LINEAS DE

ESPERA

Unidad 3 Planeacin de la

Capacidad

INTRODUCCION

En diferentes ocasiones de la vida, la

mayora de las personas que viven en la

sociedad moderna han esperado en una

fila para recibir algn tipo de servicio

Ejemplos: bancos, supermercados,

INTRODUCCION

El sistema de lneas de espera est

conformado por una serie de elementos o

componentes, entre ellos:

Unidades (clientes, mquinas, etc) que

solicitan servicio

La lnea de espera en s

El servicio

INTRODUCCION

Llegadas

Sistema

Poblacin de Clientes

Proceso de Fila

Clientes que esperan

Proceso de

Servicio

TERMINOLOGIA Y NOTACION

POBLACION DE CLIENTES

Es el conjunto de todos los clientes

posibles de un sistema de lneas de

espera.

Al considerar a los clientes, la principal

preocupacin es el tamao de la

poblacin

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Por decir, para un banco o un supermercado donde el nmero de clientes es bastante grande, el tamao de la poblacin se considera infinita.

Ahora, consideremos una fbrica que tiene cuatro mquinas que a menudo requieren servicio en el taller; las mquina son los clientes y el taller el servidor, el tamao de la poblacin es finito.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

PROCESO DE LLEGADA

Es la forma en que los clientes de la

poblacin llegan a solicitar un servicio.

La caracterstica ms importante del

proceso de llegadas es el tiempo entre

llegadas

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Este lapso es importante porque

mientras menor sea el intervalo de tiempo,

con ms frecuencia llegan los clientes, lo

cual aumenta la demanda de servidores

disponibles.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

PROCESO DE LINEAS DE ESPERA

Es la forma en que los clientes esperan

a que se les d un servicio.

Los clientes pueden esperar en una

sola fila que es denominado sistema de

fila de una sola lnea.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Al contrario, los clientes pueden elegir

una de varias filas en la que deben

esperar a ser atendidos, a ste se le

denomina sistema de filas de lnea

mltiples.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Clientes que esperan

Servidores Servidores Clientes que esperan

SISTEMA DE UNA FILA SISTEMA DE FILAS MULTIPLES

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Otra caracterstica del proceso de

lneas de espera es la disciplina de

lneas, es decir, la forma en que los

clientes que esperan son seleccionados

para ser atendidos.

Algunas de las formas ms comunes

son:

TERMINOLOGIA Y NOTACION

- Primero en Entrar, Primero en Salir (PEPS): Los clientes son atendidos en el orden en que van llegando a la fila.

- Primero en Entrar, Ultimo en Salir (VEPS): El cliente o unidad que ha llegado ms recientemente es el primero en ser atendido, ejemplo, en una lnea de produccin los productos que llegan a una estacin de trabajo son apilados uno encima del otro

TERMINOLOGIA Y NOTACION

- Seleccin de Prioridad: A cada cliente que llega se le da una prioridad y se elige segn

sta para brindarle el servicio, ejemplo,

pacientes que llegan a la sala de urgencias de

un hospital; mientras ms severo sea el caso,

mayor ser la prioridad del cliente.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

PROCESO DE SERVICIO

Forma y rapidez con que son atendidos los clientes.

En algunos casos puede existir ms de una estacin en el sistema el cual proporcione el servicio, estos son denominados sistemas de filas de canal mltiple

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Los clientes pueden pasar a una de

varias estaciones de trabajo posibles.

En estos sistemas los servidores

pueden ser idnticos, en el sentido que

proporcionan la misma clase de servicio

con igual rapidez, o pueden ser no

idnticos.

TERMINOLOGIA Y NOTACION

Al contrario del sistema mltiple, consideremos un proceso de produccin con una estacin de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estacin, en este caso es un sistema de filas de canal sencillo.

MODELO BASICO

Considere la mquina copiadora de la oficina de servicio secretarial.

Suponga que los usuarios llegan a la mquina y forman una sola fila.

Cada uno de los que llegan utilizan la mquina por turno para llevar a cabo una tarea especfica.

MODELO BASICO

Estas tareas varan, desde obtener la copia de una pgina, hasta la produccin de 100 copias de un informe de 25 hojas.

Este sistema se conoce como lnea de espera de un solo servidor (o de un solo canal).

MODELO BASICO

Las preguntas sobre ste o cualquier otro

sistema de lneas de espera se centran en

cuatro cantidades:

El nmero de personas en el sistema

La cantidad de personas haciendo fila

El tiempo de espera en el sistema

El tiempo de espera en la fila

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS

A cada llegada se le denominar un trabajo.

Debido a que el tiempo entre llegadas no se

conoce con certeza, se requiere especificar

una distribucin de probabilidad

En este modelo se utiliza una distribucin

exponencial

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS

La distribucin exponencial no es simtrica; por

ejemplo, si los clientes llegan en promedio cada 5

minutos, exponencialmente 2/3 de ellos tendrn

tiempos interarribos de menos de 5 minutos y 1/3

mayor a ese tiempo. En cambio, en una distribucin

normal la mitad tendra tiempos menores a 5 minutos

entre llegadas y la otra mitad mayores

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS

La distribucin exponencial queda definida

con un solo parmetro

Este parmetro, llamado lambda , es la tasa media de llegadas; esto es, cuntos trabajos

llegan (en promedio) durante un periodo

especfico.

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS

Por ejemplo: =0.05 trabajos por minuto, quiere decir que, en promedio, 5/100 de un

trabajo llega cada minuto.

Pero es ms fcil interpretar en trminos de

un intervalo mayor. Tiempo promedio entre

dos llegadas, que es el tiempo medio

interarribos.

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS

FORMULA:

tiempo promedio entre llegadas = tiempo medio

interarribos = 1/

Por lo tanto, si =0.05,

tpo.medio interarribos = 1/ = 1/0.05 = 20

En promedio, un trabajo llega cada 20 minutos

MODELO BASICO

PROCESO DE SERVICIO

En el modelo bsico, el tiempo que toma

terminar un trabajo tambin es tratado

mediante una distribucin exponencial.

El parmetro para esta distribucin se conoce

como mu , que es la tasa media de servicio, para este caso, en trabajos por minuto

MODELO BASICO

PROCESO DE SERVICIO Por ejemplo, =0.10, esto implica que 10/100 del

trabajo es efectuado cada minuto.

FORMULA:

tiempo promedio de servicio = 1/

Por tanto, si =0.10,

tpo.prom.de serv = 1/ = 1/0.10 = 10

En promedio se completa un trabajo cada 10 minutos

MODELO BASICO

TAMAO DE LA FILA DE ESPERA

No hay lmite en el nmero de trabajos que

pueden estar en la fila en espera, por lo tanto

es infinita.

DISCIPLINA EN LAS FILAS DE ESPERA

Los trabajos son atendidos con un criterio de

PEPS.

MODELO BASICO

HORIZONTE DE TIEMPO

La operacin del sistema se considera como

si ocurriera continuamente en un horizonte

infinito.

POBLACION FUENTE

Hay una poblacin infinita susceptible de

hacer un arribo.

MODELO BASICO

Los valores de estos dos parmetros son

todo lo que se necesita para calcular

varias caractersticas de operacin

importantes del modelo bsico.

A continuacin se enlistan, con su

frmula, las caractersticas de operacin

para el modelo bsico:

MODELO BASICO

CARACTERISTICA SIMBOLO FORMULA

Utilizacin - /

Nmero de clientes L / (-)

esperado en el sistema

Nmero de clientes Lq 2 / (-)

esperado en la fila de espera

Tiempo de espera promedio W 1 / (-)

Tiempo esperado en la fila Wq / (-)

Probabilidad de que el P0 1 - (/)

sistema est desocupado

ADVERTENCIA! Las frmulas slo son vlidas si

MODELO BASICO

EJEMPLO

En el modelo de la mquina copiadora, el

cual =0.05 y =0.10, tenemos:

UTILIZACION = / = 0.05/0.10 = 0.5 = 50% de utilizacin

P0 = 1-/ = 1-0.5 = 50% de que el sistema est desocupado

MODELO BASICO

L = /(-) = 0.05/(0.10-0.05) = 1 trabajo en el sistema

Lq = 2/(-) = (0.05)2/0.10(0.10-0.05) =

0.0025/0.005 = 0.5 trabajos en fila de espera

W = 1/- = 1/(0.10-0.05) = 20 minutos en el sistema (incluyendo fila y servicio)

Wq = /(-) = 0.05/0.10(0.10-0.05) = 10 minutos haciendo fila

MODELO BASICO

Uso de los Resultados

Supongamos que la administracin analiza esta informacin. Durante un da de ocho horas hay: 8 hrs X 60 min = 480 minutos, y si =0.05, en promedio llegan 5/100 trabajos por minuto, as que:

0.05 X 480 = 24 llegadas en una da

Sabemos que en promedio cada persona pasa 20 minutos en el sistema (W)

MODELO BASICO

Uso de los Resultados

Por lo tanto, un total de 24 llegadas al da X

20 minutos por llegada = 480 minutos, u ocho

horas se utilizan en esta instalacin

MODELO BASICO

Uso de los Resultados

La administracin podra pensar que esto es

demasiado y podra tomar una serie de medidas:

Comprar otra mquina con menor tiempo medio de servicio

Comprar otra mquina y utilizar ambas, modificando el

sistema de filas de espera

Enviar a parte del personal a otra instalacin de copiado y

que fuera menos ocupada

Clasificacin de los Modelos

de Lneas de Espera

Clasificacin de los Modelos

Se debe identificar las caractersticas de

un sistema de lneas de espera para

aplicar las tcnicas matemticas

apropiadas.

Mtodo de Clasificacin

En este mtodo de clasificacin se

consideran los siguientes supuestos:

el tamao de la poblacin de clientes es

infinita

los clientes que llegan esperan en una sola

fila

el espacio de espera en cada lnea es infinito

Mtodo de Clasificacin Proceso de Llegadas. Este smbolo

describe la distribucin de tiempo entre llegadas

D, para denotar que el tiempo entre llegadas es determinstico.

M, para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilsticos y siguen una distribucin exponencial.

G, para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilsticos y siguen una distribucin general diferente a la exponencial.

Mtodo de Clasificacin Proceso de Servicio. Este smbolo

describe la distribucin de tiempos servicio

D, para describir un tiempo de servicio determinstico.

M, para denotar que los tiempos de servicio son probabilsticos y siguen una distribucin exponencial.

G, para denotar que los tiempos de servicio son probabilsticos y siguen una distribucin general diferente a la exponencial.

Mtodo de Clasificacin

Proceso de Lneas de Espera. Este

nmero, c (o tambin puede ser s),

representa cuntas estaciones o

canales paralelos existen en el sistema.

Mtodo de Clasificacin

As que en el ejemplo de la mquina

copiadora de la oficina es un modelo:

M/M/1

donde, la primer letra se refiere a la

distribucin de llegadas, la segunda a la

distribucin del servicio y, el nmero, a

la cantidad de servidores en el sistema.

Ejercicios

M/M/3

Llegadas con distribucin exponencial

Servicio con distribucin exponencial

3 servidores

D/G/1

Llegadas con nmero determinstico

Servicio con distribucin general

1 servidor

MODELO: M/M/s

MODELO: M/M/s

Poblacin de clientes infinita.

Proceso de llegadas con probabilidad exponencial.

Proceso de lneas de espera que consiste en una sola lnea de capacidad infinita, con disciplina de primeras entradas primeras salidas.

Proceso de servicio que consiste en s servidores idnticos, los cuales atienden a los clientes de acuerdo a una distribucin exponencial.

Frmulas INDICE FORMULA

Utilizacin s

Prob. de que el sistema

est vaco (P0)

1

n=0s-1(/)n + (/)s -1

n! s! s

Unidades en fila (Lq) P0 (/)s UTILIZACION s! (1 - UTILIZACION)

Unidades en sistema (L) Lq + /

Tiempo en fila (Wq) Lq /

Tiempo en sistema (W) Wq + 1/

1 -

Ejemplo M/M/s

El laboratorio de hematologa del Hospital General atiende a gran cantidad de personas. La mayor parte de los pacientes nuevos deben pasar por el laboratorio de hematologa como parte del proceso de diagnstico y debe ser examinado por un tcnico.

El director del Hospital debe decidir cuntos tcnicos contratar.

Ejemplo M/M/s

Suponga que el tiempo interarribos est dado por una distribucin exponencial de 0.20 por minuto.

As mismo, suponga que cada servidor es idntico y cada tiempo de servicio est dado por una distribucin exponencial, con una tasa promedio de servicio de mu = 0.125 pacientes por minuto.

Ejemplo M/M/s

Para una lnea de espera con mltiples

servidores, existir un estado estable,

siempre y cuando < s, donde s es el nmero de servidores.

Ejercicio 1

El banco Santander emplea tres cajeros los sbados. El tiempo interarribos y el tiempo de servicio a los clientes tienen ambos una distribucin exponencial. Los clientes llegan a una tasa de 20 por hora, y el tiempo medio de servicio es de seis minutos. Los clientes forman una sola fila y son atendidos por el primer cajero disponible. Encuentre: