Capitulo IV Diseño a Flexión - ULTIMAS...

28/06/2012Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso1

Capitulo 6Diseño a Flexión

28/06/2012 Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso. 2

1.- Las Solicitaciones.

Sea una viga recta sometida a q y P.

Capítulo IV: Diseño a Flexión

P q

A B

L


Se presentan las siguientes solicitaciones:Capítulo IV: Diseño a Flexión

P q

A B

Mmáx

Momento Flector +



P q

A B

Cortante

-

+QA

QB



P q

A B

Deformación d


2.- TablasPara las diferentes condiciones decarga y de apoyo encontramos enTablas del Anexo 547-562 los valoresde M-Q y d.En estos se tabulan valores máximos yotros a calcular para puntosespecíficos de interés.Para una condición dada decombinación de cargas es posibleutilizar los valores de tablas mediantela simple suma punto a punto.



3.- Distribución de Tensiones en una sección dada de una viga.


a

h

Ff

Ff

Ff

Ff

fB

fB

1

Ff

Ff

2 3 4

1. Aplicación de un MB.

2. Aplicación de un MB = Mfluencia en la fibra extrema.

3. Aplicación de un MB > Mfluencia comprometiendo másfibras que se van plastificando.

4. Aplicación de un MB = Mplástico en que todas las fibrashan alcanzado Ff formándose una articulación plásticaen esa sección.



f

p

MM

Forma deFactor =

1,5 para secciones rectangulares.

1,1 a 1,2

para secciones laminadas estándar.


4.- Clasificación de Secciones.


En atención a lo anterior las diferentessecciones posibles en el diseño de vigas se hanclasificado así:

Secciones PLASTICAS.

SEMIPLASTICAS.

COMPACTAS.

ESBELTAS.

Ver Tablas 13 pág. 170 y Tablas 14 pág. 171


5.- Características de las secciones.


PLÁSTICAS:

Aquella que puede alcanzar Ff en todas susfibras sin existir pandeo local en suscomponentes.Se permite aplicar en ellos:

a) Coeficiente de Forma

Para perfiles I significa Fmx = 0,66 Ff

Fmy = 0,75 Ffb) Redistribución de Momentos:

9/10 M en momentos negativos

+ 1/10 M_ a momentos positivos


Características de las secciones (cont.).


SEMIPLÁSTICAS:

Sección de transición entre una plástica y unacompacta, por lo que Fm tendrá un valorintermedio.

COMPACTA:

Aquella que tiene alas y almas no afectas apandeo local para una tensión Ff en su fibraextrema y por lo tanto Fm = 0,6 Ff


Características de las secciones (cont.).


ESBELTA:

Aquella cuyos elementos constituyentes al estarsolicitados por tensiones de compresión porflexión pueden estar afectos a:

• Pandeo Local del ala comprimida y/o

• Pandeo del alma por flexión.

Por lo tanto Fm dependerá de la esbeltez de suselementos.


Pandeo lateral Torsional:

Toda viga sometida a flexión presenta latendencia al giro (vuelco) de su seccióntransversal.

Según se controla esta tendencia será suresistencia al pandeo lateral torsional.

Por lo tanto según NCh 427 se verifica si unaviga está o no afecta a P.L.T. con Tabla 16 (pág.196)

6.- Tensiones Admisibles Fm.



El Pandeo lateral torsional se controla odisminuye con la existencia de arriostramientoslaterales.

Lm = distancia entre arriostramientos laterales.

Lp ó Lc = distancia entre arriostramientospara secciones plásticas o compactas.

Tensiones Admisibles Fm.



Si Lm ≤ Lp ó Lc

Si Lm > Lp ó Lc


No hay PLT y Fm se obtiene de Tabla 15

Hay PLT y Fm se obtiene usando el mayor valor resultante de Tabla 17 y Tabla 18


En estas Tablas se necesita calcular:


Nota : ia e it de Tablas de secciones.



M1 y M2 Momentos de Flexión en los extremosdel tramo entre arriostramientos.Si una sección resulta ser ESBELTA usar Tabla19 (pág. 199).


7.- Tensión de Trabajo a la Flexión.


(Tablas)sección de módulomáximoflector momento

WMfm =

y fm ≤ Fm


8.- Esfuerzo de Corte


Cortante:

Se considera que el alma de la viga es la queresiste al cortante.

Su Capacidad resistente puede ser determinadapor:

a.- RESISTENCIA AL PANDEO DEL ALMA.

Depende de su esbeltez (h/t) y sus condicionesde borde (c/s atiesadores de rigidez).


Esfuerzo de Corte


b.- CAMPO DE TRACCIÓN.

Aplicable a almas atiesadas de vigas armadascomo analogía con viga enrejada Pratt conmontantes comprimidos y diagonalestraccionadas.


9.- Tensión Admisible al corte Fv

Esbeltezh/t

Tensión admisibleFv

A. h/t ≤ 3230/

B. h/t > 3230/ y

h/t ≤ 4630/C. h/t > 4630/

yh/t ≤ 260

fF

fF


Determinada por:Tabla 21

(Alma no atiesada)

fF

fF

3F

FS1 f

fFh/t

2160FS1

2(h/t)10.000.000

FS1


Criterio Tensión admisibleFv

A. Pandeo del alma

B. Campo de Tracción


Tabla 22(Alma atiesada)

fv FC 4,03

FFS1 f ≤

ff

2v

v 0,35F3

F(a/h)11,15

C1CFS1

≤

+

−+


10.- Tensión de Trabajo


vv A

Vf =

Av = h * th: Altura del alma.

t: espesor del alma.


11.- Deformación Vertical (d o D)


No debería exceder los límites de Tabla 45,expresadas como función de la longitud L.

La tabla 45 expresa además unarecomendación de altura H para condicionesespecíficas de:

•Carga uniformemente repartida.

•Simplemente apoyada.

•Para Ff conocidas.

Detalles de variaciones al pie de T.45 (pág 220)


Deformación Vertical (d o D)


Dreal ≤ Dadmisible

300L

384EI5qL4

≤

Por ejemplo:


12.- Interacción Flexión-Corte


Se verifica con tabla 26 caso A para almas noatiesadas y caso B para almas atiesadas conconcepto campo de tracción.

Caso A:

Se aplica

vvm A

Vf WMf ==



Fv de tabla 21

(h/t)

45.400.000 FS1F 2mv =

FS= 1,23


Ejercicio

P= 5 Ton.

q= 1 (t/m)

L= 10 m

Acero A 270 ES

Dadmisible: L/300

P q

A B

L

ALI

ALI

ALI


SOLICITACIONES:

1.- MOMENTO FLECTOR: evaluar en cada punto donde hay ALI, y determinar valor y ubicación de valor máximo

2.- CORTANTE: evaluar en cada punto donde hay ALI, y determinar valor y ubicación de valor máximo

3.- DEFORMACION VERTICAL: determinar valor y ubicación de valor máximo


CORTANTE

CASO P

+

-

P/2

P/2

CASO q

qL/2

qL/2

+-

CASO P+q

P/2+qL/2

P/2+qL/2

+

-


Momento Flector

CASO P

00

PL/4

+

CASO qqL^2/8

+0

0

PL/4 + qL^2/8

+

0 0

CASO P+q


X (cm) Q (Kgf) M (Kgcm)

P q P+q P q P+q

0 +2.500 +5.000 +7.500 0 0 0

500-i500-d

+2.500-2.500

00

+2.500-2.500

1.250.000 1.250.000 2.500.000

1.000 -2.500 -5.000 -7.500 0 0 0


Diseño:– Por deformación– Por tensión– Utilizando ambos se pueden obtener Wx

e IxEn este caso:Para la deformación:

3003845

48

43 LEI

qLEI

PL

xx

≤+


Para las tensiones:

Seleccionar perfil con los datos obtenidos para Ix y para Wx

mm Ff ≤

mx

FW

M≤max

fF50,0

fF60,0

fF66,0


Con sección seleccionada:1. Clasificar la seccion (plástica, s-p, etc..)2. Determinar Lp o Lc según se trate3. Determinar si existe PLT (Lm>Lp ó Lc), lo que

debe hacerse en cada tramo entre arriostramientos

4. Si no existe usar tabla 15 y determinar la tensión admisible Fm

5. Si existe determinar el MAYOR valor entre tabla 17 y 18, y ese será Fm

6. Debe cumplirse que las tensiones de trabajo sean menores que las admisibles

7. Verificar la deformación vertical8. Verificar el cortante


ESFUERZOS COMBINADOSSe dice de los elementos sometidosfundamentalmente a:

•Esfuerzos de flexión y Tracción(Flexo-tracción)

•Esfuerzos de flexión y compresión(Flexo-compresión)

El primero de los casos es menos severo yaque tiende a reducir la deflexión lateral.


ESFUERZOS COMBINADOS

Casos más comunes:

•En marcos rígidos

•Carga excéntrica.•Cargas no aplicadas en nudos(costaneras).

•Cargas adicionales en elementos dearmaduras (instalaciones, etc.) noaplicadas en nudos.

•En vigas reticuladas el peso propio.

Carga axial y viento

Carga axial y sismo



El esfuerzo en cualquier punto en caso deflexión lateral y carga axial se puedeobtener con la expresión:

Valor aproximado, pues no incluye efectosde deflexiones laterales crecientes.

Ic*M

APf ±=


Esto quiere decir :

M


d

DM = P * d



Ya que la flexión puede producirse en unplano distinto de X e Y provoca por lo tantoflexión c/r a X e Y (caso pilar en esquina),entonces usualmente:

y

y

x

x

Ix*M

Iy*M

APf ±±=

Estos esfuerzos de trabajo pueden ser muyfáciles de determinar, sin embargo lospermisibles son más complicados dedefinir.



Generalmente los códigos de diseñoaceptan una combinación de los esfuerzospermisibles individuales.

Estas ecuaciones se llaman de interacción.



La interacción típica es:

1Ff

Ff

Ff

by

by

bx

bx

a

a ≤++

fa = Esfuerzo de Trabajo axial.

Fa = Esfuerzo Admisible axial.

fb = Esfuerzo de flexión c/r a (X,Y).

Fb = Esfuerzo Admisible de flexión c/r a (X,Y).



Si consideramos ahora la deflexión lateralcreciente originada por P resulta este factorde amplificación del esfuerzo flector:

1)(

F'f1

1

e

a

>

−

Tensión admisible de Euler



Como en algunos casos este factorsobredimensionaría en exceso a loselementos el código para ASD propone encoeficiente de reducción del esfuerzo.

e'Ffψ1C a

m +=



1.- Partes de marcos , cuya rigidez lateraldepende de las rigideces a flexión desus miembros. Estos miembros estánsometidos a traslación de sus nudos oladeo.

∴ Cm = 0,85



2.- Miembros restringidos contra rotación y traslación de sus nudos o ladeo impedido y sin cargas transversales en sus extremos.

M1 y M2 momentos en extremos |M1|<|M2|

0MMy

0

2

1

2

1

>

<MM Si hay curvatura simple

Si hay curvatura doble



3.- Miembros sometidos a carga transversalentre sus nudos y arriostrado contratraslación de los mismos en el planode carga.

Cm

0,85 extremos restringidos

1,0 extremos no restringidos



TABLA 36FLEXION COMPUESTA EN PERFILES CON 2 EJES DE SIMETRIA

CONDICION FORMULAS DE INTERACCIONA.

15,0>Fc

c

Ff

15,0≤Fc

c

FfB.

1.

2.

1**11

≤++

−

− mcy

mcy

Ff

Cf

mcx

mcx

Ff

CfF

c

c

Ff

Ff

Ff

Ecy

c

y

Ecx

c

x

1≤++mcy

mcy

mcx

mcxF

co

t

Ff

Ff

Ff

1≤++mcy

mcy

mcx

mcxF

c

c

Ff

Ff

Ff

28/06/2012Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso.49

EJERCICIO FLEXION

L=8,0 m a=2,0 m

P= 6 ton

q= 1 t/m

DISEÑAR VIGA CON IN en calidad A 240 ES, para una deformación máxima admisible de L/360

x=4,0 m


SOLICITACIONES:

Momento flector:

Caso P :

-

aPM *=

Caso q :

LxaPM x

**−=

)*(*2* 22 LxaL

LxqM x −−=

2

2aqM =

A Bx

-

+


MOMENTO FLECTOR EN EL TRAMO

Aplicando valores en fórmulas 26 y 24

800*200*6000 xM P

x −= = xM Px 1500−=

)800*200800(800*2*10 22 xxM q

x −−= =253750 xxM q

x −=

252250 xxMM qPxx −== +

+


Valores Máximos de Momento flector

xd

dM

x

x 102250−=

Mmáx = en x=225 cms V=0

KgcmMM qP 125.253225225 == +

¡ Confeccionar tabla de Momentos en lugares claves !


X (cm) Mx (kgcm)

0 0

100 175.000

200 250.000

225 253.125

300 225.000

400 100.000

450 0

500 -125.000

600 - 450.000

700 -875.000

800 -1.400.000

100 -650.000

200 0


CORTANTE

Caso P

-

+

LaPV =1

PV =2

qaV =2Caso q

-++

)(2

221 aL

LqV −=

)(2

223 aL

LqV +=

)1(2 2

2

0 LaLx −=

¡ Determinar valores del cortante en los apoyos y en puntos claves !


X (cm) Vx (kg)

0 2.250

100 1.250

200 250

300 -750

400 -1.750

500 -2.750

600 -3.750

700 -4.750

800i -5.750

800d 8.000

100 7.000

200 6.000-7000

-5000

-3000

-1000

1000

3000

5000

7000

9000

0100

200300

400500

600700

800800

100200

V


VALORIZACIÓN DE LA DEFORMACIÓN VERTICAL

En el tramo:

Caso carga q: )222(24

22223224 xaLaLxxLLEILqxq

x +−+−=∆

Caso carga P: )(6

22 xLEIL

PaxPx −−=∆

Reemplazando y sumando valores:

cmLEI

xxxqPx 22,2

360125450010*2,3 438

=≤+−

=∆ +


x Dx * Ix

0 0100 1.143,8200 1.470,6300 612,8

337,2 0,5400 -1.307,2500 -3.676,5600 -5.392,2635 -5558,2700 -4.861,1800 0

E=2,04*10^6

VALIDO PARA EL TRAMO


DEFORMACION TOTAL EN EL TRAMO:

cmLI X

qPx 22,2

3602,558.5 =≤−=∆ +

47,503.222,2

2,558.5 cmI X =−≥


En el voladizo:

Deformación provocada por q, en la punta ( x=a):

)43(24

323 LLaaEI

qaqx −+=∆

Deformación provocada por P, en la punta ( x=a):

)(3

2

LaEI

PaPx +=∆

Reemplazando valores y sumando

cmaI X

qPx 56,0

3607,215.399,705.14

=≤+−

=∆ +


DEFORMACION TOTAL EN EL VOLADIZO:

cmI X

qPx 56,08,509.24

≤=∆ +

45,767.43 cmI x ≥


DISEÑO POR TENSIONES:

mm Ff ≤

fx

FW

M 5,0max ≤

1200000.400.1≤

xW

37,166.1 cmWx ≥


RESUMEN DE REQUERIMIENTOS:

DE MOMENTO DE INERCIA: (en el voladizo)45,767.43 cmI x ≥

DE MÓDULO DE SECCIÓN:37,166.1 cmWx ≥ (en el apoyo B)

Si la altura de la viga está limitada a 40 cm, entonces la SECCION QUE SE PROPONE es:

IN 40x111Propiedades de la sección:

H 40 cmB 30 cm

e 20 mm

t 6 mm

Ix 45.700 cm4

Wx 2.280 cm3

ia 8,88 cm

it 1,50 cm


VERIFICACION SECCION PROPUESTA:

1.- CLASIFICACION DE LA SECCIÓN:ELEMENTO ANCHO O

ALTOESPESOR ESBELTEZ LIMITE

ALA 150 20 7,5 8,8

ALMA 400 6 66,7 70,4

Por lo tanto se trata de una sección plástica

2.- LONGITUD ENTRE ARRIOSTRAMIENTOS:

Considerar cada tramo, así:

a.- Tramo A-A’: Lm= 400 cms M1= 0 Kcm M2= 100.000 kcm

y M(225) =253125 Ka= Kt =1

Lp=393 cms (menor valor entre 13,1B= 393 cm y 571it= 856,5 cm)

Lm>Lp Existe P.L.T. ir a Fmc (Alabeo y Torsión)


b.- Tramo A’-B: Lm= 400 cms M1= 100.000 Kcm M2= -1.400.000 kcm

Cm=1,827 Ka=0,740 y Kt =0,547


Lm>Lp Existe P.L.T. ir a Fmc (Alabeo y Torsión)

c.- Tramo B-C: Lm= 200 cms M1= 0 Kcm M2= -1.400.000 kcm

Cm=1,75 Ka=0,756 y Kt =0,571


Lm<Lp No Existe P.L.T. ir a Fm


3.- TENSIONES DE FLEXIÓN EN CADA TRAMO:

TRAMO

A-A’ 110,8 45,0 0,34 266,7 1.440 1.440 1.440

A’-B 612,7 33,3 0,25 145,9 1.440 1.440 1.440

B-C 612,7 1.584

AmcF T

mcF mFmf aλ e

aC

λtλ

48,130=eC 6,56065,0=

fFE

4.- DEFORMACIÓN VERTICAL:En el tramo:

En el voladizo :

cmx 22,212,0700.45

2,558.5<=

−=∆

cmx 56,054,0700.45

8,509.24<==∆

Ok deformación


4.- TENSIONES DE CORTE:

V MÁXIMO EN APOYO B = 8.000 kgs

Verificación del Pandeo vertical del alma

9,65606

20*2400<=

−=

th

Fv= 0,4*2400 = 960 kg/cm2

9604,3706,0*)2*240(

000.8<=

−=vf Kg/cm2 ok


Recomendación hacer tabla que incluya:

TRAMO

M1 M2 Mm Lm Cm Ka Kt Lp PLT λaλa/ Ce λt

Fmc

(A)

Fmc

(T)Fm fm St

A-A’

A’-B

B-C

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