Capitulo II

CAPITULO IIENERGÍA DE DEFORMACIÓN.

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ENERGIA DE DEFORMACIÓN.

II.1. Generalidades.

El concepto de energía aplicado a estructuras elásticas estables esta asociado al trabajo W realizado por un sistema de fuerzas cualesquiera que actúan sobre una estructura cuyos puntos se desplazan.

Consideremos por ejemplo la fuerza F aplicada en el punto A del cuerpo mostrado en la Figura II.1, el cual experimenta un desplazamiento r que lo lleva a una posición A’, según el estudio de la Mecánica aplicada el trabajo W se expresa como el producto escalar dado por la siguiente expresión

La Ecuación (1) permite obtener el trabajo total sobre el cuerpo de la fuerza F que actúa en el desplazamiento r de la estructura [3, el cual será positivo o negativo dependiendo del ángulo entre los vectores F y r, dado que F. r = F. r cos. Para ángulos agudos (0° < 90° o 270° < 0°) W es positivo ya que la componente de r coincide con F, es decir la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección. En los otros casos W será negativo ya que F y r tendrán direcciones contrarias.

Para un cuerpo rígido puede demostrarse que el trabajo realizado por las fuerzas internas es igual a cero ya que no existen deformaciones en el mismo y entonces el trabajo W viene dado por la suma de los trabajos realizados por el sistema de fuerzas externas aplicadas al cuerpo [3.

Puede demostrarse que si el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio el trabajo total que representa la energía de entrada debido al sistema de fuerzas externas aplicadas debe ser igual a cero [3 y se cumple que

II.2. Energía de Deformación Interna.

71

(1)

(2)

Figura II.1. Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo

F

r

rr + r

O

A

A’


II.2.1. Concepto de Energía de Deformación Interna (U).Cuando consideramos un cuerpo deformable en equilibrio sometido a un sistema de

cargas externas, se observa que en este se producen esfuerzos internos asociados a un estado de deformación que permite la disipación de la energía que ingresa a la estructura debido a las cargas externas, entonces el trabajo realizado por las fuerzas internas es distinto de cero y representa la Energía de Deformación Interna de la estructura (U) [4. Ahora el equilibrio se expresa como

Para determinar U estudiaremos la estructura elástica mostrada en la Figura II.2a), la cual se encuentra sometida a una fuerza externa P que produce una deflexión en su punto de aplicación (B) y en su misma dirección, si la fuerza P se aplica aumentándola gradualmente desde cero hasta su máximo valor (P), entonces podemos trazar la grafica de fuerza (en el eje y) contra el desplazamiento (en el eje x), obteniéndose la recta mostrada en la Figura II.2b).

Si aplicamos la Ecuación (1) al caso considerado en la Figura II.2 podemos obtener el trabajo real de la fuerza P calculando al área bajo la curva (P vs. ) que da como resultado lo siguiente

lo cual indica que el trabajo externo real de P en el desplazamiento es realizado por la fuerza promedio (P/2) [4.

De manera análoga, el trabajo interno real (Wint) puede determinarse en función de las deformaciones internas producidas debido a los efectos axiales, de corte, flexión y torsión, multiplicándolos por los esfuerzos promedios respectivos [4. Si aplicamos el principio de superposición, dado que estamos considerando estructuras elásticas, podemos analizar cada efecto interno por separado y así determinar el Wint total por la contribución de todos ellos.

II.2.2. Energía de Deformación Interna Axial, Corte, Flexión y Torsión.

72

(3)

(4)

b) Grafica de Fuerza vs. Desplazamiento

y

x

Área = WEXT

P

a) Estructura deformada por la fuerza P

B

B’ P

Figura N° II.2. Trabajo de una fuerza real en un despalzamiento


Para determinar la Energía de Deformación Interna (U) de una estructura analizaremos un elemento estructural como el que se muestra en la Figura II.3a), considerando el elemento diferencial (dx) de la Figura II.3b) sometido solo a efectos axiales.

Entonces el diferencial de trabajo (dWint) se determina por el producto de el esfuerzo axial promedio N(x)/2, el cual en términos generales es una función de x, y la deformación axial (AXIAL) la cual se obtiene de la Resistencia de los Materiales como N(x)dx/AE, en donde A es el área de la sección transversal y E el Módulo de Elasticidad del material [4, entonces integrando se obtiene

La Ecuación (5) permite obtener la Energía de Deformación Interna de un elemento de la estructura sometida únicamente a efectos axiales. Para determinar la Energía de Deformación Total (UTOTAL) por efectos axiales deberá aplicarse la Ecuación (5) para cada uno de los elementos que conforman la estructura y sumar algebraicamente la contribución de cada uno. Obsérvese que si consideramos el caso de una armadura N(x) = N y la Ecuación (5) se puede aplicar para toda la estructura como

Ahora consideremos un elemento estructural como el que se muestra en la Figura II.4a), considerando el elemento diferencial de la Figura II.4b) con longitud dx sometido solo a efectos de flexión.

Luego el dWint se determina por el producto de el momento flector promedio M(x)/2 el cual es una función de x y la rotación diferencial la cual se obtiene de la Resistencia de los Materiales como M(x)dx/EI, en donde I es el momento de inercia de la sección transversal, entonces integrando se obtiene la Energía de Deformación Interna de un

73

(5)

(6)

Figura II.3. Elemento estructural sometido a esfuerzos axiales

N(x) N(x)

dxb) Elemento diferencial sometido a

esfuerzos axialesa) Elemento estructural de análisisdx

(x)

Figura II.4. Elemento estructural sometido a esfuerzos de flexión

a) Elemento estructural de análisis

(x)

b) Elemento diferencial sometido a esfuerzos de flexión

M(x) M(x)

dx


elemento de la estructura sometido únicamente a efectos de flexión [4 y se establece por la siguiente expresión:

Para determinar UTOTAL deberá aplicarse la Ecuación (7) para cada uno de los elementos que conforman la estructura y sumarlos algebraicamente.

Realizando un análisis similar puede demostrarse que la Energía de Deformación Interna de un elemento de la estructura sometida únicamente a efectos de corte y de torsión respectivamente viene dada por las expresiones

en donde V(x) es la Fuerza Cortante, T(x) es el Momento Torsor, c es una constante de forma de la sección trasversal, G es el Módulo de Rigidez al Corte y J es el Momento Polar de Inercia de la sección transversal.

II.3. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.). II.3.1. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) para cuerpos deformables.

El Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) aplicado a cuerpos deformables establece que “si una estructura que se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema virtual de fuerzas, esta sujeta a un desplazamiento como resultado de alguna acción adicional, el trabajo virtual externo al ocurrir el desplazamiento real será igual al trabajo virtual interno debido a la deformación real” 4, esto se puede establecer mediante la expresión

La Ecuación (10) puede ser empleada para determinar componentes de deflexión (traslaciones o rotaciones) de un punto cualesquiera de una estructura elástica estable como la indicada en la Figura II.5a) y sugiere que sus desplazamientos debido a la acción del sistema de cargas externas reales pueden obtenerse superponiendo las dos estructuras mostradas en las Figuras II.5a) e II.5b).

74

(7)

(8)

(9)

(10)

a) Estructura deformada por cargas externas reales

=

Figura II.5. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) aplicado a estructuras deformables

DREALB

B’

P1P2 Pn

DREALB

B’ FVIRTUAL

P1P2 Pn

+

b) Sistema Virtual c) Sistema Real


La primera, la estructura de la Figura II.5a), se define como el “Sistema virtual”, en donde se aplica una fuerza virtual (FVIRTUAL) en dirección de la deflexión real (DREAL) que se desea determinar, la cual llamaremos “fuerza ficticia” y la tomaremos por conveniencia con un valor unitario. Esta fuerza virtual produce una deflexión virtual igual a la deformación real (DREAL) producida por el sistema de cargas externas. La segunda, la estructura de la Figura II.5b), se define como el “Sistema real”, en donde se consideran las cargas reales que producen una deformación real (REAL) en los elementos de la misma debido a los esfuerzos internos existentes 4.

En este contexto el lado izquierdo de la Ecuación (10) se convierte en 1 x DREAL, ya que FVIRTUAL = 1, mientras que la parte derecha de la ecuación depende de los efectos que se consideren actuando sobre les elementos de la estructura, los cuales se obtienen del Sistema Real en donde se produce la deformación real (REAL) y del esfuerzo virtual (VIRTUAL) obtenido en el Sistema Virtual debido a FVIRTUAL.

De forma análoga que en la sección anterior puede demostrarse que para los efectos axiales, de flexión, corte y torsión el WINT es

75

(11)

(12)

(13)

(14)

En dondeN(x) es la fuerza axial en el Sist. Realn(x) es la fuerza axial en el Sist. Virtual

M(x) es el momento flector en el Sist. Realm(x) es el momento flector en el Sist. Virtual

V(x) es la fuerza cortante en el Sist. Realv(x) es la fuerza cortante en el Sist. Virtual

T(x) es el momento torsor en el Sist. Realt(x) es el momento torsor en el Sist. Virtual

(15) N es la fuerza axial en el Sist. Realn es la fuerza axial en el Sist. Virtualb es el elemento de barra de la armadura


Luego la Ecuación (10) puede escribirse sustituyendo 1 x DREAL en el lado derecho y superponiendo las Ec. (11, 12, 13 y 14) en el lado izquierdo, obteniéndose lo siguiente

En el caso particular de armaduras la Ec. (10) se puede escribir como

Cabe destacar que las Ecuaciones (16 y 17) pueden ser empleadas para determinar componentes de deflexión de traslación (DREAL = REAL) o de rotación (DREAL = REAL) solo en dirección de la Fuerza virtual aplicada, la cual puede ser una Fuerza puntual si se requieren determinar traslaciones o un par si se requieren determinar rotaciones.

II.3.2. Efectos Adicionales considerados en el P.T.V.El Principio del Trabajo Virtual permite tomar en cuenta efectos adicionales que se

producen en las estructuras tales como cambios de temperatura, desplazamiento de los apoyos y errores de fabricación [2.

Cambios de temperatura : Cuando existen cambios en la temperatura de los elementos estructurales se producen esfuerzos axiales y de flexión los cuales afectan el trabajo interno (WINT), luego este efecto debe agregarse al lado derecho de las Ecuaciones (16 y 17). La deformación axial por temperatura (AXIAL T) para un elemento diferencial (dx) viene dada por AXIAL T = t . Tn . dx, en donde t es el coeficiente de dilatación térmica del material medida en (°C)-1 y Tn es el cambio de temperatura promedio entre la temperatura en la fibra superior (Ts) y la fibra inferior (Ti) 2, entonces el WINT viene expresado como

Considerando ahora las deformaciones de flexión por temperatura (FLEXIÓN T) para un elemento diferencial (dx), estas vienen dadas por FEXIÓN T = t . (Tm/h) . dx, en donde h es la altura de la sección entre la fibra superior e inferior y Tm es la diferencia entre la temperatura en la fibra inferior (Ti) y la fibra superior (Ts) 4, entonces el WINT viene expresado como

Desplazamiento de los apoyos : Los desplazamientos debido a traslaciones y/o rotaciones de los apoyos producen cambios en el trabajo externo (WEXT), luego este efecto debe agregarse al lado izquierdo de las Ecuaciones (16 y 17) y se obtiene multiplicando la

76

(16)

(17)

(18)

(19)


componente de reacción del apoyo del Sistema Virtual (RVIRTUAL) por la deflexión (Da) respectiva en dirección de dicha reacción 2, entonces el WEXT viene expresado como

Errores de fabricación : Cuando se realiza la construcción de un sistema estructural perteneciente a una obra civil, pueden existir errores en el proceso constructivo que en general son difíciles de estimar y pueden ser producidos por elementos mas largos o mas cortos que los proyectados originalmente, lo cual genera una deformación axial unitaria (e). Estos errores producen cambios en el trabajo interno (WINT), luego este efecto debe agregarse al lado derecho de las Ecuaciones (16 y 17) 2 y para un elemento diferencial (dx) viene dada por

II.4. Procedimiento General de Análisis (Método del Trabajo Virtual).II.4.1. Método del Trabajo Virtual (M.T.V.) para el cálculo de desplazamientos.

Ahora podemos establecer una metodología general de análisis para determinar componentes de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elástica estable y determinada basado en el P.T.V., el cual denominaremos el “Método del Trabajo Virtual (M.T.V.)”, llevando a cabo los pasos siguientes:

1. Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se procede a establecer el Sistema real que corresponde a la estructura original con las cargas externas reales y el Sistema Virtual que se obtiene al aplicar una fuerza ficticia unitaria en dirección de la componente de deflexión que se desea determinar, la cual será una fuerza puntual si se requiere determinar traslaciones o un par de momento si se desean determinar rotaciones.

2. Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.

3. En caso de existir efectos adicionales se determinan los mismos para cada elemento estructural.

4. Se determinan WEXT y WINT por superposición, aplicando la Ecuación (17) en caso de una armadura o la Ecuación (16) en otros casos (vigas, pórticos, marcos, etc) para cada elemento estructural., estableciendo la igualdad de los trabajos y se despejando convenientemente la componente de deflexión deseada. Un signo negativo en el valor de DREAL significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente, es decir, es contraria a la dirección de la fuerza virtual aplicada.

II.4.2. Ejemplo Demostrativo.

77

(20)

(21)


Para ilustrar la aplicación del Método del Trabajo Virtual resolveremos paso a paso el EJEMPLO DEMOSTRATIVO de la viga de entrepiso que se modela como la estructura estable mostrada en la Figura II.6, para la cual se requiere determinar el desplazamiento vertical del punto C, considerando que el punto A sufre un desplazamiento vertical de 0.005 m () y que el elemento AB experimenta un gradiente de temperatura en la fibra superior de 30 °C y en la inferior de 10 °C. Tomar en cuenta efectos de flexión, corte y axial. Usar E = 2.4 x 105 Ton/m2, G = 3 x 104 Ton/m2 y t = 1 x 10-5 (°C)-1.

Paso 1: Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se procede a establecer el Sistema real que corresponde a la estructura original con las cargas externas reales y el Sistema Virtual que se obtiene al aplicar una fuerza ficticia unitaria en dirección vertical en el punto C (Ver Figura II.7).

Figura II.7. Sistema Real y Virtual para calcular Cv. Paso 2: Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos)

que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas 3. El análisis estático se puede comenzar con cualquiera de los sistemas. En este caso, comenzaremos por el Sistema Real, entonces el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) para determinar las reacciones es el que se indica en la Figura II.8.

78

60 cm

20 cm

XX

Sección Transversal

4.00 m

A C

1.50 m

1 Ton/m

B

0.15 Ton

(I,A) (I,A)

4.00 m

A C

1.50 m

1 Ton/m

B

0.15 Ton

Sistema Real

4.00 m

A C

1.50 m

B

FV = 1 Ton

Sistema Virtual

RAx

4.00 m

AC

1.50 m

5.50 Ton

B

0.15 Ton

RAy RBy

2,75 m


Figura II.8. D.C.L. del Sistema Real para calcular las reacciones en apoyos.

Las fuerzas internas en cada elemento serán una función de la distancia x, la cual es distinta para los tramos AB y BC ya que presentan diferentes estados de carga. Luego deben hacerse dos secciones (o cortes), una para el tramo AB (corte 1-1) y otro para el tramo BC (corte 2-2). Para el corte 1-1 tomaremos el D.C.L. que se encuentra a su izquierda para el cual se adopta el Convenio de Signos positivo para las fuerzas internas indicado en la figura, mientras que para el corte 2-2 resulta mas conveniente tomar el D.C.L. a la derecha. Obsérvese que la forma como varíe la distancia x en cada tramo define los limites de integración necesarios para obtener WINT (Ver Figura II.9).

Figura II.9. D.C.L. de cortes del Sistema Real para calcular las fuerzas internas.

El D.C.L. para determinar las reacciones en el Sistema Virtual se muestra en la Figura II.10.

79

x

1 Ton/m

0 Ton ACB

0.15 Ton

1.66 Ton 3.99 Tonx

1x

0 Ton A

1.66 Tonx

x/2M

N

V

x

C

0.15 Ton1x

x/2M

N

V

FV = 1 Ton

RAx

4.00 m

AC

1.50 m

BRAy RBy


Figura II.10. D.C.L. del Sistema Real para calcular las reacciones en apoyos.

Es necesario destacar el hecho de que para obtener una solución consistente la determinación de las fuerzas internas en los elementos estructurales en el Sistema Real y el Sistema Virtual debe realizarse de forma análoga; es decir, en las secciones o cortes deberá tomarse la distancia x variando de la misma manera.

En este ejemplo se comenzó analizando el Sistema Real, entonces para el Sistema Virtual se llevaran a cabo las secciones ya indicadas variando x de la misma forma tal y como se muestra en la Figura II.11.

Figura II.11. D.C.L. de cortes del Sistema Real para calcular las fuerzas internas.

80

x

0 Ton ACB

FV = 1 Ton

0.375 Ton 1.375 Tonx

0 Ton A

0.375 Ton x

m

n

v

x

C

FV = 1 Tonm

n

v


Paso 3: En caso de existir efectos adicionales se determinan los mismos para cada elemento estructural.

Paso 4: Se determinan WEXT y WINT por superposición, aplicando la Ecuación (17) en caso de una armadura o la Ecuación (16) en otros casos (vigas, pórticos, marcos, etc) para cada elemento estructural., estableciendo la igualdad de los trabajos y se despejando convenientemente la componente de deflexión deseada. Un signo negativo en el valor de DREAL significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente, es decir, es contraria a la dirección de la fuerza virtual aplicada.

81


Ahora introduciremos el uso de la TABLA II.1 que permitirá colocar toda la información requerida para determinar la WINT, en una forma ordenada para llevar a cabo un procedimiento de análisis sistemático y más eficiente. Dicha tabla contendrá el tramo analizado, el valor de x al inicio y al final del tramo, lo cual corresponde a los limites de integración y las expresiones de todos los esfuerzos internos de cada sistema (Real y Virtual) considerados en el análisis.

Tramo Xi Xf M m V v N NA-B A = 0 B = 4

B-C C = 0 B = 1.5

Luego empleamos la Ecuación (16) para determinar la WINT para los efectos axiales, de corte y de flexión como sigue:

Igualando WEXT = WINT

Se resuelven las integrales definidas y se evalúan los datos de la geometría y propiedades de los materiales que conforman los elementos de la estructura

82

TABLA II.1. Trabajo Interno para los efectos considerados en el análisis de la estructura


El valor obtenido para el desplazamiento de traslación vertical del punto C (Cv) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en C, lo cual era de esperar debido a que las cargas externas se aplican verticalmente hacia abajo.

II.4.3 Ejemplos Resueltos.

1) Calcular el desplazamiento horizontal en el nodo F de la armadura de la Figura II.12. Usar E = 29000 Ksi (Tomado del Hibbeler [5).

83

12 pies

12 pies

40 Klb

A B

E

D

20 Klb

4 in2

C

F

16 pies

4 in2 4 in2

4 in2

4 in2

3 in2

3 in2

3 in2

3 in2

Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual

Figura II.12

ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 84

Sistema Real

60 Klb60 Klb

20 Klb

BA

D0 Klb

60 Klb

60 Klb

15 Klb75 Klb

25 Klb

E

C

F20 Klb

0 Klb 15 Klb

60 Klb

40 Klb

Sistema Virtual

1 Klb

FV = 1 Klb

1.50 Klb1.50 Klb

BA

D0 Klb

1.50 Klb

1 Klb

0.75 Klb1.25 Klb

1.25 Klb

E

C

F0 Klb

0 Klb 0.75 Klb

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo, mientras que la Compresión (C) sera negativa. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.C.L. se encuentran actuando en los elementos.

12 pies

12 pies

40 Klb

A B

E

D

20 Klb

Sistema Real

C

F

16 pies

12 pies

12 pies

A B

E

D

Fv = 1 Klb

Sistema Virtual

C

F

16 pies


Barra L (in) A (in2) N (Klb) n (Klb) nNL/AAB 192 4 60 1 2880CD 192 3 0 0 0EF 192 3 -20 0 0AC 144 4 60 1.5 3340CE 144 4 0 0 0BD 144 4 -15 -0.75 405DF 144 4 -15 -0.75 405BC 240 3 -75 -1.25 7500CF 240 3 25 1.25 2500

16930

El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en F, lo cual era de esperar debido a que las cargas externas se aplican verticalmente hacia abajo. 2) Calcular el desplazamiento horizontal del nodo C del marco de la Figura II.13. Incluir la

Energía de deformación debido a la fuerza axial y a la fuerza cortante. Usar E = 2.1 x 103 Ton/cm2 y G = 810 Ton/cm2.

85

A

C

(I)

(I)

2 Ton/m

B

4 Ton

2 Ton.m

4.50 m

3.00 m

2.25 m20 cm

XX


20 cm


Sistema Real

A

C

2 Ton/m

B

4 Ton

2 Ton.m

4.50 m

3,00 m

2.25 m

Sistema Virtual

A

CFV = 1 TonB

4.50 m

3.00 m

Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren, estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada.

Figura II.13


Tramo Xi Xf M m V v N nA - B’ A = 0 B = 2.25B’- B B’ = 2.25 B = 4.5C - B C = 0 B = 3

86

Sistema Real

6.67 Ton

C

0.67 TonA

B’

2 Ton/m

B

4 Ton

2 Ton.m4 Ton

xx

x

1.5 Ton

1.5 Ton

A

CB

1 Ton

x

x

FV = 1 Ton

Sistema Virtual

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada



El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto C (Ch) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en C.

3) Determinar el desplazamiento horizontal del nodo F de la estructura de la Figura II.14 utilizando el Método del Trabajo Virtual. Considerar que el apoyo F sufre un asentamiento de 0.05 m () y la barra BC sufre una variación de temperatura como se indica. Usar EI = 1200 Ton.m2 y t = 10-5 (°C)-1 (Tomado del Ana Scheuren [4).

87

F. int. +20 °C

F. ext. +60 °C


40 cm

3.00 m

A

C

F

E

D

(I)

(I)(I)

(I)

(I)

2 Ton/m

B

4.00 m 4.00 m4.00 m

1.50 m

8 Ton


Figura II.14


4 TonA

C

F

E

D

C’

2 Ton/m

B

10.50 Ton 4 Ton9.50 Ton

4 Ton

8 Ton

x

x

xx

Sistema Real

Sistema Virtual

A

C

F

E

D

C’

B

9/8 Ton 3/4 Ton3/8 Ton

0 Ton

x

x

xx

FV = 1 Ton1 Ton

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas ordenándolos en forma tabulada

3.00 m

A

C

F

E

D

Sistema Real

2 Ton/m

B

4.00 m 4.00 m4.00 m

1.50 m

8 Ton

3.00 m

A

C

F

E

D

Sistema Virtual

B

4.00 m 4.00 m4.00 mFV = 1 Ton


Tramo Xi Xf M mA - B A = 0 B = 5B - C B = 0 C = 4C - E C = 0 E = 4E - F E = 0 F = 3

WEXT = WINT

89

Se determinan los efectos adicionales para cada elemento estructural (En caso de que existan).



El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo negativo, indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza virtual aplicada en F, lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.

4) Calcular la deflexión horizontal del nodo E de la estructura de la Figura II.15 empleando el Método del Trabajo Virtual. Considerar efectos axiales y de corte. Adicionalmente el apoyo B sufre una rotación horaria de 0.006 rad y el elemento BC sufre una variación de temperatura como se muestra. Usar E = 2.1x10+06 kg/cm2, G = 3x10+04 kg/cm2 y t = 1x10-05 (°C)-1

90

1.50 m 1.00 m1.50 m 4.00 m

AE

C D2 Ton

1.50 Ton/m

2 Ton

B

1.50 Ton/m

F. int. -20 °C

F. ext. +50 °C

20 cm

10 cm



1.50 m 1.00 m1.50 m 4.00 m

AE

C D2 Ton

1.50 Ton/m

2 Ton

B

1.50 Ton/m

Sistema Real

Figura II.15


3 Ton.m

1 Ton0 Ton

AE

C D

1 Ton

1 Ton

FV = 1 Ton

B

x

xx

Sistema Virtual

Sistema Real

7.68 Ton.m

6.69 Ton1 Ton

AE

C D2 Ton

2 Ton4.06 Ton

1.50 Ton/m

2 Ton

B

1.50 Ton/m

x

xx

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada

1.50 m 1.00 m1.50 m 4.00 m

A E

C D

FV = 1 Ton

B

Sistema Virtual


Tramo Xi Xf M m V v N nB - C C = 0 B = 3

C - D C = 0 D = 4D - E E = 0 D = 4

WEXT = WINT

92

Se determinan los efectos adicionales para cada elemento estructural (En caso de que existan).



El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto E (Eh) presenta signo negativo, indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza virtual aplicada en E, lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.

5) Calcular la deflexión horizontal del nodo G de la estructura mostrada en la Figura II.16 empleando el Método del Trabajo Virtual. Considerar en AC y BC solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton.____________________

93

2.00 m 1.00 m

0.5 Ton/m

1.00 m

A

B

E

CD

GF

1.00 m

0.5 Ton

0.5 Ton

(I)

(I)

(A)(A)

(A)

(A)

(A)

(A)

(A)

2.00 m


Sistema Real

2.00 m 1.00 m

0.5 Ton/m

1.00 m

A

B

E

CD

GF

1.00 m

0.5 Ton

0.5 Ton

2.00 m

Figura II.16


Sistema Real

0.5 Ton

0.75 Ton

0.5 Ton

0.5 Ton/m

A

B

E

C

D

GF

1.75 Ton

x

1 Ton1 Ton.m

0.75 Ton

x

0.5 Ton0.25 Ton0.5√2Ton

0 Ton

0 Ton

0 Ton

2 Ton2 Ton

FV = 1 Ton1 TonA

B

E

C

D

GF

2 Ton

x

20 Ton.m

x

0 Ton0 Ton√2 Ton

1 Ton

√2 Ton

1Ton

2.00 m 1.00 m

1.00 m

A

B

E

CD

GF

1.00 m

Fv = 1 Ton

Sistema Virtual

2.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que

actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo, mientras que la Compresión (C) será negativa. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.C.L. se encuentran actuando en los elementos.


Efectos de flexiónTramo Xi Xf M mA - B A = 0 B = 2√2

B - C C = 0 B = 2

Efectos axialesBarra L (m) AE (Ton.m2) N (Ton) n (Ton) nNL/AE

CD 1 AE -0.50 0 0DE 1 AE -0.25 0 0EG 1 AE -0.75 2 -1.5/AEFG 1 AE 0 1 0CE √2 AE -0.5√2 √2 -√2/AEFE √2 AE 0 -√2 0CF 2 AE 0 1 0

-2.914AE

El valor obtenido para el desplazamiento traslación horizontal del punto G (Gh) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en G.

95


Sistema Virtual


6) La estructura mostrada en la Figura II.17 corresponde a un galpón industrial el cual se construirá adosada a una edificación existente a su derecha. Es por ello que se requiere Determinar la componente de deflexión horizontal del nodo F de empleando el Método del Trabajo Virtual a fin de determinar la mínima separación entre ambas edificaciones. Considerar solo efectos axiales y que los apoyos B y C pueden desplazarse 0.03 m (). Todos los miembros tienen un área de sección transversal (A) de 19,35 cm2 y un Modulo de Elasticidad (E) de 2100 Ton/cm2.

96


1 Ton/m

A C

D

B

E F1 Ton/m

4 m3 m 4 m 2 m 2 m 4 m

2 m

2 m

2 m

3 m

1.5 m

1 Ton/m

A C

D

B

E F1 Ton/m

4 m3 m 4 m 2 m 2 m 4 m

2 m

2 m

2 m

3 m

1.5 m

Sistema Real

Figura II.17


A C

D

B

E F

4 m3 m 4 m 2 m 2 m 4 m

2 m

2 m

2 m

3 m

1.5 m

Sistema Virtual

Fv = 1 Ton

AC

D

B

E F

6 Ton

2 Ton

6 Ton

2 Ton

2 Ton

3 Ton 3 Ton

G

1 Ton

1 Ton4 Ton

2 Ton

8/3 Ton8/3 Ton

6 Ton

6.67 Ton

5.33 Ton5.33 Ton5.33 Ton5.33 Ton

4 Ton

5 Ton

2.4 Ton0

6.67 Ton0

2.4 Ton

0

6 Ton1.67Ton

3.33Ton

1.33 Ton

1.33Ton1.67 Ton

0

1 Ton

a c

i h g

d

e

f

5 Ton

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo, mientras que la Compresión (C) sera negativa. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.C.L. se encuentran actuando en los elementos.


Barra L(m) A(m2) N(Ton) n(Ton) nNL/AA-a 2.5 0.001935 3.33 1.67 7184.88a-D 2.5 0.001935 1.67 1.67 3603.23D-c 2 0.001935 -1.33 -0.833 1145.11c-G 2 0.001935 -1.33 -0.833 1145.11E-i 4 0.001935 5.33 1 11018.09i-h 2 0.001935 5.33 1 5509.04h-g 2 0.001935 5.33 1 5509.04g-F 4 0.001935 5.33 1 11018.09B-E 6 0.001935 -6 -0.5 9302.33

98

Sistema Virtual

Sistema Real

Fv = 1 Ton

0

00

00

0

AC

D

B

E F

0 Ton0.5 Ton

G1 Ton

0.83 Ton4/3 Ton

0

1 Ton1 Ton1 Ton1 Ton

000

1.12 Ton

0.5 Ton1.67 Ton

1.67 Ton 0.83 Ton0

0

0

a c

i h g

d

e

f

0.83 Ton


∑ 54434.32

El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en F. II.5. Teorema de Castigliano

El 1ER Teorema de Castigliano también puede ser empleado para determinar componentes de deflexión de un punto cualesquiera de una estructura elástica estable y determinada. Esta basado en el Principio del Trabajo real de una fuerza el cual se analizo en la sección anterior y establece que “la componente de deflexión de un punto de la estructura es igual a la primera derivada parcial de la Energía de Deformación Interna Total (UTOTAL) respecto a una fuerza que actúa en dicho punto y en la misma dirección de la deflexión que se requiere determinar” [5.

Para ilustrar el Teorema analicemos la estructura de la Figura II.18, la cual se encuentra sometida a un estado general de cargas externas.

Supongamos que una fuerza Pi se incrementa un valor diferencial (dPi) y tomando en cuenta que el WEXT es una función de las cargas externas (P1,P2,...,Pn), en donde WEXT = WINT, entonces dPi producirá un incremento diferencial del Trabajo Interno (WINT) teniéndose que

99

a) Estructura sometida a un estado general de cargas

Figura II.18. Estructura deformada por la acción de las cargas externas reales

P2

P1

Pn

Pi(i)Di

P2

P1

Pn

Pi + dPi(i)

(i’)

b) Estructura deformada debido a un incremento (dPi) de Pi



en donde puede demostrarse que al despreciar algunos términos de segundo orden la componente de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) del punto de aplicación de la fuerza Pi en su misma dirección viene dada por

Entonces para determinar la deflexión de un punto de la estructura debe obtenerse la derivada parcial del WINT para cada efecto interno que actúe sobre los elementos estructurales, en donde P puede ser una fuerza puntual en caso de requerir una traslación o un par de momento M en caso de una rotación [5.

Si consideramos solo efectos axiales entonces debemos derivar las Ec. (5 y 6) obtenidas en la sección anterior respecto a P; o a M, observándose que las fuerzas axiales internas serán una función de x y de P, entonces por la Regla de la Cadena se obtiene lo siguiente

De forma análoga puede demostrarse que para los efectos de flexión, corte y torsión la componente de deflexión requerida (Di) es

Luego la componente de deflexión total se obtiene superponiendo las Ecuaciones (24, 26, 27 y 28), obteniéndose lo siguiente

100

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)


II.6. Procedimiento General de Análisis (Método de Castigliano)II.6.1. Método de Castigliano para el cálculo de desplazamientos.

Ahora podemos establecer una metodología general de análisis para determinar componentes de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elástica estable y determinada basado en el 1ER Teorema de Castigliano, el cual denominaremos el “Método de Castigliano”, llevando a cabo los pasos siguientes:

1. Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se determina si existen cargas reales aplicadas en dirección de la componente de deflexión que se desea determinar las cuales llamaremos P si se requiere determinar traslaciones o M si se desean determinar rotaciones.

2. En caso de que no exista dicha carga se coloca una carga ficticia (P o M) que actué en dirección de la componente de deflexión a determinar.

3. Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales los cuales serán una función de P o M.

4. Se aplican la Ec. 25 en caso de una armadura o la Ec. 29 en otros casos (vigas, pórticos, marcos, etc) para cada elemento estructural, determinándose la componente de deflexión deseada (Di) igualando P o M al valor de la acción aplicada en el punto considerado y en la dirección de Di (será igual a cero en el caso de que se aplique la carga ficticia). Un signo negativo en el valor de Di significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente, es decir, es contraria a la dirección de la fuerza P o M.

II.6.2. Ejemplo Demostrativo.Para ilustrar la aplicación del Método de Castigliano resolveremos paso a paso el

EJEMPLO DEMOSTRATIVO que se muestra en la Figura II.19.

Determinar la componente de deflexión en dirección de la Fuerza de 1 KN que actúa en el extremo D de la viga mostrada en la Figura II.19 empleando el Método de Castigliano. Tomar en cuenta solo efectos de flexión. Usar EI = 9800 KN.m2

101

(29)

A C (I)(I)

6 KN

B

1 KN

2 KN.m

1.50 m 1.50 m1.50 m

D(I)


Figura II.19. Estructura demostrativa de análisis.

Paso 1: Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se observa que existe una carga real aplicada en dirección de la traslación que se desea determinar, entonces la sustituimos por la fuerza P, obteniéndose la estructura mostrada en la Figura II.20.

Figura II.20. D.C.L. de la estructura con la fuerza P actuando en dirección de Dv. Paso 2: Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos)

que actúan sobre los elementos estructurales los cuales serán una función de P o M [3.El D.C.L. para determinar las reacciones en la viga se muestra en la Figura II.21.

Figura II.21. D.C.L. para calcular las reacciones en apoyos.

Las fuerzas internas en cada elemento serán una función de la distancia x, la cual es distinta para los tramos AB, BC y CD ya que presentan diferentes estados de carga. Luego deben hacerse tres secciones (o cortes), una para el tramo AB (corte 1-1), otro para el tramo BC (corte 2-2) y otra para el tramo CD (3-3) tal y como se hizo en el Método del T.V. Luego los valores de las reacciones asi como las fuerzas internas en cada tramo se indican en los D.C.L. de la Figura II.22.

102

2.33 – 0.5P 3.67 + 1.5P

0 KN AC

6 KN

B

P

2 KN.mD

x

x

x

2.33 – 0.5P

0 KN A

x M

N

V

RAy

AC

6 KN

B

P

2 KN.mD

RAx

RCy

1.50 m 1.50 m1.50 m

C (I)(I)

6 KN

B

P

2 KN.m

1.50 m 1.50 m1.50 m

D(I)


Figura II.22. D.C.L. de cortes de la estructura para calcular las fuerzas internas. Paso 3: Se aplica la Ecuación (29) para cada tramo de la viga, determinándose la

componente de deflexión deseada (Dv) igualando P a 1 KN.

Para determinar la parte derecha de la Ecuación (29) introduciremos el uso de la TABLA II.2, similar a la empleada en el Método del T.V. Dicha tabla contendrá el tramo analizado, el valor de x al inicio y al final del tramo, lo cual corresponde a los limites de integración, las expresiones de todos los esfuerzos internos en función de P ((P)) y al evaluar a P ((P = Carga real)) y las derivadas parciales respecto a P de cada esfuerzo interno. Entonces

Tramo Xi Xf M M/P M(P = 1)A – B A = 0 B = 1.5B – C B = 1.5 C = 3C - D D = 0 C = 1.5

103

M

N

V2.33 – 0.5P

0 KN A

6 KN

B

x

M

N

V

P

2 KN.mD

x

TABLA II.2. Trabajo Interno para los efectos considerados en el análisis de la estructura en función de la carga P.


El valor obtenido para el desplazamiento de traslación vertical del punto D (Dv) presenta signo positivo, indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza ficticia P aplicada en D.

II.6.3. Ejemplos Resueltos.1) Determinar el desplazamiento vertical del nodo C del marco de la Figura II.23 empleando el Método de Castigliano. Tomar en cuenta efectos de flexión, cortante y axial. Usar E = 200 GPa y G = 77 GPa.

104

20 cm

XX


20 cm

4.5 KN/m

A

C

(I)

(I)B

5 KN4.00 m

4.00 m

2.00 m

Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a aplicar la Fuerza P o el Par M, según sea el caso en dirección de la componente de deflexión deseada

A

C

4.5 KN/m

B

5 KN4.00 m

4.00 m

2.00 m

P

Figura II.23


Tramo Xi Xf M M/P V V/P N N/PA - B’ A = 0 B = 2B’- B B’ = 2 B = 4C - B C = 0 B = 4

El valor obtenido para el desplazamiento traslación vertical del punto C (Cv) presenta signo negativo, indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza ficticia P aplicada en C, lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.

105

9 - P

P

A

C

B’

B

5 KN

22 – 4P

5 KN

xx

x

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada y evaluando a P o M

Se determina Di por superposición de todos los efectos que se consideren para cada elemento estructural.


2) Calcular la deflexión horizontal del nodo C de la estructura de la Figura II.24 empleando el Método de Castigliano, considerando solo efectos de flexión. Usar EI = 1500 Ton.m2 .

106

3.00 m 3.00 mA

C

4.00 m

2 Ton/m

2 Ton/m

B10 Ton.m


Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada y evaluando a P o M

3.00 m 3.00 m

A

C

4.00 m

2 Ton/m

2 Ton/m

B10 Ton.m

P

Figura I.24


Tramo Xi Xf M(P) M/P M(P = 0)A - B A = 0 B = 5B - C C = 0 B = 3

El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto C (Ch) presenta signo negativo, indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza ficticia P aplicada en C, lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.

107

A

C2 Ton/m P

2 Ton/m

B10 Ton.m

2 - 0.67P

1 + 0.67P

8 - P

x

x



3) Calcular la rotación de la barra DF respecto a F en la estructura mostrada en la Figura II.25 empleando el Método de Castigliano. Considerar en AB y DF solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton._____________________

108

F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

A B

EC

D

3.00 m 3.00 m

(I)(I)

(A)

(A)

(A)

(A) (A)


M

F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

A B

EC

D

3.00 m 3.00 m

(I)(I)

(A)

(A)

(A)

(A) (A)

Figura II.25

Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas, ordenándolos en forma tabulada evaluando a P o M y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo, mientras que la Compresión (C) será negativa. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.C.L. se encuentran actuando en los elementos.


Efectos de flexiónTramo Xi Xf M’(M) M’/M M’(M = 0)A - B A = 0 B = 3D - F F = 0 D = 32

Efectos axialesBarra L (m) EA (Ton.m2) N (M) N/

MN(M=0) N(N/M)L/AE

BD 3 EA -(6-M/3) 1/3 -6 -6 -6

AE

El valor obtenido para el desplazamiento de rotación del punto F (F) presenta signo negativo, indicando que este se produce en sentido contrario que el par de momento M aplicado en F, lo cual se indica con la figura en el paréntesis.

109


2 Ton/m

A B

EC

D

F

x

x 0 Ton 0 Ton0 Ton

6 – M/3

0 Ton

9 Ton.m

6 – M/3

3 Ton

9 Ton

6 – M/3

M


II.7. Ejercicios Propuestos.

II.7.1. Parte 1: AUTOEVALUACIÓN.

1.- Selección simple: Colocar el número de la definición indicada en la lista (b) en el paréntesis que le corresponda a cada elemento de la lista (a) c/u)

2.- Verdadero y falso: Indicar en cada paréntesis si los siguientes postulados son verdaderos (V) o falsos (F)

a.- La Energía de Deformación Total de una estructura se obtiene superponiendo la contribución de todos los efectos internos (axial, corte, flexión y torsión) de cada elemento estructural ( ).

b.- El Teorema de Castigliano permite tomar en cuenta los efectos adicionales debido a desplazamiento en los apoyos, cambios de temperatura y errores de fabricación ( ).

c.- Para la determinación de componentes de deflexión en una estructura isostática empleando el Principio de Trabajo Virtual deben superponerse un Sistema Real y un Sistema Virtual ( ).

110

Lista (a)Principio del Trabajo

Virtual ( )Energía de Deformación

Interna ( )Teorema de Castigliano ( )

Lista (b)1.- El desplazamiento de un punto de la estructura es igual a la derivada parcial de la Energía de Deformación de la estructura.2.- Cuando el trabajo virtual externo al ocurrir el desplazamiento real es igual al trabajo virtual interno debido a la deformación real.3.- Es la capacidad que tiene la estructura de disipar la energía que ingresa a la estructura debido a un sistema general de cargas por deformación elástica.


d.- Para determinar la rotación en un punto de una estructura empleando el Principio del Trabajo Virtual debe aplicarse una fuerza puntual unitaria en dirección de dicho desplazamiento ( ).

3.- Desarrollo: Responda de forma breve las siguientes preguntas a.- ¿Cuáles son las diferencias conceptuales entre el Principio de los Trabajos Virtuales y el Teorema de Castigliano? b.- Defina que es la Energía de Deformación Interna c.- ¿Para que se emplea el Primer Teorema de Castigliano?

II.7.2. Parte 2: Determinar componentes de deflexión

1. Calcular la deflexión horizontal del nodo D de la estructura mostrada en la Figura empleando el Método del Trabajo Virtual. Considerar en AB y EF solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton

2. Calcular la rotación del nodo B de la estructura de la Figura empleando el Método del Trabajo Virtual. Considerar solo efectos de flexión. Usar EI = 1500x103 kgf.m2. ___________________

111

F

2 Ton/m

3.00 m

4.00 m

A

B E

C D

4.00 m 4.00 m

10 Ton

2 Ton

2 Ton

2 Ton 2 Ton

(I) (2I)1,50 m

(2A)

(2A)

(A)(A)

(A)

6.00 m

2.00 m

4,00 m

A

B

D

(2I)(I)

1 m500 kgf

10 m

(I)

C

10 m

100 kgf/m100 kgf/m


3. Calcular la deflexión horizontal del nodo F de la estructura mostrada en la Figura empleando el Método de Castigliano. Considerar en AC y GB solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton para todos los elementos.

4. Para el Pórtico mostrado se pide utilizando el Método de Castigliano: a) Calcular la deflexión horizontal del nodo E y b) La rotación del nodo D. Considerar efectos de flexión, corte y axial. Usar E = 2.1x10 06 kg/cm2, G = 3x10 04 kg/cm2 y c = 1.20. La sección transversal de los elementos AB, BC y DE es h = 0.20 m y b = 0.10 m

112

F

2 Ton/m

2.00 m

2.00 m

A

E

C D

2 Ton

2 Ton 2 Ton

(2I)

(2A)

(2A)

(A)

(A)

(A) (2A)

(2A)(2I)

B

G

2.00 m4.00 m 4.00 m

3.00 m

1 Ton/m

4.00 m1.50 m

1 Ton/m

A

B

E

C D

1 Ton.m

2.00 m

2.00 m

(I, A)

(2I, 2A)(I, A)

(I, A)


5. Determinar la componente de deflexión horizontal del nodo E de la armadura mostrada en la empleando: a) El Método del Trabajo Virtual y b) El Método de Castigliano. Todos los miembros tienen un área de sección transversal A = 19,35 cm2 y un Modulo de Elasticidad E = 2100 Ton/cm2. Comparar ambos resultados.

6. Calcular la rotación del nodo B de la estructura empleando: a) El Método del Trabajo Virtual y b) El Método de Castigliano. Considerar solo efectos de flexión. Usar EI = 1500 Ton.m2.

113

5 Ton4.00 m

3.00 m

A

BC D

E

(2I)

(I)(I)

(2I) (2I)(2I)

2 Ton/m

F

1 m3.00 m3.00 m

2,00 m 2,00 m

5 Ton

A

C

D

E

B

3.00 m

G

H

F

3.00 m 3.00 m3.00 m

2.70 m4.20 m

1.60 m3.60 Ton

2.70 Ton

3.60 Ton

Capitulo II

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