CAPITULO # 12 Lectura y construcción

de graficas.

Muchas situaciones son modeladas mediante una función que involucra el cuadrado de una variable, como el caso del salto de la rana. Este tipo de función recibe el nombre de funciones cuadráticas, y son de la forma:

(con a distinto de cero), y cuya gráfica correspondiente es una curva que recibe el nombre de parábola.

f(x) = ax2 + bx + c

Elementos característicos

a) Términos: En la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c; a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es necesariamente distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual a cero).

Debido a que si es nulo no estaríamos trabajando con una función cuadrática. Pero sin embargo b y c pueden tomar valores iguales a 0. Cada uno de sus términos se llaman:

b) Coeficiente principal: es el coeficiente del término cuadrático. Indica la concavidad y la abertura de la parábola.

Concavidad: Ø Si a<0, entonces la Ø Si a>0, entonces la parábola es convexa. Parábola es cóncava.

c) Ordenada al origen: es el punto donde la trayectoria de la función corta al eje Y. Es importante aclarar que la función cuadrática siempre tiene una ordenada al origen, y ésta es única.

La misma puede calcularse reemplazando a x por 0 en la función, o simplemente observando el término independiente de la función en su forma polinómica.

d) Eje de simetría: es una recta paralela al eje Y, que pasa por el vértice de la función. La misma "divide" a la parábola en dos ramas iguales, simétricas.

e) Vértice: Es el punto del eje de simetría en que la función pasa de decreciente a creciente, o viceversa. Por lo tanto, la ordenada del vértice Yv, es el mínimo (o el máximo) de la función.

f) Raíces: Son los puntos por donde la trayectoria de la función corta al eje X. Es importante mencionar que la función podrá tener dos, una, o ninguna raíz, dependiendo de qué función se trate. Para poder determinar cuántas raíces tiene la función, se analiza el discriminante: Δx= b2 -4ac

* Si Δx > 0, la función posee dos raíces. * Si Δx = 0, la función posee una única raíz (doble). * Si Δx < 0, la función no tiene raíces (no corta al eje X).

Ejemplo: Indica cuantas raíces poseen las siguientes funciones. Desplazamiento de la Parábola Vimos que ocurre al variar el valor de a de la función cuadrática f(x) = ax2+ bx + c, varía el gráfico de la parábola asociada a la función. Ahora, vamos a observar las gráficas para las funciones de la forma f(x) = x2 + c, cuando a=1 y b=0.

Video en el que te puedes apoyar: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=t0Bd4SqfHR8

Video en el que te puedes apoyar: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=k9HreiPVRt4

Construcción En este apartado aprenderemos a gráfica una función cuadrática, sin necesidad de recurrir a las laboriosas tablas de valores. Para ello, debemos llevar adelante una serie de pasos los cuales están indicados detalladamente en el siguiente vídeo.

Distintas Expresiones de la Función Cuadrática La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras:

POLINÓMICA-CANÓNICA-FACTORIZADA

a) POLINÓMICA: Se llama así porque la función está expresada como un polinomio: f(x) = ax2 + bx + c.

b) CANÓNICA: Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f(x) = a(x-Xv)2 –Yv, donde a es el coeficiente principal y (Xv;Yv) son las coordenadas del vértice. c) FACTORIZADA: Las raíces de una función, si es que existen, nos permitirán expresar la fórmula de una función cuadrática en forma factorizada: f(x) = a(x-X1).(x-X2)