UNIVERSIDAD NACIONALTECNOLOGICA DE LIMA SUR

INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIOMNES

CAP IV : FUERZAS - ESTATICACAP IV : FUERZAS - ESTATICA

ConceptoConcepto

• La estática es obviamente una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que este se encuentre en equilibrio.

• Equilibrio.- Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración .

• La estática es obviamente una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que este se encuentre en equilibrio.

• Equilibrio.- Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración .

• Equilibrio Estático.- Cuando un cuerpo no se mueve

• Equilibrio Cinético.- Cuando un cuerpo se mueve en línea recta a velocidad constante

• Equilibrio Estático.- Cuando un cuerpo no se mueve

• Equilibrio Cinético.- Cuando un cuerpo se mueve en línea recta a velocidad constante

APLICACIONES DE LA ESTATICA• La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto del

cuerpo así como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

• Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de: esfuerzos cortantes, normales, de torsión y momentos flectores a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

APLICACIONES DE LA ESTATICA• La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto del

cuerpo así como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

• Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de: esfuerzos cortantes, normales, de torsión y momentos flectores a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

APLICACIONES DE LA ESTATICA• Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus

ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales.

• Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

Aplicaciones del principio de la estática

Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo; es decir, de imprimirle una aceleración modificando su velocidad.

Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo; es decir, de imprimirle una aceleración modificando su velocidad.

FuerzaFuerza

I. FUERZA En física, la fuerza es todo

agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro.

Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación.

ELEMENTOS DE LA FUERZAELEMENTOS DE LA FUERZA

I. FUERZA 1La fuerza produce dos efectos:A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F =

500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y sobre el perno.

B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno del material

FUERZA QUE TRASLADA FUERZA QUE DEFORMA

F

Fuerza con polipasto

𝑀𝑖𝑧𝑞= 𝑀𝑑𝑐ℎ𝑎𝑏𝑅·𝐹𝑅= ·𝑏𝑀 𝐹𝑀

𝐹𝑅=𝐹𝑀

Para una sola polea

𝐹= /2 𝑅T

F

R

Fuerza para dos poleas

F=Q/2

Q

moviles

depoleasn

RF n

#2

moviles

depoleasn

RF n

#2

I. FUERZA 2 :Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir, goza del principio de transmisibilidad, esto es, la la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpode acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo

II. CLASES DE FUERZAS1. FUERZAS DE CONTACTO.

Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos

2. FUERZAS MASICAS se crean por acción a distancia. Ejm. la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE CUERPOS EN CONTACTO

II. CLASES DE FUERZAS 2:1. 1.FUERZAS CONCENTRADAS

Aquellas que se consideran aplicada en un punto

2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

Aquellas que se consideran aplicadas en una línea, un área o un volumen

III. UNIDADES DE FUERZA• Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas

conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por deformación calibrada de un resorte.

• La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N)

1N =Kg .m /s²

III. FUERZA RESULTANTE• Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como se ve en la figura .

• Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son

2 2 2 21 2 1 2

1 2

2 cos

( )

R

R

F F F F F

F F F

sen sen sen

EJEMPLO O1

Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

EJEMPLO 02

Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 de la figura adjunta para que el bloque de 780N de peso se encuentre en equilibrio ,si el módulo de la fuerza F1 es de 460N

47°

P

F2 F1

Ejemplo 03

En el esquema de la figura el bloque de peso P se mantienen equilibrio cuando se aplica una fuerza F=500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los cables y el peso P.

PF

10°

20°

A

BC

D

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

2 21 2

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ ˆ ˆ(cos )

R x y

R x y

R

R

R

y

x

F F F

F F i F j

F F i Fsen j

F F i sen j

i sen j

F F F

Ftg

F

Ejemplo 01

Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura :

EJEMPLO O3

La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y’.

EJEMPLO O2

En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

2 2 2

ˆˆ ˆ( )

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆˆ ˆ ˆ(cos cos cos )

R H z

R x y z

R

R

R x y z

F F F

F F i F j F k

F F i F j F k

F F i j k

i j k

Modulo

F F F F

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO

cos xF

F

cos yF

F

cos zF

F

V. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN

En algunos caso la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción. En este caso

2 1 2 1 2 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 2 2

ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z

x y z

MNF F F

MN

x x i y y j z z kF F

x x y y z z

d i d j d k d i d j d kF F F

dd d d

##############

##############

EJEMPLO O1

Expresar la fuerza FF de 36 kN en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x

EJEMPLO O2

Expresar la fuerza FF de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA.

MOMENTO DE UNA FUERZA• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza

(respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

Momento de una Fuerza con respecto a un punto.

r F

d

OM

O

P

FraM O

)(dFFrsenM O

Las Unidades de Momento en el S.I.

Newton Metro(N-m), kg-m ,gr-m , lb-pies

, etc.

INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

Una viga es mantenida en la posición mostrada en la figura mediante la acción de las fuerzas y momentos. Determine la reacción en el soporte A

“Torquímetro”“Torque producido por una llave de rueda”

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torque_animation.gif

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO

El momento de la fuerza respecto a O es :

Convención de Signos Se asume Convencionalmente el signo del momento como : negativo(-) al sentido de las manecillas del reloj y positivo (+) al sentido anti horario .

d

o

dSenϕ

AFBF

CFMo(Fa) = - Fa(d)

Mo(Fb) = Fb(d Seno )

Mo(Fc) = Fc(0) = o 00 FM

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO

HORARIO ANTI HORARIO

APLICACIONES :

Problema 1: Calcular el momento de la fuerza (módulo, dirección y sentido) de la figura respecto de O.

Ejemplo 02• Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con

respecto a los puntos (a) E y (b) S

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA• Para que un partícula se encuentre en equilibrio

estático es necesario que las fuerzas se encuentren balanceadas de tal manera que no puedan impartir traslación.

• La condición necesaria y suficiente para que una partícula se se encuentre en equilibrio estático es que la resultante de fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero

• Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se obtiene seis ecuaciones escalares

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO• Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es

necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren balanceados de tal manera que no puedan impartir traslación ni rotación.

• La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es que la resultante de FUERZAS y MOMENTOS de todas las fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero

00 FrMF O

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

ESTABILIDAD DEL EQULIBRIO DE ROTACION :

El equilibrio de rotación de un cuerpo puede clasificarse según tres categorías : Estable, Inestable e Indiferente

PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon

Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

CUPLA O PAR DE FUERZASLa cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero de sentidos opuestos.• El momento de la cupla es,

El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas

DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR

• La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

APLICACIONES :

Par de fuerzas :Principio del motor eléctrico

Alternador

CUPLA ó PAR DE FUERZAS

APLICACIONES:

Problema (4):Una barra homogénea de 369N de peso y longitud L esta articula en su extremo A y se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta.Determinar la reacción en la articulación.

22°A

B

60°

Problema (5):Una barra homogénea de 200N de peso y longitud L sed apoya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar:a)El valor de la fuerza F para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada.b)Las reacciones en los apoyos.

30° 60°F

A

B

• Problema 04:Un hombre de 70 kg sube por una escalera de 2 m de longitud y 10 kg de peso apoyada tal como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre el extremo inferior de la escalera y el suelo es 0.4.

• Hallar las reacciones en los apoyos, cuando el hombre ha ascendido 0.5 m a lo largo de la escalera

• Hallar la máxima altura a la que puede subir el hombre por la escalera antes de que esta comience a deslizar.

• Problema 08:Una esfera maciza de radio R = 20 cm y masa M = 3 kg está en reposo sobre un plano inclinado de ángulo θ = 30º, sostenida por una cuerda horizontal tal como muestra la figura. Calcular: a)La tensión en la cuerda. b)La fuerza Normal del plano sobre el cuerpo. c)La fuerza de rozamiento que actúa sobre la esfera.

Problema 02:Una barra homogénea de 200 N de peso y de longitud (L) se apoya sobre dos superficies lizas , tal como se muestra en la figura .Determinar :a)El valor de la fuerza F , para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada. b)Las reacciones en los apoyos

Problema 03:Una escalera de 3 m de longitud y 10 kg de peso está apoyada en una pared lisa AB y en un suelo horizontal AC rugoso (coeficiente estático de rozamiento 0.2) Calcular la reacción de la pared y del suelo cuando un hombre de 70 kg ha subido 50 cm a lo largo de la escalera ¿Cuánto podrá subir como máximo por la escalera?

a

Problema 06:Dos cilindros macizos y homogéneos de pesos 6 y 10 kg respectivamente, se apoyan sin rozamiento sobre los planos inclinados de la figura. Calcular el ángulo ɸ que forma con la horizontal la recta OO' que une los centros de los dos cilindros en la posición de equilibrio, y la reacción de los planos inclinados.

Problema 05:Una barra de 5 m de longitud y 20 kg de peso descansa apoyada sobre un cilindro de 30 kg de peso y 0.5 m de radio. La esfera está sujeta a su vez, por una cuerda de 1.3 m de longitud. Suponiendo que no hay rozamiento entre la barra y el cilindro, y que el coeficiente estático de rozamiento entre el extremo derecho de la barra y el plano horizontal es 0.3.

• Problema 07:Una barra OA de 30 kg de peso y 2 m de longitud, articulada en O, se apoya sobre una caja rectangular de 10 kg de peso y de dimensiones 0.75 y 0.5 m. La caja puede deslizar sobre el plano horizontal. Sabiendo que el ángulo entre la barra y el plano horizontal es de 30º. Calcular:

• La fuerza sobre la articulación O. • La fuerza que ejerce el plano horizontal

sobre la caja y su punto de aplicación. • ¿Deslizará o no la caja?. Razona la

respuesta. μ=0,7

CENTRO DE GRAVEDAD

COMPARANDO

El Centro de Gravedad ( CG ) de un objeto es el punto ubicado en la posición promedio del peso del objeto depende de la gravedad.El Centro de Masa ( CM ) de un objeto u objetos es el punto ubicado en la posición promedio de la masa que compone a un objeto El Centroide es el Centro de Masa de un objeto con densidad uniforme Por ejemplo para un objeto unidimensional uniforme de longitud L, el centroide es el punto medio del segmento de línea. Para un triángulo, el centroide es el punto de intersección de sus tres medianas. El centroide de una figura geométrica es el centro de simetría. Para cualquier otro objeto de forma irregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simple puede equilibrar este objeto. Por lo general, el centroide de un objeto bidimensional o tridimensional se encuentra utilizando integrales dobles o triples.

CG

CG

Cálculo de las coordenadas del Centro de masa de un sistema de partículas:

n

iimM

1

Si consideramos un sistema de n puntos materiales

Aplicaciones:1.-En los vértices de una estructura metálica cuadrada de 1,0 m de lado y masa despreciable se hallan situadas cuatro esferas macizas y homogéneas de masas m1=10,0kg,m2=20,0kg,m3=30,0kg y m4=40,0kg,tal como se indica en la figura .Calcular las coordenadas de su centro de masa.

1,0m

Solución:Sabemos que :

m

m

y

x

cm

cm

5.010050

40302010)0(40)1(30)1(20)0(10

7.010070

40302010)1(40)1(30)0(20)0(10

(0,0)

(1,1)

(1,0)

(0,1)

CM

y

x

Centro de masas de dos partículas de masas diferentes se encuentra entre las dos partículas y más cerca de la de mayor masa :

Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales ntegrales extendidas a toda la masa del cuerpo.

Centroide de sistema de cuerpo continuo:

dmzM

zseaodmzzmM

dmyM

yseaodmyymM

dmxM

xseaodmxxmM

xy

zx

yz

1

1

1

dmM

Ejemplo : Hallar el centro de masade la barra de longitud L y densidadde lineal de masa λ=M/L constante

Solución :Aplicando la definición: dm =λdx

2

211

MM

dxx

20

0

0

L

0 LL

xdxL

xdx

LM

M

xdm

x

xL

L

L

CM

Vectorialmente:

Vm

Vm

dVm

dmm

dVdmm

rrr

rrr

11

Donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la densidad del elemento y dV es su volumen.

El CG de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y superficie de área A, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA.Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:

AAA

dAzA

zdAyA

ydAxA

x111

Centroides de Superficies :

Centroides de Líneas:El CG de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL.Así pues, para una varilla o alambre finos tendríamos:

LLL

dLzL

zdLyL

ydLxL

x111

¿Cómo se determina el CG ?:a)Experimentalmente .b)Analíticamente .

a)EXPERIMENTALMENTE :Aquí ,solamente tendremos en cuenta un cuerpo plano ,pudiendo ser irregular y no homogéneo .Vamos a suspenderlo de dos puntos (A y B) ,quedando en cada caso equilibrado con la ayuda de un sedal ver figura.Al quedar suspendido de uno de los puntos el CG del cuerpo quedará directamente bajo este punto (ó bien coincidirá con él).Para localizar el CG se traza una línea vertical debajo del punto de suspensión .El CG se encuentra entonces en la intersección de las dos líneas trazadas para cada punto tal como se muestra en la figura.

Sujetamos del punto (A) Sujetamos del Punto B yy trazamos la recta trazamos la recta AA

A

A`

B

B`

CG

A

A`

B`

B

BB

Interceptamos ambas rectas y hallamos el CG.

El CG tiende a ubicarse en la zona donde exista mayor concentración de masa.

r

R

L

Problema :Localizar el centroide de la línea de la figura siguiente:

15

105

3

5

x

y

Solución :Longitud total =LtLt=15+10+5π+10+7+5+3Lt=50+5π

15(12.5) 10(20) 5 (15) 10(5) 7(0) 5(2.5) 3(5)

50 510.66

15(0) 10(5) 5 (10 2.5 / ) 10(10) 7(6.5) 5(3) 3(1.5)

50 54.90

( , ) (10.66, 4.90)

c

c

c

c

x

x

y

y

x y

Problema :En la figura siguiente se tiene una placa cuadrada de lado a ,tiene una densidad de masa constante .Hallar la posición de su centro de gravedad si el radio del orificio circular es de a/8.

Problema :Localizar el centroide de la línea de la figura:

a

aa

x

y

z

2a

a

a

z

y

x

Centroides en algunas Líneas y Superficies

Centroides en algunas Líneas y Superficies

Centroides de algunos Volúmenes

Aplicaciones : Cálculo analítico del Centroide

3.-Determinar el centroide de la lámina de densidad de masa uniforme ,limitado por la parábola y2=kx y la recta x=a.

o a

Y

X

4.-Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea, formada por la región comprendida entre la parábola y=2x2/3 y el eje X, y la recta x=3

5.-Determinar la posición del centro de masa de la pieza plana homogénea de la figura. La parte curva corresponde a la porción de parábola  y=3x2/2+1.

Aplicaciones :

6.-Hallar la posición del c. m. del triángulo rectángulo de la figura. Hallar su momento de inercia respecto del eje de rotación X

7.-Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo

Aplicaciones :