Capitulo iii valores de verdad y lógica

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LOGICA MATEMATICAIngeniería de Sistemas

CAPITULO III VALORES DE VERDAD Y LÓGICA1. Definición de tabla de verdad2. Construcción de tablas de verdad3. Doble negación4. Proposiciones condicionales5. Reciproca, inversas, contrarecíproca6. Bicondicional

VALORES DE VERDAD Y LÓGICAEl Valor de Verdad (VV) de una proposición dada, o bien es verdadero si la misma es verdadera, o bien es falsa en caso contrario. Notación: simbolizamos con T (true) y con F(false) en el segundo caso.Un motivo de la primera elecciónes para aminorar confusiones con el s´ımbolo .∨Falso y verdadero con 0 y 1, respectivamente, técnicas digitales

Definición de tabla de verdadLa Tabla de Verdad muestra en forma sistemática los valores de verdad de una proposición compuesta en función de los todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.¿Para qué sirven las tablas de verdad?. Permiten analizar cualquier fórmula y hallar sus valores de verdad. Nos dice si una fórmula es satisfacible. Si un razonamiento es válido o no. Constituye un procedimiento de decisión que en un número finito de pasos nos dice si una fórmula es una tautología o no.

Ejemplo

Construcción de tablas de verdadToda tabla de verdad consta de dos tipos de columnas: las columnas de la izquierda (llamadas de referencia) en donde se

pondrán todas las posibilidades de verdad y falsedad de las letras o variables proposicionales, y las columnas de la derecha que contienen los valores de verdad de las funciones presentes en la fórmula.

Para hallar la tabla de verdad de una fórmula cualquiera de la lógica proposicional habrá de seguirse los siguientes pasos.

Construcción de las columnas de los argumentos. En las columnas de los argumentos hay que consignar los posibles valores de verdad de las letras o variables presentes en una fórmula dada. El número de combinaciones posibles es 2n, siendo n = número de variables o el grado de la fórmula, y 2= a los valores de verdad que podemos asignar: verdadero (1), falso (0).

Las fórmulas según el número de variables se clasifican en:Fórmulas de orden uno, si n =1. Ejemplo: la fórmula (p ^ ¬ p), o la fórmula (¬ p ^ ¬ p)Fórmulas de orden dos, si n =2 Ejemplo: la fórmula (p v ¬ q), o la fórmula (¬ p ^ ¬ q) --> qFórmulas de orden tres, si n =3 Ejemplo: la fórmula (¬ p ^ ¬ q) s, o la fórmula (p ^ ¬ p) ^ (s v ¬ q)Fórmulas de orden n, si n = n

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Se procede asignando la mitad de los valores verdaderos y la otra mitad falsos para la primera variable. Para la segunda, la mitad de los valores verdaderos, han de ser verdaderos y la otra mitad falsos. Así sucesivamente, de tal manera que a la última variable se le asignen siempre 1 0 1 0.

Construcción de las columnas de los juntores. Es necesario proceder en primer lugar registrando la tabla de verdad de los juntores de menor dominancia hasta llegar a los de

mayor dominancia. Para ello es suficiente con proceder de dentro de la fórmula afuera.Observar el siguiente ejemplo:(p ^ q) --> ¬ (¬ p v ¬ q)

P q ¬ p ¬ q (p ^ q) (¬ p v ¬ q ) ¬ (¬ p v ¬ q ) (p ^ q) --> ¬ (¬ p v ¬ q )1 1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 0 1 0 10 1 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 1 0 1

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CondicionanteLa condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo .Esta proposición compuesta se denota por y se lee p implica q.En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.La tabla de verdad para el conectivo está dada por

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Se puede ver que una proposición compuesta tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero.

Proposiciones condicionalesUna proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares, condicionadas una de la otraLa cual se indica de la siguiente manera:pq y se lee Si p entonces qA la proposición “p” le llamaremos antecedente y a la proposición “q” le llamaremos consecuente, en algunos otros contextos se le llama “Si condicional” en el cual el antecedente es la condición que debe cumplirse, y el consecuente es la consecuencia lógica que se deriva de la condición.EjemplosEs herbívoro si se alimenta de plantasEl número 4 es por puesto que es divisible entre 2Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados igualesCuando venga Raúl jugaremos ajedrezDe salir el sol iremos a la playa



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La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica La implicación lógica tiene sus orígenes en la aplicación de la inteligencia social ante situaciones cotidianas, en nuestra capacidad de comportarnos de acuerdo a normas y reglas, estas reglas son del tipo:Bajo tal condición, debe ocurrir tal otra cosaSi se cumplió tal requisito, entonces es aceptado que suceda tal cosaAlgunos ejemplos:Si pague por el pan entonces lo puedo llevar a casaSi tengo mi entrada entonces puedo entrar al cineSi corto el pasto entonces puedo ir a la fiesta esta noche La regla deja de respetarse, cuando habiendo cumplido una condición ("me saqué un 10 en mi examen semanal") se nos niega el beneficio ("no puedo ir a la fiesta"), es decir, cuando no se obtuvo el resultado deseado.

Si << condición >> Entonces << beneficio >>

Por tal motivo podemos asegurar que para que una implicación sea lógicamente correcta no es necesario que haya una relación entre el antecedente y el consecuente, es decir que la verdad entre una proposición condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente, por ejemplo:

“Si la tierra gira alrededor del sol entonces Puerto Asís es un municipio del Putumayo”.

Esta proposición es verdadera a pesar de que no existe relación entre los significados de sus proposiciones componentes.

Ejemplos ilustrativos de los cuales, podrían ser los siguientes: · Si la Luna es redonda entonces Puerto Asís es un municipio del Putumayo. · Si la nieve es blanca entonces Bruto mató a César. · Si la luna es cuadrada entonces Puerto Asís es un municipio.

Veámoslo mediante un ejemplo: Si nos fijamos bien, veremos que a Juan no le están dando a elegir como en los ejemplos anteriores, esta vez le están poniendo una condición que se reflejará en una consecuencia, si lo ejemplificamos en dos proposiciones atómicas quedaría de la siguiente manera:

p: Juan saca 10 en su examen. q: Juan va al antro el fin de semana. p → q que se lee “Si Juan saca 10 entonces Juan va al antro el fin de semana”.

Reflejándolo en una tabla de verdad nos queda:

p q p → qv v v Juan saca 10 en su examen entonces va al antro, se cumple la consecuencia

lógica.v f f Juan saca 10 en su examen, pero no va al antro, NO se cumple la

consecuencia lógica.f v v Juan no saca 10 en su examen, pero va al antro, se cumple la consecuencia

lógica.f f v Juan no saca 10 en su examen y no va al antro, se cumple la consecuencia



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lógica.

Bicondicionante

La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo .Esta proposición compuesta se denota por y se lee p si y solo si q.La tabla de verdad para el conectivo está dada por

p q

V V V

V F F

F V F

F F VSe puede ver que la proposición compuesta tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.

Profundicemos lo que es una Proposición Bicondicional “Una proposición bicondicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares, condicionadas una de la otra, con la característica de que la condición debe cumplirse forzosamente”.

Se indica la proposición bicondicional de la siguiente manera: p ↔ q Se lee “p si y solo si q”.

Esto significa que “p” es verdadera si y solo si “q“ es también verdadera, o bien, “p” es falsa si y solo si “q” también lo es.

También podemos encontrarlo en sus diferentes connotaciones: “Cuando y solo cuando…”, “si… entonces y solo entonces”, “si y solo si…”.

Ejemplos: · Es fundamentalista si y solo si es Talibán. · Habrá cosecha cuando y solo cuando llueva. · Si apruebo el examen de admisión, entonces y solo entonces ingresará a la U

Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condiciones, pero de sentido inverso, por ejemplo:

· Habrá cosecha si y solo si las lluvias son suficientes. · Si las lluvias son suficientes entonces habrá cosecha.

El antecedente y el consecuente son necesarios y suficientes uno de otro, pueden leerse en sentido inverso y la misma idea de la proposición prevalece.

Analicémoslo mediante un ejemplo: Ante esta situación Juan tiene una condición que forzosamente debe cumplir para poder obtener el beneficio de la consecuencia dependiente, si lo ejemplificamos en dos proposiciones atómicas quedaría de la siguiente manera:

p: Juan val al antro el fin de semana. q: Juan saca 10 en su examen semanal.



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p ↔ q que se lee “Juan va la antro el fin de semana si y solo si Juan saca 10 en su examen semanal”.

Reflejándolo en una tabla de verdad nos queda:

p q p ↔ q

V V V Juan va al antro, sacó 10 en su examen, se cumple la condición necesaria.

V F F Juan va al antro, no sacó 10 en su examen, NO se cumple la condición necesaria.

F V F Juan no va al antro, sacó 10 en su examen, NO se cumple la consecuencia dependiente.

F F V Juan no va al antro, no sacó 10 en su examen, no se cumple ninguna

EJERCICIOS((p⇒q)⋀p)⇒q

p q p⇒q (p⇒q)⋀p ((p⇒q)⋀p)⇒q

v v

v f

f v

f f

((p⇒q)⋀¬p)⇒¬q

P q ¬p ¬q p⇒q(p⇒q)⋀¬

p((p⇒q)⋀¬p)⇒¬

q

V v

V f

F v

F f

[(p⇒q)⇒p]⇒p



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p q p⇒q (p⇒q)⇒p [(p⇒q)⇒p]⇒p

v v

v f

f v

f f

(¬p⋀¬q)⇒(p⇔q)

q ¬p ¬q(¬p⋀¬q

) p⇔q (¬p⋀¬q)⇒(p⇔q)

v v

v f

f v

f f

En los problemas siguientes se pide construir la tabla de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.¬(¬p → ¬q)¬(p → q) ∨ (¬p ∧ ¬q)p → ¬q) ∨ (q → ¬r)

Doble negaciónDemostraremos que las proposiciones p y la proposición ~(~p) son lógicamente equivalentes. Para lograrlo construiremos la tabla de verdad de la proposición p↔~ (~p)

Cualquier proposición es equivalente a sí misma.La doble negación de una proposición es la misma proposición.



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Ejemplo 1:Consideremos la proposición simple:p: es de día, luego:~p: es de noche~ (~p): no es de nochePor lo tanto ~ (~p) = p

EjercicioA. p: "No es cierto que no haya vida en la luna"

Puede que no haya vida en la lunaPuede haber vida en la lunaNo hay vida en la lunaHay algo de vida en la luna*Hay vida en la luna

B. p: "No es verdad que la catedral de León no sea gótica.Quizá la catedral de León no es góticaLa catedral de León quizá no sea gótica*La catedral de León es góticaLa catedral de León no es góticaLa catedral de León es algo gótica

C. p: "No es cierto que no tenga discos nuevos."No tengo discos nuevos*Tengo discos nuevosTodos mis discos son viejosTengo algunos discos viejosTengo algunos discos nuevos

Recíproca, inversas, contrarrecíprocaDadas las proposiciones p: Es un animal mamíferoq: Tiene pelo entonces:Implicación directa: Si es mamífero entonces tiene peloImplicación contraria: Si no es mamífero entonces no tiene peloImplicación recíproca: Si tiene pelo entonces es mamíferoImplicación contra recíproca: Si no tiene pelo entonces no es mamífero

Dada la proposición condicional p → q, su recıproca es la proposición, también condicional, q → p. Por ejemplo, la recıproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora” será “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”.

Proposición ContrarrecíprocaDada la proposición condicional p → q, su contrarrecíproca es la proposición, también condicional, ¬q → ¬p. Por ejemplo, la contrarrecíproca de la proposición “Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante” es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”. EjemploEscribir la recíproca y la contrarrecíproca de cada una de las afirmaciones siguientes:(a) Si llueve, no voy.(b) Me quedaré, solo si tú te vas.(c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.



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(d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas. SoluciónEscribiremos la recíproca y la contrarrecíproca de varias formas.

(a) Si llueve, no voy.Reciproca.− Si no voy, entonces llueve.− Llueve si no voy.− Una condición necesaria para no ir es que llueva.− Una condición suficiente para que llueva es no ir. Contrarecíproca.− Si voy, entonces no llueve.− Voy solo si no llueve.− Es necesario que no llueva, para que vaya.− Es suficiente que vaya para que no llueva.

(b) Me quedaré sólo si te vas.Recíproca.− Si te vas, entonces me quedaré.− Me quedaré, si te vas.− Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme.− Una condición suficiente para quedarme es que te vayas.Contra recíproca.− Si no te vas, entonces no me quedaré.− No me quedaré si no te vas.− Es suficiente que no te vayas, para no quedarme.

(c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.Recıproca.− Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas.contrarecíproca.− Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas.− Puedo completar la respuesta solo si me ayudas.− Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta.



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RecursosConstrucción tablas de verdadhttps://www.youtube.com/watch?v=AKjWG2zoH4Qhttps://youtu.be/4K5rBPZ5A-ghttp://www.cimec.org.ar/twiki/pub/Cimec/TeoriaDeLaComputacion/tc-logica.pdfGenerador de tablas de verdadhttp://escuela2punto0.educarex.es/Humanidades/Etica_Filosofia_Ciudadania/Aprende_logica/logica/03tablasvdad/generadorfrset.htmlConstrucción de tablas de verdadhttp://ficus.pntic.mec.es/rdis0006/lecciones/logica_proposicional/lecciones/las%20tablas%20de%20verdad.htmSimulador de tablas de verdadhttp://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/Video del simulador de tablas de verdadhttps://www.youtube.com/watch?v=ZKg7wt9EGJIVideo Julio el profehttps://youtu.be/pwJK-4Op438

Doble negación - ejercicioshttp://escuela2punto0.educarex.es/Humanidades/Etica_Filosofia_Ciudadania/Aprende_logica/logica/03tablasvdad/021dobleneg.html

Libro lógica de proposicioneshttp://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711051/Apuntes/Leccion1.pdf



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