CAPITULO 2. PRONÓSTICOS DE NEGOCIOS · PDF filecuantitativas y cualitativas, es decir,...

METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS 2009

Compilación: Ybnias Elí Grijalva Yauri

CAPITU

LO 2. PRO

NÓSTICOS DE NEG

OCIOS

30

CAPITULO 2. PRONÓSTICOS DE NEGOCIOS

Objetivos del Capítulo.

• Conocer los conceptos básicos de series de tiempo, y aplicarlos en la modelación. • Al observar la gráfica de una serie de tiempo, saber detectar los componentes

esenciales de una serie de tiempo. • Aprender a construir modelos de serie de tiempo, mediante las componentes:

tendencia, estacional, ciclo, y un término de error aleatorio. • Identificar el modelo adecuado para la serie que se está analizando. • Pronosticar los datos de una serie de tiempo, utilizando más adecuado el modelo.

2.0 Introducción. En el mundo globalizado y con mercados tan competidos como los que enfrentamos hoy, las empresas se ven obligadas a buscar mayor eficiencia en sus procesos de negocio. En este sentido, un tema que actualmente interesa es cómo pronosticar con más certeza la demanda de productos o servicios. Cada vez más empresas están redefiniendo y formalizando el proceso de elaboración de pronósticos para llevar a cabo una mejor planeación de ventas y operación y, por lo tanto, un mejor desempeño financiero. Cuando se elabora un mal pronóstico, la planeación se viene abajo y todas las áreas de la empresa se vuelven ineficientes. Esto se puede observar directamente en el bajo desempeño financiero de la empresa. Ventas negadas, excesos de inventarios de productos que no requieren los clientes, reducción de margen al vender con descuentos para lograr los objetivos, costos más altos en las compras, producción y/o distribución para reaccionar a emergencias, etc., estos son los síntomas. Pronosticar la demanda con buena exactitud normalmente no es fácil. No existen recetas de cómo hacerlo y cada empresa tiene que determinar la mejor forma de elaborar sus pronósticos. El tema de pronosticar es extenso y requiere de técnicas ad hoc para cada situación. Por ejemplo, pronosticar productos de alta rotación requiere diferentes técnicas que pronosticar productos de bajo movimiento o de demanda intermitente. Pronosticar la demanda de productos nuevos requiere consideraciones diferentes. Por otro lado, en ciertas ocasiones es conveniente pronosticar agrupando productos similares y en ciertas ocasiones por canal de venta o por marca. En ciertas ocasiones el uso de herramientas estadísticas es de muy buena ayuda y en otras ocasiones es mejor elaborar pronósticos en colaboración con los clientes. Si el éxito de la planeación depende de pronósticos certeros, entonces es conveniente revisar cómo se elaboran los pronósticos en su empresa y determinar si es posible mejorar la exactitud. Un buen comienzo para mejorar la exactitud de los pronósticos es entender los factores que



2.0 Introd

ucción

.

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influyen en el comportamiento de la demanda y tener mejor idea de qué ofrecen las diferentes técnicas de pronósticos. ¿Qué son los Pronósticos? El pronóstico no es una predicción de lo que irremediablemente pasará en el futuro. Un pronóstico es información con cierto grado de probabilidad de lo que pudiera pasar. La probabilidad de éxito, está en función directa de la elaboración de los pronósticos. Dicho de otra forma, el resultado de la planeación y operación de la empresa está directamente ligada a la certeza de los pronósticos. Para pronósticos de negocios las mejores prácticas sugieren una combinación de técnicas cuantitativas y cualitativas, es decir, pronósticos estadísticos como base para iniciar el proceso de validación de los pronósticos definitivos. Se ha comprobado que las técnicas de pronósticos estadísticas son muy útiles, ya que cuantifican de manera muy exacta ciertos componentes de la demanda como tendencia, patrones de estacionalidad o de eventos. El ser humano tiene la capacidad de analizar muchas variables que sería muy difícil establecer en un modelo estadístico, sin embargo, está limitado en la cantidad de pronósticos que puede analizar, es inconsistente y adicionalmente en muchas ocasiones las estimaciones presentan sesgos motivados por influencias de estado de ánimo, optimismo o incluso influencias derivadas por la presión. Pronósticos y Planeación: Procesos críticos del negocio El papel de los directivos y gerentes es administrar los elementos del negocio que conducen al logro de los objetivos. De una u otra manera los directivos “presienten” lo que pasará. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones, sus decisiones son mucho mejores si se apoyan en cifras cuantificadas por una herramienta estadística ya que de esta manera se parte de una cifra base más conservadora. Por otro lado, cada vez es más necesario diferenciar las demandas de los clientes de un mismo producto, lo que requiere más tiempo y argumentos. ¿Cual es el costo de malos Pronósticos? Tenemos garantía que los pronósticos no van a ser 100% exactos y que además la desviación de los pronósticos tiene un costo implícito, ya sea que los pronósticos fueron altos o fueron bajos respecto a la realidad. El punto fundamental en los pronósticos es ser consistente y lograr la menor desviación respecto a los objetivos: Pronosticar por arriba de la demanda tiene entre sus consecuencias exceso de inventario, obsolescencia, reducción de margen para promover su venta. Pronosticar por debajo de la demanda tiene entre sus consecuencias comprar y producir más caro algo que no estaba planeado, incluso pérdida de venta y margen si no reaccionamos a tiempo.



2.0 Introd

ucción

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La elaboración de los pronósticos requiere información de la planeación. Quien elabora los pronósticos debe considerar las actividades planeadas como promociones, cambios de precios o, incluso, si hubo algún evento extraordinario en la historia reciente que pueda desviar fuertemente las estimaciones. Dejar esto a la memoria seguramente causará que nuestros pronósticos sean menos exactos. Actualmente las empresas están implantando alguna forma de documentar la historia para medir los impactos de los eventos y considerarlos o no como parte del pronóstico si se realizaran nuevamente. ¿Cómo Pronosticar? Muchas empresas actualmente están recurriendo al uso de paquetes de pronósticos estadísticos y establecer un proceso más formal en la planeación de ventas y operación. Antes de pensar en una herramienta o software de pronósticos estadísticos es conveniente entender aspectos relativos al proceso de los pronósticos:

a. Cómo funcionan las técnicas estadísticas. b. Cuántos datos se requieren. c. Cómo se puede medir el impacto de la desviación de los pronósticos. d. Cómo pronosticar cientos de productos de manera rápida y más exacta. e. Cuál es el perfil sugerido de quien elabora los pronósticos, etc.

Esto le permitirá evaluar si tiene oportunidad de mejorar su proceso mediante el uso de alguna herramienta o capacitación. Hoy en día las compañías tienen la posibilidad de romper paradigmas culturales acera de la realización de los pronósticos. Hacer buenos pronósticos es un proceso que agrega valor ya que está íntimamente relacionado con la toma de decisiones que impactan en el rendimiento de la empresa. Exactitud del pronóstico como indicador de desempeño clave Se requiere madurez para establecer la exactitud de los pronósticos como un indicador clave ya que siempre habrá desviaciones. Es necesario documentar y aprender de cuales fueron las razones que nos llevaron a tanta desviación en una estimación. Solo mediante la medición obtenemos una referencia que nos pueda indicar nuestro desempeño y/o tomar acciones inmediatas para corregir el rumbo. Mejores prácticas en la elaboración de Pronósticos Las mejores prácticas sugieren una combinación de pronósticos estadísticos con pronósticos por experiencia. Esta práctica ayuda a reducir los efectos de influencia del plan, influencias emocionales y además a – cuando son muchos productos los algoritmos estadísticos automáticos – determinar una mejor estimación y no solo un simple promedio. Una mejora en la exactitud de los pronósticos la podrá confirmar cuando cada mes se estén



2.1 Teoría de Series Tem

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logrando los resultados de los objetivos. Esto también se confirma cuando las diferentes áreas están alineadas a partir de un pronóstico consensuado. Acerca de herramientas estadísticas existe una muy buena variedad de software para hacer pronósticos estadísticos. Los paquetes estadísticos trabajan de manera muy automática y son económicos.

2.1 Teoría de Series Temporales Una serie temporal es un conjunto de observaciones ordenadas en el tiempo o, también, la evolución de un fenómeno o variable a lo largo de él. Esta variable puede ser económica (ventas de una empresa, consumo de cierto producto, evolución de los tipos de interés,...), física (evolución del caudal de un río, de la temperatura de una región, etc.) o social (número de habitantes de un país, número de alumnos matriculados en ciertos estudios, votos a un partido,...). El objetivo del análisis de una serie temporal, de la que se dispone de datos en períodos regulares de tiempo, es el conocimiento de su patrón de comportamiento para prever la evolución futura, siempre bajo el supuesto de que las condiciones no cambiarán respecto a las actuales y pasadas. Si al conocer la evolución de la serie en el pasado se pudiese predecir su comportamiento futuro sin ningún tipo de error, estaríamos frente a un fenómeno determinista cuyo estudio no tendría ningún interés especial. Esto correspondería a una situación como la de la figura 2.1, que muestra la intensidad de corriente, I, que circula a través de una resistencia, R, sometida a un voltaje sinusoidal, V(t) = a cos (vt + θ); por tanto I(t) = a cos (vt + θ)/R.

Figura 2.1.‐ Observaciones de la serie I(t) = cos (0,5t + π/2)

En general, las series de interés llevan asociados fenómenos aleatorios, de forma que el estudio de su comportamiento pasado sólo permite acercarse a la estructura o modelo probabilístico para la predicción del futuro. Estos modelos se denominan también procesos estocásticos. Así, un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias {Yt}, con t = 1, 2, ..., n, que evolucionan con el tiempo ( representado éste por el subíndice t).

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0

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I(t)



2.1 Teoría de Series Tem

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Cuando se dispone de n datos de un proceso estocástico, se está frente a n muestras, de tamaño unidad, extraídas de la población (variable aleatoria), correspondientes al tiempo en que se realizó la medición, y esto es lo que constituye la serie temporal o cronológica. Como ejemplo puede servir la evolución a lo largo del año 2008 del índice IGBVL, que recoge los 38 valores de mayor cotización de la bolsa de valores peruana, representada en la figura 2.2. Lógicamente, el valor del IGBVL dependerá del valor alcanzado en los días previos, además de recoger la influencia de un conjunto de factores sociales, políticos, económicos, etc., que son continuamente cambiantes en el tiempo y cuya conjunción, en un determinado instante, configuraría una hipotética distribución de probabilidad del citado índice económico. En casos como éste, es evidente que puede obtenerse un modelo que explique el comportamiento de la serie en el período estudiado, pero puede ser muy arriesgada la utilización de este modelo para hacer previsiones a medio o largo plazo. Así, en todas las series cronológicas, es necesaria una gran cautela en la previsión a causa de la muy probable inestabilidad del modelo en un futuro más o menos alejado del último instante del que se conocen datos.

Figura 2.2.‐ Evolución del índice IGBVL 2008

Otro ejemplo puede ser el constituido por la sucesión de variables aleatorias {Y1, ...,Yt,...}, tales que Yt = 0,80Yt−1 + εt, con Y0 = 0 y los εt distribuidos N(0;1), independientes para todo t = 1, 2,... Esta serie puede expresarse también como ∑ 0.8 y la distribución de probabilidad de cualquier Yt corresponde a una ley Normal, con esperanza matemática

∑ 0.8 .. y varianza ∑ 0.8 .

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6

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12

14

16

18

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IGBVL



2.2 Análisis De Una

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La figura 2.3 muestra la ley de probabilidad de la variable Y en los instantes t = 1, t = 4 y t = 20, junto con la serie cronológica compuesta por las 25 primeras observaciones de la misma. La particular forma de la información disponible de una serie cronológica, n muestras de tamaño unidad procedente de otras tantas poblaciones de distribución y características desconocidas, hacen que las técnicas de inferencia estadística, usualmente aplicadas en muestras de tamaño superior a la unidad, no sean válidas para estos casos. En los capítulos siguientes se pretende presentar, de forma simple, distintos criterios metodológicos que permitan el estudio de estos fenómenos, y en particular la previsión de su evolución futura, para aplicarlos a campos técnicos y económicos, como por ejemplo previsión de las ventas de una empresa, de los usuarios de un medio de transporte, de la característica de interés de un proceso continuo, etc.

Figura 2.3.‐ Distribución de Yt y 25 observaciones de la serie

Todas las formas de estudio de una serie cronológica, tal como se irá viendo, no conllevan cálculos complicados, pero sí reiterativos, con gran volumen de datos manipulados y con abundancia de gráficos; es por ello que para su estudio se hace muy necesario el disponer de un programa informático que permita su correcta aplicación y la obtención de cuantos gráficos sean necesarios.

2.2 Análisis De Una Serie Temporal Antes de abordar cualquier estudio analítico de una serie temporal, se impone una representación gráfica de la misma y la observación detenida de su aspecto evolutivo. Para estudiar el comportamiento de cualquier serie temporal, y predecir los valores que puede tomar en un futuro, puede hablarse de distintas metodologías, que denominaremos modelización por componentes y enfoque Box‐Jenkins.

2.2.1 Modelización por componentes




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Este método consiste en identificar, en la serie Yt, cuatro componentes teóricas, que no tienen por qué existir todas, y que son:

• Tendencia: Tt. • Estacionalidad: Et. • Ciclos: Ct. • Residuos: Rt.

Cada una de estas componentes es una función del tiempo y el análisis consistirá en la separación y obtención de cada una de ellas, así como en determinar de qué forma se conjugan para dar lugar a la serie original. Estas componentes se pueden observar en la figura 2.4, en donde se ha considerado que actúan de forma aditiva para dar lugar a la serie cronológica. La tendencia es la componente general a largo plazo y se suele expresar como una función del tiempo de tipo polinómico o logarítmico, por ejemplo Tt = α0 + α1t + α2t2 + … Las variaciones estacionales son oscilaciones que se producen, y repiten, en períodos de tiempo cortos. Pueden estar asociadas a factores dinámicos, por ejemplo la ocupación hotelera, la venta de prendas de vestir, de juguetes, etc., cuya evolución está claramente ligada a la estacionalidad climática, vacacional, publicitaria, etc. Las variaciones cíclicas se producen a largo plazo y suelen ir ligadas a etapas de prosperidad o recesión económica. Suelen ser tanto más difíciles de identificar cuanto más largo sea su período, debido, fundamentalmente, a que el tiempo de recogida de información no aporta suficientes datos, por lo que a veces quedarán confundidas con las otras componentes.

TENDENCIA

ESTACIONALIDAD

CICLOS RESIDUOS

400

500

600

700

800

900

1,000

1,100

1,200

1,300

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46

300

400

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600

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800

900

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SERIE CRONOLOGICA

Figura 2.4. Componentes de una serie cronológica La componente residual es la que recoge la aportación aleatoria de cualquier fenómeno sujeto al azar. Para evaluar las distintas componentes se utilizan técnicas estadísticas tales como modelo lineal, medias móviles, diferencias finitas, etc. Admitiendo que el componente aleatorio (residuo) es aditivo, una vez identificadas las otras componentes surge un nuevo problema que es el cómo conjuntar tendencia, estacionalidad y ciclos para dar lugar a la serie definitiva. Así se proponen, entre otros, modelos genéricamente denominados aditivos y multiplicativos.

• Modelo aditivo: Y = T + E + C + R • Modelo multiplicativo: Y = T x E x C + R

70

80

90

100

110

120

130

140

150

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

600

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750

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850

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1050

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Para una primera identificación visual del caso, se puede considerar que si el patrón estacional se mantiene con amplitud constante se tratará de modelo aditivo (figuras 2.4 y 2.5). Cuando dicho patrón se vaya amplificando con el tiempo, será multiplicativo (figura 2.6).

Figura 2.5. Serie aditiva

Figura 2.6 Serie multiplicativa

Un modelo aditivo se puede interpretar como aquel en que la estacionalidad actúa modificando la ordenada en el origen de la tendencia. Supongamos que no hay ciclos, que la tendencia es de tipo lineal, Tt = α0 + α1t, y que la estacionalidad es de período p = 4, es decir, cada 4 unidades de tiempo se repite el patrón (tal como ocurre en la figura 2.2). Representando sus valores por E1, E2, E3 y E4, respectivamente, el modelo aditivo se puede escribir como Y1 = α0 + α1 × 1 + E1 + R1 = γ1 + α1 × 1 + R1 Y2 = α0 + α1 × 2 + E2 + R2 = γ2 + α1 × 2 + R2 Y3 = α0 + α1 × 3 + E3 + R3 = γ3 + α1 × 3 + R3 Y4 = α0 + α1 × 4 + E4 + R4 = γ4 + α1 × 4 + R4 Y5 = α0 + α1 × 5 + E1 + R5 = γ1 + α1 × 5 + R5 … …. …. Yt = α0 + α1 × t + Es + Rt = γs + α1 × t + Rt con t = p+ s; s = 1, …, p

500

600

700

800

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1000

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Figura 2.8.‐ Interpretación de una serie con modelo multiplicativo

Figura 2.9. Modelo general

2.2.2 Enfoque Box Jenkins La forma de encarar el análisis de las series temporales a través de la metodología de Box – Jenkins es dirigir el esfuerzo a determinar cuál es el modelo probabilístico que rige el comportamiento del fenómeno a lo largo del tiempo. Es decir, partiendo de la premisa de que no siempre va a ser posible identificar los componentes de la serie, se trata de estudiar el componente aleatorio puro, reflejado en los residuos. La metodología estadística utilizada en el estudio de una serie temporal por este sistema, se basa en los siguientes pasos:

• Identificación del modelo. • Estimación de los parámetros. • Validación de los supuestos admitidos en el análisis, también llamado diagnosis del

modelo. Para poder abordar esta metodología es imprescindible, en primer lugar, estudiar un conjunto de modelos de comportamiento que cubran el mayor espectro posible de los procesos estocásticos objeto de nuestro interés. Entre ellos se pueden destacar los procesos de ruido blanco, medias móviles (MA), autorregresivos (AR), integrados (I) y sus conjunciones (ARMA y ARIMA). A partir de aquí se podrá identificar la serie de datos con




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alguno de los modelos estudiados, estimar sus parámetros y validar la admisibilidad del modelo adoptado. En general, se suele asumir que el componente aleatorio, el cual se representa por Z, sigue una distribución Normal de media cero y variancia σ2. Un proceso estocástico en que todos sus componentes son independientes y están constituidos sólo por componente aleatorio se denomina proceso de ruido blanco, es decir, Yt = Zt con Zt ̃ NINDEP(0; σ2) para todo t. Un proceso se denomina de media móvil de orden q, y se representa por MA(q), si su estructura es del tipo Yt = Zt + αt‐1 Zt‐1 + … + αt‐q Zt‐q. En la figura 2.10 se muestra un MA(4).

Figura 2.10.‐ Proceso de media móvil MA(4)

Un proceso es autorregresivo de orden p, y se representa por AR(p), cuando cada componente es función de los anteriores más el término aleatorio; su estructura corresponde a: Yt = Zt + βt‐1 Yt‐1 + … + βt‐p Yt‐p En la figura 2.11 se muestra un AR(2). Cuando a las estructuras de autorregresión y media móvil se une una dependencia con el tiempo se llega a un ARIMA(p, r, q), donde p es el orden del AR, q el del MA y r el del proceso integrado, o, lo que es lo mismo, el grado del polinomio que representa la función del tiempo. En la figura 2.12 se presenta un proceso ARIMA(2,1,3).



2.3 Descompo

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Figura 2.11. Proceso autorregresivo AR(2)

Figura 2.12. Proceso ARIMA(2, 1, 3)

2.3 Descomposición de Una Serie Temporal Este método, también denominado sistema clásico, descompone la serie en tendencia, estacionalidad, ciclos y residuos Una vez decidida la conjunción entre ellos, aditiva o multiplicativa, se obtiene el modelo con el que hacer previsiones. La tendencia es la componente más importante de la serie, al definir lo que se podría interpretar como comportamiento a largo plazo. Cada observación va ligada a un valor del tiempo, lo que permite plantear un modelo del tipo

Y= φ(t)+ e Donde la función φ(t) puede ser:

Lineal : φ(t) = α0 + α1t Polinómica : φ(t) = α0 + α1t + α2 t2 + ... Exponencial : φ(t) = α0 tα1



2.3 Descompo

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Si la serie no presenta estacionalidad, el método de estimación mínimo‐cuadrática y todas las pruebas de hipótesis relativas a la explicación del modelo y a la significación de los coeficientes estimados, propios del modelo lineal ordinario, permiten estimar los coeficientes del modelo de tendencia sobre los datos directos. Caso de existir componente estacional, para que ésta no enmascare la tendencia, es necesario estabilizar previamente la serie. Para desarrollar la metodología de la descomposición clásica sobre un ejemplo, se dispone de los datos relativos a las ventas de material deportivo en una gran superficie comercial, recogidos en el cuadro 2.1 y representados en la figura 2.1. En este cuadro el tiempo (t) se ha medido tomando como referencia el inicio del período de recogida de datos, y, en este caso, su unidad es el trimestre. La observación de la figura 2.1, permite pensar en una tendencia lineal creciente y una estacionalidad clara, cuyo patrón se repite anualmente, es decir, cada 4 valores del tiempo (trimestres). Esto se puede interpretar como una tendencia sostenida de un aumento de las ventas en esta superficie comercial, unida a un comportamiento distinto para cada uno de los cuatro trimestres; debido, posiblemente, a que el precio del material deportivo es muy distinto según sea el adecuado para una estación concreta (material de esquí frente a entretenimiento de playa, por ejemplo). Por otra parte, el patrón estacional se mantiene con una amplitud aproximadamente constante, lo que conduce a la utilización de un modelo aditivo.

Año Trimestre Ventas (Y)

t

2000 1 40.22 12 54.89 23 63.51 34 111.35 4

2001 1 46.95 52 51.62 63 61.47 74 108.58 8

2002 1 41.38 92 65.30 103 64.25 114 113.82 12

2003 1 53.34 132 59.37 143 66.15 154 121.50 16

2004 1 67.38 17



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2 56.09 183 75.11 194 124.39 20

2005 1 55.90 212 61.25 223 75.44 234 126.50 24

Cuadro 2.1. Ventas de material deportivo

Figura 2.13 Evolución cronológica de las ventas de material deportivo

En este ejemplo se ha identificado un patrón estacional compuesto por los cuatro trimestres y que se repite de año en año, además de una tendencia aparentemente lineal. Si se decidiese ajustar el modelo de tendencia directamente sobre los datos, se obtendrían los resultados del Cuadro 2.2. Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0.3293794Coeficiente de determinación R^2 0.1084908R2 ajustado 0.0679676Error típico 26.648969Observaciones 24 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

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de F Regresión 1 1901.2996 1901.2996 2.677255 0.1160183 Residuos 22 15623.6857 710.16753 Total 23 17524.9853

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 57.500725 11.2285559 5.1209368 3.933E‐05Variable X 1 1.2858087 0.78583522 1.636232 0.1160183

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23



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Cuadro 2.2 Modelo de tendencia ajustado sobre todos los datos: Y = α0 + α1t + e El modelo presenta un coeficiente de determinación (R2) tan sólo del 10,8% y no resulta estadísticamente significativo, ya que el nivel de significación (p‐val), tanto del ajuste como de la pendiente de la recta de tendencia, son claramente superiores a un riesgo de primera especie del 5%. Así, se demuestra que este procedimiento no es válido ya que incluye en el residuo todo el componente estacional, lo cual produce una inflación de la suma de cuadrados residual que desvirtúa el modelo y cualquier prueba de significación de la regresión y de sus coeficientes. Para evitar esto es necesario estabilizar la serie liberándola de la estacionalidad; esto se podría conseguir trabajando con los valores medios anuales, que son los del Cuadro 2.3. En el Cuadro 2.4 se detallan los resultados del cálculo del modelo de tendencia, considerado tipo rectilíneo.

años t

(años) Y

promedio

2000 1 67.4925 2001 2 67.1550 2002 3 71.1875 2003 4 75.0900 2004 5 80.7425 2005 6 79.7725

Cuadro 2.3. Medias anuales de ventas de material deportivo

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.9556047Coeficiente de determinación R2 0.9131804R^2 ajustado 0.8914755Error típico 1.9544456Observaciones 6 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los


de F

Regresión 1 160.7112 160.7112 42.072565 0.0029127 Residuos 4 15.27943 3.8198575 Total 5 175.99063

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 62.966833 1.8194898 34.606862 4.16E‐06Variable X 1 3.0304286 0.4672019 6.4863368 0.0029127

Cuadro 2.4. Modelo lineal para las medias anuales



2.3 Descompo

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de Una

Serie Tem

poral

46

Ahora ya se ha obtenido un modelo de tendencia altamente significativo y con un buen ajuste (R2 = 91,3%). En la figura 2.14 se han representado las medias anuales junto a la estimación del modelo de tendencia; se observa la estabilización conseguida en los valores de las medias anuales, ya que mientras los datos directos oscilaban entre 40 y 130, las medias anuales van desde 67 hasta 81.

Figura 2.14 Evolución y tendencia de la media anual

Hay que destacar que con esta estabilización se ha conseguido un modelo de tendencia significativo; sin embargo, ¿es aceptable este procedimiento? La respuesta sería no, ya que este sistema tiene el inconveniente de la gran pérdida de información, pues de los 24 datos iniciales, se ha acabado estimando el modelo con sólo 6 puntos. Este inconveniente queda paliado desestacionalizando la serie con las medias móviles.

2.3.1 Medias móviles: tendencia Con este método se consiguen suavizar tanto las oscilaciones periódicas de una serie como las aleatorias. Su aplicación requiere decidir, previamente, el período en que se repite cierto patrón de comportamiento, que pueda atribuirse a variaciones estacionales; la observación de la evolución gráfica de la serie puede ayudar a tomar la decisión. Una vez fijado el período p, se calculan las medias de los valores de la serie tomados de p en p, sucesivamente desde el inicio. Asociando cada una de estas medias al valor del tiempo del punto central del período estudiado, se obtiene una nueva serie de valores mucho más estables, debido, por una parte, a la reducción de la variabilidad ocasionada al promediar y, por otra, a que, si el período escogido es el correcto, al pasar de una media móvil a la siguiente, el nuevo dato incorporado es del mismo comportamiento que el dato saliente. Si p es impar la asociación es directa:

1

2 / ∑

…

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

1 2 3 4 5 6



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

47

3

2 / ∑

…

Si p es par, el centro del grupo de cada p valores promediados corresponde a un valor no observado del tiempo; para subsanarlo, la nueva serie queda constituida por los promedios de las medias móviles tomadas dos a dos. Es decir:

2

2 / / /

2

4

2 / / /

2

… La representación gráfica de las medias móviles, o la regresión de dichos valores frente al tiempo, permiten evaluar la tendencia de la serie liberada de la componente estacional. Uno de los inconvenientes de este sistema es la pérdida de valores en los dos extremos de la serie, tanto mayor cuanto mayor es p. En ocasiones, se propone como alternativa a este problema la sustitución de los valores extremos de las medias móviles por los resultantes de una extrapolación lineal de los observados; sin embargo, si el número de datos disponibles es grande, la pérdida de información es insignificante. En el caso del ejemplo de las ventas de material deportivo, ya se ha comentado que la estacionalidad se manifiesta de forma anual, es decir, cada cuatro trimestres; ello conduce al cálculo de las medias móviles tomando p = 4. En el cuadro 2.5 se detalla el cálculo de los primeros valores de la nueva serie, y el cuadro 2.6 resume la totalidad de los mismos.

t Y Yprom t

1 40.22 2 54.89 3 63.51 67.49250 68.3338 34 111.35 69.17500 69.17500 68.7663 4 5 46.95 68.35750 68.35750 68.1025 5

Cuadro 2.5 Detalle del cálculo de las medias móviles con p = 4

t Yprom

3 68.33384 68.76635 68.10256 67.5013



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

48

7 66.45888 67.47259 69.530010 70.532511 72.682512 73.436313 72.932514 74.130015 76.845016 78.190017 78.900018 80.381319 79.307520 78.517521 79.203822 79.5088

Cuadro 2.6 Medias móviles con p = 4 Los resultados del modelo lineal, para el cálculo de la tendencia constan en el cuadro 2.7. Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.9515545Coeficiente de determinación R^2 0.905456R^2 ajustado 0.8998946Error típico 1.5550251Observaciones 19 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los


de F

Regresión 1 393.692486 393.69249 162.81046 3.912E‐10 Residuos 17 41.1077523 2.4181031 Total 18 434.800238

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 63.006463 0.9188117 68.573858 3.25E‐22Variable X 1 0.8310768 0.06513283 12.75972 3.912E‐10

Cuadro 2.7 Modelo de tendencia sobre las medias móviles Trabajando sobre 19 puntos, los 19 valores de las medias móviles, se ha obtenido un buen ajuste, con un coeficiente de determinación del 90,5 %. En consecuencia, el modelo de tendencia resultante es



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

49

T = 63,0065 + 0,8311 t

Evidentemente, la interpretación de la ecuación de la tendencia permite afirmar que las ventas se incrementan 0,8311 unidades cada trimestre (ya que el tiempo se ha medido en trimestres). En la figura 2.15 puede observarse el suavizado conseguido con las medias móviles junto con el modelo de tendencia estimado a partir de los citados valores.

Figura 2.15 Evolución ( • ), medias móviles (♦) y tendencia ( �), para p = 4

2.3.2 Estacionalidad La componente estacional, que provoca una oscilación sistemática de período corto, generalmente no superior al año, puede enmascarar la evolución a largo plazo, tendencia, si no se aísla convenientemente. Se entiende como componente estacional, en modelos aditivos, la diferencia entre el valor de la estación y la media de todas las estaciones componentes del período. El análisis de la estacionalidad queda ligado al método que se decida emplear para modelizar la tendencia; así, en este punto estudiaremos la situación para el caso de trabajar con medias móviles. Para calcular los valores de los índices estacionales hay que seguir la siguiente sistemática:

• Calcular las medias móviles, Y , sobre los datos,Yt, de la serie original, tomando el período de agrupación, p, que se considere oportuno.

• Proponer un modelo de agrupación de las componentes, aditivo o multiplicativo.

• Separar la parte explicada por la tendencia. Supuesto el modelo aditivo, esto

equivale a calcular Wt = Yt ‐ Y . Si fuese multiplicativo, en lugar de diferencias serían cocientes, es decir, Wt =Yt/Y . Hay que destacar que en Wt están incluidas las componentes asociadas a la estacionalidad, los ciclos y los residuos.

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 6 11 16 21



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

50

• Asumiendo que los residuos son variables aleatorias de media nula y que la

componente cíclica, caso de existir, es de período suficientemente largo como para no ser recogida por los datos, se procede a evaluar la estacionalidad asociada a cada componente del período, a cada trimestre en el caso del ejemplo. Para ello se

calculan los promedios de los Wt de la misma estación E ∑ W , s = t, …, p.

donde s representa el índice estacional y ns el número de valores asociados a este índice que se promedian.

Ya que los índices estacionales miden discrepancias respecto a la media, ésta se necesita como valor de referencia; por tanto es necesario calcular la media general:

E ∑ E

p

• Calcular los índices estacionales en modelo aditivo

Los índices estacionales son las diferencias entre los promedios de las Wt de cada estación y la media general que se acaba de definir, es decir

Es obvio destacar que la suma de estos índices es cero: ∑ 0.

• Calcular los índices estacionales en modelo multiplicativo.

En este caso, los índices estacionales son el cociente entre los promedios de las Wt de cada estación y la media general, es decir

E EE

Ahora, la suma de estos índices es igual al período, ∑ . En modelo multiplicativo, no es extraño que los índices estacionales se representen en %.

En el cuadro 2.8 se detallan los cálculos del caso de modelo aditivo de las ventas de material deportivo.

t Yt Yprom_movil Wt Estación: s

1 40.22 1 2 54.89 2 3 63.51 67.49250 68.3338 ‐4.8238 3 4 111.35 69.17500 68.7663 42.5838 4



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

51

5 46.95 68.35750 68.1025 ‐21.1525 1 6 51.62 67.84750 67.5013 ‐15.8813 2 7 61.47 67.15500 66.4588 ‐4.9888 3 8 108.58 65.76250 67.4725 41.1075 4 9 41.38 69.18250 69.5300 ‐28.1500 1 10 65.30 69.87750 70.5325 ‐5.2325 2 11 64.25 71.18750 72.6825 ‐8.4325 3 12 113.82 74.17750 73.4363 40.3838 4 13 53.34 72.69500 72.9325 ‐19.5925 1 14 59.37 73.17000 74.1300 ‐14.7600 2 15 66.15 75.09000 76.8450 ‐10.6950 3 16 121.50 78.60000 78.1900 43.3100 4 17 67.38 77.78000 78.9000 ‐11.5200 1 18 56.09 80.02000 80.3813 ‐24.2913 2 19 75.11 80.74250 79.3075 ‐4.1975 3 20 124.39 77.87250 78.5175 45.8725 4 21 55.90 79.16250 79.2038 ‐23.3038 1 22 61.25 79.24500 79.5088 ‐18.2588 2 23 75.44 79.77250 3 24 126.50 4

Cuadro 2.8 Evaluación de la estacionalidad por medias móviles. Por ejemplo, para el tercer trimestre (s = 3), el promedio de las Wt, cuyos valores del tiempo correspondiesen al tercer trimestre, por ser múltiplos de 4 más 3 (t = 3, 7,11, 15, 19), sería:

4.8237 4.9888 8.4325 10.6950 4.1975

5 6.6275

Análogamente, para cada trimestre, se obtiene:

21.1525 28.1500 19.5925 11.5200 23.3037

5 20.7438

15.8812 5.2325 14.7600 24.2912 18.2588

5 15.68477

42.5838 41.10.75 40.3837 43.3100 45.8725

5 42.6515

Y la media general es:



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

52

20.7438 15.68477 6.6275 42.6515

4 0.101125 y los índices estacionales, resultan E1 = –20,6426 E2 = –15,5836 E3 = –6,5264 E4 = 42,7526 Los valores de los índices estacionales recién obtenidos se interpretan de la siguiente forma: respecto a la media, el primer trimestre tiene una venta inferior en 20,6426 unidades; el segundo está 15,5836 unidades por debajo de la media; el tercero 6,5264; mientras que el cuarto supera a la media en 42,7526 unidades de venta. Con el modelo de tendencia del cuadro 2.7 y la estacionalidad, se ha obtenido la descomposición de la serie original, mostrada en la figura 2.16. Evidentemente, los residuos se calculan como: R = Y ‐ T ‐ E. La buena modelización conseguida queda confirmada por los residuos, ya que en su mayoría están en el intervalo ±5 y sólo en 3 puntos se llega a valores de 10 u 11 unidades. Tal como se ha ido repitiendo, el objetivo de la modelización de la serie es poder realizar previsiones para los próximos valores del tiempo. En el cuadro 2.9 se presentan las previsiones para los 2 años inmediatos siguientes. Atendiendo a que el período estacional es igual a 4, para realizar la previsión hay que identificar el tiempo como un múltiplo de 4 más s (s = 1, 2, 3, 4), para añadir a la tendencia el valor correcto de la estacionalidad. Así, la previsión se calcula como:

Y 63.0065 0.8311 t E con t 4 s La figura 2.17 muestra la evolución de las previsiones y su buena concordancia con la evolución histórica de los datos recogidos en el estudio.

T E

60

65

70

75

80

85

1 5 9 13 17 21 ‐30

‐20

‐10

0

10

20

30

40

50



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

53

T+E

R

SERIE CRONOLOGICA (Yt)

Figura 2.16 Descomposición de la serie de ventas de material deportivo por medias móviles

Año t estación = s Tendencia Estacionalidad: E

Previsión: Yestim

2006 25 1 83.7834 ‐20.6426 63.1408 26 2 84.6145 ‐15.5836 69.0308 27 3 85.4455 ‐6.5264 78.9192 28 4 86.2766 42.7526 129.0292 2007 29 1 87.1077 ‐20.6426 66.4651 30 2 87.9388 ‐15.5836 72.3551 31 3 88.7698 ‐6.5264 82.2435 32 4 89.6009 42.7526 132.3535

Cuadro 2.9 Previsiones para 2006 y 2007, según el modelo de descomposición clásica

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 5 9 13 17 21 ‐10

‐5

0

5

10

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 6 11 16 21



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

54

Figura 2.17 Evolución histórica ( • ), modelo ( –– ) y previsiones ( p )

2.3.3 Descomposición Aditiva: Caso temperaturas El cuadro 2.10 presenta las temperaturas medias mensuales registradas en una ciudad del hemisferio sur, en el período de tiempo que abarca desde enero de 1996 a diciembre del 2005. Interesa estudiar el modelo de comportamiento y realizar una previsión de las temperaturas de la década siguiente.

Mes 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 I 26,8 27,1 26,9 26,8 26,3 27,1 26,8 27,1 26,3 27,0 II 27,2 27,5 26,3 26,9 27,1 27,1 27,1 27,5 26,7 27,4 III 27,1 27,4 25,7 26,7 26,2 27,4 27,4 26,2 26,6 27,0 IV 26,3 26,4 25,7 26,1 25,7 26,8 26,4 28,2 25,8 26,3 V 25,4 24,8 24,8 26,2 25,5 25,4 25,5 27,1 25,2 25,9 VI 23,9 24,3 24,0 24,7 24,9 24,8 24,7 25,4 25,1 24,6 VII 23,8 23,4 23,4 23,9 24,2 23,6 24,3 25,6 23,3 24,1 VIII 23,6 23,4 23,5 23,7 24,6 23,9 24,4 24,5 23,8 24,3 IX 25,3 24,6 24,8 24,7 25,5 25,0 24,8 24,7 25,2 25,2 X 25,8 25,4 25,6 25,8 25,9 25,9 26,2 26,0 25,5 26,3 XI 26,4 25,8 26,2 26,1 26,4 26,3 26,3 26,5 26,4 26,4 XII 26,9 26,7 26,5 26,5 26,9 26,6 27,0 26,8 26,7 26,7

Cuadro 2.10 Registro de las temperaturas mensuales La evolución cronológica de los datos se muestra en la figura 2.18, en donde se pone de manifiesto que la tendencia es prácticamente inapreciable, por la aparente horizontalidad del eje virtual de la serie. Por otra parte se observa la existencia de una componente estacional clara que se repite, lógicamente, cada año y mantiene la amplitud, dando idea de que es un modelo aditivo. Al ser los datos mensuales, la longitud del período es igual a 12. El cálculo de las medias móviles, con p = 12, y su representación gráfica (figura 2.19) confirman la estacionalidad, por la estabilización conseguida en la serie, pero ponen en entredicho la ausencia de tendencia.

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 6 11 16 21 26 31

Yt



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

55

La observación del gráfico hace recomendable ajustar un modelo de tendencia, que se hará posteriormente y que ya se ha representado en esta figura.

Figura 2.18 Evolución cronológica de las temperaturas

Figura 2.19 Temperaturas mensuales ( • ), medias móviles ( _ ) y línea de tendencia ajustada ( ‐ )

Para evaluar la estacionalidad es necesario calcular los índices estacionales, tal como se ha detallado. Los resultados obtenidos se encuentran en el cuadro 2.11, y se presentan gráficamente en la figura 2.20.

Mes (s) Indices Es Mes (s) Indices Es I 1 1.08329475 VII 7 ‐1.88013117 II 2 1.32310957 VIII 8 ‐1.79309414 III 3 0.98699846 IX 9 ‐0.77133488 IV 4 0.62959105 X 10 0.06246142 V 5 ‐0.15050154 XI 11 0.53792438 VI 6 ‐1.0273534 XII 12 0.99903549

Cuadro 2.11 Índices estacionales La interpretación de los índices es simple: desde octubre (X) a abril (IV), la temperatura está por encima de la media anual; mientras que de mayo (V) a septiembre (IX) está por debajo de la media. No olvidemos que los datos corresponden a una ciudad del hemisferio sur; por tanto, de octubre a abril son los meses cálidos, y los demás son los fríos. Es de

22

23

24

25

26

27

28

29

1 24 47 70 93 116

22

23

24

25

26

27

28

29

1 24 47 70 93 116

temperatura Prom‐movilLineal (temperatura)



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

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56

destacar que la oscilación térmica media, del mes más cálido al más frío, es relativamente pequeña (1,31 + 1,80 = 3,01°C). Esto, unido a los valores medios mensuales, que oscilan entre 23 y 29°C permite afirmar que el estudio se está haciendo sobre una ciudad de clima muy suave y casi permanentemente primaveral.

Figura 2.20 Componente estacional: índices

La tendencia, aunque débil, existe y es de tipo lineal. Su evaluación se efectuará mediante el modelo lineal aplicado a las medias móviles (cuadro 2.12).

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0.54422581Coeficiente de determinación R2 0.29618173R2 ajustado 0.28954194Error típico 0.22654012Observaciones 108 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los cuadrados F

Valor crítico de F


Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 25.4342763 0.05009208 507.750413 2.637E‐181Variable X 1 0.00467004 0.00069923 6.67885166 1.145E‐09

Cuadro 2.12 Modelo lineal para la tendencia: Yt = α0 + α1 t + e A pesar del valor del coeficiente de determinación del ajuste, (29,62 %), la explicación del modelo es significativa. Así, se puede deducir que parece existir una tendencia muy ligera a un incremento de la temperatura, que se ha estimado en un aumento de 0,00467 grados mensuales en promedio.

‐2.00

‐1.50

‐1.00

‐0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

57

La evolución del modelo, junto con los datos reales, se presenta en la figura 2.21 Para su obtención, hay que tener en cuenta que, conocidos los índices estacionales y el modelo de tendencia, la suma mes a mes de los dichos valores dará lugar al modelo propuesto, es decir:

25.4343 0.00467 , 12 1, … , 12

Figura 2.21 Datos (… ) y modelo ajustado ( )

Solamente hay que destacar la buena concordancia entre ambos, a pesar de que hay algunos puntos que parecen presentar mayores discrepancias. Esto ocurre, principalmente, desde abril hasta julio de 2003 que como, puede observarse, ya en los datos iniciales presentaron unas temperaturas medias bastante superiores a las de los demás años (es decir hizo un otoño especialmente cálido). En la figura 2.22, se muestran los residuos resultantes de la descomposición de esta serie, obtenidos como . Hay que destacar la buena modelización conseguida, pues en la mayoría de las 120 observaciones, el error es inferior a un grado, excepto en los meses ya comentados.

Figura 2.22 Residuos del modelo

22

23

24

25

26

27

28

29

1 24 47 70 93 116

temperatura

‐2

‐2

‐1

‐1

0

1

1

2

2

1 24 47 70 93 116



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

58

A partir de la descomposición, y suponiendo que no cambiase el comportamiento meteorológico de la zona, la previsión de la temperatura para los 10 años siguientes sería la del cuadro 2.13, que se muestra en la figura 2.23 junto a los datos disponibles. Aquí se observa que, de mantenerse la tendencia, la temperatura media mensual, poco a poco, se va incrementando. Comparando los datos reales con las previsiones, se ve en estas últimas la ausencia del componente aleatorio. Se está haciendo una previsión de temperaturas medias, pero el azar meteorológico se unirá a la previsión alterándola en aquellos períodos de tiempo en los que las temperaturas sean distintas a las de la tónica general: inviernos muy fríos o muy suaves, veranos más extremos, etc.

Mes Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

I 27.1 27.1 27.2 27.3 27.3 27.4 27.4 27.5 27.5 27.6 II 27.3 27.4 27.4 27.5 27.6 27.6 27.7 27.7 27.8 27.8 III 27.0 27.1 27.1 27.2 27.2 27.3 27.3 27.4 27.4 27.5 IV 26.6 26.7 26.8 26.8 26.9 26.9 27.0 27.0 27.1 27.1 V 25.9 25.9 26.0 26.0 26.1 26.1 26.2 26.3 26.3 26.4 VI 25.0 25.1 25.1 25.2 25.2 25.3 25.3 25.4 25.4 25.5 VII 24.1 24.2 24.3 24.3 24.4 24.4 24.5 24.5 24.6 24.7 VIII 24.2 24.3 24.4 24.4 24.5 24.5 24.6 24.6 24.7 24.7 IX 25.3 25.3 25.4 25.4 25.5 25.5 25.6 25.7 25.7 25.8 X 26.1 26.2 26.2 26.3 26.3 26.4 26.4 26.5 26.6 26.6 XI 26.6 26.6 26.7 26.8 26.8 26.9 26.9 27.0 27.0 27.1 XII 27.0 27.1 27.2 27.2 27.3 27.3 27.4 27.4 27.5 27.6

Cuadro 2.13 Temperatura prevista para los 10 años siguientes a la recogida de datos

Figura 2.23 Datos desde 1986 a 1995 ( • ) y previsiones desde 1996 a 2005 ( ‐ )

2.3.4 Descomposición Multiplicativa: Caso usuarios transporte público

22

23

24

25

26

27

28

29

1 48 95 142 189 236

temperatura



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

59

En el cuadro 2.14 se recogen los datos relativos al número de usuarios de un determinado transporte público en el período que abarca desde 1994 hasta 2005, y la figura 2.24 muestra su evolución cronológica. Mes 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 I 90 111 127 142 146 164 175 176 208 199 207 219II 88 115 107 139 155 151 161 194 189 190 198 206III 109 129 141 145 182 180 179 197 232 228 251 229IV 103 121 135 162 165 164 195 211 226 220 231 223V 103 112 133 144 165 184 189 191 222 222 234 231VI 122 125 154 176 191 206 208 235 245 233 251 266VII 134 164 175 192 195 198 227 248 252 303 316 290VIII 132 158 174 190 205 235 249 273 242 253 285 294IX 115 133 158 160 182 197 224 202 229 253 250 258X 101 127 139 151 165 163 193 189 202 223 232 214XI 91 110 112 134 138 148 170 167 192 191 190 206XII 112 120 140 140 155 163 166 168 198 185 201 199

Cuadro 2.14 Usuarios de un transporte público.

Figura 2.24 Evolución cronológica del número de usuarios.

La observación de la figura 2.24 permite realizar las siguientes consideraciones:

• Se detecta una clara tendencia creciente en el tiempo. • Hay una estacionalidad manifiesta que se repite anualmente. Ya que los datos son

mensuales, su período será igual a 12. • El patrón de estacionalidad tiene una forma constante pero presenta una

amplificación continua en el tiempo. Esta situación es la que indica que el modelo subyacente es multiplicativo.

Para obtener la descomposición de la serie cronológica, es necesario estabilizarla previamente, mediante medias móviles de p = 12; y después modelizar la tendencia y calcular los índices estacionales.

80

130

180

230

280

1 24 47 70 93 116 139



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

60

La evolución de las medias móviles se muestra en la figura 2.25, y se aprecia un crecimiento que no es proporcional al tiempo, sino que parece sufrir un amortiguamiento al final de la serie; es decir, probablemente se tratará de un modelo parabólico.

Figura 2.25 Tendencia a través de las medias móviles (p =12)

La estimación mínimo‐cuadrática conduce al modelo de tendencia, sobre las medias móviles, cuya estimación se muestra en el cuadro 2.15. En ella se observa, además de un muy buen ajuste reflejado por una R2 del 99,74%, que el término cuadrático es altamente significativo. El signo negativo de este término da idea de una especie de freno en el crecimiento sostenido del número de usuarios, representado por el coeficiente positivo del tiempo.

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple 0.99866456Coeficiente de determinación R2 0.99733091R2 ajustado 0.99728953Error típico 2.0160183Observaciones 132 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados


Valor crítico de F



Intercepción 99.7953224 0.63760786 156.515201 5.433E‐149Variable X 1 1.43266479 0.02012802 71.1776439 2.126E‐105Variable X 2 ‐0.0029421 0.00013513 ‐21.7720708 4.9966E‐45

Cuadro 2.15 Estimación del modelo de tendencia: Y= a0 + a1 t + a2 t2 + e

80

130

180

230

280

1 24 47 70 93 116 139



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

61

Así pues, el modelo de tendencia puede escribirse como:

T = 99.7953 + 1.4326 t – 0,00294 t2 En modelos multiplicativos, como el del actual ejemplo, la componente estacional representa la relación entre cada estación y la media general. Recordemos que, en estos casos, el cálculo de la estacionalidad se realiza de acuerdo con los siguientes pasos: a. Calcular las medias móviles , a partir de los datos, Yt, de la serie. b. Separar la tendencia, es decir, calcular c. Asumiendo que los ciclos, caso de existir, son de período suficientemente largo como para no ser recogidos por los datos, calcular los promedios de las Wt de cada estación y la media general, s es el indicador de la estación (mes, en el ejemplo), y ns el número de valores de W que se promedian en la citada estación

∑

s = 1, …, p y ∑ d. Finalmente, los valores de las componentes estacionales, generalmente expresados en % en modelos multiplicativos, se obtienen como:

100 En el cuadro 2.16 se muestran los valores de las componentes estacionales del presente ejemplo, y se representan gráficamente en la figura 2.26.

Mes Es Mes Es Mes Es I 92.40 V 97.07 IX 105.54 II 88.43 VI 109.25 X 94.13 III 101.75 VII 121.94 XI 81.56 IV 99.24 VIII 121.34 XII 87.35

Cuadro 2.16 Componente estacional.



2.3 Descompo

sición

de Una

Serie Tem

poral

62

Figura 2.26 Índices estacionales

La interpretación de los índices podría ser en el sentido de que, por ejemplo, los usuarios de los meses de julio y agosto son del orden de un 121% superior a la media, mientras que en noviembre se está en un 81% de la media. Ello podría aconsejar una promoción en los meses de noviembre, diciembre, enero y febrero, con el fin de conseguir una mayor ocupación de las plazas disponibles. La figura 2.26 muestra la concordancia entre los datos y su modelización, a partir de la tendencia y estacionalidad calculadas, de acuerdo con el modelo multiplicativo:

Figura 2.26 Serie cronológica experimental ( • ) y ajustada ().

Observando la figura 2.26 se puede destacar que hay unos desajustes más acusados en ciertos meses de julio o agosto, en concreto, los de los años 1999, 2000, 2001, 2003 y 2004, por lo que es posible afirmar que en los casos citados ha habido un comportamiento sustancialmente distinto del esperado en los mismos meses de otros años; en principio, sería discutible afirmar la presencia de un cambio en los hábitos de utilización de este transporte, ya que ni el año 2003 ni el 2005, pertenecientes al período en cuestión, presentan semejantes discrepancias. A pesar de todo, en este caso, sería prudente tomar con ciertas precauciones las previsiones para años venideros, mientras no se confirme la consolidación en el futuro de un cambio o de una permanencia de comportamiento. También podría ser interesante

80859095

100105110115120125130

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

80

130

180

230

280

330

1 24 47 70 93 116 139

Usuarios

Prevision: Yestim



2.4 Mod

elización con Va

riables Categóricas

63

intentar averiguar qué ocurrió en estos meses (quizás una campaña publicitaria, quizás una disminución de alternativas de la competencia,...). La figura 2.27 muestra la evolución de los residuos entre los datos experimentales y el modelo ajustado, como . Se observa que, en la mayoría de los casos, oscilan entre ±16, aunque en algún caso la discrepancia se aproxima a 30 unidades. Asumiendo que se mantiene el mismo modelo, la previsión de usuarios hasta el año 2010 se presenta en la figura 2.28. Hay que tener en cuenta, para realizar correctamente los cálculos, que el último valor de t para el que se dispone de datos, diciembre de 2005, es 144; por tanto, para las predicciones, que abarcan el período de los próximos 60 meses, los valores de t irán desde 145 hasta 204.

Figura 2.27 Residuos del modelo ajustado

En el gráfico de la previsión se puede observar la reducción de la velocidad de crecimiento inicial de la serie que se ha comentado en la modelización de la tendencia.

Figura 2.28 Serie observada y previsiones hasta el año 2000

2.4 Modelización con Variables Categóricas Tal como se ha comentado en la sección anterior, si hubiera estacionalidad, estimar el modelo de tendencia sobre los datos directos, por procedimientos usuales de ajuste

‐32

‐22

‐12

‐2

8

18

28

1 24 47 70 93 116 139

80

130

180

230

280

330

1 24 47 70 93 116 139 162 185

Usuarios

Prevision: Yestim



2.4 Mod

elización con Va


64

mínimo cuadrático, sería improcedente. Ello es debido a que se produciría una inflación de los residuos no atribuible a la aleatoriedad sino a la variabilidad ocasionada por el componente estacional. Para evitarlo, se pueden modelizar conjuntamente la tendencia y la estacionalidad con variables categóricas asociadas a cada estación, o bien desestacionalizar previamente la serie y entonces ajustar el modelo de tendencia, como ya se ha expuesto. La modelización conjunta, con variables categóricas, de la tendencia y la estacionalidad presenta como principal ventaja la generalidad del método. Por este procedimiento no es necesario, a priori, asumir un modelo aditivo o multiplicativo, sino que se plantea un modelo general que incluye todas las posibilidades. Sea p el período estacional, es decir, el número de unidades de tiempo que conforman el patrón de comportamiento que se repite sistemáticamente. Cada uno de los valores del tiempo contenidos en p corresponde a una estación, la cual se designará por el subíndice s, de forma que s = 1, 2, ..., p. Cada estación debe estar ligada biunívocamente a una variable categórica. Dicha variable es un indicador que toma el valor 1 en la estación a la que está asociada y 0 en todas las demás, excepto para la primera estación, en que todas toman el valor 0. Ésta es la razón por la cual con p‐1 variables categóricas es suficiente para estudiar una serie de período p. Las variables categóricas, Q, quedan, pues, definidas como

0 1 1, 2, … , 2, … , .

Con estas variables se plantea un modelo tipo

donde f(t) es una función polinómica del tiempo, o sea, ∑ , que viene a recoger la tendencia o evolución general, a largo plazo, de los datos con el tiempo. Los términos del grupo ∑ indican los cambios que las distintas estaciones, componentes del período estacional, introducen en la ordenada en el origen del modelo, parte aditiva según el sistema clásico. Mientras que los del grupo ∑ representa la influencia de la estacionalidad sobre la función del tiempo, lo que en el método clásico se interpreta como parte multiplicativa. El estudio de la significación de cada uno de los coeficientes α, β y γ, y la consiguiente eliminación de los no significativos conducirá el modelo que definitivamente explica el comportamiento de la serie.



2.4 Mod

elización con Va


65

Para desarrollar la metodología de las variables categóricas sobre un ejemplo, se van a utilizarlos datos relativos a las ventas de material deportivo estudiados por el método clásico, con el fin de poder comparar posteriormente los resultados obtenidos. En el cuadro 2.17 se vuelven a reproducir los datos de la serie cronológica, junto a los valores de las variables categóricas. La representación gráfica de los mismos ya se presentó en la figura 2.13, cuya observación condujo a pensar en una tendencia lineal creciente y una estacionalidad de período p = 4. A fin de no confundir los dos efectos, procede la creación de variables categóricas que identifiquen cada una de las cuatro estaciones, que en este ejemplo constituyen el período de repetición del patrón estacional. Por otra parte, suponiendo que hubiese ciclos, el intervalo de tiempo de recogida de datos es totalmente insuficiente para tomarlos, por lo que su posible existencia quedará enmascarada en los residuos. En el cuadro 2.17 están las variables categóricas Q2, Q3 y Q4, cuya conjunción representa de forma unívoca cada trimestre. Se insiste en que no es necesaria una Q1, puesto que el primer trimestre es el que toma como referencia Q2 = Q3 = Q4 = 0, y son los demás que, a través del indicador, aportarán la parte del efecto estacional correspondiente.

Año Trimestre (s)

Ventas (Y) Q2 Q3 Q4 t

2000 1 40.22 0 0 0 1 2 54.89 1 0 0 2 3 63.51 0 1 0 3 4 111.35 0 0 1 4

2001 1 46.95 0 0 0 5 2 51.62 1 0 0 6 3 61.47 0 1 0 7 4 108.58 0 0 1 8

2002 1 41.38 0 0 0 9 2 65.30 1 0 0 10 3 64.25 0 1 0 11 4 113.82 0 0 1 12

2003 1 53.34 0 0 0 13 2 59.37 1 0 0 14 3 66.15 0 1 0 15 4 121.50 0 0 1 16

2004 1 67.38 0 0 0 17 2 56.09 1 0 0 18 3 75.11 0 1 0 19 4 124.39 0 0 1 20

2005 1 55.90 0 0 0 21 2 61.25 1 0 0 22



2.4 Mod

elización con Va


66

3 75.44 0 1 0 23 4 126.50 0 0 1 24 Cuadro 2.17 Ventas de material deportivo

En este caso, al ser la tendencia rectilínea, se plantea el modelo

Y = α0 + α1t + β2Q2 + β3Q3 + β4Q4 + γ2Q2 t + γ3Q3 t + γ4Q4 t + ε La estimación de sus parámetros conduce a los resultados expuestos en el cuadro 2.18. Los resultados del modelo lineal general evidencian que todos los términos del tipo Qjt no son estadísticamente significativos, (p‐val < 0,05), por tanto procede recalcular el modelo prescindiendo de ellos. Cabe destacar que este hecho manifiesta que la estacionalidad no modifica la pendiente de la recta del tiempo, es decir, el incremento de las ventas es el mismo para cada trimestre. Esto simplifica el caso al corresponder a un modelo aditivo puro, que puede ser, alternativamente, estudiado por la metodología de la descomposición clásica, tal como se ha hecho en la sección anterior. Si alguno de esos términos hubiese resultado significativo, el sistema clásico proporcionaría un modelo bastante precario.

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.98973365Coeficiente de determinación R2 0.97957269R2 ajustado 0.97063574Error típico 4.73014481Observaciones 24 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados


Valor crítico de F



Intercepción 38.9463095 3.66031773 10.6401445 1.1507E‐08Q2 15.7735 5.3510502 2.94773912 0.0094549Q3 19.193619 5.53456782 3.46795264 0.00317106Q4 65.6576905 5.72616449 11.4662599 3.966E‐09t 1.08321429 0.28268022 3.83194228 0.00147026tQ2 ‐0.80264286 0.3997702 ‐2.0077606 0.06186319tQ3 ‐0.35128571 0.3997702 ‐0.87871911 0.39255913



2.4 Mod

elización con Va


67

tQ4 ‐0.1485 0.3997702 ‐0.3714634 0.71516553Cuadro 2.18 Resultados del modelo lineal general

El cuadro 2.19 contiene los resultados del ajuste del modelo definitivo, es decir, de

Y = α0 + α1t + β2Q2 + β3Q3 + β4Q4 + ε

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.98677823Coeficiente de determinación R2 0.97373128R2 ajustado 0.96820102Error típico 4.92233873Observaciones 24 ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados


Valor crítico de F


Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 42.5279881 2.57989903 16.4843615 1.0352E‐12Q2 6.46739286 2.84571718 2.2726759 0.03484621Q3 15.278119 2.85709757 5.34742643 3.6808E‐05Q4 64.5555119 2.8759648 22.4465584 3.8699E‐15t 0.75760714 0.147083 5.1508817 5.682E‐05

Cuadro 2.19 Resultados del modelo definitivo Los gráficos de residuos y probabilístico Normal se presentan en la figura 2.29, y no presentan ninguna peculiaridad especial. En consecuencia queda validado el modelo obtenido.



2.4 Mod

elización con Va


68

Figura 2.29 Gráficos de los residuos del modelo Como resumen de todo lo anterior, el modelo que explica el comportamiento de la serie, y que va a ser utilizado para hacer previsiones de las ventas futuras, ha resultado ser

42,5280 + 0,7576 t + 6,4674 Q2 + 15,2781 Q3 + 64,5555 Q4 La interpretación de los coeficientes del modelo permite identificar tendencia y estacionalidad. En cuanto a la primera, se detecta un incremento de las ventas de 0,7576 unidades cada unidad de tiempo (trimestre); incremento que se mantiene constante sea cual sea la estación. En consecuencia, la estacionalidad sólo afecta a la ordenada en el origen de cada una de las cuatro estaciones (trimestres) que componen el período. Tomando como referencia el primer trimestre, en el que Q2 = Q3 = Q4 = 0, se observa que en él las ventas dependen del tiempo, según la ecuación

42,5280 + 0,7576 t con t = 1 + 4 Para un tiempo correspondiente a un segundo trimestre, las variables categóricas toman los valores Q2 = 1 y Q3 = Q4 = 0 y el modelo es

‐10

‐5

0

5

10

15

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

Residuos ‐ Y estimado

‐10

‐5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25

Residuos ‐ tiempo

30

50

70

90

110

130

‐3 4 3 1 1 ‐2 ‐2 ‐5 ‐8 9 ‐2 ‐2 1 0 ‐3 2 12 ‐7 3 2 ‐3 ‐4 0 1

% Probabilidad ‐ Residuos



2.4 Mod

elización con Va


69

42,5280 + 0,7576 t + 6,4674 = 48,9954 + 0,7576 t con t = 2 + 4

Para un tiempo de tercer trimestre, las variables categóricas toman los valores Q3 = 1 y Q2 = Q4 = 0 y el modelo es

42,5280 + 0,7576 t + 15,2781 = 57,8061 + 0,7576 t con t = 3 + 4 Y, en el caso del cuarto trimestre, las variables categóricas toman los valores Q4 = 1 y Q2 = Q3 = 0; el modelo es

42,5280 + 0,7576 t + 64,5555 = 107,0835 + 0,7576 t con t = 4 + 4 Así, para cada trimestre (estación del período), se obtiene un modelo del mismo tipo, rectilíneo con igual pendiente, en este caso, pero con distinta ordenada en el origen. Esto se puede interpretar como que, tomando siempre como referencia el primer trimestre, en el segundo el volumen de ventas añade a la función del tiempo 6,4674 unidades, en el tercero el incremento es de 15,2782 y en el cuarto de 64,5555 unidades. Estos valores son, evidentemente, los coeficientes de las variables categóricas. En consecuencia los coeficientes de las variables categóricas representan la cantidad en que una estación, sistemáticamente, supera (o no alcanza, según sea el signo) el valor de la primera estación del período. Es decir, estos coeficientes son una forma de medir el componente estacional. Para evaluar la bondad del modelo, en la figura 2.30 se muestra la comparación de los valores medidos con los estimados a partir del modelo ajustado; se observa la buena concordancia entre ambos. La modelización tiene como objetivo principal el poder hacer previsiones para un futuro próximo. En este caso se procede a calcular las previsiones para los próximos 2 años, a base de sustituir los valores del tiempo y de las variables categóricas en el modelo obtenido. Los resultados se muestran en el cuadro 2.20 y en la figura 2.31.



2.4 Mod

elización con Va


70

Figura 2.30 Datos reales ( • ) y modelo ajustado ( _ )

Aquí se detecta la coherencia de la previsión con los datos históricos, siempre que no cambie el modelo de comportamiento de la serie en el período previsto. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si hubiese una recesión económica, la apertura de otro comercio de similares características en las inmediaciones, un cambio de hábitos en la población, una campaña propagandística con éxito de la competencia, etc.

42,5280 + 0,7576 t + 6,4674Q2 + 15,2781Q3 + 64,5555Q4

Año t Q2 Q3 Q4 Yestim

2006 25 0 0 0 61.46817 26 1 0 0 68.69317 27 0 1 0 78.26150 28 0 0 1 128.29650

2007 29 0 0 0 64.49860 30 1 0 0 71.72360 31 0 1 0 81.29193 32 0 0 1 131.32693Cuadro 2.20 Previsiones para 2006 y 2007

Figura 2.31 Datos, modelo y previsiones para los dos años siguientes

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 5 9 13 17 21

Ventas (Y)

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

1 5 9 13 17 21 25 29

Ventas (Y)



2.5 Actividades para el Aprendizaje.

71

2.5 Actividades para el Aprendizaje. Luego de visitar estas direcciones de páginas web, elaborar un resumen y/o desarrollar los ejercicios propuestos para el tema correspondiente: http://ciberconta.unizar.es/LECCION/seriest/060.HTM http://www.mty.itesm.mx/egap/materias/re‐4004/Cap7.ppt http://www.bccr.fi.cr/ndie/Documentos/DIE‐02‐2002‐NT‐ASPECTOS%20CONCEPTUALES%20SOBRE%20SEATS.pdf http://www.aaep.org.ar/espa/anales/resumen04/04/Trajtenberg.pdf Resolver los ejercicios al capitulo correspondiente:

Cátedra de Métodos Cuantitativos para los Negocios. http://www.unsa.edu.ar/mcneco/mcn_tps.html

Programación Matemática http://www.uv.es/~sala/programacion.htm

Bienvenidos a los cursos del Área de Operaciones – Descargar ejercicios: http://ucreanop.org/descarga_ejercicios.php

CAPITULO 2. PRONÓSTICOS DE NEGOCIOS · PDF filecuantitativas y cualitativas, es decir,...

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