- Introducción y casos de aplicación. - Definiciones, características y suposiciones. - Terminología y notación. - Proceso de nacimiento – muerte. Modelos Poisson. - Un servidor, fuente finita, cola finita. - Un servidor, cola infinita, fuente infinita. - Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. - Servidores múltiples, cola finita, fuente infinita.

LINEAS DE ESPERA 2da parte

En esta sección se describe un modelo de población fuente finita, en donde M es la manera en cómo llegan los clientes, la segunda M es cómo se atienden y el #1 es el número de servidores y se apoya en los siguientes supuestos:

1. Solamente hay un servidor. 2. La población de unidades que buscan servicio es finita. 3. Las llegadas siguen una distribución de Poisson y los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente 4. Los clientes son atendidos con base en el principio primeros en llegar, primeros en ser atendidos.

ECUACIONES: λ = tasa de llegadas promedio, μ = tasa de servicio promedio, n = tamaño de la población

https://www.youtube.com/watch?v=bHe1s2Sp1iE

Ejercicio #2: Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos = 0.75 clientes/minutos μ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos = 1 cliente/minuto Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) = 3 minutos

A).- Tiempo promedio de un cliente en el sistema..

= 1 / (1-0.75) = 1/(0.25) = 4 minutos

λ = tasa de llegadas promedio, μ = tasa de servicio promedio

Es decir, un cliente pasa un tiempo total en el sistema de 4 minutos, 3 minutos haciendo cola y 1 min en el servicio.

B).- Número de clientes en la cola…

= (0.75) / (1(1-0.75)) = 0.5625/(1)(0.25) = 2.25 clientes 2

C).- Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

= 0.75 / (1-0.75) = 0.75/0.25 = 3 clientes

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

Ejercicio #3: Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 9 clientes/hora = 9/60 (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos μ= 1 (cliente)/5 (minutos) = 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los clientes)

a) Vamos calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.

= 0.15/0.2 = 0.75 = 75% de uso del sistema

Con lo anterior, podemos decir que la probabilidad de tener ocioso o “cero” clientes en el sistema es del 25%; esto también se puede sacar de la siguiente manera…

b) La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes…

La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1. Será la probabilidad que hayan más de tres. P(Ls>3)=1 – (P0 + P1 + P2 + P3)= 1-(0.25+0.1875+0.1406+0.1055) = 1 - 0.6836 = 0.3164 = 31.64% de probabilidad de que hayan mas de 3

Continuación de ejemplo #3…

c) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola.

Que es el tiempo promedio que un cliente espera en la cola

Recordemos la distribución exponencial…

Distribución exponencial: permite calcular la probabilidad de atender al cliente en X unidad de tiempo.

Donde: X = Tiempo entre eventos µ =promedio de eventos por unidad de tiempo.

D).- Ahora vamos a calcular tiempo (t) de espera sea mayor de 30 minutos en la cola.

Continuación de ejemplo #3…

E).- ¿Y de que permanezca mas de 30 min en el sistema?

Hacemos el mismo procedimiento con la distribución exponencial, pero con Ws que es el tiempo total de que un cliente pase en el sistema…

LA PROBABILIDAD ES BAJA, pero es más alta que la probabilidad de que el tiempo promedio que un cliente espere más de 30 minutos en la cola)