Capq- Teoria Tema 6

7/26/2019 Capq- Teoria Tema 6

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Ingeniera Qumica Clculo Avanzado de Procesos Qumicos. TEMA 6 4 curso.

Departamento de Ingeniera Qumica y Qumica Inorgnica U.C. 1

TEMA 6:

TRANSPORTE EN ESTADO ESTACIONARIO (II):

PROBLEMAS ODE-BVP NO LINEALES Y SISTEMAS DE

ODE-BVP

1. PROBLEMAS ODE-BVP NO LINEALES.

2. SISTEMAS DE ECUACIONES ODE-BVP.

3. RESOLUCIN DE PROBLEMAS ODE-BVP NO LINEALES:

3.1. Aplicacin del mtodo de disparo a ecuaciones BVP no lineales.

3.2. Aplicacin del mtodo de diferencias fini tas a ecuaciones BVP no lineales.

4. RESOLUCIN DE SISTEMAS ODE-BVP:

4.1. Aplicacin del mtodo de disparo a sistemas de ecuaciones BVP.

4.2. Aplicacin del mtodo de diferencias fini tas a sistemas de ecuaciones BVP.

5. PROGRAMAS COMERCIALES.

6. BIBLIOGRAFA RECOMENDADA.

As ignatura: Clculo Avanzado de Procesos Qumicos.

Titulacin: Ingeniera Qumica

Curso: Cuarto

Cuatrimestre: Primero


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1. PROBLEMAS ODE-BVP NO LINEALES

Las ecuaciones ODE de 2 orden no lineales contienen:

a) productos entre la variable dependiente y sus derivadas: y*y, y*y, y*y

b) potencias de la variable dependiente o de sus derivadas. y2, y2, y2

Algunos ejemplos prcticos de Ingeniera Qumica se muestran a continuacin:

Transporte de cantidad de movimiento con fluidos no newtonianos:

rL

Pr

dr

drz

con

0dr

dv0r

0 vRr

z

z

siendo

2

1n2

10

t1

que tras definir una serie de variables adimensionales y realizar una serie de clculos da

lugar a la siguiente ecuacin diferencial no lineal:

Distancia adimensional: R/r

Velocidad adimensional: *z v/v (siendo

0

2*

LRPv

)

22

2

2/n12

2

2

2

d

d1

d

dn1

1

d

d1

d

d1

d

d con R/vt

*1


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Modelado de procesos de difusin y reaccin para cinticas no lineales.

)r(dr

dCr

dr

d

r

1D A

A2

2A

con (-ra) no lineal.

La no linealidad de una ecuacin diferencial implica habitualmente una mayor dificultad en suresolucin, tanto cuando se utilizan tcnicas analticas como numricas.

2. SISTEMAS ODE-BVP.

Consideremos un reactor tubular de lecho fijo en estado estacionario en el que el fenmeno

de mezcla o dispersin axial es significativo. El balance de materia y energa (si no esisotermo) se expresar:

0rHTTr

2dz

dTCu

dz

Td

0rdz

dCu

dz

CdD

abwi

pgs2

2

ea

abs2

2

ea

donde: Dea= difusividad efectiva en direccin axial basada en la velocidad de flujo superficial.

ea conductividad trmica axial efectiva del lecho + gas.

Un reactor de este tipo est sujeto a unas condiciones generales de la forma:

En z=0

dz

dTTTCu

dz

dCDccu

ea0pgs

ea0s

la conveccin fuera del reactor = conveccin +

difusin a la entrada del reactor.

En z=L

0dz

dT

0dz

dC

La reaccin finaliza al salir del reactor.


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Ya hemos comentado que los fenmenos que introducen las derivadas de 2 orden en los

balances son la transmisin de energa a travs de la longitud del reactor2

2

dz

Td y la

dispersin de materia a lo largo del reactor2

2

dz

Cd.

As mismo, estos fenmenos generan problemas con condiciones lmite definidas en ms deun punto del intervalo de integracin; este tipo de condiciones lmite se conoce comocondiciones frontera y dan lugar a los problemas denominados ODE-BVP. En este ejemplo,resolver el problema implica encontrar DOS perfiles a lo largo de la direccin axial: el de laconcentracin y el de la temperatura. Es decir, tenemos que resolver dos ecuacionesacopladas. Esto dificulta ms el problema BVP tanto si aplicamos mtodos de disparo comode diferencias finitas y requiere el uso de subrutinas de clculo mucho ms potentes.

En la prctica podemos encontrarnos con sistemas de ecuaciones de diferente orden; as, enel ejemplo anterior, la dispersin axial del balance de materia es un trmino importante perola dispersin axial de la temperatura es un trmino con escaso significado fsico por lo que unbalance ms realista tendra la forma:

0rHTTr2dz

dT

Cu

0rdz

dCu

dz

CdD

abw

i

pgs

abs2

2

ea

con las condiciones:

z=0

T0T(0)

dz

dCDccu ea0s

z=L 0

dz

dC


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3. RESOLUCIN DE PROBLEMAS ODE-BVP NO LINEALES:

3.1. Aplicacin de los mtodos de disparo a ecuaciones BVP no lineales.

La resolucin de problemas BVP no lineales mediante las tcnicas del disparo mantiene lamecnica de la resolucin de ecuaciones lineales. La aplicacin de las tcnicas del disparoen ecuaciones no lineales puede implicar:

a) un aumento del nmero de iteraciones para conseguir la aproximacin convergente(mayor coste de clculo), obligando a partir de unos valores estimados mucho msexactosque en las ecuaciones lineales para alcanzar una aproximacin deseada.

b) Utilizacin de algoritmos de integracin de sistemas ODE-IVP no lineales: algoritmos

implcitos, cambio de orden y de tamao de paso.

Ejemplo 6.1.

Se ha resuelto el perfil de concentracin de un reactivo en una partcula de catalizadorpara dos velocidades de reaccin (una lineal (a) y la otra no lineal (b)) utilizando elmtodo del disparo (RK4 y algoritmo de la secante):

2kC

2dr

C2

d

dr

dC

r

2b),kC

2dr

C2

d

dr

dC

r

2a)

Resultados: problema lineal (caso a)

Iteracin C(0)(estimada) dC/dz(0) C(1) C(0) nueva1 0,50 0,0 1,031 0,47 0,0 0,98 0,482 0,48 0,0 1,00

Resultados: problema no lineal (caso b)

Iteracin C(0)(estimada) dC/dz(0) C(1) C(0) nueva

1 0,500 0,0 0,7781 0,470 0,0 0,719 0,6002 0,600 0,0 1,024 0,59103 0,591 0,0 0,998 0,59204 0,592 0,0 0,999 0,59215 0,5921 0,0 1,00

Los resultados muestran que partiendo de la misma estimacin inicial (C(0)=0,5) en elcaso a) se requieren 2 iteraciones para encontrar la aproximacin correcta mientras queen el caso b) se necesitan 5 iteraciones para converger.


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3.2. Apl icacin del mtodo de diferencias fin itas a ecuaciones BVP no lineales.

Consideremos ahora los mtodos de diferencias finitas para la resolucin de problemas decondiciones frontera no lineales de la forma:

y(b),y(a)

bxa),y'y,,x(f''y

Si se usa una malla uniforme, entonces una aproximacin diferencial de segundo orden nos

dar:

1n0

1i1iii2

1ii1i

y,y

n2,.....,1,i0h2

yy,y,xf

h

yy2y

Las ecuaciones algebraicas que resultan en este sistema se pueden agrupar de muchasmaneras, por ejemplo multiplicando por h2/2 y agrupando los trminos de cada nodo, al igualque hemos hecho con el sistema lineal.

Las ecuaciones algebraicas resultantes son, en general, no lineales y debemos usar elmtodo de Newton para resolver el sistema, que viene dado por las ecuaciones:

),y(,),........y(),y(

.......y,y,yy

0)y(

n21

n21

La resolucin de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales se ha tratado en laasignatura Clculo de Procesos Qumicos, de 3 curso de Ingeniero Qumico, mediante elmtodo de Newton, y bsicamente implica linealizar cada una de las ecuaciones de partida(j) de la forma:

)y(yyy

kjki

1ki

n

1i yi

j

k

(nota: k hace referencia a la iteracin)

lo que exige conocer la matriz jacobiana del sistema 0)y( . Esta matriz vendr dada por:

yayb000

ycyayb00

00ycyayb

000ycya

y

)y()y(J

nn

1n1n1n

222

11


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Para computar este conjunto de funciones junto con las condiciones constantes

1n0 y,y mediante el mtodo de Newton se establece una estimacin inicial 0

iy yse define: 0,1,2,....k,yyy kk1k Donde ky es la solucin del sistema de

ecuaciones lineales expresado de la forma kkk yy)y(J .

Este esquema, desarrollado para condiciones frontera constantes, se modifica con facilidadpara condiciones frontera ms generales.

La resolucin de problemas de este tipo requiere de la utilizacin de subrutinas parasistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. En la asignatura Calculo de Procesos

Qumicos. (3 Curso de Ingeniero Qumico) se ha desarrollado un esquema de resolucin desistemas de ecuaciones algebraicas no lineales (que mostramos como ejemplo) utilizando losprogramas que se indican a continuacin:

1. PROGRAMA PRINCIPAL: (a realizar por el usuario) Contiene los datos especficos del problema yla llamada a la subrutina de clculo QUASINEWTON que se encarga de resolver el algoritmo.

2. SUBROUTINA QUASINEWTON (n, itmax, met, tol, x, inc): resuelve el algoritmo. Necesita llamar alas siguientes subrutinas:

3. SUBROUTINA FUNCTION (C, F): contiene la estimacin inicial y los valores de los trminosindependientes del sistema.

4 SUBROUTINA DERIVADAS (C, J): contiene el jacobiano del sistema.

5. SUBROUTINA LU (J, B, N, P, 1): Resuelve el sistema linealizado en cada punto.


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La Figura 6.1. muestra la relacin entre estos programas:

Figura 6.1. Relacin entre los programas utilizados para la resolucin de sistemas de ecuacionesalgebraicas no lineales en la asignatura C.P.Q. (Ingeniera Qumica)

4. RESOLUCIN DE SISTEMAS ODE-BVP

4.1. Aplicacin del mtodo del disparo a sistemas de ecuaciones BVP

La resolucin de sistemas de ecuaciones ODE-BVP mediante tcnicas de disparo implica laintegracin de sistemas ODE-IVP con mayor nmero de ecuaciones y la necesidad deestimar un mayor nmero de condiciones iniciales.

Ejemplo 6.2.

Consideremos el sistema

0rHTTr

2dz

dTCu

0rdz

dCu

dz

CdD

abwi

pgs

abs2

2

ea

con las

condiciones

0dz

dCLz,

T0T(0)

dz

dCDccu

0z ea0s

PROGRAMA PRINCIPAL

SUBROUTINADERIVE

SUBROUTINA QUASINEWTON

SUBROUTINA

FUNCTION

SUBROUTINA LU

RESULTADO


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Si deseamos resolver este problema mediante un mtodo de disparo el primer pasoser presentarlo en forma cannica:

T0T(0))Cu/()rHTTr

2(dz

dT

?????????????Y1(0)D/r1Yudz

1dY

/uY1D)0(cc1Ydz

dC

pgsabwi

eaabs

sea0

4.2. Aplicacin del mtodo de diferencias fin itas a sistemas de ecuaciones BVP

Los sistemas de ecuaciones ODE-BVP generan sistemas de ecuaciones algebraicas(lineales o no lineales) con un gran nmero de ecuaciones (e incgnitas) por lo que loscostes de clculo aumentan mucho en relacin a los problemas definidos por una solaecuacin. Adems los criterios de convergencia son ms estrictos por lo que se debe partirde estimaciones iniciales ms afinadas.

Se necesitan algoritmos de gran potencia para resolver sistemas ODE-BVP.

5. PROGRAMAS COMERCIALES

Los problemas BVPs expresados mediante sistemas o ecuaciones no lineales implican ungrado de dificultad en su resolucin que hace necesario el uso de subrutinas comerciales.Sin embargo, los programas matemticos disponibles basados en los mtodos de problemasBVP no son tan extensos como en el caso de IVPs.

Una subrutina para resolver un BVP se disear de un modo semejante al usado para IVP(Tema 4) excepto por el hecho de que las subrutinas son mucho ms especializadas debido

a la mayor complejidad de los problemas BVP

Tomando como referencia las libreras comerciales presentadas en el Tema 4 podemosresear las siguientes subrutinas de clculo:


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Librera IMSL (Fuente: http://www.roguewave.com/products/imsl-numerical-libraries/fortran-library.aspx):

Dentro del captulo 5: Differential Equations presenta 2 subrutinas para resolucin de

problemas BVPs (contiene 3 subrutinas para la resolucin de IVPs):Subroutina BVFD: Aplica el mtodo de diferencias finitas

Subroutina BVPMS : Aplica el mtodo de disparo mltiple.

Librera HSL (Fuente: http:// www.cse.clrc.ac.uk/Activity/HSL):

Presenta una subrutina para resolucin de problemas BVPs (contiene 6 subrutinas para laresolucin de IVPs): Subrutina DD04.

En la librera HSL ARCHIVE se diferencian las subrutinas:

DD11: Aplicable a ecuaciones ODE-BVP de segundo orden lineales.

DD12: Aplicable a ecuaciones ODE-BVP de segundo orden no lineales.

Librera NAG

Presenta al menos 11 subrutinas para resolucin de problemas BVPs (contiene al menos eldoble para la resolucin de IVPs):

Subrutinas que aplican mtodos de diferencias finitas

D02GAF: ODEs, boundary value problem, finite difference technique with deferredcorrection, simple nonlinear problem.

D02GBF: ODEs, boundary value problem, finite difference technique with deferredcorrection, general linear problem

D02RAF ODEs, general nonlinear boundary value problem, finite difference technique

with deferred correction, continuation facility.

Subrutinas que aplican mtodos de disparo:

D02AGF: ODEs, boundary value problem, shooting and matching technique, allowinginterior matching pint, general parameters to be determined.

D02HAF: ODEs, boundary value problem, shooting and matching, boundary values to bedetermined.

D02HBF: ODEs, boundary value problem, shooting and matching, general parameters to

be determined.


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D02SAF: ODEs, boundary value problem, shooting and matching technique, subject toextra algebraic equations, general parameters to be determined.

Subrutinas que aplican mtodos de colocacin:

D02JAF: ODEs, boundary value problem, collocation and least-squares, single nth-orderlinear equation.

D02JBF: ODEs, boundary value problem, collocation and least-squares, system of firstorder linear equations.

D02TGF nthorder linear ODEs, boundary value problem, collocation and least-squares.

D02TKF ODEs, general nonlinear boundary value problem, collocation technique.

6. BIBLIOGRAFA RECOMENDADA

Davis, M. E.; Mtodos y Modelos Numricos para Ingenieros Qumicos CAPTULO 2.Compaa Editorial Continental de C. V. Mxico, Mxico D.F. 1990.

Riggs, J. B.;An Introduction to Numerical Methods for Chemical EngineersCAPTULO 5.Texas Tech University Press, Lubbock, Texas. 1994.

Paginas Web de inters para usuarios de subrutinas comerciales:

http://www.nag.co.uk: pgina web de Numerical Algorithms Group, empresa que desarrolla laslibreras NAG.

http://www.hsl.rl.ac.uk/: pgina web de la librera matemtica HSL

http://www.roguewave.com/products/imsl-numerical-libraries.aspx: pgina web de las libreras numricasIMSL.

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