1. CAPITULO 6 NIVELACION6. Nivelacin6-16.1. Forma de la Tierra6-16.2. Curvatura y refraccin6-36.3. Nivelacin trigonomtrica 6-66.4. Nivelacin taquimtrica 6-96.5. Nivelacin Geomtrica6-116.5.1. Nivelacin geomtrica simple desde el extremo6-116.5.2. Nivelacin geomtrica simple desde el medio6-136.5.3. Nivelacin geomtrica compuesta desde el medio 6-146.6. Nivelacin de perfiles 6-166.7. Control de nivelaciones6-186.7.1. Error de cierre6-186.7.2. Tolerancia del error de cierre 6-196.7.3. Compensacin de nivelaciones 6-20 6.7.3.1. Compensacin proporcional a la distancia6-20 6.7.3.2. Compensacin sobre los puntos de cambio 6-216.8. Clculo y ajuste del error de inclinacin6-24Problemas propuestos6-26

2. Leonardo Casanova M.NivelacinVertical 6. NIVELACIN La nivelacin es el proceso de medicin deAelevaciones o altitudes de puntos sobre la superficie de la tierra. La elevacin o altitud es labdistancia vertical medida desde la superficie de referencia hasta el punto considerado.La Elevacin distancia vertical debe ser medida a lo largo de una lnea vertical definida como la lnea que sigue Superficie de Referenciala direccin de la gravedad o direccin de la plomada (figura 6.1).Figura 6.1 Elevacin o altitud de un punto6.1 Forma de la TierraPara el estudio de la nivelacin es necesario definir o determinar la forma de la tierra, problemaextremadamente complejo si no imposible para una solucin matemtica.Fue costumbre definir la superficie de la tierra como la superficie del geoide o superficie de nivel,que coincide con la superficie del agua en reposo de los ocanos, idealmente extendido bajo loscontinentes, de modo que la direccin de las lneas verticales crucen perpendicularmente estasuperficie en todos sus puntos1.En realidad, la superficie del geoide es indeterminada, ya que depende de la gravedad y esta a suvez de la distribucin de las masas, de la uniformidad de las mismas y de la deformacin de lasuperficie terrestre. Se ha demostrado que la tierra no slo es achatada en los polos, sino tambinen el Ecuador aunque en mucha menor cantidad. Debido a la complejidad del problema, se hareemplazado la superficie del geoide por la superficie de un elipsoide que se ajusta lo suficiente ala forma real de la tierra. Con esta aproximacin podemos asumir que una superficie de nivel esperpendicular en cualquier punto a la vertical del lugar o direccin de la plomada, tal y como semuestra en la figura 6.2.Un plano horizontal en un punto sobre la superficie terrestre es perpendicular a la lnea verticalque pasa por el punto, es decir, es un plano tangente a la superficie de nivel solamente en dichopunto (figura 6.3).La cota absoluta de un punto es la distancia vertical entre la superficie equipotencial que pasapor dicho punto y la superficie equipotencial de referencia o superficie del elipsoide (QA y QB enla figura 6.3).1Zakatov P. (1981). Curso de Geodesia superior. Mosc: Editorial Mir,. p.14 6-1 3. Leonardo Casanova M.NivelacinVA VB VerticalSuperficie de nivelA Superficie del geoide G G Superficie de Superficie del elipsoide la tierraB Figura 6.2 Representacin de las superficies del geoide y el elipsoide VAVerticalVB Plano horizontal por A A ABSuperficie de nivel QA OBSuperficie dela tierraQB ElipsoideO R QA = Cota o elevacin de A R QB = Cota o elevacin de BFigura 6.3 Plano horizontal de un punto sobre la superficie de la tierraEl desnivel entre dos puntos (AB) es la distancia vertical entre las superficies equipotencialesque pasan por dichos puntos. El desnivel tambin se puede definir como la diferencia deelevacin o cota entre ambos puntos.AB = QB - QA (6.1)Para la solucin de los problemas prcticos de ingeniera, debemos estimar hasta que punto sepuede asumir, sin apreciable error, que el plano horizontal coincide en toda su extensin con lasuperficie de nivel; es decir, hasta que punto podramos considerar la tierra como plana.6-2 4. Leonardo Casanova M. Nivelacin6.2 Curvatura y RefraccinAceptando la simplificacin sobre la forma de la tierra, debemos estimar el efecto que la mismatiene en el proceso de nivelacin. Como se puede observar en la figura 6.4, una visual horizontallanzada desde el punto A se aleja de la superficie de la tierra en funcin de la distancia horizontalD, por lo que el efecto de la curvatura de la tierra ec, ser la distancia BB. VA VBDPlano horizontal por AABB"Visual refractada er B ecR RoFigura 6.4 Representacin de los efectos de curvatura y refraccinAplicando el teorema de Pitgoras tenemos(R + ec)2 = R2 + D2R2 + 2Rec + ec2 = R2 + D2D 2 ec 2ec =(6.2) 2RTomando un valor de R = 6.370 km, y considerando por el momento una distancia horizontal deunos pocos km, digamos 2 km, la magnitud del efecto de curvatura resulta un valor pequeo porlo que ec2 0 por ser un infinitsimo de orden superior, quedando la ecuacin 6.2D2ec =(6.3)2RSi recordamos que la atmsfera esta constituida por una masa de aire dispuesta en estratos dediferentes densidades, considerados constantes para cada estrato e iguales a la densidad media del6-3 5. Leonardo Casanova M. Nivelacinaire del estrato considerado, la refraccin atmosfrica desviar la visual lanzada desde Adescribiendo una lnea curva y generando el efecto de refraccin (er), tal y como se muestra en lafigura 6.4.El efecto de refraccin depende de la presin atmosfrica, temperatura y ubicacin geogrfica,pero se puede admitir, para simplificar el problema, como funcin directa de la curvaturaterrestre.er = K.ec(6.4)D2er = K2RK representa el coeficiente de refraccin.Se puede observar en la figura 6.4 que el efecto de refraccin contrarresta el efecto de curvatura,por lo que el efecto o error total de curvatura y refraccin (ecr) se determina segn la siguienteexpresin:D2e cr = e c e r = (1 K )2R(6.5)2 e cr =D (1 K )2REl campo topogrfico altimtrico depender de la precisin que se desee obtener y de laapreciacin de los instrumentos a utilizar en las operaciones de nivelacin.En el ejemplo 6.1 determinaremos el lmite del campo topogrfico planimtrico para unanivelacin de precisin.Ejemplo 6.1.Determinar la mxima distancia horizontal para una nivelacin de precisin en la que se requiereque el ecr 1 mm.SolucinPara mantener el ecr 1 mm, es necesario que en la nivelacin se empleen instrumentos conapreciacin de 1 mm y aproximaciones de lectura del orden de dcimas de mm.Aplicando la ecuacin 6.5 tenemos:6-4 6. Leonardo Casanova M.Nivelacin D22 Re cre cr =(1 K ) D = 2R1 KTomando como valor promedio de k = 0,16 y haciendo ecr = 1 mm nos queda: 2 x6.370.000 x0,001 D== 123,153m (1 0,16)Redondeando, D = 120 mEjemplo 6.2Cual sera el lmite del campo topogrfico para nivelaciones geomtricas con nivel automtico ymira vertical con apreciacin de 1 cm?.SolucinComo las miras verticales utilizadas en las nivelaciones geomtricas vienen graduadas alcentmetro, pudindose estimar lecturas al milmetro, asumiremos para este problema unaprecisin en la lectura de 2,5 mm, por lo que ecr = 2.5 mm.Aplicando el mismo procedimiento del ejemplo 6.1, tenemos: 2 x6.370.000 x0,0025 D= = 194,722m (1 0,16)Redondeando, D = 200 mA fin de determinar los lmites del campo topogrfico altimtrico para los distintos tipos denivelacin, en la tabla 6.1 se calcula el ecr para diferentes distancias, tomando como valorespromedio de K = 0,16 y R = 6.370 km.En la tabla 6.1, los valores de D representan el lmite del campo topogrfico perimtrico para losdiferentes tipos de nivelacin. Tabla 6.1. Lmites del campo topogrfico planimtrico Decr mm TIPO DE NIVELACION100 0,65Nivelacin geomtrica de precisin.Mira vertical de invar y micrmetro ptico.200 2,64Nivelacin geomtrica con mira vertical.40010,55Nivelaciones taquimtricas .Determinacin de puntos de relleno.50016,48Considerar el ecr. 1.00065,93Para valores de D > 400 m, se debe tomar en cuenta el ecr. 6-5 7. Leonardo Casanova M. NivelacinLos mtodos para nivelaciones en donde se requiera tomar en cuenta el ecr, se describen enCostantini2.6.3.Nivelacin TrigonomtricaMantenindonos dentro de los lmites del campo topogrfico altimtrico a fin de despreciar losefectos de curvatura y refraccin al considerar la tierra como plana, podemos definir lanivelacin trigonomtrica como el mtodo de nivelacin que utiliza ngulos verticales para ladeterminacin del desnivel entre dos puntos.Las ecuaciones generales utilizadas en la nivelacin trigonomtrica se pueden deducir de la figura 6.5.Visual lm Mira verticalP%lm HorizontalhiB AB A h i+ = AB + l mQB QA Superficie de referencia = Dtan DFigura 6.5. Nivelacin trigonomtricaAB = Dtan + hI - lmAB = Dcotg + hI lm (6.6) PD AB =+ hI l m 100En dondeAB = Desnivel entre A y BD = Distancia horizontal2 Costantini W. (1977). Topografa II, Tesis 1 a 7, Mrida: Universidad de Los andes, Facultad de Ingeniera.pp. 13-26. 6-6 8. Leonardo Casanova M.Nivelacin = Angulo vertical de elevacin = Angulo cenitalP = Inclinacin de la visual en %hI = Altura del instrumentohs = Altura de la seal (lectura en mira)En ngulo vertical se puede medir con teodolito o con clismetro, dependiendo de la precisindeseada.Para el caso de visual horizontal, en el que = 0 y = 90 (visual con nivel), la ecuacin 6.4queda AB = hI - hs(6.7)que es el caso particular de la nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial que estudiaremosms adelante.Ejemplo 6.3Con los datos de la figura E6-3, determine el desnivel entre los puntos A y B y la cota del punto B. Horizontal = -152218" hi =1,50Alm = 3,572 mQA= 154,816Mira vertical B QBSuperficie de referenciaD=85,320 mFigura E6-3SolucinAplicando la ecuacin 6.lAB = 85,320 x tan (-15 22 18") + 1,50 - 3,572 = -25,528 m.El signo negativo indica que el punto B est por debajo del punto A.6-7 9. Leonardo Casanova M.NivelacinPara calcular la cota del punto B aplicamos la ecuacin 6.1AB = QB QA QB = AB + QA QB = 25,528 + 154,816 = 126,288QB = 129,288 m.Ejemplo 6.4Con los datos de la figura E6-4 determine el desnivel entre A y B y la cota del punto B.lm = 2,316 m = 751622"m 94 ,668Di =Mira verticalHorizontal B h i =1,52 A QB QA= 1.602,574 Superficie de referencia D Figura E6-4SolucinPara la solucin de este problema debemos referirnos al captulo 3.4 correspondiente a medicinde distancia.Aplicando la ecuacin 3.4 de reduccin de distancias inclinadas al horizonte tenemos: DH = Di sen (3.4)Sustituyendo la 3.4 en 6.2 nos queda, AB = Di sen x cotg + hp - lmAB = Dicos + hp lm = 94,668 x cos(751622) + 1,52 2,316AB = +23,270 mEl signo positivo indica que B est por encima del punto A.AB = QB QA QB = AB + QAQB = 23,270 + 1.602,574 = 1.625,844 m QB = 1.625,844 m.6-8 10. Leonardo Casanova M. Nivelacin6.4 Nivelacin TaquimtricaLa taquimetra, palabra compuesta proveniente del griego -metro que significa medidarpida, es un procedimiento topogrfico que se apoya en la medicin ptica de distancias para laubicacin plano altimtrica de puntos sobre la superficie terrestre.Para la determinacin del desnivel por taquimetra utilizaremos las ecuaciones 3.21 y 6.6 parateodolitos que miden ngulos de elevacin tenemos:DH = KHcos2(3.21)AB = Dtan + hI lm(6.6)Sustituyendo la 3.21 en la 6.6 nos queda:AB = KH x cos2 tan + hI lm (6.8)AB = KHcos x sen + hI lm (6.9)Para teodolitos que miden ngulos cenitales la ecuacin 6.9 queda como sigue: AB = KHcos sen + hI lm(6.10)Recordemos que K es la constante diastimomtrica generalmente igual a 100 para losinstrumentos modernos y H es el intervalo de mira o diferencia entre la lectura superior y lalectura inferior a la mira.Por la sencillez y rapidez de la toma de datos en campo, el mtodo taquimtrico constituye elmtodo ms empleado en el levantamiento de puntos de relleno.Por ser un levantamiento rpido para puntos de relleno, donde no se requiere de gran precisin, elcampo topogrfico altimtrico para la taquimetra se puede extender a distancias de hasta 400 m.Ejemplo 6.5Con los datos de la figura E6-5, calcule la cota del punto B.SolucinAplicando la ecuacin 6.10 de nivelacin taquimtrica con ngulo cenital tenemos,AB = 100 (3,250 - 1,286) cos 853220x sen 853220" + 1,540 - 2,268 AB = 14,502 mAB = QB - QA QB = AB + QAQB = 14,502 + 956,432 = 970,934 mQB = 970,934 mPor lo general, en trabajos taquimtricos se levantan varios puntos a partir de una misma estacin.6-9 11. Leonardo Casanova M.Nivelacinls = 3,250 mK=100lm = 2,268 m = 853220"li = 1,286 mMira verticalHorizontalB hi =1,54A QBQA= 956,432 Superficie de referencia D Figura E6.5Ejemplo 6.6Con los datos de la tabla TE6.6.1, calcule las cotas de los puntos 1 al 5. Tabla TE6.6.1Libreta de campo para una nivelacin taquimtrica Angulos Lecturas en mira medidosEST PvHVls lm liA 1 91303,6582,4931,328 hi = 1,602 2 95172,3021,9211,540QA = 1.620,32383101,5141,2741,0344 90302,3861,4060,4265 85322,0431,7041,365SolucinAplicando la ecuacin 6.10 para el clculo del desnivel entre A y cada uno de los puntos restantesy la ecuacin 6.1 para el clculo de las cotas, construimos la tabla TE6.6.2.Tabla TE6.6.2.A Pv Dist DesnivelCotaA1232,84 - 6,99 1.613,33 275,55- 7,31 1.613,01 347,32+ 6,00 1.626,32 4195,99 - 1,51 l.618,81 567,39+ 5,16 1.625,48 6-10 12. Leonardo Casanova M.NivelacinEn la tabla TE6.6.2 se ha incluido una columna para el clculo de las distancias, ya que lasmismas se requieren para el clculo de las coordenadas rectangulares y para la elaboracin delplano acotado del terreno, procedimiento que estudiaremos ms adelante.6.5.Nivelacin GeomtricaLa nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial es el procedimiento topogrfico que nospermite determinar el desnivel entre dos puntos mediante el uso del nivel y la mira vertical.La nivelacin geomtrica mide la diferencia de nivel entre dos puntos a partir de la visualhorizontal lanzada desde el nivel hacia las miras colocadas en dichos puntos (figura 6.6).Cuando los puntos a nivelar estn dentro de los lmites del campo topogrfico altimtrico y eldesnivel entre dichos puntos se puede estimar con una sola estacin, la nivelacin recibe elnombre de nivelacin geomtrica simple (figura 6.6). Cuando los puntos estn separados a unadistancia mayor que el lmite del campo topogrfico, o que el alcance de la visual, es necesario lacolocacin de estaciones intermedias y se dice que es una nivelacin compuesta (figura 6.7).Mira vertical Mira vertical la NIVELHorizontal lb la NIVEL Horizontal lb HBHB BBHA AB hi ABQB A AQBQAAB = la - lbQA AB =h i - l b Superficie de referencia AB = Ha - H b Superficie de referencia DD a. Nivelacin desde el mediob. Nivelacin desde el extremo Figura 6.6. Nivelacin Geomtrica Simple6.5.1. Nivelacin Geomtrica Simple desde el ExtremoLa figura 6.6.b representa el caso de una nivelacin geomtrica simple desde el extremo. En estetipo de nivelacin es necesario medir la altura del instrumento en el punto de estacin A y tomarlectura a la mira colocada en el punto B. Como se puede observar en la figura, el desnivel entreA y B ser: AB = hI - lB(6.11)6-11 13. Leonardo Casanova M.NivelacinEs necesario recordar que previo a la toma de la lectura a la mira en el punto B, es necesarioestacionar y centrar el nivel exactamente en el punto A y medir la altura del instrumento con cintamtrica. Este proceso, adicionalmente a la imprecisin en la determinacin de la altura delinstrumento, toma ms tiempo que el empleado en la nivelacin geomtrica desde el medio;adems que a menos que dispongamos de un nivel de doble curvatura, no es posible eliminar elerror de inclinacin del eje de colimacin representado en la figura 6.8. l2lBB3 l1l2 2E3 Mira vertical 2 NIVELl1laHorizontal E2 AB = 1+ 2 + 3 1 HA 1 E1 BM-A QA Superficie de referencia a. Nivelacin compuesta desde el medio Mira vertical Mira vertical laHorizontallb Mira vertical Bh23 Horizontal l22 NIVEL h1 2AB= 1+ 2+ 3la Horizontall1 1hA1 A Superficie de referencia b. Nivelacin compuesta desde el extremoFigura 6.7. Nivelacin Geomtrica Compuesta Mira verticall BEje de colimacininadaNIVEL Visual inclHorizontal eilB hiB AFigura 6.8 Error de inclinacin del eje de colimacin 6-12 14. Leonardo Casanova M. Nivelacin6.5.2. Nivelacin Geomtrica Simple desde el MedioSupongamos ahora el caso de la nivelacin geomtrica simple desde el medio, representadoen la figura 6.6.a.En este tipo de nivelacin se estaciona y se centra el nivel en un punto intermedio,equidistante de los puntos A y B, no necesariamente dentro de la misma alineacin, y setoman lecturas a las miras colocadas en A y B. Luego el desnivel entre A y B ser:AB = lA lB (6.12)Ntese que en este procedimiento no es necesario estacionar el nivel en un puntopredefinido, ni medir la altura de la estacin (hi), lo que adems de agilizar el proceso,elimina la imprecisin en la determinacin de (hi).Para analizar el efecto del error de inclinacin del eje de colimacin en la nivelacingeomtrica desde el medio, nos apoyaremos en la figura 6.9.M ira verticall A ada l Bal i n c lin eiV is u eiNIVELlAHorizontal lB AB B A EDD Figura 6.9 Determinacin del error de inclinacin del eje de colimacinEstacionando el nivel en un punto E equidistante entre A y B, y colocando miras verticalesen ambos puntos, tomamos lecturas a las miras. De existir error de inclinacin, el eje decolimacin estara inclinado un ngulo con respecto a la horizontal, por lo que laslecturas a la mira seran lA y lB, generando el error de lectura ei, igual para ambas miraspor ser distancias equidistantes a la estacin.De la figura 6.9 tenemos que: AB = lA lB(6.12)en donde,lA = lA ei (A)6-13 15. Leonardo Casanova M. NivelacinlB = lB - ei (B)Reemplazando A y B en 6.12 AB = (lA ei) (lB ei)AB = lA lB(6.13)La ecuacin 6.13 nos indica que en la nivelacin geomtrica desde el medio, el error deinclinacin no afecta la determinacin del desnivel, siempre que se estacione el nivel en unpunto equidistante a las miras, no necesariamente en la misma alineacin.Las ventajas presentadas por el mtodo de nivelacin geomtrica desde el medio, hacen deeste el mtodo recomendado en los procesos de nivelacin.6.5.3. Nivelacin Geomtrica Compuesta desde el MedioLa nivelacin geomtrica compuesta desde el medio (figura 6.7.a), consiste en la aplicacinsucesiva de la nivelacin geomtrica simple desde el medio.En la figura 6.7.a, los puntos 1 y 2 representan los puntos de cambio (PC) o punto detransferencia de cota. El punto A es una Base de Medicin (BM) o punto de cota conocida.E1, E2 y E3 representan puntos de estacin ubicados en puntos equidistantes a las miras ylos valores de l representan las lecturas a la mira.El desnivel entre A y B vendr dado por la suma de los desniveles parciales A1 = lA l1 12 = l1 l2 2B = l2 - lB AB = A1 + 12 + 2B = (lA + l1+ l2) (l1 + l2 + lB)Si a lA, l1 y l2 le llamamos lecturas atrs (lAT) y a l1, l2 y lB lecturas adelante (lAD), tenemosque: AB = lAT - lAD (6.14)6-14 16. Leonardo Casanova M. NivelacinEjemplo 6.7Calcule las cotas de los puntos de la nivelacin representada en la figura E6-7.1,254 NIVEL 3,8752,7643,248 2,3543,527 BM-A 2,025 1,152QA=187,523 E1 2 E3B1 E4NAMPerfil E2 3E4 E1A B80,00 m82,50 m276,65 m 3 68,42 m1 Planta E3 E2Figura E6.7SolucinEn la figura E6-7 se han representado esquemticamente el perfil y la planta de lanivelacin a fin de recalcar que no es necesario que las estaciones estn dentro de laalineacin, ya que lo importante es que estn equidistantes a los puntos de mira, a fin deeliminar el error de inclinacin del eje de colimacin.El la tabla TE 6.7 se resume el proceso de clculo de la nivelacin propuesta.Tabla TE.6.71 2 345 6 Est.PVLATLADp Cotas E1 A 1,254187,52313,248-1,994 185,529E21 2,025185,52921,152+0,873 186,402E32 2,354186,40233,527-1,173 185,229E43 3,875185,229B2,764+1,111 186,340 9,508 10,691-1,183Dif.-1,183 Control 6-15 17. Leonardo Casanova M. NivelacinEn la tabla TE6.7, la columna 1 identifica los puntos de estacin, la columna 2 los puntosde ubicacin de la mira, las columnas 3 y 4 las lecturas atrs y adelante en los puntos decambio; en la columna 5 se han calculado los desniveles parciales p = LAT LAD y en lacolumna 6 se calculan las cotas de los puntos restantes a partir de la cota del puntoconocido (A) y los desniveles parciales.Como control, la suma de las lecturas atrs (columna 3) menos la suma de las lecturasadelante (columna 4) debe ser igual a la suma de los desniveles parciales (columna 5).6.6. Nivelacin de PerfilesEn ingeniera es comn hacer nivelaciones de alineaciones para proyectos de carreteras,canales, acueductos, etc. Estas nivelaciones reciben el nombre de nivelacin de perfileslongitudinales y se toman a lo largo del eje del proyecto.En el caso de nivelaciones para proyectos viales, la nivelacin se hace a lo largo del eje deproyecto con puntos de mira a cada 20 o 40 m, dependiendo del tipo de terreno ms en lospuntos de quiebre brusco del terreno.Los puntos de cambio y las estaciones deben ubicarse de manera de abarcar la mayorcantidad posible de puntos intermedios. Debe tenerse cuidado en la escogencia de lospuntos de cambio ya que stos son los puntos de enlace o de transferencia de cotas. Debenser puntos firmes en el terreno, o sobre estacas de madera, vigas de puentes, etc.Siendo los puntos de cambio puntos de transferencia de cotas, en ellos siempre sernecesario tomar una lectura adelante desde una estacin y una lectura atrs desde laestacin siguiente.En el ejemplo E6-8 demostramos el procedimiento de clculo de una nivelacin geomtricacon puntos intermedios, por el mtodo del horizonte.Ejemplo 6 .8Calcule las cotas de la nivelacin representada en la figura E6-8.SolucinEl clculo de las cotas por el mtodo del horizonte consiste en calcular la cota de la lnea devisual o eje de colimacin en cada uno de los puntos de estacin.La cota de la lnea de visual u horizonte para la estacin E1 ser la cota del punto A ms lalectura a la mira en el punto A. H = Q + lm (6.15)H = QA + LA = 887,752 + 0,528 = 888,280 6-16 18. Leonardo Casanova M. Nivelacin 1,832 3,427 0,5280,9741,573 1,532 0,7582,175 1,753 0,548 1,876 3,652 NIVELBM-A 6 1 PC1 B45 QA=887,752 E1 E2 8 NAM3 7 2 Figura E.6.8Luego, la cota de los puntos intermedios se calcula restando a la cota del horizonte laslecturas a la mira. Q = H - lm (6.16)Al hacer cambio de estacin es necesario calcular la nueva cota del horizonte sumando a lacota del punto de cambio la lectura a la mira en dicho punto de cambio.En la tabla TE6.8 se resume el proceso de clculo descritoTabla TE6.8 Est. PvLAT LINT LAD HorizonteCota E1A 0,528888,280887,752 11,832886,448 23,427884,853 31,573886,707 40,974887,306PC11,532 886,748 E2 PC10,758887,506886,748 51,753885,753 60,548886,958 73,652883,854 82,175885,331 B 1,876 885,630 1,286 3,408= -2,122ControlAB = LAT - LADAB = 1,286 3,408 = -2,122QB = QA + AB = 887,572 2,122QB = 885,6306-17 19. Leonardo Casanova M.Nivelacin6.7. Control de NivelacionesEn los ejemplos resueltos hasta el momento, solamente hemos podido comprobar lasoperaciones aritmticas y no la magnitud de los errores sistemticos y accidentales,inevitables en todo proceso topogrfico.Para poder determinar el error de cierre de una nivelacin, es necesario realizar unanivelacin cerrada (de ida y vuelta) o una nivelacin de enlace con puntos de control (BM)al inicio y al final de la nivelacin.6.7.1. Error de CierreEl error de cierre de una nivelacin depende de la precisin de los instrumentos utilizados,del nmero de estaciones y de puntos de cambio y del cuidado puesto en las lecturas ycolocacin de la mira.En una nivelacin cerrada, en donde el punto de llegada es el mismo punto de partida, lacota del punto inicial debe ser igual a la cota del punto final, es decir: la suma de losdesniveles debe ser igual a cero, tal y como se muestra en la figura 6.10.La diferencia entre la cota final y la inicial nos proporciona el error de cierre de lanivelacin En = Q f - Q i(6.17)El error de cierre tambin puede ser calculado por medio del desnivel total como: En = LAT - LAD(6.18)C BDE A APerfil BC ADPlantaE Figura 6.10. Nivelacin Cerrada6-18 20. Leonardo Casanova M. NivelacinLa nivelacin cerrada se puede realizar levantando los mismos puntos de ida y vuelta, o,preferiblemente, por caminos distintos, retornando siempre al punto inicial.En una nivelacin de enlace los puntos extremos forman parte de una red de nivelacin deprecisin, por lo que la cota o elevacin de sus puntos son conocidas.En este tipo de nivelacin, representada en la figura 6.11, la diferencia entre el desnivelmedido y el desnivel real nos proporciona el error de cierre.El desnivel medido se calcula por la ecuacin (6.14) AB = LAT - LADy el desnivel real reemplazando los valores de las cotas conocidas en la ecuacin (6.1)Luego el error de cierre serEn = (LAT - LAD) - (QB QA)(6.19)A A1 E1 1 AB12 E22 QA AB = A1 + 12 + 2B2BE3 B QB Figura 6.11 Nivelacin de enlace6.7.2. Tolerancia del Error de CierreLa tolerancia del error de cierre depende de la importancia del trabajo, de la precisin delos instrumentos a utilizar y de las normativas existentes.Las nivelaciones se pueden clasificar en nivelaciones de primer, segundo y tercer orden,siendo las de tercer orden las de uso comn en los trabajos de ingeniera.La tolerancia de cierre generalmente se expresa mediante la siguiente ecuacin:Tn = m K(6.20)6-19 21. Leonardo Casanova M. Nivelacinen donde:Tn = Tolerancia para el error de cierre en mmm = Valor dependiente de los instrumentos, mtodo y tipo de nivelacin requeridaK = Longitud total de la nivelacin en KmPara nivelaciones de tercer orden se recomienda un valor de m entre 12 y 15 mm.6.7.3. Compensacin de NivelacionesSi al comparar el error de cierre con la tolerancia resulta que este es mayor que latolerancia, se hace necesario repetir la nivelacin. En caso de verificarse que el error esmenor que la tolerancia se procede a la compensacin de la misma siguiendo uno de losmtodos de compensacin que se describen a continuacin:6.7.3.1.Compensacin proporcional a la distancia niveladaObservando la ecuacin (6.20) vemos que la tolerancia est en funcin de la distancianivelada, razn por la cual uno de los mtodos de ajuste de nivelaciones distribuye el erroren forma proporcional a las distancias. El procedimiento de clculo de compensacin denivelaciones por el mtodo proporcional se explica en detalle en el ejemplo E6-9.Ejemplo 6.9Calcule las cotas compensadas de la nivelacin cerrada mostrada en la figura E6-9. 1,6252,1740,917 0,4200,865 1,543 2,284 3,861 BM-A PC-2 2,736 2,0431,6380,937BM-AQ=187,526E1E3PC-1 E260,00 160,0070,0040,00 150,00 50,00 80,00 140,00 80,00 Figura E6-9SolucinPor tratarse de una nivelacin cerrada, el error de nivelacin En = LAT - LADEn nuestro ejemplo (ver tabla TE6.9.1): En = 5,226 5,218 = 0,008 m = 8 mm 6-20 22. Leonardo Casanova M.NivelacinTn = 15 0,830 = 10,9mmSiendo Tn > En procedemos a compensar el error proporcionalmente a la distancia niveladasobre los puntos de cambio. Ntese que en este mtodo de compensacin proporcional a ladistancia nivelada, el punto A debe ser considerado punto de cambio.290 C1 = x0,008 = 0,003830530 C2 = x0,008 = 0,005830830 C1 = x0,008 = 0,008830La tabla TE6.9. resume el proceso del clculo de compensacin de las cotas de lanivelacin.Tabla TE6.9.Est. PV Dist. P Dist. AcLAT LINT LAD Horiz CotasComp Cotas Calculadascomp.A -- 0,00 0,865188,391187,526 --187,526 E1 160,0060,001,543186,848 --186,8482 160,00 120,002,284186,107 --186,107 PC1 70,00 290,003,861184,530 -0,003184,527 PC1----2,736187,266184,530 -0,003184,527 E2 340,00 330,002,043185,223 -0,003185,2204 150,00 480,001,638185,628 -0,003185,625 PC2 50,00 530,000,937186,329 -0,005186,324 PC2----1,625187,954186,329 -0,005186,324 E3 580,00 610,002,174185,780 -0,005185,7756 140,00 750,000,917187,037 -0,005187,032A80,00 830,000,420187,534 -0,008187,526 5,2265,218187,526Dif. + 0,008 Dif. + 0,008En este procedimiento se asume que los errores se cometen en las lecturas adelante opuntos de cambio, afectando la cota del horizonte de las estaciones, por lo que lascorrecciones a los puntos intermedios se mantienen constantes hasta el siguiente punto decambio.6.7.3.2.Compensacin sobre los puntos de cambioEste mtodo, ms sencillo que el anterior, supone que el error se comete sobre los puntos decambio y que es independiente de la distancia nivelada, por lo que la correccin ser:En C= (6.21)N 6-21 23. Leonardo Casanova M.NivelacinSiendo N el nmero de puntos de cambioEjemplo 6.10Resolver el ejemplo E6-9 por el mtodo de los puntos de cambio.SolucinEl error y la tolerancia son los mismos del ejemplo anterior. La correccin se calcula segnla ecuacin 6.21. 0,008 C= = 0,004 m por punto de cambio 2En la tabla TE6.10 se resume el proceso de clculo de compensacin de las cotas de lanivelacin.Tabla TE6.10 Est. PV Dist. P Dist. Ac LATLINTLAD Comp.horiz. Cotas comp. A --0,00 0,865 188,391 187,526 E1160,00 60,001,543186,848 2 160,00120,002,284186,107PC1 70,00290,003,861 -0,004 184,526PC1---- 2,736 187,262 184,526 E2340,00330,002,043185,219 4 150,00480,001,638185,624PC2 50,00530,000,937 -0,004 186,321PC2---- 1,625 187,946 186,321 E3580,00610,002,174185,772 6 140,00750,000,917187,029 A80,00830,000,420187,526 5,2265,218 -0,008Dif.+ 0,008Ejemplo 6.11La tabla TE6.11.1 corresponde a la libreta de campo de una nivelacin de enlace entre dospuntos de cota conocida. Calcule el error de cierre y las cotas compensadas de los puntosintermedios de la nivelacin por cada uno de los mtodos descritos.SolucinComo es lo usual y recomendable, resolveremos el problema directamente sobre la libretade campo.6-22 24. Leonardo Casanova MNivelacin Tabla E6.11 Mtodo de los puntos deDatos de campoMtodo proporcionalcambioCotasCotasEst PVDist. P. Dist. Ac. LATLINTLAD HorizCorr.Corr.Horiz.CotasCalc.comp. E1A 0,00 0,00 2,125285,837283,712283,712285,837283,712 1 120,00 120,001,476284,361 -0,002 284,359 -0,004284,357 1 0,520284,881284,361 -0,002 284,359284,877284,357 260,00 180,001,563283,318 -0,002 283,316 283,314 E2342,00 222,002,042282,839 -0,002 282,837 282,835 465,00 287,002,953281,928 -0,004 281,924 -0,004281,920 4 -- -- 3,162285,090281,928 -0,004 281,924285,082281,920 580,00 367,002,850282,240 -0,004 282,236 282,232 E3695,00 462,001,644283,446 -0,004 283,442 283,438 798,00 560,000,761284,329 -0,007 284,322 -0,004284,317 7 -- -- 1,746286,075284,329 -0,007 284,322286,063284,317 8 100,00 660,000,879285,196 -0,007 285,189 285.184 E49 120,00 780,001,463284,612 -0,007 284,605 284,600 B 120,00 900,002,432283,643 -0,012 283,631 283,6317,5537,622QB283,631 -0,012Dif. -0,069Dif.+0,012En = (LAT - LAD) (QB QA)LAT - LAD = -0,069AB = 283,631 283,712 = -0,081En = - 0,069 (-0,081) = + 0,012Tn = 15 0,900 = 14,23mmEn < TNEn0 ,012 C=== 0 ,004 N3 x(0,012) = 0,002 120 x(0 ,012 ) = 0 ,007C1 = 560C3 = 900 900 x(0 ,012 ) = 0 ,004 287 x(0 ,012 ) = 0 ,012C2 = 900C4 = 900 9006-23 25. Leonardo Casanova M.Nivelacin6.8. Clculo y Ajuste del Error de InclinacinEn nivelaciones compuestas, con puntos intermedios, no es posible establecer la equidistancia atodos los puntos de mira, por lo que en caso de una eventual inclinacin del eje de colimacin, lamayora de las lecturas a la mira quedaran afectadas de error.A pesar de que algunos niveles vienen equipados con nivel trico de doble curvatura, siendoposible efectuar lecturas a la mira en dos posiciones conjugadas, anulando el error de lectura deinclinacin del eje de colimacin, como se demuestra en la figura 6.12, este procedimiento sehace imprctico, ya que duplica el nmero de lecturas necesarias. Corte A-A Pos. Dir. Nivel trico de doble curvatura Pos. Inv.Pos. DirectalePos. Dir. l Pos. Invertidae l BPos. Inv. ABALB= LBD - eLB= LBI + e(6.22)LBD + LBI2 LB= LBD + LBI ==> LB= 2 Figura 6.12 Nivelacin con nivel trico de doble curvaturaLa ecuacin 6.22 nos indica que el promedio de las lecturas a la mira efectuadas con nivel tricode doble curvatura en las dos posiciones del nivel elimina el error por inclinacin del eje decolimacin proporcionando la lectura correcta a la mira.Lo dicho anteriormente nos indica la conveniencia de establecer algn mtodo para determinar yajustar el error por inclinacin.De los diferentes mtodos propuestos, se considera al mtodo de la doble distancia connivelacin desde el medio el mtodo mas prctico y preciso, por lo que ser el mtodo cuyoproceso describiremos a continuacin con el auxilio de la figura 6.13a.Establecemos un alineamiento ABC, de manera que la distancia AB = BC = D (figura6.13).b.Estacionando el nivel en un punto medio entre BC (D/2), determinamos el desnivel exactoentre BC por nivelacin desde el medio.c.Estacionando el nivel en A tomamos lecturas a miras colocadas en B y C. 6-24 26. Leonardo Casanova M.Nivelacind. Si el nivel est afectado por inclinacin del eje de colimacin, digamos un ngulo con respecto a la horizontal (figura 6.13.b), las lecturas a la mira estarn afectadas por el error de inclinacin como se muestra en la figura 6.13.b, siendo: LB = LB- eLC = LC 2ee.Con las lecturas obtenidas y aplicando la ecuacin 6.12 determinamos el BCBC = LB LC = (LB e) (LC 2e)Simplificando y despejando e nos queda: e = BC (LB LC)(6.23)f. Con el valor de e se calcula la lectura correcta LB = LB e y actuando sobre el tornillo basculante del nivel (figura 2.29.a) imponemos la lectura corregida.g. Como en el paso anterior la burbuja queda descorregida, calamos nuevamente la burbuja con el tornillo de correccin [C] (figura 2.26).C BCB A D/2 D/2(a)D D lB lC e2e lBlCC(b) BCB A 2DFigura 6.13 Clculo del error por inclinacin6-25 27. Leonardo Casanova M.NivelacinProblemas Propuestos6.1. Con los datos de la figura P6-1 calcule el desnivel entre los puntos A y B y la cota del punto B. = 8532L m =2,543 2m Di=154,3Bh i =1,60AQ =1.035,243 A Figura P6-16.2. En el proceso de nivelacin de los vrtices de una triangulacin se requiere calcular el desnivel entre dos puntos separados una distancia de 1.230,436 m, por lo que se hace necesario calcular el error por curvatura y refraccin (ecr). Con los datos de la figura P6-2 calcule la cota del punto B libre del ecr. = 983212" K=0,16 L s 4,0 mhi =1,57 BAQ =1.254,326 AD=1.230,436 m Figura P6-2 6-26 28. Leonardo Casanova M.Nivelacin6.3. Calcule el desnivel y la distancia entre los puntos A y B mostrados en la figura P6-3.l m = 5,003820 H= 5,0 m - 1614 hi =1,52 BABA D Figura P6-36.4. Los datos de la tabla anexa corresponden a una nivelacin por taquimetra realizada con un teodolito que mide ngulos cenitales. Si la cota del punto de estacin es 1.570,431 y la altura del instrumento es 1,545, calcule las cotas de los puntos visados.Est.PV HV LsLm Li Obs A 187061,5650,523 h = 1,545 291022,4961,875 Q = 1.570,431 395163,2562,431 479212,3411,582 B86452,6761,876 BA 93151,2430,443 h = 1,600 591421,6351,000 682162,0421,000 789543,5812,000 6-27 29. Leonardo Casanova M. Nivelacin6.5. Demuestre analticamente que bajo las condiciones impuestas en la figura inferior, el desnivel entre A y B no queda afectado por el error de inclinacin del eje de colimacin. Suponga: a)Una inclinacin (+) del eje de colimacin. b)Las lecturas desde E1 y E2 fueron tomadas con el mismo instrumento. c)Las distancias E1-A y E2-B son iguales. AB B E2E1ADD Figura P6-56.6. Calcule los desniveles parciales y las cotas compensadas de la nivelacin de la figura P6-6 2,124 1,270 2,8512,104 1,943 1,0730,8521,573E4 BM-2E1 Q=177,079 E3 BM-1 E2 Q=175,321 Figura P6-66-28 30. Leonardo Casanova M. Nivelacin6.7. Calcule el error de cierre En y las cotas compensadas de la nivelacin de la tabla anexa. Utilice los mtodos de compensacin estudiados. Est.PVDist. P. Dist. Ac.LAT LINTLAD Horiz CotasBM-10,002,851 175,321 E1 2 20,002,4353 40,002,1043 0,852 E2 4 40,001,0535 65,001,4256 55,001,5736 1,943 E3 7 80,001,5108 80,001,0738 2,124 E4 9 60,001,872 10 60,001,541BM-280,001,270177,0796.8. En la nivelacin de un perfil que pasa por debajo de una estructura existente, se localiz un punto de referencia en el borde inferior de una viga, tal y como se muestra en la figura P6-8. Calcule las cotas de los puntos 1, 2 3.Mira en posicin Ref-1invertida254,328 3,185 2,7633,2502,1372,461 3,875 E3E2 3 E121Figura P6-86-29