-Integrantes: Ninoska Garrido. Camila Moscoso. Mery Salinas. -Grupo: N6. - Profesor: Milton Ramrez.

TEORIA DE

COLAS

Enero 30

2012 Elementos bsicos de un modelo de lnea de espera, y buscar una aplicacin real de cualquiera de los modelos de lneas de espera existentes.

Modelos lneas de espera

Elementos bsicos de un modelo de lneas de espera.

OBJETIVO. En las lneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las

transacciones, que representa la cuantificacin monetaria de la prdida de tiempo al esperar

recibir un servicio o la prdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de proporcionar el

servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestin de sueldos y

salarios, energa, mantenimiento y depreciacin del personal o equipo.

De tal forma que en un estudio de lneas de espera el objetivo es determinar qu nivel de servicio,

ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo

total del sistema. Este costo est formado tanto por costo de servicio como por el que causa la

espera. Matemticamente podemos representarlo de la siguiente forma:

Estos conceptos se pueden representar grficamente de acuerdo con el esquema mostrado en la siguiente figura:

Esquema de optimizacin de una lnea de espera

Teora de colas

Definicin

Para comenzar a entender el concepto de la teora de colas primero se podr identificar el

concepto bsico y algunas explicaciones que se prolongaran mas adelante.

En ciencias de la computacin, y ms especficamente en investigacin de operaciones, la teora

de colas es el estudio matemtico de las lneas de espera o colas dentro de una red de

comunicaciones. Su objetivo principal es el anlisis de varios procesos, tales como la llegada de los

datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros.

La teora de colas generalmente es considerada una rama de investigacin operativa porque sus

resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios,

comercio, industria, ingenieras, transporte y telecomunicaciones.

En el contexto de la informtica y de las nuevas tecnologas, las situaciones de espera dentro de

una red son ms frecuentes. As, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su

ejecucin forman colas de espera mientras no son atendidos; la informacin solicitada, a travs de

Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestin en la red; tambin

se puede recibir la seal de lnea de la que depende nuestro telfono mvil ocupada si la central

est colapsada en ese momento, etc.

Otros campos de utilizacin son la logstica de los procesos industriales de produccin, ingeniera

de redes y servicios, ingeniera de sistemas informticos, y elaboracin de proyectos sustentables.

Historia

El matemtico dans Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange,

public el primer artculo sobre la teora de colas en 1909.Especficamente se preocup del

estudio del problema de dimensionamiento de lneas y centrales de conmutacin telefnica para

el servicio de llamadas.

Modelo de formacin de colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del

sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como mquinas daadas a la espera de ser

rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean

inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es

decir, a ser cada vez ms larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen

temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados

anteriormente estn siendo atendidos.

Objetivos

Los objetivos de la teora de colas consisten en:

Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema

tendran en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (ptimo) entre las consideraciones cuantitativas de costes y

las cualitativas de servicio.

Prestar atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Elementos existentes en la teora de colas

Figura 1.

Proceso bsico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada.

Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un

miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como

disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo

de servicio, despus de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

o Fuente de entrada o poblacin potencial: Una caracterstica de la fuente de entrada es su

tamao. El tamao es el nmero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado

momento. Puede suponerse que el tamao es infinito o finito.

O Cliente: Es todo individuo de la poblacin potencial que solicita servicio como por ejemplo una

lista de trabajo esperando para imprimirse.

o Capacidad de la cola: Es el mximo nmero de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de

comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

o Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus

miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, segn la cual se atiende primero al

cliente que antes haya llegado.

LIFO (last in first out) tambin conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que

ha llegado el ltimo.

RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a

algn procedimiento de prioridad o a algn otro orden.

Processor Sharing sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los

clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

o Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o ms instalaciones de

servicio, cada una de ellas con uno o ms canales paralelos de servicio, llamados servidores.

o Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por

ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

o Cola: Una cola se caracteriza por el nmero mximo de clientes que puede admitir. Las colas

pueden ser finitas o infinitas.

o El proceso de servicio: Define cmo son atendidos los cliente

Descripcin de un sistema de colas

Un sistema de colas se puede describir como: clientes que llegan buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar. El trmino cliente se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.

Aunque la mayor parte de los sistemas se puedan representar como en la figura 1, debe quedar claro que una representacin detallada exige definir un nmero elevado de parmetros y funciones. La teora de colas fue originariamente un trabajo prctico. La primera aplicacin de la que se tiene noticia es del matemtico dans Erlang sobre conversaciones telefnicas en 1909, para el clculo de tamao de centralitas. Despus se convirti en un concepto terico que consigui un gran desarrollo, y desde hace unos aos se vuelve a hablar de un concepto aplicado aunque exige un importante trabajo de anlisis para convertir las frmulas en realidades, o viceversa Caractersticas de los sistemas de colas

Seis son las caractersticas bsicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas: a) Patrn de llegada de los clientes b) Patrn de servicio de los servidores c) Disciplina de cola d) Capacidad del sistema e) Nmero de canales de servicio f) Nmero de etapas de servicio Algunos autores incluyen una sptima caracterstica que es la poblacin de posibles clientes. a) Patrn de llegada de los clientes En situaciones de cola habituales, la llegada es estocstica, es decir la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribucin probabilstica entre dos llegadas de cliente sucesivas. Adems habra que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habra que definir la distribucin probabilstica de stos. Tambin es posible que los clientes sean impacientes. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar. Por ltimo es posible que el patrn de llegada vare con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo vara con las horas del da es no-estacionario. b) Patrones de servicio de los servidores Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una funcin de probabilidad. Tambin pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio tambin puede variar con el nmero de clientes en la cola, trabajando ms rpido o ms lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el Teora de Colas patrn de llegadas el patrn de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido. c) Disciplina de cola La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien lleg primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al ltimo). Tambin es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duracin o segn tipos de clientes. En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en ingls preemptive, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que est siendo atendido, este se retira dando paso al ms importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se haba quedado.

La segunda situacin es la denominada no preemptive donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que est siendo atendido. d) Capacidad del sistema. En algunos sistemas existe una limitacin respecto al nmero de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitacin puede ser considerada como una simplificacin en la modelizacin de la impaciencia de los clientes. e) Nmero de canales del servicio Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una nica lnea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a mltiples sistemas con slo un servidor. En la figura 1 se dibuj un sistema mono-canal, en la figura 2 se presenta dos variantes de sistema multicanal. El primero tiene una sla cola de espera, mientras que el segundo tiene una sola cola para cada canal. Fig.2

Se asume que en cualquiera de los dos casos, los mecanismos de servicio operan de manera independiente.

Etapas de servicio

Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un nmero de etapas mayor que uno. Una peluquera es un sistema unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente. En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrs o reciclado, esto es habitual en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos. Un sistema multietapa se ilustra en la figura.3

Figura 3: Sistema Multietapa con retroalimentacin

Notacin bsica

Nomenclatura.

Con el paso del tiempo se ha implantado una notacin para representar los problemas de colas que consta de 5 smbolos separados por barras. A / B / X /Y / Z

A: indica la distribucin de tiempo entre llegadas consecutivas

B: alude al patrn de servicio de servidores

X: es el nmero de canales de servicio

Y: es la restriccin en la capacidad del sistema

Z: es la disciplina de cola

En la tabla 1 se presenta un resumen de los smbolos ms utilizados.

El smbolo G representa una distribucin general de probabilidad, es decir, que el modelo presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribucin estadstica (siempre que sean Variables IID- Independientes e Idnticamente Distribuidas). Si no existe restriccin de capacidad (Y = ) y la poltica de servicio es FIFO, no se suelen incorporar dichos smbolos en la notacin as: M/D/3 es equivalente a M/D/3/ /FIFO y significa que los clientes entran segn una distribucin exponencial, se sirven de manera determinista con tres servidores sin limitacin de capacidad en el sistema y siguiendo una estrategia FIFO de servicio. La notacin anteriormente representada, por general, deja demasiados casos por resolver, pero es suficiente para los casos ms importantes. Como medir el rendimiento de un sistema La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos: a) establecer mecanismos para medir la efectividad del sistema o b) disear un sistema ptimo (de acuerdo a algn criterio). Disear eficientemente consiste, bsicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseo y de operacin) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de no darlo. De este modo al disear se pretende minimizar unos supuestos costes totales. A partir de los datos que nos suministra la teora de colas se puede obtener la informacin necesaria para definir el nmero de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas de un proceso de atencin al cliente.

En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teora de colas puede dar en alguno de los siguientes tres aspectos: a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola) b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas) c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio) Algunos resultados generales Se presentan en este apartado algunos resultados y relaciones para problemas G/G/1 o G/G/c. Estos resultados son vlidos para cualquier problema de colas y por tanto sern utilizados en el resto de desarrollo. Resultados y relaciones Si el sistema tender a crecer inexorablemente. El nmero de clientes en el instante t, n(t), es el nmero de llegadas que han ocurrido hasta t menos el nmero de servicios completados hasta t. El nmero medio de clientes en el sistema y en la cola se puede calcular de diferentes maneras:

El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo de espera de un cliente en la cola

El tiempo de estancia del cliente (i+1) en la cola es:

donde S(i) es el tiempo de servicio del cliente i, y T(i) es el tiempo que transcurre desde la llegada del cliente y hasta la llegada del cliente (i+1)

Como recoger datos en un sistema de colas

A priori se puede pensar que el mtodo ms adecuado para recoger datos al analizar un sistema es establecer una plantilla y recoger los datos sobre el sistema cada cierto tiempo. Esta tcnica esorientada al tiempo Es mejor, sin embargo, utilizar una tcnica de recogida de informacin asociada a eventos. La informacin se recoge cuando algo ocurre En una cola convencional los nicos datos a recoger son: a) cada cunto llega un cliente b) cunto se tarda en servir a cada cliente No es necesario recoger ms informacin para, a partir de las relaciones expuestas en el apartado anterior, definir cualquier medida de efectividad.

Ejemplo Sea un sistema G/G/1. Sean los siguientes datos de entrada:

A partir de la anterior informacin obtenida se puede decir que:

Los procesos de Poisson y la distribucin Exponencial.

La mayor parte de los modelos de colas estocsticas asumen que el tiempo entre diferentes llegadas de clientes siguen una distribucin exponencial. O lo que es lo mismo que el ritmo de llegada sigue una distribucin de Poisson*. En esta seccin se vern las caractersticas de una distribucin de Poisson y como se relacionan con la distribucin exponencial. Posteriormente se analizan las ms importantes propiedades y algunas generalizaciones al adoptar tal patrn de llegadas. Se cierra el apartado con argumentos que apoyan el uso de la distribucin de Poisson. Adoptar la distribucin de Poisson implica que la probabilidad de que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:

El tiempo entre llegadas se define, de este modo, como la probabilidad de que no llegue ningn cliente:

siendo por tanto una distribucin exponencial.

Propiedades del Patrn de llegadas (o servicio) Poisson- Exponencial

El uso de este patrn de llegada (o de servicio) tiene, entre otras las siguientes propiedades: P1 El nmero de llegadas en intervalos de tiempo no superpuestos es estadsticamente independiente

Se puede admitir que en cada evento de llegada aparezcan i clientes, donde:

Procesos de nacimiento y muerte en el estado estacionario

Es interesante conocer las probabilidades en el estado estacionario de que haya n elementos en el sistema. n elementos en el sistema se refleja porque la cadena de Markov est en el estado n. En situacin estacionaria, se puede decir que el balance de flujo alrededor del estado n debe ser 0 (sino no sera estable). As las probabilidades de entrada en el estado n , deben ser iguales a la probabilidad de las salidas

Aunque la resolucin de las anteriores ecuaciones parece complicada, no es estrictamente necesario conocer cmo se puede resolver para poderlas aplicar. Slo en el caso de que nuestra realidad no sea aplicable a un problema ya resuelto deberamos profundizar en los diferentes mtodos que permiten resolver nuestro problema. Otras distribuciones. No todas las llegadas ni todos los servicios se pueden simular mediante una poisson/exponencial. Existen otras distribuciones que se ajustan mejor a otros procesos reales. En la prctica se puede considerar que son necesarios tres elementos:

a) Conocer todas las distribuciones para tener un conocimiento claro de las posibilidades de caracterizacin una determinada distribucin.

b) Conocer un procedimiento para establecer, va inferencia estadstica, cual es la

distribucin de una determinada muestra.

c) Ser capaz de calcular la media y la desviacin tpica de un proceso en funcin de una

muestra.

Principales distribuciones estadsticas de tipo Discreto. Las distribuciones estadsticas de tipo discreto toman valores de un conjunto finito de posibilidades. En teora de colas son relevantes porque permiten representar el nmero de clientes en un intervalo de tiempo. Si las posibles ocurrencias son un conjunto finito y uniforme de valores (e.g. el lanzamiento de un dado perfecto) se conoce como variable Uniforme Discreta. Si la variable se da entre los valores a y b enteros, la media de la distribucin es (a+b)/2 y la varianza es ((b-a+1)^2-1)/12 Si la probabilidad de cada ocurrencia es diferente, la ms sencilla de todas las distribuciones de Bernouilli donde la variable puede slo tomar dos valores (e.g. chico o chica, A o B) con una cierta probabilidad p para el primero miembro del par, que suele denominarse xito. La media es p y la varianza es p(1-p). La distribucin Binomial representa la probabilidad de obtener k sucesos A con probabilidad p, a partir de n intentos. Es por tanto la suma de n Bernouilli de probabilidad p. La media es np y la varianza es np(1-p) La distribucin Geomtrica representa la probabilidad de obtener la primera ocurrencia A en el lanzamiento n. Esta variable tiene un rango infinito aunque sigue siendo discreta. La media es 1/p y la varianza es (1-p)/p^2 Tambin tiene un rango infinito la conocida como Poisson en la que se representan ocurrencias para un conjunto grande e independiente de eventos distribuidos a lo largo del espacio o del tiempo La distribucin tiene propiedades matemticas interesantes que la

hacen muy utilizada. La media es y la varianza es tambin .

Principales distribuciones estadsticas de tipo Continuo. Cuando las ocurrencias pueden tomar valores dentro de un rango continuo las distribuciones son de tipo continuo. En teora de colas son especialmente adecuadas para representar intervalos de tiempo. La Continua Uniforme toma valores equiprobables en un determinado rango [a,b]. La media de esa funcin es (a+b)/2 y la varianza es (b-a)^2/12 La exponencial (o negativa exponencial) es la complementaria de la distribucin de Poisson. Su media es 1/ y la varianza es 1/ ^2 La Erlang [k,] es una distribucin que es la suma de k exponenciales de media /k. La media de dicha distribucin es y la varianza es ^2/k. De hecho la distribucin Erlang es una parte de una clase ms amplia que son las distribuciones gamma. Cada funcin gamma es definida por dos parmetros y . La media es y la varianza es ^2

La distribucin Weibull permite describir la ruptura de La distribucin Normal La distribucin log Normal

Modelos de colas simples El propsito de este apartado es exponer diferentes modelos de colas. No es excesivamente complicado conocer el origen de las frmulas, y puede ser un ejercicio interesante cuando las condiciones de partida no son exactamente las aqu consideradas. Sin embargo se ha optado por la exposicin de los resultados directos ya que se pretende la aplicacin de stos y no su consecucin. Todos los resultados se obtienen para el estado estable. El sistema M/M/1 Una cola M/M/1 tiene un nico servidor y las tasas de llegada y de servicio siguen una distribucin de Poisson, siendo por tanto:

La probabilidad de que haya n clientes es:

El nmero medio de clientes en la cola es:

Colas con servidores en paralelo M/M/C Un sistema con servidores en paralelo se caracteriza porque hay ms de un servidor que ejecuta la misma funcin con la misma eficiencia.

Cuando el servicio depende del nmero de clientes En ocasiones el tiempo de atencin a los clientes puede variar dependiendo del tamao de la Cola

Asumiendo que la llegada de clientes sigue una distribucin de Poisson de media, se puede decir que:

APLICACIN.

Ejemplo con Modelo de un servidor

El departamento para caballeros de un gran almacn tiene a un sastre para ajustes a la medida. Parece que el nmero de clientes que solicitan ajustes sigue una distribucin de poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente con una media de 2 minutos.

1. Cul es el nmero promedio de clientes en la sala de espera? 2. Cunto tiempo de permanencia en el sistema debera de planear un cliente? 3. Qu % de tiempo permanece ocioso el sastre? 4. Cul es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre ms de 10

minutos?

Conclusin. Con el trabajo expuesto queda en evidencia que la Teora de Colas es un instrumento que aporta las soluciones para encontrar el punto preciso donde no exista lentitud en el servicio que se presta. Esta Teora es una herramienta que utiliza frmulas analticas limitadas por suposiciones matemticas cuya finalidad es contribuir con datos importantes. Finalmente se puede agregar que la Teora de Colas contribuye con informacin fundamental para la toma de decisiones cuando existe informacin que se puede ver alterada por distintos factores, y es ah donde las caractersticas de la lnea de espera son vitales.

Bibliografa.

http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoriadecolasdoc.pdf http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf http://www.mitecnologico.com/Main/ModelosDeLineasDeEspera http://www.material_simulacion.ucv.cl/en%20PDF/ESPERA1.pdf