Capítulo 6 (Ultimo)

Capítulo 6

EL AGUA EN LA GEOSFERA

Con esta expresión se quiere mencionar el contenido de agua presente en todos los espacios que deja la fase sólida de los suelos y de las rocas, que es una muy pequeña parte de la hidrosfera. Se puede asumir que la fase sólida le da la estructura a los diferentes estratos de suelo o de roca, y el agua hace parte de los vacíos y su interacción con los componentes minerales modifican o fortalecen la estructura por los cambios mineralógicos que se pueden presentar en la parte sólida de los suelos y rocas al estar en contacto con el agua en el flujo que se genera al interior del continuo, que la presencia del agua en un depósito interfiere en su comportamiento geomecánico, pues no solo modifica la condición de esfuerzos sino que cambia algunas propiedades.

El agua esta presente en un suelo o en una roca, porque quedó involucrada en su formación o por infiltración que proviene del agua lluvia, de corrientes subterraneas de agua o hielo, de lagos o del mar, este flujo del agua a través de los suelos y las rocas hace parte de el ciclo hidrológico del agua.

6.1 CICLO HIDROLÓGICO En la superficie terrestre o geósfera, el agua se encuentra contenida en un espacio llamado hidrosfera que se extiende desde unos 15 Km, arriba de la atmósfera hasta aproximadamente 1 Km por debajo de la corteza terrestre. La circulación del agua en los diferentes estados, a través de un laberinto de caminos en la hidrosfera se conoce como ciclo hidrológico. Este no tiene ni principio ni fin y sus diversos procesos como la precipitación, escorrentia, infiltración, evaporación y evapotranspiración ocurren en forma simultanea y continua. La interacción agua suelo, o agua roca tiene que ver con este ciclo, y el comportamiento geomecanico de estos materiales depende en gran medida del contenido de agua que se encuentre haciendo parte del deposito, del estrato o parte de la estructura como en el caso de los suelos finos. Resulta de gran importancia el estudio de la interacción suelo-agua, roca agua para lograr resultados satisfactorios en el diseño de obras en ingeniería. En la Figura 6.1 se presenta un perfil estratigráfico de suelo donde aparecen las diferentes zonas que se presentan en el material subyaciente por efecto de la infiltración o del flujo de agua a través de la estructura comformada por los solidos de los suelos y las rocas .

El agua en la geosfera

Figura 6.1 Disposición del agua en un perfil estratigráfico

Del análisis global del ciclo hidrológico, se puede definir que para cada 100 unidades de volumen de precipitación terrestre 61 retornan directamente a la atmósfera por procesos de evaporación y evapotranspiración , de las 39 unidades restantes 38 se convierten en flujo subsuperficial y superficial, la unidad restante percola para recargar el agua subterránea, es decir de 39 unidades que llegan a la superficie terrestre , solamente una unidad alimenta el nivel freático. En los estudios geotécnicos reviste gran importancia la intensidad, frecuencia y duración de la precipitación, e interacción con los depósitos de suelo o roca en el sitio donde se va a desarrollar un proyecto, en este capítulo se presentan algunos metodologías, utilizadas para cuantificar la acción del agua en la determinación del comportamiento de los suelos y rocas que son utilizados en las obras de ingeniería.

6.1.1 Infiltración del agua en los suelosLa infiltración o percolación y el flujo subterráneo dan origen en un determinado lugar a la saturación del material, esto se denomina nivel freático, y puede definirse como el lugar geométrico de los puntos en los que la presión del agua que se encuentra en los espacios de depósitos de suelo o mantos rocosos es la presión atmosférica, en el caso de análisis de esfuerzos, esta presión se toma como nula. El nivel freático corresponde al lugar geométrico de las alturas o cotas que alcanza la superficie del agua en pozos de observación que tienen comunicación libre con las perforaciones hechas desde la superficie. Por debajo del nivel freático, la presión del agua es positiva, ya que los poros se encuentran totalmente saturados, por encima del nivel freático existe el agua capilar, cuya presión es negativa, parte de esta zona está semisaturada. Luego de la zona

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Agua a presión (si estuviera presente)

Capa vegetal – zona vegetal

Agua

vad

osa

Borde capilar

Superficie freática Nivel freático

Agua subterránea

S= 100%

S< 100%hc

Nivel del terreno

Superficie continua

Estrato impermeable Funciona como sello


capilar se encuentra el “agua de contacto”, sin comunicación con la zona inferior y el terreno naturalmente seco.

Por debajo del nivel freático los vacíos del suelo se encuentran totalmente llenos de agua, esta franja se conoce como zona saturada la cual se extiende a profundidades considerables y dependen en gran medida de la estratigrafía del suelo. El agua contenida en los vacíos por encima del nivel freático puede deberse simplemente a la infiltración y percolación de las aguas lluvias provenientes de la superficie del terreno o puede ser resultado de la ascensión capilar del agua que se encuentra por debajo del nivel freático. Esta zona se puede considerar como zona semisaturada, con presión negativa es una zona donde se encuentran las tres fases.

6.1.2 Zonas no continuas de nivel de aguaTambién conocida como nivel freático “colgado” y se presenta en sectores con condiciones geotécnicas especiales. Esta se presenta cuando el agua no logra alcanzar el mismo nivel o cota freático en todo el sector, debido a la existencia de estratos verticales con diferente permeabilidad que funcionan como sellos por el cambio de material. También puede ser parcialmente retenida por fuerzas de tensión superficial en capas superiores del suelo . Esta situacion es pòsible encontrarla en la intercalacion de estratos permeables e impermeables que tienen angulos de buzamiento en las zonas de falla , o brecha de falla donde el material de rrelleno puede estar suelto y presenta una mayor permeabilidad que le material rocoso .

6.1.3 Usos del agua infiltradaUna de las principales características de la zona saturada es la presencia de depósitos de agua subterránea, las cuales pueden ser aprovechadas para el consumo humano, agrícola, industrial etc. La obtención de esta agua puede realizarse por medio de bombeo, o únicamente con la perforación si estas están sometidas a grandes cargas hidrostáticas: análogamente, cuando existen estas cargas, la obtención es menos costosa y se realiza por medio de pozos artesianos. Como ejemplo puede citarse a la ciudad de Tunja la cual al encontrarse en el eje de un sinclinal y por la estratigrafía presente, favorece el almacenamiento de agua en estratos permeables que se recargan por la parte alta y permiten el abastecimiento de la ciudad (Figura 6.2), debido a la calidad del agua y a la presión hidrostática en los ejes del sinclinal.

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Es prudente destacar que

la zona saturada es factible solo hasta cierta profundidad, pues a grandes profundidades las presiones son muy altas, e inclusive en las rocas resistentes pueden generar flujo plástico de material y como consecuencia todos los poros están cerrados.

El proceso de obtención del agua subterránea, como quiera que proporciona una mitigación en la demanda de agua en algunos sectores, también debido al acelerado proceso de abatimiento del nivel freático puede ocasionar perjuicios si no se extrae técnicamente, ya sea en las construcciones del sector ,hundimiento y debilitamiento de las estructuras, como en la influencia directa del proceso de desertificación de la zona.

Además del abatimiento del nivel freático por extracción también se presenta el abatimiento del nivel freatico debido a la construcción de viviendas y deforestación en las zonas altas, lo cual ocasiona un sellamiento de las zonas en las cuales se recargan los acuíferos, impideiendo la recarga natural . El agua puede infiltrarse en la corteza terrestre en algunos sectores hasta grandes profundidades, llegando incluso a tener contacto con el magma, debido a lo cual asciende en forma de vapor a presiones y temperaturas superiores alos 90º éstas vienen, además, con alta concentración salina,y se denoninan Géiser. Por ello se presentan los manantiales de agua caliente.

Mientras el agua filtra al interior de la tierra a través de conductos o tubos, en las rocas esta infiltración se presenta por las grietas y la acción física y química del agua hace que dichas grietas se agranden y aíslen en bloques, o formen cavidades alrededor y dentro de ellas, por las que el agua genera un flujo.

6.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE FLUJO EN MEDIOS POROSOS A continuación se presentan algunas definiciones basicas de mecánica de fluidos de acuerdo a los requerimientos de este capítulo. Al movimiento del agua dentro de la estructura del suelo o de las rocas se le denomina FLUJO en medio poroso;

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Figura 6.2 Condiciones necesarias para agua artesiana

Eje sinclinal


donde el fluido es el agua y el medio poroso son los estratos de suelos y de rocas.La generacion de flujo por este medio es funcion del gradiente de altura en el medio continuo y de la permeabilidad del material.

6.2.1 Descripción del movimiento del aguaEl conocimiento del flujo en una dos o tres dimensiones ofrece una visión más amplia de muchas situaciones reales favorables y desfavorables para la estabilidad de obras y que son debidas al movimiento del agua en el interior de los depósitos donde se proyectan obras. En la Figura 6.3, se muestra el flujo generado en suelos y rocas saturadas, por el desarrollo la misma obra lo cual debe ser analizado durante la etapa del diseño .

Figura 6.3 Flujo generado por el desarrollo de obras.

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Pantalla

Estructura

N.T.

Flujo bajo presas de concreto

Nivel del agua

Altura del aguaPresa

Dirección del flujo


tablestacas

Ataguías

Altura del agua Altura del agua

Nivel del fondo del cauce

Flujo en taludes

N.F.


Ladera natural

Nivel del terreno

Flujo a través de presas


Presa

Nivel del aguaLínea superior de infiltración

Nivel de fundación

Nivel de excavación

N.F. N.T.Excavaciones

Cortes verticalesMaterial saturado



Para este capítulo resulta útil dar la definición de los diferentes tipos de flujo y las condiciones en las que se generan para el estudio de las propuestas en la determinación de la cantidad de agua que fluye por los depositos. Una aplicación directa en este campo es la elaboración de redes bidimensionales de flujo en estructuras como las mostradas en la Figura 6.3.

Una de las consideraciones a tener en cuenta en el desarrollo de modelos para la cuantificación del flujo, es si este es unidimensional, bidimensional o tridimensional, en la Figura 6.4 se presentan varios esquemas que aclaran estos conceptos.

Figura 6.4 Tipos de Flujos

6.2.2 Permeabilidad Es la facilidad con que se mueve el fluido en un medio poroso o la resistencia que el medio poroso presenta al desarrollo del flujo;en un suelo granular , este posee particulas de tamaño considerable, de manera que los espacios entre particulas tambien son mas grandes y el agua fluira con mas facilidad, mientras que un suelo fino como una arcilla el tamaño de las particulas es de micras y los poros resultan muy pequeños luego el agua encuentra dificultades circular esto se convierte en una característica física de los suelos y de las rocas que debe ser evaluada en los depositos donde se desarrollan diferentes obras civiles. En las rocas resulta importante hablar de una permeabilidad primaria que es la que se presenta por el material intacto y permeabilidad secundariala generada por las discontinuidades que tiene mayor importancia y es por donde se genera el flujo; la permeabilidad propiedad que da origen al flujo resulta importante para:

La evaluación de la cantidad de filtración a través o por debajo de presas y diques. La evaluación de la subpresión o fuerzas de filtración bajo estructuras hidráulicas para un análisis de estabilidad.La provisión de un control de las velocidades de filtración de manera que las partículas de grano fino no sean erosionadas de la masa del suelo.Velocidad de deformación vertical de un estrato de suelo o asentamiento (Consolidación) en los que el cambio de volumen del suelo ocurre a medida que el agua sale de los poros o estructura del suelo, como un proceso de deformación viscoelastica debido a una carga aplicada.

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x

y y

x

y

x

Placa movil

Flujo UnidimensionalVx=Vx(x)

Flujo BidimensionalVx=Vx(x,y)

Flujo unidimensionalVx=Vx(y)

V x V x

Flujo Irrotacional Flujo Rotacional


Presiones hidrostáticas sobre estructuras, o sobre superficies de falla en suelos y rocas.

De los valores de permeabilidad presentados en él capitulo dos se tienen los siguientes rangos, de acuerdo al tipo de material y a su estado:

Tipo de Suelo K(cm/s)Grava mal gradada > 1

Grava Uniforme 0.2 - 1

Grava bien Gradada 0.05 - 0.3

Arena uniforme 5x10-3 - 0.2

Arena bien gradada 10-3 - 0.1

Arena limosa 10-3 - 5x10-3

Arena arcillosa 10-4 - 10-3

Limo bajo plasticidad 5x10-5 - 10-4

Arcillas bajo plasticidad 10-5 - 10-8

Arcillas alto plasticidad <10 - 8

6.2.3 Tipos de FlujoRepresenta una de las condiciones en que se genera el paso del agua a través de los espacios intersticiales y puede ser:

De acuerdo al investigador Osborne Reynolds el flujo del agua puede producirse en dos estados característicos diferentes: flujo laminar y flujo turbulento.

Flujo laminar: Es ordenado y se presenta en capas o laminas, donde cada partícula sigue una trayectoria definida sin cruzarse con la trayectoria de otra. Este tipo de flujo ocurre por ejemplo, en suelos y rocas para NR12 y en tuberías rectas donde el NR 2100, este es un parámetro establecido por el investigador para establecer las fronteras de este tipo de flujo en diferentes medios. La expresión propuesta (6.1), incluye como variables la velocidad v, diametro (d), densidad del agua (), y viscosidad cinematica ().

(6.1)

Flujo Turbulento. Las trayectorias de las partículas se entrecruzan al azar, debido a las velocidades a las que se presenta el flujo y a los conductos por donde se desarrolla el flujo.

Flujo Transitorio: Tambien se le denomina flujo no permanente y se presenta cuando en un canal abierto la profundidad del flujo en un sitio determinado varia en función del tiempo, pasa de valores iniciales YNi a valores finales YN.

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Flujo Estacionario. O flujo permanente se presenta cuando el la profundidad del flujo se vuelve independiente del tiempo, con lo cual la profundidad normal en un sitio determinado permanece constante. Para el caso de flujo a través del medio poroso resulta conveniente considerar el flujo, de este tipo, con lo cual se significa que la presión intersticial en la masa del suelo se equilibra de acuerdo a las nuevas condiciones de frontera y no cambia. La velocidad a la cual la presión intersticial se ajusta a los nuevos valores de equilibrio depende del tipo del suelo. A excepción de las gravas y arenas gruesas, el movimiento del agua a través del suelo y sus variaciones respecto al tiempo suelen ser muy lentos.

Un fluido circula por el suelo a través de los poros, los cuales están conectados de una manera en extremo compleja y aleatoria que origina canales de flujo estrechos e irregulares, por esta razón es muy difícil analizar el flujo en cada poro, ver figura 6.3. En problemas de ingeniería en los que se estudia la infiltración del agua en un suelo, se estudia un macro flujo a través de todos los poros en forma general. Es conveniente tener en cuenta que a medida que vamos descendiendo, las presiones aumentan y se van cerrando los poros; a altas profundidades el agua sólo puede existir combinada químicamente.

Si se considera un campo de flujos, en mecánica de fluidos referido a su velocidad, este campo puede ser clasificado como:

Flujo permanente o estable: Las variables no son funciones del tiempo , o

en un punto determinado. dy/dt = 0 Flujo inestable: Las variables cambian con el tiempo dy/dt 0 Flujo uniforme: Cuando no se presenta variaciones con respecto a las

coordenadas dy/dx = 0, es decir la profundidad del flujo es constante a todo lo largo del canal. Este puede ser función del tiempo. La no uniformidad se presenta cerca de las fronteras sólidas por efecto de la viscosidad.

En ingeniería se hacen simplificaciones para darle soluciones aproximadas a algunos flujos. Desde este punto de vista podemos asimilar que estos pueden ser:

Flujo unidimensional. Es función únicamente de una coordenada espacial y del tiempo. En este caso el vector velocidad V=V(x) puede ser unidimensional y no permanente, entonces V=V(x,t).

Flujo bidimensional no permanente. Se presenta en dos coordenadas espaciales y el tiempo.

Flujo tridimensional. Se presenta en las tres coordenadas espaciales y el tiempo. Estos flujos pueden ser permanentes y no permanentes.

Flujo compresible. Cuando varia su densidad con el tiempo o con su posición.

Flujo incompresible. Su densidad es constante, permanente, independiente del tiempo.

Flujo irrotacional . Si el fluido no tiende a girar en su movimiento.

Flujo Rotacional. Si al estar en movimiento sus partículas tienden a girar.

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Puesto que los espacios intermoleculares de los suelos y las rocas, que son los sitios por donde se presenta el flujo, son pequeños, las velocidades de los fluidos son bajas y por consiguiente en casi todos los casos se puede asumir que el flujo es “Laminar permanente y uniforme”.

6.3 LEY DE DARCYEl francés Henry Darcy alrededor de 1856, realizó diversos estudios para determinar el patrón de flujo en medios porosos, como arenas y gravas. En la Figura 6.5 se observa en forma simplificada el montaje hecho para la ejecución de los ensayo. De diversos ensayos realizados, donde modificaba, el area de la muestra, h o cabeza de potencia y la ongitud de la muestra, Darcy concluyó que el caudal (q) que pasa a través de un suelo es directamente proporcional a la sección transversal (A) y a la diferencia de cabeza total (h) e inversamente proporcional a la longitud (L) (espesor del suelo); expresión (6.2) K resulta ser una constante de proporcionalidad que cambia cuando se toma una muestra de suelo. K se denominó constante de permeabilidad del material ensayado.

o (6.2)

Figura 6.5 Montaje para la ley de Darcy

h es definida como la perdida de potencial del agua al atravesar la muestra de suelo y se cuantifica como la diferencia de la cabeza en el punto 1 (entrada), menos la cabeza en el punto 2 (salida), es la cabeza o potencial del fluido en el medio y esta dada por la expresión h1 = he1 + hp1 + hv1 (6.3); y tiene como unidad de medida el metro. Donde:

he1 es la cabeza de posición con respecto al datum.hp1 es la cabeza de presión marcada por un intrumento de medida o el piezómetro.

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h

hp 1

Zhe 2

he 1

hp 1

L

hp 2

P

1

2Recipiente graduadopara medir volumen

Nivel de referencia (Datum)


hv1 es la cabeza de velocidad en el caso de flujo en medios porosos se

puede tomar como cero segun los valores de permeabilidad para diferentes suelos.Debido a que las velocidades que se desarrollan en el medio poroso son muy bajas: h2 = he2+ hp2 + hv2

Donde:he2 es la cabeza de posición o cabeza geometrica con respecto al datum, a la salida de la muestra.hp2 es la cabeza de presión en la salida de la muestra.

hv2 es la cabeza de velocidad , de esta forma la diferencia de potencial es:

h = he1 + hp1 - he2 - hp2 (6.4)

En la Figura 6.6 se presenta un corte transversal de una tubería o conducto por el cual se presenta un flujo, en la direción de flujo se han tomado dos puntos de control y se ha trazado el potencial para cada punto, la línea que une estos dos puntos se denomina línea de energía.

Figura 6.6 Ecuación de energía

En la Figura 6.6 se muestran las tres componentes de la cabeza o potencial en los puntos uno(B) y dos (C) de la tubería. La ecuación propuesta por Darcy (6.2) se convierte en la expresión (6.5).

o (6.5)

Expresión empírica donde:K: Coeficiente de permeabilidad y se determina mediante experimentaciónA: Área o sección transversal del medio por la que circula el aguah: Pérdida de cabeza o potencial debida al flujoL: Longitud de la muestra que recorre el agua

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Nivel del Terreno

Volumen de Control


6.3.1 Gradiente hidráulico Al observar en la Figura 6.6 la linea del gradiente hidraulico, se observa que la pendiente se esta linea esta dada por la expresión (6.6) y puede definirse como la tasa de pérdida de cabeza por unidad de longitud que presenta el agua por el flujo a través del suelo o de la roca. Para flujo unidimensional el gradiente hidraulico (i), es el cociente de la perdida de potencial entre la longitud recorrida.

(6.6)

El rango en que se encuentra el gradiente hidráulico determina muchas condiciones del flujo y la posibilidad de producir erosión interna o arrastre de partículas por la velocidad que alcanza el fluido. En general para flujo tridimensional el gradiente puede definirse como la variación del potencial en cada dirección, lo cual corresponde a la derivada parcial del potencial con respecto a cada dirección; o a la pendiente de la línea de energía en la misma dirección que se evaluó el flujo, y se puede determinar con las expresiones (6.7).

(6.7)

Donde h es la función del potencial del agua; estas expresiones representan un campo vectorial en el continuó, teniendo en cuenta la direccion del flujo y las perdidas de energía.

6.3.2 Velocidad de flujoEs la distancia que recorre un determinado volumen de agua dentro del medio poroso en la unidad de tiempo. La expresión (6.8) hace parte de la fórmula propuesta por Darcy para flujo unidimensional (expresión (6.5)), reemplazando h/L por gradiente hidraulico. Esta es la expresión más conocida como la Ley de Darcy donde V es la velocidad; K la permeabilidad; e i el gradiente hidráulico.

V=Ki o (6.8)

6.3.3 Validez de la ley de DarcyLa ley de Darcy es aplicable siempre que se cumplan ciertas condiciones en el medio, en el cual se presenta el flujo: El medio poroso es microscópicamente continuo. El análisis diferencial es aplicable al flujo microscópico de un fluido a través de

un medio con poros de tamaño finito. Las fuerzas de inercia son despreciables respecto a las fuerzas de viscosidad. Los poros están saturados( suelos o depopdito saturados). Existe proporcionalidad entre el esfuerzo de corte aplicado al fluido y la

velocidad de deformación de un punto a otro. El sólido poroso es rígido. El sólido poroso es microscópicamente isótropo.

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En los depositos de suelo o roca, estas condiciones de alguna manera se ajustan a las características de estos medio. Condiciones como la estratificación, son casos particulares que pueden analiserse por estratos, o la globalidad con algunas modificaciones.

6.3.4 Límites de la ley de DarcyLa ley de Darcy puede cumplirse para suelos y rocas, según varias investigaciones en las siguientes condiciones de flujo. Cuando el número de Reynolds oscila entre 1 y 12, en la expresión (6.1) propuesta para la evaluación de este parametro adimensional, para el caso de flujo en un medio poroso aparece una modificación en esta, como aparece en la expresión (6.9).

(6.9)

Donde NR es el número de Reynolds; V la velocidad del flujo; D el diámetro de la partícula; la densidad del fluido y el coeficiente de viscosidad cinematica del fluido.

En esta expresion se conserva el concepto que el numero de Reynolds es la relación de las fuerzas de inersia y las viscosidades del fluido. Si el valor del número de Reynolds supera los valores anteriormente indicados, crece la importancia de las fuerzas inerciales en el flujo y se presenta diferencias entre lo observado y lo porpuesto con la expresión de Darcy. Algunos investigadores proponen que en este caso es necesario modificar el valor del gradiente hidraulico, teniendo en cuenta la expresión cuadratica: i = a+by2 (6.10); donde a y b son constantes, y representa en mejor forma cuando el flujo es turbulento; pues en este caso la pérdida de carga hidráulica crece con la velocidad en forma no lineal.

En un medio poroso para NR entre 60 y 180 el flujo se hace turbulento y muchas de las deducciones o modelos matematicos planteados no son aplicables. En opinión de muchos autores el número de Reynolds en depositos de suelos finos como arcillas, limos y arenas finas se mantiene en la práctica inferior a 12, excepto en gravas y arenas gruesas o en flujo por las discontinuidades de un macizo rocoso donde supera este valor y el flujo llega a ser turbulento, en este estado se observan diferencias del modelo matematico con observaciones de flujo. En general se considera que la ley de Darcy es realmente valida para numeros de Reynolds menores de 4.

6.3.5 Ley de Darcy en suelos parcialmente saturados En los poros de un suelo parcialmente saturado existen dos fluidos: agua y aire. La ley de Darcy ha sido obtenida solamente para un fluido, además las burbujas de aire taponan parte de los poros en que se encuentran y no permite el paso del líquido cuando éste es permanente, por esta razón la ley de Darcy no es aplicable para suelos parcialmente saturados; en este tipo de suelo y en condiciones de flujo permanente, el coeficiente de permeabilidad aumenta con el tiempo y con el paso del agua que va arrastrando el aire atrapado y llenando los vacios con agua, hasta alcanzar la saturación del material y el valor máximo de permeabilidad.

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El coeficiente de permeabilidad también aumenta con la presión del líquido, en la actualidad se han desarrollado estudios para suelos semisaturados, y se hace necesario continuar estudios y determinar el comportamiento real de los suelos semisaturados, los cuales no se tratan en este capítulo.

6.3.6 Ley de Darcy en materiales saturadosExisten teorías que complementan lo expuesto por Darcy para las situaciones en las que las expresiones propuestas no reflejan el comportamiento del flujo en ese medio continuo, existen experiencias donde las expresiones vistas no son aplicables por las mismas limitaciones propuestas por Darcy,como la misma saturacion. A continuación se transcriben dos expresiones que complementan la propuesta de Darcy para casos especiales.

Primera teoriaEl gradiente hidráulico no es una constante para un mismo recorrido del flujo en un medio poroso a pesar que las condicionesde borde o de frontera se mantengan, el gradiente hidraulico “i” presenta valores diferentes durante la iniciacion del flujo y durante la ocurrencia del flujo por tal razon la velocidad y el caudal se ven modificados, esta teoría propone: “Hasta cuando el gradiente hidráulico supera un determinado valor umbral no se inicia el flujo de agua por el medio poroso.” En ecuaciones esto significa:

= 0 para i io

= K (i – io) para i > io (6.11)

Donde io es el gradiente hidráulico umbral a partir del cual la velocidad tiene una relación lineal con este. Como se observa en la expresión (6.11) la relación entre la velocidad y el gradiente hidráulico, sigue siendo lineal; la diferencia es que en este caso presenta un intercepto debido a io. Algunos valores de io, determinados experimentalmente, se pueden ver en la Tabla 6.1 para algunos tipos de suelos.

Tabla 6.1 Valores Típicos de io (Tomada de Geotecnia y Cimientos)

Valores de io Tipo de suelo20 a 30 Arcillas compactas

7 Cienos LL = 1005 Loes Ip = 7

15 Arcillas Ip = 342 Arcilla laminada, fracción arcillosa = 33.5%

Segunda teoriaEn esta teoría se asume que la velocidad de flujo en el suelo no es una constantey su valor esta cambiando con el valor del gradiante hidraulico, el cual, tiene un valor umbral y dos rangoa de variacion. Entonces se asume que el coeficiente de permeabilidad aumenta con el gradiente hidráulico según una curva hasta llegar a

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x

= viscosidad cinemática (dina

seg/cm2)


un valor de este, que se denomina iL , y a partir de este punto la relación gradiente hidráulico velocidad se convierte en una recta:

V = k i m (m 1) para i iL V = K (i- iL) para i iL (6.12)

En el diseño de obras como presas, ataguias, cálculo de caudal en zanjas, la propuesta del investigador Darcy ha sido utilizada con resultados bastante próximos a valores reales, pero para condiciones de suelos no saturados y en condiciones diferentes a las propuestas para esta teoría, se tienen las dos propuestas ya mencionadas.

6.4 OTRAS EXPRESIONESHagen - Poiseuille en un trabajo paralelo al hecho por Darcy dedujo una expresión para el flujo en tuberías, con la cual también se llegó a una misma expresión para la velocidad a través de este conducto que es comparable a la expresión propuesta por Darcy para medios porosos. A continuación se hace una breve descripción de la deducción hecha para tuberías. En la Figura 6.7a se presenta el perfil parabolico de velocidades en un punto determinado del conducto y en la Figura 6.7b se presenta una longitud del conducto, o volumen de control y las fuerzas existentes en ese volumen.

Figura 6.7 Flujo a través de una tubería

De esta figura realizando sumatoria de fuerzas; puesto que el volumen de control está en equilibrio se tiene: FL= 0; entonces: F2 + - F1 = 0 = F1 - F2

Factorizando y separando variables dv y dr:

Reemplazando por el gradiente hidráulico y cancelando , e integrando se

tiene: . Para elementos diferenciales se integra: ,

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y así se determina la velocidad: . Para hallar la constante

reemplazando ; si r = R se tiene vr = 0; y si r = 0 vr = vr .

Para hallar el caudal se tiene en cuenta que q = v·A, en este caso se plantea la integral ; A = r2 dA = 2rdr, reemplazando:

, integrando se tiene:

=

El área total R2 velocidad media es: y la ley de Darcy tiene que

la velocidad media vm = k· i, luego la constante de proporcionalidad o permeabilidad para una tubería es:

(6.13)

La permeabilidad de la tubería depende de la viscosidad del fluido, la cuales dependiente de la temperatura y del radio del tubo. En una masa de suelo los conductos por donde fluye el agua, son más irregulares en el diámetro y en la dirección de flujo y dependen de la relación de vacios “e” o de la porosidad “n”.

La dirección del flujo de aguas subterráneas varía en el espacio en el que éste tiene lugar, por consiguiente, se debe expresar la velocidad de descarga en un punto cualquiera en términos de sus componentes con referencia a un sistema de coordenadas preseleccionado. Los suelos anisótropos que se presentan en la naturaleza suelen representarse con tres planos ortogonales de simetría que se cortan según tres ejes principales x, y, z.Kx, Ky, Kz = Permeabilidad en la dirección x, y, z respectivamenteix, iy, iz = Gradiente hidráulico o pérdida de energía en la dirección x, y, z

respectivamente. vx=-Kx·ix ; vy=-Ky·iy ; vz=-Kz·iz

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El signo negativo indica que vx, vy, vz son positivas en la dirección del flujo, es decir como cabeza de potencial disminuye en la dirección del flujo, el gradiente hidráulico i es negativo y Kx, Ky, Kz son positivas, luego el producto es positivo en las direcciones respectivas. La teoría del flujo estacionario tiene algunas aplicaciones a problemas de campo de flujo de aguas subterráneas.

Si analiza un elemento como muestra la Figura 6.8 con sus correspondientes dimensiones, el cual está compuesto por un volumen de vacíos y un volumen de sólidos, el agua fluye a través de los vacíos; luego la expresión de caudal puede reescribirse:

Q = Va A (6.14)

Donde Q es el caudal que circula por la muestra; A el área total del elemento (sección transversal total); Va la velocidad aparente del fluido y Vr la velocidad real.

Figura 6.8 Representación gráfica del canal de flujo en un suelo

Al interior del suelo se desarrollan unas velocidades diferentes a las calculadas en la ecuación de caudal, debido a que las partículas del fluido deben esquivar las partículas sólidas buscando un camino para transitar. En consecuencia la velocidad real (Vr) es mayor que la velocidad media calculada para toda el área, entonces resulta de interes encontrar una expresión para la velocidad real o una ecuación que relacione estas dos velocidades. Para llegar a la expresión se parte que el caudal es conocido, tanto el que entra como el que sale: Q entra = Q sale que es la ecuación de continuidad para un suelo saturado.

Q= a · A = r · Av , si se multiplica el numerador y el denominador

por la altura de la muestra se tiene: , como = A · H y v = Av ·

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H, reemplazando: ; y de la expresión (2.2) se reduce a: ; de

donde para estas expresiones A es el área total, Av el área de vacíos, H la altura de la muestra, el volumen total y v el volumen de vacíos.

En cualquier flujo en un medio poroso se hace necesario evaluar la velocidad real , ya que es esta velocidad la que puede originar el desprendimiento y arrastre de partículas sólidas por la fuerza tractiva que produce el flujo sobre las paredes del conducto por el cual circula y generar un proceso de erosión interno como la tubificacióno tuneleo,proceso de erosion interna que puede destruir la estructura del medio poroso por el cual circula y hacer colapsar la estructura del suelo o de la roca. Produciendo hundimientos. AGREGAR (FOTO Tunja)

6.5 CAPILARIDADEs el fenómeno mediante el cual se presenta en los suelos la saturacion de unha franja de suelo mediante el ascenso de una columna de agua sobre el nivel freatico debido a la presencia de capilares que son conductos dejados por los espacios interticiales tipicos de medios porosos granulares por efecto de la estructura del suelo y el tamaño de los granosque es en definitiva quien determina el tamaño de los conduntos. En estos conductos debido a sus diametros se genera una presión negativa que produce el ascenso del agua hasta una altura hc, denominada altura capilar .

Este proceso de saturación del suelo en cotas superiores al nivel freático ha venido ganando importancia debido a algunas inconsistencias de los modelos matematicos utilizados para suelos saturados ya los comportamientos reales. Hasta hace unos años el tema había recibido poco tratamiento debido a la dificultad que existe en modelar matemáticamente este proceso y a la dificultad por medir las presiones ejercidas por el agua y los gases presentes a estos niveles.

En este caso resulta importante establecer la expresión que permita evaluar las alturas hasta las cuales se puede presentar este proceso en cada tipo de suelo. En la Figura 6.9 se presenta el equilibrio que se llega a generar con el ascenso de agua en los capilares. La columna de agua que asciende queda suspendida pòr una fuerza uniformemente distribuida en el interior del capilar.

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269


Figura 6.9 Tensiones producidas por el efecto de la capilaridad, en los espacios intersticiales

Equilibrio de fuerzas: Fuerzas verticales ascendentes = d T cos

Fuerzas verticales descendentes = (Peso de la columna de agua)

Fv = 0; , despejando hc : (6.15).

Donde si = 0 para un tubo limpio y agua pura, Temperatura = 20C, entonces la resistencia a la tensión superficial del agua seria de T = 73 dinas/cm, w = 1 t/m3; hc = 0.3/ d (cm2).

En los suelos es complicado medir el diámetro del poro o espacio intersticial y se utilizan aproximaciones a este espacio para determinar una altura capilar, lo cual se hace al reemplazar el diametro “d” del capilar por d 1/5 D10 en cm donde D10,

corresponde al diámetro de las particulas para el cual pasa el 10% y se toma del ensayo de granulometria o de la curva granulometrica. En él calculo de la altura por capilaridad se debe tener en cuenta que es difícil alcanzar alturas mayores a 2 m porque la evaporación remueve el agua tan pronto asciende.

Para que en un medio poroso se desarrolle la altura capilar se debe tener en cuenta las condiciones de los espacios intersticiales en cada estrato y las condiciones de mantenimiento del nivel freatico. En la Figura 6.10 se presentan diferentes situaciones asimilares acondiciones reales de secuencias de estratos en los esquemas presentados.

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270

Nivel Freático

menisco no

h c

h c

Espesor de


Figura 6.11 Dispositivo para determinar la permeabilidad Permeametro

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271

d

2

d

2

h

c

h<h

h

h<h c

h cd1 d1

Meniscoscompletamente desarrollado


Se coloca una columna de agua a una altura conocida y se mantiene constante y se toma el tiempo inicial, luego se determina las pérdidas de cabeza o cambio entre la altura de entrada y salida de la muestra y se anota el tiempo final. Cuando los valores se vuelven constantes estamos garantizando que el paso del agua se vuelve constante.

Si Q = Cantidad de agua que pasa por el suelo y V es la velocidad aparente, entonces:Q = V·A·t (Cantidad de agua que pasa por la bureta o manguera de acceso a la muestra)Q = A·k·i·t (Cantidad de agua que pasa por las muestras)

Como la muestra esta saturada, se debe cumplir que cantidad de agua que entra igual a la cantidad de agua que sale:

Si ,reemplazando se tiene :

, por lo tanto:

(6.16)

Expresión en la que Q es la cantidad o volumen de agua que pasa por la muestra y es igual a q·t; q es el caudal; A es el área transversal de la muestra; t el tiempo; L la longitud de la muestra y h el cambio de altura. En esta expresión todas los parámetros han sido medidos en el laboratorio. Se inicia agregando agua hasta que salga continuamente por el rebose, luego se determina la altura de la columna de agua a la entrada de la muestra manteniéndola constante hasta alcanzar un gasto constante para luego medir el agua que pasa en determinado tiempo sin agregar más agua. Este es el gasto total; para lograr una buena aproximación del ensayo se deben tomar varios caudales y tiempos y luego promediar.

6.6.2 Ensayo de carga o cabeza variableEste ensayo presenta algunas diferencias respecto al anterior en los equipos que se utilizan , pues en lugar de trabajar con bureta se realiza con embudo de rebose para lograr la saturación de la muestra. Para el resto se realiza el mismo procedimiento que en el ensayo de cabeza constante.

En la Figura 6.12 se presenta el montaje del permeámetro, que se puede utilizar para los dos ensayos. En este caso no se utiliza un dispositivo para mentener el nivel de agua a la entrada de la muestra constante. Este ensayo es muy util en arcillas, pues debido a la permeabilidad tan baja, resulta muy demorado utilizando el ensayo de cabeza constante. Al iniciar el ensayo (t1) se toma la lectura h1 en el tubo o bureta, un tiempo después (t2) se toma la lectura de la altura en la bureta h2.

Q entra = Q sale (Ley de continuidad). El caudal que entra se mide en la bureta y el que sale, se mide en la muestra.

Q entra = ; el signo menos es para que la cantidad quede positiva,

pues la variación de h con el tiempo es negativa.

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272

h


Q sale =k·i·A2 ; el gradiente hidráulico se toma como , donde h representa

la función potencial sobre la muestra, diferente h (h2 - h1). Pues hz=0

, integrando:

donde la integral de h varía entre h1 y h2 ; y t de 0 a t.

; reemplazando por valores iniciales se obtiene el valor de

la constante c y se llega a la expresión (6.17).

(6.17)

Figura 6.12 Montaje para el ensayo de cabeza variable

El coeficiente de permeabilidad es una propiedad de los suelos y de las rocas que tambien depende de los propietarios del fluido y se puede obtener por ensayos en el campo o en el laboratorio. Se puede citar los valores típicos del coeficiente de permeabilidad, hallados experimentalmente ver tabla Nº capitulo 1.

Tabla 6.2 Valores típicos del coeficiente de permeabilidad

Tipo de suelo-roca K (cm/s) ObservacionesGravas mal gradadas >1

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273


Arenas Gruesas 1 – 10-1 Se pueden drenar mediante bombeoArenas medias 10-1 – 10-2 Material para filtros y drenajes

Arenas finas 10-2 – 10-3 Material para filtros y drenajesArenas limosas 10-3 – 10-4

Turba 3 a 810-3 –10-7

Limos y arcillas meteorizadas, muestras inalteradas de limos y arcillas yacieras 10-4 – 10-7 Prácticamente impermeables

Terraplén compacto impermeable 10-6 – 10-8

Arcillas no meteorizadas 10-7 – 10-9

Areniscas Caliza y dolomita

Granito LutitasPizarra

Esquisto

Areniscas 10-4 a 10-7 Macizos rocosos fracturados o alterados Caliza y dolomita 10-2 a 10-6 Macizo rocoso fracturado o alteradoGranito alterado 10-4 a 10-11 Macizo rocoso

Lutitas 10-6 a 10-12 Macizo rocosoRocas metamorficas 10-5 a 10-11 Macizo rocoso fracturado o alterado

Rocas volcanicas 10-4 a 10-9 Macizo rocoso fracturado o alteradoBasalto vacuolar 10-2 a 10-8 Macizo rocoso fracturado o alterado

Basalto fracturado 10-5 a 10-9 Macizo rocosoSal estratificada 10-9 a 10-13 Macizo rocoso

Esquisto fisurado 10-6 a 10-8 Macizo rocoso

GRAVAS Y ARENAS. Los suelos de grano grueso cuando están desprovistos de finos son permeables, fáciles de compactar, los afecta poco la humedad y no sufren por el efecto de la helada. Aunque la forma y la granulometría de los granos, así como el tamaño, afectan estas propiedades, las gravas son generalmente más permeables y estables que las arenas.

LIMOS Y ARCILLAS. Aún pequeñas cantidades de finos pueden tener efectos importantes en las propiedades físicas de los suelos en los que se encuentren. Una porción tan pequeña como el 10% de partículas menores que el tamiz 200 puede hacer un suelo impermeable.

6.6.3 Ensayos de CampoExiste una gran variedad de ensayos de campo para la determinación de la permeabilidad in situ, los cuales tienen gran confiabilidad, y se desarrollan en proyectos de gran magnitud. Los más utilizados son los ensayos de bombeo con pozos de observación; para conocer la eficiencia de un pozo profundo. ENCANEAR LIBRO 173ª : 358-362

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274

y

z

xx

y

z

Vx

V(z+z)

Vz

Vy

x

yz

V(x+x)

V(y+y)


6.7 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL FLUJO ESTACIONARIO Para establecer las ecuaciones que modelen las condiciones en las que se presenta el flujo de agua a través de los poros de estos materiales, se toma un elemento infinitesimal que hace parte del poroso continuo por el cual se esta presentando flujo (Figura 6.13).

Figura 6.13 Dirección del flujo en un elemento diferencial continuo

El flujo a través de un medio poroso puede ser representado analíticamente con la siguiente deducción. Sobre un elemento diferencial se presenta flujo en las tres direcciones x, y, z y para el flujo en la dirección x la velocidad a la entrada es x y la velocidad a la salida en x +x se puede evaluar teniendo en cuenta la expresion propuesta por Taylor para evuluar la funcion en un x+x:

(6.18)

Teniendo en cuenta el tipo de flujo en éste medio y a que se tomo un diferencial con volumen x, z, y se puede asumir que los términos cúbicos y las diferenciales de segundo y tercer orden tienden a cero, pues la velocidad es pequeña y el diferencial , lo hace menor, por lo tanto se puede simplicar la expresión (6.18):

(6.19)

En el flujo estacionario se cumple el principio de continuidad(Q entra = Q sale ). El caudal que entra según la Figura 6.13 lo hace por la cara x, y, z.

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275


Multiplicando y simplificando se tiene: (6.20); esta expresión

muestra que la sumatoria del cambio de velocidades debe ser cero. Ahora retomando la expresión propuesta por Darcy (6.8) se tiene:

; ; , y reemplazando en la expresión (6.20):

, como la permeabilidad es una

propiedad de los suelos y las rocas, y se considera constante, el flujo es estacionario y no se presentan cambios de volumen, la ecuación queda:

(6.21) Ecuación de Laplace: ki h = 0

Esta ecuación diferencial representa el flujo tridimensional en un medio anisotrópico, la cual es necesario solucionar para las condiciones especificas de cada sitio y así tener una solución y un mejor conocimiento de los parámetros buscados. Cuando se necesita establecer un modelo matemático que permita determinar el comportamiento del fluido en el medio poroso se debe acudir a la ecuación de Laplace para el potencial. De esta manera definido h (función potencial) y evaluados kx, kz, ky en el laboratorio o en el campo se debe establecer las condiciones de frontera o condiciones iniciales en cada caso y darle a la ecuación diferencial en las tres variables una solución exacta.

Sólo en problemas donde las condiciones de fronteras son fáciles de establecer, se puede obtener soluciones analíticas exactas de la ecuación de Laplace, para flujo tridimensional.

6.8 SOLUCIONES PARTICULARES A LA ECUACIÓN DE FLUJO Para darle solución a la ecuación de Laplace (6.21) se debe establecer si el flujo es unidimensional, bidimensional o tridimensional, además se deben establecer las condiciones del medio, determinando si es isotrópico, ortotrópico, o anisotrópico. Además es indispensable determinar las condiciones de frontera por donde se presenta el flujo. Para el caso isotropico en tres dimensiones la ecuación que rige el problema sigue siendo la ecuación de Laplace, y para su resolución pueden usarse algunos métodos aproximados como los elementos finitos, elementos infinitos métodos numéricos.

En este caso pueden construir modelos físicos, en los cuales se debe establecer los controles y las medidas necesarias para la obtención de los parámetros a utilizar en el diseño. La ecuación diferencial para este caso es la siguiente

ecuación de continuidad: (6.21 a)

Ecuación que gobierna el flujo tridimensional en un suelo isotropico; luego la permeabilidad es la misma. Si el flujo se trabaja en tres direcciones en un medio isotrópico, con igual permeabilidad en las tres direcciones.

x = k·ix, y = k·iy, z = k·iz

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276


En el caso más general con material anisotrópico: x = kx ix , y = ky iy z = kz iz,

donde k e i corresponden a la permeabilidad y gradiente hidráulico en la dirección x, y, z. En algunos casos la variación del gradiente se presenta como:

La variación del potencial en cada dirección, esta dada por la función de potencial que determina el flujo. El coeficiente de permeabilidad es una propiedad de los suelos o de la roca y se puede determinar en el laboratorio o en campo.según el proyecto, que se este adelantando.

Como se observa en el aparte anterior la expresión (6.21), que gobierna el flujo en una roca, es una ecuación diferencial de segundo orden, donde h es el potencial, x,y,z son direcciones en que se considere el flujo, kx, ky, kz, permeabilidad en las direcciones x, y, z. En muchos casos prácticos en ingeniería, es posible simplificar esta ecuación teniendo en cuenta la dirección real del flujo una o dos direcciones; las condiciones de isotropía u ortotropía o anisotropia del medio por el cual se desarrolla el flujo.

Incluir problemas resueltos (Carolina)

6.8.1 Flujo UnidimensionalComo los poros de un suelo están aparentemente comunicados el agua, puede fluir a través de ellos y la expresión matemática para describirlo seria:

(6.22)

Donde k es el coeficiente de permeabilidad que es constante y h es función de

potencial. Esta expresión se puede presentar como: , que es una

ecuación diferencial que tiene muchas soluciones, pero una particular y de interes se presenta cuando la velocidad pueda ser considerada constante, en este caso

, o sea que la caída de potencial con respecto a “x” es una constante. Se

tendría entonces: V=k·i

; integrando se tiene

que:

, separarando variables y volviendo a integrar se tiene: ax+c = h (6.23)

Para este caso la función de potencial es una línea recta, que presenta una variación lineal.

Velocidad de flujo. La base para este tratamiento matemático son las comprobaciones hechas por Darcy.

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277


Cargas del agua. En el estudio del flujo es conveniente expresar la energía tanto potencial como cinética, en términos de alturas o cargas, correspondientes a la energía por unidad de masa. Se deben considerar las tres componentes de esta que son: Carga de presión = p/, o hp, Carga de altura o geométrica (datum) he y Carga total (hp+ he).

En párrafos anteriores se presentó una explicación del porque en flujo en medios porosos es posible no considerar la cabeza o carga de velocidad, luego la expresión (6.23a), se debe utilizar para hallar la cabeza de potencial total.

h = hp+ he (6.23a)

6.8.2 Flujo Unidimensional AscendenteCuando el agua fluye a través de masa de suelo, la resistencia debida a la viscosidad en los canales formados por los poros produce unas fuerzas de filtración que el agua transmite a las partículas de suelo. En los puntos donde predomina el flujo ascendente estas fuerzas de filtración tienden a disminuir el esfuerzo efectivo entre las partículas de suelo y, por lo tanto, reducen la resistencia al esfuerzo cortante de la masa de suelo. Si dejamos fluir agua ( con una cabeza de presión), a través de un recipiente con arena, el agua se desbordará en la superficie de la arena, con lo cual h es igual a la diferencia de nivel entre la superficie del agua en el recipiente y la superficie del agua en la arena o disminución de cabeza total debida al flujo a través de la columna de arena de longitud L.

Esta situación resulta de interes practico en varias situaciones de obras como estructuras de retención, flujo por debajo de la estructura, en plantas de tratamiento en los procesos de filtración, donde se tienen varias cupas de suelo. Las expresiones que se deducen a continuación tiene muchas otras aplicaciones practicas.

Figura 6.14 Flujo ascendente a través de un suelo

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278

hp1

h1

2

W

hp2

F

1


Valor del gradiente hidraulico en el montaje de la Figura 6.14.

Valor del esfuerzo vertical total Valor de la presión de poros en la base de la arena

Reemplazando las ecuaciones anteriores: Valor del esfuerzo efectivo en la base de la arena

Peso Unitario Sumergido

“Todo cuerpo al ser sumergido en el agua, experimenta una pérdida de peso igual al volumen de agua desalojado” Principio de Arquímedes. Reemplazando el peso unitario sumergido, y sacando como factor común ’L, se tiene:

o Expresión del esfuerzo efectivo en la base

del recipiente, en esta expresión se puede observar que si el gradiente hidráulico “i” puede alcanzar un valor maximo de ’/w y el esfuerzo vertical efectivo se vuelve cero, a este valor del gradiente hidráulico se le denomina gradiente

hidráulico crítico y “ic”. , (6.23b) este valor umbral de gradiente al ser

igualado o superado se presenta un esfuerzo efectivo nulo, lo cual conduce a la licuación del suelo o a la pérdida total de capacidad de soporte del suelo. Cuando el esfuerzo efectivo es nulo se produce una condición crítica en la cual las partículas de arena pueden llegar a separarse unas de otras y se presentan como en una suspensión en el agua intersticial. En esta condición la resistencia de la arena al esfuerzo cortante es nula, pues no hay contacto entre las particulas, por tanto, el depósito de suelo es altamente inestable; cualquier carga vertical que exista sobre un depósito en estas condiciones, se hunde dentro del depósito.

Fuerza de flujoDebido a la direcciones y velocidad del flujo y a la ooposicion que hace la estructura del suelo, se genera una impresión o fuerza sobre los elementos del suelo por accion del flujo. Esta fuerza puede evaluarse teniendo en cuenta el volumen del elemento sobre el cual actual, para esto se considerada un elemento entre dos lineas de flujo y dos equipotenciales.

Peso elemento de suelo=LxLx1=L2

Fuerza hidrostatica en la cara de entrada.Para esto se asume que la presion del agua es uniforme en toda la cara , tomando el valor promedio.

Presion a la Entrada =hp1,wLPresion a la salida = hp2,wL

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279

L


De la figura se puede obteneruna relacion entre hp1 y hp2.

h1= h2 + h (1) h1=h2 + hp1 (2)hp1=L sen + hp2 + h (3)

Ahora de la sumatoria de fuerzas en la direccion del flujo se tiene :F = hp2 wL + L2- hp1 wL + L (4) ahora reemplazando (3) en (4) se tiene :

F = hp2 wL + L2 * sen - (L sen + hp2 + h) wL = hp2 wL + L2 sen - L2

sen w - hp2Lw - hwL

F = L2 sen ( -w) - hwL = L2 sen 1 + hwL = F

El incremento de la fuerza tiene dos componenetes, el peso sumergido L2 sen 1 y la fuerza por el flujo. Ahora si se quiere trabajar la fuerza del flujo, por unidad de volumen se tiene la expresion para la fuerza por unidad de volumen:

Esta fuerza es la que genera el proceso de tabibificación, arrastrado los granos mas cercanos a superficie y haciendo el porceso retrogresivo .

Ejemplo 6.1. Una capa de arcilla uniforme de 12 m de espesor está situada sobre una capa de 0.5 m de arena densa que reposa sobre un lecho rocoso. El nivel freático en la arcilla coincide con la superficie del suelo, y el nivel piezométrico en la arena está 6 m. Por encima de la superficie de la arcilla. El peso unitario de la arcilla saturada es de 1,8 T/m y de la arena es de 2 T/m. Asumiendo que el flujo que se presenta es estacionario, calcular y graficar las distribuciones de esfuerzo vertical, de presión de poros y de esfuerzo vertical efectivo a través de la capa de arcilla, y del estrato de arena.

SoluciónSi se toma la base de la arcilla como nivel de referencia para medir la cabeza de posición, se tiene

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280

0.5 m3.9

15.4

11

11.5

3.4

N.T


Figura E6.1 Flujo Ascendente, esfuerzos

De la expresión (4.1) el esfuerzo vertical total; en la base de la arcilla reemplazando valores, es: vB = ·h = 1.8 T/m x 8 m = 14,4 T/m

Ahora en la base de la arena: vA = vB + ·h = 14,4 T/m +2 T/mx0.5 m= 15,4 T/m

Presión Intersticial, esta presión del agua se halla con la altura prezométrica.A = whw = 1 T/m x 11.5 m= 11.5 T/m ; B = whw = 1 T/m x 11 m= 11 T/m

Esfuerzo total efectivo’vA = vA - A = 15,4 T/m -11,5 T/m = 3.9 T/m’vB = vB - B = 14,4 T/m -11 T/m = 3.4 T/m

Calculados los esfuerzos totales y efectivos, se pueden dibujar, según los valores obtenidos, como se muestra en la Figura E6.1b. El esfuerzo total en A es de 15.4 T/m y su variación es lineal con la profundidad. También se dibuja la presión de poros, que en el nivel del terreno es cero, en el punto A es de 11.5 T/m y en B de 11 T/m el esfuerzo efectivo a cualquier profundidad es la resta del esfuerzo total menos la presión de poros, Esto tambien se puede evaluar en cualquier punto del estrato de arcilla con la expresión que se obtien de aplicar la expresion para potencial (6.23) fujo unidimensiona, h=az+c.Ahora se deben hallar las condiciones de frontera se obtiene :

z= 8 , h = hc+ hp hc= 0.5 hp = 11 t/m2

Ejemplo 6.2. En el sitio del ejemplo anterior se proyecta diseñar un canal, cual sería la máxima profundidad posible de excavación, para que no se produzca la falla por levantamiento del fondo.

Solución En este caso se debe buscar que la fuerza ascendente debida a la subpresión del agua logre equilibrar la presión del agua.

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281

(14.4)

N.T

Arcilla

Arena8

z

hB = 11.5 t/m2

hA = 11 t/m2


Figura E6.2 Perfil estratigráfico

La subpresión en el punto B, cambio de estrato arena al de arcilla es la presión de poros B = 11 T/m2. El esfuerzo causado por el peso del material que debe quedar sobre el estrato de arena debe ser como mínimo igual a la supresión en ese punto.

vB =11 T/m2 = h ·1.8 T/m (Altura mínima o cobertura)

Luego la excavación a ejecutar es de 8 m – 6.11 m = 1.89 mSe puede excavar máximo 1.89 m.

En la solución del ejemplo se despreció la resistencia al corte en la arcilla, entonces el levantamiento de la base de arcilla es inminente cuando el peso total de bloque de arcilla disminuye con la excavación hasta igualar el valor de la subpresión en la base del bloque, debido a la presión de poros en la arena. Otra forma de plantear la solución es:

Peso total del bloque de arcilla = h ·área de la baseSubpresión en la base del bloque = whw · área de la base

Igualando h =whp, despejando y sustituyendo valores:

Por tanto, la excavación del canal falla por levantamiento de fondo, (sin tener en cuenta la resistencia al corte), a una profundidad de 1.89 m. Las distribuciones de presión y esfuerzo total son las que se muestran en la Figura E6.1. Para hallar el gradiente hidráulico es necesario hallar la cabeza total, y para determinarla, se

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282

1.1.1.1.1.1.1.1.1.Arcilla

ArenaLecho rocoso

5 m

2 m

h

D

Nivel piezométrico inicial en la arena

3 m

Nivel piezométrico final en la arena


deben hallar las componentes de esta en la base y en el tope del estrato, usando la expresión (6.23a).

En la base de la arcilla: hp = 10 m y he =10 mEn la superficie de la arcilla: hp = 0 y he = 8 mCabeza total en la base del estrato de arcilla: h base = 11 mCabeza total en la superficie del estrato de arcilla: hsuper = 8 m

Donde el gradiente hidráulico i = Que es el gradiente hidráulico o

pérdida de potencial en la capa de arcilla.

6.9 FLUJO BIDIMENSIONALEn muchos problemas prácticos de ingeniería resulta bastante aproximado el analisis como flujo bidimensional al comportamiento real y es lo suficiente representativo asumir que el flujo que se presenta es solo en dos direcciones en un suelo isotropico y ortotropico, este es el caso de las estructuras de retención de agua, donde se presenta flujo por el cuerpo de la estructura y por el material que le sirve de apoyo cimentación. Para el caso la ecuación de Laplace (6.21) para flujo bidimensional suelo anisotrópico, queda:

(6.24) y (6.24a) para un medio isotrópico

Esta es la ecuacion diferencial de partida o modelo matemático para encontrar la solución al flujo bidimensional y se está asumiendo que en la dirección” y “no hay flujo y que se presentan planos paralelos donde se repite lo observado en cualquier (x, z). La solución a esta ecuación se representa por dos familias de curvas que se interceptan en el plano “x, z”. Para la descripción de una de estas familias de curvas que son la solución matemática a la ecuación diferencial (6.24), se hará una descripción del movimiento de las particulas; para esto se puede utilizar el método propuesto por Euler o el propuesto por Lagrange.

6.9.1 Descripción del MovimientoPara estudiar el movimiento de un fluido en un medio se debe conocer la posición de cada partícula en cada instante, en esta forma es posible determinar las características cinemáticas del movimiento. Existen dos métodos para esta descripción: El Euleriano Local y el Lagrangiano o molecular

Método Euleriano En un campo de flujo se toma una fotografía en el instante t, luego seleccionamos varios puntos correspondientes a un tubo de flujo y a cada uno se le asigna el vector velocidad. Al tomar otros puntos más juntos de modo que se pueda trazar una línea (curva ideal de flujo), de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad. La curva concebida de esta manera es continua y es una línea de corriente o línea de flujo, vision euleriana.

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283

V1

V7V6

V2

V3

V4V5

V10

V9V8


En este caso se debe conocer la velocidad del flujo en cada punto del medio para cada instante, independientemente del número de partículas que fluyan por el punto. Una vez determinado el campo de velocidades de flujo en función del tiempo y de la posición, se obtienen sus características a partir de la relación V = V (r, t) este método es el más usado para mecánica de fluidos.

Método LagrangianoEn este modelo se elige una partícula del flujo y se sigue su trayectoria, identificando dicha partícula en su posición inicial, cuyo vector de posición es ro

con coordenadas xo, yo, zo, para un to, para otro instante posterior diferente, la posición de la misma partícula será r (x, y, z). Este método es más utilizado en partículas sólidas, para cuantificar los desplazamientos y deformaciones que se pueden presentar por el cambio de esfuerzos.

6.9.2 Concepto de TrayectoriaSi dentro de un flujo se escoge una partícula P tal que se conozca su posición en cada instante t, la ecuación de la trayectoria de partícula es igual a la línea de corriente con t variable. (Método Lagrangiano).

Líneas de corriente. Para estudiar el movimiento de fluido se debe conocer la posición de cada partícula en cada instante. Considerando un campo de flujo al cual se le sigue la trayectoria a una partícula tomando posición inicial ro ( xo, yo, zo) en to. Para otro instante posterior “t”.r (x , y , z) r (ro , t) = xi + yj + zk, Conocido el vector posición r(t), se puede hallar la velocidad derivando:

(6.25)

Si se toman diferentes puntos del continuo, por donde se esta presentando un flujo para un mismo t, (partículas sobre una misma trayectoria), Figura 6.15 y a cada cual se le asigna el vector velocidad, si los puntos estan juntos se puede trazar una curva.

Figura 6.15 Velocidad de una partícula en un flujo

La curva que se forma al unir los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 10, que corresponden a la trayectoria de una partícula en diferentes tiempos y su derivada con respecto al tiempo de la velocidad (expresión (6.25)); pero esta velocidad tiene tres componentes que pueden hallarse con las expresiones (6.26).

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284


dx = vx dt, dy = vy dt, dz = vz dt (6.26)

de las cuales en el instante “to”, se cumple:

(6.27)

De la expresión (6.27) se observa que esta representa en realidad una curva espacial que estaría constituida por dos ecuaciones independientes. Si escogemos una sola partícula “p”, tal que se conozca su trayectoria en cada instante “t” y al unir estas posiciones obtenemos una curva que representa la trayectoria de la partícula (Línea de Corriente). La ecuación que describe esta trayectoria es igual a la anterior, con “t” variable.

(6.28)

La expresión (6.28) es la ecuación rectangular de la línea de corriente y se designa con la letra . Como el flujo que se desarrolla en los suelos y rocas es permanente, las líneas de corriente coinciden con las trayectorias. Para un campo de flujo la representación de las trayectorias de la ecuación (6.28), será una familia de curvas que se denominan “Líneas de corriente” (Figura 6.16).

Estas líneas conforman una superficie de flujo o de corriente y se representan por , letra que representa la familia de curvas de corriente que describen la dirección del flujo, o también puede definirse como la función que es parte de la solución a la ecuación (6.28).

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Figura 6.16 Líneas de Corriente

En la figura (6.16 a) se han dibujado varias líneas de corriente en un estrato permeable, estas indican el sentido y dirección del flujo. Desde el punto de vista teórico se podrían dibujar infinitas líneas en cualquier medio poroso, pero para llegar a una solución diferencial solo se dejan algunas, anotando que cada una esta sirviendo de limite a un canal de flujo. Cada una representa el valor de l función calculada en esa dirección.

Ejemplo 6.3. El campo de velocidades de un flujo tridimensional permanente esta dado por las expresiones Hallar la ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (1,2,3).

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285

ARCILLA

N.T


SoluciónLas componentes de las velocidades son Vx = 2x – 3, Vy = 1 – 2y , Vz = 6 – 2z.

Las ecuaciones de la linea de corriente están dadas por la expresión (6.27)

, de este sistema resultan sólo dos ecuaciones que pueden ser:

(1) (2); La tercera es la combinación de ambas.

Reemplazando Vx y Vy en (1) se tiene , integrando se tiene:

; resolviendo:

Luego una primera ecuación será o (3)

Ahora reemplazando en (2)

-

, reemplazando

o (4)

Las ecuaciones de la linea de corriente son (3) y (4).

Ejemplo 6.4. En una tubería rectangular con flujo tridimensional figura E6,4 se muestran las superficies y son constantes que corresponden a las envolturas. Las intersecciones entre las dos superficies determinan las líneas de corriente normales a la Figura E6.4. Para determinar la velocidad en un punto determinado se puede tomar la ecuación.

Figura E6.4 Tubería Rectangular

(producto cruz, da un vector normal que en este caso corresponde a la velocidad) = xi +yj +zk (6,29)Luego este producto puede plantearse como el determinante de:

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286


Como , de igualar esta expresión se tiene:

; ;

Estas ecuaciones deben ser reemplazadas en la ecuación diferencial general

(6,27) de la línea de corriente en tres dimensiones: ; donde se tiene

que si = 1 resulta un flujo bidimensional, pues Vz = 0

Con respecto a la línea de corriente en dos dimensiones

Fue Lagrange quien la resolvió por primera vez al notar que la ecuación de

continuidad , para flujos incompresibles, corresponde a la ecuación

analítica bajo la cual Vy dx+Vx dy = 0 es una diferencial exacta que se denota por d. d = Vy dx + Vx dy como es función de x, y un diferencial de puede

reescribirse como: (6,30).

De comparar ecuaciones se obtiene: y (6.30 a)

Líneas de Potencial. Las líneas de potencial son aquellas que unen puntos del continuo que estan sometidos a flujo y tienen igual cabeza de potencial h. Las ecuaciones diferenciales, se pueden obtener de la ecuación general de flujo tridimensional o de la condición de flujo irrotacional, la cual debe cumplir unas condiciones básicas.

Ahora para el potencial y las condiciones de flujo descritas.

En este caso también se debe cumplir la expresión (6,31) dado que el flujo es irrotacional.

(6,31)

La condición que deben cumplir las velocidades para que sean solución, a la ecuación (6,33) es asumiendo una función potencial f ( ) tal que,

; ; (6,32)

De la expresión (6,32) es posible reescribir la ecuación que gobierna el flujo tridimensional y bidimensional en un medio isotropico

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287


como (6.33)

Y para flujo bidimensional (6.33 a)

En consecuencia el concepto de función de potencial es básicamente una cantidad matemática abstracta y consecuentemente no tiene un significado físico. Precisamente en análisis de flujo bidimensional o tridimensional, basado en la existencia de un potencial, es posible conocer la distribución de presiones en cualquier punto del continuo a trazar o unir puntos de continuos con lineas. Ahora resulta importante hallar la función , de acuerdo a las ecuaciones (6,32).

Se tiene de esta forma tres expresiones para la función de el potencial, donde el valor único y representativo para las tres velocidades esta dado por la suma de las tres componentes : = -h( kx + ky + kz ) + c (6,33a) ; donde la constante depende de las condiciones de frontera, y “h” es el potencial o sumatoria de la cabeza de posición más la cabeza geometrica para el caso de flujo en un medio poroso, donde la cabeza de velocidad no aporta a este valor de potencial y se desprecia. La expresión (6,33) es una relación lineal entre la función de potencial y la cabeza de potencial h.

De la ecuación general (6,24a) de flujo bidimensional en un medio isotropico.

derivando (6,34)

derivando (6,34a)

Sumando las expresiones (6,34) y (6,34a) se tiene:

; (6,35)

La expresión (6,35) es la ecuación diferencial del potencial de velocidades para flujo bidimensional en un medio ortotropico.De lo tratado hasta ahora de la funcion potencial, es claro que esta funcion representa otra familia de curvas, que en un flujo bidimensional pueden estar representadas por lo presento en la figura 6.17.

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288

0

1

3

2

N.F

Nivel del Terreno

01

23

Cauce


Figura 6.17 Lineas de Flujo en un Medio Poroso

Ejemplo 6,5. Si en un acuifero confinado (Figura E6,5), se cumplen las hipotesis

de Dupuit; Primera: La variación de la altura prezometrica , con respecto

al eje horizontal es constante, sobre la superficie libre y para cualquier sección

vertical. Entonces . Segunda: La componente de la velocidad

horizontal es constante para cualquier sección vertical.

Encuentre una expresión para la superficie libre.

Como . Area (Asumiendo la unidad de profundidad) de la figura:

Figura E6,5

Ahora separando variables , ahora integrando se

tiene: ; resolviendo :

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289

a) Lineas Equipotenciales en un Suelob) Líneas Equipotenciales en un Macizo


(6,36)

Teniendo en cuenta que x aumenta en la dirección del flujo. Además para x = L la

altura prezometrica vale , luego el caudal por metro lineal es:

(6,37)

La ecuación (6,36) es la expresión solicitada, que corresponde a una parabola, y para trazarla es necesario conocer las condiciones de frontera y el caudal, el cual se halla con la expresión (6,37).

6.9.3 Comparación de las líneas de corriente y de flujo

La ecuación de la línea de corriente en dos dimensiones se puede representar con

la expresión (6,27) haciendo Vy = 0: , la ecuación de continuidad queda

para flujos incompresibles, esta expresión se puede plantear como: -

vz dx + vx dz = 0, la cual corresponde a una diferencial exacta que se denota por “d” y que se expresa como: d= -vzdx + vx dy (6,38)

Pero la función o de lineas de corriente, un diferencial esta dado por la expresión (6,30). Comparando las dos expresiones para un diferencial de la función de lineas de corriente se tiene:

(6,39) además, d = 0, = 0, d2 - d1 = 0

Expresión que permite relacionar las equipotenciales con las lineas de flujo o líneas de corriente.1 = 2 = n constante (Flujo bidimensional).

Luego la expresión (6,35), se puede reescribir con la función lineas de corriente, se puede reescribir como:

(6,40)

Por lo tanto la función y satisfacen la función de Laplace en dos dimensiones. Y la solución de estas ecuaciones para flujo bidimensional dibuja en el plano x, z las líneas de corriente y las líneas equipotenciales, formando una red de flujo, a partir de la cual se puede evaluar presión, caudal, gradiente hidraulico, como se presenta en la figura 6.19.

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290


Figura 6.16 b Representación de las líneas de corriente y líneas equipotenciales

De dibujar en in mismo plano la familia de curvas de las líneas de flujo y la familia de curvas de la función potencial , se tiene lo representado en la figura 6.19, donde se ha tenido al dibujar las líneas de flujo para un mismo y las equipotenciales para igual caída de potencial, lo cual produce como resultado una red.

6.9.4 Representación gráficaLas ecuaciones halladas para las dos familias de curvas (potencial y corriente), representan una forma de solución al modelamiento de los problemas de flujo. Resulta ahora necesario conocer el ángulo de corte entre las lineas de flujo y las lineas equipontenciales de estas dos familias de curvas.

Un diferencial de la función potencial puede escribirse: (6,41)

Como o función de potencial es constante a lo largo de una misma curva, luego

d = 0, y la expresión (6,41) puede reescribirse como:

A lo largo de la línea, C es constante d = 0 y reemplazando las expresiones 6,34

y 6,34a se y tiene: .

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291


Ahora se conoce que , y este es igual a cero para una misma

curva (expresión (6,40)), se obtiene en este caso: .

Ahora comparando las pendientes de cada familia de curvas, se observa que

son ortogonales pues cumplen que .

Figura 6,19 Red de Flujo

Dos curvas cuyas pendientes en un punto son m1 = -1/m2 estos son perpendiculares entre sí. Luego la dirección de flujo forma siempre ángulos rectos con las líneas equipotenciales. Ahora para conocer la cantidad de caudal que pasa por entre dos lineasde corriente se toman intervalos de (líneas de corriente o flujo). Aplicando el principio de continuidad, se requiere que el flujo de filtración a través de AB (Figura 6,17) que representa la filtración en el canal de flujo (Q) es igual a la suma del flujo vertical más horizontal, el cual se obtiene integrando:

Q = Q CB + QAC = vz dx + vx dz, de la expresión (6,39)

Ahora en Q = -2 + c + 1 - c Q = 1 - 2

De esta forma se confirma que la cantidad de filtración a través de cualquier canal de flujo es igual a la diferencia entre los valores de la función corriente calculadas

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292

z

x

QAC

Q

QCB

A

CB

Q = 1- 2

vx

vz


sobre las lineas de flujo. De esta deducción se puede concluir que si es constante en una red de flujo, el caudal por cada canal es una constante.

En la figura 6,19 se han representado líneas de corriente y líneas equipotenciales, conociendo que se cortan en forma perpendicular y seleccionando caidas de potencial iguales a las diferencias entre líneas de corriente, se forma un sistema de cuadrados curvilineos que conforman lo que se ha denominado red de flujo. El caudal total que se infiltra o que fluye a través del medio poroso se puede determinar de la red de flujo.

En el flujo bidimensional tambien se puede encontrar un medio ortotropico, donde la ecuacion diferencial contiene las permeabilidade. En este caso una metodologia para abordar el problema es hallar las permeabilidades equivalentes y modificar las dimensiones del medio para poder utilizar el metodo grafico. En este aparte del capitulo se describe el procedimiento. Ejercicio Propuesto. Elaborar gráfica para las dos ecuaciones (6,44) y (6,45) y comentar los resultados.

6.9.5 Métodos de análisis al flujo bidimensionalPara darle solución a los problemas de flujo bidimensional en ingeniería se han utilizado diversos métodos de análisis; a continuación se mencionan los más utilizados:Solución gráfica: Redes de flujoDiferencias finitas, utilizando seriesAnalogía eléctricaSolución exacta Elementos finitos

6.10 SOLUCIÓN GRAFICA FLUJO BIDIMENSIONALEsta metodología de solución se puede utilizar para flujo bidimensional y en depositos isotropicos. También es factible hacer algunas transformaciónes en la escala para convertir un suelo ortotrópico en isotrópico para aplicar una solución gráfica.

6.10.1 Red de FlujoEl flujo de agua a través del suelo o de la roca puede ser representado gráficamente por redes de flujo, la cual esta formada por las dos familias de curvas, que representan líneas de flujo y líneas equipotenciales.En una red de flujo la aparencia general resulta importante , es necesario revisar el esquema final para ajustar tamaños de los cuadros y sectores .

En la red de flujo se deben observar cudrilateros con las dos curvas variando gradualmente de tamaño, como se observa en la figura 6.20, cuadrilateros ABCD Y . En la figura se numerado las caidas de potencial del 1 al 8, en el segundo canal diujado. Se debe observar que el tamaño de los canales y se va

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293


aumentando la separacion entre las lineas de flujo que conforman los canales a media que se alejan de la base de la presa .

Líneas de flujo. La ruta que siguen las partículas de agua a través del continuo, suelos o rocas en desarrollo del flujo; son conocidas como líneas de flujo. El flujo de agua se presenta de un punto de alto potencial a uno de menor potencial, haciendo curvas suaves cuando la dirección del flujo cambia. Entonces se puede dibujar una serie de curvas suaves representativas de las rutas seguidas de las partículas del agua en movimiento. En la figura 6.20 se han trazado tres lineas de flujo, que simulan el recorrido de una gota de agua desde la zona embalsada hasta aguas debajo de la presa y forman para el caso de la figura un numero no entero de canales; para este caso particular seria 3.3 canales, asignando un valor de 0.3 partes de canal al sector entre la linea de flujo j y la frontera inpermeable comparado con el canal anterior. Esta apreciacion puede evitarse reconstruyendo la red de flujo y tratando que sean canales completos.

Líneas equipotenciales. Como el agua se mueve en la misma dirección de las líneas de flujo, esta experimenta una continua perdida de su potencial. Si se tiene que la función potencial, es la que genera el flujo, en diferentes puntos a lo largo de la línea de flujo se tiene diferente potencial, entonces al unir los puntos de igual potencial, se obtiene un segundo grupo de líneas conocidas como líneas equipotenciales. Estas lineas son perpendiculares a las lineas de flujo.En la figura 6.20 se trazaron siete equipotenciales, entre las dos ya existentes, la de la entrada OH y la salida Gj.

Gradiente hidráulico. La pérdida de potencial entre dos líneas de flujo adyacentes, divididas por la distancia entre ellas que corresponde al recorrido de una particula de agua, se conoce como gradiente hidráulico para cada sector de la red de flujo y se representa por “i”. Las líneas de flujo y las líneas equipotenciales se cortan formando ángulo recto, demostración hecha en numeral 6.9.5.

En la figura 6,20 se muestra una red de flujo, representativa del flujo a través del medio poroso, debajo de una presa. El flujo se asume que se presenta en dos dimensiones esta representado por las líneas continuas y las equipotenciales por las líneas interrumpidas, esta condición cubre un gran numero de problemas de flujo, que se presentan en la practica de la ingeniería.

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294


Figura 6,20 Configuración de una red de flujo, sin tablestacado.

De la ley de Darcy expresión 6,3 se tiene: Q = KiA expresion que determina el caudal para una estructura de un metro de profundidad y si q = unidad de flujo a través de cada canal (espacio entre líneas de flujo adyacentes), y como el diferencial entre lineas de corriente adyacentes es el mismo, entonces el caudal que pasa por entre estas es el mismo, se tiene: q = Ki1 = Kib, donde b es la distancia entre líneas de flujo, para formar los cuadrados en la red de flujo, siendo necesario que la distancia entre líneas equipotenciales conserve la misma relación que el diferencial entre lineas de corriente.

En la figura 6,20, la linea OG es la condición de frontera y corresponden a una línea de flujo, laprimera y la mas corta, las otras en la medida que se alejan van ha aumentar el recorrido. En la figura los cuadrados ABCD y A1B1C1D1 estas limitados por las mismas líneas de flujo y diferentes equipotenciales, y como la red es simetrica deben ser iguales.

Para cualquier figura de la malla , y como a=b se tiene que

, donde h es la pérdida de potencial entre dos líneas equipotenciales adyacentes y es igual a h/ne, donde ne, es el numero de caidas de equipotencial a la distancia entre las mismas equipotenciales y b distancia entre dos lineas de flujo, como se muestra en la figura .

Luego la cantidad de caudal a través de la fundación de la presa y valorado con red de flujo será igual neq ; donde n es el número de canales y q es la cantidad de caudal por dos líneas adyacentes y espresión de caudal queda:

donde $: Factor de Forma.

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295


Se debe observar que el tamaño de los cuadrados curvilíneos no es el mismo en toda la malla en la medida que se aleja de la base de la presa van aumentando de tamaño, cuadrado A2B2C2D2. En total hay 5 líneas de corriente, observe que se tuvo en cuenta la base de la presa y el limite con el estrato impermeable y 9 líneas equipontenciales, 8 espacios o caidas de potencial. En la red de flujo se observan también triangulos curvilineas, uno a la entrada y otro a la salida.Como conteo definitivo de la red de flujo se tiene que en la figura 6,20 hay caidas de potencial, 3.3 canales. Esta red no tiene un número entero de canales.

No siempre se pueden lograr cuadrados en toda la sección de flujo y los ángulos logrados tienden a ser rectos. Las dificultades se presentan en las esquinas de la figura donde no es posible conservar tampoco la dimensión b y a para los cuadrados. Por tal razón es necesario darle la forma más adecuada con lados aparentemente iguales, quedando algunos elementos de forma triangular. La red de flujo proporciona una herramienta bastante útil dentro de la aproximación necesaria, en la evaluación de caudales.

Dibujo de la red de flujo. En este proceso es necesario contar con un lápiz, papel calcante, escala y compás. Existen muchas formas para lograr una buena red de flujo, una metodología es la que aparece en la figura 6,21b, y se explica a continuación:

a. Dibujo a escala de la estructura y los estratos que sirven de cimentación a la presa. La estructura debe quedar en el centro del papel el ancho de la misma no debe ocupar más de la mitad del espacio; la otra mitad se debe ocupar con la línea de nivel del terreno a ambos lados de la estructura y el nivel máximo de aguas.

b. Reconocimiento de las condiciones de frontera para el flujo, lo cual se consigue dibujando a escala la estructura y espesor de los estratos, existen varias condiciones, inclusive la primera línea de flujo es una frontera y coincide con la base de la estructura. Se determina el espesor del material permeable o impermeable y su frontera, es también una línea de flujo; se considera que una diferencia de 1000 unidades entre los coeficientes de permeabilidad da origen a una frontera. La superficie horizontal del terreno en la entrada y en la salida corresponde a equipotenciales.

c. Dibuje los canales de flujo sin superar 10 canales, lo recomendable 3 o 6. Estos canales son paralelos a los ya identificados, en este caso 3.4 canales.

d. Proyecte las equipotenciales hacia abajo del primer canal partiendo de la primer línea de flujo, lo cual determina el tamaño de los cuadrados. El cambio en el tamaño debe ser gradual y se pueden reconocer diferencias significativas.

e. Ajuste su esquema, si no es posible reinicie cambiando él numero de canales.

En la figura 6,21b, aparece otra metodología de construcción, donde los pasos 1, 2 son los mismos; cambia a partir de 3, donde solo se hace un canal de flujo y se

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296

1) 2)

3) 4)

5) 6)


prolongan las equipotenciales hasta la línea de flujo; luego se dibuja el segundo canal y se vuelve a prolongar las equipotenciales tratando de formar cuadrilateros este procedimiento se repite.

6.10.2 Calculos

perdidas por filtración si h corresponde a la perdida total de cabeza, que es la diferencia de altura de agua entre la entrada y la salida de la red de flujo, la perdida entre cada par de equipotenciales en todo el recorrido del agua por el

medio porodo, puede denominarse h . Luego (6.46)

donde k es la permeabilidad del medio, i el gradiente hidraulico y A el área por el cual se presenta el flujo, la cual se puede tomar con una profundidad unitaria, y una vez hallado, se multiplica por la longitud de la estructura (L) . Llamando b el ancho del canal de flujo, figura 6.20 y Nc al numero de canales, a la longitud a recorrer entre equipotenciales.

Cada cuadrado curvilineo se debe cumplir que a = b; figura 6.20 entonces se puede simplificar la expresión y a la relación entre el numero de canales y equipotenciales se le denomina factor de la forma, que se puede hallar.

o (6.47)

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297

a)

Condición de Frontera

Equipotenciales Líneas y canales de Flujo

Equipotenciales


Figura 6,21 Construcción de una red de flujo

Subpresión. Un factor importante en los análisis de estabilidad de presas de concreto sujetas a filtraciones es la fuerza ascendente, que el agua ejerce sobre la estructura en la base. Este empuje puede evaluarse de la distribución de equipotenciales al nivel de la fundación, la cual puede obtenerse de la red de flujo. Unas de las lineas dibujadas son las equipotenciales, que corresponden a la cabeza geometrica, mas la cabeza hidrostatica, la cual se debe hallar para la subpresion .

Ejemplo 6.6. En la figura E6.6 aparece una red de flujo para una presa con tableestacados en aguas arriba y aguas abajo. En el esquema a) aparece la red, dimensiones, cotas el nivel del terreno, el nivel maximo de aguas y el nivel a la salida del flujo.

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298

b)

Condiciones de Frontera

Equipotenciales

Primer Canal de Flujo

Segundo Canal y Equipotenciales


Figura E6,6 Red de flujo y subpresiones

En la figura E6.6 aparece el esquema de la subpresión que está actuando debajo de la estructura, la forma de calculo es la siguiente:

En la red de flujo; de la figura 6,22 Nc = 3.5 (número de canales), Ne = 12.5

(Pérdida entre lineas contiguas de potencial)

hA: Cabeza total en AhpA: Cabeza de presión en A

heA: Cabeza Geometrica en A

hpA = Altura de la columna de agua menos las perdidas.hpA = (56.5m – 28.6 m) w – 3 x h’ = 26.88 mhpA = (56.5m – 41.1 m) w – 4.5 x h’ = 12.56 m hpA = (56.5m – 51.1m) w – 5 x h’ = 11.96 m

Gradiente hidráulico. El gradiente hidráulico que genera el flujo bajo la estructura o dentro de la misma, presenta variaciones desde el nivel de entrada hasta la salida con pequeñas variaciones entre líneas equipotenciales por el efecto de las

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299

Nivel aguas abajo

n.m.a. 54.5

41.50 38.50

26.00

00.0

56.50

44.00

A

B C D E F G

H

C L

B C D E F H A G

0 3 6 9

12 15 26.88

12.56 11.96 10.75 10.15 8.94 8.22

6.53 H

A

b a Longitud mínima

a) Red de flujo con tablestacado

b) Evaluación de subpresiones

Cabe

za d

e pr

esió

n p/

(m

)

59.10

4.15041.1028.60

0.5


longitudes recorridas; el gradiente se hace máximo cuando la longitud recorrida es minima, la cual se presenta a la salida en el cuadrado de la red de flujo adyacente a la presa y en el talud aguas abajo (Figura E6,6). Si el gradiente hidráulico evaluado en este sitio que corresponde al maximo se aproxima al gradiente crítico (expresión 6,48), las partículas finas del suelo, cerca de la superficie pueden ser levantadas o arrastadas, y el agrandamiento de los vacíos produce gradientes mayores, provocando una erosión interna que si no es detenida, se vuelve retrogresiva arrastrando finos de cada vez mas atrás hasta formar un tubo puede llevar a la falla de la estructura, este proceso se llama tubificación. Para evitar que este proceso se presente, recomiendan que la relación entre el gradiente crítico y el gradiente en cualquier sector de la red de flujo debe ser superior a 3, y se denomina factor de seguridad (FS). FS = ic /ib (6,48) (en el borde de la presa)ic: gradiente critico; ic = / w

ib: gradiente a la salida de la presa o gradiante maximo .

Estabilidad de la estructura. La estabilidad de la presa, tiene que ver con su diseño estructural si se trata de una presa de concreto; o con la pendiente de sus taludes en una presa de tierra para que no vayan a fallar en condiciones de operación o vaciado. Con el análisis de cuerpo libre, o fuerzas actuando sobre la estructura puede iniciarse la comprobación de la estabilidad de la estructura. Necesariamente son indispensables otros análisis no mencionados en estos apuntes

Figura 6.22 Formas de la Red

6.10.3 Recomendaciones

En la construcción de redes de flujo es necesario tener en cuenta algunas guías, además de un procedimiento ya comprobado. Algunas consideraciones son:1. Siempre dibuje cuadrados con líneas curvas que se intercepten en ángulos

rectos tan exactos como sea posible. Ver figura 6.22

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300

FlujoR

b

a) En la red se forman los cuadrados

b) triángulos c) Sectores irregulares

Iguales

Iguales


2. Use tan pocas líneas de flujo como sea posible entre tres y doce, por tanto, las correspondientes caídas equipotencial; de tal forma que se mantengan las condiciones de curvatura. Usar una modesta escala de dibujo de tal forma que el dibujo en sí no tienda a ser más exacto que los datos del suelo puedan exigir.

3. Verifique la exactitud de los cuadrados adicionando ciertas líneas seleccionadas y observando que ellas subdividan los cuadrados grandes en otros pequeños.

4. Siempre mire la forma general de toda red de flujo. No haga ajustes de detalles hasta estar seguro de que toda la red de flujo tiene la forma aproximadamente correcta.

5. Use las ventajas de simetría en todos los casos posibles. La simetría geométrica dá como resultado porciones de la red con cuadrados exactos ; si esto es así, desarrolle primero las áreas y después extienda la red a las zonas adyacentes.

6. Use transiciones suaves alrededor y en las entradas de las esquinas. Use transiciones graduales en el tamaño de los cuadrados curvilíneos, de pequeños a grandes cuadrados.

7. Una cara de descarga en contacto con el aire, no es una línea de flujo, ni una equipotencial; sin embargo, esa frontera debe llenar las mismas condiciones de igual caída equipotencial donde las líneas equipotenciales las intercepten.

8. Para obtener buenos resultados, un dibujo apropiado de la red de flujo tiene la aproximación adecuada. Hay que recordar que el coeficiente de permeabilidad se obtiene con una exactitud de cierto orden de magnitud (un exponente diez), que es menor que la relación de forma de la red.

6.11 SUELOS ESTRATIFICADOSEl coeficiente de permeabilidad para un suelo homogéneo e isotrópico se determina mediante ensayos en el laboratorio. En un suelo estratificado es conveniente reemplazar el espesor total del estrato o espesor por donde se esta representando el flujo como espesor efectivo “L”, que es igual a la sumatoria de los espesores de cada una de las capas y llamar el coeficiente de permeabilidad representativo para el espesor total como Kv o Kh, permeabilidades equivalentes según sea la dirección del flujo. Existe una gran analogía entre el flujo eléctrico y el flujo de agua para resistencias en serie y resistencias en paralelo, las ecuaciones que modelan la permeabilidad equivalente para un medio poroso estratificado y la resistencia equivalente de circuitos conectados en serie o en paralelo sobre una muestra.

6.11.1 Expresiones para permeabilidades equivalentes

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301


Se pueden obtener para un suelo saturado y estratificado, por donde se hace pasar un determinado caudal, como se presenta en la figura 6,18.

Figura 6,18 Suelo estratificado. Flujo vertical y horizontal

FLUJO VERTICAL. Para determinar la expresión de la permeabilidad representativa para todo el estrato cuando el flujo se presenta en sentido vertical, se tiene en cuenta:

Qentra = Q sale (ecuación de continuidad), como el caudal es el producto de la velocidad por el area la cual permanece constante; se puede igualar velocidad de entrada con la velocidad de salida.

Velocidad de entrada V = kv·i = kv , velocidad de salida es la velocidad en cada

uno de los estratos, que es la misma para todos los estratos. Luego velocidad

salida =

Ahora igualando expresiones: V= k’v = k1 = k2 = k3 =………= kn

Reordenando esta expresión y haciendo dos columnas se tiene:

= ; = ; = ................. =

De la sumatoria de las columnas de la izquierda a la sumatoria de las columnas de la derecha se obtiene:

(1)

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302

V Velocidad del flujo en medio.KV Permeabilidad Equivalente Vertical.Ki Permeabilidad Estrato i.hi Perdidad de potencial en estrato i.Hi Espesor del estrato i.L Espesor total Estratos, sumatoria de espesores.h Cabeza Total.


h1+h2 +h3 ………hn = h La sumatoria de perdidas de potencial de todos los

estratos es igual a la perdida de potencial total. Y como V = k’v · (2) ,

reemplazando (2) en (1) se tiene y despejando: k’v = (6,42); que es la

expresión para la permeabilidad vertical equivalente en un suelo estratificado.

FLUJO HORIZONTAL. Se vuelve a partir de la ecuación de continuidad, caudal de entrada es igual al caudal de salida, y como caudal de entrada se tiene:

Q = A·Vpromedio = L(k’h )i

En este caso el caudal de salida es igual a la sumatoria de los caudales que pasan por cada estrato. Caudal de salida = k1H1i + k2H2i +k3H3i+……….+knHni, el gradiente hidráulico es el mismo para el caudal equivalente y caudal de salida luego se puede eliminar de la igualdad y despejar la permeabilidad equivalente se obtiene:

k’h= (6,43)

Con las expresiones anteriores se obtiene la permeabilidad equivalente para cada dirección de flujo pero si se va a trabajar con flujo bidimensional isotrópico se debe establecer una permeabilidad en funcion de estas dos permeabilidades equivalentes Ke, la cual se puede evaluar con la expresion :

(6,43 a)El grado de anisotropia o variación de los coeficientes con la dirección depende del tipo de suelo o roca y de la naturaleza del deposito. La anisotropia es más predominante en las arcillas que en las arenas, y los máximos de permeabilidad forman ángulos rectos. En la figura 6,19a se presenta un deposito anisotropico, donde los vectores de velocidad aparecen con la orientación de las componentes máximas en las tres direcciones; z es normal al plano de la figura.

Figura 6,19 Medio Anisotropico

Geotecnia Básica

303

vx

vy

Nivel del terreno

x

y

kx

ky

x’

x’’

a) Dirección de velocidades

b) Dirección de máximas permeabilidades (Bidimensional)


En la figura 6,19b, aparece la dirección de la variación de la permeabilidad en dirección x, y y direcciones intermedias con ángulos y . Es es posible encontrar expresiones para hallar la permeabilidad en esas direcciones en caso de ser necesario .

como y ,

reemplazando

(6,44)

Además de la expresión (6,44), para esta situación existen otras expresiones para hallar la permeabilidad en una dirección especifica a partir de permeabilidades máximas.

y como

Sustituyendo (6,45)

Con las expresiones (6,44) y (6,45) se obtienen valores muy similares del coeficiente de permeabilidad.

6.11.2 Medios ortotropicos

Para este tipo de suelos la ecuación diferencial que gobierna el flujo bidimensional es la ecuación 6.24, pero con la metodologia ya expuesta es posible hallar una permeabilidad equivalente en la dirección, deseada. Un procedimiento para resolver este tipo de problemas es el siguiente:

Hallar las permeabilidades equivalentes en la dirección de los estratos y ortogonal a los estratos, ecuaciones 6.42, y 6.43; y con estas hallar la permeabilidad equivalente para el medio, ecuación 6.43a.

Transformar el medio ortotropico en un medio isotropico con la modificación de escala de uno de los ejes, según el siguiente desarrollo matematico.

(1)

Remplazando en la ecuación diferencial medio ortotropico

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304


Simplificando (2)

La ecuación uno corresponde a la ecuación que rige el flujo bidimensional en un medio ortotropico y realizando una transformación de coordenadas se llega a la ecuación de flujo bidimensional suelo isotropico (2). Fisicamente esto significa el incrementar o disminuir una distancia para que los coeficientes de permeabilidad tengan la misma componente en cada dirección .

Una vez transformada la escala de uno de los lados se resuelve el flujo como si se tratara de un medio isotropico, utilizando para la pemeabilidad la expresión:

Figura 6.19 c) Red de flujo

6.12 RED DE FLUJO POR LA PRESA DE TIERRA

El flujo de agua a través de presas de tierra es una de las primeras aplicaciones de la teoría de redes de flujo, para este caso en particular se puede observar que el considerar un flujo bidimensional a través de una estructura de tierra (Figura 6,23) es bastante representativo de las condiciones reales. La evaluación de caudal o de la cantidad de flujo a través del material de construcción de la presa va a depender del ángulo de inclinación () de la cara aguas arriba y aguas debajo de la presa, osea de los talules que conforman la estructura, del material seleccionado para relleno, y las dimensiones de la misma. El angulo B o inclinacion de los taludes aguas abajo y aguas arriba , generalmente es el mismo, conformando una estructura simetrica, pero se han diseño estructuras con angulos diferentes.

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305

ua

a qa = ba q


Figura 6,23 Presa en tierra o presa Homogenea

6.12.1 Evaluación del Caudal ( 30°)Este caso corresponde a un flujo no confinado donde la frontera superior no está definida y corresponde a la linea superior de infiltracion que de acuerdo a Dupuit, tiene de una parabola. Considérese una presa de tierra idealizada, tal como aparece en la figura 6,24, la ecuación de la línea de flujo superior o frontera superior o la línea freática puede ser determinada o tambien puede obtenerse por métodos gráficos o mediante el desarrollo de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el flujo bidimensional.

Figura 6,24 Sección transversal de una presa

En la figura 6,24 se han definido los puntos de entrada y de salida del agua; para la entrada se determina el punto A que esta a 0.3M, donde M es la proyección horizontal del talud mojado aguas arriba. El punto de salida del agua infiltrada en el talud aguas abajo se tomo la distancia “a” ,medida desde el talon aguas abajo y en la direccion del talud que se puede calcular con la expresión 6,51. En la figura también se observa el trazo de la línea superior de infiltración que es una parabola en las coordenadas x, z; donde el eje x es paralelo a la base de la presa y z se mide a partir del talón de la presa, el origen de coordenadas es el punto 0.

El flujo a través de presas de tierra fue una de las primeras ocupaciones de la teoría de redes de flujo. Para este caso la línea superior de infiltración o línea freática no está definida; por tal razón el primer paso en la evaluacion del caudal es determinar su posición para tener las fronteras del flujo definidasy hablar de un

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306

Bordes Libres

Nivel máximo de agua

EMBALSE MUERTOCimentación de la presa

Talud aguas abajoTalud aguas arriba

Nivel mínimo de aguas

Corona de la presa

N.T.

Angulo de inclinación de talud LS

Línea Superior de Infiltración

Nivel de Terreno

Talón Aguas Abajo

Talón aguas Arriba

0.3M

d

HM

xi

a

z =Kx

Nivel de aguas abajo

2

zi

xo

zo

x

A z

oo


flujo confinado. Considerando una presa de tierra como en la Figura 6,25, la ecuación de la línea de flujo superior puede obtenerse a partir de las ecuaciones de caudal, como se presenta a continuación.

Figura 6,25 Línea superior de infiltración de la presa.

En la figura 6,25 el punto F se toma siempre como la intersección del nivel de aguas abajo con el talud de la presa. Este puede coincidir con el nivel del terreno, como en el caso de la figura o puede enterrado de acuerdo a nivel de cimentacion seleccionado para la estructura . Tomando el origen de coordenadas en F, para la línea superior de infiltración se tiene: que el gradiente hidraulico “i” para el flujo por dentro de la presa puede calcularse como:

en (x , z)donde dz es h y ds. en la longitud. V = ki =

Si se quiere hallar el caudal, se debe establecer el área a través de la cual se presenta el flujo. El área de flujo A = (ancho) = z , donde L es la profundidad o longitud de la presa; para facilitar los calculos, se puede asumir una profundidad unitaria para obtener un caudal por metro de longitud de la presa. Para inclinaciones del talud aguas arriba o aguas abajo con ángulos menores de 30 se puede reemplazar dz/ds por dz/dx, asumiendo que para ángulos menores de 30° el sen es aproximadamente igual a tag. Esta es una de las aproximaciones del método.

Haciendo esta sustitución: , separando variables e integrando:

(1)

para hallar la constante de integración se utilizan las condiciones de frontera y se

reemplaza x=d y Z= H; , ahora volviendo a la ecuación (1) y

reemplazando,se tiene:

(6,49)

La expresión 6,49 que permite hallar al caudal, también corresponde a una parábola que representa el recorrido de la gota de agua en la frontera o limite,

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307

(x,z) hL

adx

dz

x

z30°

Impermeable

Línea freática

F


llamada línea freática, luego si se le dan valores a x se obtiene el valor z, esta seria una forma de construir la linea superior de infiltración, pero es necesario conocer el caudal de exfiltracion .

El ángulo de salida de la línea freática en el talud aguas abajo se puede evaluar de la Figura 6,26, de la siguiente manera.

Figura 6,26 Angulo de salida de la línea superior de infiltración

(1), como en la red de flujo se debe cumplir que b = c.

y de la figura 6,26 ; ahora , de la expresión (1) se

tiene que: ; para que esta ecuación sea válida, el valor que debe

tomar es 0, luego la línea superior de infiltración es tangente al talud aguas abajo para que sea cero.

Evaluación del caudal y superficie mojada. El caudal que pasa atraves de la presa y la superficie mojada del talud aguas abajo puede hallarse con la expresión de caudal total de infiltración, expresión (6,49).

(1), para ángulos menores de 30°, tan sen,

luego el gradiente puede expresarse como: i = dz/ds dz/dx o tan; de la figura

6,24 se tiene que: Z = a sen , Luego el caudal total esta dado por:q = A v, donde la velocidad v = k i = k tan, reemplazando, se llega a una expresión para evaluar caudal, conocido a, B y permeabilidad.

q = ka tan . sen (6,50)

Ahora igualando ecuaciones (1) y (6,50) y sustituyendo el valor de z y x a la salida.

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308

Talud aguas abajo

a

Líneas equipotenciales

Líneas de flujo

Línea freática

bbc

c c

dhhhh

-

Pr


z = a sen ; x = a cos

, Ecuación que corresponde a una cuadrática

. De la solución general de una ecuación cuadrática.

(6,51)

La expresión 6,51 se utiliza para hallar la longitud de la superficie mojada donde todos los términos ya están identificados en la figura 6,23 y 6,24.

6.12.2 Cálculos de la infiltración

Este puede evaluarse con la expresión 6,50, para ángulos menores de 30°, una vez se halla calculado el valor de a, con la expresión 6,51. El procedimiento para dibujar la línea freática en un dibujo a escala, debe considerarse para dos casos, según el valor de . Cuando es 30, se puede utilizar el siguiente procedimiento: - Se dibuja la presa a escala.- Calculo de la superficie húmeda “a”.- Los modelos y las observaciones indican que el vertice aparente de la parábola se localiza en el talón de la presa, o punto de contacto de la superficie del terreno con el talud aguas abajo y el empalme con la superficie a nivel del agua en la presa a una distancia de 0.3 M aguas arriba (Figura 6,23). -Como la línea superior es una parábola, se puede utilizar la forma más simple de la ecuación z = 4px2, como se conoce un punto de la parabola (x0,z0) se halla 4p.z en xo , zo lo cual da 4p = yo/xo

2. Calculado 4p se puede construir la parabola dandole valores a x de 0 hasta d.

Nótese que la parábola es una tangente a la cara aguas abajo a una distancia “a” y en la parte superior de la parte húmeda o punto de entrada, se empalma con el nivel del embalse.

Metodo alterno. Existe un método gráfico aproximado y muy rápido para encontrar la trayectoria de la línea superior. El procedimiento se ilustra en la figura 6,26 y es el siguiente:- Establecer una tangente a la parábola en el punto “A”, use la cara aguas abajo

cuando 30 estrictamente hablando se trata del segmento 0A.- Trace una línea paralela al eje horizontal por el punto B o nivel máximo de

aguas, hasta la cara aguas abajo encontrando el punto 0’. Dividida 0’A y 0’B en el mismo numero de partes iguales (no más de 4 o 5) y marque estos puntos sobre los segmentos 0’A encontrando los puntos 1, 2 en este caso y sobre la línea B0’ encontrando los puntos 1’, 2’.

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309


- Por la línea 0’A, y a través de los puntos marcados, dibujar o trazar líneas paralelas al eje horizontal.

- Desde A como origen trazar suavemente radios que vayan a interceptar los puntos 0’, 1’, 2’ y B marcados en la línea 0’B.

- Partiendo del punto B, trace la diagonal de los cuadrilateros que se formaron con las líneas horizontales y los radios. La diagonal trazada no es una línea recta, resulta ser la línea superior de infiltración. En la figura 6,27 es la línea punteada.

Figura 6,27 Método alterno para la construcción de la línea de infiltración

6.12.3 Taludes con inclinación Superior (>30º)

Si es mayor de 30 requiere un método diferente para dibujar la línea freática o línea superior de infiltración, pues en este caso dz/dx, luego es necesario obtener un parámetro de distancia “p” de una parábola.

Método gráfico para hallar “p”. En la figura 6,28 se ilustra el procedimiento a utilizar para trazar la parabola que corresponde a la línea superior de infiltración. El procedimiento es el siguiente:

- Dibuje a escala la sección de la presa.- Localice el punto D a 0.3M, como se ve en la figura 6,28 y con radio DF

trace semicírculo, que parta del talón de la presa y se intercepte con la horizontal trazada por D, en el punto J.

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310

a

0.3M

Tangente a la parábola en A

B 2 1’ 0’

E2

G 1

A

F

0


- Trace la tangente al semicírculo por el punto J, línea vertical y determine el punto de corte de esta con la horizontal por la base de la presa que corresponde al punto L.

Figura 6,28 Determinación de la distancia focal

- Tome el segmento F L = p y conocido P ya tiene la ecuación de la parábola para trazar la línea superior de infiltración, haciendo la corrección a. F : foco de la parábola, de la figura 6,27, y P se puede hallar con la expresión:

(Pitágoras) (6,52)conocido “p” con la expresión 6,52 o graficamente, se puede trazar la parabola. p = distancia del foco a la directriz. Conocido p se deben- Hacer correcciones a la entrada y a la salida teniendo en cuenta que la

parábola de entrada se inicia en 0.3M y a la salida, es necesario hacer la corrección en la distancia a; corrección a propuesta por casagrande, con la

figura 6,29 se determina y de esta se halla . También se puede

hallar de la tabla adjunta a la figura.

Calculo del flujo para mayor de 30

- Se calcula p, de acuerdo a procedimientos ya expuestos en los parrafos anteriores, para construir la parábola, usando la ecuación (z2 = 2p(x+P/2). Como se muestra en la figura 6.27.

- Calcular “a” con la expresión 6,51 y encuentre el punto N y “ ” de acuerdo a procedimientos propuesto en la figura 6,28 y encuentre el punto H, donde la parabola se intercepta con el talud aguas abajo de la presa.

- Hacer correcciones de entrada y salida de la línea freática.- Evaluar q, con la red de flujo o con expresión.

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311

Línea Tangente vertical

JSemicírculo

0.3m

p/2

a

a

dp

H

D

r

M

N

2

1 LF

r=d+p

Radio=p

"corrección"

"corrección"


Figura 6,29 Evaluación de la corrección para >30°

6.12.4 Consideraciones para redes de flujo

En la figura 6,30 se presentan varias redes de flujo para diversas condiciones de frontera y formas geométricas. En general la red de flujo esta determinada por las condiciones de frontera. Los requisitos para las condiciones de frontera de una red de flujo son:Las líneas de flujo interceptan las líneas equipotenciales, en ángulo recto, excepto en puntos singulares donde la velocidad es nula o infinita, como ocurre en las esquinas o en las puntas de pantallas impermeables. La definición de q y h’ debe tomar la misma magnitud para cualquier línea equipotencial. La presión dinámica en la intersección de la línea freática con cualquier equipotencial es cero.En todos los canales de la red de flujo se debe cumplir la ecuación de continuidad caudal que entra igual a caudal que sale, lo cual se cumple en suelos saturados qentra = qsale. Donde todos los términos están identificados en la figura 6,28

De la figura 6,28 para el cálculo del a se puede determinar en forma directa la distancia húmeda sobre la cara mojada del talud aguas abajo, a+a y con esta distancia o punto de salida y el punto de entrada determinado graficamente con las dimensiones de la presa (Figura 6,26), se puede dibujar o calcular la línea superior y una vez establecida esta, se obtienen las fronteras para el flujo por dentro de la presa y se puede optar por una solución gráfica, red de flujo o una solución analítica.

Estos calculos y procedimientos permiten determinar el caudal de exfiltración, y con este la necesidad de construir filtros para evacuar el caudal o dentellenes para impedir el flujo, en el diseño de este tipo de estructuras. A pesar de ser una herramienta muy elemental los resultados son bastante cercanos a los valores reales o experimentales. La evaluación del gradiente hidraulico critico y el factor de seguridad contra la tubificación también se hace con la información tomada de la red de flujo.

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312

Valores de 300.375 600.32900.261200.1851500.1051800.000

Red de flujo a través de una presa de tierra homogénea con cimentación impermeable y sin nivel de agua, aguas abajo

a) Variación de los cuadrados curvilíneos

b) Red de flujo, presa con filtro de pata

c) Presa de tierra con filtro en chimenea

d) Presa de tierra con enrocado en el talón

e) Presa en concreto impermeable


Figura 6,30 Redes de Flujo

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313


Cálculo directo de la cantidad de filtraciónEsta puede evaluar con la expresión 6,50, para > 30°, tomando el valor de a calculado con la expresión 6,29 y teniendo en cuenta que tang sen. El caudal tambien se puede evaluar con la red de flujo.

Ejemplo 6,7. Para la presa de la figura E6,7 determinar el caudal que va a salir por el por el cuerpo de la pres, con dimensiones h = 18.5 m; K = 4 x 10 m/min;

Figura E6,7

Solución: = Tan-1 (20/40) = 26.6°; M= 18.5 / tan26.6 = 36.94 m d= 40+16.9+36.94(0.3) = 67.68 mPara cálcular la distancia húmeda “a”, utilizando la expresión (6,51):

= 12.27 m

Conocido , se puede utilizar la expresión 6,50 para hallar el caudal.

; Pasando m3 a litros = 6.6 l/seg

En el libro diseño de presas pequeñas se dan recomendaciones para la inclinación de los taludes de acuerdo al tipo de material. En la Tabla 6,3 se presentan algunos de los valores recomendados según el tipo de material, para el predimensionamiento de estas estructuras.

Tabla 6,3 Valores recomendados para talud de diseño

CASO PROPÓSITO SUJETAS A DESEMBALSES RAPIDOS

CLASIFICACION DE LOS SUELOS

TALUDAGUAS ARRIBA

TALUD AGUAS ABAJO

A Regulación o Almacenamiento No

GC GM SC SMCL ML

CH MH

2½ : 13 : 1

3½ : 1

2 : 12 : 12 : 1

B Almacenamiento SíGC GM SC SM

CL MLCH MH

3 : 13 : 14 : 1

2 : 12 : 12 : 1

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314

Estrato impermeable

16.9 m 40 m

18.5 m20.0 m

0.0 m


6.14 REDES DE FLUJO PLANAS O RADIALES

En algunos casos de obras de ingeniería donde se prevee va a generarse un flujo, resulta mejor usar redes de flujo planas para estimar la magnitud de la filtración con los indicados, esto se presenta en casos como excavaciones superficiales para la cimentación de una edificación, en la perforación o sondeo de exploración, la construcción de drenajes subsuperficiales y otros casos semejantes. Para utilizar este método se necesita una planta donde aparezca el sitio hacia donde se presenta el flujo y la fuente de abastecimiento pues el flujo no se presenta por una sección, sino que abarca todo el área perimetral y por lo menos, un perfil para interpretar la geometría del caso y calcular la magnitud de la filtración. Las redes de flujo planas difieren de las que previamente se han considerado o de las redes de flujo en perfil pues:

Los segmentos o figuras no son cuadrados perfectos pero tienden a conservar constante la relación entre sus lados,los segmentos convergen tanto en planta como en perfil al perímetro de la salida. Si la excavación no penetra completamente en el acuífero, la línea equipotencial del perímetro no señala correctamente las condiciones de filtración; hay filtración vertical hacía la pared de la excavación, que debe tenerse en cuenta.

La forma de construcción de una red plana es la misma que para las redes ya tratadas y una vez, se tenga la red y asumiendo que las condiciones se satisfacen aproximadamente, entonces se pueden utilizar las siguientes expresiones propuestas por el ingeniero Joseph Bowles, para evaluar el caudal.

(6,53)

La expresión (6,53), se puede utilizar para determinar el caudal de una red de flujo plana, como la de la figura 6,31 con presión artesiana. Si el flujo se presenta por gravedad se debe utilizar la expresión (6,54).

(6,54)

Donde Q es la cantidad de caudal; k la permeabilidad, H la altura de presión artesiana o de gravedad y he la altura del agua en la zanja o canal; D el espesor del estrato permeable.

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315


Figura 6,31 Flujo hacia excavaciones. Redes radiales

El flujo hacía pozos puede evaluarse por medio de redes de flujo, pero también se puede calcular directamente esta cantidad con expresiones que se deducen de la expresión propuesta por Darcy. Existen muchos casos de flujo que pueden ser analizados con la metodología propuesta. A continuación se ilustran algunos casos con condiciones diferentes para obtener la expresión de caudal. Para el pozo de forma de zanja bajo condición artesianas con flujo de un solo lado.

Expresión propuesta por Darcy: Q = k i APara este caso y basados en la figura 6,31 diagramas a y b para flujo con presión artesiana, donde L es la longitud de la zanja y A el área = D x L

Separando variables e integrando obtenemos: integrando para hallar la constante de integración se toman las condiciones de frontera h = H en y = R y h = he en y = 0.

reemplazando en la ecuación original y teniendo en cuenta que para y = R , h = H, se tiene; la expresión 6,55.

(6,55)

Para flujo por gravedad y drenaje por una de las dos caras; figura 6,31c.

separando variables e integrando

, integrando entre h = H en y = R y h = he en y=0

(6,56) por las dos caras (6,56a)

Para un pozo circular que penetra todo el estrato permeable que se encuentra sometido a presión artesiana figura 6,32d. Se parte de la ecuación de Darcy.

A = 2 rD Sustituyendo

se conoce que en r = R, h = H y h = hw en r = rw se obtiene:

= (6,57)

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316


Para el pozo que penetra completamente el estrato sometido a flujo por gravedad ver figura 6,31e, g.

separando variables, integrando entre h = H, r

= R y h = hw , r = rw

(6,58)

Trabajos y observaciones de campo han demostrado que el flujo para pozos de gravedad que penetran parcialmente el acuifero o estrato permeable, como en muchos casos se puede evaluar con la expresión semiempirica propuesta por J. Bowles (6,59) (* Expresión en radianes). Donde los términos se definen en la figura 6,33a,

(6.59)

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317

he

he

Estrato impermeable

x y

zN.T

Estrato permeable

a) Ladera con flujo a presión artesiana

DHLínea superior

de abatimiento

R

Estrato impermeable

Estrato permeable

N.T

Estrato impermeableR : Distancia donde no tiene efecto la zanjab) Plano (z,y). Flujo con presión

artesiana

Estrato permeableHLínea superior

de abatimientoR

N.T

Estrato impermeable

c) Plano (z,y). Flujo por gravedad

2 rw

r : radio del pozod) Vista en planta del pozo artesiano

Superficies de abatimiento

Estrato impermeable


Figura 6,32 Flujo hacia pozos

Figura 6,33 Pozo profundo, Acuifero por gravedad

Ejemplo 6,8. En la perforación de un pozo profundo de 100 m con un radio interno de 12’’, donde el espesor del estrato permeable es de 45 m y tiene una permeabilidad de 3.8 x 10-3 m/min y se encuentra bajo un estrato arcilloso de 70 m de espesor, se realizo una prueba de bombeo encontrando un abatimiento del nivel freático de 10 m. El flujo se produce por gravedad saturando 11 m del estrato permeable.

Solución: Se toma como nivel de referencia la base del estrato permeable.

Solución con descenso de 10 m H = 40 m, hw = 30m s = 15 mt = 100 m–(70m+15m) = 15 mrw = 0.15m H = 40 m

Para poder aplicar esta expresión seria necesario conocer la distancia R, a la cual no tiene influencia la extracción de agua del pozo, esto implica la ejecución de perforaciones de control a diferentes distancias. Como en este caso no se hicieron; Utilizando la expresión 6,59 se tiene:

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318

hwD H

N.F (NIVEL) ORIGINAL

CURVA DE ABATAMIENTO

N.TESTRATO

IMPERMEABLE

a) Flujo en Pozo por gravedad penetración parcial

b) Flujo en pozo por gravedad penetración total


=

Como R es desconocido, se pueden asumir varios valores de este parámetro para determinar la cantidad de flujo:

VALORES DE R Ln (R/0.15) Q (m3 /min)20 4.9 0.8840 5.6 0.7750 5.8 0.74

100 6.5 0.67

De la cual se puede tomar que el caudal a extraer es del orden de 0.7 m3/min en forma aproximada

6.15 CALCULO DE RED DE FLUJO POR DIFERENCIAS FINITAS

Este método se puede utilizar para resolver casos de flujo bidimensional donde la ecuación diferencial que gobierna el flujo en un medio ortotropico se deduce de la expresión 6,21 para flujo tridimensional suelo anisotropico.

(6,60)

Esta expresión se puede reducir a la ecuación de flujo bidimensional suelo isotropico anulando la permeabilidad del suelo que es una constante por translación de ejes , sección 6.10.2 y la ecuación se reduce a la siguiente expresión:

(6,61)

A partir de la expresión (6,61) y teniendo en cuenta la dirección del flujo se puede establecer una ecuación para la evaluación del potencial en cualquier punto del medio por donde se presenta el flujo.

6.15.1 EcuacionesLa ecuación diferencial de segundo orden para flujo bidimensional medio isotrópico se puede transformar utilizando la serie de Maclaurin. A continuación se hace un breve resúmen del desarrollo matemático de la serie de Maclaurin, la cual asume que cualquier función se puede expresar como una sumatoria de series de potencias:

Sea f(x) una función, en cualquier caso esta función se puede expresar como una serie de potencias.

y = f(x) = aº +a1x+ a2x2 +a3x3 + a4x4+...... + anxn la derivada:

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319


dy/dx = f’(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ……………... + nan xn-1 si se vuelve a derivar esta función se obtiene la segunda derivada:

d2y/dx2 = f”(x) = 2a2 +2·3 a3x + 3·4·a4 x2+ ... + (n-1) nan xn-2; la tercera derivada.

d3y/dx3 = f’’’(x) = 2·3a3 + 2·3·4·a4x + ....... + (n-2)(n-1) nan xn-3

Si se calculan las derivadas en x = 0, se puede observar que los coeficientes de la serie propuesta pueden ser evaluados, entonces tenemos:

ao = f(0); a1 = f’(0); a2 = f”(0)/2 , a3 = f’’’(0)/3 (6.62)

Generalizando cualquier coeficiente puede ser evaluado con la expresión: qn = fn

(0)n (6,62) ; donde f n’ es la derivada enésima y n Factorial de n. Reemplazando estos valores en la serie propuesta por Mauclaring y que representa la función expresada en termino de los coeficientes hallados es: f(x) = f(0) + x f’(0) + x2 f”(0) +x3 f”’(0) + ... + xn fn’(0)

Esta expresión representa la serie de Maclaurin y es la base para una solución de la ecuación diferencial de flujo bidimensional medio isotropico.

Figura 6,34 Evaluación de la función a un x

Serie de Taylor. Si la curva y = f(x) corta el eje y arriba del origen en el punto A se puede interpretar la serie de Maclaurin, como sigue: P es punto sobre la curva que describe la función con abscisa x, y los coeficientes de la serie de Maclaurin, para representar la función son calculados en f(x), f’(x), f”(x), para el punto A donde x =o, los coeficientes pueden ser zo, zo’, zo’’ ... Entonces el valor de la función evaluada en el punto x = P, se puede expresar utilizando las series de Taylor y partiendo del punto A, con la siguiente expresión:

f(x) en p :

Ahora utilizando la ecuación ya vista para flujo bidimensional medio isotropico y utilizando las expresiones hallados para hallar la función en un punto adyacente a una distancia conocida, se tiene la expresión (6,61).

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320

O

A

z

zo

x

zp

P

x


Puede expresarse la función del potencial en puntos adyacentes en una red de flujo. Si se toma el medio poroso en cual se presenta el flujo y se dibuja una malla cuadrada con distancias “a” del origen hacia los puntos de corte con los ejes, se tendrá la figura 6,35 y analizando los 4 puntos adyacentes a la parte central de la malla y utilizando la serie de Maclaurin y de Taylor se puede representar la función potencial h para hallar la función en puntos adyacentes.

Figura 6,35 Puntos de una red de flujoConsiderando el flujo en la dirección “z” y tomando “0” como el origen y aplicando el teorema de Taylor y reemplazando x por a que es la distancia a la cual se quiere hallar la función, se tiene que el valor del potencial en cada punto adyacente puede quedar definido como:

(porque en esta dirección a es negativa)

Si en estas expresiones se tiene en cuenta que los términos de segundo orden en adelante son casi nulos se pueden eliminar de la expresión y estas se reducen a

y

Estas dos expresiones representan el valor de la función de potencial en los puntos 2 y 4. Ahora si se suman estas dos expresiones y se tiene en cuenta que h0

2 es la segunda derivada se tiene:

(1)

Similarmente para el flujo en la dirección x, se puede determinar la ecuación análoga a la deducida y se tiene:

(2)

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321


Sumando las dos ecuaciones diferenciales (1) y (2) y teniendo en cuenta que la ecuación diferencial que representa el flujo bidimensional suelo isotropico, expresión 6,61:

El resultado de este tratamiento es que el valor del potencial en el centro de los cuatro puntos de la red es el promedio de los valores de potencial de los cuatro puntos adyacentes.

h1 + h2 + h3 + h4 - 4ho = 0 (6,63)

o también (6,63a)

Estas expresiones dan origen a una forma de cálculo del potencial en puntos definidos de un continuo por donde se presenta el flujo y se conocen las condiciones de frontera.

6.15.2 Residuales

Si en la construcción de una red de flujo se tiene un punto donde el potencial no es conocido, pero se conocen las condiciones de frontera es posible utilizar el método de diferencias finitas para evaluarlo. Por ejemplo en la figura 6.35 el potencial en el punto 0 debe cumplir la expresión 6,63, si esta sumatoria es diferente de cero, entonces este valor es el residual denominado R. Este valor es el residual del punto 0 y entonces el sistema es no balanceado y el procedimiento será el reducir este R a valores infinitesimales lo cual sigue se condistribuyendo el residual y balanceando la red.

El procedimiento a utilizar para balancear una red será el de redistribuir el residual en cada punto de la red en los puntos adyacentes, asi se debe proceder para toda la malla realizando un recorrido por todos los puntos de la red, proceso que es similar a un cross para toda la red de flujo. Estos recorridos o ciclos se deben realizar hasta conseguir la reducción de los residuales a valores infinitesimales, lo cual significa un flujo balanceado, donde el residual se puede tomar como cero.

Procedimiento:Iniciando con un valor de h asumido, para el punto o, es necesario calcular todos los residuos en cada punto de las red y ajustar gradualmente estos a cero mediante iteraciones, variando el valor del potencial h, hasta que el sistema quede balanceado y h sea el correcto. Este proceso puede llevarse a cabo por el método denominado de “relajación”.

En la figura 6,36 se toma h1, h2, h3, h4 h5, h6, h8 y ho como los valores del potencial en los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 0; y R1, R2, R3, R4 y Ro como los residuales, en los puntos 1, 2, 4, 8, 6 y 5 por corresponder a puntos de forntera el potencial es un valor conocido y fijo; el procedimiento para balancear esta red sería el siguiente:

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322


Figura 6,36 Distribución del residual

Para la solución de la red de la figura 6,36, se tienen unos puntos interiores 0 y 3 en los cuales el potencial se quiere hallar conociendo el potencial en los puntos 1, 2, 6, 5 y 8 y 4. El primer paso es calcular el residual en los puntos interiores donde no se connoce el potencial haciendo un recorrido de izquierda a derecha, en toda la malla es aconsejable numerar estos puntos. R0 = h1+h2+h3+h4 – 4h0 observe que fue necesario asumir un potencial en cero, el cual debe estar entre los valores frontera. El segundo paso es balancear el punto interior sumando o restando el residual hallado, y se traza una línea horizontal para mostrar que se hizo el balance. En la figura 6.36 a) aparece el balance del punto “o”, donde al lado izquierdo se resta el residual.

Figura 6,37

El tercer paso es distribuir este residual en los puntos adyacentes, para esto el residual se divide en cuatro y se distribuye con el mismo signo del residual en los cuatro puntos adyacentes, este valor también se agrega al potencial del punto interior que se esta balanceando (Figura 6,36b). El cuarto paso es pasar a los puntos adyacentes de izquierda a derecha, hacer el mismo proceso del punto anterior, pasos uno, dos y tres en cada punto de la malla. Se deben hacer varios recorridos por la malla hasta que el residual corresponda a cifras centecimales. El quinto es para hallar el potencial en cada punto interior, sumando el potencial inicial con los residuales distribuidos.

Geotecnia Básica

323

31

2

4

o- Ro- Ro 31

2

4

o- Ro- Ro

Ro4R1

+ Ro4R3

+

Ro4R2

+

Ro4ho

+

Ro4R4

+

a) Balanceo punto interior b) Distribución del residual

a) Malla en dos puntos interiores

b) Distribución del residual c) Signos del residual


Cuando en la malla hayan puntos exteriores en el balanceo del punto interior este no envia parte del residual, puesto que no es posible cambiar el valor del potencial.

Ejemplo 6,9. En la figura E6,9, se presenta un sector de una red de flujo determinar un valor mas aproximado del potencial en el punto interior asumiendo que los valores de los extremos que aparecen como datos no son fijos por tal razón tienen modificación en el proceso de balanceo.

Residual en el centro Ro = 62 + 40 + 20 + 34 - 4 (38) = +4. Como el desbalance es de 4 se debe distribuir en el punto interior y en los exteriores adyacentes quedando como lo muestra la figura E6.9b.

Figura E6.9 Esquema ejemplo 6.9

Terminando este proceso se procede al balanceo de los puntos adyacentes, con el mismo procedimiento. Ejemplo 6.10. Determine los valores de potencial para los cuatro puntos centrales para la figura E6,10, asumiendo que los potenciales exteriores son valores fijos hallados por las condiciones de frontera.

Geotecnia Básica

324

38

+1

+1

a) sector de una red b) Residual y distribución34 34

+162 38 20

40

62 20

40

+1 4-4

+1


Figura E6.10 Esquema ejemplo 6.10

- El primer paso es asumir los valores iniciales de potencial para los puntos centrales, teniendo en cuenta que las condiciones de frontera son fijos y no sufren modificación en el proceso de balanceo. Si estos valores se asumen dentro del rango de los valores de la frontera, el número de iteraciones será menor, en la figura E6,10b, aparecen los valores asumidos.

Geotecnia Básica

325

100100

30 60

80

50

6040

a) Red a balancear

100100

60

8050

6040

40 50

60 70

b) Valores de Potencial Asumidos

c) Primeros pasos de balanceo

+1.4+15 50

+1.1-5.6+4.4+1.2-60+1050

100100

30 60

8050

+4.4+10 40

+1.4+1.4-17.8 +2.8+15-40 40

+1.4+2.8 60

-55+1.1 4.4-11.2+1.2+100

1.11.270

+1.4-4.2+1.4+2.8-5+15-10

+0.2+0.566.4

+0.2-0.9+0.2+0.5-1.8+0.7+1.1

100100

30 60

8050

+0.1 +0.3+64.2

-0.4+0.2+0.2-1.2+0.5+0.70

+0.2+0.754.4

+0.1+0.2-0.8+0.3+0.5-2.8+2.8

+0.2 +0.5+72..3

+0.1-1.0+0.2+0.8-1. 9 +0.5+1.4

100100

30 60

8050

6040

55.5 -0. 5

67.1 +0.1

64.4 +0. 5

73.0 -0. 5


- Asumidos los valores de potencial se calcula los residuales para cada uno de los puntos interiores, lo cual aparece en la figura 6.35c, en esta misma se indica el sentido de iteración, sentido horario.- Después se toma el primer punto y se adiciona el valor del residual con signo contrario para balancear el punto y se traza línea horizontal; el potencial en este punto se incrementa en una cuarta parte del valor del residual y se distribuye este mismo valor a todos los puntos adyacentes si el potencial no es fijo (Figura E6,10c). Se pasa luego al punto dos se repite proceso y luego al tres y cuatro reiniciando proceso.- Este proceso se repite en cada uno de los puntos interiores siguiendo el sentido de iteración indicado, hasta reducir el valor de la iteración a cantidades menor a la decima. Convencionalmente el valor del residuo se coloca a la derecha de la línea vertical y el cambio en los puntos adyacente a la izquierda.

6.15.3 Condiciones de FronteraEn las redes de flujo se encuentran sectores donde se tienen condiciones de impermeabilidad, en estos casos de evaluación del potencial por balanceo, debe tener en cuenta estas condiciones. En la figura 6,38 se muestra partes de la red de flujo donde se ilustran los casos a considerar:

Figura 6,38 Condiciones de frontera

Para el caso de una frontera impermeable, se puede tomar que la variación del

potencial en esa dirección es cero, o . Para hallar el residual en este

punto frontera se coloca un punto imaginario como muestra la figura 6,39d, y para esta situación se tiene:

Luego h1 = h3 (condiciones para que no exista flujo) y de la

expresión 6,63 se llega a 2h1 + h2 + h4 – 4h0 = R0 (6,64), con esta expresión se halla el residual y debe interpretarse que al distribuir de un punto interior hacia la frontera impermeable se debe sumar el doble en el proceso de balanceo , figuras 6,37 a y b. En la figura 6,37c a esas dos fronteras también se debe enviar el doble. Esto puede comprobarse con el calculo propuesto por Braja M. Das, para un cuadrado de la red, donde se debe cumplir la ecuación de continuidad. qentra = qsale, en la figura 6.37a.

Geotecnia Básica

326

h1

h3 Punto imaginario

ho

0+2

+2

+2

a) Punto exterior b) Punto interior c) Dos puntos d) Potencial en la frontera

h3


qentra = q 1–0 (la dirección del flujo será paralela a la frontera impermeable)qsale = q0-2 + q 0-3

; ;

Ecuación de Continuidadcomo x = z, cuadrados curvilineos de la red de flujo se tiene:

o R0 = h1 + 2h2 + h3 – 4h0 (6,64a)

Para el caso de la figura 6,42b, siguiendo el mismo procedimiento.

q1-0 = q0-4

o o R0 = 2h1 + 2h4 – 4h0

Con estas expresiones se puede hallar el residual en estas condiciones de frontera para y hacer el balance.

Ejemplo 6,11: Para la presa de la figura E6,11 hallar los valores de potencial en diferentes puntos por debajo de la estructura, para construir la red de flujo utilizando el método de relajación o diferencias finitas.

Figura E6.11

Solución: Como en el estrato por el cual se genera el flujo presenta condiciones se simetria se puede trabajar la mitad de la red, como se muestra en la figura E6,11a. Ahora se debe escoger cual de los lados se va a trabajar, se escoge el lado de salida.

Geotecnia Básica

327

54

90

0

Estrato permeable

72 m

36 m

6 m

Eje de simetría

72

54

54

54

54

727272

a) b)

Estrato impermeable


En el lado seleccionado se dibuja la malla a la cual se le quieren hallar los potenciales (Figura E6,11b). En la malla dibujada se deben colocar los potenciales conocidos. Como h = hp + he en la salida la presión es cero, y la geometria es 54 m. Ahora sobre el eje como se conoce el potencial a la entrada: hp + he = 36 m +54 m = 90 m. Las perdidas son de 36 m, luego en la mitad del recorrido las perdidas son de 18 y el potencial es 72 m en todo el eje con estos valores (Figura E6,11b), se asumen los demás valores para toda la red, como se muestra en la figura E6,11c. Los valores asumidos deben estar dentro de los rangos o fronteras y deben ir disminuyendo en la dirección del flujo. Se hallan los residuales en todos los puntos interiores; para el primer punto, que coincide con la frontera la expresión es la 6,64a:

h1 + 2h2 + h3– 4h0 = R 0 72 + 2·68 + 54 – 4·65 = 2

En la figura 6,11b aparece en recorrido en que se deben ejecutar los calculos en la red, y en la figura 6,11c se presentan los resultados de los calculos. Para el nodo uno de la red el primer calculo es el siguiente:

En la izquierda aparece el potencial asumido en todos los nodos interiores y a la derecha aparece el residual, como el desbalance es 2 se le suma –2 para dejar en cero el residual, una vez se balancea se traza una línea horizontal y se distribuye este residual en los puntos adyacentes.

, se suma 0.5 al potencial del punto y 0.5 a cada residual de los

puntos adyacentes que en este caso solo uno es factible de modificar, dos son puntos con potencial conocido o fijos y uno es imaginario. Con este primer balance en el nodo uno se pasa al nodo z y se encuentra que el residual es R=-4 + 0.5= -3.5 y R -0.9 (Figura 6,11c) donde aparecen los resultados de cuatro iteraciones para llegar a:

Geotecnia Básica

328

7254 54 54 54

72

72

72

64.71 -0.54

66.15 -0.17 60.46 -0.46 58.13 -0.27 57.21 -0.02 57.08 -0.06

67.26 -0.17 63.10 -0.30 60.58 -0.20 59.62 -0.73 59.84

67.62 63.80 61.28 60.08 59.97

7254 54 54 54

72

72

72

-0.36+0.62 -0.62+0.92 -0.92+1.80 -1.80 -2.00+2.00

-0.16 -0.23 -0.45+0.50 +65

-0.14 -0.19+0.70 -0.16 -0.20 -0.34+1.23 -0.23 -0.19 -0.81+1.87 -0.45 -0.22 -1.20+3.50+0.50 -4

-0.18 -0.31 -0.46+0.90 +68

-0.20 -0.15+0.76 -0.18 -0.28 -0.30+1.37 -0.31 -0.44 -0.62+3.24 -0.46+0.02 -2.80+4.90 -0.90 -4

-0.19 -0.34 -0.81 -1.20 +63

-0.18 -0.06+0.61 -0.19 -0.25 -0.17+1.21 -0.34 -0.26 -0.61+2.49 -0.81 -0.73 -0.95+11.2 -1.20 -10

-0.15 -0.30 -0.62 -2.80 +62

-0.10 -0.04+0.24 -0.15 -0.08 -0.01+0.67 -0.30 -0.21 -0.16+2.45 -0.62 -1.10 -0.73+3.80 -2.80 -1

-0.06 -0.17 -0.61 -0.95 +59

-0.06+0.17 -0.12 -0.05 -0.04 -0.34+0.38+0.65 -1.22+0.57+2.90 -1.90 -1

-0.04+0.01 -0.16 -0.73 +58

-0.13+0.56 -0.20 -0.18 -0.18+0.80 -0.28 -0.31 -0.21+0.76 -0.44 -0.46+0.14+0.88+0.02 -0.900

-0.14 -0.20 -0.19 -0.22 +68

-0.18 -0.14+0.80 -0.18 -0.19 -0.23 -0.20+1.11 -0.25 -0.34 -0.33 -0.19+1.75 -0.26 -0.81 -0.46 -0.22 -0.07 -0.73 -1.202

-0.20 -0.28 -0.44+0.02 +64

-0.14 -0.20+0.70 -0.10 -0.15 -0.17 -0.28+1.00 -0.08 -0.30 -0.18 -0.44+1.04 -0.21 -0.62 -0.23+0.02+2.90 -1.10 -2.801

-0.18 -0.25 -0.26 -0.73 +62

-0.10 -0.18+0.40 -0.06 -0.06 -0.03 -0.25+0.31 -0.05 -0.17+0.07 -0.26+0.82+0.38 -0.61+0.14 -0.73+4.38+0.57 -0.95-4

-0.20 -0.28 -0.44+0.02 +64

-0.10+0.24 -0.04 -0.04 -0.16+0.18+0.01+0.23 -0.42 -1.50 -0.16+0.86 -2.20 -2.27 -0.73 3

-0.06 -0.05+0.38+0.57 +59

-0.18+0.51 -0.28 -0.23+0.73 -0.40 -0.33+0.84 -0.38 -0.46 -0.56 -0.441

-0.13 -0.18 -0.21+0.14 +68

-0.14+0.70 -0.13 -0.40 -0.17+0.92 -0.18 -0.56 -0.18+1.32 -0.21 -0.88 -0.23+1.82+0.14+0.04-2

-0.18 -0.23 -0.33 -0.46 +65

+0.10+0.57 -0.18 -0.36 -0.03+0.66 -0.23 -0.50+0.07+0.71 -0.33 -0.52+0.14+0.92 -0.46 -1.461

-0.14 -0.17 -0.18 -0.23 +62

+0.38 -0.14 -0.20 -0.04+0.10 -0.17 -0.16+0.23 -0.26 -0.18 -0.42+0.86 -0.57 -0.23 -2.20 3

-0.10 -0.03+0.07+0.14 +60

+0.32 -0.20 -0.12+0.16 -0.06 -0.10 -0.90+0.14+0.76 -3.42+0.28+1.14 2

-0.08 -0.04+0.23+0.86 +59


Figura E6.11c

Geotecnia Básica

329


6.15.4 Subpresiones, filtraciones y tubificacionesEn la construcción de presas y diques los dentellones, zampeados y drenes se instalan por dos razones: Para controlar el volumen de las filtraciones debajo de la presa y para limitar la intensidad de la subpresión de manera que no se vea comprometida la estabilidad de la estructura. Entran varios factores en la determinación de las filtraciones a través de la presa y su fundación y de la subpresión sobre la estructura, como la carga hidráulica de la presa, la permeabilidad del suelo de cimentación, la longitud de los zampeados de aguas arriba y aguas abajo, la profundidad e impermeabilidad del dentellón y la eficacia de los drenes.

La magnitud y distribución de las fuerzas de filtración en la cimentación de una fundación y el volumen de filtraciones subterráneas para un coeficiente de permeabilidad dado se pueden obtener de la red de flujo. El volumen de las filtraciones se puede determinar por medio de la fórmula de Darcy. La teoría de la rotura hidráulica, elaborada por Lan, se propone como un medio para proyectar las presas bajas de concreto sobre cementaciones permeables para que sean seguras contra subpresiones y la tubificación. Aunque éste es un método empírico, muchos ingenieros confían mucho en él y se ha usado con éxito en el diseño de este tipo de estructuras. La circulación del agua a través de una cimentación permeable, produce fuerzas de filtración como resultado de la fricción entre el agua que se filtra y las paredes de los poros del suelo a través de los cuales pasa. El agua que se filtra hacía aguas abajo en el talón de aguas arriba de la presa, aumenta el peso sumergido (Ws) del suelo con la fuerza inicial de Filtración F1, con el peso resultante efectivo R1

Al continuar el agua su recorrido de filtración, continúa ejerciendo fuerzas de filtración en la dirección de la corriente, que son proporcionales a las pérdidas por fricción por unidad de distancia. Cuando el área dela sección transversal está restringida, como debajo de la presa, la velocidad de la filtración para un gasto dado aumenta. El aumento de velocidad está acompañado de un aumento en las pérdidas por fricción y la fuerza de filtración aumenta en forma correspondiente.

La magnitud de las fuerzas de filtración a través de la cimentación y del talón de la presa de aguas abajo, en donde debe comenzar la tubificación depende de la variación de las pérdidas de carga del agua que se filtra. Las cimentaciones relativamente permeables o dentellones adecuados no son tan susceptibles de tubificación, porque el suelo permeable no ofrece tanta resistencia al paso del agua, pues la carga del vaso se disipa principalmente en vencer la fricción antes de llegar al talón de aguas debajo de la presa.

La falla por tubificación es debida a la erosión interna que comienza en forma de canales cerca del talón de aguas abajo y que prosigue aguas arriba a lo largo de la base de la presa; en las paredes de un conducto, en un plano de estratificación en la cimentación, en un estrato especialmente permeable; o en cualquier otra

Geotecnia Básica

330


zona de debilidad que permita una concentración de flujo que llegue hasta el paramento de aguas abajo sin sufrir grandes pérdidas de agua por fricción. A este tipo de falla se le suele llamar “Falla por erosión interna”.

6.17 EJERCICIOS PROPUESTOS

6.1 El lecho filtrante de una planta de tratamiento esta compuesto por las capas indicadas en el esquema P6,1, si el tanque de alimentación de estos filtros tiene una cota cuando esta lleno de 10.5 m, respecto al cero dado en la figura la alimentación se hace por tuberías en el fondo del filtro. Asuma que las perdidas entre el tanque y base del filtro son cero. a. Cual es el máximo caudal a tratar en el filtro, cuando el lecho esta limpio, si la sección del filtro es de 2 x 3 m.b. Trace las curvas de cabeza geométrica, cabeza total y cabeza de presión para flujo ascendente. Si un piezómetro colocado en A alcanza una altura de 615 m.c. Con que caudal mínimo se debe lavar el filtro, si para esto es necesario que se produzca el levantamiento del manto de arena? (Para que caudal se produce el levantamiento).d. Evalué los esfuerzos totales y efectivos para condiciones estáticas (sin flujo) y cuando se esta lavando el filtro.

Figura P6,1

6.2 La estructura de la figura P6,2 se construyo sobre los estratos mostrados. Utilizando el método gráfico evalué el caudal de exfiltración por el suelo de fundación de la estructura.

Geotecnia Básica

331

Arena fina = 1.74 T/m3

k = 2.1 x 10-5 m/min

A

Arena gruesa = 1.79 T/m3

k = 1.7 x 10-4 m/min

Grava fina = 1.84 T/m3

k = 0.8 x 10-2 m/min

Grava gruesa = 1.90 T/m3

k = 3.5 x 10-2 m/min

Área de alimentación

Nivel del agua2.3 m2.0 m1.5 m

1.0 m

0.5 m

0 m

Tanque

Fi

ltro

a) Esquema Conexión Tanque y Filtro b) Esquema oposición lecho Filtrante


Figura P6,2

6.3 En la construcción de un embalse se encontró la condición mostrada en la figura P6,3, que recomendación haría al respecto a la continuidad del proyecto.

Figura P6,3

6.4 Para la estructura de la figura dibujar la red de flujo evaluar el caudal con el método gráfico y utilizar las expresiones matemáticas propuestas. Comente los resultados.

Figura P6,4

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332

25 m21 m

0

42 m

6 m

Roca arcillosa impermeable

k1 = 3.9 x 10-6 cm/min

k2 = 4.8 x 10-7 cm/min

k3 = 1.3 x 10-5 cm/mink4 = 9.6 x 10-5 cm/min

18 m39 m

65 m78 m

25 m

-100 m

24 m

k = 3.2 x 10-7 cm/min

k = 7.8 x 10-7 cm/min-32 m

Arcilla = 1.7 T/m3

k = 4.8 x 10-8 cm/min-30 m

0 mArcilla

k = 1.5 x 10-9 cm/min

30º

39.0 m

15 m

0 m 25º

32.5 m


6.5 En el diseño de la presa de la figura P6,5 en los análisis de estabilidad se encontró la necesidad de instalar un filtro. Evalue con redes de flujo la eficiencia en el abatimiento de la línea superior de infiltración y en la cantidad de agua exfiltrada para un filtro de pata y uno en chimenea. La presa es homogénea.

Figura P6,5

6.6 Para el tablestacado de la figura elabore una gráfica de caudal vs D/S comente los resultados.

Figura P6,6

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333

73 m40 m

0 m 38º

65 m

8 m

sk = 3.2 x 10-4

m/s

D 0 m

10 m

12 m

Capítulo 6 (Ultimo)

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