4.1 Modelos de nacimiento puro y muerte pura.4.1.1 Modelo de nacimiento puro4.1.2 Modelo de muerte pura.

4.2 Líneas de espera con llegadas y salidas combinadas.

4.2.1 Modelo generalizado de Poisson.4.2.2 Medidas de desempeño de estado

estable.4.3 Líneas de espera especializadas de Poisson.

4.3.1 (M/M/1):(DG/∞/∞)4.3.2 (M/M/1):(DG/N/∞)4.3.3 (M/M/c):(DG/∞/∞)4.3.4 (M/M/c):(DG/N/∞)

4.3.5 (M/M/∞):(DG/∞/∞) 4.3.6 (M/M/R):(DG/K/K), R<K4.4 Otras líneas de espera. (Clase 29 Mzo)

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA

Introducción:

Las colas (líneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, efectuar un depósito bancario, pagar víveres, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería, comenzar un recorrido en un parque de diversiones, etcétera. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero aún nos molestamos con las esperas prolongadas.

Sin embargo, tener que esperar no es sólo una pequeña molestia personal. La cantidad de tiempo que la población de un país desperdicia esperando en las colas es un factor primordial tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de un país.

Un sistema de colas está formado por un origen de usuario, una cola de espera y posibilidades de servicio con uno o varios servidores.

Cola Paralela

1.- Distribución de llegadas

Elementos que caracterizan los diferentes modelos de líneas de espera

Elementos que caracterizan los diferentes modelos de líneas de espera

El eje horizontal es el índice k. La función no toma valores de cero solamente en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

2.- Distribución del tiempo de servicio

Por ejemplo:

Distribución de Poisson

3.- Diseño de la instalación de servicio

Estaciones en serie.

Estaciones en paralelo

Estación 1 Estación 2

Sistema

Entradas Salidas

.

.

.

x x x x x x

1

2

c

Clientes que salenClientes que llegan

Cola o línea deespera

Instalación deservicio

Sistema

Estaciones en red

La red de colas es un conjunto de sistemas de colasconectados entre sí

La red de colas es un conjunto de sistemas de colasconectados entre sí

4.-Disciplina de servicio

FCFS (First come - First served)

LCFS (Last come – First served)XXXXXXXX

Entrada

X X X X X X X X X X X X Entrada Salida

Salida

SIRO (Service in random order)

5.- Tamaño de la línea de espera.•Finito •Infinito

6.- Fuente de llamadas (origen de usuarios)

•Finita•Infinita

X X X X X X X X X X X X

Tamaño de la línea de espera

Fuente de llamadas

El objetivo final de analizar situaciones de espera consiste en generar medidas de desempeño para evaluar los sistemas reales.

Debemos decidir con anticipación si nos interesa analizar el sistema en condiciones transitorias o de estado estable

Modelo de nacimiento puroLos clientes llegan, pero nunca parten

Se modela con la distribución de Poisson como se muestra:

!

)()(

n

ettp

tn

n

Donde

n = número de arribos o llegadasλ = tasa de llegadas por unidad de tiempoλ t = número esperado de llegadas durante un tiempo tpn(t) = probabilidad de n arribos durante un tiempo t

n=0,1,2,…,N

Ejercicio

Los clientes llegan a un restaurante de acuerdo con una distribución de Poisson a la tasa de 20 por hora. El restaurante abre a las 11:00 A. M. Determine lo siguiente:

a) La probabilidad de que haya 20 clientes en el restaurante a las 11:12 AM, dado que ya había 18 a las 11:07 AM.

b) La probabilidad de que llegará al menos un nuevo cliente entre las 11:28 y las 11:30 AM dado que el último cliente llegó a las 11:25 AM.

Ejercicio

Dos empleados, Ana y Jaime, de un restaurante de comida rápida juegan de la siguiente manera mientras esperan a que lleguen clientes. Jaime paga a Ana 1 peso si el siguiente cliente no llega en un periodo de un minuto; en caso contrario, Ana le paga a Jaime 1 peso. Determine la ganancia esperada de Jaime en un periodo de 8 horas suponiendo que los clientes llegan según una distribución de Poisson con la tasa media de uno por minuto.

Modelo de muerte puraLos clientes o productos se retiran de un abasto inicial

Se modela con la distribución truncada de Poisson:

)!(

)()(

nN

ettp

tnN

n

Donde

n = número de elementos en existencia después de un tiempo tμ = demanda por unidad de tiempoμ t = número esperado de salidas durante un tiempo tpn(t) = probabilidad de n elementos en existencia después de un

tiempo t

n=1,2,…,N

N

nn tptp

10 )(1)(

Ejercicio

Un taller de maquinaria ha almacenado 10 piezas de una parte de repuesto para la reparación de una máquina. Los reabastecimientos del inventario de 10 piezas cada uno se realizan cada 7 días. La descompostura de la máquina según una distribución de Poisson ocurre tres veces por semana en promedio. Determine la probabilidad de que la máquina permanecerá descompuesta debido a que no se disponga de partes durante:

a) 2 días b) 5 días

Ejercicio

La demanda de un artículo ocurre según una distribución de Poisson con media de 3 al día. El nivel de inventario máximo es de 25 artículos, que ocurre cada lunes, inmediatamente después de que se recibe un nuevo pedido. Por lo tanto, el tamaño del pedido depende del número de unidades que sobren al cabo de la semana de trabajo el día sábado (la empresa cierra el domingo). Determine lo siguiente:

a) El tamaño semanal promedio de los pedidos.b) La probabilidad de incurrir en escasez en la demanda

después de 4 días de trabajo.c) La probabilidad de que el tamaño del pedido semanal

excederá de 5 unidades.

Líneas de espera paralelas con llegadas y salidas combinadas

Notación:

(a/b/c):(d/e/f)

a = distribución de llegadas

b = distribución del tiempo de servicio ( o de salidas)

c = número de servidores en paralelo (c =1,2,…,∞)

d = disciplina de servicio (FCFS, LCFS, SIRO, etc.).

e = número máximo admitido en el sistema (en línea de espera + en servicio)

f = tamaño de la fuente de llamadas.

Por ejemplo:

(M/D/10):(DG/N/∞)

La notación estándar reemplaza los símbolos a y b por los siguientes códigos:

M = distribución de llegadas o salidas de PoissonD = tiempo entre llegadas o de servicio constante o deterministaE k = distribución de Erlang o gamma de la distribución de tiempo entre llegadas o de servicio con el parámetro k.GI = distribución de llegadas general independienteG = distribución de salidas general

Modelo generalizado de Poisson

Las líneas de espera con llegadas y salidas combinadas inician en condiciones transitorias y llegan gradualmente al estado estable después de haber transcurrido algún tiempo.

Estado TransitorioWarm up

Estado estable

Línea de espera

Tasa de llegada y de servicio dependientes del estado.

•Considere un taller de maquinaria con un total de N máquinas. La tasa de falla de las máquinas es una función del número de máquinas en condiciones de trabajo es: nλ.

•Por otra parte, si un sistema tiene c servidores en paralelo y μ es la tasa de servicio por servidor, la tasa de salidas es nμ si n<c y cμ si n≥c

•Usamos la notación λn y μ n para definir las tasas de llegadas y salidas como una función de n. Donde n es el número de clientes en el sistema.

•La meta inmediata del modelo generalizado es deducir una expresión para pn, que es la probabilidad de estado estable de n clientes en el sistema, como una función de λn y μ n

Modelo generalizado de Poisson

n-1 n n+1… …

λn-1λn

μn + 1μn

0 1 …

λ0

μ 1

011

021

...

...pp

nn

nnn

n=1,2,…

0

1n

np

Medidas de desempeño de estado estable

Una vez que se ha determinado la probabilidad pn de estado estable de n clientes en el sistema, podemos calcular las medidas de desempeño.

Tales medidas de desempeño se pueden usar para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema. Entre las principales tenemos las siguientes:

Ls= número esperado de clientes en el sistemaLq=número esperado de clientes en la filaWs= tiempo estimado de espera en el sistemaWq= tiempo estimado de espera en la fila.

Medidas de desempeño de estado estable

Ls= número esperado de clientes en el sistema

Lq= número esperado de clientes en la fila

Ls= número esperado de clientes en el sistema

Lq= número esperado de clientes en la fila

0n

ns npL

1)(

cn nq pcnL

λef = tasa promedio efectiva de llegadas

Ws = tiempo estimado de espera en el sistema

Wq= tiempo estimado de espera en la fila

λef = tasa promedio efectiva de llegadas

Ws = tiempo estimado de espera en el sistema

Wq= tiempo estimado de espera en la fila

qefq WL

sefs WL

0n

nnef p

μ= tasa de servicio por servidor activo

1/μ= tiempo estimado de servicio

Tenemos también las siguientes relaciones:

μ= tasa de servicio por servidor activo

1/μ= tiempo estimado de servicio

Tenemos también las siguientes relaciones:

ef

qs LL 1

qs WW

Número estimado de servidores activos

Porcentaje de utilización

Número estimado de servidores activos

Porcentaje de utilización

100c

c

ef

qs LLc

Modelos de líneas de espera especializadas de Poisson

(M/M/1):(DG/∞/∞)

)1(

)1(

1

1

1}{

2

qq

ss

sq

s

LW

LW

LL

nELModelo de servidor único sin límite en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas.

...2,1,0)1(

10

np

pn

n

Ejercicio

En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se obtiene indica que los autos llegan para ser atendidos, según una distribución de Poisson, con media de 4 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varía, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede atender a más de un auto a la vez. Suponga que el tamaño de la fuente de llamadas y del estacionamiento son infinitos.

a) Obtenga las siguientes medidas: λef, Ls, Lq,Ws,Wq

b) Determine cuántos lugares de estacionamiento serían necesarios para que por lo menos el 90% de las veces un cliente encuentre lugar.

c) ¿Qué porcentaje de tiempo permanece inactiva la instalación?

(M/M/1):(DG/N/∞)

)1(

1

)1(

)1(

1,2

1,)1)(1(

})1(1{

)1(

1

1

N

sqs

N

q

ef

qq

Ns

efsq

N

NN

s

Nef

p

LWW

p

LLW

pLLL

N

NN

L

p

1,1

1

1,1

1

1,1

1

1,1

1

1

1

0

N

p

N

p

nN

n

N

Número máximo de clientes permitido en el sistema: N.

Ejercicio

Los pacientes llegan a una clínica según una distribución de Poisson a una tasa de 30 pacientes por hora. La sala de espera no da cabida a más de 14 pacientes. El tiempo de auscultación por cada paciente es exponencial con una tasa media de 20 por hora.

a) Determine la tasa efectiva de llegadas a la clínica.b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue a la

clínica no tendrá que esperar? ¿Cuál es la probabilidad de que halle un asiento desocupado en la sala?

c) ¿Cuál es el tiempo de espera estimado hasta que un paciente pueda salir de la clínica?

(M/M/c):(DG/∞/∞)

11

00

0

0

)/1(!!

!

!

c

n

cn

cn

n

n

n

ccnp

pcc

pn

p

0≤n≤c

n>c

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qs

qq

qs

c

c

q

WW

LW

LL

pc

cp

ccL

1

)()()!1( 202

1

En este modelo los clientes llegan con una tasa constante λ y un máximo de c clientes pueden ser atendidos simultáneamente. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a μ

En este modelo los clientes llegan con una tasa constante λ y un máximo de c clientes pueden ser atendidos simultáneamente. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a μ

Ejercicio:

En un sistema (M/M/2):(DG/∞/∞), el tiempo medio de servicio es de 5 minutos y el tiempo medio entre llegadas es de 8 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de una demora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los

servidores esté inactivo?c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos servidores estén

desocupados?

(M/M/c):(DG/N/∞)

0

0

!

!

pcc

pn

p

cn

n

n

n

0≤n≤c

c≤n≤N

11

0

11

0

1

0

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c

n

cn

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n

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np

ρ/c≠1

ρ/c=1

efqq

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cNcNc

q

LccLLs

c

cNcNp

cccN

cccp

L

)(

!2

)1)((

1)(1)()!1(

0

2

1

0 ρ/c≠1

ρ/c=1

)()1(

)(0

ccP

pncc

Nef

c

nn

Ejercicio:

En un lote de estacionamiento existen 10 espacios solamente. Los automóviles llegan según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de estacionamiento está exponencialmente distribuido con media de 10 minutos. Determine lo siguiente:

a) Numero esperado de espacios de estacionamiento vacíos.b) Probabilidad de que un automóvil que llegue no encontrará

un espacio para estacionarse.c) Tasa efectiva de llegadas al sistema.

(M/M/∞):(DG/∞/∞)

0

1

,...2,1,0!

qq

s

s

n

n

WL

W

nEL

nn

ep

Ejercicio:

En una instalación de autoservicio las llegadas ocurren según una distribución de Poisson con media de 50 por hora. Los tiempo de servicio por cliente están exponencialmente distribuidos con media de 5 minutos.

a) Encuentre el número esperado de clientes en servicio.b)¿Cuál es el porcentaje de tiempo que la instalación está inactiva?

(M/M/R):(DG/K/K) R<K Modelo de Servicio de Máquinas

efqqs

K

Rnnq

R

nRn

nK

Rn

n

Rn

n

n

n

LRRLL

pRnL

RR

n

n

K

n

Kp

pRR

n

n

K

pn

K

p

)(

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!

!

!

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1

1

0 10

0

0Este modelo supone que se disponede R técnicos en reparaciones para dar servicio a un total de K máquinas. Como una máquina descompuesta no puede generar nuevas llamadas mientras está en servicio, el modelo es un ejemplo de una fuente de llamadas finita.

Este modelo supone que se disponede R técnicos en reparaciones para dar servicio a un total de K máquinas. Como una máquina descompuesta no puede generar nuevas llamadas mientras está en servicio, el modelo es un ejemplo de una fuente de llamadas finita.