Capítulo 4. Derivada y aplicaciones

1

PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 4. La derivada y aplicaciones

Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial

se refiere a la determinación de la pendiente de la recta

tangente a una curva en un punto dado.

Ejemplos

Ángulo entre curvas.

Velocidad y la aceleración en un instante determinado.

Razones de variación de una variable con respecto a otra.

Aproximación de valores de una función

Valores máximos y mínimos de una función.

RAZÓN MEDIA DE VARIACIÓN

La razón media de variación de la función y f x con

respecto a " "x cuando esta variable experimenta un

incremento x , es igual al cociente del incremento de la

función entre el incremento de la variable independiente,

esto es, y

x

.

y

x

y y

y

f

x x x

recta secante

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

CONCEPTO DE RECTA TANGENTE

Pierre de Fermat (1601-1665). Jurista, matemático y físico

LA DERIVADA COMO RAZÓN INSTANTÁNEA DE VARIACIÓN

Definición. A la razón instantánea de variación de una

función f con respecto a " "x , se le conoce como la derivada

de la función con respecto a la variable independiente, es

decir,

0lim derivada de con respecto a " "x

yf x

x

De acuerdo con lo ya tratado, se puede escribir que:

0 00

lim ;x

dy yy f x x f x

dx x

f

B

A

recta secante

x

recta tangente

lim secante tangenteB A

y

x

ym

x

f x x

f x

y mx b

x x x

y

x

y


3

0 0

0limx

f x x f xdy

dx x

y si además se considera que 0x x x , entonces

0

0

0

0

0 limx x

f x f xdyx x x

dx x x

Esta expresión define a la derivada de la función,

específicamente en el punto en el que 0x x .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

lim recta secante recta tangente

B A

0 00 ; lim lim tan tan

x xB A x

0tan BAC=tan = lim tan

x

y y dy

x x dx

tan T

dym

dx

Notaciones

' ' notación de Lagrangey ó f x

notación de Cauchyx xD y ó D f x

notación de Leibnizdy d

ó f xdx dx

notación de Newtony ó f x

y

x x x

f x

f x x

f

y

x

A

x

B

C

secante

tangente


4

Ejemplo. Supóngase que parte de la trayectoria de un juego

mecánico de montaña rusa tiene la forma mostrada en la

figura, donde el recorrido de A a B y de B a C , son curvas

parabólicas distintas, y el recorrido de C a D es una media

circunferencia.

Si se denota con " " el ángulo que forma el piso del carrito

con la línea horizontal:

)i ¿Qué valor tiene en el punto más alto?

)ii ¿Qué valor tiene en el punto más bajo?

)iii ¿Existen otros puntos en donde tenga el mismo valor que

los que tuvo en los primeros incisos?

Ejemplo. Se tiene una pila de cemento colocada junto a una

pared vertical sobre un piso horizontal. Considerando el

origen de coordenadas en la intersección de piso y pared, el

perfil del cemento está descrito, con una buena

aproximación, por la curva 2 9y x . Supóngase además

que hay una escalera perfectamente recta e indeformable

que se apoya simultáneamente en la pared, el cemento y el

suelo.

)i Demostrar que si la abscisa del punto de contacto de la

escalera con la pila de cemento es 1.5, entonces la

ecuación de la escalera se puede expresar como

3 11.25y x .

)ii Determinar la longitud de la escalera.

A B C D


5

Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el

punto 4,0 y es tangente a la curva 1y x . Obtener

también las coordenadas del punto de tangencia y hacer un

dibujo del problema planteado.


6

Ejemplo. El volumen de un cierto tipo de bacterias en un

cultivo de laboratorio es inversamente proporcional al

número de días " "n que pasan sin nutrientes, de tal forma

que el modelo para esta relación es: 10,000

Vn

función que se satisface a partir del primer día, es decir,

cuando 1n y 10,000V bacterias. Obtener la razón de

cambio en la que decrece el número de bacterias con

respecto a los días sin alimento, cuando 4n .

Ejemplo. El costo de una cierta aleación de metales

depende de la cantidad de oro que contiene. La mínima

cantidad que debe contener es de 3 gramos y su costo es

de $ 81,000 y aumenta este de acuerdo con el modelo: 3 25000 6000C x x

donde " "C es el costo en pesos y " "x el oro en gramos.

Determinar la razón de cambio del costo de la aleación, con

respecto a la cantidad de oro, cuando tiene " 5" gramos de

este metal precioso.


7

Derivación a través de la definición

Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones

mediante la definición, que comúnmente se conoce como

método de los cuatro pasos:

3 3) 6 1 ; ) ; ) 5 2

5

xi y x x ii y iii y x

x


8

Teorema. Derivada de la función constante

Sea la función constante , con una constantey f x k k .

Entonces su derivada es igual a cero, es decir, 0dy

dx .

0 0

; lim lim 0 0x x

dy k k dy dyy k

dx x dx dx

Teorema. Derivada de la función identidad.

Sea la función identidad y f x x . Entonces su derivada es

igual a la unidad, esto es,

1dy

dx

x

k

y

0T

dym

dx

y k


9

0 0

; lim lim 1 1x x

dy x x x dy dyy x

dx x dx dx

Teorema. Derivada de la función identidad elevada a un

exponente real. Aquí sólo se verá el caso del exponente

natural. Elevada a un exponente real también es

demostrable. Sea entonces la función ;ny x n .

Entonces su derivada está dada por:

1ndynx

dx

Prueba.

0

lim

n n

x

x x xdy

dx x

A través del desarrollo del binomio de Newton, se llega a:

21 2

0

1

1! 2!lim

nn n n n

x

n nnx x x x x x x

dy

dx x

11 2

0

1lim

1! 2!

nn n

x

n ndy nx x x x

dx

1ndynx

dx

Ejemplo. Calcular la derivada de las funciones siguientes:

5) ; ) 4i f x x ii y

x

y

y x

045

1T

dym

dx


10

Teorema. Derivada de la suma de funciones.

Considérese la función h x f x g x . Entonces, la

derivada de la función " "h es igual a:

' ' 'h x f x g x

Teorema. Derivada del producto de una función por un

escalar.

Sea la función ;h x f x . Entonces su derivada

será:

' 'h x f x


11

Ejemplo. Obtener la derivada de la función:

1

6 4 2 22

2 1) 5 ; ) 3 2 7 ; ) 8

3i f x x ii f x x x x iii y x

xx

Teorema. Derivada de una función como radicando de una

raíz cuadrada. Sea la función h x f x . Entonces su

derivada es igual a:

''

2

f xh x

f x


12

Ejemplo. Obtener la derivada de la función 1

33 5y x

Teorema. Derivada del producto de dos funciones

Sea la función h x f x g x . Entonces, la derivada de " "h

es:

' ' 'h x f x g x g x f x


13

Ejemplo. Obtener la derivada de:

3 2 23 1f x x x x

Teorema. Derivada de un cociente de funciones.

Sea la función " "h dada por

f xh x

g x , esto es, cuya regla

de correspondencia involucra el cociente de las funciones

" "f y " "g . Entonces su derivada es igual a:

2

' ''

g x f x f x g xh x

g x


14

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones:

2 2 3

2

3 6 2) ; )

1 5 6

x x xi f x ii y

x x x

Teorema. Regla de la cadena (Derivada de una función de

función).

Sean las funciones y f u y u g x , ambas derivables,

tales que con ellas se logra la función compuesta

;g fy f g x x x x D g x D

Entonces se cumple que: dy dy du

dx du dx

Ejemplo. Obtener la derivada de la función

3

2 22

232

1) ; ) ; ) 3 1 2

11

x xi y ii f x iii y x

xx


15

Ejemplo. Calcular las derivadas de las funciones siguientes y

evaluarlas en el punto indicado.

22

3

3

8 3 9) ; 1 ; ) ; 1

5

x xi y x ii f x x

xx


16

Resumen de las fórmulas obtenidas:

Sean , ,u v w funciones de " "x y " "C una constante real:

Entonces: 0xD C 1xD x

x x x xD u v w D u D v D w x x xD uv uD v vD u

x xD Cv CD v 2

x xx

vD u uD vuDv v

2

xx

CD vCDv v 1n n

x xD u nu D u

1n n

xD x nx 2

xx

D uD u

u

DERIVADA DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA

Ejemplo. Calcular dy

dx en las ecuaciones:

2 2 4 2 34 ; )2 8 4x y ii x y xy y y


17

Ejemplo. Considérese la ecuación 4 18y x

x y .

Demostrar que dy y

dx x .

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS

Teorema. ; cosdy du

y senu u f x udx dx


18

Teorema. cos ;dy du

y u u f x senudx dx

Teorema. 2tan ; secdy du

y u u f x udx dx

Teorema. 2cot ; cscdy du

y u u f x udx dx

Teorema. sec ; sec tandy du

y u u f x u udx dx

Teorema. csc ; csc cotdy du

y u u f x u udx dx


19

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones:

21 cos) ; ) 1 5 ; ) tan

1 cos

xi f x ii y sen x iii f x x

x

2 2 31) sec csc ; ) cotiv y x v f x senx

x

1

2 3) sec 2 6vi y x


20


21

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS

Teorema. 2

;1

dudy dxy angsenu u f xdx u

Teorema. 2

cos ;1

dudy dxy ang u u f xdx u

Teorema. 2tan ;

1


Teorema. 2cot ;

1



22

Teorema. 2

sec ;1

dudy dxy ang u u f xdx u u

Teorema. 2

csc ;1

dudy dxy ang u u f xdx u u

Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

2) se 1 ; ) seci f x ang n x ii y ang x

2) cot ; ) cos 1iii f x x ang x iv y ang x

21) tan ; ) csc 8v f x x ang vi y ang x

x


23

Resumen de las fórmulas para derivar funciones circulares

directas e inversas:

Sea u f x . Entonces:

cosx

duD senu u

dx

21

xx

D uD angsenu

u

cosdu

D u senux dx

2

cos1

xx

D uD ang u

u

2tan secx

duD u u

dx

2tan

1x

x

D uD ang u

u

2cot cscx

duD u u

dx cot

21

xx

D uD u

u

sec sec tanx

duD u u u

dx

2sec

1

xx

D uD u

u u

csc csc cotdu

D u u ux dx

2 1

xx

D uD u

u u


24

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA

PARAMÉTRICA

': ; ,

'

dyx f t g tdy dydtf t a b

dxdx dx f ty g t

dt

Ejemplo. Dadas las siguientes funciones, obtener la derivada dy

dx.

2 22) : ; 0 ; ) ;

2 1 cos1

cot 1) : ; 1 1

tan 1

x senx t ti f t ii

yy t

x ang tiii f t

y ang t


25

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES

2

2

3

3

; ' ' ; '' ''

''' ''' ;

dy d yy f x y f x y f x

dx dx

d yy f x

dx

1 2 5 8

3 3 3 31 2 10

; ' ; '' ; '''3 9 27

f x x f x x f x x f x x

2 3

2 3; cos ; ; cosdy d y d y

y senx x senx xdx dx dx

x

y

x

x

x

3

3

xy

3

32

d y

dx

2dyx

dx

2

22

d yx

dx


26

Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente

función y evaluarlas para 2x .

2

xy

x

DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA, EXPONENCIAL E

HIPERBÓLICAS

TEOREMA. Sea la función logaritmo natural

ln ;f x u u g x


1

'

dudu dxf x

u dx u

Prueba. Se aplicará la definición de derivada.

ln ln ln lny u y y u u y u u u

ln lnu u uy

u u

Por propiedades de la función logaritmo natural,

ln 1 ln 1lnln ln

u uu uu u uy uu uu

u u u u u u


27

1 1ln 1 ln 1

u

uy u u u

u u u u u u

0 0 0 0

1 1lim lim ln 1 lim lim 1

u u

u u

u u u u

y u u

u u u u u

0 0

1 1lim ; lim 1 1

u

u

u u

u

u u u

0

1 1lim 1u

y dy

u du u u

Finalmente se aplica la regla de la cadena y:

1

'

dudy du dxf xdx u dx u

Es evidente que:

1dLn x

f x Ln xdx x

TEOREMA. Sea la función exponencial

;uf x e u g x


' u duf x edx

Prueba.

; ln ln lnu uy e u g x y e y u

y si se deriva en forma implícita con respecto a " "u se tiene:

1

' 1 ; ' u uy y y D e ey

Y, mediante la regla de la cadena, se llega finalmente a:

u u ud duD e e e

dx dx

Es evidente que:

'x xf x e f x e


28

Ahora se verán las fórmulas de derivación para funciones

logarítmicas y exponenciales con una base cualquiera " "b .

Antes se presentarán dos formas equivalentes para obtener

el valor de la función logaritmo base " "b en términos del

valor de la función logaritmo natural: lnln log logu w w

b bu w e e u e u w e

log ln logb bu u e

loglog ln ln ln log lnb u v v

b bu v b b u b u v b u u b

lnlog

lnb

uu

b

TEOREMA. Sea la función logarítmica con una base

cualquiera base " "b , es decir,

log ; ; 0 ; 1b

y u u f x b b .

Entonces, su derivada es:

logb

dudy dx edx u

o bien ln

dudy dxdx u b

Prueba. La función log ;by u u f x también puede

expresarse, como ya se vio, en términos del logaritmo natural

de " "u como:

ln log ; logb b

dudy dxy u e u f x edx u

Se sabe también que esta función se puede expresar en

términos de la función logaritmo natural como:

ln

log ;ln ln

b

duu dy dxy u u f x yb dx u b


29

Ahora se obtendrá la derivada de la función exponencial

con una base cualquiera " " ; 0 ; 1b b b :

TEOREMA. Sea la función

;uy b u f x

donde " "b es un valor real positivo cualquiera y diferente de

la unidad. Entonces su derivada es:

lnudy dub b

dx dx

Prueba. Se aplica la función logaritmo natural y,

; ln lnuy b u f x y u b

Se deriva la expresión obtenida de manera implícita y,

ln ln lnu

dydu dy du dy dudx b y b b b

y dx dx dx dx dx

TEOREMA. Sea la función:

;vu f x

y uv g x

Entonces su derivada es:

1 lnv vdy du dvvu u u

dx dx dx

Prueba. Se aplica la función logaritmo natural y se deriva de

manera implícita:

ln ln ln

dy dudvdx dxy v u v u

y u dx

1ln lnv v v

dudy dv dy du dvdxu v u vu u udx u dx dx dx dx


30

Ejemplo. Obtener la derivada de tanxy x .

Ejemplo. Calcular las siguientes derivadas:

22 2 11 cos

) ln ; ) logsec 1 ; )1 cos

xxi y ii f x x iii y e

x

2 3cos 2 cos 1

) 10 ; ) ; ) ln2

x x senxiv f x v y senx vi y

senx


31


32

Derivadas de las funciones hiperbólicas directas e inversas

Obtener las expresiones para derivar estas funciones resulta

sencillo ya que las directas están en términos de la función

exponencial y las inversas en términos de la función logaritmo

natural, cuyas derivadas se conocen. Por eso solamente se

desarrollarán las de la función senhx así como la de su

inversa.

;f x senhu u g x

cosh2 2

u u u ue e dy e ey senhu u

du

Y por la regla de la cadena

' coshdu

f x udx

cosh ; 'du

f x u u g x f x senhudx

2tanh ; ' secdu

f x u u g x f x h udx

2coth ; ' cscdu

f x u u g x f x h udx

sech ; ' sec tanhdu

f x u u g x f x hu udx

csch ; ' csc cothdu

f x u u g x f x hu udx

1 ;f x senh u u g x

1 2ln 1y senh u u u


33

2

2 2

2 2 2

11

11 1

1 1 1

u u u

dy u u

du u u u u u

2 2

1'

u 1 u 1

dudu dxf xdx

1

2 2

1cosh ; ' ; 1

1 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u

1

2 2

1tanh ; ' ; 1

1 1


1

2 2

1coth ; ' ; 1

1 1


1

2 2

1sech ; ' ; 0 1

1 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u u u

1

2 2

1csch ; ' ; 0

1 1

dudu dxf x u u g x f x udxu u u u

Ejemplo. Obtener las derivadas de las siguientes funciones:

2 2) ( ) senh 1 2 ; ) ( ) cosh lni f x x ii f x x

cosh) cot senh3 ; ) senh xiii y ang x iv y x e

2

cosh) ; ) ln tanh

24 senh

x xv y vi y

x

coth) tan tanh ; ) ( ) xvii y ang x viii f x x


34

1 1

) ln sec 4 ; ) ( ) ln sec ln cscix y x h x x f x h hx x

Solución.

2 2) ( ) senh 1 2i f x x

2 2'( ) 2senh 1 2 cosh 1 2 4f x x x x

2' 4 senh 2 4f x x x

) ( ) cosh lnii f x x

1

2'( ) senh ln xf x xx

1' senh ln

2f x x

x

) cot senh3iii y ang x

2 2

3cosh3 3cosh3 3

cosh31 senh 3 cosh 3

dy x x

dx xx x

3sec 3dy

h xdx

cosh) senh xiv y x e

cosh coshsenh senh coshx xdyx x e x e

dx

cosh 2senh coshxdye x x

dx

2

cosh)

4 senh

xv y

x

2

22

4 senh senh cosh 2senh cosh

4 senh

x x x x xdy

dx x


35

2 2

22

senh 4 senh 2cosh

4 senh

x x xdy

dx x

2 2 2

22

senh 4 cosh cosh senh

4 senh

x x x xdy

dx x

2

22

senh 3 cosh

4 senh

x xdy

dx x

) ln tanh2

xvi y

22

2

1

1 coshsec1 122

tanh senh 2senh cosh senh22 2 2 2 2

2

cosh2

xx

hdy

x x x x xdx

x

cscdy

hxdx

) tan tanhvii y ang x

2 2

2 22 2 2

2

1sec 1 1cosh

cosh senh1 tanh cosh senh cosh2

cosh

dy h x xx xdx x x x x

x

sec 2dy

h xdx

coth) ( ) xviii f x x

coth 1 coth 2'( ) coth ln cscx xf x x x x x h x

coth 2coth' ln cscx xf x x x h x

x


36

) ln sec 4ix y x h x

4sec 4 tanh4

ln sec 4sec 4

dy h x xx h x

dx h x

4 tanh4 ln sec 4dy

x x h xdx

1 1) ( ) ln sec ln cscx f x h h

x x

2 2

1 1 1 1 1 1sec tanh csc coth

'( )1 1

sec csc

h hx x x xx x

f x

h hx x

2 2

1 1tanh coth

x xx x

2 2

22 2

1 1senh cosh

1 1 1 1 2cosh senh senh cosh 2cosh

2'( )

1 1 22senh cosh senh

x x

x x x x xf xx

x xx x x

2

2 2' cothf x

xx

Ejemplo. Obtener la derivada de las siguientes funciones:

1 1 2) senh ; ) ( ) senh 42

xi y x x ii f x x x

1 2 1) cosh ; ) tanh cosiii y x iv y x

1 2 1 2) ( ) tanh ln 1 ; ) coth 1v f x x x x vi y x

1 1) coth sen2 ; ) ( ) sec cos2vii y x viii f x h x

1 1 1) ( ) csc tan ; ) tan tanhix f x h x x y x

Solución. 1) senhi y x x


37

1

1

12 senh1 2

dy xx xdx x x

11 1senh

2 1 2

dyx

dx x x

1 2) ( ) senh 42

xii f x x x

1

2 2

1

2'( ) senh2 4

14

x xf x x

x x

1

2 2senh

24 4

x x x

x x

1' senh2

xf x

1 2) coshiii y x

4

2

1

dy x

dx x

1) tanh cosiv y x

2 2

sen sen

1 cos sen

dy x x

dx x x

cscdy

xdx

1 2) ( ) tanh ln 1v f x x x x

21

2 2

1 1'( ) tanh1 1

x

xf x x xx x

1

2 2tanh

1 1

x xx

x x


38

1' tanhf x x

1 2) coth 1vi y x

2

2

1

1 1

x

dy x

dx x

2

1

1

dy

dx x x

1) coth sen2vii y x

2

2cos2 2

cos21 sen 2

dy x

dx xx

2sec2dy

xdx

1) ( ) sec cos2viii f x h x

2

2sen2 2sen2 2'( )

cos2 sen2 cos2cos2 1 cos 2

x xf x

x x xx x

' 2sec2f x x

1) ( ) csc tanix f x h x

2 2

2

1sec sec cos'( )

sentan sectan 1 tancos

x x xf xxx xx xx

' cscf x x

1 1) tan tanhx y x

2 2

1

1 1

dy

dxy x


39

2

12

2 2

1 tan tanh1

1 1

xdy y dy

dx dxx x

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS

Y PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

1

12

2: ;

n

nn

n

d d yd dyx f t dt dxd y d ydt dx

fdx dxdx dxy g t

dt dt

Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de: 2 2) 1 ; ) 2 5i x y ii x xy y


40

Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para:

5cos: ; 0 2

3

xf

y sen

Ejemplo. Ecuación cartesiana de la Hipocicloide: 2 2 2

3 3 3x y a

y se representa paramétricamente como: 3

3

cos:x a t

fy asen t

Determinar primera y segunda derivadas cuando 2 2

ax y .

)i A través de la forma implícita

)ii Con la forma paramétrica


41


42

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES

' '

0 0lim y limx x

y yf x f x

x x

Teorema. ' '

0 0 0'f x f x f x

Relación entre la continuidad y la derivabilidad

Se estudia la continuidad y la derivabilidad de ambas en

0x :

x

cosy x

2

2

1y

y x

x

2y x

y x

2 2


43

Teorema. Si la función y f x es derivable en 1x x ,

entonces también es continua para dicho valor de " "x .

Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la

función 2

3f x x en el punto donde 1 0x .

Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la

siguiente función:

22 2 0

1 cos 0

2 27

7

x si x

f x x si x

xsi x


44


45

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA

La derivada como la pendiente de la recta tangente

Ejemplo. Obtener los ángulos que forman con el eje " "x las

tangentes a la curva 2 24 4 ; 0x y y , en los puntos:

) 2,0 ; ) 3, 3 ; ) 4,2i ii iii

Explicar los resultados mediante la gráfica de la curva.

Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de

ecuación: 2 4y x

en el punto 1, 3P , así como el ángulo que forma dicha

tangente con el eje de las abscisas. Hacer una gráfica del

problema planteado.


46

Ejemplo. Determinar qué ángulo forma la curva 2y x con la

recta 1x al cortarse con ella. Hacer un trazo del problema

planteado.

Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la

curva de ecuación 5 4 3

23 113

5 2 3

x x xy x son paralelas al

eje " "x . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la curva,

considerando los puntos obtenidos.


47

Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuación 5

1 2y

x

donde la tangente es paralela a la recta de

ecuación 2 5 5 0x y . Hacer un trazo aproximado del

problema planteado con los resultados obtenidos.

Ejemplo. Obtener el punto de la curva 2 32y x donde su

tangente es perpendicular a la recta 4 3 2 0x y .


48

Ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a una

curva en un punto dado

1 1

1; ' ;

T N T N

T

y y m m x x m f x mm

Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la curva de ecuación 2 4 5y x x en el punto

3,2P . Hacer un trazo aproximado de la gráfica.

Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la curva de ecuación 214

2y x en el punto

13,

2P

. Representar gráficamente el problema planteado.


49

Ángulo de intersección entre dos curvas

2 0 1 02 1

2 1 2 0 1 0

' 'tan o bien tan

1 1 ' '

f x f xm mang ang

m m f x f x

Ejemplo. Determinar el ángulo que forman al cortarse las

curvas siguientes y graficar. 2

2 2 32

xy y x y

y

1C

2

0 0,P x y

1

2C

1T

2T

x


50

Ejemplo. Demostrar que la elipse 2 22 6x y y la parábola

2 4y x se cortan en un ángulo recto, es decir, que son curvas

ortogonales. Graficar aproximadamente.


51

APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA

Razones de variación de variables relacionadas

0media

; ; ; limmedia

t

s s s dss f t v v v v

t t t dt

2

20media; lim

mediat

v v dv d sa a a a

t t dt dt

Cinemática y Cálculo

Movimiento vertical. Caída libre

Cinemática:

00

; 0f ff

v v va v y a g g v gt

t t

20

0

2 2

; 02 2 2

f f

f f

f

v v tss svtt

v v v gtv v v v gt s

Cálculo 2

;2

gt dss v v v gt

dt

2

2

dv d sa a a g

dt dt

Ejemplo. Se deja caer un objeto y cuando han transcurrido 3

segundos, se requiere conocer su velocidad. Determinarla:

)i A partir de la derivada del espacio recorrido.

)ii Por medio de la fórmula cinemática correspondiente.


52

Ejemplo. Un cierto tipo de aeronaves tienen como

especificaciones para el aterrizaje, entre otras, las siguientes:

una aceleración de frenado de 2

14,500km

h y sus distancias de

pista están dadas por la expresión: 2250 7250s t t donde

" "t es el tiempo en el que recorre la distancia de pista " "s .

)i Si aterriza con una velocidad de 250km

h, determinar su

velocidad a los 20 s de haber tocado tierra.

)ii Calcular la distancia total que recorre hasta detenerse y

el tiempo que tarda, suponiendo que desde que aterriza

frena hasta pararse totalmente.


53

Existen múltiples conceptos físicos en los que encuentran

aplicación las derivadas.

velocidad angulard

dt

Se puede definir a la potencia mecánica instantánea como: dT

Pdt

El gasto hidráulico, en un instante, se puede expresar como: dV

Qdt

Por otro lado, se puede tratar, para una determinada

resistencia eléctrica, a la intensidad de la corriente como la

derivada del voltaje con respecto a la le resistencia, esto es: dV

IdR

Existen problemas donde las variables experimentan razones

de variación con respecto al tiempo y para resolverlos juega

un papel de gran importancia la derivada.

Ejemplo. Una escalera indeformable, de 5.0m de longitud, se

encuentra apoyada en un piso horizontal y reclinada en una

pared vertical. Si una persona jala la parte inferior de la

escalera, alejándola de la pared, a una velocidad de 1.5m

s,

¿con qué velocidad se deslizará hacia abajo la parte

superior en el instante en que está a 4m del piso?


54

Ejemplo. Un globo esférico está perdiendo aire a una rapidez

de 3

100dm

s. ¿Con qué rapidez está disminuyendo su radio en

el instante en que mide 1m?

Ejemplo. Un vehículo se mueve en una carretera horizontal

recta. En un cierto punto de esta vía, sobre ella hay una torre

de 40m en cuya punta se encuentra un observador. Si el

vehículo se mueve de manera que su velocidad angular con

respecto al observador es constante e igual a 0.10rad

s,

determinar la velocidad lineal del vehículo en las posiciones

correspondientes a 0 00 30y .


55

Ejemplo. La lámpara de un poste en la calle se localiza a una

altura de 3m y una persona cuya estatura es de 1.70m se

aleja del poste con una velocidad de 2m

s. ¿Con qué

velocidad se alarga la sombra y cuánto mide ésta cuando la

persona se encuentra a 3m de la base del poste?

Ejemplo. Una biela es un mecanismo elemental que

convierte un movimiento circular en rectilíneo y viceversa. La

biela de la figura se puede interpretar de cualquiera de las

dos maneras siguientes:

1. El eje de un motor se encuentra en " "O y hace girar el

brazo pequeño de la biela; ésta a su vez consigue que el

pistón " "P se mueva rectilínea y alternadamente hacia arriba

x

y

O

900 RPM

B

A

10 cm

50 cm

P


56

y hacia abajo. (Este pistón puede ser el de una bomba

reciprocante, por ejemplo).

2. El pistón es el de un cilindro de motor de explosión interna

(como el de los automóviles) que, al deslizarse de arriba

abajo, hace girar el brazo menor de la biela y éste a su vez,

al eje de una rueda en " "O .

Para este problema se aceptará la interpretación A . Si el

motor gira con una velocidad angular de 900 RPM y las

dimensiones son las de la figura, calcular la velocidad del

pistón cuando el punto " "B se encuentra sobre el eje de las

abscisas.

Ejemplo. Una rueda de la fortuna con un radio de 10m da

una vuelta cada 3 min. Si el centro de la rueda está a 12m

del piso, determinar la rapidez con que asciende un pasajero

cuando se encuentra a 18m del piso.


57

Ejemplo. A un tanque cónico circular recto de radio 5R m y

altura 15H m , le entra un volumen de agua a razón de 3

1.5min

m. Determinar la rapidez de variación de la altura " "h

del agua cuando ésta se encuentra a 5m del vértice.


58

Ejemplo. Un avión pasa sobre una ciudad " "A a las 12 : 00 h,

a una velocidad constante de 1000km

h en dirección Este.

Media hora más tarde, a la misma altura y en dirección Sur,

otro avión sobrevuela la misma ciudad a una velocidad

constante de 1100km

h . ¿Con qué velocidad se separarán las

dos aeronaves a las 14 : 00 h?

Ejemplo. Se tiene una pileta de 4.0m de largo, cuya sección

transversal es un trapecio con altura de 60 cm y bases mayor

y menor de 1.2 40m y cm. Está siendo llenada con agua a

una velocidad de 90 litros por minuto. ¿A qué velocidad sube

el nivel del agua en el instante en que está a 25 cm del

fondo?


59

Ejemplo. Un faro fue construido en una pequeña isla situada

a 3 km de la costa, la cual, frente al faro es recta. El haz

luminoso del faro gira a una velocidad constante de 0.16

grados por minuto. Calcular la velocidad con la que se

desplaza la luz a lo largo de la costa, en un punto localizado

a 2.5 km del punto de la costa más próximo al faro.


60

LA DIFERENCIAL Y ALGUNAS APLICACIONES

Función diferenciable

Sea y f x una función derivable en un cierto valor " "x para

el cual se cumple que ' 0f x . Luego, por la definición de

derivada, se tiene:

0lim ' ' ; 0 0x

f xf x f x f x x x x

x

Diferencial: 'dy df x f x x

Ejemplo. Investigar si las siguientes funciones son

diferenciables, decir para qué valores de " "x y obtener sus

diferenciales:

2 2) 2 5 6 ; ) 1i f x x x ii f x x

Diferencial de la función identidad

' ; 1

' 1

y f x x

dy f x x dy x dy xdyf x

dx

Como y x dy dx ; entonces dx x


61

Diferencial: 'dy

dy dx f x dxdx

Ejemplo. Obtener la diferencial de las siguientes funciones:

3 2 3) 2 3 7 ; ) tan 1i y x x x ii f x x

) seciii y ang x


62

Interpretación geométrica de la diferencial

'm y f x x

La derivada como cociente de diferenciales

' 'dy

dy f x dx f xdx

Permanencia de la forma de la diferencial para una función

de función

;

y f u dy dy du dy duy f g x dy dx

dx du dx du dxu g x

Diferenciales sucesivas

2 2 3 3' ; '' ; '''dy f x dx d y f x dx d y f x dx

...n n n

d y f x dx

Ejemplo. Calcular las diferenciales de primero y segundo

orden para la función:

3 22 cosf x x x

x

y

f

m yy

x

y

x

y y

x x

B

C A

recta

tangente


63

ERRORES, VALORES APROXIMADOS Y APLICACIONES DE LA

DIFERENCIAL

'

' 100 100

100

A

AR

AR

R

y dy x

yy f x x x

dy f x x Py

dy dyP

y y

Ejemplo. Dada la función 5f x x , determinar el

incremento y y la diferencial dy para 23x y 3x .

Calcular también los errores absoluto y relativo, así como el

porcentaje del error al utilizar a la diferencial en lugar del

valor exacto del incremento de la función.


64

Ejemplo. Por medio de diferenciales, obtener un valor

aproximado de 27 .

Ejemplo. Por medio de diferenciales obtener el valor

aproximado de tan44º .

Ejemplo. A una cúpula semiesférica con radio exterior de

5m, se le aplica un impermeabilizante especial que tiene un

espesor de 1cm. ¿Cuánto se gasta de manera aproximada

(mediante diferenciales) en impermeabilizante si el litro

cuesta $100.00? Calcular también la cantidad exacta que se

invierte, así como el porcentaje de error que se comete al

utilizar la diferencial en lugar del valor exacto.


65

Ejemplo. Las fórmulas para el área y el volumen de una

esfera son, respectivamente:

2 344 y

3A r V r

Al medir el radio se obtiene que: 3r m :

)i ¿Cuáles son los errores máximos aproximados de

A y V si al medir el radio su medida puede variar 1cm?

)ii ¿Cuál es en cada caso el porcentaje de error?


66

Ejemplo. En un laboratorio de materiales se trabaja con

sólidos metálicos en forma de cubos. Si uno de éstos, que

tiene 10 cm de arista, se somete a una determinada

temperatura, se dilata aumentando su arista 2mm, ¿cuáles

serán los incrementos exacto y aproximado en su volumen y

qué porcentaje de error se comete al utilizar la diferencial en

lugar del incremento exacto?

Ejemplo. Unos cilindros circulares rectos, utilizados en un

laboratorio, tienen 20 cm de longitud, un diámetro interior de

10 cm y un diámetro exterior de 10.4 cm. Por medio de la

diferencial, calcular el costo de cada cilindro, si el material

del cual están hechos cuesta 3$ 5.00/cm .


67

Ejemplo. En la orilla de la parte superior de un edificio hay

una lámpara que proyecta la sombra de un poste de 3.2m

que se encuentra a 11.75m de la base del edificio. Si la

sombra del poste es de 90 cm con un posible error de 1cm

en su medición, ¿cuál es la altura aproximada del edificio y

cuál el porcentaje de error en su cálculo?

Capítulo 4. Derivada y aplicaciones

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