Tema teoria de lineas de espera
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Ensenada, B. C., agosto a diciembre, 2015 Unidad IV: Teoría y Aplicación de Líneas de Espera – Teoría de Colas
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Ensenada, B. C., agosto a diciembre, 2015
Unidad IV: Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera – Teoría
de Colas
Estructura de modelos de colas
Papel de la distribución Exponencial y Poisson
El proceso de nacimiento y muerte
Modelos básicos de líneas de espera
Aplicaciones de modelos de líneas de espera
Unidad III: Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera –
Teoría de Colas
El estudiante será capaz de:
1. Identificar los elementos de un
sistema de colas y las medidas
eficiencia del sistema.
2. Aplicaciones de la distribución
Exponencial y de Poisson
relacionadas a la teoría de colas.
3. Elaborar diagramas de tasas y
ecuaciones de equilibrio, basados
en los principios del proceso de
nacimiento y muerte.
Unidad III: Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera – Teoría
de Colas
….. será capaz de:
4. Construir modelos de
costos para la toma de
decisiones óptima.
5. Comprobar si algunas
distribuciones de tasas de
llegadas o de salidas se
ajustan a distribuciones
conocidas.
Teoría de
Colas o Líneas
de Espera
Hillier & Lieberman. (2010 ). Investigación de Operaciones. México: Mc. Graw – Hill.
“Es el estudio de la espera en las distintas modalidades, utilizando los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera que surgen en la práctica”.
Utilidad de los modelos de colas
El tiempo de espera influye en: la calidad de la vida de los individuos, la eficiencia
de la empresa y la eficiencia de la economía
de los países
Recursos y los tiempos
destinados a atención a
clientes óptimos.
Las colas son sistemas de la vida
cotidiana, equilibrar los costos vs. Capacidad de
servicio
Modelo de decisión para líneas de
espera basado en costos
Procesos básico de líneas de espera
Fuente de Entrada
Cola Mecanismo de Servicio
clientes
servicios
Sistema de Colas
clientes
Proceso básico de modelos de colas
Fuentes de entrada
• Número potencial de clientes distintos
• Población de entrada
• Fuente entrada ilimitada o finita
• Patrón estadístico
• Comportamientos especiales
Clientes
• Población bajo estudio
• Comportamientos especiales: dejo la cola si es muy larga, entre otros.
• Van generándose a través del tiempo en la fuente
• Cuando es atendido sale del sistema de colas
Cola
• Lugar donde los clientes esperan a ser atendidos
• Número máximo permisible de clientes que pueden admitir
• Trabaja con modelo de cola ilimitada
• Cola finita en casos en que el valor máximo sea muy pequeño
Servicio
• Mecanismo de servicio o regla que establece el orden en que los los miembros se seleccionan
• Disciplina de la cola:
• Primero en entrar, primero en salir
• En forma aleatoria
• Ponderación especial
• Procedimiento de prioridad
• Número de servidores
Fuente de Salida
• Numero real de clientes que pueden salir del sistema en cierta unidad del tiempo
Mecanismo elemental de servicio
Fuente de Entrada
Cola Mecanismo de Servicio
clientes
servicios
Los tiempos de llegada y los tiempos de servicio son independientes e identicamente
distribuidos
clientes
__ / __ / __
Distribución de tiempos de servicio
Distribución de tiempos de llegadas
Distribucion de tiempos de servicio
Número de servidores
Donde: M = distribución exponencial (markoviana) D = distribución degenarada (tiempos constantes) Ek = distribución Erlang, con parámetro K G = distribución arbitraria (cualesquiera)
Términos comunes
COLA
•Estado del sistema = numero de clientes en el sistema
•Longitud de la cola = Número de clientes que esperan el servicio
• LC = estado del sistema – número de clientes a quienes se esta sirviendo
CLIENTES
•N(t) = número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t > 0)
•P(t) = probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo 0.
PARAMETROS
•S = número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas
• λ = tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema
•μ= tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado de clientes que complementan sus servicio) cuando hay n clientes en el sistema. Es la tasa combinada a la que todos los clientes ocupados logran terminar sus servicios
•P = λ/μs = es el factor de utilización para la instalación de servicio, es decir, la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados
Condiciones de un Sistema de Colas
• Transitoria: o El sistema de colas apenas inicia su
operación. o Se presenta una situación especial.
• Estado estable:
o El sistema se vuelve independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido.
o La distribución de probabilidad del estado del sistema se conserva.
Términos comunes
• Las características operativas de los sistemas de colas se determinan por dos probabilidades estadísticas: • La distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas • La distribución de probabilidad de los tiempos de servicio
• En la modelación de colas, la llegada de los clientes, se hace en forma totalmente aleatoria, sin estar afectados por el tiempo transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior.
Términos comunes
• Se aplica la Distribución Exponencial a los tiempos de llegadas, por proporcionar predicciones razonables, realistas, sencillas y matemáticamente manejables.
• Función de densidad: • f(t) = λ (e)-λt para t > 0
• Donde la esperanza matemática es: E(t) = 1 / λ • Donde la varianza matemática es: V(t) = 1 / λ2
Propiedad 1: F(t) es una función estrictamente decreciente de t, para t > 0. Propiedad 2: Falta de memoria, ya que es independiente de la ocurrencia del ultimo evento Propiedad 3: el minino de varias variables aleatorias exponenciales independientes tiene una distribución exponencial.
• Los tiempos entre llegadas de n tipos diferentes de clientes siguen comportándose exponencialmente.
• Los tiempos de disponibilidad de cada estación de servicio siguen una distribución exponencial, independientemente de las otras.
Propiedades
de la
Distribución
Exponencial
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
Propiedad 4: su relación con la distribución Poisson, es que puede considerar los tiempos de llegada con una media λ y una distribución Poisson. Propiedad 5: para todos los valores positivos de t, P{T < t + t / T > t] –λ t para pequeños. Propiedad 6: No afecta agregar o desagregar, se aplica para los procesos de entrada, los cuales se consideran con distribución Poisson.
Propiedades
de la
distribución
exponencial
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
Términos comunes
• Se aplica la Distribución Poisson a los tiempos de servicio, ya que representa el número de resultados
que ocurren en un intervalo y representan el
numero de clientes atendidos en dicha unidad de tiempo.
• Función de densidad:
o = es el número promedio de resultados por unidad de
tiempo
o K = número de resultados que ocurren en el intervalo analizado
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto.
2. El experimento Poisson no tiene memoria.
3. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo corto es proporcional a la longitud del intervalo, sin depender del número de resultados que ocurren fuera.
4. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en dicho intervalo es despreciable.
Propiedades
de la
Distribución
Poisson
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
Términos de referencia
• Nacimiento.- se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas.
• Muerte.- es el termino que describe la salida de un cliente servido.
• Estado del sistema en el tiempo (t > 0).- denotado por N(t), es el número de clientes que existe en el sistema de colas en el tiempo t.
• Proceso de nacimiento y muerte.- describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t.
Términos de referencia • Los nacimientos y muertes individuales, ocurren de manera
aleatoria donde sus tasa medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.
0 1 2 n 3 N - 2 N - 1 N + 1 …….
λ1 λn λ2 λn-1 λ3 λn+1
μ1 μn-1 μn μn+1 μ2 μ3
Términos comunes
• Pn = probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema • L =número esperado de clientes en el sistema = n Pn = λ W • Lq = longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en
servicio • Lq = λ Wq = (n – s) Pn cuando (n – s) > 0 • ω = tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) para cada
cliente • W = E(ω) = Wq + 1 / μ • ωq = tiempo de espera en la cola (excluye el tiempo de servicio) para cada
cliente • Wq = E(ωq)
Referencias Bibliográficas
• Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
• Hillier & Lieberman. (2010 ). Investigación de Operaciones. México: Mc. Graw – Hill.
• Taha, H. ((2011). Investigación de Operaciones. México: Pearson & Always Learning.
• Imágenes recuperadas de www.googleimagenes.com Videos sugeridos: • https://www.youtube.com/watch?v=fCr6SKWlpAk • https://www.youtube.com/watch?v=uKSjzQ9djuw • https://www.youtube.com/watch?v=0CLh4SaWuII
