CAPITULO V. PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES (6h)

5.1 Problemas de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Clasificación de los métodos numéricos

5.2 Métodos de reducción al problema de Cauchy. Disparos y Barrido diferencial.

5.3 Método de diferencias finitas. Barrido algebraico

5.4 Método de colocación

5.5 Método de proyección (Galerkin)

5.6 Métodos variacionales. Método de Ritz

5.7 Método de cuadrados mínimos

5.8 Método de elementos finitos

En este capítulo se consideran los métodos aproximados de solución del problema de contorno para ecuaciones diferenciales

de segunda orden. Primero, se analizan los métodos que permiten reducir el problema de contorno al problema de Cauchy para el cual

los métodos numéricos fueron considerados en el capítulo anterior. Posteriormente se estudia la técnica de desratización de la ecuación

diferencial reducirla a otra forma de una ecuación en diferencias finitas. Se analizan también diferentes métodos aproximados

semianalíticos usando un conjunto de las funciones de base, tales como de colocación y proyectivo (de Galerkin) que permiten reducir

el problema inicial a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Al final, se considera el método de elementos finitos en la base de

B-splines.

5.1 Problemas de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Clasificación de los métodos numéricos

Consideremos el problema de contorno para una ecuación diferencial de segunda orden, formulado como:

(5.1.1)

(5.1.2)

Aqui los coeficientes en las condiciones de frontera (5.1.2) deben satisfacer las condiciones:

(5.1.3)

Las funciones ,p x q x en la ecuación (5.1.1) deben tener unas propiedades que garantizan la existencia de una solución única

y y x del problema (5.1.1)-(5.1.2).

El problema (5.1.1)-(5.1.2) se llama el problema mixta o tercer problema de contorno. En el caso cuando 1 1 0 el

problema (5.1.1)-(5.1.2) se llama el problema de Dirichlet o el primer problema de contorno y cuando 0 0 0 el problema

(5.1.1)-(5.1.2) se llama el problema de Newman o el segundo problema de contorno

La solución de mayoría de problemas de contorno es mucho más complicado que similares problemas de Cauchy y en diferencia

a los últimos no existen unos algoritmos universales. Por esta razón, existe una gran variedad de métodos numéricos para este tipo de

problemas. Según la representación de los resultados de solución del problema, los métodos aproximados se pueden dividirse

condicionalmente en dos grupos: aproximado-analíticos que representan la solución en una forma de una función o la combinación de

varias funciones y aproximado-numéricos que permiten encontrar las soluciones sobre una malla discreta. Según las técnicas que se

usan, estos métodos pueden clasificarse de siguiente manera:

1) Métodos de reducción al problema de Cauchy (disparos, barrido diferencial, barrido trigonométrico, reducción)

2) Métodos de discretización (método de diferencias finitas, método de Númerov

3) Método de colocación

4) Métodos proyectivos (Galerkin)

5) Métodos variacionales (método de cuadrados mínimos, métodos de Ritz)

6) Métodos de elementos finitos

Los métodos 4, 5 y 6 la solución aproximada representan en una forma de una combinación lineal de un conjunto de funciones

linealmente independientes, mientras que los métodos 1, 2 y 3 proporcionan unas tablas de las soluciones aproximadas sobre una malla

discreta. Generalmente, estos últimos métodos son más simples para programar y permiten encontrar la solución sobre una malla con

una precisión controlada según el criterio de Runge. Sin embargo, los métodos del primer grupo tienen sus ventajas relacionadas con

una posibilidad de encontrar con mucho menor costo computacional unas aproximaciones relativamente buenas.

5.2 Métodos de reducción al problema de Cauchy. Disparos y Barrido diferencial.

Teniendo en cuenta que hemos estudiado varios métodos numéricos universales para resolver el problema de Cauchy (Euler, Runge-

Kutta, multipasos, predictor-corrector) se puede considerar un problema de contorno como resulta, se encuentra una manera de

transformar un problema de contorno a otro problema de Cauchy equivalente. Existen varias posibilidades para hacerlo. Cada de estas

posibilidades conduce a una necesidad de resolver no solo un problema de Cauchy sino varios, y veces muchos veces con diferentes

parámetros iniciales. A continuación consideremos un par de estos métodos.

5.2.1 Método de disparos

Consideremos como ejemplo el siguiente problema de Dirichlet

(5.2.1)

La diferencia con el problema de Cauchy consiste en la ausencia de la información sobre la primera

derivada al inicio del intervalo en el punto x a . Teniendo en cuenta que la derivada de la función

en el punto x a define la pendiente de la curva y x escogeremos el valor de la derivada en el

punto x a 1t a ny a y reemplacemos el problema de contorno (5.2.1) por el siguiente

problema de Cauchy:

(5.2.2)

Usando algún método de solución del problema de Cauchy encontraremos el valor de la función de

y x en el punto x b , para condiciones iniciales particulares (5.2.2) que denotemos como 1b,y . La comparación del valor

obtenido 1b,y con la condición de frontera (5.2.1) y b B proporciona a nosotros como corregir el ángulo de disparo para

formular el nuevo problema de Cauchy con un nuevo ángulo de disparo 2 de tal manera que diferencia 2b,B y sea menor que

para el ángulo 1 , siendo 2b,y el valor de la función y x , la solución del problema de Cauchy:

(5.2.3)

Basándose en esta estrategia se selecciona una sucesión de los ángulos 1 2 3, , , que garantiza una convergencia de los valores de

la sucesión , , 1, 2,3ky b k al valor B. Un proceso iterativo adecuado en este caso es el método de bisección.

5.2.2 Método de barrido diferencial

Método de barrido diferencial utiliza las mismas ideas que permiten solucionar un sistema de ecuaciones algebraicas lineales

con una matriz tridiagonal. En este método llamado el barrido algebraico, la solución del problema se encuentra mediante dos procesos

iterativos sucesivos, primero desde arriba hacia abajo y después desde abajo hacia arriba. Si en el proceso iterativo algebraico las

relaciones recurrencia están dadas por una ecuación en diferencias finitas en el caso de barrido diferencial esta relación está dada por

una ecuación diferencial. Admitimos que existen dos funciones x y x que permiten reducir ecuación diferencial lineal de

segundo orden (5.1.1) a una ecuación diferencial equivalente del primer orden

(5.2.4)

Derivemos ambas partes de esta igualdad respecto la variable x, y y y y sustituiremos este resultado en la ecuación

(5.1.1), obteniendo

(5.2.5)

Despejando esta igualdad respecto la derivada y se obtiene una relación similar a (5.2.4)

(5.2.6)

Las ecuaciones (5.2.4) y (5-2.6) son identicas bajo la siguiente condición:

(5.2.7)

En consecuencia, las funciones x y x deben satisfacer al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de la primera orden:

(5.2.8)

Para encontrar las condiciones iniciales para ecuaciones (5.2.8) y completar el problema de Cauchy utilizaremos la primera condición

de la frontera (5.2.2) en el punto x a . Sustituyendo (5.2.4) en esta condición tenemos 0 1 1a y a a A .

Consideremos, primero el caso particular cuando 1 0 , para el cual la condición anterior se cumple para condiciones iniciales:

(5.2.9)

Ahora se puede resolver el problema de Cauchy (5.2.8)-(5.2.9) respecto funciones x y x usando uno de los métodos

considerados en el capítulo anterior. Una vez son encontradas las funciones x y x , se puede volver a solucionar la ecuación

diferencial (5.2.4) tomando como el punto inicial x b y el punto final x a , es decir desde la derecha hacia izquierda. Para encontrar

las condiciones iniciales utilizaremos en la segunda condición de la frontera (5.1.2) la igualdad (5.2.4), para obtener

0 1 1b y b b B y similarmente a (5.2.9)

0 1 1;b b B (5.2.10)

La ecuación diferencial (5.2.4) junto con las condiciones iniciales (5.2.10) forma un problema de Cauchy que puedesolucionarse

mediante unos de los métodos estándares considerados en el capítulo anterior.

5.3 Métodos de discretización

Este grupo de métodos reduce los problemas de frontera a un sistema de las ecuaciones algebraicas lineales-

5.3.1 Métodos de discretización simple

5.3.2 El algoritmo Númerov El método de Númerov es relativamente simple y eficiente para la integración de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

que tienen la forma

(5.3.1).

Para deducir las fórmulas correspondiente es comenzamos con una búsqueda de una aproximación de la segunda derivada en (5. 3.1)

de la precisión superior en comparación con la obtenida en la sección anterior usando las diferencias finitas de tres puntos. Con este

fin partimos de las igualdades evidentes de expansiones en series de Taylor:

2 3 4 5

61

2 3! 4! 5!

IV Vn n n n n n n

h h h hy y hy y y y y O h

(5.3.2)

Sumando las formulas (5.3.2) con los signos superior e inferior y dividiendo ambas partes de la igualdad por 2h llegamos a la

siguiente relación

(5.3.3)

Por otro lado, en esta fórmula el primer término en la parte derecha, según la ecuación (5.3.1) es igual a:

2 2 2 2; ;n n n n n n n nn n

y k y S k y k x y x k y S S x (5.3.4)

La igualdad (5.3.4) es exacta.

El segundo término en la parte derecha, según las ecuaciones (5.3.1) y (5.3.3) es igual a:

2 2 2

22 21 1

2 2

2IV n n n n

nn

k y S k y S k y Sd yy k y S O h

dx h

(5.3.5)

Al sustituir (5.3.3) y (5.3.4)en (5.3.5) podemos obtener siguientes relaciones de recurrencia:

(5.3.6)

Las relaciones de recurrencia (5.3.6) pueden ser resueltos tanto con las iteraciones hacia adelante, expresando explícitamente 1ny o

hacia atrás para 1ny . En cada caso el error local es de orden 6O h . Anótese que este es un orden más preciso que el de cuarto orden

método de Runge-Kutta, el cual podría ser utilizado por ejemplo en el método de disparos. El esquema Numerov también es más

eficiente, ya que en cada paso se requiere calcular los valores de las funciones de k2 y S sólo en los nodos de la malla.

Ejercicio 3.1 Aplíquese el algoritmo Numerov al problema

Intégrese desde x = 0 hasta x = 1 con diferentes pasos y compárese la eficiencia y la exactitud con algunos de los métodos discutidos

anteriormente. Tenga en cuenta que tendrá que utilizar algún procedimiento especial (Por ejemplo, una serie de Taylor) para generar el

valor de 1y y h necesario para iniciar el proceso de recurrencia de tres términos.

5.3.3 Solución de sistemas ecuaciones lineales con las matrices tridiagonal. Barrido algebraico

Los dos métodos anteriores reducen el problema de frontera a un sistema de ecuaciones lineales el cual en la forma general

tiene siguiente forma matricial

Al concluir los cálculos de la subrutina, la solución está almacenada en el arreglo D(I).

5.4 Método de colocación

Consideremos el problema de frontera para una ecuación diferencial lineal:

(5.4.1)

Busquemos la solución aproximada en la siguiente forma

(5.4.2)

donde llamadas a continuación funciones de base

(5.4.3)

La función 0 x y las funciones de base i x deben ser doblemente diferenciables dentro del intervalo ,a b y satisfacer las

condiciones iniciales (5.4.1) de siguiente manera

(5.4.4)

Es fácil de verificar que las condiciones (5.4.4) garantizan que solución aproximada (5.4.2) satisface automáticamente las condiciones

de frontera (5.4.1)

La representación de la solución aproximada en la forma (5.4.3) se utiliza en diferentes técnicas aproximadas, los cuales

solamente se difieren por el criterio que se usa para seleccionar los coeficientes ic desconocidos. En el método de colocación los

coeficientes ic se seleccionan de tal manera que estos garanticen el cumplimiento de la ecuación diferencial (5.4.1) por la parte de la

función aproximada ny x en un conjunto de los nodos de colocación: 1 2 3 na x x x x b , en los cuales

, 1,n i iL y x f x i n (5.4.5)

En la fa forma explícita esto significa:

(5.4.5a)

Al sustituir en esta igualdad la expresión (5.4.2) después unas transformaciones algebraicas obtenemos

(5.4.5b)

Esta última expresión, en realidad es un sistema de n ecuaciones lineales respecto n coeficientes incógnitos , 1, 2, ,ic i n , el cual

puede ser representado en una forma estándar:

(5.4.6)

donde

(5.4.7)

Al resolver este sistema de ecuaciones lineales mediante algún procedimiento estándar se puede encontrar los coeficientes incognitos

, 1, 2, ,ic i n y al sustituirlos en la expresión (5.4.2) encontrar la solución aproximada ny x .

El éxito del método de colocación igual como y otros métodos aproximados depende en gran parte de la selección adecuada de

las funciones de base i x y de la función 0 x . Para los problemas concretos uno puede escogerlas basándose en la información

a priori o en la información empírica. Si esta información no existe entonces se puede usar el método que se propone en la continuación.

Como función 0 x usaremos la siguiente función lineal

0 x x (5.4.8)

con los c0iefficientes , seleccionados de tal manera que la función 0 x , satisfaga las condiciones de frontera (5.4.4), es decir son

las soluciones del siguiente sistema de las ecuaciones lineales

(5.4.9)

Si en las condiciones de frontera 1 0 , las funciones de base i x se pueden escoger en la forma

(5.4.10a)

o en el caso general, cuando 1 0 en la forma:

(5.4.10b)

Es evidente que ambas funciones automaticamente satisfacen la primera condición de frontera (5.4.2) en el punto x a y satisfacen la

segunda condición de frontera (5.4.2) en el punto x b si escoger

(5.4.11a)

En la expresión (5.4.10a) y

(5.4.11b)

en la expresión (5.4.10b)

0 0 1 0

0 0 1 0

a a A

a a B

A veces la selección de las funciones de base se simplifica cuando condiciones de frontera, por ejemplo tienen forma

En este caso 0 0x y las funciones de base i x se puede usar por ejemplo en forma

(5.4.12)

Otro variante de funciones de base:

(5.4.13)

Las cuales automáticamente cumplen condiciones de frontera 0i ia b

Al cas0 anterior se reduce un problema de Dirichlet general cuando las condiciones de frontera so

(5.4.14)

En este caso hay que hacer el cambio de variables para reducir este problema de contorno al anterior:

1

n

n i i

i

x ay A B A c x

b a

(5.4.15)

y reducir este problema al anterior

Ejemplo

Apicaremos el método de colocación al siguiente problema de frontera:

Para los coeficientes de la función 0 x x según de las condiciones de frontera tenemos un sistema de ecuaciones lineales

Al resolverla tenemos: Limitamos el cálculo con una solo función de base la cual 1i según las fórmulas (5.4.11a)

y (5.4.10a)

Escogeremos como el único punto de colocación el centro el intervalo 1 3 2x y

sugerimos que la función aproximada 1 0 1 1y x x c x satisfaga la

ecuación diferencial en este punto. Los valores que hay que sustituir en esta

ecuación son: 1 3 2x

Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial encontraremos 1 701 864c

y la solución aproximada es

En la Fig. 5.1 se compara el resultado de aproximación con la solución exacta 21y x x

5.5 Método de proyección (Galerkin)

(¡Para entender mejor el contenido de esta sección y la sección que sigue se recomienda primer leer el apéndice matemätico:

espacios de funcionales al final de este texto!)

Para entender mejor las ideas de los métodos proyectivos y su versión más eficientes llamado el método de Galerkin

consideremos primero el problema de contorno en una forma abstracta representando la ecuación diferencial como una relación que

caracteriza la transformación de una función desde un espacio de Hilbert desconocida ,y x H a b mediante la aplicación de un

operador L en otra función ,f x H a b

Ly f (5.5.1)

Consideremos ahora un conjunto de las funciones 1 2, , , ,n nH a b linealmente independientes que forman un subespacio

incompleto en este espacio, las cuales además satisfacen las mismas condiciones de frontera que la solución y x del problema de

contorno. Buscaremos entonces la solución aproximada ny x del problema en la forma:

1

n

n i i

i

y x C x

(5.5.2)

Claro, que la función ny x no satisface exactamente la igualdad (5.5.1)y por eso consideremos la discrepancia entre las partes

izquierda y derecha. La cual también pertenece al mismo espacio de Hilbert que la función desconocida y x :

ˆn nD x f x Ly x (5.5.3)

Como la función ny x es solamente la solución aproximada nosotros no podemos lograr

que la discrepancia sea igual a cero exactamente, pero podemos al menos sugerir que esta

discrepancia sea ortogonal a cada elemento del subespacio seleccionado

1 2, , , ,n nH a b .

ˆ ˆ, , 0 0; 1,

b

n i n i n i

a

D f Ly f x Ly x x dx i n (5.5.4)

En Fig.5.2 se muestra analogía de esta condición con el modelo vectorial en el espacio 3D

donde f es el vector en 3d y su proyección sobre el plano XOY es 1 2n x yLy c e c e . Es

evidente que la diferencia de estos dos vectores nLyf es ortogonal al plano XOY, es decir

, 0, , 0n x n yLy e Ly e f f .

Al sustituir (5.6.3) en (5.5.4) se obtiene un sistema de n ecuaciones lineales respecto n coeficientes incógnitos

, 1, 2, ,ic i n , el cual puede ser representado en una forma estándar:

(5.5.5)

donde

ˆ ; ; , 1,

b b

ij i j i i

a a

a x L x dx b f x x dx i j n (5.5.6)

Ejemplo

Apicaremos el método de Galerkin al mismo problema de frontera de la sección 5.4:

Busquemos la solución con una solo función de base igual como en la sección 5.4 1 0 1 1y x x c x con la combinación lineal

de 2 funciones hallados en la sección 5.4

En este caso tenemos solo una ecuación lineal para el coeficiente 1c desconocido

2

4 6 5 211 1 1 11 1 1 1 2

ˆ ˆ; ; ; ; 6 3

b b

i

a a

d da c b a x L x dx b f x x dx L x x x f x x

dxdx

Utilizando el método de integración por partes tenemos:

Es decir, la solución aproximada para el método de Galerkin con una solo función de base

Fig. 5.2 Representación geométrica del

método de Galerkin

La comparación gráfica de las soluciones aproximadas de los métodos de colocación y de Galerkin con la solución exacta

21y x x se presenta en la Fig.5.1

5.6 Métodos variacionales. Método de Ritz

Una de ramas de matemáticas relacionadas con el estudio de las funciones

llamada cálculo variacional estudia los funcionales y permite reducir mayoría de los

problemas de frontera a un problema de minimización de un funcional. Si una

función pone en correspondencia un número al otro número, es decir a cada número

x otro número :f x x f x , el funcional pone en correspondencia a cada

función f x un número f , f x f

Definición Dadas una función u x y sus derivadas u x continuas dentro del

intervalo ,x a b y una función compuesta , ,x u u entonces el valor de la

integral relacionado con la función u x :

, ,

b

a

u x x u x u x dx (5.6.1)

se llama funcional de la función u x

Uno de los problemas fundamentales de cálculo variacional consiste en hallar una función 0u x estacionaria que minimiza el funcional

(5.6.1).es decir entre todas funciones continuas cuyas trayectorias arrancan en el mismo punto A y finalizan en el mismo punto B (ver

Fig. 5. 3) encontrar una función 0u x para la cual el valor de la integral (5.6.1) sea mínimo. La solución de este problema proporciona

siguiente teorema.

Teorema de Euler-Lagrange para una función de una variable

La función estacionaria 0u x que minimiza el funcional (5.6.1), minu x es la solución del problema de frontera para la

ecuación diferencial llamada de Euler-Lagrange

, , , ,0; ,a b

x u u x u udu a u u b u

u dx u

(5.6.2)

Ejemplo

Consideremos funcional con la función subintegral

2 21 1

, ,2 2

x u x u x p x u x q x u x f x u x (1)

Calcularemos las derivadas parciales

;d

q x u x f x p x u xu dx u

Sustituiremos estas expresiones en la ecuación de Euler –Lagrange

0q x u x f x p x u x

Junto con las condiciones de frontera esta ecuación se reduce a una forma estándar con el operador de Sturm-Liouville

ˆ ˆ; , ;a b

d dLu x f x u a u u b u L p x q x

dx dx

Consideremos ahora como se define un funcional para una función de dos variables ,u u x y

Definición Dadas una función de dos variables ,u x y y sus derivadas parciales , , ,x yu u x y x u u x y y continuas dentro

de la región , ,x a b y c d y una función compuesta , , ,x yx u u u entonces el valor de la integral relacionado con la función

,u x y :

, , ,

b d

x y

a c

u x dx dy x u u u (5.6.3)

se llama funcional de la función ,u x y

Teorema de Euler-Lagrange para una función de dos variables

La función estacionaria 0 ,u x y que minimiza el funcional (5.6.3), minu x es la solución del problema de frontera para la

ecuación diferencial llamada de Euler-Lagrange

, , , , , , , , ,0;

, , , ; , , ,

x y x y x y

x y

a b c d

x u u u x u u u x u u u

u x u y u

u a y u y u b y u y u x c u x u x d u x

(5.6.4)

Ejemplo

Consideremos funcional con la función subintegral

2 2 21 1 1, , , ; ,

2 2 2x y x yx u u u u u q x u f x u u u x y (1)

Calcularemos las derivadas parciales

2 2

2 2

, , , , , , , ,; ; ;

x y x y

xx yy xx yyx y

x u u u x u u u u x y u x yq x u x f x u u u u

u x u y u x y

Sustituiremos estas expresiones en la ecuación de Euler –Lagrange (5.6.4) y obtenemos el problema de frontera

2 2

2 2

, ,;

, , , ; , , ,a b c d

u x y u x yq x u x f x

x y

u a y u y u b y u y u x c u x u x d u x

APENDICE MATEMÄTICO: ESPACIOS DE FUNCIONALES

Definición 11Un conjunto de todas funciones cuadrado integrables dentro del intervalo ,a b forman un espacio 2 ,L a b :

2 ,

b

a

f x L a b f x dx (1)

Definición 2 Un conjunto de todas funciones pertenecientes al espacio 2 ,L a b para las cuales además está definido el producto

escalar forman un espacio de Hilbert ,H a b :

, , ,

b

a

f x g x H a b f g f x g x dx (2)

Definición 3 Para cada función ,f x H a b se define la norma de la función definida en el espacio de Hilbert ,H a b como:

1 2

2,

b

a

f f f f x dx

(3)

Es fácil demostrar que para las normas de las funciones en el espacio de Hilbert se cumplen relaciones similares a las que existen entre

las longitudes de vectores en el espacio de Euclidiano (reglas de triangulo)

2 2 2

2 ,g ; ,f g f g f f g f g etc (4)

Definición 4 Dos funciones ,f x g x pertenecientes al espacio ,H a b se llaman ortogonales si su producto escalar es igual a

cero:

, , 0

b

a

f x g x H a b f g f x g x dx (5)

Definición 5 Un conjunto de las funciones 1 2, , , nu u u se llaman linealmente dependientes sí existen unos constantes 1 2,C , ,CnC

para las cuales en todos puntos ,x a b se cumple la relación 1 1 2 2 0n nC u x C u x C u x Si esta condición se cumple en

todos puntos solamente cuando todos coeficientes 1 2,C , ,CnC son iguales a cero entonces las funciones 1 2, , , nu u u son

linealmente independientes.

Definición 6 Un conjunto de las funciones 1 2, , , , ,n H a b linealmente independientes forman una base completa sí

cualquiera función ,f x H a b puede ser representada como una combinación lineal de estas funciones de base

1 2, , , , , ,n i i

i

f x H a b H a b f x C x (6)

Definición 7 Un conjunto de las funciones de base 1 2, , , , ,n H a b forman una base ortogonal sí para cualquiera par de

estas funciones

, , , 0

b

i j i j i j

a

H a b x x dx si i j (7)

Definición 8 Siendo un conjunto de las funciones 1 2, , , , ,n H a b una base completa ortogonal, la representación de

cualquiera función ,f x H a b en forma

1

i i

i

f x C x

(8a)

se llama serie de Fourier generalizada y iC los coeficientes de Fourier o coordenadas e la función f x en el espacio de Hilbert,

las cuales se calculan como

,

b

i i i

a

C f x f x dx (8b)

Teorema de Bessel. Suma de cuadrados de módulos de coeficientes de Fourier coincide con la norma de la función

2 2

1

,

b

i

i a

C f f f x dx

(9)

OPERADORES LINEALES Y AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT

Definición. Una operación matemática L que transforma una función ,H a b a otra función ˆ ,L H a b y además para

cualquier par de los números 1 2, cumple la condición

1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆL L L (10)

se llama el operador lineal.

A continuación el símbolo circunflejo se utiliza para denotar los operadores. Por ejemplo, multiplicando la función x por

la variable x para dar una nueva función x puede ser considerado como un operador x que transforma la función x a la función

x ˆx x x x x . Generalmente, cuando la operación es simple multiplicación, el símbolo circunflejo sobre el operador

se omite. Otro ejemplo el operador diferencial ˆx

dD

dx definido como

ˆ

x

d xx D x

dx

(11)

Se puede considerar mucho más ejemplos, como el operador de traslación ˆax T x x a , operador de reflexión,

ˆx I x x , operadores de integración ˆx

x K x y dy

, ˆb

fa

x K x f x y y dy etc.

Por ejemplo, la ecuación diferencial para oscilaciones armónicas 2

2

20

d yk y

dx se puede escribir de la siguiente manera,

2 2ˆ 0xD k y donde 2 2ˆxD k es suma de dos operadores

2ˆxD y

2k

En general, la función L , l resultado de aplicación del operador es linealmente independiente de la función (no es

paralela a L . Pero para el operador puede existir un conjunto de funciones que no cambian su “dirección” bajo aplicación del

operador, llamadas funciones propias.

Definición 2 La funciones i y los números i e llaman las funciones propias y los valores propios del operador L , respectivamente,

si estos satisfacen la condición

ˆ ; 1, 2,3, ,i i iL i N (12)

N-es la cantidad de las funciones propias y los valores propios puede ser cero, finito o incluso infinito. Un ejemplo simple de una

ecuación de auto-valores implica el operador de derivación ˆx

dD

dx . Cuando este operador se aplica sobre la función, kxx e el

resultado es ˆ ˆ kx kx kxx x

dD x D e e ke k x

dx . Por lo tanto, las funciones exponenciales

kxe son funciones propias del

operador de diferenciación con los valores propios correspondientes k. Como k pueden tener cualquier valor número las funciones

propias del operador diferencial en el espacio L2: 2 ,u x L forman un conjunto continuo de las funciones.

Otro ejemplo es el operador2 2 2ˆ

xD d dx cuyos valores propios

2; 1, 2,3,n n a n

que satisfacen la misma

ecuación diferencial 2ˆ

x n n nD x x con dos tipos de las funciones propias sobre dos intervalos diferentes, primeros

2sin 0, ; 0 0n n nx nx a L a a y segundos

2cos / 2, / 2 ; / 2 / 2 0n n nx nx a L a a a a

Aunque en este último ejemplo igual como en el ejemplo anterior hay un número de funciones propias infinito estas funciones propias

forman un conjunto discreto, mientras que en el ejemplo anterior conjunto fue continuo.

Existe una clase de los operadores especiales cuyos valores propios son reales, llamados operadores auto-adjuntos

Definición. Un operador L se llama auto-adjunto (o hermitiano) si para cualquier par de las funciones cuadrados integrables

2, ,x x L a b el operador A satisface la condición:

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,L L L dx L dx (13)

Ejemplo

Demostraremos que el operador 1ˆ d dL p x

dx dx en el espacio de funciones , ; 0f x H a b f a f b es autoadjunto para

cualquiera función p x y el operador 2

2 2ˆ dL p x

dx solo cuando p x const . En realidad,

1ˆ,

bb

a a

d d dL x p x x dx x p x x

dx dx dx

ˆ ,

b

a

b

a

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