33

3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

3.1 CARACTERIZACIÓN DE PARTÍCULAS Y CONJUNTOS DE PARTÍCULAS

La evaluación de las características de las partículas es un aspecto vital en el procesamiento de

minerales. En algunos casos puede ocurrir que el producto simplemente tenga que cumplir con una

especificación de tamaño. Mucho más importante es el uso del tamaño de partículas como una

medida de control para los procesos de reducción de tamaño (conminución). A veces el material

puede ser reducido en tamaño para acelerar un proceso químico como lixiviación. Más común es

que la reducción de tamaño se realice para liberar los diferentes minerales entre sí de modo que

puedan ser separados (concentrados).

Debido a los costos comparativamente altos de la reducción de tamaño y debido a las dificultades

asociadas con la separación de los minerales cuando ocurre sobre liberación o ocurre liberación

insuficiente, es necesario que se alcance la cantidad correcta de reducción de tamaño. El tamaño de

las partículas se usa comúnmente para medir el grado de liberación debido a su relativa facilidad de

medición. Antes de revisar algunos métodos de medición veamos lo que realmente significa éste

término.

3.1.1 Tamaño de partículas

El tamaño de una partícula es una dimensión representativa de su extensión espacial. Sólo el tamaño

de cuerpos geométricos regulares puede ser descrito mediante una sola dimensión. Por ejemplo, el

tamaño de una esfera se puede definir claramente por su diámetro y un cubo por la longitud de uno

de sus lados. Por otro lado, un mineral chancado consiste de partículas de forma irregular cuyo

tamaño no puede definirse con exactitud. Puesto que en general es deseable usar un solo número

para describir el tamaño de una partícula hay varias posibilidades. Por ejemplo, el volumen o el área

pueden usarse como variables de tamaño. Sin embargo, es más común usar un diámetro

característico que se conoce como diámetro nominal o simplemente diámetro, el cual se define en

términos de alguna propiedad real de la partícula o en términos del comportamiento de la partícula

en ciertas condiciones. Se pueden definir una gran cantidad de diámetros para una partícula

irregular.

34

Diámetros basados en la medida de una dimensión lineal.

a) El diámetro de Feret, dF, se define como la distancia entre un par de paralelas tangentes a la

silueta proyectada de la partícula, trazada en forma perpendicular a una dirección fija, definida

arbitrariamente.

b) El diámetro de Martín dM es la longitud de la línea paralela a una dirección fija (arbitraria) que

divide la silueta proyectada de la partícula en dos partes de igual área.

c) Diámetro máximo lineal: máxima dimensión de la silueta proyectada de la partícula

d) Diámetro mínimo lineal: mínima dimensión de la silueta proyectada de la partícula

e) El diámetro promedio: Corresponde al promedio entre los diámetros máximo y mínimo.

(dmin + dmax)/2.

Es importante destacar que el valor numérico que se obtenga para el diámetro de Feret y el diámetro

de Martín dependerá de la orientación de la partícula. Lo que se hace en la práctica es elegir una

dirección de medición, determinar el diámetro de un número grande de partículas orientadas al azar

y utilizar el valor medio obtenido.

2. Diámetro volumétrico o diámetro equivalente, dV. Se define como el diámetro de una esfera que

tiene el mismo volumen, V, que la partícula.

3/1

VV6

d

π=

3. Diámetro superficial, dA. Se define como el diámetro de una esfera que tiene la misma área

superficial, A, que la partícula.

2/1

AA

d

π=

35

4. Diámetro de tamizaje o harneado, dt. Es el ancho de la mínima abertura cuadrada a través de la

cual pasará la partícula.

5. Diámetro de sedimentación (o diámetro hidrodinámico), dh. Es el diámetro de una esfera que tiene

la misma densidad y la misma velocidad de sedimentación que la partícula en el mismo fluido.

6. Diámetro de Stokes, dSt. Es el diámetro de sedimentación si la partícula sedimenta en la zona de

flujo laminar.

( )gv18

dfs

St ρ−ρ

µ= ∞

7. Diámetro basado en el área proyectada de la partícula, dAp. Es el diámetro de un círculo que tiene

la misma área superficial que la proyección de la partícula.

π

= pAp

A4d

8. Diámetro basado en el perímetro del área proyectada, dper. Diámetro del círculo que tiene el

mismo perímetro que la proyección de la partícula.

π= p

perP

d

Claramente el diámetro obtenido para una partícula irregular dependerá de la técnica de medida

usada y ésta deberá ser relevante al uso final de los datos. Es por lo tanto vital, siempre que se

mencione el tamaño de la partícula, definir el diámetro nominal usado. En general, se ha encontrado

que la razón entre cualquier par de diámetros nominales es constante en un rango razonablemente

amplio de tamaños, para cualquier material particular.

3.1.2 Forma de las partículas

La forma de una partícula puede ser importante en una serie de situaciones, por lo tanto, es necesario

especificar una descripción de la forma para caracterizar completamente una partícula. En general,

36

para partículas irregulares las razones entre el volumen y el cubo del diámetro y entre la superficie y

el cuadrado del diámetro son aproximadamente constantes cualquiera sea el diámetro nominal. Esto

permite definir factores de forma como sigue:

2n

n,Sd

A=λ

3n

n,Vd

V=λ

Donde λS,n y λV,n son los factores de forma superficial y volumétrico respectivamente. El valor del

factor de forma dependerá del diámetro nominal usado para la partícula. Es común definir estos

factores en términos del diámetro de Feret o en términos del diámetro de tamizaje. Normalmente

estos factores se determinan para una cantidad de partículas con un rango estrecho de tamaños. Así

por ejemplo, el factor de forma volumétrico de un grupo de partículas relativamente grandes (de más

de 150 µm) con un rango estrecho de tamaños se puede calcular determinando el número de

partículas, N, el tamaño promedio, d, peso W y densidad ρs, como sigue:

3ns

n,VdN

W

ρ=λ

La determinación experimental de los factores de forma superficiales requiere la determinación del

área superficial de las partículas. Esto es a veces difícil, debido a las dificultades asociadas con la

medición del área superficial de partículas pequeñas y al hecho que los valores obtenidos del área

superficial tienden a ser dependientes del método utilizado para su determinación.

Otro factor de forma de uso muy común es la esfericidad, ψ . Definida como:

partículaladeerficialsupArea

eequivalentesferaunadeerficialsupArea=ψ

Como la forma esférica tiene la menor razón superficie / volumen de todas las formas geométricas,

se tiene que el rango de ψ será entre 0 y 1. La Tabla 3.1 a continuación da algunos valores típicos

de la esfericidad.

37

Tabla 3.1. Valores de la esfericidad

Tipo de material ψ

Partículas redondeadas: Arenas desgastadas por acción del agua, metales atomizados, polvos de chimenea fundidos

0.817

Partículas angulares de minerales pulverizados: carbón, piedra caliza, arena.

0.655

Partículas laminares: talco, yeso 0.543

Láminas muy finas: mica, grafito aluminio 0.216

3.1.3 Distribución de tamaño de partículas

Los minerales triturados están compuestos por partículas que varían ampliamente en su tamaño.

Para describir un sistema particulado con un amplio rango de tamaños se acostumbra a usar

funciones de densidad y funciones de distribución análogas a las funciones de densidad de

probabilidad.

Función densidad o función frecuencia, f(d)

f(d)⋅d(d) = fracción de partículas en la población que reside en el intervalo diferencial de tamaño d a

d + d(d). Corresponde al área bajo la función densidad entre los límites diferenciales d a d+d(d),

como se ilustra en la Figura 3.1

Figura 3.1. Función densidad de tamaño de partículas

38

Función integral o función de distribución, F(d)

F(d’) = fracción de partículas en la población menores al tamaño d’. Corresponde al área bajo la

función densidad entre los límites 0 y d’.

( ) ( ) ( )∫='d

0dddf'dF

Propiedades: F(db)-F(da) = fracción de partículas con tamaños entre da y db (db < da)

F(dmax) = 1.0

( ) ( )( )

adda dd

dFddf

=

=

Discretización de la escala de tamaños de partículas

En muchos casos es innecesario o imposible experimentalmente determinar la función continua de

densidad (o frecuencia) de tamaño o la función distribución (o integral) de tamaño. En estos casos se

puede terminar la fracción de partículas en una serie de intervalos discretos de tamaño. El rango de

tamaños de 0 a ∞ (o dmin a d max) se puede dividir en una serie de n intervalos y obtener la fracción

de partículas en el i-ésimo intervalo (con tamaños comprendidos entre di+1 y di) designado por fi, con

1 = 1, 2, 3, ....,n. Como se ilustra a continuación, el límite superior del intervalo 1, d1=dmax y el

límite inferior del n-ésimo intervalo, dn+1 = dmin.

fn fn-1 f i f i-1 f2 f1

dn+1 dn dn-1 di+1 di di-1 d3 d2 d1 =dmin =dmax

Figura 3.2. Discretización de la escala de tamaños

Conjunto de partículas

39

El set de valores fi determinado de ésta manera no caracteriza completamente la distribución

(puesto que no contiene información acerca de la distribución en el interior de los intervalos) pero

de estos datos puede obtenerse una aproximación discreta a la función densidad y a la función de

distribución.

Aproximaciones discretas a la función densidad y función de distribución

La fracción de partículas en cada intervalo, fi, se relaciona con la función densidad, f(d), y con la

función de distribución, F(d), como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )1ii

d

di dFdFdddff

i

1i

+−== ∫+

Por lo tanto la función distribución en los puntos discretos, di, está dada por:

( ) ∑=

=i

njji fdF para i = 1,2,3,...,n

Además por el teorema del valor medio del cálculo, la función densidad para los puntos *id se puede

aproximar por:

( ) ( ) ( )i

i

1ii

i

1ii

1ii*i d

fdd

fdd

dFdFdf

∆=

−=

−−≅

++

+

( ) i*ii ddff ∆=⇒

donde *id es un valor promedio del diámetro en el intervalo di+1 a di. Valores de uso común son el

promedio aritmético, 2

dd 1ii ++, el promedio geométrico, 1ii dd +⋅ , y el promedio armónico,

1ii

1ii

dd

dd2

+

++⋅

.

La Figura 3.3 muestra la función densidad de la Figura 3.1 junto con la aproximación discreta

obtenida de un set de valores fi, determinados experimentalmente para el caso en que la escala de

tamaños se dividió en 10 intervalos de igual magnitud y usando el promedio geométrico para *id .

40

Figura 3.3 Aproximación discreta a la función densidad para 10 intervalos de discretización.

Se ve que la aproximación discreta reproduce las características esenciales de la distribución

continua. Esta aproximación se puede hacer aún mejor si se aumenta el número de intervalos

considerado.

Estimación de los parámetros de la distribución

Una distribución de tamaño se caracteriza normalmente por dos parámetros. La media y la varianza

de la distribución

Tamaño promedio: La media o tamaño promedio de la distribución, µ, se determina desde la función

densidad usando la siguiente definición:

( ) ( )dddfd0∫∞

⋅=µ

41

Su correspondiente aproximación, obtenida de un set de valores fi con i = 1,2,3,....,n es

( ) ∑∑==

⋅=∆⋅=µn

1ii

*i

n

1ii

*i

*i fdddfd

�

Varianza: La varianza o dispersión de tamaños (alrededor de la media), σ2, está dada por:

( ) ( ) ( )∫∞

⋅µ−=σ0

22 dddfd

y puede aproximarse por:

( ) i

2n

1i

*i

2 fd ⋅µ−=σ ∑=

��

Coeficiente de variación (de Pearson): Este parámetro es una medida de la dispersión normalizada

de tamaños, es la razón entre la desviación estándar y la media

µσ=CV

La manera como éstos parámetros afectan la forma de la función densidad se ilustra en las Figuras

3.4a y 3.4b.

(a)

(b)

Figura 3.4. Función densidad para distintos valores de µ y CV.

42

Escalas de discretización

La forma como se discretiza la escala de tamaños de partículas (o manera como se eligen los límites

de cada clase o intervalo) es muy importante si se desea obtener una buena aproximación a la

distribución de tamaños del conjunto de partículas con un mínimo de intervalos. Una serie

aritmética, con di – di+1 = constante, para i = 1,2,3,....n, es apropiada si el conjunto tiene un rango

relativamente estrecho de tamaños. Para el caso de una muestra de partículas con un rango amplio

de tamaños una serie geométrica puede ser más apropiada. En este caso la razón entre límites de

clase es una constante, denominada módulo de la distribución y representada por ∆.

∆=+1i

i

d

d, para i = 1,2,3,....,n.

La tabla a continuación muestra escalas de discretización ariméticas y geométricas

Tabla 3.2. Intervalos de Discretización

No Serie aritmética Serie geométrica

Int. ∆d = 10 cm ∆d = 5 cm ∆ = 2 ∆ = √2

Int. d ,arit Int. d ,arit Int. d , arit Int. d ,arit

1 0-10 5 0-5 2.5 1-2 1.5 1-1.414 1.207

2 10-20 15 5-10 7.5 2-4 3 1.414-2 1.707

3 20-30 25 10-15 12.5 4-8 6 2-2.828 2.414

4 30-40 35 15-20 17.5 8-16 12 2.828-4 3.414

5 40-50 45 20-25 22.5 16-32 24 4-5.657 4.829

6 50-60 55 25-30 27.5 32-64 48 5.657-8 6.829

30-35 32.5 8-11.31 9.565

35-40 37.5 11.31-16 13.66

40-45 42.5 16-22.63 19.31

45-50 47.5 22.63-32 27.31

50-55 52.5 32-45.26 38.63

55-60 57.5 45.26-64 54.63

43

Cantidad Poblacional

Hasta el momento, en nuestra discusión sobre la función densidad, f(d) o la función integral, F(d),

no se ha especificado la propiedad o base usada para determinar la cantidad de partículas en cada

intervalo o cantidad poblacional. Propiedades de uso común son: masa (o volumen), área

superficial, longitud y número. En otras palabras f(d)d(d) puede ser la fracción del número total de

partículas que reside en el intervalo diferencial de tamaño d a d+d(d); la fracción de la masa total (o

volumen) en el intervalo; la fracción del área superficial o la fracción de la longitud total de

partículas que reside en el intervalo. Debido a facilidad de medida, la propiedad masa es la más

práctica para partículas pequeñas mientras que el número puede ser adecuada para partículas

grandes. El área superficial y la longitud, siendo más difíciles de medir experimentalmente, se usan

solamente en situaciones especiales. La función densidad obtenida con las varias cantidades

poblacionales se acostumbra a representar por:

( ) ( )dddfq

donde q representa la cantidad poblacional.

Por convención:

q = 0 para número

q = 1 para longitud

q = 2 para área superficial

q = 3 para masa (o volumen)

Notemos que el set de valores que indica la fracción de partículas en cada intervalo de

discretización, requiere ahora el uso de dos subíndices. Así fqi corresponde a la fracción de partículas

basado en la cantidad poblacional q reside en el intervalo i (con tamaños entre di+1 a di).

Cambio en la Cantidad Poblacional

Una vez que se conoce la función densidad para una cantidad poblacional (siempre que la densidad

y forma de las partículas sea aproximadamente constante) se pueden obtener todas las demás

funciones por transformación usando la siguiente fórmula:

44

( ) ( )

( ) ( )∫ ⋅

⋅=−

−

dddfd

dfddf

mmq

mmq

q

con q y m = 0, 1, 2 y 3

Ejemplos: ( ) ( )

( ) ( )∫∞

⋅

⋅=

00

3

03

3

dddfd

dfdqf , ( ) ( )

( ) ( )∫∞

−

−

⋅

⋅=

03

3

33

0

dddfd

dfdqf

En el caso de las aproximaciones discretas a la función densidad la fórmula es:

( )( ) ( )

( ) ( )∑ ∆⋅

∆⋅=∆−

−

n

0

*im

*

*im

**iq

ddfd

ddfdddf

mq

mq

Esto implica que:

∑−

−=

n

0mi

)mq(

mi)mq(

qi

f*d

f*df

Tamaños promedios estadísticos

Además de la media de la distribución se pueden definir varios otros tamaños promedios para un

conjunto de partículas con una cierta distribución de tamaños, de acuerdo a las varias funciones

densidad que existen. En general se puede definir:

( ) ( )j/1

0q

jjq dddfdd

⋅= ∫

∞

Donde j indica el momento usado en el cálculo y q la cantidad poblacional. Los diámetros promedio

más usados son:

( ) ( )∫∞

⋅=0

010 dddfdd Tamaño promedio lineal

45

( ) ( )2/1

00

220 dddfdd

⋅= ∫

∞ Tamaño promedio superficial

( ) ( )3/1

00

330 dddfdd

⋅= ∫

∞ Tamaño promedio volumétrico

( ) ( )∫

∫∫

∞

==⋅=

∞

∞

00

2

00

3

220

330

0212

)d(d)d(fd

)d(d)d(fd

d

ddddfdd Tam. promedio volumétrico-superficial

( ) ( )∫∞

⋅=0

313 dddfdd Tamaño promedio en volumen

El diámetro promedio volumétrico-superficial, denominado también Sauter mean se usa en forma

extensiva en el estudio de reacciones heterogéneas: sólido-líquido, sólido-gas, líquido-líquido, y

líquido-gas. Este uso surge porque este diámetro promedio relaciona el área de la fase dispersa a su

volumen y por lo tanto a las velocidades de transferencia de masa y reacción química. Debido a que

corresponde a la razón entre el tercer y segundo momento de la función densidad en número, en la

literatura normalmente se designa como d32 (otra nomenclatura).

3.2 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LAS PROPIEDADES DE LAS PARTÍCULAS

Revisaremos aquí en forma breve los principales métodos usados para medir características de las

partículas.

3.2.1 Determinación del tamaño de las partículas

Es importante recordar que diferentes técnicas medirán diámetros nominales diferentes. Por lo tanto,

el método a usar debe seleccionarse de modo que los datos obtenidos sean relevantes al uso que

quiere dárseles. Deben considerarse además factores como exactitud y precisión, costo del equipo,

tiempo requerido para el análisis, frecuencia de uso de la técnica, rango de tamaños de la muestra y

reactividad química de las partículas.

46

Microscopía

Este es el método más directo de medir el tamaño de las partículas y tiene la ventaja adicional que

permite obtener también información acerca de su forma y su composición mineralógica.

Este es el único método en el cual se observan y miden partículas individuales. Las medidas se

realizan desde una imagen bidimensional de las partículas observadas visualmente en el microscopio

con un ocular graduado. También se puede usar una imagen proyectada como una fotografía o

imagen de televisión. Se obtiene aquí una distribución en número de partículas, f0(d). Generalmente

lo que se hace es determinar el número de partículas en intervalos de tamaño o clases.

De la imagen bidimensional de una partícula se pueden determinar varios diámetros nominales. Por

ejemplo: 1) El diámetro de Martín, 2) El diámetro de Feret, 3) El diámetro promedio (máximo y

mínimo), 4) El diámetro basado en el perímetro, 5) El diámetro basado en el área proyectada. La

determinación de estos diámetros se ilustra en la Figura 3.5.

Figura 3.5. Diámetros que pueden determinarse desde una imagen bidimensional.

En relación a la Figura 3.5, los diámetros a, b y c son diámetros físicos ya que son medidas físicas

de las partículas, esencialmente reproducibles, consecuentemente se pueden considerar más

47

confiables. Los diámetros d y e son diámetros estadísticos que se basan en que las partículas tienen

forma y orientación al azar.

Las principales limitaciones del método microscópico es que se requiere medir un gran número de

partículas para asegurar precisión en los parámetros a medir, lo que puede resultar tedioso y fatigoso

para el operador en el caso de medición manual. Además, se debe ser cuidadoso para obtener una

muestra bien dispersa que asegure que se están midiendo partículas aisladas y no aglomerados.

También el conteo es difícil cuando el rango de tamaño de la muestra es muy amplio. Para una razón

de diámetros de 10:1 una partícula grande equivale a 1000 partículas pequeñas en base al volumen.

Las partículas grandes tienden a ocultar a las pequeñas y las partículas muy pequeñas (< 5 µm)

tienden a formar aglomerados. Además, es difícil obtener resolución para partículas muy grandes y

muy pequeñas con una sola magnificación. La precisión obtenida en el extremo grueso de la

distribución con frecuencia es mala debido a que se cuentan relativamente pocas partículas grandes.

Finalmente, se debe hacer notar que las partículas tienden a descansar sobre una superficie en su

plano de mayor estabilidad (base más ancha) por lo que los tamaños medidos al microscopio

generalmente muestran desviaciones sistemáticas hacia tamaños mayores que lo real.

El rango de aplicabilidad de esta técnica depende del tipo de microscopio empleado o de la fuente

luminosa. El tamaño mínimo de partícula que puede ser resuelto es cercano a la longitud de la onda

de luz empleada. Los microscopios ópticos corrientes (luz blanca) son adecuados para el rango 0.5 a

150 µm. El uso de la luz ultravioleta permite extender el límite inferior a 0.1 µm (rango normal 0.1 a

100 µm) para tamaños menores es preciso ir a técnicas microscópicas que emplean un haz de

electrones como:

- Microscopio electrónico de transmisión (TEM) útil para partículas en el rango de 0.001 a 5

µm.

- Microscopio electrónico de barrido (SEM) adecuado para partículas en el rango 0.01 a 1000

µm.

Actualmente existen analizadores de imágenes cuantitativos que aceptan muestras en una variedad

de formas: fotografías o imágenes directas de un microscopio. Las partículas son examinadas a

48

través de una cámara de televisión y mostradas en una pantalla. Esta imagen puede ser capturada y

la imagen digitalizada es almacenada, modificada y procesada en forma automática. Con estos

equipos se pueden medir una serie de parámetros de las partículas y se elimina la mayoría de las

limitaciones de la técnica microscópica manual ya que pueden hacerse muchas determinaciones en

un tiempo muy corto.

Tamizaje

Este es probablemente el método más antiguo y la técnica más usada para determinar la distribución

de tamaño de partículas en el procesamiento de minerales. En el tamizaje las partículas se hacen

pasar a través de una serie de tamices calibrados cuyas aberturas disminuyen de tamaño desde el

tamiz superior al inferior. El conjunto de tamices se agita mecánicamente o a veces manualmente

por cierto tiempo, lo cual hace que el material se distribuya en una serie de intervalos de tamaño o

fracciones de tamaño. El material retenido en un tamiz específico tiene tamaños comprendidos entre

el tamaño de las aberturas del tamiz superior y el tamaño de las aberturas del tamiz inferior.

Generalmente se usa el promedio geométrico o el promedio aritmético para caracterizar el tamaño

de las partículas en el intervalo.

1iip ddd += o 2

ddd 1ii

p++=

De la masa del material en cada intervalo y su tamaño se termina un set de valores f3i que

corresponde a la fracción del peso del material retenido en el intervalo respectivo y, como ya vimos

antes, permite obtener una aproximación discreta a la distribución de tamaño.

El rango nominal de tamaño para tamizaje es de alrededor de 3 pulgadas hasta 38 µm. Los

estándares más comunes para aberturas de tamices son las serie Tyler y USA. Como se muestra en

la Tabla 3.2 los tamaños de las aberturas para cada uno de estos tamices sigue una progresión

geométrica en la cual la razón de los tamaños de las aberturas de harneros adyacentes es

aproximadamente 4 2 . En la práctica, normalmente se usan sólo tamices alternados, es decir con

una progresión 2 .

49

Tabla 3.2. Series de tamices .

50

Hasta hace algunos años los tamices se designaban por el número de mallas, que correspondía al

número de aberturas cuadradas en el tamiz por pulgada lineal. De esta manera, un tamiz de malla

100 indica 100 aberturas por pulgada lineal. Aunque en la actualidad se prefiere designar el tamiz

por el tamaño de las aberturas, la designación por mallas es todavía muy popular en la industria.

El tamaño de las partículas medidas por tamizaje queda determinado por el tamaño de las aberturas

de la malla que retiene las partículas y el tamaño de las aberturas de la malla inmediatamente

superior. Así, la fracción de material retenido en un tamiz de malla 100 pero que pasa un tamiz de

malla 65 (serie alternada) se denomina la fracción 65x100 y su tamaño promedio aritmético

corresponde a dP = (212 + 150)/2 = 181.0 µm, mientras que el tamaño promedio geométrico será

m3.178150x212 µ= .

Puesto que el tamaño de tamizaje es definido haciendo pasar las partículas a través de aberturas

cuadradas es muy importante la forma de las partículas. Si caracterizamos el tamaño de una

partícula por su espesor, ancho y largo se tiene que, aunque las partículas pueden presentarse a la

abertura en una variedad de orientaciones, en la mayoría de los casos es que el ancho de la partícula

el que determina si ella pasará o no y por lo tanto es ésta dimensión la que se asocia mejor con el

tamaño de las aberturas del tamiz.

El tamizaje de un conjunto de partículas para determinar su distribución de tamaño es

inherentemente un proceso cinético. Mientras se agita el set de tamices se presentarán capas de

partículas a la superficie de cada tamiz. Si las partículas son suficientemente pequeñas, están en la

orientación correcta y no hay otras partículas tapando la abertura, ellas pasarán al próximo tamiz

más fino. El equilibrio en este proceso estadístico se alcanza sólo después de períodos más o menos

largos de tiempo y debe determinarse para cada material en forma experimental. El tiempo en

alcanzar este equilibrio depende también de la cantidad de masa cargada al conjunto de tamices. Es

importante no gargar una cantidad excesiva de material al tamiz superior. Para el tamizaje en seco es

importante que la humedad del material sea muy baja, de lo contrario lss partículas finas tienden a

forma aglomerados y quedan retenidas en los tamices gruesos.

Hay otros problemas que pueden presentarse en tamizaje. El primero es que las aberturas del tamiz

se tapen con material atrapado en la malla de alambre y se detenga prematuramente el paso de

51

material. Esta situación se denomina cegado del tamiz. Hay ciertas formas de partículas que son

propensas al cegado. Cuando se tamizan estos materiales debe detenerse frecuentemente el proceso

de tamizaje y sacar las partículas atrapadas, con una brocha por ejemplo. El segundo problema surge

cuando se tamiza material blando, que sufre abrasión, o material con lados o puntas aguzadas que se

rompen durante el proceso. En este caso nunca se alcanza un punto de equilibrio. En vez de eso las

partículas grandes por ruptura o abrasión pasan a tamaños menores y continúan pasando a través del

tamiz. En esta situación, tiempos prolongados de tamizaje producirán un análisis incorrecto.

El tamizaje se puede realizar en seco o en húmedo o una combinación de ambos. En este último

caso, se sacan primero los finos lavado la muestra con agua sobre el harnero más pequeño de la serie

a usar. (normalmente malla 200 o 400). Después de secar el material grueso, se tamiza en seco y la

cantidad de material que pasa la malla menor se suma a la pérdida de peso en el lavado. Este método

mixto es efectivo porque elimina en gran medida el problema de la adherencia de los finos a las

partículas más grandes, que tiende a distorsionar el análisis.

Cuando la cantidad de finos es grande puede ser conveniente determinar la distribución de tamaño

de este material por algún método adecuado, por ejemplo una técnica de sedimentación, con

microtamices, etc.

El aparato más común para agitación mecánica es el Ro-tap. Este equipo sólo permite usar de 6 a 9

tamices a la vez y puede ser necesario dividir el conjunto de tamices en dos o más partes para

realizar el análisis granulométrico completo. El rango de tamices a usar en general debe escogerse

de modo que no más del 5% de la muestra sea retenido en el harnero más grueso o pase el harnero

más fino. Esto límites pueden bajarse para un análisis más exacto.

Presentación de los resultados de tamizaje

Las formas de presentar los datos de tamizaje que veremos a continuación son también aplicables a

otros métodos de medición de distribución de tamaño de partículas. Aunque es común presentar los

datos en forma tabular, como se muestra en la Tabla 3.3, la presentación gráfica da un mejor

representación.

52

Tabla 3.3 Análisis por tamizaje

Malla Tyler Abertura mm, µm

Abertura promedio

Porcentaje retenido, 100xf3i

Porcentaje Acumulado que pasa,

100xF3i + 3/8” +9.50 11.55 mm 0.03 -----

3/8”x3 -9.50 + 6.70 8.15 0.43 99.97

3x4 -6.70 + 4.75 5.78 2.03 99.54

4x6 -4.75 + 3.35 4.08 4.17 97.51

6x8 -3.35 + 2.36 2.88 6.97 93.34

8x10 -2.36 + 1.70 2.03 9.59 86.37

10x14 -1.70 + 1.18 1.44 10.94 76.78

14x20 -1.18 + 850 1.02 10.8 65.84

20x28 -850 + 600 725 µm 9.91 55.04

28x35 -600 + 425 512 8.42 45.13

35x48 -425 + 300 362 7.12 36.71

48x65 -300 + 212 257 6.10 29.59

65x100 -212 + 150 181 5.23 23.49

100x150 -150 + 106 128 4.38 18.26

150x200 -106 + 75 90 3.85 13.88

200x270 -75 + 53 64 2.91 10.03

270x400 -53 +038 45 2.14 7.12

-400 -38 µ 19 4.98 4.98

En forma gráfica los datos normalmente se presentan graficando el tamaño de partículas en el eje

horizontal (eje x) y la cantidad de propiedad medida en el eje vertical (eje y). Para representar la

cantidad en cada intervalo se usan dos enfoques:

a) Graficar la cantidad en cada intervalo (ya sea en forma absoluta o como fracción o

porcentaje).

b) Graficar la cantidad acumulada (fracción o porcentaje sobre o bajo cierto tamaño). Este

enfoque es mucho más frecuente en procesamiento de minerales.

En el caso a) se obtiene un histograma, el cual si los intervalos son suficientemente pequeños puede

ser también representado como una curva continua. Si se decide dibujar una curva continua, el

53

tamaño de las partículas se toma como un promedio de los límites del intervalo ( *id ). Antes de

continuar es importante destacar que éste tipo de presentación de los datos no debe confundirse con

la aproximación discreta a la función densidad de tamaño de partículas que vimos en la sección

3.1.4, e ilustramos en la Figura 3.3.

Volviendo al histograma del caso a) tenemos que la cantidad en cada intervalo se puede graficar

como frecuencia, fracción o porcentaje, aunque los dos últimos son mucho más recomendables

porque dan una visión más cuantitativa de la distribución relativa del material en todo el rango de

tamaño considerado. Es también por esta razón que estas escalas deberían ser lineales. El tamaño de

las partículas en cambio debería ser siempre graficado en escala logarítmica, a menos que haya una

razón especial para hacer lo contrario. Esto es porque los intervalos de tamaño están en progresión

geométrica y una escala logarítmica distribuye los datos en forma pareja. La figura 3.6 ilustra este

tipo de gráfico.

Figura 3.6. Gráfico de porcentaje retenido versus log*id .

En el procesamiento de minerales , los datos de distribución de tamaño de partículas se presentan

con más frecuencia como la cantidad acumulada de material versus log tamaño. Para Fi (o Ri = 1-Fi)

normalmente se usa una escala logarítmica. El uso de una escala lineal para la fracción acumulada,

que se ilustra en la Figura 3.7 no es común por dos razones:

1) Se obtiene un curva en forma de S que es difícil de expresar matemáticamente.

54

2) Los dos extremos de la escala vertical no están suficientemente ampliados.

Figura 3.7 Gráfico de % acumulado versus log di.

El grafico más usado, log Fi versus log di, llamado comúnmente gráfico de Gaudin-Schuhmann o

Gates-Gaudin-Schuhmann se ilustra en la Figura 3.8.

Figure 3.8. Gráfico de Gaudin-Schuhmann.

55

Este tipo de gráfico amplía convenientemente la región de tamaños finos pero comprime los

gruesos, lo cual es inapropiado en ciertas situaciones. En algunos casos, los datos de reducción de

tamaño pueden ser lineales en el rango fino. Esta calidad de ajuste puede ser engañosa, debido a la

compresión de la porción superior de la escala (gruesos). A pesar de sus limitaciones, este tipo de

gráfico en muy utilizado especialmente debido a que es fácil de usar y hay papel adecuado

disponible.

El gráfico de Rosín Rammler o Weibull que se ilustra en la Figura 3.9 grafica

− iF1

1lnlog vs log

di. Este tipo de gráfico expande ambos extremos de la escala aunque los finos no se expanden tanto

como en el gráfico de Gaudin-Schuhmann. Un beneficio de este gráfico es que algunos datos de

reducción de tamaño muestran un comportamiento lineal. A pesar de ser el más adecuado, este

gráfico no es muy popular, probablemente porque el papel gráfico apropiado es escaso.

Figura 3.9. Gráfico de Rosín Rammler.

56

Técnicas de sedimentación

Las técnicas de sedimentación son las más usadas para partículas minerales de tamaño inferior al

rango de tamizaje. Estas técnicas están basadas en la diferenciación por tamaño de las partículas de

acuerdo a su velocidad terminal de sedimentación en varios fluidos.

En la mayoría de los casos, el tamaño de las partículas es asignado en base a la ley de Stokes. El

diámetro de Stokes de una partícula se obtiene de la ecuación:

( )

2/1

fsSt

F̂

v18d

ρ−ρ

µ= ∞

donde dSt es el diámetro de Stokes; µ es la viscosidad del fluido; ∞v es la velocidad terminal de la

partícula; ρs es la densidad de la partícula; ρf es la densidad del fluido y F̂ es la fuerza de

campo.

F̂= g para sedimentación gravitacional y F̂= ω2r para sedimentación centrífuga.

Esta forma de caracterizar el tamaño de las partículas está restringido a un rango limitado de

propiedades de los materiales y variables de operación. La ley de Stokes es válida solamente para

partículas esféricas que sedimentan libremente a su velocidad terminal bajo condiciones de flujo

laminar. Para que ocurra sedimentación libre de partículas en una pulpa es necesario que la pulpa

sea diluida y la condición de flujo laminar se cumple para números de Reynolds menores a 0.1-0.2.

Recordemos que el número de Reynolds para una partícula se define por:

µ

ρ= s

Revd

N

En términos de tamaño de partícula, esta restricción significa que para partículas esféricas de

gravedad específica igual a 2.7, sedimentando en agua a 26 ºC (ρf = 0.9968 g/cc, µ = 0.8737 cp) el

tamaño máximo que puede ser analizado por esta técnica es aproximadamente d = 55 µm ( ∞v =

0.320 cm/s), puesto que NRe < 0.1 para partículas menores. Para partículas de gravedad específica

mayor a 2.7 el tamaño máximo para validez de la ley de Stokes es aún menor. Sin embargo, en la

medida que se disponga de buenas expresiones para calcular la velocidad de sedimentación de

57

esferas de cualquier tamaño, el método se puede extender para Reynolds mayores. En estos caso de

NRe grandes (fuera del rango laminar) se utiliza el diámetro de sedimentación, que como ya vimos es

una generalización del concepto de diámetro de Stokes. Existen varias correlaciones que se pueden

utilizar para calcular la velocidad de sedimentación de partículas esféricas en cualquier régimen de

flujo, como veremos en una sección posterior.

Sedimentación gravitacional.

En estos métodos de análisis las partículas sedimentan libremente bajo acción de la fuerza

gravitacional exclusivamente. Mediciones de la concentración de partículas a un nivel fijo o a varios

niveles de una suspensión en función del tiempo son usadas en conjunto con la ley de Stokes para

calcular la distribución de tamaño del conjunto de partículas.

Técnicas basadas en cambios de concentración a un nivel fijo

El principio de estos métodos puede describirse como sigue. En una capa de suspensión, a una

profundidad dada, hay sólido que entra y que sale. Se alcanza pronto un estado en el cual las

partículas más grandes no están presentes en la capa porque todas las partículas de ese tamaño sobre

la capa se han hundido a través de ella debido a su velocidad de sedimentación mayor. Conociendo

la distancia sedimentada y el tiempo transcurrido es posible calcular el tamaño máximo de partícula

que puede existir en la capa en ese tiempo, de acuerdo a la ley de Stokes. La concentración de

sólidos C medida al tiempo t dividida por la concentración inicial C0 corresponde a la fracción de

material más fino que el tamaño dSt, calculado de la ley de Stokes. Es decir 0

St3 CC)d(F = .

Los varios métodos de sedimentación gravitacional difieren en la manera en que se mide la

concentración. En el método de la pipeta de Andreanson, uno de los más usados, la solución se hace

homogénea al comienzo del test y con una pipeta se extraen muestras de 10 cc de la suspensión a

una profundidad de 20 cm a tiempos diferentes durante la sedimentación. La concentración de sólido

de las muestras es determinada evaporando el líquido y pesando el residuo sólido.

58

Figura 3.10. Pipeta de Andreanson

Este equipo es muy simple, de bajo costo, y permite obtener resultados reproducibles si se trabaja

con cuidado. Las principales fuentes de error se relacionan con la extracción de muestras, lo cual

produce perturbaciones en la suspensión y deja algo de la muestra en el tubo de la pipeta para la

muestra siguiente. Además, se requiere corrección de la altura de sedimentación a medida que

progresa el test. El método requiere usar concentraciones bajas de la suspensión, < 1% en peso.

Un método alternativo de determinar concentraciones de la suspensión es mediante un hidrómetro.

En este método se usa un recipiente similar al anterior, pero en vez de pipeta se emplea un

hidrómetro para medir la concentración de partículas. El hidrómetro se coloca al comienzo del test y

se hunde a cierta profundidad, entonces empiezan a registrarse los cambios en la densidad de la

suspensión en el tiempo. La distribución de tamaño se puede calcular de:

lS

lSht3

i

ht)d(Fρ−ρ

ρ−ρ=

donde =)d(F ht3 fracción de las partículas menores que un diámetro calculado por la

ecuación de Stokes para un profundidad h y un tiempo t

=ρhtS densidad de la suspensión a un profundidad h y tiempo t

59

=ρiS densidad inicial de la suspensión

=ρl densidad del líquido de sedimentación.

Este método introduce nuevos errores porque es difícil conocer exactamente la profundidad a la que

se está midiendo la gravedad específica. A pesar de que es relativamente difícil obtener resultados

absolutos, este método se usa bastante para control de rutina debido a su simplicidad y

reproducibilidad.

Hay otros métodos para medir concentraciones de sólidos a un nivel fijo basados en la extinción de

luz o absorción de rayos X. Estos métodos son mejores desde el punto de vista de errores asociados,

pero son considerablemente más caros que los descritos antes. Los instrumentos basados en la

extinción de luz se llaman fotosedimentómetros y aquellos basados en la absorción de rayos X se

denominan sedimentómetros de rayos X.

Técnicas asociadas a cambios de la concentración a niveles diferentes

En estos dispositivos la concentración de sólidos se determina a varios niveles de la cámara de

sedimentación en función del tiempo, reduciendo de esta manera considerablemente el tiempo

requerido para completar el análisis. Estos instrumentos normalmente tienen un mecanismo motriz

que puede ser programado para determinar concentraciones a diferentes posiciones en un tiempo

dado después que el análisis a comenzado y usar toda esta información, junto con la ecuación de

Stokes, para construir la distribución de tamaño del material siendo analizado. La concentración de

sólidos normalmente se determina por extinción de luz o absorción de rayos X, de modo que la

dispersión que está sedimentando no sufre perturbaciones.

Sedimentación centrífuga

Existen varios aparatos que hacen uso de la fuerza centrífuga en vez de la fuerza gravitacional para

sedimentación de partículas. Debido a que estos dispositivos pueden desarrollar varios g’s, ellos

pueden usarse para el análisis de partículas muy finas.

60

Los sedimentómetros centrífugos de disco están basados en la medición de cambios de

concentración a una posición radial fija del disco rotatorio. Al igual que los sedimentómetros

gravitacionales hay diversos métodos para medir los cambios de concentración en el tiempo. En

algunos se emplea muestreo de la suspensión, en otros un haz de luz y una fotocelta y finalmente un

haz de rayos X.

Elutriación (gravitacional y centrífuga)

La elutriación es un proceso de separar partículas por arrastre con una corriente de fluido,

generalmente agua o aire. En el caso de elutriación gravitacional se usa una corriente ascendente de

fluido. La separación por tamaños se logra usando una serie de estanques tubulares o cónicos de

tamaño creciente de modo que la velocidad del flujo ascendente disminuye sucesivamente. De

nuevo se supone aquí que se cumple la ley de Stokes, pero esto requiere flujo laminar condición que

no siempre se encuentra en la práctica. Aún así, se pueden realizar separaciones pero debe apreciarse

que en este caso se está midiendo un diámetro nominal diferente.

Un problema aparente con la elutriación gravitacional es el perfil de velocidad que existe a través de

la corriente debido al arrastre de la pared. Esto sugiere que las partículas son sometidas a

velocidades variables, con el resultado que cada recipiente cortaría partículas con una variedad de

velocidades de sedimentación. En realidad las partículas son arrastradas por diferencias de presión

en su superficie hacia la región de mayor velocidad y eventualmente son cortadas (separadas) por la

velocidad máxima del fluido. El hecho que las partículas tenga o no tiempo suficiente para que

ocurre esto es otro asunto. De hecho, es probable que otro factor que contribuya a la falta de

limpieza en la separación sea la formación de corrientes de circulación en la columna. Los

elutriadores gravitacionales pueden adquirirse como unidades listas o pueden construirse

simplemente mediante tubos de vidrio o plástico transparente. Un ejemplo de elutriadores

gravitacionales es el Infrasizer.

Existen también elutriadores centrífugos como el ciclosizer que se ilustra en la Figura 3.11.

61

Figura 3.11. Ilustración del analizador de partículas ciclosizer.

Este dispositivo consiste de una serie de 5 hidrociclones dispuestos de modo que el rebalse de una

unidad es alimentación a la siguiente. Las unidades están invertidas respecto al funcionamiento

convencional de un hidrociclón y en el ápice de cada uno hay una cámara de modo que la descarga

es recolectada. Se hace circular un flujo controlado de agua a través de las unidades y se introduce

una muestra pesada de los sólidos a analizar en un posición anterior a los hidrociclones. La entrada

tangencial de los hidrociclones induce al líquido a girar, haciendo que una porción del líquido, junto

con las partículas que sedimentan más rápido (gruesos) salgan por la abertura del ápice, mientras

que el resto del líquido, junto con las partículas de sedimentación más lenta sean descargadas a

través de la abertura del vórtice y hacia el siguiente ciclón en la dirección del flujo, lo cual resulta en

una sucesiva disminución del tamaño límite de separación de los ciclones. El ciclosizer se fabrica de

modo de tener tamaños límites de separación definidos para valores estándar de las variables de

operación, es decir: flujo de agua, temperatura del agua, densidad de las partículas y tiempo de

elutriación. Para corregir por las condiciones de operación práctica, que son normalmente diferentes,

se suministra un set de gráficos con factores de corrección. Este dispositivo sirve para separar

partículas en el rango de 8 a 50 µm para materiales con gravedad específica similar al cuarzo ( 2.7 ).

Para materiales con gravedad específica diferente estos límites varían. Una ventaja importante del

ciclosizer es el tiempo relativamente corto que requiere para el análisis, generalmente 10 a 20 min,

más el tiempo para secado de la muestra.

62

COULTER COUNTER

El sistema Coulter Counter para determinar la distribución de tamaño de partículas que se ilustra en

la Figura 3.12 está basado en la resistencia eléctrica. Las partículas, suspendidas en un volumen

conocido de un líquido conductor de la electricidad, se hacen fluir a través de una pequeña abertura

que tiene electrodos inmersos en ambos lados; la concentración de las partículas es pequeña de

modo que las partículas atraviesan la abertura una a la vez.

El paso de cada partícula desplaza electrolito y cambia momentáneamente la resistencia entre los

electrodos produciendo un pulso de voltaje que es proporcional al volumen de la partícula. La serie

de pulsos que resulta es amplificada electrónicamente, ordenada y contada.

Los pulsos amplificados se alimentan a un circuito umbral que tiene un nivel de voltaje regulable y

aquellos pulsos que alcanzan o exceden este valor son contados. Esta cuenta representa el número de

partículas mayores que un volumen determinado que es proporcional al voltaje umbral seleccionado.

Tomando series de conteos a varios niveles de amplificación y voltaje umbral, se obtienen datos

para determinar directamente la frecuencia en número versus el volumen, los que pueden usarse para

determinar la distribución de tamaño. Este método es muy popular debido a que los análisis pueden

obtenerse rápidamente, con buena reproducibilidad y por personal que no requiere mucho

entrenamiento. Es aplicable al rango de tamaños 0.5 – 400 µm.

Figura 3.12. Coulter Counter.

63

Analizadores basados en un haz rayos láser: HELOS RODOS de SYMPATEC

Estos instrumentos están, basados en la difracción de un rayo de luz láser por las partículas del

polvo a analizar. El analizador de partículas Helos-Rodos de la empresa alemana Sympatec GMBH,

está basado en la difracción de la luz a 0º. Utiliza un rayo láser de Helio-Neón de 20.2 mm de

diámetro, con longitud de onda de 0.6328 µm y potencia de 5 mW, deflectado por espejos a 180º. El

instrumento tiene 4 rangos de medición cambiando tubos de lentes de diversas distancias focales:

100 mm 0.7-175 µm

200 mm 1.5-350 µm

500 mm 3.5-875 µm

1000 mm 7.5-1750 µm

El análisis se puede realizar en húmedo usando la celda de dispersión SUCELL para dispersión en

agua o en seco con la celda de dispersión RODOS para dispersión en aire.

3.1.5. Comparación de distribuciones de tamaño obtenidas por diferentes métodos

En algunos casos puede ser necesario comparar resultados obtenidos por una técnicas de medición

de tamaño con aquellos obtenidos por otra. Además, en ocasiones la información obtenida con un

método en el rango grueso de tamaños, debe ser combinada con datos obtenidos por otra técnica en

el rango fino para construir una distribución global. En general, cada técnica de medición de tamaño

producirá un resultado diferente al analizar la misma muestra. En la Tabla 3.4 se muestra una

comparación de medidas de tamaño, obtenidas para fracciones con un rango estrecho de tamaño,

obtenidas con diferentes técnicas. Se puede ver en esta tabla que hay grandes diferencias en el

diámetro característico informado por los tres métodos y que la magnitud de la diferencia depende

mucho de la forma de las partículas. Para el caso de partículas casi esféricas, los diámetros medidos

son virtualmente idénticos. Esto ocurre porque un diámetro calculado por la ley de Stokes es exacto

para partículas perfectamente esféricas. Puesto que el área proyectada de una esfera es un círculo

perfecto, independiente de su orientación y puesto que el tamaño del harnero debe ser igual al

diámetro de ese círculo, los tres diámetros medidos serán iguales. En el caso de partículas de forma

irregular, debido a que ellas se orientan en el plano de máxima estabilidad en la placa del

microscopio, el diámetro basado en el área proyectada es más grande que el diámetro de tamizaje y

64

el diámetro de Stokes. Como se dijo anteriormente el tamaño del harnero se relaciona más con el

ancho de la partícula, una dimensión que es generalmente menor que la determinada del área

proyectada. Similarmente, el diámetro de Stokes para una partícula irregular será menor que la

dimensión basada en el área proyectada debido a su mayor superficie específica (relativo a una

esfera) y el aumento del arrastre hidrodinámico asociado con ella , lo cual resultará en una reducción

de la velocidad terminal. Parece ser verdad en general que el diámetro de Stokes de una partícula es

menor o igual a su diámetro de tamizaje. La diferencia es muy grande en el caso de partículas

laminares (por ej. Mica) las cuales sedimentan muy lentamente y por lo tanto dan diámetros

aparentes muy pequeños de acuerdo a la ley de Stokes.

Tabla 3.4 Comparación de diámetros determinados por microscopía (dAp)), sedimentación (dSt) y tamizaje (dt) dAp/dt dAp/dSt dSt/dt Forma

Esferas de cobre 1.05 1.00 1.05 Esférica

Piedra caliza 1.56 1.74 0.90

Talco 1.76 1.74 1.01 Tipo bloque

Yeso 1.56 1.94 0.80

Mica 1.68 11.6 0.14 Láminas

donde:

dAp : diámetro basado en el área proyectada

dSt : diámetro de Stokes

dt: diámetro de tamizaje

Tenemos entonces que si la distribución de tamaño de un producto particulado consistente de

partículas perfectamente esféricas es determinada usando diferentes técnicas, deberían obtenerse

resultados virtualmente idénticos si los diferentes analizadores no tienen errores sistemáticos. Es por

esto que la calibración de equipos se realiza usando partículas esféricas con distribuciones de

tamaño estándar.

65

En el caso de partículas de forma irregular, aunque la medida de tamaño no es la misma, en términos

generales puede esperarse que la forma de la distribución de tamaño obtenida por diversos métodos

sea la misma. En este caso lo que es tamaño para un dispositivo es proporcional a lo que es tamaño

para otro. En otras palabras las distribuciones de tamaño obtenidas estarán desplazadas entre sí pero

serán de la misma forma.

Figura 3.12. Resultados de dos métodos de análisis de distribución de tamaño.

La cantidad de desplazamiento entre las dos distribuciones se puede cuantificar usando un factor de

conversión de forma del dispositivo, D1,2, definido por:

2

12,1 d

dD =

donde d1 es el tamaño asignado a partículas en un intervalo estrecho de tamaño por el dispositivo 1,

y d2 es el tamaño asignado a las mismas partículas por el dispositivo 2. Generalmente, este factor

debe determinarse experimentalmente, seleccionando una serie de valores de F3(d), formando la

razón d1 a d2 en cada punto y calculando un promedio. Conociendo este factor es posible especificar

la distribución de tamaño equivalente del dispositivo 2 con los datos obtenidos con el dispositivo 1,

convirtiendo los tamaños del dispositivo 1 a equivalentes del dispositivo 2, es decir 2,1

12 D

dd = .

La generación de una distribución de tamaño completa a partir de medidas obtenidas con dos o más

instrumentos puede también realizarse usando un factor de conversión de forma del dispositivo.

66

Consideremos como ejemplo el análisis por tamizaje de un concentrado de calcopirita en el rango

100 a 400 mallas y el análisis por sedimentación de la fracción –400 mallas en el rango de diámetros

de Stokes de 30 a 3 µm. Los dos set de datos mostrados en la Figura 3.13 se pueden combinar para

producir una sola distribución (en este caso un análisis por tamizaje equivalente) sobre el rango

completo de 150 µm a 3 µm. Esto se logra mediante dos operaciones que se detallan a continuación.

Redistribución de masa

En primer lugar debe considerarse que los dos análisis mostrados en la Figura 3.13 están referidos a

masas diferentes. Supongamos que se tomaron WTot gramos de material y se sometieron a tamizaje.

Del total de la muestra se encontró que WSed gramos eran menores que malla 400 y una muestra

representativa de esta fracción se analizó por sedimentación. Un balance de masa para la muestra

completa indica que para tamaños menores de 400 mallas se tiene:

)d(FW)d(FW Tot3Tot

Sed3Sed =

Figura 3.13. Distribución de tamaño por tamizaje y sedimentación

En este ejemplo, del análisis por tamizaje la cantidad de material –400 mallas es 68%, por lo tanto:

67

)d(F68.0)d(FW

WSed)d(F Sed

3Sed3

Tot

Tot3 ==

El resultado de esta operación traslada el análisis de sedimentación para cada tamaño como se indica

en la Figura 3.14.

Figura 3,14. Redistribución de masa del análisis del sedimentación y cálculo de t,StD .

Cambio de escala

La segunda operación es trasladar el análisis de sedimentación a una escala equivalente de tamaño

de tamizaje para producir una sola curva. Para esto se necesita conocer el factor de conversión de

forma del equipo:

t

Stt,St d

dD =

Un valor apropiado de este factor puede obtenerse directamente de los datos. Por ejemplo trazando

una línea horizontal a F3(d) = 0.64 y calculando el radio de los puntos de intersección de esta recta

con las dos curvas, es decir:

88.0m40

m30

d

dD

t

Stt,St =

µµ

==

Cada punto de la curva de sedimentación se traslada ahora a su valor dt correspondiente y se tiene

una sola distribución sobre todo el rango de tamaño como se muestra en la Figura 3.15.

68

Figura 3.15. Distribución global equivalente por tamizaje.

Funciones empíricas de distribución de tamaño

Con frecuencia es conveniente representar distribuciones de tamaño usando relaciones empíricas.

Este tipo de relaciones proporcionan una representación matemática compacta de los datos de

distribución de tamaño y permiten realizar en forma muy conveniente los análisis matemáticos y

estadísticos subsecuentes.

Entre las formas más comunes de distribuciones empíricas usadas en procesamiento de minerales

tenemos la distribución de Gates-Gaudin-Schuhmann, la distribución de Rosin-Rammler, la

distribución Gamma y la distribución Logaritmo Normal.

Algunas de estas relaciones tienen cierta base teórica pero en general pueden considerarse como

relaciones completamente empíricas que se ha encontrado que ajustan datos experimentales en una

variedad de sistemas de procesamiento de minerales. En la mayoría de los casos no hay razón a

priori para escoger una u otra distribución para una aplicación particular. Sin embargo, hay otros

factores como simplicidad matemática o rango de aplicación que deben considerarse cuando se elige

una relación para representar datos de distribución de tamaño. Con el desarrollo de técnicas

computacionales, algunas de estas relaciones ya no son tan útiles como lo fueron en el pasado. De

todos modos vale la pena referirse a ellas en relación a los gráficos usados para representar datos de

tamizaje que vimos anteriormente ya que algunas ecuaciones representan líneas rectas en el gráfico

69

apropiado. Esto permite determinar fácilmente desde el gráfico los parámetros que definen la

distribución, además de permitir visualizar rápidamente la calidad del ajuste.

Distribución de Schuhmann

La distribución de Schuhmann es la distribución más usada por los americanos para representar

distribuciones de tamaño obtenidas por tamizaje ( distribuciones en masa). La ecuación de esta

distribución es:

m

max3 d

d)d(F

=

donde

dmax es el módulo de tamaño que corresponde al tamaño máximo de la distribución (L).

m es el módulo de posición (adimensional) La transformación logarítmica de esta ecuación es:

)dlog(m)dlog(m)d(Flog max3 −=

Por lo tanto si al graficar un set de datos de tamizaje en papel log-log se obtiene un línea recta, esto

significa que la ecuación de Schuhmann ajusta bien los datos. Los parámetros m y dmax se calculan

como se muestra en la Figura 3.14.

70

Figura 3.14. Gráfico de Schuhmann

La función densidad de la distribución de Schuhmann está dada por:

)d(d

)d(dF

d

dm)d(f 3

mmax

1m

3 ==−

Distribución de Rosin-Rammler Esta distribución es muy popular en Europa para representar distribuciones en peso (o masa) de

sistemas particulados.

La función tiene la forma:

−−=m

3 l

dexp1)d(F

donde: l es un tamaño característico (L) m es un coeficiente de uniformidad (adimensional) Esta ecuación se puede transformar de modo que un gráfico de:

71

− )d(F1

1lnln

3 versus ln d resultará en una línea recta si los datos son bien representados

por este tipo de distribución

Figura 3.16 Ilustración de una distribución de Rosin-Rammler

En este figura m es la pendiente y F3(d) = 0.63212 cuando d = l, lo cual permite determinar ambos parámetros de la figura. La función densidad es:

−= −m

1mm3 l

dexpd

l

m)d(f

72

Distribución Gamma

La función densidad de la distribución Gamma está dada por:

( ) ( )p

edbdf

bd1pp

3 Γ=

−−

donde b y p son los parámetros de la distribución y ( ) ∫∞

−−=Γ0

z1p dzezp .

Los parámetros de la distribución se pueden determinar de datos experimentales usando una técnica

de igualación de momentos, ya que:

µ = p/b

σ2 =p/b2

Si se tienen estimaciones µ̂ y σ̂ , se tiene que:

⇒ 2

2

ˆ

ˆb̂

ˆˆ

p̂σ

µ=

σµ=

Distribución Logaritmo-normal

La función densidad de la distribución logaritmo-normal está dada por:

( )

⋅

−⋅π

=−

2

21

C2

m/dlnexp

C2

ddf

donde:

C = parámetro de forma, C > 0. Corresponde a la desviación estándar de ln d.

m = mediana de la distribución (P(d > m) = P(d < m) = 0.5)

El promedio y la desviación estándar están dados por:

−=σ

=µ

1eem

me

22

2

CC

C2/1

3.2.2 Medición de área superficial

73

Siempre que un gas o un líquido está en contacto con un sólido o cuando ocurre una interacción

entre dos sólidos, como ocurre en procesos piro e hidrometalúrgicos, el énfasis cambia del tamaño al

área superficial.

Los dos métodos más usados para determinación de área superficial son permeametría y adsorción

de gas.

Permeametría

La determinación de superficie específica por el método de permeabilidad está basado en la

ecuación de Carman-Kozeny o en modificaciones de ella.

( )22

22s

m1L2S

PVU

ε−µε∆= Ec. de Carman-Kozeny

donde:

Um = velocidad media del fluido

µ = viscosidad del fluido

∆P = diferencia de presión

Vs = volumen de sólidos

S = superficie del sólido

ε = porosidad

L = espesor del lecho

Esta ecuación se cumple bien para velocidades bajas de flujo y partículas mayores de 5 µm.

Instrumentos de presión y volumen constante

Estos son los instrumentos más usados para determinar la superficie específica de sólidos

particulados. En ellos el fluido generalmente fluye a través de un lecho compacto de partículas de

porosidad conocida. La medida de la caída de presión a través del lecho se utiliza para evaluar la

superficie específica del agregado de partículas. El fluido usado es principalmente aire. El método es

74

simple y reproducible cuando la porosidad del lecho se mantiene en el rango 0.4 a 0.8. Ejemplos de

equipos de éste tipo son el Permarán y el Permeámetro Blaine.

Adsorción de gas

El principio de la determinación de área superficial por adsorción de gas es que el área seccional de

una molécula se puede usar para calcular el área superficial de un polvo si se mide la cantidad de gas

necesaria para formar una monocapa de gas en la superficie del polvo. El gas de uso más común es

el N2, pero existen tres técnicas experimentales: El volumétrico, el gravimétrico y el de flujo

continuo.

El método volumétrico es el más antiguo y se basa en medir el volumen del gas adsorbido. El

gravimétrico en cambio mide el peso del gas adsorbido, para lo cual utiliza una microbalanza de

vacío. El método de flujo continuo es el de desarrollo más reciente y es una modificación de la

cromatografía de adsorción. Consiste en pasar una mezcla conocida de He-N2 sobre la muestra y

después a través de una celda de conductividad térmica conectada a un registrador potenciométrico.

Cuando la muestra se enfría a las temperaturas del N2 líquido (-195.8 ºC), se adsorbe N2 sobre la

superficie de las partículas y la pérdida en la corriente gaseosa se muestra en el registrador. La

desorción producida si se retira el refrigerante produce un pico de desorción en el registrador de

igual área pero dirección opuesta al pico de adsorción. Estos instrumentos deben calibrarse primero

y después hacer mediciones a presiones diferentes porque el N2 se adsorbe en multicapas y no en

monocapa.

Un punto a destacar es que los métodos basados en absorción de gas dan resultados diferentes que

aquellos basados en permeabilidad, debido a que miden áreas diferentes. Los valores obtenidos por

adsorción de gas son significativamente mayores porque ellos miden el área incluida en grietas y

fisuras de las partículas, cavidades y regiones de contacto entre partículas, áreas que no son

medidas por permeabilidad. Consecuentemente, el área superficial no debería ser medida ni los

datos aplicados tomando sin tomar en cuenta el método de determinación y su aplicabilidad a la

situación dada.

75

3.2.3 Caracterización de pulpas minerales

La mayoría de las operaciones en el procesamiento de minerales se realizan con pulpas acuosas y

por lo tanto es importante conocer sus propiedades. Una pulpa de mineral es un sistema bifásico y

como tal presenta propiedades características. La deformación y escurrimiento de pulpas forma parte

del campo de la reología. La reología es la ciencia que estudia la deformación y escurrimiento de

materiales. Para llevar a cabo cualquier estudio práctico de reología de pulpas es necesario conocer

la forma de preparar pulpas y los métodos existentes para la medición de la densidad de pulpa.

Composición de una pulpa

En la literatura sobre mezclas de sólidos y fluidos se utilizan muchos términos diferentes para

indicar composición de una pulpa. Los principales son los siguientes : 1) Fracción (o %) de sólidos

en volumen, 2) Densidad de pulpa, 3) Fracción (o %) de sólidos en peso, 4) Dilución.

Fracción volumétrica de sólidos, φφφφ y porciento de sólidos en volumen, ΦΦΦΦ:

La fracción volumétrica de sólidos, φ, es el volumen de sólidos por unidad de volumen total,

mientras que el porciento de sólidos en volumen Φ= 100 φ.

Densidad de pulpa, ρρρρ:

La densidad de pulpa es el peso de la suspensión por unidad de volumen total

ρ = ρf + φ (ρs - ρf)

con ρs = densidad del sólido y ρf = densidad del fluido

Fracción de sólidos en peso, xp y porciento de sólidos en peso, P

La fracción de sólidos en peso es el peso de sólidos por unidad de peso total

( )fsf

spx

ρ−ρφ+ρφρ

=

76

Mientras que el porciento de sólidos en peso, P = 100 xp

Dilución, D

Es la razón entre el peso del líquido y el peso del sólido en la pulpa.

p

p

x

x1D

−=

La Tabla 3.5 resume las definiciones y conversiones entre las distintas medidas de concentración de

una pulpa.

Tabla 3.5. Formas para expresar la concentración de una pulpa.

Fracción vol. de sólidos, φ

Densidad de pulpa, ρ

Frac. de sólidos en peso, xP

Dilución, D

Fracción. vol. de sólidos, φ

fs

f

ρ−ρρ−ρ

=φ pfps

fp

x)x1(

x

ρ+−ρ

ρ=φ

Densidad de pulpa, ρ

)( fsf ρ−ρφ+ρ=ρ

pfps

fs

x)x1( ρ+−ρρρ

=ρ fs

fs

D

)D1(

ρ+ρ+ρρ

=ρ

Frac. de sólidos en peso, xP

)(x

fsf

sp ρ−ρφ+ρ

φρ=

)(

)(x

fs

fsp ρ−ρρ

ρ−ρρ=

1D

1x p +

=

Dilución, D φρ

φ−ρ=

s

f )1(D

)(

)(D

fs

sf

ρ−ρρρ−ρρ

= p

p

x

x1D

−=

Determinación de la densidad de un mineral

La densidad de un mineral puede determinarse experimentalmente mediante el desplazamiento de

agua producido por una masa conocida de mineral. Esta determinación puede realirzase en un

cilindro graduado, pero es más exacto utilizar un dispositivo especialmente diseñado con este

propósito como el picnómetro. El picnómetro es un matraz pequeño con rebalse. Las siguientes

pesadas son necesarias:

- Peso del picnómetro solo, w1

- Peso del picnómetro más muestra de mineral, w2

77

- Peso del picnómetro más muestra más agua, w3

- Peso del picnómetro más agua, w4

La densidad del mineral se obtiene de:

( ) ( )2314

12M wwww

ww

−−−−

=ρ

En esta fórmula en numerador corresponde al peso del mineral y el denominador el peso del agua

desplazada por el mineral.

Determinación de la densidad de una pulpa

La densidad de una pulpa puede determinarse pesando un volumen conocido de pulpa. La pesada

puede efectuarse en un cilindro graduado y con una balanza corriente o en balanzas construidas

específicamente con este propósito como la balanza Denver. La balanza Denver consiste de un

brazo graduado en gramos y una pesa que se desliza por él. En la parte inferior se cuelga el depósito

con capacidad de 1000 cm3 de pulpa. Para pesar la pulpa se desliza el peso por el brazo graduado

hasta que éste toma una posición horizontal. El peso de la pulpa se lee directamente en gramos.

Otro dispositivo, que permite medir la densidad de una pulpa y también la densidad de un sólido es

la balanza Marcy. Este dispositivo es una balanza de resorte que tiene un dial que permite leer

directamente la densidad del sólido. La balanza tiene un depósito con una capacidad de 1000 cm3.

Se carga a este depósito exactamente 1 Kg de mineral y se completa el volumen con agua teniendo

la precaución que el sólido quede completamente mojado, sin partes secas. El depósito de cuelga

entonces de la balanza y se lee directamente la densidad del sólido.

78

3.3 SEDIMENTACIÓN DE PARTÍCULAS

Acabamos de ver que una de las técnicas más efectivas usadas para medir el tamaño de partículas es

la sedimentación. Sedimentación es la decantación de partículas sólidas en un medio fluido bajo la

acción de una fuerza. Esta fuerza puede ser la fuerza gravitacional o la fuerza centrífuga. Los

principios de la sedimentación de partículas tienen aplicaciones prácticas no sólo en la

determinación del tamaño de partículas sino que en otros procesos como clasificación,

concentración y espesamiento.

Para propósitos analíticos, el caso más simple que se puede estudiar es el movimiento de una sola

partícula bajo influencia de la gravedad en un medio fluido de dimensiones infinitas. Esta situación

ideal se denomina sedimentación libre. Desde el punto de vista de condiciones prácticas de

operación, esto significa que ni las paredes del recipiente que contiene el fluido ni ninguna otra

partícula que se encuentra suspendida en el medio se aproximan a la partícula bajo consideración a

menos de 10 diámetros de distancia. Para el caso de una suspensión de cuarzo en agua, esta

condición se cumpliría para concentraciones de la pulpa menores que ≈0.11% de sólidos en peso.

Sedimentación de una partícula en un fluido

El comportamiento de una partícula que sedimenta en un fluido se puede analizar por:

∑ =dt

dvMF

donde ΣF es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula; M es la masa de la partícula y

dt

dves la aceleración resultante.

Si la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza externa, Fx, tendrá las fuerzas opuestas Fd

(fuerza de arrastre) y Fb (fuerza de empuje) es decir:

dtdv

MFFF bdx =−−

La fuerza externa puede ser gravitacional o centrífuga y es expresada por:

Fx = Mg, para gravitación

Fx = Mω2r, para fuerza centrífuga.

79

Donde g es la aceleración de gravedad; ω es la velocidad de rotación (rad/s) y r es el radio de

rotación o radio de giro de la partícula.

La fuerza de arrastre se puede expresar:

Fd = 1/2 Cd ρf v2 A

Donde Cd es el coeficiente de arrastre, ρf la densidad del fluido, v la velocidad de la partícula, A el

área de la proyección de la partícula en un plano perpendicular a la dirección de su movimiento

relativo.

La fuerza de empuje está dada por el principio de Arquímedes:

Fb = gM

s

fρρ

para gravitación

Fb= rM 2

s

f ωρρ

para fuerza centrífuga

Combinando todas estas ecuaciones se tiene

AvC2

1F̂M

dt

dvM 2

fds

fs ρ−

ρρ−ρ=

donde F̂= g , para aceleración gravitacional y F̂= ω2r, para aceleración centrífuga.

Si la partícula se deja acelerar desde el reposo, el segundo término del lado derecho de esta ecuación

aumentará hasta que 0dtdv = , es decir la partícula deja de acelerar (alcanza su velocidad terminal).

Se tiene entonces que:

AvC2

1F̂M 2

fds

fs∞ρ=

ρρ−ρ

donde v∞ es la máxima velocidad o velocidad terminal

80

Para esferas: 6dMy4

dA s30

20 ρπ=π= . Luego la ecuación se convierte en:

2

1

f

fs

d

0C

dF̂

3

4v

ρρ−ρ=∞

Esta ecuación se puede utilizar para calcular la velocidad terminal de sedimentación de una partícula

esférica en cualquier tipo de flujo, siempre que se conozca el valor del coeficiente de arrastre, Cd. El

coeficiente de arrastre es una función compleja del régimen de flujo. En general Cd se expresa en

función del Número de Reynolds de la partícula:

µρ

= ∞ f0Re

vdN

Existen una serie de ecuaciones empíricas así como gráficos que relacionan Cd con NRe, por ejemplo

el gráfico mostrado en la Figura 3.12.

Figura 3.12. Factor de fricción (arrastre) para partículas. (Según Waddell.)

Para NRe bajos (< 0.1 o 0.2) el flujo es laminar. En estas condiciones se cumple que:

Red N

24C =

Por lo tanto, en este caso la velocidad terminal estará dada por:

20

fs dF̂18

vµρ−ρ=∞ , ley de Stokes.

81

Para número de Reynolds alto (> 500) el flujo alrededor de la partícula muestra el efecto de máxima

turbulencia y el coeficiente de arrastre es casi independiente de NRe.

44.0Cd ≈

En la zona de transición entre las regiones laminar y turbulenta la curva de arrastre se puede

aproximar por varias ecuaciones, por ejemplo:

6.0Re

dN

5.18C ≈

o por la correlación de Abraham (semiteórica):

2

2/1Re

dN

06.9129.0C

+=

La Figura 3.12 o las ecuaciones recién vistas pueden ser usadas para evaluar el diámetro de la esfera

o la velocidad terminal. Sin embargo, debido a que ambas variables aparecen en Cd y en NRe, la

determinación implica un método iterativo. Para evitar esta complicación, pueden usarse formas

modificadas de la curva de arrastre. Por ejemplo Heywood define los siguientes números

adimensionales:

( ) 3o2

ffs

2Red d

F̂

3

4NC

µ

ρρ−ρ= 32

f

fs

Re

d

v

F̂

3

4

N

C

∞

µ

ρ

ρ−ρ=

Estos números adimensionales dependen sólo de do y v∞ respectivamente. Puesto que existe una

relación única entre NRe y Cd, un gráfico de Cd/NRe2 versus NRe permite determinar v∞ y un gráfico

de Cd/NRe versus NRe permite determinar do (Figura 3.13).

82

Figura 3.13. Datos de la Figura 3.12 mostrados como 2RedNC y Red N/C versus ReN .

83

La sedimentación de esferas es muy importante puesto que permite definir el diámetro nominal de

sedimentación ds para partículas de forma irregular. Recordemos que el diámetro de sedimentación

corresponde al diámetro de una esfera que sedimenta con la misma velocidad que la partícula. Para

el caso de régimen de Stokes el diámetro nominal definido por la velocidad terminal de

sedimentación de la partícula se denomina diámetro de Stokes.

Partículas de forma irregular

La sedimentación de partículas de forma irregular es considerablemente más compleja que el caso

de partículas esféricas. Una de las razones del comportamiento diferente de las partículas irregulares

es que a medida que la partícula cae está sometida a fuerzas de arrastre desiguales en sus dos

mitades, que normalmente no tienen la misma área superficial. Este desbalance desvía la partícula

de la trayectoria vertical o la hace girar. Debido al hecho que parte de la energía gravitacional que

debería haber aumentado la velocidad vertical se pierde en movimientos laterales o rotacionales, las

partículas de forma irregular tienden a tener velocidades de sedimentación menores que las

variaciones atribuibles al simple aumento del área superficial.

Para estimar la velocidad terminal de partículas no esféricas es indispensable incluir algún factor de

forma de la partícula. El más usado de estos factores es la esfericidad, ψ . La Figura 3.13 puede

usarse también para estimar la velocidad terminal de partículas irregulares si se conoce la

esfericidad. El diámetro nominal a usar en este caso es el diámetro equivalente (o diámetro

volumétrico de la partícula).

Aceleración de Partículas

En algunos casos es deseable conocer el tiempo que requiere una partícula en alcanzar su velocidad

(terminal) de sedimentación.

- Para la sedimentación gravitacional de una partícula

( )AvC

2

1Mg

dt

dvM 2

fds

fs ρ−ρ

ρ−ρ=

84

Para partícula esférica en régimen de Stokes:

foRed

2os

3o

vd

24

N

24Cy

4

dA,

6

dM

ρµ==π=ρπ=

de modo que la ecuación se reduce a:

( )

s2os

fs

d

v18g

dt

dv

ρµ−

ρρ−ρ=

Integrando para una partícula que parte del reposo

ρµ−−= ∞s

2od

t18exp1vv

Según esta ecuación ∞v se alcanza en un tiempo también infinito. En la práctica para calcular el

tiempo que una partícula demora en alcanzar su velocidad terminal en régimen laminar se considera

el tiempo para alcanzar 98% de la velocidad terminal. Es decir ∞= v98.0v .

Para esferas en régimen turbulento:

Cd ∼ 0.44

Luego, en este caso:

( )

so

f2

s

fs

d

v44.0

4

3g

dt

dv

ρρ−

ρρ−ρ=

Integrando desde el reposo se obtiene la relación aproximada:

ktevv

vv −

∞

∞ =+−

donde ( )

o2s

fsf2

d

g32.1k

ρρ−ρρ=

85

Esta ecuación es aproximada puesto que en la primera etapa del movimiento la partícula que parte

del reposo estará en régimen laminar y posteriormente deberá pasar por un período en régimen de

transición para alcanzar finalmente el régimen turbulento.

Altura para alcanzar la velocidad terminal

Puesto que la distancia que la partícula recorre en un tiempo infinitesimal es vdt, la integración de

las expresiones obtenidas para la velocidad permiten encontrar la distancia que la partícula recorre

antes de alcanzar su velocidad terminal de sedimentación.

∫=t

0

vdtH

Por ejemplo, para el caso de régimen de Newton (turbulento) H estará dado por:

( )( )dt

ktexp1

ktexp1vH

t

0∫ −+

−−= ∞

El resultado de esta integración es:

−+

= ∞2

ktexp

2

ktexp

2

1ln

k

v2H

De nuevo esta ecuación es aproximada porque desprecia el comportamiento no turbulento que

ocurre al comienzo del movimiento. La resolución más exacta de este problema requiere el uso de

integración numérica.