Capitulo II Dinamica de Primer Orden

8/14/2019 Capitulo II Dinamica de Primer Orden

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CAPITULO II

SISTEMAS DINAMICOS DE

PRIMER ORDEN


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CONSIDERACIONES GENERALES

El desarrollo de modelos simples de proceso esnecesario siempre que se requiere analizar los sistemasde control.

Esto permite explicar el significado fsico de algunos de

los parmetros del proceso que definen lapersonalidaddel mismo.

Cuando se conoce la personalidaddel proceso esposible disear el sistema de control requerido.

Se tratar eventualmente con sistemas lineales y concontrol por ciclo cerrado.

La Dinmica de Sistemasinvestiga los mtodos paradescribir como se comportan los sistemas generales enel estado no estacionario.


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Es comn pensar en un proceso dinmico como unacaja negra con entrada y salida.

La variable x(t)es arbitraria. Dado un proceso particular es posible encontrar unmodelo singular, con el que se pueda calcular la funcinde salida y(t)desde cualquier funcin de entrada x(t).

El modelo del sistema esta dado por una ecuacindiferencial que es obtenida desde los balances de masa,energa o momento.

Para ello se utilizan las leyes de la termodinmica,cintica, flujo de fluidos, transferencia de masa y otras.

PROCESOx(t)y(t)


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El balance general de masa o de energa se forma enbase a la siguiente expresin:

{Entrada} + {Produccin} = {Salida} + {Acumulacin}

Si hay ms de una variable de entrada se usa una seriede cajas negras.

PROCESO 1

PROCESO 2

PROCESO N

X1(t)

X2(t)

Xn(t) y(t)


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ESQUEMA GENERAL PARA OBTENER

MODELOS MATEMATICOS

1. Analizar el proceso y conceptuar el problema.

2. Esquematizar el proceso.

3. Escribir el balance o los balances para el estado no

estacionario. Esta etapa es la ms importante.4. Linealizar los trminos no lineales, si los hubiera.

5. Escribir el balance o los balances para el estadoestacionario.

6. Efectuar la diferencia de los dos balances.7. Colocar las variables dependientes bajo la forma de

variables de desviacin, donde sea posible.

8. Ordenar el modelo matemtico del sistema de la forma

convencional.


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ESQUEMA PARA MODELOS MATEMATICOS

Plantear el balance correspondiente en Estado no estacionario:

SalidnAcumulaciGeneracinEntrada

Analizar el Proceso y Conceptuar el Problema

Esquematizar el Proceso

Ecuacin Diferencial Lineal

Ecuacin Diferencial

Lineal? LinealizacinNo

Si


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ESQUEMA PARA MODELOS MATEMATICOS

Plantear el balance en Estado estacionario

Restar balance en Estado estacionario de la Ecuacin diferencial

Modelo Matemtico como Ecuacin Diferencial

Ecuacin Diferencial Lineal en Variables de desviacin


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Variables de Desviacin


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Tanque Amortiguador de Concentracin

q Ci(t)

q C(t)

V

C(t)


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Balance de masa en el estado no estacionario:

Balance de masa en el estado estacionario:

Diferencia entre los balances de masa:

Obteniendo las variables de desviacin:

)(

)(

)(

)(t

t

ti qCdt

VCdqC

eeee

i qCqC

)()( )()(

)(

ee

t

tee

iti CCq

dt

dCVCCq

Cqdt

CdVCq i


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Ordenando la ecuacin de la forma convencional:

Obteniendo la ecuacin general con sus parmetros:

iCqCqdt

CdV

iCKCdtCd

iCCdtCd

qV

1 Kyq

V


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Tanque Reactor Isotrmico

q Ci(t)

q C(t)

V

C(t)

Reaccin irreversible

A B

k: conste de velocidadespecfica

T = cte. k = cte.


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)(

)(

)()(

)(t

t

tti qCdt

VCdkVCqC

eeeeeei qCkVCqC

)()()( )()(

)()(

ee

t

tee

t

ee

iti CCqdt

dCVCCkVCCq

Cqdt

CdVCkVCq i


14/33




iCqCkVCqdt

CdV

iCKCdt

Cd

iCkVq

q

Cdt

Cd

kVq

V

kVq

qKy

kVq

V


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Tanque con Transferencia de Calor

m Ti(t)

m T(t)

MCp

T(t)

M: Masa acumulada en el tanque

Cp: Calor especfico

U: Coef. Global transmisin calor

A: rea de transmisin de calor

U

A

Tv(t)

Cp

Cp


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Balance de energa en el estado no estacionario:

Balance de energa en el estado estacionario:

Diferencia entre los balances de energa:


reftpreftp

ttvrefip TTcmdt

TTMcdTTUATTcm

)(

)(

)()(

refeepeeeeVrefip TTcmTTUATTcm )(

)()()(0

)(

)(

)()(

ee

tp

t

p

ee

t

ee

Vtv

TTcmdt

dTMcTTTTUA

Tcmdt

TdMcTTUA ppv


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UAcm

UAKy

UAcm

Mc

pp

p

VTKTdt

Td

Vpp TUATUATcmdt

TdMc

V

pp

p

TUAcm

UATdt

Td

UAcm

Mc


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Nivel de Lquido en un Tanque

Flujo Laminar

qi(t)

qs(t)

A

h(t)

R


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Nivel de Lquido en un Tanque con Flujo

Laminar

Balance volumtrico en el estado no estacionario:

Balance volumtrico en el estado estacionario:

Diferencia entre los balances volumtrico:


)(

)(

)(

)(ts

t

ti qdt

Ahdq

ee

s

ee

i qq

)()()(

)(

)(

ee

sts

tee

iti

qqdt

dhAqq

si qdt

hdAq


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Laminar

Teniendo en cuenta que el flujo de salida se expresa:



iqR

h

dt

hdA

iqKhdt

hd

iqRh

dt

hdAR

RKyAR

R

hq

R

hq s

t

ts

)(

)(


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Linealizacin

Si en la ecuacin diferencial aparece un trmino en donde

la variable dependiente posee un exponente diferente de0 1, si en ella existe producto de varias variables,dicho trmino es no lineal.

Algunos trminos no lineales son:

Si aparece un trmino no lineal en la ecuacin diferencial,se tiene un proceso no lineal.

Una posibilidad para su tratamiento es hacer unaaproximacin lineal para el proceso.

Dicho proceso de aproximacin se denomina linealizaciny tiene como base la serie de expansin de Taylor.

)()()( ,,)(, )(

tt

RT

E

n

t CqethC t


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Linealizacin

La serie de expansin de Taylor es:

Se puede observar que los trminos (x-x0) son lasdesviaciones del punto x

0

. Por ello si x es una variabledependiente y x0su valor al estado estacionario, ladiferencia es la desviacin de la variable x, es decir .

Linealizacin del trmino no lineal :

...!2

)()(

2

0

2

20)()(

00

0

xx

dx

fdxx

dx

dfff

xxxx

x

)(th

ee

tee

ee

t hhhhh )()(2

1

hh

hhee

ee

t

2

1)(


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Linealizacin de Funciones


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Nivel de Lquido en un Tanque

Flujo Turbulento

qi(t)

qs(t)

A

h(t)

R


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Turbulento

Balance volumtrico en el estado no estacionario:

Balance volumtrico en el estado estacionario:

Diferencia entre los balances volumtrico:

Teniendo en cuenta que el flujo de salida se expresa:

)(

)(

)(

)(ts

t

ti qdt

Ahdq

ee

s

ee

i qq

)()()(

)(

)(

ee

sts

tee

iti

qqdt

dhAqq

eeee

stts hkqhkq )()(


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Turbulento

En la diferencia de balances aparece un trmino no lineal:

Linealizando el trmino no lineal :

)()( )()(

)(

ee

t

tee

iti hhkdt

dhAqq

)(th

eeteeee

t hhh

hh )()(2

1

h

h

hhee

ee

t

2

1)(

ee

ee

th

hhh

2

)(


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Turbulento

Reemplazando en la diferencia de balances:

Tomando variables de desviacin y ordenando :


k

hKy

k

hA eeee 22

iqKhdt

hd

ee

tee

itih

hk

dt

dhAqq

2

)( )(

)(

ieeq

h

hkdthdA

2

i

eeee

qk

hh

dt

hd

k

hA

2

2


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Reactor Isotrmico con Flujo Variable

q(t) Ci

q(t) C(t)

V

C(t)

Reaccin irreversible

A B

k: conste de velocidadespecfica

T = cte. k = cte.


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Linealizacin del trmino no lineal:

)()(

)(

)()(

)(tt

t

tit Cqdt

VCdkVCCq

eeeeee

i

ee

CqkVCCq

)()()( )()()(

)()(

eeee

tt

tee

ti

ee

t CqCqdt

dCVCCkVCqq

qCCqCqCq

qqCCCqCqCq

eeeeeeee

tt

ee

t

eeee

t

eeeeee

tt

)()(

)()()()(


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Reemplazando en la ecuacin de diferencia de balances:

Tomando variables de desviacin en toda la ecuacin:

qCCq

dt

dCVCCkVCqq eeee

tee

ti

ee

t

)(

)()(

qCCqdt

CdVCkVqC eeeei

qCCqCqCq eeeeeeee

tt

)()(


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qCqCCkVCqdt

CdV eei

ee

qKCdt

Cd

qkVq

CCC

dt

Cd

kVq

V

ee

ee

i

ee

kVq

CCKy

kVq

V eeiee


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Dinmica de Primer Orden

Resumiendo de todos los casos presentados, la ecuacindiferencial general que describe la dinmica de primerorden se puede escribir de la siguiente forma:

Donde:

Al aplicar transformadas de Laplace para obtener lafuncin de transferencia desde esta ecuacin, se tiene :

xKydt

yd

1)(

s

KsG

gananciaoadSensibilidK

sistemadelrespuestadeTiempo

.

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