UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO CURSO: FISICA I TEMA: FUERZAS- ESTATICA Profesor: Mag. Optaciano Vsquez Garca HUARAZ -PER 2011 I.FUERZA Enfsica,lafuerzaestodoagentecapazdemodificarla cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerzaexpresalaaccinmecnicadeuncuerposobre otro. Siendolafuerzaunacantidadvectorialsuespecificacin completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una direccin y sentido, y (c) un punto de aplicacin. ELEMENTOS DE LA FUERZA II. EFECTOS DE LA FUERZA Lafuerzaproducedos efectos: A.Exteriores:Enla estructuraelefectoexterior delafuerzaaplicadaal cable son las reacciones que aparecen sobre la estructura B.Interiores:Elefecto interior de la fuerza F es las deformacionesyesfuerzos resultantes distribuidos en el interior del materialI.FUERZA_2 Alestudiarlamecnica delos cuerpos rgidos donde se tiene encuentaelefectorexteriorpodemosconsideraralafuerzacomounvectordeslizanteesdecir,gozadelprincipiode transmisibilidad,estoes,lafuerzapuedeconsiderarse aplicada en cualquier punto de su lnea de accin sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo II. CLASES DE FUERZAS 1. FUERZAS DE CONTACTO. Segeneranmedianteel contactofsicodirectoentre dos cuerpos2.FUERZAS MASICASsecreanporaccina distancia.Ejm.lafuerza gravitacional,elctricay magntica. II. CLASES DE FUERZAS_2 1. FUERZAS CONCENTRADASAquellasqueseconsideran aplicada en un punto 2.FUERZASDISTRIBUIDASAquellasqueseconsideran aplicadasenunalnea,unreao un volumen III.UNIDADES DE FUERZA Unafuerzapuedemedirsecomparndolaconotrasfuerzas conocidas,recurriendoalequilibriomecnico,opor deformacin calibrada de un resorte. LaunidadpatrndelafuerzaenelSIdeunidadesesel Newton (1 N) IV.FUERZA RESULTANTE Consideremosdosfuerzasactuandosobreuncuerpocomo se ve en la figura . Geomtricamentesedeterminamediantelaleydel paralelogramo o tringulo. Su modulo y direccin son2 2 2 21 2 1 21 22 cos( )RRF F F FFF F Fsen sen senut u | o= + += = EJEMPLO Lacamionetaesremolcadausandodoscables. DeterminelasmagnitudesdelasfuerzasFAyFB queactanenlosextremosdeloscablesdetal maneraquelafuerzaresultanteseade950N dirigidaalolargodeleje+x.Considereque = 50. V.DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA 1.EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO 2 21 2 cos (cos ) (cos )R x yR x yRRRyxF F FF F i FjF F i Fsen jF F i sen ji sen jF F FFtgFu uu u u uu= += += += += += +=V.RESULTANTE DE FUERZAS EN FORMA DE COMPONENTES 2 2 ;tanx yx x y yx yyxR FR R i RjR F R FR R RRRu== += == += Ejemplo SiFB=2kNylafuerzaresultanteactaalo largodelejepositivou.Determinelamagnitud de la fuerza resultante y el ngulo . Ejemplo Silamagnituddelafuerzaresultanteactuando sobreelsoporteesde450Ndirigidaalolargode eje +u. Determine la magnitud de la fuerza F1 y su direccin . VI.DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA 2.EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO R A A B BF F F = +Ejemplo Calculelascomponentesdelafuerzade260N representadaenlafigura,unadeellasactaenla direccin de AB mientras que la lnea de accin de la otra componente pasa por C Ejemplo Resuelvalafuerzade250Nencomponentes actuandoalolargodelosejesuyvy determinelasmagnitudesdeestas componentes. EJEMPLOO2 Lafuerzade500Nqueactasobrelaarmadurahadeser resueltaendoscomponentesactuandoalolargodelosejes AByACdelaestructura.Silacomponentedelafuerzaalo largodeACesde300NdirigidadeAC,determinela magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ngulo de la fuerza de 500 N Ejemplo Unabarrayunariostra resistenunafuerzade 100 kN en la forma que seindicaenlafigura. Determinela componentedela fuerzasegnelejeAB delabarrayla componentedela fuerzasegnelejeAC de la riostra. EJEMPLO UncableejerceunafuerzaFenelsoportedel miembroestructural.SilacomponentexdeFes 4 kN. Halle su componente y y su mdulo EJEMPLO ExpresarlafuerzaP,demdulo10N,enfuncin delosvectoresiyj:Hallelascomponentes escalaresPtyPnrespectivamenteparalelay normal a la recta OA. EJEMPLO LafuerzaFde500Nestaplicadaalposteverticaltal como se indica. (a)EscribirFen funcin de los vectores unitariosiyjeidentificarsuscomponentesvectorialesy escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y; hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y. EJEMPLO Determine:(a)elvalorrequeridodeosilaresultante delastresfuerzasmostradasenlafiguraesvertical. (b) La correspondiente magnitud de la resultante EJEMPLO CombinarlasdosfuerzaPyT,queactansobreel puntoBdelaestructurafija,paraobtenerunanica fuerza R. EJEMPLO Enelsistemadefuerzasmostradoenlafigura determinelamagnitudyladireccindelafuerza resultante. VII.DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA 3.EN TRES DIRECCIONESPERPENDICULARES EN EL ESPACIO 2 2 2 ( ) cos cos cos (cos cos cos ) (cos cos cos )R H zR x y zRRR x y zF F FF F i Fj F kF F i F j F kF F i j ki j kModuloF F F Fo | o | o | = += + += + += + += + += + +DIRECCIN DEL VECTOR FUERZA (cos cos coscos cos cosx y zA AeAA A AA A A Ao | o | == + += + += + +Ai j ki j ki j k)1 ( ) cos cos cosA x yyx zAAA AeAe A i Aj AkA AAA Ae i j kA A Ae i j k o | == = + += + += + +AAAz= cosAAx= o cosAAy= | cos1 cos cos cos2 2 2= + + | oCoordinate Direction Angles Fuerzas en 3D = + + x y zF F i F j F kuuu===cos ,cos ,cosx xy yz zF FF FF F= + +2 2 2x y zF F F FVIII.FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIN En algunos casos la fuerza est definida por su modulo y dos puntos de su lnea de accin. En este casoVIII.FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIN ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 22 1 2 1 2 12 2 2 x y z x y zx y zx x i y y j z z kMNF F F FMNx x y y z zd i d j d k d i d j d kF F Fdd d d + + = = = + + + + + += =+ +VIII.FUERZA EN 3D | || u | u= == =cos ,sincos cos ,cos sinxy zx yF F F FF F F F EJEMPLOExpresarlafuerzaFde36kNenfuncindelos vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyeccin sobre el eje x EJEMPLOElcableejerceuna fuerza de 2 kN sobre el extremoAdela estructuramostradaenlafigura.(a) Escribirlaexpresin vectorialdelafuerza detensinT.(b) Encuentrela proyeccindeTalo largo de la lnea 0A EJEMPLOLa tensin en el cable es de 350 N. Representeestafuerza,actuando sobreelsoporteAcomounvector cartesiano 2 2 2(0, 0, 7.5)(3, 2,1.5)(3, 2, 6)(3 2 6 )3 ( 2) ( 6) 73 2 6 3 2 6( )7 7 7 7 7 73 2 6350 ( )7 7 7(150 100 300 )ABABABABABABABA mB mr B A mr mr mrurF Fu NF N== = = = = + + == = = = = = i j k, , i j ki j ki j k EJEMPLOSabiendoquelatensinenelcableABes1425N, determinelascomponentesdelafuerzasobrelaplaca ejercida en B EJEMPLOEncontrar la magnitud y la direccin de la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura, EJEMPLO ExpresarlafuerzaFde400Nenfuncindelos vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyeccin sobrela recta OA. EJEMPLO Determinela magnitudylos ngulosdirectores delafuerza resultante actuando en A Ejemplo Determinelasmagnitudesdelascomponentes proyectadasdelafuerzaF=300Nactuandoalo largo de los ejes x e y. Ejemplo Enelensambledetuberas.Determinelas magnitudes de las componentes de la fuerza F = 400 N actuando paralela y perpendicular al segmento BC Ejemplo Determineelngulo que forman los dos vectores fuerzas EJEMPLO SabiendoquelatensinenelcableABesde510lbyenel cableACesde425lb.Determinelamagnitudyladireccin delaresultantedelasfuerzasenelpuntoAejercidaporlo dos cables EJEMPLO Calcularlascomponentesrectangularesdelafuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta lnea. Ejemplo DeterminelacoordenadaangularyF2y entoncesexpresecadaunadelasfuerzasen formadevectorescartesianos.Culserala magnitudy direccin de la fuerza resultante?. Ejemplo Laplacarectangularestsujetapordosbisagras montadas en su canto BC y el cable AE. Si la tensin enelcablevale300N.Determinelaproyeccin sobrelarectaBCdelafuerzaqueelcableejerce sobre la placa. Observe que E es el punto medio del borde superior del soporte estructural IX.MOMENTO DE UNA FUERZA Al finalizar esta seccin el estudiante ser capaz de: a) Definir el momento de una fuerza b) Determinar momentos de fuerzas en el plano y en el espacio c) Determinar el momento respecto de un eje d) Definir una cupla e) Determinar momentos de cuplas f) Reducir un sistema de fuerzas IX.MOMENTO DE UNA FUERZA El momento o torque de una fuerza con respecto deunpuntoeslamedidadelatendenciaala rotacin que produce dicha fuerza IX.MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza (respecto a un punto dado) es una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posicin del punto de aplicacin de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. IX.MOMENTO DE UNA FUERZA_2 ElmomentodeunafuerzaaplicadaenunpuntoPconrespectodeun puntoOvienedadoporelproductovectorialdelvectordeposicinOP por el vector fuerza F; esto es El momento es un vector perpendicular al plano der y F. La magnitud del momento esta dado por Elsentidodelmomentosedeterminamediantelaregladelamano derecha. Dadoquelasfuerzastienencarcterdevectoresdeslizantes,el momentodeunafuerzaesindependientedesupuntodeaplicacin sobre su recta de accin o directriz. / O AOM r F = ( )sinOM r F Fd u = = IX.INTERPRETACIN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON RESPECTO A UN PUNTO. Elmomentodeunafuerzaconrespectoaunpuntooauneje nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que el cuerpo rote con respecto a un punto o eje IX.INTERPRETACIN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON. Elmomentotiendeaprovocarungiroenelcuerposobreel cual se aplica y es una magnitud caracterstica en elementos quetrabajansometidosatorsin(comolosejesde maquinaria) o a flexin (como las vigas Componentes rectangulares del momento ( ) ( ) ( )O x y zOx y zO z y x z y xM Mi Mj Mki j kM x y zF F FM yF zF i zF xF j xF yF k= + +== + + El momento alrededor de O es, ,Ox y zM r F r xi yj zkF F i Fj F k= = + += + +9.3.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA 9.4.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTOEN EL PLANO Ejemplo Determine el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto A Ejemplo UnafuerzaPde13,2Nseaplicaalapalanca quecontrolalabarrenadeunsopladorde nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando o es igual a 30 . Ejemplo Determineelmomentodelastresfuerzas respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga Ejemplo EncuentreelmomentodelafuerzaFcon respecto al punto O Ejemplo Una tabla de madera AB, queseutilizacomoun apoyotemporalpara apoyaraunpequeo tejado, ejerce en el punto A del techo una fuerza de 228Ndirigidaalolargo deBA.Determinarel momentoconrespectoa C de esa fuerza. Ejemplo SiF=450N.determineelmomentoproducidopor esta fuerza alrededor del eje x Ejemplo La fuerza de 200 N acta como se muestra en la figura. Determine el momento de dicha fuerza con respecto al punto O EjemploSeaplicaunafuerzaverticalde100lbal extremo de una palanca que est unida a un eje en O. Determine:(a)elmomentodelafuerzade100lbcon respecto al punto O,(b)elmdulodelafuerzahorizontalque aplicadaenAproduceelmismomomento produce el mismo momentorespecto a O, (c)lamenorfuerzaqueaplicadaenA produce el mismo momento respecto a O,(d)aquedistanciadelejedebeaplicarse unafuerzaverticalde240lbparaque produzca el mismo momentorespecto a O

Parte (a) Lamagnituddelmomentode lafuerzade100lbseobtiene multiplicandolafuerzaporelbrazode palanca esto es LadireccindeMoesperpendicularal plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha ( )( )( ) in. 12 lb 100in. 12 60 cos in. 24== ==OOMdFd Min lb 1200 =OMSOLUCIN

Parte(b)Lafuerzaqueaplicada enAproduceelmismomomento sedeterminaenlaforma siguiente SOLUCIN ( )( )in. 8 . 20in. lb 1200in. 8 . 20 in. lb 1200in. 8 . 20 60 sin in. 24== == =FFFd MdOlb 7 . 57 = F

Parte(b)DebidoaqueM=Fd.el mnimovalordeFcorrespondeal mximovalorded.Eligiendolafuerza perpendicularaOAseencuentraqued = 24 in; entonces SOLUCIN ( )in. 4 2in. lb 1200in. 4 2 in. lb 1200== =FFFd MOlb 50 = F

Parte(b).EnestecasoMo=Fd obteniendo SOLUCIN ( )in. 5 cos60in. 5lb 40 2in. lb 1200lb 240 in. lb 1200= === =OBddFd MOin. 10 = OBEjemplo Una fuerza de 450 N se aplica en A. Determine: (a)elmomentodela fuerzade450Ncon respecto al punto D, (b) lafuerzamspequea que aplicada en B, crea el mismo Ejemplo Determineelmomentoresultantedelascuatro fuerzas con respecto al punto O Ejemplo Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Determine elmomentodeQ:(a)conrespectoalorigende coordenadasdelsistemay(b)conrespectoal punto D Ejemplo LaplacarectangularessoportadapordospernosenAyBy por un alambre CD. Conociendo que la tensin e el alambre es 200N.DetermineelmomentoconrespectoalpuntoAdela fuerza ejercida por el alambre en C ElmomentoMAdela fuerzaFejercidaporel alambreesobtenido evaluandoelproducto vectorial SOLUCIN SOLUCIN F r MA C A =( ) ( ) j i r r rA C A C m 08 . 0 m 3 . 0 + = =( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k j ik j irrF FD CD C N 128 N 6 9 N 120m 5 . 0m 32 . 0 m 0.24 m 3 . 0N 200N 200 + = + == = 128 96 12008 . 0 0 3 . 0 =k j iMA Ejemplo LatensinenelcableABes150N.Determinelatensinen AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debidoalafuerzaejercidaporloscablesenelpuntoAes cero. Ejemplo 9.5.MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN Sabemosqueel momentodelafuerzaF respecto al punto O. 9.5.MOMENTODEUNAFUERZACON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN ElmomentodelafuerzaFcon respectoalejeOLesla proyeccin ortogonal de Mo sobre el eje OL. ElmomentoMOLdeFalrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerzaFaimpartiralcuerpo rgidorotacinalrededordeleje OL ( ) ( )0 . . .OLM M r F (= = 12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA Elmomentodeunafuerza alrededordeuneje cualquiera es Elresultadoes independiente del punto B ( )( )// . .OL BOL ABAB A BM MM r xFr r r = (= = Ejemplo Sobreuncubodearistaa acta una fuerza P, como se muestraenlafigura. Determine el momento de P: (a) con respecto a A, (b)conrespectoalaarista AB. (c)Conrespectoala diagonal AG

SOLUCIN Moment of P about A, ( )( ) ( )( ) ( ) j i P j i a Mj i P j i P Pj i a j a i a rP r MAA FA F A + =+ = + = = = =22 2 2( )( ) k j i aP MA + + = 2 Moment of P about AB, ( )( ) k j i aP iM i MA AB + + - =- =22 aP MAB =La magnitud del momento respecto a AB es

SOLUCIN (c) La magnitud del momento respecto a AG es ( )( )( ) ( )( ) 1 1 162 312313 =+ + - =+ + = = = =- =aPk j iaPk j i Mk j iaPMk j iak a j a i arrM MAGAG AG AA AG 6aPMAG =Ejemplo Se aplica una tensinT de intensidad10kNalcable amarradoalextremo superiorAdelmstilrgido ysefijaentierraenB. HallaremomentoMzdeT respectodelejeZque pasaporlabaseOdel mstil. Ejemplo La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y est dirigida de A haciaB.Determine:(a)LaproyeccinFCD deLafuerzaF sobre la recta CD (b) el ngulo que que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momentoF respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el mdulo de la fuerzaEjemplo Latensinelcablees143,4N.Determineelmomento alrededordelejexdeestafuerzadetensinactuandoenA. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. Cul es el momento de fuerza de tensin actuando en A alrededor de la lnea OB Ejemplo Unabarradobladaestrgidamentefijadaaunaparedenel punto(0,0,0).UnafuerzademagnitudF=7lbactaensu extremo librecon una lnea de accin que pasa por el origen, comosemuestraenlafigura:Halle:(a)elmomentodela fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la lnea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.Ejemplo La cadena CB mantiene a la puerta abierta a 30. Si la tensin enlacadenaesFC=250N.Determine:(a)Laexpresin vectorialdelafuerza,(b)elmomentodefafuerzacon respectoalabisagraenA,(c)elmomentodelafuerzacon respecto al eje a-a que pasa por las bisagras de la puerta. Ejemplo Unafuerzaesaplicadaalextremodeunallave paraabrirunavlvuladegas.Determinela magnitud del omento de dicha fuerza con respecto al eje z Ejemplo Determine el momento producido por la la fuerza F el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje AB 9.7.PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Siunsistemadefuerzasconcurrentesestaactuandosobre uncuerpocomosemuestraenlafigura,elmomentodela fuerzaresultantealrededordelpuntopuedeserdeterminado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir: 9.8. CUPLAO PAR DE FUERZAS Lacuplaopardefuerzasesunsistemaformadopordos fuerzas F y F quetiene la misma magnitud, lneas deaccin paralelasseparadasporunadistanciaperpendicularperode sentidos opuestos. 9.8. CUPLAO PAR DE FUERZAS El momento de la cupla es, Elvectormomentodelacuplaesunvector independientedelorigenoesdeciresun vectorlibreperpendicularalplanoque contiene la fuerzas ( )( )sinA BA BM r F r Fr r Fr FM rF Fd u= + = = = =9.8. DIRECCIN Y SENTIDO DEL PAR La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha 9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS Dos cuplas tendrn igual momento si: a) b)Lasdoscuplasseencuentran ubicadas en planos paralelos c)Ladoscuplastienenelmismo sentidoolamismatendenciaa causar rotacin y la misma direccin Ejemplo de cupla Determineelmomentodelacuplamostradaenla figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas Ejemplo de cupla Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos sonF1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbfy actan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzasEjemplo de cupla Enlafigurasemuestraadoscuplasactuandosobreel soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplasactuandosobreel soporte.(a)Descomponga lasfuerzasencomponentes xey.(b)Encuentreel momentoproducidopor dichas cuplas Ejemplo de cupla Enlafigurasemuestraunacuplaopardefuerzasactuando sobre un sistema de tuberas. Si la magnitud de las fuerzas es de35N.Determineelmomentodelpardefuerzasactuando sobre la tubera en coordenadas cartesianas Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que acta sobre la tubera. El segmento AB est dirigido 30 hacia abajo del plano xy. Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que acta sobre la tubera. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N Ejemplo de cupla En la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas actuandosobreunaviga.Sielmomentoresultanteesnulo. DeterminelasmagnitudesdelasfuerzasPyFascomola distancia d Ejemplo de cupla Enlafigurasemuestraunpardefuerzasde15Nde magnitudactuandosobreunsistemadetuberas.Determine el momento de la cupla X.EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dossistemasdefuerzassonequivalentes(esdecirproducenelmismoefecto sobreunslido)sipuedentransformarseelunoenelotromedianteunao varias de las operaciones siguientes: a) Sustituyendodosfuerzasqueactansobrelamismapartculaporsu resultante; b) Descomponiendo una fuerza en dos componentesy c) Anulando fuerzas igualesy opuestas que actan sobre la misma partculad) Aplicando a una partcula dos fuerzas iguales y opuestas e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte XI.SISTEMAS FUERZA- PAR CualquierfuerzaFaplicadaaunslidorgidopuedeser trasladadaaunpuntoarbitrarioB,sinmsqueaadiruna cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B No hay cambio en el efecto externo Cupla XI.SISTEMAS FUERZA- PAR Ejemplo Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas solucin Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresin vectorial de F es El momento C ser Ejemplo Remplacelafuerzade600Nmostradaenlafiguraporuna fuerayunaparenelpuntoA.Expresesurespuestaen coordenadas cartesianas EjemploLatensinenelcablesujetoalextremoCdelbotaln ajustableABCesde1000N.Sustituirlafuerzaqueelcable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B Ejemplo Unafuerzade700NesaplicadaenelpuntoAdeun miembroestructural.Sustituirlapor:(a)unsistemafuerzapar equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en DEjemploLafuerzahorizontalPactacomosemuestrasobrelapalanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticalesen C y D equivalentes al par hallado en la parte (a) XII.COMPOSICIN DE FUERZAS CONCURRENTES Consideremosunsistemadefuerzasaplicadasauncuerpo como se muestra en la figura. Paraencontrarlaresultantedelasfuerzassedescomponecada una de ellas en componentes i, j, k. es decir 1 1 1 1 2 2 2 22 ; ;........ ;.........; ;x y z x y zi ix iy iz nx ny nzF Fi F j FkF Fi F j FkF F i Fj F k F Fi F j Fk= + + = + += + + = + +XII.COMPOSICIN DE FUERZAS CONCURRENTES La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es 1 21 1 1 2 2 21 11.... .... ( ) ( ) ........ ( ) ......... ( ).( ... ... ) ( ... ... )( ... ...i nx y z x y zix iy iz nx ny nzx ix nx y iy nyz iz nR F F F FR Fi F j Fk Fi F j FkF i Fj F k Fi F j FkR F F F i F F F jF F F= + + + + += + + + + + ++ + + + + + += + + + + + + + + ++ + + + +1 1 1) zn n nix iy izi i ix y zkR F i F j F kR R i Rj R k= = =| | | | | |= + + |||\ . \ . \ .= + + XII.COMPOSICIN DE FUERZAS CONCURRENTES La magnitud y direccin de la resultante son 2 2 2cos ; cos ; cosx y zyx zR R R RRR RR R Ro | = + += = =Ejemplo Aunpuntodeuncuerposeaplicandosfuerzasenla forma que se indica en al figura. Determine: (a) El mdulo direccin y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ngulo que forman las fuerzas F1 y F2. Ejemplo Aunpuntodeuncuerposeaplicandosfuerzasenla forma que se indica en al figura. Determine: (a) El mdulo direccin y sentido de la fuerza resultante R; EjemploDeterminelamagnitudydireccindelafuerza resultante R del sistema de fuerza concurrentesmostrado en la figura COMPOSICIN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Cuandolasfuerzasnoseaplicanalmismopuntosinoque actanenuncuerporgido,esnecesariodistinguirdos efectos:(a)Traslacin:lamismaqueseencuentradefinidaporla suma vectorial de la fuerzas (la resultante R). (b)Rotacin:Elcualquedadeterminadoporlasuma vectorial de los momentos. 1 2.... ....i n iR F F F F F = + + + + + =1... ....i n iM M M M M = + + + + =XIII.COMPOICIN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Parecelgicosuponerqueelpuntodeaplicacindela resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a R sea igual a M. Esta situacin se cumple para fuerzas concurrentes. Enestascondicioneslaresultantesustituyeentodossu efectos al sistema. Sin embargo, esto no es posible, ya que el torque de R es un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se cumple. Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas XIV.COMPOSICIN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTESConsideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado Debidoaquelasfuerzasestnenelplano,laresultante tambin lo estar. Si los momentos se evalan respecto a cualquier punto del plano, los vectores de posicin de los puntos de aplicacin de las fuerzas tambin lo estarn en el plano XIV. COMPOSICIN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTESEstonosindicaquelosmomentosdecadaunadelas fuerzasascomoeldelaresultantesonperpendicularesal plano. Es decir son vectores paralelos. Estaeslacondicinnecesariaparaquelosvectoressean iguales . Es decir 1( )R inR i iiM MrxR r xF===XIV.COMPOSICIN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Debidoaque:losvectoresfuerza,elvectorfuerza resultante; los vectores de posicin de cada fuerza y el de laresultanteestnenelplanoporejemploelplanoxy, entonces el momento o torque tendr una sola componente entonces, tenemos Conociendolasfuerzasysuspuntosdeaplicacin,se puededeterminarlascomponentesdelaresultanteypor tanto su punto de aplicacin 1 ( ) ( )ny x i yi i xiixR yR k x F y F k= = Ax By C =Ejemplo Lasfuerzasrepresentadasenlafiguratienenlas magnitudes siguientes: F1 = 130 kN, F2 = 200 kN y F3 = 100kN.Calculeylocalicelafuerzaresultantedel sistema de fuerzas consideradoEjemploHallar la fuerza resultante R de lastres fuerzas y los dos pares representados. Determine la abscisa en el origen x de la recta soporte de R.

Ejemplo Unsoporteest sometido al sistema de fuerzasypares representadosenla figura.Determine:(a) Elmdulo,direcciny sentidodelafuerza resultante;(b)La distancia perpendicular desde el pasadorAhastala rectasoportedela resultante. EjemploLafuerzade200kNrepresentadaenlafiguraes laresultantedelparde300kN-mytresfuerzas, dosdelascualesestndefinidaseneldiagrama. Determinelaotrafuerzaylocalcelaconrespecto al punto A.

EjemploDeterminelaresultantedelsistemadefuerzasy momentosdefinidosenlafiguraylocalcelocon respecto al punto A.

EjemploEncuentre:(a)Lafuerzaresultanteequivalenteyelmomento deunparactuandoenA.(b)Lalocalizacindeunasola fuerza equivalente actuando con respecto al puntoA

Ejemplo Remplacelastresfuerzasqueactansobreel tuboporunasolafuerzaequivalenteR. EspecifiqueladistanciaxdesdeelpuntoOpor donde pasa la lnea de accin de R. Ejemplo Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg se le somete a la accin de las fuerzas representadas . Si P = 18 lb. (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b) Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la resultante corta al canto de la maleta. Ejemplo Para el sistema de fuerzas y momentos que actan sobre la viga. Determine La fuerza resultante equivalente y el par actuando en A Ejemplo Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla que actan sobre la placa Ejemplo DetermineylocalicelaresultanteRdelasdosfuerzasyla cupla que actan sobre la viga mostrada Ejemplo Remplace el sistema de tres fuerzas y la cupla por una sola fuerza resultante. Especifique en donde acta la resultante medida desde A XV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELASConsideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en la figura eXV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELASCada una de las fuerzas puede expresarse donde Fi puede ser positivo o negativo yes un vector unitario paralelo a las fuerzas.. La resultante del sistema ser La magnitud de la resultante es ei iF Fe = e( )1 2.... ....i n i iR F F F F F F e = + + + + + = = iR F =XV.RESULTANTE DE FUERZAS PARALELASAplicando el teorema de omentos tenemos De donde se tiene ( )111( ) ( ) ( ) ( )R inR i iinR i i iinR i i iiM MrxR r xFrx Fe r xFer F xe r F xe====== ( (=( 1 1 1 2 21 2( )... ..... ..ni ii i i n nRi i nr Fr F r F r F r FrF F F F F=+ + + + += =+ + + + +Ejemplo La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de unparycuatrofuerzas,tresdelascualesestn definidasendichogrfico.Determinelacuarta fuerza y localcelo con respecto al punto A. Ejemplo Lavigamostradaenlafiguraseencuentrasometidaa las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas dado a: (a) un sistema fuerzapar en A , (b) a un sistema fuerza-par en B, (c) una sola fuerza o resultanteEjemplo Determinelafuerzaresultantequeactasobreelaeroplano sabiendo que una de las turbinas ha fallado como se muestra en la figura. Especifique las coordenadas y y z a travs de la cual pasa dicha resultante Ejemplo Silalminamostradaenlafiguraessometidaalastres fuerzasquesemuestran.Determine:(a)Lafuerzaresultante equivalenteyelparcorrespondienteactuandoenOy(b)La localizacin (x,y) de una sola fuerza resultante equivalente.Ejemplo Determinar la resultante de sistema de fuerzas que actan sobre las columnas mostrado en la figura si F1 =30 kN y F2 = 40 kN. Localcela con respecto al punto al origen de coordenadas. Ejemplo Tres fuerzas paralelas son aplicada a los pernos para asegurarlaplacacircularcomosemuestraenal figura.Determinelafuerzaresultante,yespecifique su localizacin (x, z) sobre la placa. Considere que FA = 200 lb, FB = 100 lb y FC = 400 lbEjemplo Halle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que actan sobre la placa SOLUCIN XVI. SISTEMAS FUERZA GENERAL Paso 1 Paso 2Paso 3 Seleccionar un punto para encontrar el momento Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O Sumar las fuerza y cuplas vectorialmente para encontrar la resultarte y el momento resultante Ejemplo Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A Ejemplo Sobrelavigaseencuentranactuandodos fuerzasyunacuplacomosemuestraenal figura.Encuentrelafuerzaresultanteyelpar correspondiente actuando en O Ejemplo LasfuerzaF1yF2mostradasactansobreelsistemade tuberas.Determinelafuerzaresultanteequivalenteyelpar correspondiente actuando en O Ejemplo Sedeseaestablecerel efectocombinadode lastresfuerzassobre labaseO,haciendo queporesepunto paselaresultanteR. Determineesta resultanteyel momentoMdelpar correspondiente. Ejemplo Remplace las tres fuerzas mostradas en la figura por un sistema fuerza par actuando en O Ejemplo Trescablesestn sujetosaunsoporte comoseindica. Reduzcaelsistema defuerzasdadoaun sistemafuerzaparen A. Solucin Solucin- Conti.