Capitulo II-estabilidad

ESTABILIDAD I – FACET ‐ UNT

CAPÍTULO II

En el presente capítulo se realizará el estudio de las estructuras de vigas, formadas básicamente por barras de eje recto, quebrado o curvo, y de las solicitaciones que se originan en ellas debido a la presencia de las cargas, es decir, los esfuerzos internos o esfuerzos de sección: momento flexor, corte y normal. A continuación se hará un breve resumen sobre la determinación de los esfuerzos internos de momento, corte y normal en estructuras de barras, y se ejemplificará a través de varios problemas resueltos.

ESTRUCTURAS DE BARRAS O VIGAS

Las vigas son elementos estructurales diseñados para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes. Debido a estas, desarrollan esfuerzos internos de corte y de flexión, que sumados a los de tracción o compresión constituyen las solicitaciones básicas a las que puede estar sometida una pieza estructural. A los efectos de dimensionar la pieza para resistir dichas solicitaciones, es necesario determinar las leyes de variación de los esfuerzos de sección: Momento flexor, Corte y Normal, y los máximos valores que pueden alcanzar.

ESFUERZOS DE SECCIÓN Para determinar los esfuerzos internos en un punto de una viga o estructura aporticada, se emplea el mismo método general que se usó en reticulados. Es decir, se hace un diagrama de cuerpo libre seccionando la estructura por el punto deseado, y se supone cada esfuerzo interno desconocido (M, Q y N) actuando en el sentido positivo, según la convención adoptada. Se procede al cálculo aplicando las ecuaciones de equilibrio a cualquiera de las partes en las que queda seccionada la barra; si esto da como resultado un valor positivo para la incógnita, entonces el sentido supuesto es correcto y el esfuerzo interno realmente es positivo. Si, por el contrario, el cálculo da un valor negativo para la incógnita, entonces la dirección supuesta es incorrecta y el esfuerzo interno es negativo. En este caso, debe considerarse un diagrama de cuerpo libre diferente para cada punto de la estructura donde se deseen calcular los esfuerzos internos. El cálculo en cada caso dará los esfuerzos internos en la sección cortada. Previamente a la determinación de los esfuerzos deben calcularse las componentes de reacción externas de la estructura isostática analizada. El procedimiento puede generalizarse encontrando la expresión de la función que representa cada uno de los esfuerzos internos en una sección genérica i en cada tramo de la barra, y graficando en escala dicha función para obtener la variación de los esfuerzos y los máximos valores. Los tramos en los que es necesario plantear diferentes secciones genéricas quedan determinados por las fuerzas y cuplas aplicadas a la viga y por los quiebres en el eje de la barra. Existen por otro lado métodos gráfico-analíticos que permiten determinar los diagramas de esfuerzos M, Q y N en función de los valores extremos o condiciones de borde de cada uno de los tramos en que se subdivide a la viga o barra. Dichos métodos pueden observarse en la aplicación realizada en los problemas siguientes. Por último, conviene tener en cuenta las relaciones de derivada existentes entre la carga distribuida q aplicada a la barra, el esfuerzo de corte Q y el momento flexor M en la misma:

qdx

dQ

Qdx

dM

qdx

Md

2

2


Estas relaciones permiten determinar el grado de cada función y la ubicación de sus probables máximos. PROBLEMA 1 La viga de la figura fallará si el momento interno máximo en D alcanza el valor máximo de 800 Nm, o la fuerza normal en el vínculo BC llega a un valor de 1500N. Determinar la carga máxima W que la viga puede soportar.

Ax

By

BxD

W

TBC

a a

Ay

a = 4,00m '''01 125236

4

3

tg

Las condiciones que impone el problema para calcular el valor de la carga límite W son:

NT

NmM

BC

D

1500

800

por lo que se analizará cada una por separado, lo que conducirá a determinar dos valores de W, y el valor límite será el menor de ambos. Primera condición:

NmM D 800

La viga AB es una viga simplemente apoyada con carga distribuida uniforme, y el punto D se encuentra en la mitad del tramo, es decir donde se localiza el momento máximo, por lo que MD es igual al Mmáx . El Mmáx en este caso es igual a la flecha de la parábola del diagrama de momentos flexores, por lo tanto:

m

NW

a

MW

NmMaW

M

D

D

1002

8

8008

2

2

2

max

Segunda condición:

NTBC 1500

ESTABILIDAD I – FACET ‐ UNT En este caso lo que no debe superarse es el valor límite de la reacción en el vínculo BC, por lo que se plantea una ecuación de equilibrio para determinar el valor de la reacción en función de W, en este caso una sumatoria de momentos en A:

m

NW

m

N

a

BW

NsenTBaBa

WM

y

BCyyA

2254

900

900022

2 2

Se puede concluir que la máxima carga que puede soportar la viga es Wmáx = 100 N/m, lo que significa que la viga fallará primero por flexión en el punto D. PROBLEMA 2 Trazar los diagramas de esfuerzos de sección (Momento Flexor, Corte y Normal) para la siguiente estructura.

A

B C

q

2a

a

a = 3,00 m q = 3 kN/m '''01 5433262

aatg

Determinación de reacciones

2a

q

Bx

By

TAC

d


d = 2 a sen = 2,68m Se plantean las ecuaciones de equilibrio para la viga BC:

kNT

aqd

TdTaaq

M

AC

ACAC

B

416,13

3

4102

3

22

2

1

0

2

kNB

senTaqB

aqsenTB

F

Y

ACY

ACY

Y

3

0

022

1

0

kNB

TB

TB

Fx

X

ACX

ACX

12

0cos

0cos

0

Determinación de esfuerzos de sección Corte Si se analiza la estructura comenzando desde la izquierda, en el apoyo B se obtiene: QBC = BY = 3 kN A medida que se recorre la viga desde B hacia C, empieza a intervenir la carga distribuida q, por lo que ya en el nudo C se tiene:

kNaqBQ YBC 9)2(2

1

El tensor AC sólo es capaz de soportar un esfuerzo axial (normal) por lo que: QAC = QCA = 0 En la viga, la variación del esfuerzo de corte es cuadrática. Para trazar la curva se aplica el método gráfico de construcción, para lo cual es necesario encontrar las tangentes extremas de la parábola. Sabiendo que la derivada del corte en un punto es igual a la componente perpendicular de la carga distribuida en dicho punto, se calculan las tangentes en B y C de la siguiente manera: Tangente en B = carga en B = qB = 0 (tangente paralela al eje de la viga, o sea horizontal) Tangente en C = carga en C = 3 kN/m (3 kN cada metro de viga) Una vez trazadas las tangentes en escala, se pueden determinar las tangentes intermedias y a partir de éstas dibujar la curva que representa los valores de Q. Momento

ESTABILIDAD I – FACET ‐ UNT El momento flexor en todo el tensor es nulo, ya que por definición éste soporta sólo esfuerzos normales de tracción. En la viga BC se plantean las ecuaciones para calcular el esfuerzo interno de momento en B y en C, llegando a la conclusión de que dichas ecuaciones son en realidad ecuaciones de equilibrio, por lo que: MB = MC = 0 La variación del momento es parabólica de tercer grado, puesto que la carga varía linealmente y el corte en forma cuadrática. Para dibujar el diagrama de M, se deben primero trazar las tangentes extremas de la parábola, es decir en B y en C. Los valores de las tangentes están dados en este caso por los valores del corte en los respectivos puntos. Tangente en B = QBC = 3 kN Tangente en C = QCB = 6 kN Otra manera de encontrar las tangentes extremas es mediante los momentos estáticos, los cuales se colocan a partir de los valores de momento flexor en B y C, en la dirección y sentido de la carga q y en la misma escala de momentos (como puede observarse en el diagrama de -M-). Los momentos estáticos se calculan como sigue:

kNma

qaaqM

kNma

qaaqM

C

B

183

2)2(3

1)2(

2

1

363

4)2(3

2)2(

2

1

2

2

Al trazar el diagrama de momentos -M- debe verificarse que el Mmáx se encuentre en correspondencia con el punto de corte nulo. Normal El esfuerzo normal del tensor es: NAC = NCA = TAC = 13,416 kN (tracción) En la viga BC el esfuerzo normal es constante e igual a la componente de reacción horizontal en B: NBC = NCB = -BX = -12 kN (compresión)


-Q-

CB

Bx

-N-TAC

A

ByB

q 1m

1m

C

Esc N = 5kN:1cmEsc Q = 2kN:1cmEsc. M = 4kNm:1cmEscala l=1m:1cm

q

A

MB

B

A

MC

C

-M-


PROBLEMA 3 Trazar los diagramas de esfuerzos de sección (M, Q, N) para la viga de eje quebrado indicada.

a b b

b

b

A

C

B

D

q

P

..

a = 6,00m b = 2,25m = 45º = tg -1(2b / a) = 36º52’

LAC = 2b /cos = 7,5 m q = 12 kN/m P = 75 kN Determinación de reacciones En primer lugar se dibuja el diagrama de cuerpo libre y se ponen de manifiesto las reacciones de apoyo. Para el estudio del equilibrio puede reemplazarse la carga distribuida q por su resultante, la carga puntual R.

a

b

b

b b

AY BY

BX

R = q LAC = 12 kN/m . 7,5 m = 90 kN d = a sen 45º = 4,243 m Para calcular las reacciones de apoyo se plantean las 3 ecuaciones de equilibrio:


kNB

PBPB

F

X

XX

X

033,53

cos0cos

0

kNB

senaPa

Rba

B

senaPbaBa

R

M

Y

Y

Y

A

019,56

2)2(

1

0)2(2

0

kNA

BPsenRA

senPBRA

F

Y

YY

YY

Y

014,87

0

0

Determinación de esfuerzos de sección

En primer lugar se descomponen las reacciones y las cargas exteriores según las direcciones tangente y normal al eje de la viga. La carga distribuida q se puede descomponer en 2 componentes: Carga perpendicular al eje de la viga = q’ = q cos = 9,60 kN/m Carga tangencial al eje de la viga = q’’ = q sen = 7,20 kN/m Corte Si se analiza desde A hacia C: QAC = AY cos = 69,61 kN QCA = AY cos - q’ LAC = -2,39 kN La variación del corte entre A y C es lineal, ya que la carga q’ es constante.

ESTABILIDAD I – FACET ‐ UNT Para analizar el tramo CB, conviene realizar el análisis desde B hacia C. Por lo tanto resulta: QBD = QBD = -BY cos - BX sen = -77,11 kN QDC = QCD = -BY cos - BX sen + P = -2,11 kN Momento Si se analiza la sección a la izquierda de C, se obtiene: MC = AY cos - ½ q’ (LAC ) 2 = 252,084 kNm La variación del momento entre A y C es cuadrática. Para graficar dicha variación se colocan a escala los valores de MA y MC, en A y C respectivamente, se unen con una recta, y a continuación, desde la mitad de dicha cuerda, se traza el valor de la flecha f’ dos veces, en la misma escala de momentos y en el sentido y dirección de q’. De este modo quedan determinadas las dos tangentes extremas, como se observa en el diagrama de -M-. f’ = q’ (LAC ) 2 / 8 = 67,50 kNm El momento en B es nulo por tratarse de una articulación externa, por lo que MB = 0 Para calcular el momento MD se consideran las cargas que se encuentran a la derecha de D: MD = BY b +BX b = 245,37 kN El momento MC esta dado por: MC = BY 2 b + BX 2 b - P (b / cos) = 252,08 kN Como puede observarse, este valor es el mismo que se obtuvo realizando el análisis de A hacia C. Normal En A el esfuerzo normal está dado por la componente de la reacción A en la dirección del eje longitudinal de la viga: NAC = - AY sen = -52,20 kN (compresión) A medida que se avanza de A hacia C, interviene la carga distribuida q”, por lo que NCA es: NCA = - AY sen + q ’’ LAC = 1,80 kN (tracción) La variación del esfuerzo normal entre A y C es lineal, puesto que la carga distribuida q” es uniforme. El esfuerzo normal en el tramo BC es: NBD = NDB = -BY sen + BX cos = -2,11 kN (compresión) Como puede observarse, el esfuerzo normal es constante a lo largo de todo el tramo BD.

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