capitulo_2

Capıtulo 2

Ecuaciones de conservacion

El objetivo de este capıtulo es re-derivar las ecuaciones de balance fısico,

ampliamente conocidas, para el caso de un material que fluye.

Antes de proceder con las derivaciones se dara un breve repaso a algunos

conceptos basicos de cinematica.

2.1. Cinematica

Punto Lugar en el espacio.

Partıcula Elemento volumetrico infinitesimal parte del medio continuo.

Configuracion Identificacion de las partıculas de un medio continuo con los

puntos en el espacio que ocupan en un tiempo t referidos a un sistema

de ejes coordenados.

Deformacion Cambio de forma de un medio continuo entre una configu-

racion inicial (no deformada) y una configuracion final (deformada).

Flujo Cambio continuo de la configuracion de un medio continuo.

MMFM:kinematics:kinematics of point and fluid particles

11

12 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

El movimiento de un medio continuo puede describirse en funcion de

coordenadas materiales (descripcion Lagrangiana)

xi = xi(X1, X2, X3, t) o ~x = ~x( ~X, t)

o en funcion de coordenadas espaciales (descripcion Euleriana)

Xi = Xi(x1, x2, x3, t) o ~X = ~X(~x, t)

Descripcion Lagrangiana Atencion fija sobre una partıcula especıfica del

fluido.

Descripcion Euleriana Atencion fija sobre un punto en el espacio

Cualquier propiedad fısica puede describirse como funcion de coordenadas

materiales o espaciales. Por ejemplo:

ρ = ρ( ~X, t) = ρ( ~X(~x, t) = ρ∗(~x, t)

MMFM:kinematics:fields particles and reference frames

2.1.1. Derivada material

La razon de cambio temporal cualquier propiedad en un medio continuo

con respecto a partıculas especıficas del MC en movimiento se llama derivada

material de esa propiedad.

La derivada material puede interpretarse como la tasa de cambio temporal

que un observador medirıa viajando con una partıcula especıfica.

MMFM:kinematics:material derivative

La posicion instantanea xi de una partıcula es en si una propiedad de la

partıcula. La derivada material de la posicion es la velocidad instantanea de

la partıcula.

vi =d

dtxi = xi o ~v =

d~x

dt= ~x

2.1. CINEMATICA 13

En general si Pij es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un MC

que pueda ser expresada como una funcion puntual de coordenadas (descrip-

cion lagrangiana):

Pij = Pij(X, t)

entonces la derivada material de dicha propiedad sera

DPij

Dt=

∂Pij(X, t)

∂t1 Notese que las coordenadas X se mantiene fijas.

Si la propiedad Pij se expresa en funcion de las coordenadas (x) entonces

la derivada material estara dada por:

DPij(x, t)

Dt=

cambio temporal︷︸︸︷

∂Pij(x, t)

∂t+

cambio convectivo︷︸︸︷

∂Pij(x, t)

∂xk

dxkdt

Mas aun podemos escribir

DPij(x, t)

Dt=

∂Pij(x, t)

∂t+ vk

∂∂Pij(x, t)

∂xk

Ası podemos definir un operador derivada material :

D

Dt=

∂

∂t+ vk

∂

∂xko

D

Dt=

∂

∂t+ ~v · ∇X

Ejemplo:

Encontrar la razon de cambio de la temperatura.

Sabemos que T (z, t) y buscamos la tasa de cambio temporal:

DT

Dt=

∂T

∂t+ ~v · ∇T

Para este problema T 6= T (t) solo T = T (z). Tambien sabemos que es

una caıda puramente vertical: ~v = (0, 0, w). Entonces,

DT

Dt=

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y+ w

∂T

∂z

1Para la derivada material adoptaremos la notacion D

Dt.


10 Km/hr 3000 m

T

z

T= To - k z

k=0.005 o C/m

entoncesDT

Dt= w

∂T

∂z= w(−κ)

Finalmente

DT

Dt= (2,77m/s)(−0,005) = 0,014oC/s

2.1.2. Velocidad y aceleracion

Sabiendo que vi = DxiDt y que xi = ui + Xi, donde ui es el desplaza-

miento, podemos definir al vector velocidad como:

vi ≡DxiDt

=DuiDt

puesto que Xi es independiente del tiempo. Si el desplazamiento esta dado

en funcion de las coordenadas Lagrangianas, i.e., ui = ui(X, t), entonces

tenemos

vi = ui =Dui(X, t)

Dt=

∂ui(X, t)

∂t

2.1. CINEMATICA 15

Si por otro lado el desplazamiento esta dado en terminos de las coorde-

nadas eulerianas, ui = ui(x, t), entonces tenemos

vi = ui =Dui(x, t)

Dt=

∂ui(x, t)

∂t+ vk(x, t)

∂ui(x, t)

∂xk

o en forma vectorial

v(x, t) = v(x, t) · ∇Xu(x, t)

Notese que aquı la velocidad esta dada en forma implıcita.

La funcion vi = vi(x, t) nos da el campo de velocidades instantaneo.

La derivada material de la velocidad es la aceleracion. Si la velocidad esta

dada en coordenadas lagrangianas entonces

ai ≡ vi ≡Dvi(X, t)

Dt=

∂vi(X, t)

∂t

Si por el contrario la velocidad esta dada en terminos de coordenadas

eulerianas, entonces tenemos

ai ≡ vi ≡Dvi(x, t)

Dt=

∂vi(x, t)

∂t+ vk(x, t)

∂vi(x, t)

∂xk

2.1.3. Campo de esfuerzos

Los esfuerzos en un continuo son el resultado de la accion de fuerzas sobre

algun elemento superficial del fluido.

El concepto de esfuerzo es una forma de describir la manera en que las

fuerzas que actuan sobre las fronteras se transmiten a traves del medio.

Tanto la fuerza como el area son cantidades vectoriales. Por lo tanto, si el

esfuerzo es la relacion entre fuerza y area entonces el esfuerzo es una cantidad

tensorial. Esto quiere decir que se necesitan 9 cantidades para conocer el

estado de esfuerzos en un punto.


Fuerzas de Superficie y Fuerzas de Volumen

Podemos considerar dos tipos de fuerzas que actuan sobre un volumen

dado.

Fuerzas volumetricas. Actuan sobre cada elemento del volumen (sin

contacto fısico). Ejemplos de este tipo de fuerzas son la fuerza grav-

itacional, electromagnetica, etc. En general, se considera que para un

elemento diferencial de volumen la fuerza es

ρ−→f V

Fuerza de superficie. Actuan sobre la superficie S del volumen por

contacto directo. La fuerza superficial en un elemento diferencial de

superficie se puede calcular del producto del esfuerzo y el area.

Esfuerzo en un punto

Consideremos el siguiente esquema: Sobre el elemento de area d~S en un

d S

d F

punto C actua una fuerza d ~F . La magnitud de d~S es el area del elemento;

su direccion es la del vector normal a la superficie en ese punto.

2.1. CINEMATICA 17

Si definimos el esfuerzo como

Esfuerzo = T = lım|dS|→0

d~F

d~S

Note que la operacion cociente de dos vectores no esta definida para

campos vectoriales. Analicemos esta operacion.

El vector d~S es:

d~S = idSx + jdSy + kdSz.

En otras palabras, dSx es la componente x de d~S, etc. De la misma manera,

el vector fuerza es

d~F = iFx + jFy + kFz.

Entonces, para definir el esfuerzo en el punto CV debemos considerar que

cada una de las componentes Fx, Fy, Fz puede actuar sobre las cada una de

las componentes dSx, dSy, dSz. Por lo tanto, para lograr describir el estado

de esfuerzos en un punto se deben considerar nueve posibilidades:

dFx/dSx dFx/dSy dFx/dSz

dFy/dSx dFy/dSy dFy/dSz

dFz/dSx dFz/dSy dFz/dSz

Ası, definimos al esfuerzo, utilizando notacion indicial como:

Tij = lım|dSi|→0

dFi

dSj

Entonces,

Σ = σij =

σxx τxy τxz

τyx σyy τyz

τzx τzy σzz

Por ejemplo, τxy representa al fuerza en la direccion y que actua sobre el

plano x.

Los esfuerzos normales se denotan con σ y los esfuerzos con τ .

Por lo tanto, la fuerza de superficie sobre un elemento diferencial de area

de S se puede escribir como:

σ · ~ndS


2.2. Leyes de conservacion

2.2.1. Conservacion de masa

Consideremos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la

figura

V

S

dS

El elemento diferencial de area es d~S = ~nds

V

n

Consideremos:

la componente de ~v que acarrea material a traves de la superficie es

~v · ~n.

el flujo de masa a traves de un elemento infinitesimal de superficie dS

(hacia fuera) es

ρ~v · ~ndS

2.2. LEYES DE CONSERVACION 19

el flujo total de masa a traves de toda la superficie S es∫

S

ρ~v · ~ndS

Consideremos

para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es∫

V

ρdV

la razon de cambio de masa en V es

D

Dt

∫

V

ρdV =∂

∂t

∫

V

ρdV =

∫

V

∂ρ

∂tdV

La razon de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al

flujo neto de masa a traves de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros

dentro de V ). Por lo tanto:

∫

V

∂

∂tρdV = −

∫

S

ρ~v · ~ndS

Esta es la ecuacion de conservacion de masa en forma integral. Para con-

vertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia:∫

S

ρ~v · ~ndS =

∫

V

∇ · (ρ~v)dV

El teorema de la divergencia permite transformar a una integral de su-

perficie en una integral de volumen.

Por lo tanto podemos escribir la ecuacion de conservacion de masa en

forma integral de la siguiente manera∫

V

∂

∂tρdV +

∫

V

∇ · (ρ~v)dV = 0

∫

V

(∂

∂tρ+∇ · (ρ~v)

)

dV = 0


Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la unica posi-

bilidad es que el integrando sea cero:

(∂

∂tρ+∇ · (ρ~v)

)

dV = 0

Podemos simplificar la ecuacion anterior si consideramos que

∇ · (ρ~v) = ρ∇ · ~v + ~v · ∇ρ

entonces tenemos∂ρ

∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ∇ · ~v = 0.

y recordando la definicion del operador derivada material,

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~v = 0 (2.1)

que es la ecuacion de conservacion de masa en forma diferencial.

Esta ecuacion escrita en forma explıcita, en coordenadas rectangulares,

para ~v = (u, v, w), es:

∂ρ

∂t+

(

u∂ρ

∂x+ y

∂ρ

∂y+ w

∂ρ

∂z

)

+ ρ

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

= 0

Caso especial: Fluido incompresible

SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ 6=

ρ(x, t)) entonces∂ρ

∂t= 0

y

∇ρ = i∂ρ

∂x+ j

∂ρ

∂y+ k

∂ρ

∂z= 0

2

2Esto implica que Dρ/DT = 0.


La ecuacion de conservacion de masa se reduce a ρ∇ · ~v = 0, y por lo

tanto

∇ · ~v = 0 (2.2)

es la ecuacion de conservacion de masa para un fluido incompresible.

En forma explıcita esta ecuacion es:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

Derivacion de la ecuacion de conservacion de masa, metodo alter-

nativo

Consideremos un paralelepıpedo de volumen infinitesimal dxdydz: que

� � ��

� � ��

V

dx

dz

dy

2

1

V =(u,v,w)

esta fijo en un flujo ~v.

el flujo a traves de 1 es

ρudydz

el flujo a traves de 2 es

ρu+

Exp. serie Taylor︷︸︸︷

∂

∂x(ρu)dx

dydz


el flujo neto a traves de 1 y 2 es:

+ (ρu) dydz −

(

ρu+∂

∂x(ρu)dx

)

dydz = −∂(ρu)

∂xdxdydz

de manera analoga, el flujo entre 3 y 4 es

= −∂(ρv)

∂ydxdydz

y el flujo entre 5 y 6 es

= −∂(ρw)

∂zdxdydz

Por lo tanto el flujo neto a traves del volumen dxdydz es:

=

(

−∂(ρu)

∂x−

∂(ρv)

∂y−

∂(ρw)

∂z

)

dxdydz

Ahora consideremos

la masa total dentro de dxdydz:

ρdxdydz

la tasa de cambio de masa dentro del volumen es∂

∂t(ρdxdydz)

La masa dentro del volumen solo puede cambiar como resultado del flujo,

entonces:

−

(∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y+

∂(ρw)

∂z

)

dxdydz =∂

∂t(ρdxdydz)

Simplificando tenemos:

∂ρ

∂t+

(∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y+

∂(ρw)

∂z

)

que se puede escribir como

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0

que, finalmente, se puede reescribir como:

Dρ

Dt+ ρ∇ · ~v = 0


2.2.2. Ecuacion de conservacion de momentum lineal

Debemos re-expresar la Segunda Ley de Newton para un fluido (medio

continuo):

Fuerza total sobre un cuerpo = Rapidez de cambio de momentum

Consideremos, de nuevo, un volumen Euleriano fijo suspendido en un flujo

cualquiera.

V

S

dS

Las fuerzas en un fluido son:

~Ftotal = ~Fs + ~Fv

donde ~Fs son las fuerzas de superficie y ~Fv son las fuerzas de volumen.

Cada una se puede definir como:

~Fv =

∫

V

ρ~fdV

donde ρ es la densidad y ~f es un campo de fuerzas (magneticas, gravita-

cionales, etc). Ademas:

~Fs =

∫

S

Σ · ~ndS

donde Σ es el tensor de esfuerzos.

Consideremos:


flujo de momentum a traves de un elemento diferencial de area:

~vρ~v · ~ndS

flujo total de momentum a traves de toda la superficie S

∫

S

(~vρ)~v · ~ndS

el momentum total contenido en V es∫

V

~vρdV

la razon de cambio de momentum en V es

D

Dt

∫

V

(~vρ)dV =∂

∂t

∫

V

(~vρ)dV =

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

el cambio total de momentum en V esta dado por el flujo a traves de

S mas la razon de cambio de momentum dentro de V :∫

S

(~vρ)~v · ~ndS +

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como:

∫

V

ρ~fdV +

∫

S

Σ · ~ndS =

∫

S

(~vρ)~v · ~ndS +

∫

V

∂

∂t(~vρ) dV

que es la ecuacion de conservacion de momentum lineal en forma integral.

Utilizando, de nuevo, el teorema de la divergencia podemos realizar la

siguientes transformaciones:

∫

S

Σ · ~ndS =

∫

V

∇ ·ΣdV


y ∫

S

(~vρ)~v · ~ndS =

∫

V

∇ · ((~vρ)~v)dV

A esta ultima integral la podemos expandir sabiendo que

∇ · ((~vρ)~v) = (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)

Entonces podemos escribir la ecuacion de conservacion de momentum

como:∫

V

(

ρ~f +∇ ·Σ−∂

∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ))

)

dV = 0

Una vez mas, para que esto sea cierto, independientemente de la eleccion

de V , el integrando debe ser cero:

ρ~f +∇ ·Σ−∂

∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)) = 0

Podemos expandir el termino ∂∂t(~vρ):

∂

∂t(~vρ) = ρ

∂~v

∂t+ ~v

∂ρ

∂t

Entonces,

ρ~f +∇ ·Σ = ρ∂~v

∂t+ ~v

∂ρ

∂t+ (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)

Podemos reeagrupar algunos terminos tal que:

ρ~f +∇ ·Σ = ρ

(∂~v

∂t+ ~v∇ · ~v

)

+ ~v

(∂ρ

∂t+∇ · (~vρ)

)

Del ultimo termino de esta expresion, la cantidad dentro del parentesis

es exactamente igual a la ecuacion de conservacion de masa (Ecuacion 2.1),

y por lo tanto es igual a cero.

La cantidad dentro del parentesis del penultimo termino puede escribirse

de manera compactar usando la definicion de la derivada material.

Por lo tanto podemos escribir:


ρ~f +∇ ·Σ = ρD~v

Dt(2.3)

Esta es la ecuacion de conservacion de momentum en forma diferencial.

2.3. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 27

2.3. Ecuaciones de Navier Stokes

Si sustituimos la relacion constitutiva (Ecuacion ??) en la ecuacion de

conservacion de momentum lineal (Ecuacion 2.3) tenemos:

ρD~v

Dt= ρ~f +∇ · (−P I+ λI(trD) + 2µD)

Sabemos que D es

Dij =1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)

o en notacion vectorial

D =1

2(~v∇+∇~v)

entonces la ecuacion de conservacion de momentum se puede escribir como:

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v (2.4)

o en notacion indicial

ρDviDt

= ρfi −∂P

∂xi+ (λ+ µ)

∂

∂xj

(∂vj∂xi

)

+ µ∂2vi

∂xj∂xj

Estas ecuaciones (es una ecuacion vectorial, tres componentes) se conocen

como las ecuaciones de Navier-Stokes.

Escribiendo las ecuaciones de N-S en forma explıcita para cada direccion


coordenada, considerando coordenadas rectangulares y ~v = (u, v, w), tenemos

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

= −∂P

∂x+ (λ+ µ)

∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

+µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

+ ρgx;

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

= −∂P

∂y+ (λ+ µ)

∂

∂y

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

+µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

+ ρgy;

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

= −∂P

∂z+ (λ+ µ)

∂

∂z

(∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

)

+µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)

+ ρgz.

2.3.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible

Para un flujo incompresible la ecuacion de conservacion de masa se reduce

a ∇ · ~v = 0. En la ecuacion de conservacion de momentum (Ecuacion 2.4),

el esfuerzo viscoso extensional contiene un factor de ∇ · ~v, que puede ser

eliminado. Por lo tanto las ecuaciones de N-S para un flujo incompresible se

reducen a

ρD~v

Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (2.5)

En forma explıcita, para coordenadas rectangulares, estas se escriben co-

mo:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

= −∂P

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

+ ρgx;

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

= −∂P

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

+ ρgy;

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

= −∂P

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)

+ ρgz.

MMFM:dynamics:Navier Stokes equations

capitulo_2

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