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Chiang & Wainwright
Cap. 12. Optimizacin conrestriccin de igualdad
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12.1 EFECTOS DE UNA RESTRICCIN
El principal propsito de la imposicin de una restriccin esreconocer la presencia de factores limitantes en el problema
de optimizacin en discusin.
Ejemplos tpicos en economa:
- Maximizacin de utilidad sujeta a una restriccin
presupuestaria.
- Minimizacin del costo de produccin de una cierta
cantidad de un producto.
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12.1 EFECTOS DE UNA RESTRICCIN
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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS
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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS
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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS El problema general es maximizar
sujeta a
El Lagrangiano de este problema es:
Las CPO son:
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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS
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12.2 CMO ENCONTRAR LOS VALORESESTACIONARIOS
Cundo resulta til el mtodo de losmultiplicadores de Lagrange?
Cuando la restriccin en s misma es una funcin complicada,
o cuando hay varias restricciones que deben considerarse.
Si la restriccin presenta una forma tal que no podemos
resolverla para expresar una variable (x2) como una funcin
explcita de la otra (x1).
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Interpretacin del multiplicador deLagrange El multiplicador mide la sensibilidad del valor ptimo de la
funcin objetivofa cambios en el valor de la restriccin (el
valor de c). Esto se va a demostrar ms adelante.
Hacer Ejemplos 1 y 2 de Chiang. Pgina 351-2.
Pgina 353: Una interpretacin de los multiplicadores de
Lagrange.
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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Suponiendo que el Jacobiano del sistema es diferente de cero,
puedo escribir como funciones explcitas de
los parmetros del problema (c).
Insertando dichos valores en las CPO obtengo
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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange.
Notar que es funcin exclusivamente del parmetro c.
Diferenciando cra cobtenemos:
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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Interpretar el significado del (valor ptimo del) multiplicador
para las aplicaciones de maximizacin de utilidad y de
minimizacin de costos.
Tarea: demostrar que en un problema de maximizacin de
utilidad sujeta a una restriccin presupuestaria, el valor
ptimo de lambda es igual a la utilidad marginal del ingreso.
Tarea: demostrar que en un problema de minimizacin de
costos sujeta a una restriccin de nivel de produccin, el
valor ptimo de lambda es igual al costo marginal.
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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange. Ejercicio 12.2.
1, 2 y 3.
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Interpretacin de los multiplicadoresde Lagrange.
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Condiciones de segundo ordenLa diferencial total de segundo orden
Dado el problema de max/min
sujeta a ,
De Zxy Zy se obtiene
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Condiciones de segundo ordenVamos a examinar el signo de d2zpara determinar las CSO.
Notemos que de y
obtenemos
y
de donde se deduce que dx y dyno son independientes y nopueden ser ambas arbitrarias.
Si seguimos permitiendo que dx sea arbitraria, dydebeconsiderarse funcin de dx.
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Condiciones de segundo orden Entonces,
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Condiciones de segundo orden
De esta expresin se deduce que
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Test del determinante para un extremorelativo restringido
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Test del determinante para un extremorelativo restringido
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Condiciones de segundo orden Reescribir el Hessiano y mostrar equivalencia ( es Z ).
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Condiciones de segundo orden Ejercicio 12.3 TODO
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad En la seccin 11.5 se mostr que, para un problema de
extremo libre, un conocimiento de la concavidad o la
convexidad de la funcin objetivo evita la necesidad de
verificar la condicin de segundo orden.
En el contexto de la optimizacin restringida, nuevamente esposible prescindir de la condicin de segundo orden si la
superficie o la hipersuperficie tienen el tipo apropiado de
configuracin. Pero esta vez la configuracin deseada es la
cuasiconcavidad (en lugar de concavidad) para un mximo, yla cuasiconvexidad (en lugar de convexidad) para un mnimo.
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Como demostraremos, la cuasiconcavidad (cuasiconvexidad)
es una condicin ms dbil que la concavidad (convexidad).
Esto es de esperarse, ya que la condicin suficiente de
segundo orden que se va a omitir es tambin ms dbil para
el problema de optimizacin restringida (d2z definido en elsigno solamente para aquellos dxique satisfagan dg = 0) que
para el problema libre (d2z definido en el signo para todo
dxi).
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Definicin geomtrica
Sean u y v dos puntos cualquiera diferentes en el dominio
(un conjunto convexo) de una funcinf, y sea el segmento
de lnea uven el dominio que origina el arco MNen la grfica
de la funcin, tal que el punto Nest ms alto que o tenga lamisma altura que el punto M. Entonces, se dice que la funcin
es cuasicncavasi todos los puntos en el arco MN diferentes de
M y Nestn ms altos que o tienen la misma altura que el
punto M.
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Se dice que la funcinfes estrictamentecuasicncavasi todos
los puntos del arco MN diferentes de M y Nestn
estrictamente a mayor altura que el punto M.
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Sean u y v dos puntos cualquiera diferentes en el dominio (un
conjunto convexo) de una funcinf, y sea el segmento de
lnea uven el dominio que origina el arco MNen la grfica de
la funcin, tal que el punto Nest ms alto que o tenga la
misma altura que el punto M. Entonces, se dice que la funcines cuasiconvexasi todos los puntos en el arco MN diferentes de
M y Nestn ms bajos que o tienen la misma altura que el
punto N.
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad Se dice que la funcinfes estrictamente cuasiconvexasi todos los
puntos del arco MN diferentes de M y Nestn estrictamente a
menor altura que el punto N.
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
En la seccin
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Una definicin alternativa
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Del captulo
ii)
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Del captulo
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Mientras (12.21) puede usarse para verificar lacuasiconcavidad y la cuasi-convexidad no puede distinguir
entre las variedades estricta y no estricta de estas
propiedades.
Observe tambin que las propiedades que surgen a partir dela definicin (12.21) no son en s mismas suficientes para la
concavidad y la convexidad respectivamente. En especial,
dada una funcin cncava que debe forzosamente ser
cuasicncava, concluimos que S es un conjunto convexo; perodado que S es un conjunto convexo, concluimos solamente
que la funcin f es cuasicncava (pero no necesariamente
cncava).
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Funciones diferenciables
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Finalmente, si una funcin z=f(x1, , xn)es dos vecescontinuamente diferenciable, la cuasiconcavidad y
cuasiconvexidad pueden verificarse mediante las primeras y
segundas derivadas parciales de la funcin, arregladas en el
determinante orlado
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
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Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Cuando la restriccin es lineal,
y ambos determinantes tienen el mismo signo en el puntoestacionario de Z.
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Funciones Homogneas Una funcin es HDG rsi y solo si al multiplicar cada una de
sus variables independientes por una constantej(>0) cambia
el valor de la funcin en una proporcinjr.
Interpretacin y aplicaciones (demanda y produccin).
Ejemplo:
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Funciones Homogneas Ejemplo:
Ejemplo:
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Funciones Homogneas Funcin Cobb Douglas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producc
i%C3%B3n_de_Cobb-Douglas
Versin generalizada de funcin Cobb Douglas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglas7/23/2019 Capitulo 12 alpha chiang, optimizacion restringida.
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Funciones Homogneas y = log x1+ log x2
Teorema de Euler
Seaf(x1,, xn) una funcin HDG r. Entonces
Tambin se cumple Teorema de Euler al revs.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_producci%C3%B3n_de_Cobb-Douglas7/23/2019 Capitulo 12 alpha chiang, optimizacion restringida.
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Funciones Homogneas Si es una funcin HDG r, entonces las
derivadas parciales primeras son HDG (r-1).
De esto se deriva la propiedad de que las curvas de nivel son
simplemente expansiones o reducciones radiales unas de
otras.
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Funciones Homotticas Una funcin que es una transformacin montona de una
funcin homognea es una funcin homottica.
Las funciones homotticas tambin tienen la propiedad de
que las curvas de nivel son simplemente expansiones o
reducciones radiales unas de otras.
R entre funciones homogneas y homotticas.
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