Capítulo 5Capítulo 5Método de Método de MonteCarloMonteCarlo

Idea : Es la aproximación a la solución de un problema por medio del muestreo de un proceso al azar.

Esto no ayuda mucho lo que es el Método de Monte Carlo pero podemos familiarizarnos por la vía de ejemplos:

Caso 1

x

y

R

dxdx 21

1,:),( 22 yxyxyxR

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Caso 2:

Sea g(x) una función y supongamos que deseamos conocer

Problema determinista

Sea u ~ U(0,1) y sea x = u

Entonces

E[g(u)] =

siendo

1

0

)( dxxg

1

0

)(*)( duufug

dxduyxguguf )()(;)( 011

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Luego

E[g(u)] =

Entonces transformamos la estimación de por el cálculo E[g(u)] por la vía de la ley de los grandes números.

1

0

)( dxxg

kcuandougEk

ugk

i

i )]([)(

1

kcuandougPr 0)|)((| )(ug

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Teoremas LímitesTeoremas Límites•Convergencia en Distribución:

x pto. continuidad

•Convergencia en Probabilidad:

>0•Nota:

)()( xFxFlimssiXX XXnD

n n

0 XXPlimssiXX nnP

n

XXXX Dn

Pn

Desigualdad de Chebyshev:

Sea X v.a. con

Entonces

XE XV;

2

XVXEXP

Ley débil de los grandes números:

sucesión de v.a.i.i.d. :

entonces:

RXE 2XV

NnnX

0 nn XPlim

Teorema Central de Límite:

Sea {X} suc. de v.a.i.i.d /

finitas. Entonces:

XE 2XV;

)1,0(N

n

XY Dnn

Es decir podemos resolver un problema determinístico por medio del cálculo del valor esperado de una muestra grande.

Algoritmo Valores iniciales, S1=0 ; S2 = 0

1.- Generar ui (U(0,1))2.- Calcular g(ui)

3.- Calcular

4.- Repetir el cálculo k-veces

5.- Calcular ;

6.- Calcular el ]96,1[)(

2

95,0 kSI

S1 = S1 + g(ui)S2 = S2 + [g(ui)]2

kS1

)1(][2 2

12

2

kkSSks

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Caso 3 : Para

Sea

Entonces

donde

Luego podemos estimar mediante el cálculo de E[h(y)]

bxadxxgb

a

)(

ab

dxdy

ab

axy

1

0

1

0

)(

)(])([

dyyh

dyabyabag

))(()()( yabagabyh

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Caso 4 :

puede ser calculado mediante

donde U1, U2, ..., Un sucesiones v.a.i.i.d. U(0,1)

1

0

21

1

0

1

0

21 ...),...,,(... nn dxdxdxxxxg

k

uuugk

i

in

ii

121 ),...,,(

)],...,,([ 21 nuuugE

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Caso 5 : Para

Sea

Entonces

Luego siendo

0

)( dxxg

dxyx

dxdy

xy 2

2)1(1

1

10)1(1

02

1

ydyy

g y

2

1 )1()(

)]([

y

gyh

yhE

y

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Tarea : Usando el método de Monte Carlo

0

25

0

2 )1(;)1( 23

dxxxdxx

1

0

1

0

)( 22

; dxdyedxe yxx

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Caso 6 :

Derive un método aproximado para resolver este problema de integración, vía Simulación de Monte Carlo y proponga un Algoritmo

dxxg )(

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo