Geometría Plana

Tutor: Dr. Antonio Meneses F.

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UNIDAD 1

SEGMENTOS

PROPORCIONALIDAD

RAZÓN.- La mayor parte de las ideas que se expresan en la actualidad, están basadas en la

comunicación de números y cantidades. Cuando se dice distancia de Quito a Guayaquil es

de 550 Km., se está comparando con una unidad llamada Kilometro.

DEFINICIÓN.- La razón es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad

semejante, el resultado es un número abstracto, es decir no tiene unidades.

Es importante hacer notar que una razón es un cociente entre cantidades semejantes,

porque no tendrían significado encontrar la razón de la medida de un segmento a la de un

ángulo.

Una razón es una fracción, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una fracción

se aplican a las razones.

REPRESENTACION.-

Para representar la razón 15 a 4, se lo hace , 15/4, 15÷4

El 15 y el 4 se denominan TERMINOS de la razón.

PROPORCIÓN.-

Es la igualdad de dos razones. Si dos razones tienen el mismo valor, las razones pueden

igualarse como una proporción, ejemplo: 4

12= 12

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Si tres o más razones son iguales, se tiene una serie de razones iguales.

REPESENTACIÓN.-

Si las razones ab

yd son iguales, la proporción puede representarse como:

ab

=d; a ÷ b = c ÷ d

SEGMENTO (AB).- es una parte de la recta real

SEGMENTO UNITARIO

Es un segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos.

LONGITUD DE UN SEGMENTO (AB)

La longitud de un segmento representa las veces que está contenido el segmento unitario

en el segmento.

OPERACIONES CON SEGMENTOS.

SUMA DE SEGMENTOS

Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la suma de las longitudes de los

segmentos dados.

Gráficamente, el segmento que representa la suma se obtiene ubicando

consecutivamente en una misma recta los segmentos dados.

a

b

c

a b c P Q

PQ = a + b + c

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RESTA DE SEGMENTOS

Restar de un segmento otro menor, consiste en encontrar un tercer segmento tal que:

sumado al segundo de por resultado el primero.

Gráficamente, se ubican los dos segmentos en un mismo rayo, de modo que el

origen del rayo sea extremo común de los dos segmentos. El segmento determinado por los

otros dos extremos dados, es el segmento diferencia.

MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO

Consiste en encontrar un segmento de longitud al producto de la longitud del segmento

dado por el número.

Gráficamente, el segmento que representa el producto, se obtiene sumando el

segmento dado tantas veces como indique el número.

A B B A

C D C D

DB = AB - CD

a a a a a a P Q

PQ = 5a

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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO

Es el segmento tal que multiplicado por el número nos da el segmento dado.

Gráficamente, el segmento dado se debe dividir en tantas partes iguales como indica

el número. Cualquiera de las partes iguales es el segmento buscado.

EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

H) AB = BC T) =? Resp.:

a A B

a/5 a/5 a/5 a/5 a/5 A B

A P B M H) AM = MB

T) PM = PA+PB 2 2

A B M P H) AM = MB

T) PM = PB - PA 2 2

A B C

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4.-

H) BC = AC T) =? Resp.:

5.- Dados los puntos colineales A, B y C. Si las longitudes AB y BC son proporcionales a

lo números 9 y 5 respectivamente y AC = 50 u., calcular AB. Resp. 324.

6.- Dados los puntos colineales A,B,C y D . Si AC = CD y BD – AB = 40. Calcular BC.

Resp. 20

7.-

8.-

9.-

H) CD = 2 AB T) BF = CE

DE = 2 EF

A B C

A B C D H) CD = 2 AB

T) AB = BD - AC

A B C D H) AB = BC CD = 2 AC AM = MD

T) AM = AB + AC

M

A B C D E F

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10.- Dados los puntos colineales A,R,P,C y D tales que: AP = PD, AR = PC Y RC = 20.

Calcular AD. Resp. 40 u.

11.-

AD = 11

12.- Si en gráfico: CD = 2AB, BD = 14 y BC = 2 . Encontrar el valor de AC.

13.- Dados los puntos colineales A, B, C y D. Si AD = 24, CD = 8 y = .

Calcular BC. Resp 4 u

14.- Dados los puntos colineales consecutivos Q, A, B, y P tales que: QB y AP están n la

Razón 4/5, QA = 20 m, y BP = 40 m. Encontrar AB. Resp 60m.

15.-

H) AB = = = T) BC = ? Resp. 8 u

DE − CD = 4

16.- Dados los puntos colineales A, B, C, D, E, y F. Si AB = BD, BC = CE, DE = EF y

BD - EF = 6. Calcular CD. Resp. 8/3.

A B C D

H) AC + BD = 14 T) BC = ? Resp. 3 u

A B C D Resp. 3 u

A B C D E

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17.- Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si BC = 3AB , = y = .

Encontrar Resp. 8/3.

18.- Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si = , DE – AB = 6, AE = 40 y

BD=10. Calcular CD. Resp. 7 u.

19.-

H) = T) AP = ?

PB = 3.420 u. Resp. 2.220 u

BQ = 16.074 u

20.-

H) = T) AQ = ?

AB = 792 u. Resp. 142,31 u

PQ = 247 u

21.-

H) = T) AB = ?

PB x BQ = 28 u. Resp. 8 u

BQ - PB = 7 u

Q A P B

Q A P B

A P B Q

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8

22.-

H) = T) AB = ?

AQ - BP = 25 u. Resp. 20 u

AQ - AB = 10 u

23.-

H) = T) AB = ?

QP = 10 u. Resp. 7,5 u

AQ = 15 u

24.-

H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?

AP=PQ = 20 u Resp. 6,6 u

25.-

H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?

AP=BQ = 8 u Resp. 3,3 u

A P B Q

A P B Q

A P B Q

A P B Q

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26.-

H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?

AQ=AB = 15 u Resp. 10 u

27.- En una recta se toman los puntos A, B, C y D de manera que: = y

+ = 0,125 u . Hallar BC. Resp. 8 u.

28.-En una recta se toman los puntos A, B, C, D, E, …………, sabiendo que AB = 0,1 u.,

BC = 0,02 u., CD = 0,003 u., ……………., Calcular la longitud del segmento que es la

suma de los segmentos dados. Resp: 10/81 u

29.-

H) AP x BQ = PB x AQ T) AB = ?

+ = Resp. 5 u

30.-

H)

= + T) AB2 = BC x BD

Q A P B

Q A P B

A B C D

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31.-

H) BC = AC T) BD =

32.-

H)

= T) AD = EB

33.-

H)

= T) PR = QS

34.-

H) AB = BC T) BE =

DE = EF

35.-

H) AB = BC = CD T) PB =

A B C D

A B C D E

P Q R S

A B C D E F

A P B C D

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36.-

H) BC = CD T) AC = AB x AD +

37.- En una recta se ubican los puntos colinales A, B, C, D, E y F. Si AB = BC; CE = EF; y

AD = DF, demostrar que: CD = EF – BC.

38.-

H)

= T) AC2 – CE2 = BC x DE – AB x CD

39.-

H) AB = BD T) BE =

CE = EF

40.-

H) BM = MC T) AB + AC = 2(AM + BM )

A C B D

A B C D E

A C B D E F

A M B C