Capitulo 3 - Control II

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

Semestre: Septiembre – Febrero 2012Ing. Walter Orozco. [email protected]

25/10/2011 1Teoría de Control II - Ing. Walter Orozco. Msc.

Capitulo 3: Criterio de estabilidad de Bode y la Carta de Nichols.

3.1 Introducción3.2 Análisis de estabilidad en el criterio de Bode.3.3 Estabilidad relativa y los diagramas de Bode.3.4 La Carta de Nichols.3.5 La Carta de Nichols y los sistemas con retroalimentación no unitaria.3.6 Sensibilidad en el dominio de frecuencia.




3.1 Introduction


The Bode plot of a transfer function is a very useful graphical tool for the analysis and design of linearcontrol systems in the frequency domain. Before the inception of computers, Bode plots were oftencalled the "asymptotic plots," because the magnitude and phase curves can be sketched from theirasymptotic properties without detailed plotting.

Modern applications of the Bode plot for control systems should be identified with the followingadvantages and disadvantages:

Advantages of the Bode Plot1. In the absence of a computer, a Bode diagram can be sketched by approximating themagnitude and phase with straight-line segments.2. Gain crossover, phase crossover, gain margin, and phase margin are more easily determined onthe Bode plot than from the Nyquist plot.3. For design purposes, the effects of adding controllers and their parameters are more easilyvisualized on the Bode plot than on the Nyquist plot.

Disadvantage of the Bode Plot1. Absolute and relative stability of only minimum-phase systems can be determined from theBode plot. For instance, there is no way of telling what the stability criterion is on the Bode plot.


3.2 Análisis de estabilidad en el criterio de Bode.


1. The gain margin is positive and the system is stable if the magnitude of L(jω) at the phasecrossover is negative in dB. That is, the gain margin is measured below the 0-dB-axis. If the gainmargin is measured above the 0-dB-axis, the gain margin is negative, and the system is unstable.

2. The phase margin is positive and the system is stable if the phase of L(jω) is greater than -180° atthe gain crossover. That is, the phase margin is measured above the -180°-axis. If the phase marginis measured below the -180°-axis, the phase margin is negative, and the system is unstable.


50) 5)((

2500)(

s sssL

Ejemplo:


Matlab:

>> G=zpk([],[0 -5 -50],2500)

Zero/pole/gain:2500

--------------s (s+5) (s+50)

>> margin(G);grid

25/10/2011 Teoría de Control II - Ing. Walter Orozco. Msc. 7


-150

-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 14.8 dB (at 15.8 rad/sec) , Pm = 31.7 deg (at 6.22 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

2) )(()(

-

s1 ss

KesL

sTd

Diagramas de Bode de sistemascon tiempos de retraso puro.



Matlab:

>> G=zpk([],[0 -1 -2],1)

Zero/pole/gain:1

-------------s (s+1) (s+2)

>> margin(G);grid


0

1

dT

K


-150

-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram


Frequency (rad/sec)



1

1

dT

K

-40

-20

0

20M

agnitu

de (

dB

)

10-1

100

-360

0

360

Phase (

deg)

Bode Diagram


Frequency (rad/sec)



Matlab:

>> G=zpk([],[0 -1 -2],1,'inputdelay',1)

Zero/pole/gain:1

exp(-1*s) * -------------s (s+1) (s+2)

>> margin(G);grid

Conclusions:

The effect of the pure time delay is to add a phase of -Tdω radians to the phasecurve while not affecting the magnitude curve. The adverse effect of the timedelay on stability is apparent, because the negative phase shift caused by thetime delay increases rapidly with the increase in ω.


1 200) )(100(

40) 5)( (100)( K

s ss

ssKsL

3

3.3 Estabilidad relativa y los diagramas de Bode.


Bode Diagram

Gm = 69.1 dB (at 25.7 rad/sec) , Pm = -78 deg (at 1.01 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135 System: G

Frequency (rad/sec): 25.9

Phase (deg): -180

System: G


Phase (deg): -180

Phase (

deg)

-300

-200

-100

0

100

System: G


Magnitude (dB): -69.2

System: G


Magnitude (dB): -85.3

Magnitu

de (

dB

)


1 200) )(100(

40) 5)( (100)( K

s ss

ssKsL

3


Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150-600

-400

-200

0

200

400

6000.070.140.220.310.42

0.56

0.72

0.9

0.070.140.220.310.42

0.56

0.72

0.9

100

200

300

400

500

600

100

200

300

400

500

600



25.9 ≤ ω ≤ 76.5 [rad/se]

Root locus



25.9 ≤ ω ≤ 76.5 [rad/se]

NyquistDiagram


3.3.1 Análisis de estabilidad conla traza de magnitud-fase.

)0201( )201(

10)(

s. s. ssL



3.4 La Carta de Nichols.

•El pico de resonancia y el ancho de banda son parámetros difíciles de obtener con forme elsistema de control es de orden superior a 2 desde el punto de vista analítico y por tanto no esfactible obtener su descripción matemática.

•El diagrama de Bode proporciona información solamente referida al margen de fase y ganancia yno de los parámetros anteriores.

•En vista de esos problemas es necesario desarrollar un método grafico alterno que permitadeterminar Mr ,ωr y BW usando la función de transferencia directa G(jω).



3.4.1 Lugares geométricos de magnitud constante (Círculos M)

jyxjGjjGjG )(Im)(Re)(

22

222

)1(1)(1

)()(

yx

yxM

jyx

jyx

jG

jGjM

222222

22222

2)1()1(

])1[(

MxMyMxM

yxyxM Dividiendo esta ecuación por (1-M2) y sumandoel termino [M2/(1- M2)]2

2

2

2

2

22

2

2

2

222

1111

2

M

M

M

M

M

Mx

M

Myx



2

2

2

2

22

2

2

2

222

1111

2

M

M

M

M

M

Mx

M

Myx

1

11

2

2

2

2

2

2

M

M

My

M

Mx

Representa un circulo.

2

2

2

1

0;1

M

Mr

yM

Mx

Los lugares geométricos de M constante sobreel plano G(s) forman una familia de círculos.



2

2

2

1

0;1

M

Mr

yM

Mx

Círculos de M constante en coordenadaspolares.


1. K=K1 (Sistema estable)2. K=K2 (Sistema estable)3. K=K3 (Sistema marginalmente estable)4. K>K3 (Sistema inestable)

ωr: Medido en el punto tangenteBW: Medido en el circulo M=0.707


1. Gráficamente, la intersección de la curva de G(jω)y los círculos constantes M proporcionan el valor deM a la correspondiente frecuencia de G(jω).

2.Si se desea establecer un valor de Mr mas pequeñoque un valor determinado, la curva de G(jω) no debeinterceptar el correspondiente circulo M en ningúnpunto y al mismo tiempo no debe encerrar el punto(-1,j0).

3. El circulo constante M con el radio mas pequeñoque es tangente a la curva G(jω) da el valor de Mr yla frecuencia de resonancia ωr es obtenida en elpunto tangente de la curva G(jω).



El lugar geométrico del circulo M en coordenadas polares son dibujadas en coordenadas deMagnitud-Fase y el grafico resultante es llamado “la carta de Nichols”.


Una mayor desventaja en trabajar en coordenadas polares del diagrama de Nyquist de G(jω) es que lacurva no permanece en su forma original cuando una simple modificación tal como la ganancia enlazo abierto se modifica.

Para efectos de diseño involucrando Mr y BW como especificaciones es mas convenientes trabajar enla forma de la grafica mostrada en la diapositiva anterior, porque cuando la ganancia en lazo abiertoes modificada u otro parámetro, la curva tan solo se desplaza hacia arriba o hacia abajo sin distorsión.

Cuando se modifica la fase sin afectar la ganancia, la curva magnitud-fase es afectada solamente en ladirección horizontal.

3.4.2 Razones por las cuales se trabaja en la forma Magnitud-Fase




)3008)(26.400(

105.1)(

7

sss

ksG




Bode diagrams of the system



Bode diagrams of the Closed loop system


Matlab:

>>K=7.248>>G=zpk([],[0 -400.26 -3008],[108720000])

Zero/pole/gain:108720000

--------------------s (s+400.3) (s+3008)

>> nichols(G);grid


Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-L

oop G

ain

(dB

)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

-120 dB

-140 dB

System: G

Phase Margin (deg): 75.9

Delay Margin (sec): 0.015

At frequency (rad/sec): 88.1

Closed Loop Stable? Yes

System: G

Gain Margin (dB): 31.5

At frequency (rad/sec): 1.1e+003

Closed Loop Stable? Yes


3.5 La carta de Nichols aplicada a sistemas sin retroalimentación unitaria.

Lo establecido anteriormente corresponde a sistemas con H(s)=1, por tal razón ahora se considerasistemas estructurados matemáticamente de esta forma:

)()(1

)()(

sHsG

sGsM

Los círculos M y la carta de Nichols no pueden ser aplicados directamente a este sistema porque elnumerador de M(s) no contiene el termino H(jω).

Para la aplicación es necesario modificar las formulas.

)()(1

)()()()()(

sHsG

sHsGsMsHsP

)(1

)()(

sG

sGsM

La misma forma matemática



La respuesta en frecuencia de P(jω) puede ser determinado dibujando la función G(j ω)H(jω) en eldiagrama de amplitud-fase conjuntamente con la carta de Nichols.

La información de respuesta en frecuencia acerca de M(jω) se obtiene mediante:

)()()()(

)()()()()()()(

)()(

jHjPjMj

dBjHdBjPdBjMjH

jPjM

m

3.6 Estudios de sensibilidad en el dominio de la frecuencia.

El dominio de la frecuencia presenta la ventaja de facilitar el estudio de los sistemas de control adiferencia del dominio del tiempo.

La sensibilidad del sistema con respecto a la variación de los parámetros son fácilmente interpretadosusando el dominio de la frecuencia.

Tanto la grafica de Nyquist como la carta de Nichols pueden ser utilizadas(os) para el análisis y diseñode sistemas de control basados en el criterio de sensibilidad.



Considere un sistema de control lineal con retroalimentación unitaria descrito por la siguientefunción de transferencia en lazo cerrado:

)(1

)()(

sG

sGsM

)(1

)(

)(

)(1

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

sG

sG

sG

sG

sG

sdG

d

sM

sG

sdG

sdM

sG

sdG

sM

sdM

sS M

G

La sensibilidad de M(s) con respecto a la constante de ganancia K que corresponde a G(s), sedefine de la siguiente manera:

Recuerde que:Polinomio

PolinomioKsG )(



)(1

)(

)(

)(1

)(

)()(

sG

sG

sG

sG

sG

sdG

dsS M

G

Siguiendo con el procedimiento de derivación:

)(

)())(1(

))(1(

))(1)(()())(1()(

2

''

sG

sGsG

sG

sGsGsGsGsS M

G

)(1

1

))(1(

))(1))(()(1()(

2 sGsG

sGsGsGsS M

G

)(

11

)(

1

)(

sG

sGsS M

G

La sensibilidad es una función de lavariable compleja “s”



2500) 5)( (

2500 )(

ssssG

versus)j(y )M(j M

GS

En general se desea:

k

jG

jGjS

jGjS

M

G

M

G

)(

11

)(

1

)(

)(1

1)(



2500) 5)( (

2500 )(

ssssG


Bibliografía usada:

[1]Kuo B.C, Golnaraghi F. “Automatic control systems”, Wiley, Eight edition, 2003 ISBN:0-471-13476-7

[2] Ogata K, “Problemas de Ingeniería de Control utilizando Matlab”, Prentice Hall, Primera Edición,199, ISBN:84-8322-046-6



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