Capítulo1 Matrices y Determinantes 3 - aprehender.net · Cada elemento de la matriz producto es la...

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Capítulo1 Matrices y Determinantes __________________________________________ 3 Introducción _____________________________________________________________________ 3

1 Matrices _____________________________________________________________________ 4 Definición _________________________________________________________________________ 4 Matriz n×p _______________________________________________________________________ 4

Matrices especiales _________________________________________________________________ 5 Matriz fila _______________________________________________________________________ 5 Matriz columna ___________________________________________________________________ 5 Matriz nula ______________________________________________________________________ 5 Matriz unidad ____________________________________________________________________ 5 Matriz escalar ____________________________________________________________________ 5 Matriz diagonal ___________________________________________________________________ 6 Matriz triangular superior __________________________________________________________ 6 Matriz opuesta ___________________________________________________________________ 6 Matriz traspuesta, At ______________________________________________________________ 6

Igualdad __________________________________________________________________________ 7 Operaciones _______________________________________________________________________ 7 Suma ___________________________________________________________________________ 7 Resta ___________________________________________________________________________ 7 Propiedades de la suma ____________________________________________________________ 7 Asociativa _____________________________________________________________________ 7 Conmutativa ___________________________________________________________________ 7 Cancelativa ____________________________________________________________________ 7 Neutro ________________________________________________________________________ 7 Simétrico ______________________________________________________________________ 7 Traspuesta de una suma A+B ______________________________________________________ 7

Multiplicación por un número real ___________________________________________________ 7 Combinación lineal de matrices, CL ___________________________________________________ 8 Producto escalar de 2 matrices fila ___________________________________________________ 8 Producto matricial ________________________________________________________________ 8 Propiedades de la multiplicación _____________________________________________________ 8 Asociativa _____________________________________________________________________ 8 No conmutativa ________________________________________________________________ 9 No cancelativas _________________________________________________________________ 9 Distributiva del producto respecto de la suma ________________________________________ 9 Neutro de las matrices cuadradas __________________________________________________ 9 Traspuesta de un producto A×B ____________________________________________________ 9

2 Determinantes _______________________________________________________________ 10 Definición ________________________________________________________________________ 10

Regla de Sarrus ________________________________________________________________ 10 Menor complementario, mij __________________________________________________________ 11 Adjuntos o cofactores, cij ____________________________________________________________ 11

Adjuntos ajenos de una línea _____________________________________________________ 12 Matriz adjunta A* __________________________________________________________________ 12 Propiedades de los determinantes ____________________________________________________ 12 Desarrollo Laplaciano _____________________________________________________________ 13 Propiedad 1 _____________________________________________________________________ 13 Propiedad 2 _____________________________________________________________________ 13 Propiedad 3 _____________________________________________________________________ 13 Propiedad 4 _____________________________________________________________________ 13 Propiedad 5 _____________________________________________________________________ 13 Propiedad 6 _____________________________________________________________________ 14 Combinación lineal CL de una paralela _______________________________________________ 14 Propiedad 7 _____________________________________________________________________ 14

1 Matrices Definición

Jorge Carlos Carrá 2

Propiedad 8 _____________________________________________________________________ 14 Propiedad 9 _____________________________________________________________________ 14

Cálculo de determinantes____________________________________________________________ 15 1 Método por la propia definición ___________________________________________________ 15 2 Método por desarrollo Laplaciano _________________________________________________ 15 3 Método por teorema de Gauss ____________________________________________________ 15 Etapa I _______________________________________________________________________ 15 Etapas siguientes ______________________________________________________________ 15 Final _________________________________________________________________________ 15

4 Método por regla de Chio ________________________________________________________ 17 Rango de una matriz ________________________________________________________________ 17 Cálculo del rango ________________________________________________________________ 17 1 Método práctico _______________________________________________________________ 17 2 Método de Gauss _______________________________________________________________ 18 Etapa I y siguientes _____________________________________________________________ 18 Final _________________________________________________________________________ 18

3 Sistema de ecuaciones lineales __________________________________________________ 19 Clasificación ______________________________________________________________________ 19 Teorema de Rouché Frobenius _____________________________________________________ 19 Teorema _____________________________________________________________________ 20

1 Método de Cramer _______________________________________________________________ 20 2 Método matricial _________________________________________________________________ 21

Notación matricial _____________________________________________________________ 21 Solución _____________________________________________________________________ 21

1 Matriz inversa por definición _____________________________________________________ 22 2 Matriz inversa por método matricial ________________________________________________ 22 Condición necesaria y suficiente de existencia _______________________________________ 22

3 Matriz inversa por Gauss‐Jordán ___________________________________________________ 23 Etapa I _______________________________________________________________________ 23 Etapas siguientes ______________________________________________________________ 23 Final _________________________________________________________________________ 23

Propiedades de las inversas ________________________________________________________ 24 Resolución matricial de un sistema __________________________________________________ 24

3 Método de Gauss _________________________________________________________________ 25 Etapa I _______________________________________________________________________ 26 Etapas siguientes ______________________________________________________________ 26 Final _________________________________________________________________________ 26

4 Método de Gauss‐Jordán __________________________________________________________ 26 Etapa I _______________________________________________________________________ 27 Etapas siguientes ______________________________________________________________ 27 Final _________________________________________________________________________ 27

Sistemas homogéneos ______________________________________________________________ 27 Solución _____________________________________________________________________ 27 Aplicación ____________________________________________________________________ 28

Problemas ____________________________________________________________________ 30 1 Matrices ______________________________________________________________________ 30 2 Determinantes _________________________________________________________________ 31 3 Sistemas de ecuaciones lineales ___________________________________________________ 32 Problemas verbales ______________________________________________________________ 33

1 Matrices

3

Capítulo1 Matrices y

Determinantes Introducción Este capítulo se divide en 3 partes: 1. Matrices 2. Determinantes 3. Sistemas de ecuaciones lineales

1 Matrices Definición


1 Matrices El concepto de matriz fue desarrollado en 1857 por el matemático inglés Arthur Cayley (1821 - 1895). Su idea fue la siguiente: Sea una variable x relacionada con una y por la siguiente ecuación:

ax bycx d

+=

+

Esta transformación podría representarse con el cuadro: a b

Ac d

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Análogamente si esa variable y se relaciona con una z por la siguiente ecuación: ' '' '

a y bzc y d

+=

+

podría representarse con el cuadro: ' '' '

a bB

c d⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

¿Cuál es la transformación que permite asociar z con x?. En caso de que exista ¿se puede representar con un cuadro C? Como vamos a ver, la respuesta es afirmativa y se corresponde con el producto de las matrices A y B:

*C A B= El término matriz fue creado por otro matemático inglés Joseph Sylvester (1814 - 1897) con el propósito de distinguir matrices y determinantes (los cuales se tratarán en la segunda sección, página 10), de tal forma que matriz significara "madre de los determinantes".

Definición

Matriz n×p Es un conjunto ordenado de números dispuestos en n filas y p columnas, formando un rectángulo.

11 12 13 14

3 4 21 22 23 24

31 32 33 34

n p

a a a aA A a a a a

a a a a× ×

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Un término genérico se representa por ija y es el término situado en la fila i y la columna j. Los números i, j se llaman índices de la fila y de la columna, respectivamente. Si n = p la matriz se llama cuadrada o de orden n:

11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

n p

a a aA A a a a

a a a× ×

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 Matrices

5

Matrices especiales

Matriz fila Es una matriz de dimensiones 1×n.

( )= 11 12 13 1a a a ....... a nA

Matriz columna Es una matriz de dimensiones n×1.

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

12

13

1

aaa....am

A

Matriz nula Es la matriz con todos los elementos nulos. Se simboliza con 0.

Ejemplo A modo de ejemplo la matriz nula de 3×3 es:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0O= 0 0 0

0 0 0

Matriz unidad Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha) que son todos unos. Se simboliza con I.

Ejemplo A modo de ejemplo la matriz unidad de 3×3 es:

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 00 1 00 0 1

I

Matriz escalar Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son todos el mismo número distinto de cero.

1 Matrices Matrices especiales


Ejemplo −⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 0 0B= 0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal en los que por lo menos uno es distinto.

Ejemplo −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 0B= 0 1 0

0 0 2

Matriz triangular superior Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Definición análoga para triangular inferior.

Ejemplo −⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 00 3 10 0 2

A

Matriz opuesta Es del mismo orden que la directa con todos los elementos cambiados de signo. Si A es la directa la opuesta se simboliza –A.

Ejemplo − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3 0 1 3 02 1 4 , 2 1 4

3 7 9 3 7 9A A

Matriz traspuesta, At

Dada una matriz n×p, es otra matriz p×n, que se obtiene de cambiar las fila por columnas.

Ejemplo 1 2

1 3 53 4

2 4 65 6

tA A⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

1 Matrices

7

Igualdad Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos son iguales.

Operaciones

Suma Deben ser del mismo orden n×p y el resultado es otra matriz del mismo orden, cuyos elementos están formados por la suma de los elementos correspondientes.

Ejemplo −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 2 21 31 14 0 3 12 2

Resta Deben ser del mismo orden n×p. Se transforma la diferencia en la operación suma (ya definida), realizando la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.

( )A B A B− = + −

Propiedades de la suma

Asociativa ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

Conmutativa A B B A+ = +

Cancelativa A C B C A B+ = + ⇒ =

Neutro Es la matriz nula.

0A A+ =

Simétrico La suma con el simétrico debe dar el neutro. Simétrico de A: B A= −

Traspuesta de una suma A+B Es la suma de las traspuestas.

( )t t tA B A B+ = +

Multiplicación por un número real El producto de una matriz por un número real es igual al producto de cada uno de sus elementos por dicho número.

1 Matrices Operaciones


Ejemplo ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 3 1 1 33 2. 1. . 12 1 2 2 2 2 2 421 1 1 1 1. 0 1 2 0. 1. 2. 0 12 2 2 2 2

1 2 0 1 1 1 11. 2. 0. 1 02 2 2 2

Combinación lineal de matrices, CL Deben ser todas del mismo orden n×p. Es la matriz del mismo orden n×p que se obtiene sumando las matrices dadas multiplicadas por escalares.

Ejemplo Dadas:

1 2 5 0 2 1 2 2 30 3 1 B= 2 0 4 C= 2 1 42 3 1 1 4 0 3 4 0

A−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hallar: la combinación lineal D. 2 3D A B C= + −

1 2 5 0 2 1 2 2 3 0 0 102 0 3 1 +3 2 0 4 - 2 1 4 8 5 10

2 3 1 1 4 0 3 4 0 2 22 2D

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Producto escalar de 2 matrices fila Es el número que resulta de multiplicar los elementos correspondientes.

Producto matricial El número de columnas del prefactor debe ser igual al número de filas del postfactor. Cada elemento de la matriz producto es la suma de los productos de una fila del prefactor por una columna del postfactor.

Ejemplo

2 3 2 2 2 3x x xC A B= El número de columnas de A es igual al número de filas de B. La matriz producto C tiene el número de filas de A y de columnas de B.

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 12 13 11 21 12 22 13 23

21 22 23 11 21 12 22 13 23

a a a r.a +s.a r.a +s.a r.a .a=

a a a t.a +u.a t.a +u.a t.a +u.a sr s

t u

Propiedades de la multiplicación

Asociativa ( ) ( )AB C A BC=

1 Matrices

9

No conmutativa AB BA≠ en general.

Ejemplo −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 4 2 05 3 3 4 4 8

1 4 1 1 19 113 4 5 3 17 9

x

x

Consecuencia

( )+ ≠ + +2 2 22. .A B A A B B

La causa es la no conmutatividad del producto en general: ( ) ( )( )+ = + + = + + +

2 2 2. .A B A B A B A A B B A B y por lo visto antes:

≠ A.B B.A

No cancelativas

Propiedad 1 no implica AC BC A B= = en general.

Se observará esto en uno de los problemas al final de este capítulo.

Propiedad 2 0 no implica 0 0AB A o B= = = , en general.

Aunque esta es una propiedad evidente de los números reales y la causa es la existencia para los números reales de elemento inverso. En las matrices no tiene por qué ocurrir, pues como veremos, las matrices no siempre tienen un inverso multiplicativo.

Ejemplo 1 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En este caso el producto es nulo y ninguna de las matrices es la matriz nula. La causa es que ninguna de las matrices dadas tiene inversa (como luego se comprobará).

Distributiva del producto respecto de la suma ( ) y ( )A B C AB AC B C A BA CA+ = + + = +

Neutro de las matrices cuadradas Es la matriz unidad. AI A=

Traspuesta de un producto A×B Es el producto de la traspuesta de B por la traspuesta de A.

( )t t tA B B A× = ×

2 Determinantes Definición, DEF


2 Determinantes Los determinantes hicieron su aparición más de un siglo antes que las matrices. Los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhem Leibnitz (1646 – 1716), en relación con los sistemas de ecuaciones lineales que se verán en la tercera sección de este capítulo.

Definición, DEF Se llama determinante de una matriz cuadrada n×n al polinomio algebraico que tiene todos los sumandos posibles formados por el producto de los elementos de cada fila y de cada columna pero sin repetir en el sumando ni la fila ni la columna. El signo de cada sumando si previamente se han ordenado los factores del sumando por columnas, será positivo si el número de inversiones con respecto al orden natural presentan entre sí de cada dos de los subíndices de las filas es par y negativo si es impar.

11 12 13

3 3 21 22 23 31 12 23 21 12 33

31 32 33

...n p

a a aA A a a a a a a a a a

a a a× ×= = = + − +

312 = dos inversiones (31 y 32) 213 = una inversión (21)

Regla de Sarrus

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

–11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

= + + − − −11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 32 23 11 33 21 12A . . . . . . . . . . . .a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ejemplo

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]143283275233584172182374532

⋅⋅+⋅−⋅+−⋅⋅−−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅=−−

=A =

= (14 – 160 - 18 ) – ( –70 – 48 + 12 ) = –164 – ( –106 ) = – 58

Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( )2 3 41 5 6 2 5 9 4 1 8 3 6 7 4 5 7 2 6 8 3 1 97 8 9

B = − = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =−

= 90 – 32 – 126 + 140 – 96 + 27 = 3

2 Determinantes

11

Ejemplo 5 1 32 0 1 51 2 1

A−

= =−

(0+12+1) – (0+10-2)=13–8= 5

Menor complementario de un elemento, mij

Menor Se llama menor de un determinante a cualquier determinante de menor grado que el determinante. Es decir, es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A, obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A.

Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento cualquiera ija que se denomina pivote es el determinante de orden inferior que se obtiene eliminando la fila y columna del pivote. Así por ejemplo sea la matriz de 3x3:

11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a×

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El menor complementario del pivote m32 es:

11 1332

21 13

a am

a a=

Ejemplo

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 1 13 0 24 3 2

A

= = − − − =11

0 -2 0.( 2) 3.( 2) 6

3 -2m

= = − − − − = −32

2 -1 2( 2) ( 3)( 1) 7

-3 -2m

Adjuntos o cofactores de un pivote, cij

Es el menor complementario del pivote con signo algebraico positivo si la suma de los índices del pivote es par y negativo si es impar.

+= −( 1) . .i jij ijc m

2 Determinantes Matriz adjunta A*


Observar el siguiente patrón de signos: + − +⎛ ⎞

⎜ ⎟− + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠

Ejemplo −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 1 13 0 24 3 2

A

+= − = − − − =1 111

0 -2 ( 1) 0.( 2) 3.( 2) 6

3 -2c

+= − = − − =3 2 532 32( 1) . ( 1) .( 7) 7c m

Adjuntos ajenos de una línea Son los adjuntos de una línea paralela a la dada.

Matriz adjunta A*

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representará por Ad o A*, a la matriz formada por los adjuntos de sus elementos.

Ejemplo Hallar la matriz adjunta.

2 13 4

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = − = − =11 12 21 224 c 3 c 1 c 2c

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

* 4 31 2

A

Ejemplo Dada la matriz:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 0 0 A= 3 1 5

2 0 1

Comprobar que la A* es: −⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

*

1 13 20 2 00 10 2

A

Propiedades de los determinantes Antes veamos el desarrollo Laplaciano (sin demostración).

2 Determinantes

13

Desarrollo Laplaciano, LAP El valor de un determinante es igual al producto de los elementos de una línea cualquiera considerados como pivotes multiplicados por sus respectivos adjuntos o cofactores.

Ejemplo Calcular del siguiente determinante desarrollándolo por la columna 2.

5 1 32 1 5 3 5 3

2 0 1 1 0 2 3 0 2 51 1 1 1 2 1

1 2 1

−= − − + + − = + + =

− −−

Propiedad Si se multiplican los pivotes de una línea por adjuntos ajenos, el resultado es nulo.

Propiedad 1 Si un determinante presenta toda una línea nula el determinante es nulo. Esto se aprecia claramente aplicando el desarrollo Laplaciano a esa línea.

Propiedad 2 Si un determinante presenta una línea multiplicada por un mismo número, el determinante está multiplicado por dicho número. Esto se aprecia claramente aplicando el desarrollo Laplaciano a esa línea.

Propiedad 3 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal pues al aplicar el desarrollo Laplaciano son nulos todos los productos excepto el de la diagonal principal.

Propiedad 4 El determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz traspuesta. Esto se aprecia claramente aplicando el desarrollo Laplaciano a una matriz por filas y a la traspuesta por la columna que corresponde a esa fila.

Ejemplo Calculemos el determinante de la matriz traspuesta del ejemplo anterior.

5 2 11 0 2 5

3 1 1

−− =

(0+1+12) – (0+10–2)= 5

Propiedad 5 Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas (filas o columnas), el determinante cambia de signo. Esta propiedad resulta de aplicar la definición y observar que al trasponer por ejemplo dos columnas, el orden de los subíndices de fila de los elementos de esa columna en el sumando del determinante resulta intercambiado y por lo tanto ese sumando cambia de signo. Como esto sucede con todos los sumandos, el determinante cambia de signo.

2 Determinantes Propiedades de los determinantes


Ejemplo Tomando la matriz del ejemplo inicial. 3 1 51 0 2 51 2 1

−= −

−

Propiedad 6 Si un determinante presenta una línea polinómica de la misma cantidad de sumandos, el determinante vale la suma de tantos determinantes como sumandos tiene la línea polinómica. Esta propiedad se justifica aplicando el desarrollo Laplaciano.

5 1 2 3 5 1 3 5 2 32 0 3 1 2 0 1 2 3 11 2 5 1 1 2 1 1 5 1

− + −− = + −

− + − −

Combinación lineal (CL) de una paralela sobre una línea Es el resultado de a un línea cualquiera sumarle una línea paralela multiplicada por un mismo número.

Propiedad 7 Si un determinante presenta dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo. Esta propiedad es consecuencia de la propiedad 5, ya que si se intercambian esas líneas el determinante debe cambiar de signo, pero como se obtiene el mismo determinante, la única posibilidad es que sea cero.

Propiedad 8 Un determinante no altera si sobre una línea se le efectúa una CL de una paralela.

Ejemplo Reemplazar la C1 por 1 32C C− . Esta transformación 1 22C C− , es una forma compacta de colocar

1 1 22C C C→ − . Se sobreentiende que la línea expresada en primer lugar es la que se reemplaza.

1 32

5 1 3 5 2(3) 1 3 5 1 3 3 1 32 0 1 2 2(1) 0 1 2 0 1 2 1 0 1 51 2 1 1 2(1) 2 1 1 2 1 1 2 1

C C−

− − − − −⎯⎯⎯→ − = − =

− − − − El último determinante es cero por tener dos columnas iguales (propiedad 7). Observar que el coeficiente de la línea que se reemplaza debe ser 1, pues de lo contrario todo el determinante quedará multiplicado por ese número (propiedad 2).

Propiedad 9 Si un determinante presenta una línea que es CL de una paralela, el determinante es nulo.

Ejemplo

1 32C C=

2 Determinantes

15

2(5) 1 5 5 1 5 0 1 52(2) 0 2 2 2 0 2 2 0 0 2 02( 1) 2 1 1 2 1 0 2 1

− − −= = =

− − − − − El penúltimo determinante es cero por tener dos columnas iguales (propiedad 7) o el último determinante (obtenido por propiedad 8) es cero por tener una línea nula (propiedad 1).

Viceversa Si un determinante es nulo, una línea es combinación lineal de una paralela, tanto de filas como de columnas. La demostración se realizará luego de estudiar los sistemas homogéneos (ver página 27).

Cálculo de determinantes

1 Método por la propia definición Solo práctico para órdenes 2 y 3 (regla de Sarrus).

2 Método por desarrollo Laplaciano Ya visto al comienzo de esta sección.

3 Método por teorema de Gauss Consiste en triangular la matriz por combinaciones lineales CL para llevarla a una matriz triangular (inferior o superior). Un procedimiento sistemático para triangular consiste en (ejemplificado para filas):

Etapa I Dejar la F1, tomar el elemento a11 (al que llamaremos pivote por comodidad en la explicación) y triangular la C1 con una CL sobre la F1 (lograr que sean todos ceros excepto el pivote).

Etapas siguientes Luego repetir para cada fila (en cualquier orden) tomando el elemento aii como pivote (diagonal principal) y creando ceros debajo del mismo. Si el elemento aii fuera cero, el método no puede aplicarse debiendo intercambiar filas o columnas para obtener un pivote distinto de cero, cambiando el signo del determinante. Si además todos los elementos por debajo del pivote incluido el mismo, fueran ceros, el determinante es nulo porque la diagonal principal contendría un cero al final del proceso.

Final Luego de la triangulación el determinante será el producto de los elementos de la diagonal principal (por la propiedad 3).

Notas 1. No es necesario llevar las etapas hasta el final. Se puede detener cuando se llega a un

determinante (con la diagonal principal coincidente con la del original) que se pueda calcular fácilmente. Esto se verá en el ejemplo siguiente.

2. En la CL, la línea que se va reemplazar solo puede ser multiplicada por 1, pues este número multiplicará a todo el determinante, a menos que se divida simultáneamente a todo el determinante por ese mismo número. (propiedades 8 y 2).

2 Determinantes Cálculo de determinantes


3. Se observará en el ejemplo siguiente que la ventaja de tomar como pivotes a los elementos de la diagonal principal, es que en las sucesivas CL no se alterarán los ceros ya obtenidos. Una consideración similar nos indicará que para construir la CL podría tomarse cualquier fila entre el pivote y la fila a reemplazar, si esto resultara más conveniente.

4. Si no se desea trabajar con fracciones, podría multiplicarse toda la fila por el común denominador y para que no altere el valor, multiplicar a todo el determinante por el inverso de ese número (propiedad 2).

5. El método de Gauss puede ser fácilmente convertido a algoritmo y por ello es utilizado para la resolución de sistemas por medio de computadoras.

6. Para determinantes no tiene aplicación el método de Gauss–Jordán que se verá luego para matrices pues no se requiere realizar la otra triangulación.

Ejemplo Calcular el siguiente determinante.

1 2 1 11 3 2 2

2 0 1 11 2 2 2

− −− − −

− −

2 13 1

3 24 1

24

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 11 3 2 2 0 1 3 1 0 1 3 1 15 3

1 1 542 0 1 1 0 4 3 1 0 0 15 3 3 31 2 2 2 0 0 3 3 0 0 3 3

F FF F

F FF F

+−

−−

− − − − − −− − − − − − −

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ = ⋅ ⋅ = −− −

− − − −

Ejemplo

2 1

3 11

4

3 2

3 2

4 3

12

4

19119

8430

4 3 2 34 3 2 3 4 3 2 39 3 301 3 2 0 0 9 6 314 2 4

4 2 2 1 0 1 4 4 0 1 4 4161 2 1 1 11 1 7 0 11 2 70

4 2 44 3 2 3

4 3 2 30 9 6 30 9 6 31 1 130 390 0 0 0 30 3916 16 819 9

84 96 0 0 84 960 09 9

4 3

1 116 81

F FF F

FF

F F

F F

F F

+

+

+

+

+

+

− −− − − −−

− −⎯⎯⎯→ =

− − − −

− −− −−

−−⎯⎯⎯⎯→ =−

−

⎯⎯⎯⎯→

2 36156( 4)( 9)( 30)0 9 6 330 1710 0 30 39 16(81)

61560 0 030

−⎛ ⎞− − −− ⎜ ⎟⎝ ⎠= = −−

2 Determinantes

17

Notas 1. Naturalmente podrían cambiarse filas por columnas en la explicación. 2. Para mayor precisión, elegir como pivotes los mayores de cada columna, reordenando las filas.

4 Método por regla de Chio Es una particularidad del desarrollo Laplaciano al cual previamente se le realizan combinaciones lineales para transformar la línea por la cual se va a desarrollar el determinante en un pivote y todos los demás ceros (Gauss). Por lo tanto el determinante será el producto del pivote por el menor complementario al mismo, pues todos los otros productos son ceros. En la práctica puede ser conveniente una variante de esta regla observando alguna línea en la cual se obtenga fácilmente una buena cantidad de ceros y luego desarrollando por esa línea aplicando el método de Laplace.

Rango de una matriz Es el mayor determinante no nulo extraído de los elementos de la matriz. El rango o característica de una matriz A se representará por Rg(A).

Cálculo del rango

1 Método práctico Se busca un menor de orden k distinto de cero y entonces el rango será mayor o igual a k. Se orla ese menor con los elementos de una fila y de todas las columnas. • Si todos los menores de orden k+1 obtenidos son nulos, entonces esa línea es combinación lineal

sobre una paralela y se puede eliminar. El rango de la matriz será igual o mayor que k y se repite el proceso.

• Si alguno de los menores de orden k+1 es distinto de cero, entonces el rango será igual o mayor que k+1 y se repite el proceso con ese menor de orden k+1.

Ejemplo Hallar el rango de la siguiente matriz.

Elegimos el siguiente menor: 1 2

0 ( ) 22 1

Rg A≠ ⇒ ≥

Añadimos la F3 y la C3: 1 2 12 1 0 04 5 2

−=

−

Luego la F3 y la C4: 1 2 22 1 1 04 5 5

=

B

1

2

4

2

2

1

5

1−

1−

0

2−

1

2

1

5

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

2 Determinantes Rango de una matriz


Luego la F3 es CL de las F1 y F2 y se puede eliminar. A efectos del rango la matriz queda: 1 2 1 2

´ 2 1 0 12 1 1 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Comenzamos de nuevo tomando como menor: 1 2 12 1 0 1 02 1 1

−= ≠

−

Por lo tanto: ( ) ( )́ 3Rg A Rg A= =

2 Método de Gauss A los efectos del cálculo del rango se puede: • Suprimir las líneas que provocan que el determinante en estudio sea nulo (línea nula o CL sobre

una paralela). • Multiplicar toda una línea por un número. • Colocar las filas en cualquier orden, pues, si bien afecta el signo del determinante, no afecta el

valor del rango.

Etapa I y siguientes Por CL se busca que los elementos debajo de cada aii tomados como pivote sean todos ceros (matriz triangular superior si fuera cuadrada). Si el elemento aii es cero es preciso intercambiar la fila con una inferior o la columna con una de la derecha. En el siguiente ejemplo comenzaremos con la fila 1.

Final Al finalizar el proceso para el último elemento aii, el rango es el número de filas con algún elemento no nulo, dado que las filas con ceros se pueden anular pues originan un determinante nulo por la propiedad 1.

Ejemplo Hallar el rango de la siguiente matriz.

1 4 2 12 1 0 10 1 3 1

A− −⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 22 1 72

1 4 2 1 1 4 2 1 1 4 2 12 1 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 30 1 3 1 0 7 4 3 0 0 25 10

F FF FRg Rg Rg−−

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Puesto que hay 3 filas con elementos distintos de cero, el rango es 3.

3 Sistema de ecuaciones lineales

19

3 Sistema de ecuaciones lineales Una ecuación de la forma:

11 1 12 2 1... n na x a x a x b+ + + = es una ecuación lineal con n incógnitas. Los aii son los coeficientes, b es el término independiente y las x son las variables. El orden del sistema es n. La expresión general de un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas es:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

..............................................

n n

n n

n n n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x bn

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

¨

Ejemplo Un sistema de ecuaciones de orden 3x3, se presenta a continuación.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

22 1

2 3

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩ Resolver el sistema es encontrar los valores de las variables incógnitas x.

Clasificación Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en. 1. Compatibles

Son los que tienen solución. Pueden ser Determinados (una solución) o Indeterminados (infinitas soluciones)

2. Incompatibles No tienen solución.

Teorema de Rouché Frobenius Se llamará matriz A a la matriz de los coeficientes del sistema, Ao a la matriz A ampliada con los términos independientes, B a la matriz de los términos independientes y X a la matriz de las incógnitas Así por ejemplo, para el sistema anterior, es:

1 1 12 1 11 2 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 1 1 22 1 1 11 2 1 3

oA⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

3 Sistema de ecuaciones lineales 1 Método de Cramer


213

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1

2

3

xX x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Con estas definiciones la expresión matricial del sistema resulta: AX B=

Teorema La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal de ecuaciones (cuadrado o rectángulo) sea compatible (determinado o indeterminado) es que sean iguales el rango de la matriz A y el rango de la matriz orlada Ao.

0( ) ( )Rg A Rg A= El sistema será determinado si esta igualdad de rangos es igual además al orden del sistema. Si es inferior, el sistema será indeterminado. La diferencia entre ambos números será la cantidad de variables independientes que pasará a la matriz de los términos independientes del sistema.

Ejemplo Comprobar que el sistema anterior es compatible determinado. Solo se debe verificar que:

0( ) ( ) 3Rg A Rg A= =

Ejemplo Comprobar que el sistema siguiente es compatible indeterminado. 2 3

2 34 5 9

x y zx y zx y z

− + =− − =

− − =

El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz orlada es 2. Una de las variables (cualquiera) pasará al segundo miembro como independiente y por lo tanto las soluciones de las variables restantes estarán en función de esta variable independiente, generando infinitas soluciones, una por cada valor de la variable independiente.

Ejemplo Comprobar que el sistema siguiente es incompatible. 4 4

4 12 7 3

x y zx y zx y z

− + =− + =

+ − =

El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz orlada es 3. Veamos ahora los distintos métodos de solución del sistema.

1 Método de Cramer

i

Cx

A=

Donde:


21

• El numerador es el determinante de la matriz de los coeficientes, cambiando la columna de la incógnita i por la columna de los términos independientes.

• El denominador es el determinante de los coeficientes.

Ejemplo Resolver:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

22 1

2 3

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩

1

2 1 11 1 13 2 1 9 1

1 1 1 92 1 11 2 1

x

− −− −

= = =

− −−

2

1 2 12 1 11 3 1 9 11 1 1 92 1 11 2 1

x

−− − −

= = = −

− −−

3

1 1 22 1 11 2 3 18 21 1 1 92 1 11 2 1

x

−−

= = =

− −−

2 Método matricial Notación matricial Hemos visto que la expresión matricial del sistema es:

AX B=

Solución Para despejar la X se requiere del concepto de matriz inversa. Es la matriz que verifica:

1AA I− = 1 1AA A A I− −= = Con esta propiedad, si se premultiplica la expresión matricial del sistema de ecuaciones lineales por la inversa de A se obtiene:

1 1A AX A B− −= Luego:

3 Sistema de ecuaciones lineales 2 Método matricial


1IX A B−= Finalmente:

1X A B−= La matriz A debe ser cuadrada, pero como veremos, aún así no siempre existen las inversas. Veamos varios métodos para el cálculo de la matriz inversa.

1 Matriz inversa por definición

Ejemplo Hallar la matriz inversa de A:

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 11 1

A

1AA I− = Por lo tanto:

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 01 1 0 1

a bx

c d

Multiplicando se obtienen 4 ecuaciones para resolver las 4 incógnitas: − = ⎫

⎪− = ⎪ ⇒⎬+ = ⎪⎪+ = ⎭

2 12 0

01

a cb d

a cb d

= − ⇒a c

− − = ⎫⎪= ⎪⎬= − ⎪⎪+ = ⎭

2 12

2 1

c cd ba cb b

⎫= ⎪⎪⇒ ⎬⎪= −⎪⎭

1 1 b=3 3

1 2 d=3 3

a

c

−

⎛ ⎞⎜ ⎟

⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 13 31 23 3

A

2 Matriz inversa por método matricial Se puede demostrar que:

( )*1

tA

AA

− =

Condición necesaria y suficiente de existencia Para que exista inversa, el determinante no debe ser 0 o equivalentemente, el rango de la matriz debe ser del mismo orden que la matriz. Esto divide a las matrices en dos grandes grupos: 1. Regulares: las que su determinante no es 0. 2. Singulares: las que su determinante es 0.

Ejemplo Calcular la inversa de:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 0 0A= 3 1 5

2 0 1

Comprobar que es regular pues el determinante es distinto de 0. 2A = . Verificar que la adjunta es:


23

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

*

1 13 20 2 00 10 2

A

Por lo tanto:

( )*

1 0 013 2 102 0 2

tA

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y entonces:

1

1/ 2 0 013 / 2 1 5

1 0 1A−

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 Matriz inversa por Gauss-Jordán En todos los métodos de Gauss o de Gauss-Jordán aplicados a matrices se agrega una matriz (orlada) a la matriz original, que significa transformación de una en otra o igualdad entre ellas. Por esta particularidad, la CL permite ahora multiplicar por un número a la línea que se va reemplazar, pues este número multiplicará tanto a la matriz original como a la que se orla, siendo su efecto neutro pues podría simplificarse en cada una. En este caso se coloca (orla) una matriz unidad I a la derecha de la matriz A dada (del mismo orden). La transformación de A en I, implica la transformación de I en A-1. Para lograr esto se diagonaliza A con combinaciones lineales, con la finalidad de obtener unos en la diagonal principal (matriz unidad). Veamos cómo se sistematiza.

Etapa I Con pivote: a11 se hacen ceros los elementos de la columna 1.

Etapas siguientes Con pivote: a22 se hacen ceros los elementos de la columna 2 (no solo por debajo del pivote como en el método de Gauss). Se continúa así para el resto de las columnas. Para que la diagonal contenga unos, se divide cada fila por el número que contiene la diagonal. Esta operación también podría hacerse al comienzo de la etapa I, pero esto implica muchas veces la aparición de fracciones.

Final Luego de la diagonalización, la matriz inversa A-1 será la que aparezca a la derecha, donde estaba la matriz unidad.

Ejemplo

Hallar la inversa de la matriz A. ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3 21 4

A

Primero trabajamos con la columna 1.

2 133 2 1 0 3 2 1 01 4 0 1 0 10 1 3

F F−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 Sistema de ecuaciones lineales 2 Método matricial


Luego trabajamos con la columna 2.

1 253 2 1 0 15 0 6 30 10 1 3 0 10 1 3

F F−⎛ ⎞ ⎛ − ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Finalmente convertimos la matriz diagonal en unidad. 1 2

2 2

1151

10

6 31 015 0 6 3 15 150 10 1 3 1 3

0 110 10

F F

F F

=

=

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ − ⎞

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Por lo tanto:

1

6 315 15

1 315 15

A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Propiedades de las inversas

( )

( )( )

( ) ( )

− −

− −

−−

− −

− −

= =

=

=

=

=

1 1

1 1

11

1 1

1 1

1) La matriz inversa, si existe, es única.2) A . .3) A.B .

4)

15) k.A .

6) Att

A A A IB A

A A

Ak

A

Resolución matricial de un sistema Volvamos a la resolución de un sistema lineal de ecuaciones por el método matricial.

Ejemplo Resolver:

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

22 1

2 3

x x xx x x

x x x Verificar que la inversa de la matriz de coeficientes es:

Por lo tanto:

A 1−0.333

0.111

0.556

0.333

0.222−

0.111−

0

0.333

0.333−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=


25

0.333 0.333 0 2 10.111 0.222 0.333 1 10.556 0.111 0.333 3 2

X⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo Resolver el sistema.

2 32 3 4 45 6 15 4 2

x y z wy z wz wx y

+ + + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + =⎪⎪ − =⎩

¨

3 24 1 2 15

1 1 2 1 1 1 2 12 3 4 2 1 1

0 2 3 4 0 2 3 4| | 0 5 6 0 5 11

0 0 5 6 0 0 5 69 10 5 9 1 5

5 4 0 0 0 9 10 5

C CF F C CA

−− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎯⎯⎯→ = − ⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟− − ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠− − − −

1 32 3

20 0 122 16 11 132 304 172 019 6 5

C CC C

−−⎯⎯⎯→ − = − + = ≠

− −

Por lo tanto la matriz es regular. Calculemos la inversa.

1

152 68 20 4190 85 25 381

60 54 26 1217250 45 7 10

A−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

Así por ejemplo el valor 152 surge de: 2 3 40 5 6 4( 18 20) 4( 38) 1524 0 0

− = − − − = − − =−

y el valor -50 surge de: 0 2 30 0 5 5( 10) 505 4 0

= − = −−

Por lo tanto, la solución del sistema es:

1

3 172 14 129 3 / 411 86 1/ 21722 43 1/ 4

xy

Azw

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 Método de Gauss Se llama también método de reducción y equivale al método de sumas y restas que se estudia en el colegio secundario para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

3 Sistema de ecuaciones lineales 4 Método de Gauss-Jordán


Previamente se orla la matriz de coeficientes con la de términos independientes. Este método de Gauss aplicado a matrices es equivalente al método de Gauss para resolver un determinante, con la excepción del cálculo final. Recordemos:

Etapa I Dejar la F1, tomar el elemento a11 como pivote y obtener ceros en la C1 con ella (quedarán todos ceros excepto el pivote).

Etapas siguientes Luego repetir para cada fila tomando el elemento aii como pivote (diagonal principal) y obtener ceros debajo del pivote.

Final Luego de esta triangulación (superior), despejar las incógnitas desde la última ecuación a la primera.

Ejemplo Resolver:

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

22 1

2 3

x x xx x x

x x x

1 1 12 1 11 2 1

1 1 1 22 1 1 11 2 1 3

A

C

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 13 1 3 2

23

1 1 1 2 1 1 1 20 3 3 3 0 3 3 30 1 2 5 0 0 9 18

F FF F F F

−− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto:

3

2

1

18 293 3(2) 1

32 2(1) ( 1) 1

1

x

x

x

−= =

−− +

= = −−

− − −= =

4 Método de Gauss-Jordán Es complementario al método de Gauss solo que en lugar de triangular se busca diagonalizar, es decir obtener una matriz de coeficientes con ceros en todos los elementos con excepción de la diagonal principal. Para esto se completa el método de Gauss para obtener ceros en toda la columna de cada pivote y no solo debajo del pivote.


27

El procedimiento para sistematizar este proceso es el siguiente:

Etapa I Con pivote: a11 se hacen ceros los elementos de la columna 1.

Etapas siguientes Con pivote: a22 se hacen ceros los elementos de la columna 2 y así para el resto de las columnas.

Final Convertir la diagonal en unidad. El resultado del sistema será directamente el despeje de cada incógnita de la matriz diagonalizada, el cual aparecerá directamente en los términos independientes.

Ejemplo Resolver:

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

22 1

2 3

x x xx x x

x x x

1 1 12 1 11 2 1

1 1 1 22 1 1 11 2 1 3

A

C

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 1 3 23 1 2 31 2

2 333

1 1 1 2 3 0 0 3 3 0 0 30 3 3 3 0 3 3 3 0 9 0 90 1 2 5 0 0 9 18 0 0 9 18

F F F FF F F FF F

− +− −+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto:

3

2

3

3 139 1918 29

x

x

x

= =

= = −−−

= =−

Sistemas homogéneos En ellos la matriz B =0, por lo tanto:

0AX =

Solución Estos sistemas son siempre compatibles pues 0( ) ( )Rg A Rg A= .

3 Sistema de ecuaciones lineales Sistemas homogéneos


Compatible determinado El rango de la matriz es igual al orden del sistema ( | | 0A ≠ ) y solo existe la solución trivial de incógnitas igual a cero.

Compatible indeterminado Para tener soluciones distintas de la trivial, el rango de la matriz debe ser menor que el orden del sistema ( | | 0A = ), pues de esta forma se eliminará un número de filas igual a la diferencia entre estos números. Ese mismo número de variables puede pasar al segundo miembro quedando como variables independientes y por lo tanto generando infinitas soluciones.

Ejemplo 2 3 0

5 6 7 06 8 10 0

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

¨

Este sistema homogéneo es compatible indeterminado pues el determinante del sistema es cero al ser la última ecuación combinación lineal de las dos primeras (F3 = F1 +F2). Por lo tanto se puede suprimir y el sistema queda:

2 3 05 6 7 0x y zx y z+ + =⎧

⎨ + + =⎩

Expresando las soluciones en función de z: 2 3

5 6 7x y zx y z+ = −⎧

⎨ + = −⎩

Se observa entonces que existen infinitas soluciones, una para cada valor de z.

Aplicación Si un determinante es cero, entonces una fila es CL de las paralelas y una columna es CL de las paralelas. En el siguiente ejemplo se enseña cómo obtener los coeficientes de estas combinaciones lineales.

Ejemplo Obtener las CL de las filas y de las columnas del siguiente determinante nulo.

2 3 54 1 316 3 19

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Comprobar primero que este determinante es cero. Para determinar las CL se plantean los siguientes sistemas:

CL de columnas Planteamos la siguiente CL entre columnas para determinar a, b y c.

2 3 5 04 3 0

16 3 19 0

a b ca b c

a b c

− + + =⎧⎪ + − =⎨⎪− + + =⎩

¨

Es un sistema homogéneo. Como el determinante es cero el sistema es soluble indeterminado y se puede pasar al segundo miembro una variable, por ejemplo c. Si se resuelve el sistema de 2x2 y luego se fija, por ejemplo, c = –1, resulta: c = –1, a = –1, b = 1, lo cual equivale a la CL: C3 = –C1+C2.


29

CL de filas Planteamos la siguiente CL entre filas para determinar a, b y c.

2 4 16 03 3 0

16 3 19 0

a b ca b c

a b c

− + − =⎧⎪ + + =⎨⎪− + + =⎩

¨

Análogamente, resulta: c = –1, a = 2, b = –3, lo cual equivale a la CL: F3 = 2F1–3F2. Naturalmente existen infinitas CL, con solo multiplicar las anteriores por cualquier número arbitrario.

Problemas Sistemas homogéneos


Problemas 1 Matrices 1. Explicitar las siguientes matrices.

( )

) m=3, n=4 a 1 i 3 , 1 j 4

b) m=3, n=3 a 1 si i=j, a 0 si i j, 1 i 3 , 1 j 3

) m=4, n=2 a 1 , 1 i 4 , 1 j 2

) m=4, n=4 a 1 i 4 , 1 j 4

ij

ij ij

i jij

ij

a i j

c

d i j

+

= + ≤ ≤ ≤ ≤

= = ≠ ≤ ≤ ≤ ≤

= − ≤ ≤ ≤ ≤

= ⋅ ≤ ≤ ≤ ≤

2. Crear matrices de tal forma que cumplan las siguientes consignas.

}{}{

}{

3 31

3 32

4 43

44

) A / a , si i (matrices simétricas)

b) A / a , si i (matrices antisimétricas)

c) A / a 0 si i (matrices triangulares superiores)

d) A

j j

j

xij ji

xij ji

xij

a A a

A a

A

A

= ∈ = ≠

= ∈ = − ≠

= ∈ =

= ∈

>

}{}{

}{

4

4 45

4 46

/ a 0 si i (matrices triangulares inferiores)

e) A / a 0 si i (matrices diagonales)

f) A / a 0 si i a si i=j (matrices escalares)

j j j,

xij

xij

xij ij

A

A k

=

= ∈ = ≠

= ∈ = ≠ =

<

3. Dadas las matrices: 1 2 0 4 1 63 4 2 3 C 1 75 6 1 1 4 5

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hallar 3A–2B+5C R:

4. Hallar DA, D2, A3

1 1 3 12 4 2 2

2 1 2 11 1 1 0

1 1 1 32 1 2 1

1 2 3 1

D A

− −⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦

3A 2B− 5C+

8

18

37

28

41

45

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Problemas

31

R: D2 no se puede pues no es cuadrada.

5. Dadas las siguientes matrices probar que la propiedad cancelativa del producto no se cumple,

pues AB AC= , pero…. 1 3 2 1 4 1 0 2 1 1 22 1 3 B 2 1 1 1 C 3 2 1 14 3 1 1 2 1 2 2 5 1 0

A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. Con las matrices A,B y D demostrar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. 1 1 3 1 1 3 3 1

2 4 2 22 1 2 1 2 0 2 0

1 1 1 01 1 1 3 1 1 2 3

2 1 2 11 2 3 1 1 1 4 1

D A B

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R: ( )D A B DA DB+ = +

7. Dadas las matrices:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

65

43

21

11

3240

654321

xxxxxx

DBA

Hallar la matriz D de modo tal que: a) A+2B–D=0 (0 matriz nula) b) 2A+B+D=U (U= matriz con todos 1 del orden que crea conveniente) R:

2 Determinantes 8. Calcular los rangos de las siguientes matrices

A B=− −− −− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

2 4 2 21 1 1 02 1 2 1

1 1 3 12 1 2 11 1 1 31 2 3 1

R: Rg(A)=2, Rg(B)=4

D A⋅

10

2−

1

4

1−

1−

6−

6

9

6

3

8

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=A2

1−

3

7

3

3−

3

9

2

5−

13−

13−

13−

10−

6−

6

7−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= A3

22−

10−

18

13−

29−

19−

15

22−

34

10−

70−

5−

27−

45−

31−

47−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

D A⋅ D B⋅+

20

4−

2

10

3−

6−

32−

9

5

8

7

15

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

A 2B+

1

1−

3

10

10

4

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= I 2A− B−

1−

3−

8−

7−

10−

10−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=



9. Calcular los siguientes determinantes por 3 métodos distintos. 1 1 2 4

3 1 0 1 1 3) )

1 1 2 1 1 03 4 2 1

i A iii C

−−

= =−

−

1 1 2 12 4 3

0 3 2 1) 1 3 1 )

1 4 2 14 1 2

3 1 3 2

ii B iv D

−−

= − =

R:

3 Sistemas de ecuaciones lineales 10. Calcular, si existen, las matrices inversas de las dadas por 3 métodos distintos.

2 3 41 2

) ) 1 0 26 3

0 5 6

0 1 3 12 3 5

8 5 0 3) 1 0 1 )

6 4 1 22 1 0

1 9 2 0

1 7 3 2 4 0 0 00 2 2 1 9 3 0 0

) )0 0 3 7 4 6 2 00 0 0 4 1 2 5 1

a A b B

c C d D

e E f F

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R:

A 4= B 5−= C 135−= D 57=

A 1− 0.2−

0.6

0.133

0.067−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=B 1−

0.556

0.333−

0.278

0.111−

0.667

0.556−

0.333−

0

0.167−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= C 1−0.111−

0.222

0.111

0.556

1.111−

0.444

0.333

0.333

0.333−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

D 1−

0.986

0.014−

0.556

2.653

0.931

0.069−

0.778

2.264

0.903

0.097−

0.889

2.569

1.028−

0.028−

0.889−

2.694−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= E 1−

1

0

0

0

3.5−

0.5

0

0

3.333−

0.333

0.333

0

6.208

0.708−

0.583−

0.25

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

F 1−

0.25−

0.75−

2.75−

15.5

0

0.333−

1−

5.667

0

0

0.5−

2.5

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

Problemas

33

11. Resolver los siguientes sistemas por cuatro métodos distintos. - 2 7 2 4 - 2 -3

) 3 8 ) 3 8 ) -2 3 4 - 4 15 7 8 2 - 4

x y z x y z x ya x y z b x y z c x y z

x y z y z x y z

+ = + + = =⎧ ⎛ ⎧⎪ ⎜+ + = + + = + + =⎨ ⎨⎜⎪ ⎜+ = + = + =⎩ ⎝

⎪

⎪⎩

R: a) (x, y z) = (2, -1, 3), b) (4, –6, 2), c) (1, 2, 0)

12. Resolver los siguientes sistemas por cuatro métodos distintos. 3 - 2 12 - - 2 3 20

) - - - 2 - 4 ) 2 3 - 5 -31 2 - 2 8 - 4 - 7 -1

x y z x y za x y z b x y z

x y x y z

+ = + =⎧ ⎧⎪ ⎪= + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

4 - 4 2 - 3 ) - 4 1 ) - 2 - 3

2 - 7 3 4 - 5 - 9

x y z x y zc x y z d x y z

x y z x y z

+ = + =⎧ ⎧⎪ ⎪+ = =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

R; a) (x, y, z) = (2,-2, 2), b) (5,-2, 7), c) Rg(A)=2, Rg(A0)=3 Incompatible d) Rg(A)=2, Rg(A0)=2 Compatible Indeterminado.

13. Crear un determinante de 3° orden cero por CL entre las filas y obtener la CL que existe entre las columnas. Idem creando el determinante nulo por CL entre las columnas y obtener la CL que existe entre las filas.

Problemas verbales 14. La suma de las edades de dos hermanos está en relación 5 a 1 con la diferencia entre las

mismas. ¿Cuál es la edad del mayor si el menor tiene 8 años? R: 12 años

15. Si las edades del padre y de la madre están entre sí como 8 es a 7, ¿cuál es la edad de cada uno si se llevan 5 años? ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán entre sí como 9 es a 8? ¿A qué edad se casaron si en ese momento sus edades estaban en relación 10 a 8? R: a) 35 años y 40 años, b) 5 años, c) 25 años y 30 años.

16. Descomponer el número 500 en dos partes, de manera que al dividir la mayor por la menor se obtenga de cociente 7 y de resto 20. R: Q = 60, P = 440.

17. Si el ancho de un rectángulo mide dos centímetros más que su longitud y su perímetro es de 40 cm ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? R: Largo = 9 cm, ancho = 11 cm.

18. Una señora va al mercado y compra 5 Kg de café y 10 Kg de manzana. Gasta en total 250 $. Si hubiera comprado el doble de café y la mitad de manzana, habría gastado 425 $. ¿Cuánto dinero gastaría si quisiera comprar 4 Kg de café y 20 de manzana? R: R: 260 $

19. Un padre quiere estimular a su hijo para que aprenda Matemáticas. Para eso, promete darle 3 $ por cada ejercicio bien resuelto, pero le avisa que por cada ejercicio mal resuelto le va a descontar 2 $. El hijo resuelve 26 ejercicios, y ha ganado 38 $. ¿Cuántos ejercicios hizo bien y cuantos mal? R. Mal = 8, Bien= 18.

20. Desde un molino de aceite, se quiere enviarlo en camiones cisterna a un almacén. Los encargados del almacén piden que los camiones lleguen exactamente a las 5 de la tarde. Si los camiones viajan a 80 km/h, llegarían al almacén con una hora de adelanto, en tanto que si viajaran a 60 km/h, llegarían con una hora de retraso. ¿Cuál es la distancia entre el molino y el



almacén? R: 480 km.

21. Un comerciante compra dos relojes por 160 $ y los vende a 170 $. Calcula cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primer ganó el 20 % y en la del segundo perdió un 5 %. R: 72$ y 88$

22. Juan coloca 100.000 de ahorros en un plazo fijo. Coloca una parte de ese capital a un interés anual del 8 %, en tanto que el resto se coloca a un capital del 12% anual. La segunda parte produce anualmente 2000 $ más que la primera. Hallar cuánto dinero habrá obtenido al cabo de 5 años. R. 161583$

23. Un joyero fabrica anillos de oro. Para eso trabaja con dos aleaciones de oro. La aleación A contiene un 80 % de oro, en tanto que la aleación B contiene un 55 % de oro. El joyero quiere fabricar 200 anillos de 20 g cada uno, que contengan un 70 % de oro. ¿Qué cantidad de material de cada aleación tendrá que usar? R: A = 12g, B = 8g

24. Una lechería vende leche entera, semidesnatada y desnatada a 1, 1.2 y 1.5 $/litro, respectivamente. Cierto día vendió 50 litros más de leche entera que de desnatada, y si hubiese vendido 5 litros más de leche desnatada, entonces el número de litros vendidos de leche desnatada sería cuatro veces el de leche semidesnatada vendida. Sabiendo que los ingresos totales obtenidos en dicho día fueron de $261.50. ¿Cuántos litros de cada tipo de leche vendió? R: E: 125 lts, S: 20 lts, D: 75 lts.

25. Se quieren obtener 10 Kg de un alimento balanceado para una granja formado por maíz, arroz y trigo; cuyos precios son 2, 4 y 2.5 $/Kg respectivamente. Hallar la cantidad de cada materia que ha de formar el alimento, sabiendo que el precio resultante ha de ser de 3 $/Kg y que la cantidad de arroz ha de ser el doble que la de trigo más 3 Kg. R. M: 4.33, A: 4.78. T: 0.89

Capítulo1 Matrices y Determinantes 3 - aprehender.net · Cada elemento de la matriz producto es la...

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