Capitulo 12 alpha chiang, optimizacion restringida.

7/23/2019 Capitulo 12 alpha chiang, optimizacion restringida.

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Chiang & Wainwright

Cap. 12. Optimizacin conrestriccin de igualdad


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12.1 EFECTOS DE UNA RESTRICCIN

El principal propsito de la imposicin de una restriccin esreconocer la presencia de factores limitantes en el problema

de optimizacin en discusin.

Ejemplos tpicos en economa:

- Maximizacin de utilidad sujeta a una restriccin

presupuestaria.

- Minimizacin del costo de produccin de una cierta

cantidad de un producto.


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12.1 EFECTOS DE UNA RESTRICCIN


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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS


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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS El problema general es maximizar

sujeta a

El Lagrangiano de este problema es:

Las CPO son:


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Cundo resulta til el mtodo de losmultiplicadores de Lagrange?

Cuando la restriccin en s misma es una funcin complicada,

o cuando hay varias restricciones que deben considerarse.

Si la restriccin presenta una forma tal que no podemos

resolverla para expresar una variable (x2) como una funcin

explcita de la otra (x1).


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Interpretacin del multiplicador deLagrange El multiplicador mide la sensibilidad del valor ptimo de la

funcin objetivofa cambios en el valor de la restriccin (el

valor de c). Esto se va a demostrar ms adelante.

Hacer Ejemplos 1 y 2 de Chiang. Pgina 351-2.

Pgina 353: Una interpretacin de los multiplicadores de

Lagrange.


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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Suponiendo que el Jacobiano del sistema es diferente de cero,

puedo escribir como funciones explcitas de

los parmetros del problema (c).

Insertando dichos valores en las CPO obtengo


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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange.

Notar que es funcin exclusivamente del parmetro c.

Diferenciando cra cobtenemos:


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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Interpretar el significado del (valor ptimo del) multiplicador

para las aplicaciones de maximizacin de utilidad y de

minimizacin de costos.

Tarea: demostrar que en un problema de maximizacin de

utilidad sujeta a una restriccin presupuestaria, el valor

ptimo de lambda es igual a la utilidad marginal del ingreso.

Tarea: demostrar que en un problema de minimizacin de

costos sujeta a una restriccin de nivel de produccin, el

valor ptimo de lambda es igual al costo marginal.


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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Ejercicio 12.2.

1, 2 y 3.


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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange.


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Condiciones de segundo ordenLa diferencial total de segundo orden

Dado el problema de max/min

sujeta a ,

De Zxy Zy se obtiene


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Condiciones de segundo ordenVamos a examinar el signo de d2zpara determinar las CSO.

Notemos que de y

obtenemos

y

de donde se deduce que dx y dyno son independientes y nopueden ser ambas arbitrarias.

Si seguimos permitiendo que dx sea arbitraria, dydebeconsiderarse funcin de dx.


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Condiciones de segundo orden Entonces,


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Condiciones de segundo orden

De esta expresin se deduce que


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Test del determinante para un extremorelativo restringido


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Test del determinante para un extremorelativo restringido


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Condiciones de segundo orden Reescribir el Hessiano y mostrar equivalencia ( es Z ).


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Condiciones de segundo orden Ejercicio 12.3 TODO


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad En la seccin 11.5 se mostr que, para un problema de

extremo libre, un conocimiento de la concavidad o la

convexidad de la funcin objetivo evita la necesidad de

verificar la condicin de segundo orden.

En el contexto de la optimizacin restringida, nuevamente esposible prescindir de la condicin de segundo orden si la

superficie o la hipersuperficie tienen el tipo apropiado de

configuracin. Pero esta vez la configuracin deseada es la

cuasiconcavidad (en lugar de concavidad) para un mximo, yla cuasiconvexidad (en lugar de convexidad) para un mnimo.


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Como demostraremos, la cuasiconcavidad (cuasiconvexidad)

es una condicin ms dbil que la concavidad (convexidad).

Esto es de esperarse, ya que la condicin suficiente de

segundo orden que se va a omitir es tambin ms dbil para

el problema de optimizacin restringida (d2z definido en elsigno solamente para aquellos dxique satisfagan dg = 0) que

para el problema libre (d2z definido en el signo para todo

dxi).


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad

Definicin geomtrica

Sean u y v dos puntos cualquiera diferentes en el dominio

(un conjunto convexo) de una funcinf, y sea el segmento

de lnea uven el dominio que origina el arco MNen la grfica

de la funcin, tal que el punto Nest ms alto que o tenga lamisma altura que el punto M. Entonces, se dice que la funcin

es cuasicncavasi todos los puntos en el arco MN diferentes de

M y Nestn ms altos que o tienen la misma altura que el

punto M.


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Se dice que la funcinfes estrictamentecuasicncavasi todos

los puntos del arco MN diferentes de M y Nestn

estrictamente a mayor altura que el punto M.


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Sean u y v dos puntos cualquiera diferentes en el dominio (un

conjunto convexo) de una funcinf, y sea el segmento de

lnea uven el dominio que origina el arco MNen la grfica de

la funcin, tal que el punto Nest ms alto que o tenga la

misma altura que el punto M. Entonces, se dice que la funcines cuasiconvexasi todos los puntos en el arco MN diferentes de

M y Nestn ms bajos que o tienen la misma altura que el

punto N.


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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Se dice que la funcinfes estrictamente cuasiconvexasi todos los

puntos del arco MN diferentes de M y Nestn estrictamente a

menor altura que el punto N.


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En la seccin


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Una definicin alternativa


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Del captulo

ii)


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Del captulo


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Mientras (12.21) puede usarse para verificar lacuasiconcavidad y la cuasi-convexidad no puede distinguir

entre las variedades estricta y no estricta de estas

propiedades.

Observe tambin que las propiedades que surgen a partir dela definicin (12.21) no son en s mismas suficientes para la

concavidad y la convexidad respectivamente. En especial,

dada una funcin cncava que debe forzosamente ser

cuasicncava, concluimos que S es un conjunto convexo; perodado que S es un conjunto convexo, concluimos solamente

que la funcin f es cuasicncava (pero no necesariamente

cncava).


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Funciones diferenciables


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Finalmente, si una funcin z=f(x1, , xn)es dos vecescontinuamente diferenciable, la cuasiconcavidad y

cuasiconvexidad pueden verificarse mediante las primeras y

segundas derivadas parciales de la funcin, arregladas en el

determinante orlado


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Cuando la restriccin es lineal,

y ambos determinantes tienen el mismo signo en el puntoestacionario de Z.


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Funciones Homogneas Una funcin es HDG rsi y solo si al multiplicar cada una de

sus variables independientes por una constantej(>0) cambia

el valor de la funcin en una proporcinjr.

Interpretacin y aplicaciones (demanda y produccin).

Ejemplo:


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Funciones Homogneas Ejemplo:

Ejemplo:


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Funciones Homogneas Funcin Cobb Douglas

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producc

i%C3%B3n_de_Cobb-Douglas

Versin generalizada de funcin Cobb Douglas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglas


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Funciones Homogneas y = log x1+ log x2

Teorema de Euler

Seaf(x1,, xn) una funcin HDG r. Entonces

Tambin se cumple Teorema de Euler al revs.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglas


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Funciones Homogneas Si es una funcin HDG r, entonces las

derivadas parciales primeras son HDG (r-1).

De esto se deriva la propiedad de que las curvas de nivel son

simplemente expansiones o reducciones radiales unas de

otras.


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Funciones Homotticas Una funcin que es una transformacin montona de una

funcin homognea es una funcin homottica.

Las funciones homotticas tambin tienen la propiedad de

que las curvas de nivel son simplemente expansiones o

reducciones radiales unas de otras.

R entre funciones homogneas y homotticas.

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