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3 Materiales Compuestos

3.1 Introduccin. Este captulo tiene como objetivo mostrar los conceptos bsicos y la terminologa utilizada en el estudio de materiales compuestos.

La palabra compuesto (del latn compositu) significa de una forma general heterogneo, artificial, o a nivel tcnico, formado por la mezcla de dos o ms sustancias.

Un material compuesto es un material formado por diversos componentes, exhibiendo mltiples y diferentes dominios de fase (no gaseosos) y por lo menos uno de los dominios de fase es un dominio de fase slido. Por dominio de fase se entiende una regin material con composicin qumica y estado fsico uniforme. Un dominio de fase continuo consiste en un nico dominio de esta fase en una mezcla heterognea a travs de la cual podemos definir un camino continuo que une todas las zonas fronterizas de los restantes dominios de fase presentes. El dominio de fase continuo es comnmente llamado en el contexto del material compuesto, matriz.

Figura 3.1. Fases materiales de un compuesto.

A veces es considerada una fase adicional denominada interfase entre la fase continua y la discontinua, tambin denominada refuerzo. 3.2 Conceptos Preliminares.

Los materiales estructurales se dividen bsicamente en cuatro categoras:

(i) Metales, (ii) Polmeros, (iii) Cermicos, (iv) Compuestos.


Los compuestos consisten en la combinacin de uno, dos o ms materiales de los mencionados anteriormente, con el fin de mejorar las propiedades que tendran dichos materiales utilizados de manera aislada. Los materiales compuestos presentan buena rigidez, resistencia a la corrosin, bajo peso, buenas propiedades trmicas, mayor vida til, etc. Esto hace que sea empleado en la industria de la automocin en chasis de vehculos de altas prestaciones, en la industria aeroespacial para aviones militares y civiles, entre otras aplicaciones. Segn AIRBUS, el A-380, tiene un 30% de su superficie externa en material compuesto. En la industria deportiva, los materiales compuestos son ampliamente empleados en tenis. golf y componentes para bicicletas. En la construccin civil se emplean en la fabricacin de elementos estructurales. La gran mayora de los compuestos estn hechos de dos materiales: la estructura, llamada fibra, y la base, que se conoce como matriz. La fibra es el elemento que mejora las caractersticas mecnicas del compuesto, como es la resistencia, rigidez, disminucin del peso, entre otros. Las fibras pueden ser cortas, generalmente inyectadas durante el moldeado o bien pueden ser largas, con la longitud definida de acuerdo a la fabricacin. Tambin pueden ser continuas o discontinuas, unidireccionales o bidireccionales, trenzadas o con distribucin aleatoria. Las fibras ms comunes utilizadas son: gafito-carbono, boro, vidrio y aramida (kevlar), La matriz es la responsable de transferir las solicitaciones mecnicas a las fibras adems de protegerlas del ambiente externo. Entre las matrices ms usadas destacan: las resinas (polister y epoxi), las minerales (carbono) y las metlicas (aleaciones de aluminio). Para seleccionar el material es importante conocer la aplicacin del material (resistencia mecnica), el coste y la compatibilidad entre la fibra y la matriz (por ejemplo el coeficiente de dilatacin trmica de ambos materiales debe ser prximo). Como la definicin es bastante completa, los compuestos se caracterizan en tres tipos: (i) Compuestos fibrosos: Consiste en fibra de un material y matriz de otro. La orientacin y el nmero de fibras es la que determina la resistencia mecnica de los compuestos reforzados con fibras. (ii) Compuestos con partculas: Estn formados por partculas pequeas de un material suspendido en una matriz de otro material. (iii) Compuestos laminados: Son compuestos formados por diferentes capas de materiales, incluyendo los dos primeros tipos de compuestos.

Ser parte del mbito de aplicacin de este trabajo los compuestos laminados formados por fibras unidireccionales, que es el material ms ampliamente usado en la industria. La lmina representa el bloque fundamental de la estructura y consiste en fibras envueltas por la matriz. En el caso de fibras unidireccionales, la lmina presenta elevada resistencia y Mdulo de Elasticidad en la direccin de la fibra y valores ms bajos en la direccin ortogonal a la fibra. El laminado o conjunto de lminas apiladas en diversas direcciones presentar mejor resistencia mecnica y propiedades fsicas. A la secuencia de apilamiento de cada una de las lminas se le llama Esquema de Laminacin. La orientacin de las fibras en varias direcciones y la secuencia de apilamiento de cada una de las lminas optimizarn la resistencia del laminado de acuerdo a la distribucin de cargas.

Los compuestos laminados presentan la desventaja de la delaminacin, que ocurre entre otras cosas debido a la tensin de cizallamiento entre las lminas, especialmente en los bordes del laminado. Por otro lado el mismo proceso de fabricacin puede causar delaminacin.


3.3 Estado de tensiones y deformaciones. Cuando un cuerpo se deforma por la accin de una fuerza externa, un punto P de coordenadas X=(X1, X2, X3) se desplazar al punto x=(x1, x2, x3), siendo el desplazamiento del dicho punto P igual a . La deformacin de un punto puede ser medida a travs del tensor de Green-Lagrange, E, cuyas componentes cartesianas vienen expresadas por:

12

12

12

12

12

12

(3.1) Mediante la hiptesis de pequeas deformaciones, podemos considerar despreciables los trminos infinitesimales de segundo orden, obtenindose el tensor de deformaciones infinitesimales , cuyas componentes son:

;

;

2

; 2

2

(3.2)

La notacin y , fue introducida por van Krman. Las deformaciones 12, 13 y 23 son las deformaciones cortantes ingenieriles, ij, (ij) pueden ser vista como la deformacin angular en el plano ij, mientras que la deformacin ij, es una media simple de las deformaciones en el plano ij (ver Fig. 3.2).

Fig. 3.2. Deformacin a cortante y deformacin a cortante ingenieril .

2


3.4 Transformacin de coordenadas. Las relaciones constitutivas de un material orttropo son escritas en trminos de componentes de tensin y deformacin, que estarn referenciadas a un sistema de coordenadas. Es importante destacar que los compuestos laminados poseen diferentes lminas cuyas fibras estarn orientadas en diferentes ngulos. Dicho esto, normalmente el sistema de coordenadas del material suele ser diferente del sistema de coordenadas del problema. De esta forma es necesario establecer una relacin de transformacin entre las tensiones y deformaciones para los dos sistemas coordenados.

Cuando el plano formado por los ejes x1x2 es paralelo al plano del laminado y la direccin z normal a dicho plano y coincidebte con el eje coordenado del material x3, tenemos un tipo de transformacin especial entre las coordenadas materiales y las coordenadas del problema.

Sea xyz las coordenadas de la solucin del problema y x1x2x3 las coordenadas principales del material, donde x1x2x3 se obtiene de la rotacin del plano xy un ngulo en torno al eje z, ver Fig.3.3. La transformacin de coordenadas de un punto cualquiera de un sistema en otro punto del sistema con z=x3 viene dado por:

0 0

0 0 1

(3.3)

O en forma inversa, por:

0 00 0 1

(3.4)

Donde [A] representa la matriz de cosenos directores. Dicha matriz es ortogonal, por tanto: [A]T = [A]-1.

Fig. 3.3. Sistema de coordenadas global y material.

Las relaciones de transformacin dadas por las ecuaciones Eqs. (3.3) y (3.4) tambin son vlidas para los vectores unitarios asociados a los sistemas de coordenadas. De esta forma:

y

(3.5)


donde {1,2,3}T son los vectores de la base ortonormal de las coordenadas materiales y {x,y,z}T son las componentes del mismo vector pero en las coordenadas del problema. Observando la Eq. (3.5), las componentes de la matriz de los cosenos directores son obtenidos por el producto interno entre las componentes de vectores ortonormales de ambos sistemas coordenados.

Considerando que [] es el tensor de tensiones y que sus componentes 11, 12, 13,, 33 se representan en el sistema de coordenadas del material, y que las componentes en el sistema de coordenadas del problema sean xx, yy, zz, xy, xz, yz . O sea:

y

(3.6)

Aplicando la Eq.(3.5) para relacionar las tensiones de un sistema coordenado respecto al otro, se obtiene:

y (3.7a)(3.7b)

Por tanto la Eq.(3.7a) permite computar las componentes de tensin referidas a las coordenadas del laminado en trminos de las tensiones de la lmina, en tanto que la Eq.(3.7b) hace lo contrario. Realizando el producto matricial en (3.7a) y (3.7b) y colocando los tensores de tensin en notacin vectorial, se tiene:

0 2 0 0 0 2 0 00 0 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(3.8)

o simplemente:

(3.9) La relacin inversa de la Eq.(3.8) viene dada por:

0 2 0 0 0 2 0 00 0 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(3.10)

o lo que es lo mismo:

(3.11) Para las deformaciones, el procedimiento de transformacin es anlogo al realizado con las tensiones, es decir, las expresiones de (3.5) tambin son vlidas:

y (3.12a)(3.12b)

donde [] se refiere al tensor de deformaciones. De esta manera, las deformaciones en el sistema global de coordenadas tiene las componentes xx, yy, zz, xy, xz, yz dadas por:


0 2 0 0 0 2 0 00 0 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(3.13)

y, finalmente la relacin inversa:

0 2 0 0 0 2 0 00 0 1 0 0 0

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

(3.14)

3.5 Anlisis Mecnico de una Lmina. Para estudiar el comportamiento mecnico de una lmina, que es la estructura bsica o fundamental de un laminado, dos hiptesis deben ser consideradas.

(i) La lmina es continua,

(ii) El comportamiento de la lmina es lineal elstico. Con esto el comportamiento de la lmina ser presentado en las prximas secciones en el marco de la micromecnica y la macromecnica.

3.5.1 Micromecnica de una Lmina. La micromecnica es usada para estimar las propiedades mecnicas de los materiales compuestos a partir de las propiedades conocidas de la fibra y de la matriz. El estudio de las interacciones microscpicas entre los elementos constituyentes de una lmina tambin se denomina micromecnica. Este anlisis es utilizado para hallar las constantes ingenieriles del material compuesto y est basada en las siguientes hiptesis:

(i) Unin perfecta entre la fibra y la matriz,

(ii) Las fibras son paralelas y uniformemente distribuidas en la matriz,

(iii) La matriz est libre de tensiones residuales,

(iv) Tanto la matriz como la fibra son istropas y obedecen a la Ley de Hooke,

(v) las cargas son paralelas o transversales a la direccin de las fibras.

La tcnica ms sencilla de homogeneizacin es la Ley de las Mezclas. Este tipo de mtodos sugieren la existencia de un elemento de volumen representativo RVE (Representative Volume Element). Si la dispersin de la fibra es estadsticamente homognea, cabe pensar en un RVE estadsticamente igual para el compuesto.


Fig. 3.4. Elemento de Volumen Representativo, (RVE).

Ley de las Mezclas:

La Ley de las Mezclas fue propuesta por Voigt [1889] es la tcnica de homogeneizacin ms simple que puede aplicarse en un material compuesto. Consideremos un elemento de volumen V, constituido por fibras y una matriz, y cuyo volumen viene dado por:

(3.15)

donde los subndices f y m representan fibra y matriz, respectivamente.

De forma anloga, la masa del elemento viene dada por:

(3.16)

Si m y fson las densidades de fibra y matriz, podemos escribir:

(3.17)

El clculo del Mdulo de Young Longitudinal E1 se puede realizar considerando la accin de una fuerza F1 en la direccin de la fibra, segn se observa en la figura siguiente:

(3.18)

donde es la tensin media normal a lo largo de la seccin recta A=L2.

Figura 3.5 Elemento sujeto a una fuerza F1.

Fibras

Matriz

Homogeneizacin


Una parte de la fuerza es transmitida a la fibra y otra a la matriz. Sean Af y Am las reas de las secciones rectas de la fibra y de la matriz, podemos escribir:

(3.19)

y que representa el equilibrio de fuerzas en el elemento.

Mediante la Ley de Hooke, la tensin normal del elemento 1, de las fibras f1 y de la matriz m1, son expresadas mediante:

(3.20)

donde E1, Ef1 y Em1 son los Mdulos de Young del compuesto, la fibra y la matriz, respectivamente. Sustituyendo se obtiene:

(3.21) Tambin podemos escribir:

E2EfEm

EfVmEmVf

(3.22a)

donde:

Ef : Mdulo de Elasticidad Longitudinal de la fibra,

Em : Mdulo de Elasticidad Longitudinal de la matriz,

f : Coeficiente de Poisson de la fibra, m : Coeficiente de Poisson de la matriz, Vf : Fraccin de Volumen de fibras,

Vm : Fraccin de Volumen de matriz, Los Mdulos de Elasticidad Transversal vienen dados por:

21

21

(3.22b)


Gf y Gm representan el Mdulo de Elasticidad Transversal de la fibra y de la matriz, respectivamente. Otra manera de determinar las constantes ingenieriles E1, E2, G12 y 12 es experimentalmente.

3.5.2 Macromecnica de una Lmina. El trmino comportamiento macromecnico, se refiere a cuando son consideradas las propiedades mecnicas promedio. Una restriccin bsica de la teora es asumir el comportamiento lineal elstico para los materiales tratados. El modelo lineal de comportamiento para una deformacin infinitesimal fue introducido por Cauchy [1828] siendo denominada Ley de Hooke generalizada, pudiendo ser enunciada como:

(3.23)

donde Cijkl es el tensor de constantes elsticas del material.

(3.24)

Una manera de simplificar la matriz anterior es mediante la notacin de Voigt [Voigt, 1928]. La notacin de Voigt pretende representar un tensor simtrico reduciendo el orden del mismo.

2

(3.25)

Para conservar la norma Kelvin introdujo el factor 2 de manera que representara las contribuciones de a12 y a21.

Como los tensores de tensiones y deformaciones son simtricos ; , el nmero de constantes elsticas independientes se reduce a 21. En el caso de un material anistropo la ecuacin anterior puede ser escrita de la forma:

(3.26)

o en forma matricial:

(3.27)

Siendo la matriz [C] simtrica, por tanto los trminos Cij=Cji:


(3.28)

Para un material anistropo, se tiene por tanto 21 constantes elsticas independientes:

(3.29)

Para un material monoclnico, es decir 1 plano de simetra, el nmero de constantes elsticas se reducen a 13. Por ejemplo para un material con simetra en torno al plano 1-2:

0 0

0 0 0 0

0 0

(3.30)

En materiales que poseen dos planos ortogonales de simetra de propiedades del material, existe necesariamente simetra del tercer plano mutuamente ortogonal a los otros dos. En el caso de que esto ocurra, el material posee triple simetra y es llamado orttropo, el nmero de constantes elsticas se reduce a 9. La Eq. (3.31) muestra la matriz de constantes elsticas de este material:

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

(3.31)

Si el material tiene un plano de isotropa, se dice que es transversalmente istropo y el nmero de constantes elsticas se reduce a 5.

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

(3.32)

Para un material istropo, es decir con infinitos planos de simetra, el nmero de constantes se reduce a 2.


0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0

(3.33)

En lo que sigue, este trabajo se referir a materiales orttropos, en donde las direcciones principales del material son paralelas a las intersecciones de los tres planos ortogonales de simetra del material. Con esto un material orttropo posee un sistema de coordenadas en cada punto donde las tensiones normales provocan slo deformaciones normales y donde las tensiones cortantes provocan slo deformaciones cortantes en la direccin de la carga. Los coeficientes elsticos de Cij de la Eq. (3.31) se relacionan con las constantes ingenieriles Ei, Gij y ij mediante:

;

;

;

(3.34)

; ;

1 2

donde E1, E2 y E3 son los mdulos de elasticidad longitudinal o de Young en las direcciones principales 1-2-3; G12, G23 y G31 son los mdulos de elasticidad transversal de los planos 1-2, 2-3 y 3-1, respectivamente; y ij son los coeficientes de Poisson obtenidos de la relacin entre la deformacin j cuando un elemento diferencial de volumen es cargado slo en la direccin i (ij=-j / i), o sea:

, 1,2,3

(3.35)

La matriz [C] es no singular y por tanto existe su inversa, de manera que se define la Matriz de Flexibilidad [S] = [C]-1, como:

(3.36)

Para materiales orttropos esta relacin se simplifica mediante:


0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

(3.37)

Los coeficientes Sij en la Eq. (3.20) tambin son obtenidos a partir de las constantes ingenieriles Ei, Gij y ij mediante:

;

;

;

;

;

;

;

(3.38)

3.6 Relaciones Constitutivas en EPT. El Estado Plano de Tensiones, EPT, se define como aquel en el que cada punto est sometido a tensin en un solo plano. Esto ocurre en slidos cuya dimensin en la direccin z es muy pequea. El ejemplo ms comn es el de una chapa o lmina solicitada en su plano medio, sin cargas actuando perpendicularmente a este plano, Fig. 3.6.

Fig. 3.6. Lmina bajo estado plano de tensiones.

Bajo este estado, las tensiones 11, 22 y 12 son distintos de cero. Mientras que las tensiones 23 y 13 son nulas en la superficie media, en tanto que el hecho de que 33=0, no implica la nulidad de 33, ya que para una lmina orttropa:


(3.39)

El hecho de que 23 = 13 = 0, implica que: 0(3.40)

0

Con esto, la relacin tensin-deformacin en estado plano de tensiones se reduce a:

0 0

0 0

0

0

0 0

(3.41)

La Eq. (3.41) puede ser invertida para obtenerse la relacin tensin deformacin

0 00 0

(3.42)

donde Qij son los trminos de la matriz de rigidez reducida, cuyos elementos en funcin de las constantes ingenieriles vienen dados por:

1

1

1

1

(3.43)

Es importante observar que la matriz reducida [Q], tiene slo cuatro constantes independientes del material: E1, E2, 12 y G12. Cuando la tensin normal (3=0), y las tensiones cortantes transversales son consideradas (13230), la ecuacin Eq. (3.42) puede ser escrita mediante la siguiente relacin constitutiva:

00

(3.44)

Donde Q44=C44=G23 y Q55=C55=G13.

Podemos por tanto escribir:


0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(3.45)

Como ya vimos en la seccin 3.4, es ms interesante para el anlisis trabajar con las coordenadas globales del problema. De esta manera, la relacin tensin-deformacin de una lmina orttropa bajo EPT en coordenadas globales viene dada por:

(3.46a)

y

(3.46b)

donde los trminos ij viene dados por:

2Q 2Q

Q Q 4Q

Q Q 2Q Q Q 2Q

2Q 2Q

Q Q 2Q Q Q 2Q

Q Q 2Q 2Q

Q

Q Q

Q

(3.46c)

La matriz [ ] es llamada matriz de rigidez transformada y est en el sistema global de coordenadas. La Eq. (3.46a) define las tensiones normales y transversales en el plano, mientras que las Eq. (3.46b) define las tensiones transversales fuera del plano.

3.7 Tipos de Laminado. En general los laminados se construyen segn determinados patrones de secuencia de lminas, propiedades mecnicas, espesores y orientaciones de las fibras. En este sentido, esta seccin representa la terminologa relacionada con el esquema de laminacin y las condiciones de simetra (simetra, antisimetra y asimetra) de un compuesto laminado. Primeramente, la secuencia de apilamiento de las lminas, tambin llamado, esquema de laminacin, puede ser escrita como [/ // /], donde , , , , son las orientaciones en grados de las fibras de la primera capa, segunda capa, etc (ver Fig.3.7). Esta nomenclatura se


emplea en el caso de lminas que poseen el mismo espesor. En el caso de que esto no suceda, la nomenclatura empleada es: [t1,/t2, /t3,/ /tN,], donde ti se refiere a los espesores de cada una de las lminas. La enumeracin de las lminas se realiza de la capa situada ms abajo a la capa situada ms arriba, es decir en el sentido positivo de z. En trminos de la orientacin de la fibra de un laminado, el ngulo est comprendido entre -90 y 90. Cuando slo existen fibras orientadas a 0 o a 90, el laminado es llamado cruzado o cross-ply. Por ejemplo [0/90/90/0] es un laminado cruzado con 4 lminas. Por otro lado cuando la fibra tiene cualquier orientacin, incluida la mencionada para los laminados cruzados, el laminado puede ser clasificado como angular o angle-ply, como por ejemplo la configuracin [-15/30/60/-90].

Figura 3.7. Secuencia de apilamiento de una laminado cualquiera. Cuando el laminado se presenta en disposicin simtrica respecto a la superficie media, el compuesto es llamado laminado simtrico. Debido a esta simetra, no ocurre el acoplamiento de membrana, este asunto lo trataremos en la seccin 4.2. Para este tipo de laminado el nmero de capas puede ser par o impar. Para indicar que un laminado es simtrico se utiliza el subndice s, como indicativo de la referencia de los ngulos. [0/90/0]s que es equivalente a [0/90/0/0/90/0]. Otro tipo especial de laminado es el antisimtrico. Este tipo de simetra es muy til cuando se desea un laminado que trabaje a torsin. Una caracterstica de este tipo de laminados es presentar una secuencia alternada dos a dos, o bien lminas alternadas en 0 y 90 dos a dos, Esto hace que los laminados antisimtricos tengan un nmero par de lminas. Por ejemplo [0/90]2=[0/90/0/90] o [45/-45]3=[45/-45/45/-45/45/-45], donde el subndice representa el nmero de repeticiones del esquema mencionado. Una vez que no ocurra simetra o antisimetra, el compuesto se denomina asimtrico.

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