a -1 (2; n; i* y a -1 (); n; i*. Esta relación puede obtenerse a partir de lasfórmulas respectivas$



$ ) i i a 6 ) (2; n; i* y a 6 ) (); n; i* () , i * ) 6 v n ) 6 v n

$

5i se divide ordenadamente se ve que$ a 6 )

(2; n; i* + a 6 )

(); n; i* v. Esto si#nificaque la cuota correspondiente al valor actual de una renta adelantada es menor que lacuota que corresponde al valor actual de la vencida y que si se divide a esta últimacuota por la cantidad ( ) , i * se obtiene la cuota que forma el valor actual de unarenta adelantada. Este hecho se e7plica porque la cuota adelantada cancelaanticipadamentre con respecto a la vencida y por lo tanto debe tener menor valor paraconstituir el mismo valor actual unitario. b* entre a -1 (); n; i* y s-1 (); n; i*. Las fórmulas respectivas son$

i ( ) , i * n ia -1 (); n; i* y s -1 (); n; i*

( ) , i * n 6 ) ( ) , i * n 6 )

Es inmediato que s -1 (); n; i* . () , i * n a -1 (); n; i*. 5i se capitalizan por n per"odosse#ún las re#las del interés compuesto las cuotas que constituyen un valor finalunitario se obtienen las cuotas que corresponden a un valor actual unitario. Estarelación vale también para a -1 (2; n; i* y s-1 (2; n; i*.

%e otra manera. 5i se tiene en cuenta que a (); n; i* . ( ) , i * n s (); n; i*! entoncescalculando las inversas se halla que s -1 (); n; i* . () , i * n a -1 (); n; i *.

c* entre a -1 (); n; i* y s-1 (2; n; i*. Ueniendo en cuenta que$

i ( ) , i * n ) ia -1 (); n; i* y s -1 (2; n; i*

( ) , i * n 6 ) ( ) , i * ( ) , i * n 6)

5e ve que $ a -1 (); n; i* + s -1 (2; n; i* ( ) , i * n + 1 .

-58-

's" que! por ejemplo! se puede obtener$ a -1 (); n; i* s -1 (2; n; i* ( ) , i * n + 1

Los otros ejercicios que piden las relaciones d* entre a -1 (2; n; i* y s-1 (); n; i* y e*entre a -1 (2; n; i* y s-1 (2; n; i* se resuelven de manera similar y se dejan a car#o dellector.

4. Jesuelva el ejemplo ()2.:.8* aplicando la fórmula ()2.>. )*. ' continuacióntrascribimos el ejemplo y la fórmula ()2.>. )*.

El 2>+2:+3? me otor#an un préstamo de )2.222 que será devuelto en )8 cuotasmensuales! i#uales y consecutivas! la primera de las cuales también es abonada el2>+2:+3?. %eterminar el valor de las cuotas (aplicando las re#las del interéscompuesto* si la tasa es el )?G nominal anual.

) i



a 6 ) (2; n; i* ), i ) 6 v n

j (30) 7 92 2!)? 7 92La tasa mensual resulta$ 2!2)9)>2?C ó )!9)>2?CGmensual

9?> 9?>

5i aplicamos la fórmula v resulta$ v ) + )! 2)9)>2?C 2!3C@2822. %e modo que v )8

resulta$ v)8 2!C>:C38>. Entonces$

) 2!2)9)>2?Ca 6 ) (2; n; i* 2!2C3:>2C8

)! 2)9)>2?C ) 6 2!C>:C38>

5i se multiplica a este resultado por )2.222 se obtiene el valor de la cuota.

Respuesta: El valor de la cuota es C3:!>).

5. Quz#ue si es correcta la si#uiente afirmación$<La cuota de un préstamo que se abona mediante el pa#o de n cuotas por términoadelantado! se puede calcular utilizando la fórmula que corresponde a la cuota de unarenta que se abona por término vencido! con la salvedad que hay que deducir laprimer cuota de la adelantada del monto del préstamo y este queda reducido al pa#ode (n6)* cuotas vencidas=.

Esta afirmación es correcta y fue utilizada para resolver el Ejemplo )2.:. 8.

6. 5i usted se decidió por la afirmativa en el ejercicio anterior! entonces debe ser ciertoque$ c0 c1 donde c0 &' (2; n; i* a -1 (2; n; i* y c1 S &' (2; n; i 6 c0 T a -1 (); n6); i*.

-59-HEs correcta esta afirmaciónI &erif"quela.

5". Este último resultado fue obtenido en el ejercicio número 8 de esta serie.

7. %emuestre que a -1 (2; n; i* v a -1 (); n; i*.

Ueniendo en cuenta que$) i (),i* n

a 6 ) (2; n; i* (1+i) (1+i) n - 1

el primer factor del se#undo miembro es v y el se#undo factor es a -1 (); n; i*! lai#ualdad es inmediata.

8. H Es correcto afirmar que a -1 (2; n; i * es menor que a -1 (); n; i* porque las rentas



adelantadas capitalizan un per"odo más que las vencidasI E7plique.

5i se consideran los esquemas que corresponden a las cuotas a -1 (2; n; i * y a lascuotas a -1 (); n; i* se observa que aquellas están desplazadas un per"odo hacia la

izquierda con respecto a estas. omo la valuación se hace al comienzo ! aquellas sonactualizadas un per"odo menos! es decir! son capitalizadas un per"odo más! de modoque la afirmación es correcta.

9. %emuestre que$ i () , i* n i

() , i* n 6 ) ) 6 vn

-uesto que v n ) + (), i * n ! entonces ) 6 v n ) 6 0) + (), i * n 1! as" que ) 6 v n puedeescribirse$ 0 (), i * n 6 ) 1 + (), i * n . 5i se reemplaza el denominador del se#undomiembro de la i#ualdad por este resultado se completa inmediatamente la

demostración.

10. El 89+2:+3@ un individuo desea comprar una maquinaria cuyo valor contado es8).222. omo no posee el dinero debe decidir comprarlo recurriendo a los si#uientespréstamos$

a) uno que será cancelado en un solo pa#o el 89+)8+3@ a la tasa del ))G nominalanual! para el plazo de la operación.

b) otro que será cancelado en C cuotas mensuales! pa#aderas a partir del 89+2>+3@!que incluyen un interés del )G mensual y un pa#o adicional de 8.>22 junto con la

última cuota. La valuación se efectúa se#ún las re#las del interés compuesto.

Se "esea sabe#:i)HVué alternativa es la más conveniente ii) Huánto dinero debe devolver si sedecide por la primera de ellas y iii) H' cuánto asciende el valor de las cuotasmensuales de la tercer alternativaI

-60-

En el caso a* se puede hacer el esquema de la operación de la si#uiente forma$

89+2:+3@ 89+)8+3@

8).222 I

Entre esas dos fechas median 8:: d"as y la tasa nominal para ese plazo es el ))Ganual. 's" que la tasa que se aplicará es$ 2!)) B 8:: + 9?> 2!2@9>9:8.

Entonces$ 8).222 B )!2@9>9:8 88.>::!88.

En el caso b* el esquema de la operación es el si#uiente$

89+2:+3@ 89+2>+3@ 89+2?+3@ 89+))+3@ 89+)8+3@



8).222 c c c c8.>22

El cálculo de la cuota se puede obtener a partir de$

8).222 c a ( ); C; 2!2) * , 8>22 + ()!2)* C

.

Entonces la cuota c! resultará de 8.::8! @@.

El valor final de estas sumas es 8.::8!@@ s (); C; 2!2)* , 8>22 88.@93!33. Respuesta: i) onviene la alternativa a). ii) 5e#ún la alternativa a) debe devolver 88.>::!88. iii)El valor de las cuotas asciende a 8.::8!@@

11. on fecha 8>+29+3@ se adquiere un terreno por valor de :>.222! el mismo será

abonado de la si#uiente forma$ el :2G al contado y el resto en )C cuotas bimestralesconstantes pa#aderas a partir del 8>+2@+3@ las que incluyen un interés del )G efectivomensual. 5e desea saber el valor de las cuotas.

5i el :2G es abonado al contado esto si#nifica que la deuda es de [email protected]. 'demás!como la deuda deberá ser satisfecha a partir del 8>+2@+3@! es decir con un bimestre dediferimiento! este hecho debe incluirse en el cálculo! en el que la tasa efectivabimestral es )!2)8 6 ) 2!282). Lue#o$

[email protected] c B v B a ( ); )C; 2!282)*

5i se tiene en cuenta que v ) + )!282) y se despeja el valor de la cuota c! se halla

que esta asciende a ).C9C!@@.

-61-

12. El d"a 8)+29+3? me otor#aron un préstamo de )22.222 que se cancelarámediante )>2 cuotas mensuales i#uales y consecutivas abonadas el 8) de cada mes apartir del 8)+2:+3?. La tasa de interés es el )8G efectivo anual. 5i el 8)+2:+3@ ! previoacuerdo con el prestamista abono además de la cuota! )2.222 en carácter deamortización e7traordinaria Huál será el valor de la nueva cuota! a partir del8)+2>+3@ considerando ese pa#o e7traordinarioI

Los datos se pueden presentar de la si#uiente forma$

21/3/96 21/4/96 21/5/96 21/6/96 21/7/96 21/8/96 21/9/97 21/10/97 21/11/97 21/12/97

21/9/2008

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9

c150

)22.222

alculemos la cuota ori#inariamente pactada$



() , 2!2239>C8*150 7 2!2239>C8 )22.222 ).8:9!8? () , 2!2239>C8*150 6 )

En un principio se pactaron )>2 cuotas de ).8:9!8? cada una. 'hora consideremosla modificación de las condiciones iniciales$

8)+9+3? 8)+:+3? 8)+>+3? 8)+)8+3? 8)+)+3@ 8)+8+3@ 8)+9+3@ 8)+:+3@ 8)+>+3@ 8)+?+3@8)+3+822C

).8:9!8? ).8:9!8? ).8:9!8? ).8:9!8? ).8:9!8? ).8:9!8? ).8:9!8? c14 c15

c150

)22.222

-'/

'%/K'L )2.222

' partir del 8)+>+3@ se modifica el valor de las cuotas! ya que como consecuencia de laamortización e7traordinaria se modifica el saldo.

-ara establecer el valor de la nueva cuota$)ero* %eterminemos el saldo después de pa#ar la cuota correspondiente al 8)+:+3@!se#ún las condiciones ori#inales$

21/4/97 21/5/97 21/6/97 21/7/97 21/8/97 21/9/97 21/10/97 21/11/97 21/12/97 21/1/98

21/9/2008

c14 c15 c16 c17 c18 c19 c20 c21 c22 c150

s14

-62-

() , 2!2239>C8*137 6 ) s14 ).8:9!8? 3>.@@2!?8 () , 2!2239>C8*137 7 2!2239>C8

21/4/97 21/5/97 21/6/97 21/7/97 21/8/97 21/9/97 21/10/97 21/11/97 21/12/97 21/1/98

21/9/2008

c14 c15 c16 c17 c18 c19 c20 c21 c22 c150

s14 3>.@@2!?8

'W/JUX'YKEDUJ'/J%K'J' )2.222

'l saldo determinado le restamos la amortización e7traordinaria para determinar elnuevo saldo que deberá cancelarse en las )9@ cuotas restantes$

3>.@@2!?8 6 )2.222 C>.@@2!8?



'hora estamos en condiciones de determinar el valor de la nueva cuota$

() , 2!2239>C8*137 7 2!2239>C8

C>.@@2!8? ).))9!:: () , 2!2239>C8*137 6 )

Respuesta: El valor de la nueva cuota asciende a ).))9!::

13. %eterminar el valor de las cuotas del ejercicio anterior considerando que laamortización e7traordinaria se pactó ori#inariamente.

&olcamos los datos en un eje de tiempo$

8)+9+3? 8)+:+3? 8)+>+3? 8)+)8+3? 8)+)+3@ 8)+8+3@ 8)+9+3@ 8)+:+3@ 8)+>+3@ 8)+?+3@8)+3+822C

c c c c c c c c c c

)22.222 -'/ '%/K'L )2.222

() , 2!2239>C8*150 6 ) )2.222 )22.222 c , () , 2!2239>C8*150 7 2!2239>C8 () , 2!2239>C8*13

-or lo tanto las cuotas ascenderán a ).)99!)8.

-63-

10. 6. Una relación importante entre a 1 !1" n" i# $ s1 !1" n" i#

5e puede demostrar que a -1 (); n; i* ≡ s-1 (); n; i* , i. 5i se recuerda que en el caso deun préstamo unitario! a -1 (); n; i* representa la cuota del denominado sistema francés!la i#ualdad precedente muestra la forma en que se descompone la primer cuota en elmencionado sistema. &eremos más adelante que s-1 (); n; i* es la parte de la cuotatendiente a reconstituir el monto prestado! en tanto que i es el interés que se abonapor el uso del capital.

La demostración puede derivarse de la si#uiente identidad$

i ( ) , i * n i , 0 ( ) , i* n 6 )1 i

5i ahora dividimos ambos miembros por ( ) , i * n 6 )! se obtiene$

i ( ) , i * n i 0 ( ) , i* n 6 )1 i ≡ , ( ) , i * n 6 ) ( ) , i * n 6 ) ( ) , i* n 6 )1



5i se simplifica en el último término del se#undo miembro resulta$

i ( ) , i * n

i≡ , i ()2.?.)*

( ) , i * n 6 ) ( ) , i * n 6 )

on lo que se completa la demostración! ya que el primer miembro es a -1 (); n; i* y else#undo es s-1 (); n; i* , i.

Ueniendo en cuenta que$

i () , i* n i

() , i*n

6 ) ) 6 vn

resulta también que$

i i , i ()2.?.8*

) 6 vn () , i* n 6 )

-64-

10. 7. Ejercicios

1. &erifique que$

i i , i

) 6 vn () , i* n 6 )

5i se tiene en cuenta que$ () , i * n 6 ) ( ) + v n * , ) () 4 v n * + v n y que en else#undo miembro se puede sacar factor común i! resulta$

i ) i 0 , ) 1 ) 6 vn () 6 v n * + v n

5i se efectúa la suma dentro de las barras y lue#o se multiplica por i se obtiene elresultado.



2. El 2>+2:+3? se otor#a un préstamo de )2.222 a )8 meses de plazo mediante elsistema francés siendo la tasa de interés el 8G mensual. Malle el interés y laamortización que corresponden a la primera cuota.

Memos indicado que en el sistema francés la cuota se calcula aplicando a 6 )

(); n; i * alsaldo inicial del préstamo! es decir$ c 5 2. a 6 ) (); n; i *! donde hemos denotado con 5 2

al saldo inicial. omo a -1 (); n; i* ≡ s-1 (); n; i* , i ! se puede escribir$

c 5 2. 0 s-1 (); n; i* , i 1

donde 5 2. s-1 (); n; i* es la amortización que corresponde a la primer cuota y 5 2 i esel interés.

-uesto que$ v ) + )!28 2!3C2938 y que la cuota c se puede calcular mediante lafórmula c 5 2 i + ()6 v n* )2.222 . 2!28 + ( ) 4 2!3C2938 )8 * 3:>!>3! entonces elinterés de la primer cuota es ) )2.222 . 2!28 822 y la amortización es @:>!>3.

Este resultado también se puede obtener aplicando la fórmula consi#nada más arriba!es decir haciendo$ 5 2. s-1 (); n; i* )2.222 S 2!28 + 0()!28* )8 4 ) 1T @:>!?2. Ladiferencia se debe a problemas de <redondeo=.

3. El 8C+)2+3? un individuo solicita un préstamo de )2.222! bajo las caracter"sticasdel sistema francés! a cancelarse en )2 cuotas mensuales a partir del 8C+))+3?. Latasa que se aplica es del )G efectivo mensual. 5e desea saber a cuánto asciendela primera cuota teniendo en cuenta que los intereses están sujetos al impuesto alvalor a#re#ado. (tasa vi#ente )2!>G*.

-65-

Resoluci!:

&olcamos los datos en un eje de tiempo

8C+)2+3? 8C+))+3? 8C+)8+3? 8C+2)+3? 8C+2?+3? 8C+2@+3? 8C+2C+3?

c c c c c c

)2.222

Las cuotas! denotadas mediante c incluyen intereses y amortización del capital. Elvalor de las cuotas es$

c &' (); n; i* . a -1 (); n; i*

( ) , 2!2) * 10 2!22)



)2.222( ) , 2!2) * 10 6 )

)2.222 7 2!)2>>C)C ).2>>!C8

5abemos que el &' se abona sobre los intereses! por lo tanto es necesariodescomponer la cuota en los conceptos que la inte#ran$

&' (); n; i* 0 s -1 (); n; i* , i 1

'plicamos la propiedad distributiva$

c &' (); n; i* . s -1 (); n; i* , &' (); n; i* . i

AMORTIZACIÓN INTERÉS

2!2) c )2.222 , )2.222 . 2!2) ( ) , 2!2) * 10 6 )

c 3>>!C8 , )22AMORTIZACIÓN INTERÉS

Los )22 de interés están sujetos a la tasa reducida del )2!>2G en concepto de &'!por lo tanto$-66-

&' )22 7 2!)2>2 )2!>2

on lo cual el valor total a abonar en la primer cuota incluyendo el &' es$

c 3>>!C8 , )22 , )2!>2AMORTIZACIÓN INTERÉS IVA

c ).2??!98

Respuesta: La primer cuota asciende a ).2??!98

La fórmula que permite descomponer la cuota del sistema francés en sus dos partesconstitutivas! intereses y amortización del capital tiene destacada importancia en estesistema de préstamo! tema que será analizado más adelante. 5eFalemos que elinterés se abona por el uso del capital! por los servicios que este presta! en tanto quela amortización está destinada a recomponer el capital! es decir a reconstituir la sumaprestada.



omo hemos seFalado! &' (); n; i* . s -1 (); n; i* representa la amortización del capitalde la primer cuota! en tanto que &' (); n; i* . i representa los intereses de dicha cuota!en tanto que con &' (); n; i* denotamos el monto del préstamo! es decir su valor

actual.

10. 7. Empleo del E%cel.

El pro#rama de cómputo E7cel también resuelve de una manera sencilla los cálculosreferidos a las operaciones tendientes a determinar los valores actuales y permitehallar los valores de las variables que intervienen.

' modo de ejemplo calcularemos los valores actuales de dos rentas! una adelantada yla otra vencida! compuesta cada una de seis pa#os de 822 capitalizados empleando

la tasa del )G en cada per"odo.

En la planilla del E7cel se han completado las casillas de la manera si#uiente$ En '9se ha colocado ). En ': se ha in#resado la fórmula$ '9,) y se ha pulsado la teclaEnter. En ': se obtuvo el valor 8 y el cursor se ha colocado en '>. 5e vuelve el cursor a ': y se lo ubica en el án#ulo inferior derecho! hasta que aparezca el si#no , .Entonces se lo <arrastra <(sin soltar el cursor* hasta 'C. 'parecen los valores 9! :! > y? correspondientes a -er"odo.

En la columna Z se consi#nan las cuotas que en este caso son de 822.

-or ejemplo! en ')2 se puede escribir la tasa! que en este caso es 2!2).

En la columna se efectuará el cálculo de los valores actuales. En la celda 9 se ha-67-

escrito$ Z9+(),')2*[('9* y se ha pulsado la tecla Enter. En 9 aparece)3C!2)3C28 y el cursor se ha ubicado en :. 5e vuelve el cursor a 9 y se efectúa laoperación de <arrastre= hasta C. 5e ha completado la columna de &alor 'ctual.

-or ejemplo! en )2 se puede efectuar la suma de los valores actuales$ para ello sepuede ubicar el cursor sobre el s"mbolo ∑ del menú! hacer <clic\= e indicar el ran#o dela suma! que en este caso va desde 9 hasta C. En )2 aparecerá$ ))>3!23>83.Esta suma es el valor actual de la renta abonada por per"odos vencidos.

-ara hallar el valor actual que corresponde a la renta adelantada basta dividir a )2por )!2). Esto se puede hacer en )8. En esta celda se ha escrito )2B(),')2* yse aprieta la tecla Enter. En )8 aparece )):@!?)3).

-er"odo uota &alor 'ctual

) 822 )3C!2)3C288 822 )3?!2>38)9 822 )3:!))C29

: 822 )38!)3?2?3> 822 )32!839)9C



? 822 )CC!:232:@

Uasa 2!2) ))>3!23>83

)):@!?)3)

El cálculo de estos valores actuales se puede efectuar en forma mucho más simple yrápida empleando los pro#ramas habilitados por el E7cel a estos efectos. Estos estáncontenidos dentro de las funciones financieras del E7cel. -ero previamente conviene(no es necesario* completar en el E7cel un cuadro! por ejemplo! en las columnas E! %y A! como el si#uiente$

tasa 2!2) 2!2)!pe# ? ?pa$o 6822 6822

%& 2 2tipo 2 )

'( ).)>3!)2 ).):@!?8

Lue#o se ubica el cursor sobre el comando f x que se encuentra por lo #eneral en elmenú principal! lue#o <clic\= .

'parece un cuadro de funciones y sobre la parte izquierda hacer <clic\= sobreAinancieras. Rna vez que aparecen las funciones Ainancieras hay que buscar &a y<cli\=. 'hora aparece un cuadro cuyas filas son$ Uasa! Kper! -a#o! &f y Uipo! que

incluye las -68-

correspondientes instrucciones para el volcado de los datos.

's"! por ejemplo! cuando queremos hallar el valor actual de la renta vencida! en Uasaescribimos simplemente E)! en Kper E8 y as" si#uiendo. omo el cursor lo hab"amosdejado en E@ cuando pulsamos 'ceptar! en esta celda apareció ))>3!)2. %e manerasimilar se procedió para calcular el valor actual de la renta adelantada.

5eFalemos que &a devuelve el valor futuro de una inversión basado en pa#os

periódicos y constantes y una tasa de interés también constante; tasa se refiere a latasa de interés por per"odo; Kper es el número total de pa#os; -a#o es el valor de lacuota; &f es el valor final que si se omite toma el valor cero y Uipo es el número 2 ó )correspondiendo el cero a los valores actuales cuyos pa#os se efectúan por per"odovencido y uno a los valores actuales cuyos pa#os se efectúan al comienzo del per"odo.

La forma que hemos ele#ido para presentar los datos! escribiéndolos previamente enlas celdas de las planillas del E7cel! permite hallar cualquiera de los elementos queintervienen para calcular el valor actual! de uno por vez! si se suministran el valor actual y las otras variables del modelo. -or ejemplo supon#amos que deseamos hallar la cuota que permite obtener el valor actual de una renta adelantada cuyo valor actuales ).>22.



que nosotros hemos ele#ido del )G mensual. Lue#o calculamos el valor actual comoantes. El cuadro queda del modo si#uiente$

asa 2!2)*pe# )8+a$o 6:>2'& 2ipo 2

'a >.2?:!@C

Ma#amos sucesivamente clic\ en Merramientas y lue#o en Zuscar objetivo. En elcuadro Zuscar objetivo completemos <%efinir la celda= que se refiere a la que contieneel valor actual y que en nuestro caso se debe llenar con M@. ompletemos la

se#unda fila <on el valor=! con :.222 y completemos la tercera fila <-ara cambiar elvalor= con M)! que es la celda que contiene a la tasa que deseamos hallar. Rna vezhecho esto hacer clic\ en 'ceptar.

asa 2!2:3:CC8:*pe# )8+a$o 6:>2

'& 2ipo 2

'alo# (ctual :.222!22

El lector puede comprobar que la tasa de interés hallada! :!3:CC8: G mensualsatisface el problema planteado.-70-

-or otra parte! como hab"amos afirmado durante el desarrollo de los ejercicioscorrespondientes al valor final! no hubo necesidad de recurrir a métodos iterativosmediante <tanteo= para determinar la tasa de interés. 5eFalemos también que la tasade interés hallada no es más que la tasa efectiva mensual de la operación!denominada también tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad y querepresenta una solución real positiva de la ecuación de #rado doce que escribimosse#uidamente$

:>2 :>2 :>2 :>2:.222 , , , ......... ,

() , s * () , s * 8 () , s * 9 () , s * )8

En este caso la tasa de interés! que es la incó#nita de la ecuación! la hemos indicadocon la letra s.

Kotemos que si multiplicamos el numerador y el denominador del se#undo miembropor el factor () , s * )8 y se pasa de miembro a :.222! la ecuación se puede escribir as"$

6 :.222 , :>2 , :>2 () , s * , :>2 () , s * 8 , :>2 () , s * 9 , :>2 () , s * )) 2



-recisamente s 2!2:3:CC8: es una de las soluciones o también! como se sueledenominar una de las ra"ces de cualquiera de estas ecuaciones! ya que ambasecuaciones son equivalentes. El valor s 2!2:3:CC8: representa a la única ra"z real

positiva de la ecuación.

Ejemplo 10. 7.2.

Mallar mediante el pro#rama E7cel el número de cuotas mensuales de >>2 cada unaque pa#aderas por término vencido y valuadas a la tasa del )!>G mensual aplicandolas re#las del interés compuesto! producen un valor actual de :.?22.

Llenamos las celdas de la columna M del E7cel consi#nando los datos y en la celda M8ponemos un número de per"odos arbitrario! por ejemplo )8. Lue#o calculamos el valor actual como antes y el cuadro queda como la parte izquierda del cuadro si#uiente. En

la parte derecha hemos consi#nado los resultados obtenidos cuando empleamosMerramientas! Zuscar /bjetivo! completamos <%efinir la celda= que en nuestro caso sedebe llenar con M@. ompletamos la se#unda fila <on el valor=! con :.?22 y latercera fila <-ara cambiar el valor= con M8 que contiene a la tasa que deseamoshallar. Rna vez hecho esto hacer clic\ en 'ceptar. El resultado es nueve per"odos.

asa 2!2)> asa 2!2)>*pe# )8 *pe# 3!229>3988+a$o 6>>2 +a$o 6>>2

'& 2 '& 2ipo 2 ipo 2

'alo# (ctual >.333!)9 'alo# (ctual :.?22!22

-71-

CAPITULO 10. Valores Actuales

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