Presentacion Lineas de Espera

MODELOS DE LNEAS DE ESPERA

Teora de Colas

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2MODELOS DE LNEAS DE ESPERA

Temas: Introduccin Estructura de un sistema de lneas de espera Caractersticas de operacin El modelo de una fila con un servidor, llegadas Poisson

y tiempos de servicio Exponenciales Modelo de una fila con mltiples servidores Anlisis econmico de lneas de espera Modelos con capacidad finita y poblacin finita.

INTRODUCCINLneas de Espera / Teora de Colas

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4INTRODUCCIN

Las lneas de espera son omnipresentes en nuestra vida diaria y en el contexto de la industria y los negocios.

Los ejemplos ms evidentes son las filas de personas en las taquillas del cine, en las paradas de autobuses, en el trmite de la licencia de manejar, etc.

Tambin forman lneas de espera los autos en un semforo o en la gasolinera y los camiones en espera de ser descargados en la frontera.

Forman fila las llamadas en el sistema telefnico del banco, los documentos en la charola del jefe que los va a firmar, los correos electrnicos en espera de ser ledos.

5INTRODUCCIN (CONTINA)

Tambin forman fila los documentos en el spooler de una impresora compartida. En un proceso de fabricacin forman fila los materiales en espera de

ser procesados, los lotes de producto en proceso que esperan por una mquina o por un operario, los productos terminados en espera de ser embarcados. Tambin estn en una fila los pedidos de clientes en espera de ser surtidos. Los pacientes del IMSS que estn esperando en lista para una

intervencin quirrgica tambin estn formando una fila. Las lneas de espera forman parte natural en nuestras vidas, tanto

que muchas veces no nos damos cuenta de que estamos siendo afectados por una lnea de espera.


Puedes dar al menos tres ejemplos diferentes de lneas de espera que no hayamos mencionado?

Los efectos de las lneas de espera son importantes porque casi siempre las filas generan costos adicionales a las empresas (por ejemplo los costos de inventarios), incrementan los tiempos de respuesta y afectan negativamente a los niveles de servicio.

En muchos procesos de servicio o de fabricacin, la mayor parte del tiempo que un cliente o un producto pasan en la empresa es tiempo de espera en alguna lnea de espera al inicio, en medio o al final del proceso. Los tiempos efectivos de operacin o atencin son pequeos comparados con las esperas.


Dados los efectos negativos que tienen las lneas de espera sobre los costos, los inventarios, los tiempos totales de proceso y los niveles de servicio, es muy relevante analizar su comportamiento, de manera que si no pueden eliminarse por completo las lneas de espera, s se puedan estudiar sus efectos, y en caso de ser posible, mejorar su desempeo.

Algunos de los parmetros de desempeo usualmente asociados a lneas de espera son: el nmero promedio de unidades (clientes) en la fila, tiempo promedio de espera en las filas, tiempo total de una unidad en el sistema, costo de operacin del sistema, entre otros.

ESTRUCTURACaractersticas, parmetros y nomenclatura de las lneas de

espera

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10

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LNEAS DE ESPERA

Teora de Colas es el estudio de las lneas de espera. Cuatro caractersticas que determinan el comportamiento de una lnea

de espera: La forma en la cual arriban los clientes a la fila El tiempo requerido para dar el servicio La prioridad que determina el orden de servicio a los clientes El nmero y configuracin de los servidores en el sistema (canales).

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En general, la llegada de clientes al sistema es un evento aleatorio Frecuentemente se modela el patrn de llegadas

como un proceso Poisson El tiempo de servicio es tambin usualmente una

variable aleatoria La distribucin Exponencial se utiliza

frecuentemente para modelar los tiempos de servicio.

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La disciplina de servicio ms comn en lneas de espera es PEPS (primeras entradas primeras salidas) Un elevador podra ser un ejemplo de UEPS (ltimas entradas primeras salidas). Hay comportamientos de los clientes que hacen difcil su modelacin matemtica: abandonar la fila cuando ya esper mucho, saltar de una fila a otra, decidir no formarse si las filas son largas, etc.

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DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y POISSON

En los modelos Markovianos de lneas de espera, se utiliza la funcin de densidad de probabilidad exponencial para modelar el comportamiento aleatorio de los tiempos entre llegadas de clientes y de los tiempos de servicio. Si l es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo,

entonces 1/l es el tiempo promedio entre arribos consecutivos. Si los tiempos entre llegadas son ocurrencias de una variable aleatoria con f.d.p. exponencial, el valor esperado del tiempo entre llegadas sera 1/l. La f.d.p. exponencial de los tiempos entre arribos tiene entonces

la siguiente forma: = para t 0.

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Si m es la tasa promedio de servicio (capacidad de servicio en clientes por unidad de tiempo), entonces 1/m es el tiempo promedio de servicio. Si los tiempos de servicio son ocurrencias de una variable aleatoria con f.d.p. exponencial, el valor esperado del tiempo entre llegadas sera 1/m.

La f.d.p. exponencial de los tiempos de servicio tiene entonces la siguiente forma: = para t 0. La funcin de probabilidad acumulada (Funcin de Distribucin) es:

para t 0.F = 1 P(t a) = F = 1 P(t a) =

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Las funciones de probabilidad Poisson y Exponencial son funciones duales, dos formas distintas de modelar el mismo fenmeno aleatorio.

La funcin de densidad exponencial sirve para modelar el comportamiento aleatorio de los tiempos, una variable aleatoria continua.

Si en lugar de observar el tiempo entre llegadas o el tiempo de servicio, observamos el NMERO de entidades (clientes) que llegan en un cierto intervalo de tiempo, o que son atendidos en un intervalo de tiempo, ese nmero es una variable aleatoria discreta con distribucin Poisson.

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En el caso de los eventos de llegadas de clientes, el tiempo que transcurre entre 2 eventos consecutivos es una variable aleatoria continua con distribucin Exponencial y valor esperado 1/l . El nmero de eventos (llegadas) que ocurren en un cierto intervalo de tiempo es una variable aleatoria discreta Poisson con valor esperado l.

Sea x el nmero de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, la funcin de probabilidad Poisson es la siguiente: = ! x = 0, 1, 2, 3, = ! = P(x =a)

= ! > = 1 !

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EJEMPLO1: EXPONENCIAL

Los pedidos de clientes llegan a una empresa de acuerdo a un patrn Markoviano, a razn de 20 pedidos por hora.

a) Cul es la probabilidad de que transcurran ms de 5 minutos entre las llegadas de 2 pedidos consecutivos?

Tasa de llegadas = l = 20

Pregunta: P(t > 5 min) = P(t > 1/12 hora)P(t > 1/12) = e -20(1/12) = 0.1889P(t > 5 min) = 0.1889

P(t a) = l

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EJEMPLO 2: POISSON

Los pedidos de clientes llegan a una empresa de acuerdo a un patrn Markoviano, a razn de 20 pedidos por hora.

b) Cul es la probabilidad de que lleguen menos de 3 pedidos en un lapso de 15 minutos?

Tasa de llegadas = l = 20 (en una hora)Tasa de llegadas = l = 5 (en 15 minutos)

Pregunta: P(x < 3) = P(x 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)P(x < 3)

P(x < 3) = 0.1247

= != ! + ! + ! = (! + ! + ! )

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EJERCICIO 1.

La tasa de llegadas al servicio de copiado en Office Mart es de 15 clientes por hora. El tiempo entre llegadas de clientes consecutivos es una variable aleatoria exponencial.

a) Cul es la probabilidad de que lleguen menos de 2 clientes en un lapso de 10 minutos?

b) Cul es la probabilidad de que transcurran ms de 5 minutos entre la llegada de un cliente y el siguiente?

c) Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente 3 clientes en un lapso de 5 minutos?

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EJERCICIO 2.

La tasa de servicio de copiado en Office Mart es de 25 clientes por hora. El tiempo de servicio es una variable aleatoria exponencial.

a) Qu porcentaje de los clientes tendrn tiempos de servicio menores a 3 minutos?

b) Qu porcentaje de los clientes traern trabajos que requieran ms de 10 minutos para procesarse?

c) Cul es la probabilidad de que no llegue ningn cliente en un lapso de 8 minutos?

d) Cul es la probabilidad de que llegue al menos un cliente en un lapso de 2 minutos?

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PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

Los llamados procesos de nacimiento y muerte describen una gran diversidad de situaciones prcticas cuya caracterstica principal consiste en la aparicin y/o desaparicin de entes en la cantidad +1 o 1. Si n(t) expresa el nmero total de entes que componen la

poblacin al tiempo t, entonces n(t) puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo. En una lnea de espera ocurrira un nacimiento cuando un

nuevo cliente se incorpora al sistema y ocurre una muerte cuando un cliente que est siendo atendido termina su servicio y se retira del sistema.

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PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

El proceso se puede modelar con un diagrama de transicin de estados, en el que n(t) es el estado del sistema (nmero de entes en el sistema) en el periodo t. As, si la poblacin es de 5 entidades el sistema se encuentra en el estado 5, su estado puede cambiar a 6 si ocurre un nacimiento o a 4 si ocurre una muerte. En un instante de tiempo el sistema solamente puede cambiar a los estados adyacentes, ya que solo puede ocurrir un nacimiento o una muerte.

En general en cada estado las tasas de nacimiento y muerte pueden ser diferentes a las de otro estado:ln = Tasa de nacimientos cuando el sistema est en el estado n

mn = Tasa de muertes cuando el sistema est en el estado n

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PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE

Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el nmero de clientes luego de un Dt suficientemente pequeo ser (n-1) si ocurri una salida o (n+1) si fue una entrada

Se obtiene la ecuacin de equilibrio (condicin para que el sistema permanezca en el estado n):

ln-1Pn-1 + mn+1Pn+1= ( ln + mn) Pn

n-1 n+1

ln-1

mn

n

ln

mn+1

... ...Pj es la probabilidad de que en un instante dado el sistema se encuentre en el estado j.

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Clasificacin de Kendall y LeeNOTACIN DE KENDALL Y LEE (1953)

Kendall y Lee proponen un sistema de clasificacin para

sistemas de lneas de espera, el cual considera seis de las

caractersticas mencionadas en la estructura de los

modelos.

El sistema tiene el siguiente formato:

(A/B/c)(D/E/F)

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(A/B/c)(D/E/F)

PATRN de LLEGADASM: Markoviano /(Poisson)G : GeneralE : Erlang

NUMERO DESERVIDORES

1: un servidors: s servidores

en paralelo

TAMAO DE LAPOBLACIN: InfinitaP : Finita

CAPACIDAD DELSISTEMA : Infinita

K : Finita

PATRN del SERVICIOM: Markoviano (Exponencial)G : GeneralE: Erlang

DISCIPLINA DE SERVICIODG , FIFO , LIFORAND, PRI

CLASIFICACIN DE KENDALL Y LEE

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Clasificacin de Kendall y LeeNOTACIN DE KENDALL-LEE

A Distribucin de probabilidad del tiempo entre llegadas de los clientes

B Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Smbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribucin Erlang con parmetro kG : cualquier tipo de distribucinGI: distribucin general independienteH : distribucin hiperexponencialM : distribucin exponencial

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Clasificacin de Kendall y LeeNOTACIN DE KENDALL-LEE

c Nmero de servidores

D Orden (disciplina o poltica) de atencin de los clientes

Smbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros servicios (PEPS)LIFO : ltimas entradas, primeros servicios (UEPS)SIRO : orden aleatorio (Service In Random Order)PR : con base en prioridadesGD : en forma general (General Discipline)

E Nmero mximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

F Nmero de clientes potenciales del sistema de lneas de espera

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NOTACIN DE KENDALL - LEE

Ejemplos de la notacin: M/M/2/PEPS/10/1000 se refiere a un sistema en el que los tiempos

entre llegadas y los tiempos de servicio siguen distribuciones exponenciales (Markovianas) y se tienen 2 servidores en paralelo. La poltica de servicio es PEPS. El sistema tiene capacidad para 10 clientes en total (los dems que lleguen se rechazan) y los clientes provienen de una poblacin de 1000 unidades. M/D/1 se refiere a un sistema en el cual los tiempos entre llegadas

de clientes siguen una distribucin exponencial (M = Markoviano), el tiempo de servicio es constante ( D = Determinstico) y se cuenta con un solo servidor. Si se omiten los dems caracteres se asume que son PEPS, infinito, infinito.

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CARACTERSTICAS DEL SISTEMA

l = tasa promedio de llegadas

1/l = tiempo promedio entre llegadas

= tasa promedio de servicio por cada servidor

1/ = tiempo promedio de servicio

s = desviacin estndar del tiempo de servicio

Por ejemplo si a una gasolinera llegan en promedio 10 autos por hora (l = 10), el tiempo promedio entre llegadas es de 1/10 hora = 6 minutos. Si el tiempo promedio de servicio es de 5 minutos (1/m = 5), entonces la tasa promedio de servicio es de 1/5 por minuto = 12 por hora.

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CARACTERSTICAS DE OPERACIN DEL SISTEMA

P0 = probabilidad de que el sistema est ocioso (vaco)Pn = probabilidad de que haya n unidades (clientes) en

el sistema (en la fila ms los que estn siendo atendidos)

Pw = probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar en la fila

Lq = nmero promedio de unidades (clientes) en la fila de espera.

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CARACTERSTICAS DE OPERACIN DEL SISTEMA

L = nmero promedio de clientes en el sistema (en la fila ms los que estn siendo atendidos)

Wq = tiempo promedio de espera en la filaW = tiempo promedio de estancia en el sistema (en la fila ms el servicio)

MODELOS ANALTICOSEl modelo bsico M/M/1

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33

FRMULAS ANALTICAS

Para prcticamente todos los sistemas de lneas de espera, existe una relacin entre el tiempo promedio que una unidad (o un cliente) permanece en el sistema y el nmero promedio de unidades en el sistema.

Estas relaciones se conocen como las Ecuaciones de Flujo de Little:

L = lW and Lq = lWqA un tnel en la carretera entran vehculos a razn de 2 por minuto en promedio (l = 2), si los autos cruzan el tnel en un promedio de 3 minutos (W = 3), entonces habr en promedio 6 (L = lW ) autos dentro del tnel.

En una lnea de produccin el tiempo de ciclo de materiales que entran y salen es de 30 segundos, es decir, entra o sale una unidad cada 30 segundos (1/l = 30), si el inventario en proceso en promedio es de 500 unidades (L = 500), entonces el tiempo total de produccin desde que entra una unidad hasta que sale es 15000 segundos (W = L/l), en promedio 4 h 10 min.

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FRMULAS ANALTICAS

Cuando la poltica de servicio es PEPS, se han desarrollado modelos analticos para diferentes modelos, incluyendo: M/M/1, M/M/k, M/G/1, y M/M/1 con poblacin finita. Es muy complicado modelar analticamente otros

sistemas con caractersticas ms complejas (por ejemplo patrones irregulares de llegadas, diversidad de servicios otorgados, horarios fijos, etc.), o modelar algunos comportamientos de los clientes (como abandonar la fila, cambiarse de fila, etc.). En estos casos es preferible utilizar la simulacin para modelar y aprender acerca del sistema.

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0 1 2 4 n

lDt l l l l l

mDt m m m m m

3

l

m

....... ....

EL MODELO M/M/1

Es uno de los sistemas ms simples, una fila nica frente a un nico servidor, tiempos con distribucin Exponencial.

M / M / 1 / DG / / Markoviano (tiempos entre llegadas exponenciales), Markoviano (tiempos

de servicio exponenciales), 1 servidor, disciplina general (no importa el orden), capacidad infinita del sistema, poblacin de origen infinita.

Como la poblacin es infinita, la tasa de llegadas l no se altera aunque haya muchos clientes en el sistema. Los servidores trabajan al mismo ritmo independientemente del nmero de clientes que haya en el sistema, m es constante.

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EJEMPLO 3: FPP S.C. (A)

Sistema de lneas de espera M/M/1 Jos Ferrer es un corredor de bolsa en la BMV,

quien trabaja para el despacho Ferrer, Prez y Pereyra. Las peticiones de transacciones le llegan de sus

clientes a razn de 20 por hora en promedio. Cada transaccin recibida requiere en promedio 2

minutos para ser procesada.

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Las peticiones llegan a una tasa media de 20 por hora, lo que equivale a 1 peticin cada 3 minutos. Por lo tanto, en un intervalo de 15 minutos el nmero esperado de peticiones que lleguen ser l = 15/3 = 5.

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Distribucin de las llegadas.Pregunta

Cul es la probabilidad de que no se reciban transacciones en un lapso de 15 minutos?

Solucin (Poisson)P(x = 0) = (50e-5)/0! = e-5 = .0067

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Distribucin de las llegadasPregunta

Cul es la probabilidad de que en un lapso de 15 minutos se reciban exactamente 3 peticionesSolucin (Poisson)

P(x = 3) = (53e-5)/3! = 125(.0067)/6 = .1396

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Distribucin de las llegadasPregunta

Cul es la probabilidad de que lleguen ms de 6 peticiones en un lapso de 15 minutos?Solucin (Poisson)

P(x > 6) = 1 [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6)]

= 1 - .762 = .238

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Distribucin tiempos de servicioPregunta

Cul es la tasa media de servicio por hora?

SolucinDado que Jos puede procesar una peticin en un

tiempo promedio de 2 minutos (1/30 hora), entonces la tasa promedio de servicio, , es = 1/(tiempo promedio), o 30/hr.

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Distribucin de los tiempos de servicioPregunta

Qu porcentaje de las peticiones requerirn menos de un minuto para ser procesadas?

Solucin (Exponencial)Dado que las unidades estn expresadas en horas:

P(t < 1 min) = P(T < 1/60 hora). Utilizando la distribucin exponencial, P(T < t) = 1 - e-t. Por lo tanto, P(T < 1/60) = 1 - e-30(1/60)

= 1 - .6065= .3935

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Qu porcentaje de las transacciones sern procesadas en exactamente 3 minutos?

SolucinDado que la f.d.p. Exponencial corresponde a

una variable aleatoria continua, la probabilidad de que tome un valor determinado es cero.

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Qu porcentaje de las transacciones requerir ms de 3 minutos para procesarse?

Solucin (Exponencial)P(T > 3/60) = e-30(3/60) = e -1.5 = .2231 = 22.31%

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FRMULAS PARA LOS PARMETROS DE DESEMPEO M/M/1

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Tiempo promedio en el sistema (W).Pregunta

En promedio, cunto tiempo transcurre desde que Jos recibe una peticin hasta que termina de procesarla? Solucin

El parmetro que se necesita calcular es W, el tiempo total de estancia de una entidad en el sistema. Incluye el tiempo promedio de espera en la fila ms el tiempo promedio de procesamiento. Sistema M/M/1 con l = 20 por hora and m = 30 por hora.

W = 1/(30 - 20)W = 1/10 hora o 6 minutos lm -

=1W

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Nmero promedio de clientes en la fila (Lq).Pregunta

En promedio, cuntas transacciones tiene Jos esperando en fila antes de procesarlas?

SolucinLq = (20)2/[(30)(30-20)]Lq = 400/300 Lq = 4/3

( )lmml

-=

2

qL

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Factor de UtilizacinPregunta

Qu porcentaje de su tiempo est Jos procesando peticiones de sus clientes?

Solucinl/m = 20/30l/m = 2/3 o 66.67%m

lr =

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Probabilidad de que haya n entidades en el sistema.Pregunta

Cul es la probabilidad de que en un momento dado Jos tenga en sus manos menos de 3 solicitudes de clientes?

Solucin

0PPn

n

=

ml

==

-=====

=

=

a

n

na

n

n

PPanP0

00

0)( rml

( ) [ ] 27199432312

032

31 1)()()3( =++==<

=n

nnP

50


A B C D E F G H1 l 202 m 3034 Po =1-H1/H25 Lq =H1^2/(H2*(H2-H1))6 L =H5+H1/H27 Wq =H5/H18 W =H7+1/H2

9 Pw =H1/H2

Caractersticas de OperacinProbabilidad de sistema ociosoNmero de entidades en esperaNmero de entidades en el sistemaTiempo promedio de esperaTiempo promedio de estanciaProbabilidad de que una entidad tenga que esperar

Tasa de LlegadasTasa de Servicio

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l 20m 30

Po 0.333Lq 1.333L 2.000

Wq 0.067W 0.100

Pw 0.667

Nmero prom. entidades en sistema

Tasa de LlegadasTasa de Servicio

Caractersticas de OperacinProbabilidad sistema ociosoNmero promedio entidades en fila

Tiempo promedio espera en filaTiempo promedio estancia sistemaProbabilidad entidad deba esperar

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EJERCICIO 3. LA DESCRIPCIN

A una empresa que vende por internet llegan pedidos aleatoriamente, con un tiempo promedio de 2 minutos entre cada pedido. El sistema de procesamiento de pedidos tiene capacidad para procesar cada pedido en 80 segundos en promedio. Tanto el tiempo entre llegadas como el de servicio son variables aleatorias con funcin de densidad exponencial. Muchas veces los pedidos tienen que esperar en fila antes de ser procesados. El proceso incluye la validacin de los datos del pedido, la bsqueda en inventario, y la expedicin de la orden de picking para el almacn. Los pedidos se procesan uno por uno en el orden en el que llegan. En los negocios por internet una de las principales variables competitivas es

el costo por transaccin, las empresas deben cuidar con mucho detalle cuanto les cuesta el atender cada pedido. El factor principal que determina el costo de transaccin es el tiempo que

se dedica a atender cada transaccin. La empresa ha calculado que cada minuto que un pedido pasa en la empresa desde que llega hasta ser surtidocuesta a la empresa $5. La empresa trabaja 24 horas diarias 365 das al ao.

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EJERCICIO 3. LAS PREGUNTAS.

a) Qu porcentaje del tiempo estar ocioso el sistema de procesamiento de pedidos?b) Cul es la probabilidad de que un pedido que llega tenga que esperar antes de iniciar su procesamiento?c) Cul es el nmero promedio de pedidos en espera de ser procesados?d) Cul es el nmero promedio de pedidos en el sistema (en la fila + en proceso)?e) Cul es la probabilidad de que en un momento dado haya ms de 5 pedidos en la empresa?f) Cul es el costo promedio de transaccin por pedido?g) Cul es el valor esperado del costo anual de las transacciones de la empresa?h) Un proveedor de sistemas de cmputo ofrece a la empresa un sistema que puede reducir el tiempo promedio de proceso del pedido a 60 segundos (actualmente es 80 seg). Si la empresa quiere recuperar su inversin en un ao, cunto es lo mximo que debe pagar por ese sistema?.

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FRMULAS PARA M/M/K

Sistema unifila con kservidores idnticos en paralelo.

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EJEMPLO 5: FPP S.C. (B)

Sistema M/M/k (Sistema unifila con k=2 servidores idnticos)El despacho FPP ha lanzado una campaa de publicidad

que incrementar su demanda en un 50%. Para poder atender la demanda han contratado a un ejecutivo adicional de nombre Alfredo, quien trabaja con la misma rapidez que Jos. Ntese que la nueva tasa de llegadas es 50% ms alta que en el pasado, por lo tanto l = 1.5(20) = 30 por hora.

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Capacidad de la tasa de servicioPregunta

Podra Jos sin ayuda manejar la nueva tasa de llegadas?

SolucinDado que Jos es capaz de procesar = 30

transacciones por hora, ahora l = = 30 y el factor de utilizacin sera 1. Para que el sistema M/M/1 sea viable es necesario que l < . Jos no podra por s solo atender la nueva demanda.

Cuando hay k servidores en paralelo, la condicin para que el sistema no colapse es que l < k*m.

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Probabilidad de n clientes en el sistema.Pregunta

Cul es la probabilidad de que tanto Jos como Alfredo se encuentren ociosos en algn punto del tiempo?

Solucin

Dado que l = 30, = 30, k = 2 and (l /) = 1, la probabilidad de que ambos estn desocupados se calcula as:

( )-

= -+

=1

0

0

)(!

)/(!

)/(1

k

n

kn

kk

kn

P

lmmmlml

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Po = 1/[(1 + (1/1!)(30/30)1] + [(1/2!)(1)2][2(30)/(2(30)-30)]

Po = 1/(1 + 1 + 1) = 1/3

( )-

= -+

=1

0

0

)(!

)/(!

)/(1

k

n

kn

kk

kn

P

lmmmlml

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Tiempo promedio total en el sistema (W)Pregunta

Con Jos y Alfredo trabajando lado a lado, cunto tiempo en promedio transcurre desde que llega una peticin al sistema hasta que se termina de procesar?Solucin alternativa

o

k

q PkkL

--

= 2)()!1()/(

lmmllm

lq

q

LW =

m1

+= qWW

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Solucin propuesta

l(l /)k (30)(30)(30/30)2

Lq = P0 = (1/3) = 1/3(k-1)!(k - l )2 (1!)((2)(30)-30))2

L = Lq + (l /) = 1/3 + (30/30) = 4/3 W = L/l = (4/3)/30 = 4/90 hr. = 2.67 min.

o

k

q PkkL

--

= 2)()!1()/(

lmmllm

ml

+= qLL lL

W =

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Longitud promedio de la fila (Lq)Pregunta

Cul es el nmero promedio de transacciones en espera de ser procesadas por Jos o Alfredo?

SolucinEl nmero promedio de entidades en la fila es

Lq. En la hoja anterior se haba calculado ya este valor, Lq = 1/3.

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EJEMPLO 5: FPP S.C. (B)RESUMEN DE PARMETROS.

VER OTRO EJEMPLO M/M/2 EN VIDEO:

Primera parte (8 min.) http://youtu.be/CmeRrnDuzmM

k 2l 30m 30

Po 0.3333Lq 0.3333L 1.3333

Wq 0.0111W 0.0444Pw 0.3333

Tasa de llegadasTasa de servicio

Probabilidad de tener que esperar

Nmero de canales (servidores)

Tiempo promedio espera en filaTiempo promedio total sistema

Caractersticas de OperacinProbabilidad sistema ociosoNmero promedio clientes filaNmero promedio clientes sistema

Segunda parte (8 min.) http://youtu.be/TJPp1sE9uYM

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EJERCICIO 4.

El taller mecnico DOHC opera un mostrador de servicio donde se surten las refacciones que los mecnicos necesitan para hacer las reparaciones. El mostrador es atendido por un coordinador de refacciones. Los mecnicos acuden al mostrador a una tasa media de 4 por hora. El coordinador de refacciones ocupa un promedio de 6 minutos con cada uno de ellos.

a) Actualmente se trabaja con un coordinador de refacciones. En promedio cada mecnico espera 4 minutos en fila antes de que el coordinador de refacciones est disponible para atenderlo. Calcula Lq. W y L para esta operacin de refacciones de un solo canal.b) El gerente consider que los mecnicos pierden demasiado tiempo esperando por las refacciones que necesitan, por lo que contrat temporalmente a un segundo coordinador de refacciones. En este periodo de prueba con 2 servidores atendiendo a los mecnicos se mostr que, en promedio, cada uno de los mecnicos tuvo que esperar slo 15 segundos antes de que estuviera disponible un coordinador de refacciones. Calcula Lq, W y L para este sistema de una fila dos canales.

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EJERCICIO 5LA DESCRIPCIN (PROB 22 LIBRO ANDERSON)

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EJERCICIO 5LAS PREGUNTAS

NOTA: Contesta las 6 preguntas para cada uno de los 3 sistemas que se describen en el problema. Puedes utilizar las frmulas de Excel que vienen en los ejemplos.

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EJEMPLO 6: FPP S.C. (C)

Anlisis Econmico de las Lneas de Espera

La campaa publicitaria de FPP ha sido tan exitosa que de hecho la demanda se duplic, ahora se reciben transacciones de clientes a razn de 40 por hora. La empresa debe decidir cuntos ejecutivos contratar para enfrentar el incremento de demanda, los ejecutivos tienen idntico desempeo y pueden procesar en promedio una transaccin en 2 minutos.

De acuerdo a los clculos de sus contadores la empresa estima que el costo promedio de espera de una transaccin es de $0.50 por minuto (L = nmero de transacciones en el sistema). Los ejecutivos ganan cada uno $20 por hora. Utilizando esta informacin compare los costos totales de operacin con k=2 ejecutivos y con k=3 ejecutivos.

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Anlisis Econmico

Costo Total por Hora

= (Salarios por hora) + (Costo por las transacciones en el sistema)

= ($20 por ejecutivo por hora) x (nmero de ejecutivos) + ($30 costo por hora) x (nmero promedio de transacciones en el sistema)

Costo Total por hora = 20k + 30L.

Para hacer los clculos se necesita calcular L, con k=2 y k=3 siendo l = 40/hr. and m = 30/hr. (dado que el tiempo de servicio es 2 min.).

68


COSTO CON 2 SERVIDORES (k=2)Po = 1 / [1+(1/1!)(40/30)]+[(1/2!)(40/30)2(60/(60-40))]Po = 1 / [1 + (4/3) + (8/3)] = 1/5

l(l /)k (40)(30)(40/30)2Lq = P0 = (1/5) = 16/15

(k-1)!(k -l )2 1!(60-40)2

L = Lq + (l /) = 16/15 + 4/3 = 12/5

Costo Total = (20)(2) + 30(12/5) = $112.00 por hora.

( )-

= -+

=1

0

0

)(!

)/(!

)/(1

k

n

kn

kk

kn

P

lmmmlml

o

k

q PkkL

--

= 2)()!1()/(lm

mllmml

+= qLL

69


COSTO CON 3 SERVIDORES (k = 3)

P0 = 1/[[1+(1/1!)(40/30)+(1/2!)(40/30)2]+ [(1/3!)(40/30)3(90/(90-40))] ]

= 1 / [1 + 4/3 + 8/9 + 32/45] = 15/59

(30)(40)(40/30)3

Lq = (15/59) = 128/885 = .1446(2!)(3(30)-40)2

L = 128/885 + 40/30 = 1308/885 (= 1.4780)

Costo Total = (20)(3) + 30(1308/885) = $104.35 por hora.

( )-

= -+

=1

0

0

)(!

)/(!

)/(1

k

n

kn

kk

kn

P

lmmmlml

o

k

q PkkL

--

= 2)()!1()/(lm

mllmml

+= qLL

70


Comparacin Final

Costo/hrCosto/hr Costo/hrsalarios espera TOTAL

2 Ejecutivos $40.00 $82.00 $112.003 Ejecutivos 60.00 44.35 104.35

El costo de operacin resulta ms conveniente con 3 ejecutivos que con 2.

VER OTRO EJEMPLO M/M/1 CON COSTOS EN VIDEO: http://youtu.be/c2iomTap78M

71

EJERCICIO 6.(PROBLEMA 23 LIBRO DE ANDERSON)

MODELOS ADICIONALES DE LNEAS DE ESPERA

Capacidad Finita y Poblacin Finita

MODELO DE CAPACIDAD FINITAM/M/1/GD/c/

74

Tiempos de llegadas y de servicio exponenciales Un nico servidor (un canal) No importa la disciplina de servicio El sistema tiene capacidad c, 1 cliente siendo atendido, c-1 clientes en fila. No es necesario que l < m porque el sistema est limitado, se rechazan los clientes que excederan la capacidad Ejemplo: Llamadas en espera en un servicio de atencin al cliente, si no se excede la capacidad pone al cliente en espera, si se excede la capacidad da tono de ocupado.

DIAGRAMA DE ESTADOS PARA EL MODELO M/M/1/GD/C/

75

ECUACIONES ANALTICAS MODELO M/M/1/GD/C/

mlr =

oo P=p nn P=p

)1( ccefectiva pllpll -=-=

- Cuando en el sistema hay menos de cclientes (todava tiene capacidad), la tasa de llegadas es l.

- Cuando ya hay c clientes, que es la capacidad del sistema, la tasa de llegadas es cero porque ya no se pueden incorporar clientes al sistema.

- pj es la probabilidad de que haya jclientes en el sistema.

- Lambda efectiva es la tasa a la que realmente se aaden clientes al sistema, es igual a la lambda de llegadas multiplicada por la probabilidad de que el sistema no est lleno.

para l = m,

para l m,

Ls = Nmero promedio de clientes siendo atendidos por el servidor

77

EJEMPLO 7

Un promedio de 40 carros por hora (tiempos entre llegadas son exponencialmente distribuidos) intentan utilizar la ventanilla de servicio en el auto en el restaurant Hot Dog King. Si hay en total 4 carros en la lnea, incluyendo el que ya est en la ventanilla, no se pueden incorporar ms autos al sistema. El tiempo de servicio es de 4 minutos en promedio, con distribucin exponencial.

a) Cul es el nmero esperado de carros haciendo fila, sin contar el que est siendo atendido?

b) En promedio, cuntos carros son atendidos por hora?c) Si un carro acaba de llegar a la fila, cunto tiempo en

promedio transcurrir en la fila hasta que empiecen a atenderlo?

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SOLUCIN

l = 40 / hora = (2/3) / minc = 41/m = 4 min, m=(1/4)/minr = l / m = 8/3po = 0.012452pc = 0.629669 (con la frmula de pj , con j = c = 4 )l efectiva = l*(1 - pc ) = 0.246887 / minL = 3.437356 (con la frmula larga de L)Ls = 1 po = 0.987548Pregunta a: Lq = L Ls = 2.449808Pregunta c: Wq = Lq/l efectiva = 9.922790 (ntese que las ecuaciones de flujo de Little se mantienen, siempre y cuando se use la lambda efectiva)Pregunta b: Cuntos clientes se sirven por hora? = l efectiva = 0.246887 * 60 = 14.81322 autos por hora.

79

EJERCICIO 7.

Cerca de la zona peatonal en el centro histrico de la ciudad operan 2 pequeas peluqueras tradicionales. Cada peluquera es atendida por un solo peluquero. Cada una de ellas tiene un silln de peluquero y 3 sillas para los clientes que esperan. Cuando un cliente potencial se asoma y ve todas las sillas ocupadas, mejor se va.

El peluquero de la peluquera Alfredo Castillo cobra $110 por corte y se tarda 12 minutos con cada cliente. El peluquero de la peluquera Pronto y Bien cobra $50 por corte y se tarda 6 minutos con cada cliente.

En promedio, a cada peluquera se acercan 10 clientes potenciales por hora, claro que solamente se quedan si no estn llenas las sillas.

Cul peluquero est ganando ms dinero?

MODELO DE REPARACIN DE MQUINAS

Modelo de Poblacin Finita

81

MODELO DE POBLACIN FINITA: REPARACIN DE MQUINAS

M/M/R/GD/K/K

En el modelo de reparacin de mquinas, el sistema consiste de K mquinas y R cuadrillas de reparacin (cada cuadrilla podra tener una o ms personas). En cualquier instante de tiempo, una mquina en particular puede estar ya sea en buenas o malas condiciones para operar. El tiempo durante el cual cada mquina se encuentra en buenas condiciones de operacin, sigue una distribucin exponencial con tasa igual a l. Siempre que una mquina se descompone es enviada a un centro de reparacin en el que trabajan R cuadrillas. El centro de reparacin da servicio a las mquinas como si estuvieran arribando a un sistema M/M/R/GD// .

82

Si j R mquinas estn descompuestas, una mquina que justo se acaba de descomponer es asignada de inmediato a una cuadrilla para su reparacin. Si hay j > R mquinas descompuestas entonces j R mquinas estarn en una fila simple esperando a que se desocupe una de las R cuadrillas.

El tiempo necesario para hacer la reparacin de una mquina descompuesta, tiene una distribucin exponencial con tasa m (el tiempo promedio de reparacin es 1/m). Una vez que la mquina ha sido reparada regresa a una buena condicin operativa y nuevamente es susceptible de descomponerse.

MODELO M/M/R/GD/K/K

83

NOTA: El estado (0, 1, 2, 3, 4, 5) significa el nmero de mquinas descompuestas.

l es la tasa de descomposturas de cada mquina, en el estado 0significa que todas las mquinas estn funcionando, por eso la tasa de descomposturas es 5l, al estar todas las mquinas operando las 5 son susceptibles de descomponerse, en cambio en el estado 4 ya estn descompuestas cuatro mquinas, solo hay una mquina funcionando y susceptible de descomponerse, las tasa de descomposturas es l.

DIAGRAMA DE ESTADOS PARA EL MODELO DE REPARACIN DE MQUINAS

R=2 K=5

84

DIAGRAMA DE ESTADOS PARA EL MODELO DE REPARACIN DE MQUINAS

R=2 K=5

En el estado 4, por ejemplo, hay 4 mquinas descompuestas, pero como solo hay 2 cuadrillas, entonces hay 2 mquinas en reparacin, la tasa de reparacin es 2m. Como solamente hay 2 cuadrillas, la tasa de reparacin es 2m para los estados 2, 3, 4 y 5 aunque haya ms de 2 mquinas descompuestas.

Por otro lado, en el estado 1hay una mquina descompuesta, solo se ocupa 1cuadrilla, y la tasa de reparaciones es m.

85

ECUACIONES PARA EL MODELO M/M/R/GD/K/K

La probabilidad de que haya j mquinas en el taller (descompuestas o siendo reparadas) es pj. Hay 2 frmulas, para j R, y para R < j K:

La probabilidad de que un reparador en particular est ocioso es:

86

ECUACIONES (CONTINA)

L = nmero esperado de mquinas descompuestas

Lq = nmero esperado de mquinas en espera de ser reparada

W = tiempo promedio que una mquina no est disponible para trabajar (tiempo de estancia en el taller)

Wq = tiempo promedio en la fila de espera por servicio

87

Una lavandera tiene 5 mquinas lavadoras. Una mquina tpicamente se descompone una vez cada 5 das. Un mecnico puede reparar una lavadora en un promedio de 2.5 das. Actualmente se cuenta con 3 mecnicos trabajando. El dueo de la lavandera tiene la opcin de remplazar los 3

mecnicos con un sper-mecnico. Este personaje podra reparar una lavadora en un tiempo promedio de 5/6 de da. El salario del sper-mecnico equivaldra a la suma de los salarios

de los 3 mecnicos normales. Los tiempos entre descomposturas y de reparacin son variables

aleatorias exponenciales. Qu decisin debe tomar el dueo?

EjerciciosEJEMPLO 8.

88

SOLUCIN CON 3 MECNICOS:

Nota: Abrir en Excel para ver las frmulas.

K = 5l = 0.2 /dam = 0.4 /daR = 3r = 0.5000p o = 0.1293

j p j j R0 0.1293 L = 1.71451 0.3232 Lq = 0.07182 0.3232 0.65713 0.1616 0 W = 2.6093 das4 0.0539 1 Wq = 0.1093 das5 0.0090 2 Prom Lav disp= 3.2855

SUMA = 1

=

89

SOLUCIN CON UN SPER-MECNICO

Es ms efectivo el sistema con un solo reparador ms rpido, aunqueson mayores las esperas, el tiempo total para reparar la mquina es menor.

K = 5l = 0.2 /dam = 1.2 /daR = 1r = 0.1667p o = 0.3604

j p j j R0 0.3604 L = 1.16241 0.3003 0 Lq = 0.52282 0.2002 1 0.76753 0.1001 2 W = 1.5145 das4 0.0334 3 Wq = 0.6812 das5 0.0056 4 Prom Lav disp= 3.8376

SUMA = 1

=

90

En el modelo de Reparacin de Mquinas NO hay una frmula para po, lo que se hace es poner todas las dems pj en funcin de po y despejar po, ya que la suma de las pj debe ser 1. j es el nmero de mquinas descompuestas (incluye las que estn siendo reparadas).

l es la tasa de descomposturas por mquina, significa cuntas veces se descompone una mquina por unidad de tiempo, 1/l es el tiempo promedio que una mquina permanece en buen estado.

Si hay K mquinas y estn todas funcionando, la tasa de llegadas al taller sera Kl, si todas estn ya descompuestas la tasa de llegadas sera 0. Por eso lj = l*(K j). lj es la tasa de llegadas cuando hay j mquinas descompuestas.

= ( ) es la tasa efectiva (media) de llegadas (K L es el nmero

esperado de mquinas en buen estado).

VER OTRO EJEMPLO EN VIDEO: http://youtu.be/fe3r59P-a0c

NOTAS SOBRE LA SOLUCIN

91

EJERCICIO 8

El departamento de polica de Pelotillehue tiene 5 patrullas. En promedio cada patrulla se descompone cada 30 das. El departamento de polica cuenta con 2 estaciones de reparacin para patrullas. En promedio cualquiera de ellas se tarda 3 das reparando una patrulla. Los tiempos de reparacin y entre descomposturas son variables aleatorias exponenciales.

a) Cuntas patrullas en promedio estn disponibles funcionando fuera del taller?b) Cuando se descompone una patrulla, cunto tiempo tardar en estar de nuevo en circulacin?c) Cul es el porcentaje de tiempo ocioso en cualquiera de las estaciones de reparacin en promedio?

92

BIBLIOGRAFA

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm y Kipp Martin. Mtodos cuantitativos para los negocios, 11a ed. Cengage Learning . Mxico. 2011. ISBN-13: 978-607-481-697-6. Lectura obligatoria: Captulo 15 (Secciones 15.1 a 15.5).

Para profundizar ms en los temas:

Taha, Hamdy A. Investigacin de operaciones. Novena edicin. Pearson Educacin, Mxico, 2012. ISBN: 978-607-32-0796-6 Lectura recomendada: Captulo 18 completo. En este libro los temas

son tratados con mayor rigor matemtico, es un libro ms adecuado para un curso de Ingeniera.

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