TEORIA DE COLAS O LINEA DE ESPERAINTRODUCCIÓN Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

Definiciones iniciales La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Introducción a la Teoría de ColasEn muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de

electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.Origen:El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

 Modelo de formación de colas.En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicioLa teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones Empollón

Objetivos de la Teoría de ColasLos objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.

Elementos existentes en un modelo de colas

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

DEMOSTRACION

Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema• L: Número esperado de clientes en el sistema.• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).• W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente• W : E(W )• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.• Wq: E (Wq )

El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo de espera de uncliente en la cola,

El número de clientes que por término medio se están atendiendo en cualquier momento es:

En un sistema de un único servidor:

La probabilidad de que un sistema de un único servidor esté vacío es p0=1-ρLa probabilidad de que un servidor (de un sistema de c servidores en paralelo) esté ocupado enel estado estable es:

El tiempo de estancia del cliente (i+1) en la cola es:

donde S(i) es el tiempo de servicio del cliente i, y T(i) es el tiempo que transcurre desde lallegada del cliente y hasta la llegada del cliente (i+1)DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADASLa distribución del proceso de las llegadas para una línea de espera involucra determinar la distribución de probabilidades del numero de llegadas en un periodo dadoLas llegadas ocurren de manera aleatoria e independientesDistribución de probabilidad poisson da una buena descripción del patrón de llegada

 Para X=0,1,2,3…X= Número de llegadas en el periodoλ= Promedio o número medio de llegadas por periodoe= 2,71828

DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIOEl tiempo de servicio es aquel que pasa un cliente en la instalación de servicio una vez que este se ha iniciadoLos tiempos de servicio son rara vez constantesLos tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencialLa probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo de duración t es:

µ= Promedio o número medio de unidades que pueden atenderse por periodo

FORMULAS para desarrollar las características de operación en estado estable de una línea de espera de un solo canal, aplicables solo cuando µ>λ

Factor de utilización 

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema 

2. Número promedio de unidades en la línea de espera 

3. Número promedio de unidades en el sistema 

4. Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera 

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema 

6. Probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio 

7. Probabilidad de que el sistema este n unidades  

(M/M/K) MODELO DE LINEA DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL.

La línea de espera tenga dos o mas canales

Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson

El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial

La tasa media de servicio µ es la misma para cada uno de los canales

Las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio

La disciplina de la cola es PEPS(Primero en entrar, primero en salir)

FORMULAS, solo aplicables cuando: Kµ>λ

λ= Tasa media de llegadas del sistemaµ= Tasa media de servicio de cada canalK= Número de canales

1. Probabilidad de que no exista unidades en el

sistema 

2. Número promedio de unidades en la línea de

espera 

3. Número promedio de unidades en el sistema 

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera 

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema   

6. Probabilidad que existan n unidades en el sistema

                                                                                     

λ= Tasa de llegada1/λ= Tiempo promedio entre llegadasµ= Tasa de servicio1/µ= Tiempo promedio de servicio

STEMAS DE COLAS Ó LINEAS DE ESPERA

Parte de nuestra vida diaria es la de esperar algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, “hacemos cola” en la caja de algún almacén o banco. Y el fenómeno de la espera no es una experiencia que se limite sólo a las

personas o seres humanos: los trabajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en círculo hasta que la torre de control les da permiso de aterrizar y los automóviles se detienen ante la luz roja de los semáforos. Desafortunadamente no se puede eliminar la espera sin incurrir en  gastos desmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar es reducir el impacto desfavorable a niveles tolerables[1].

 La teoría de colas es un área de la investigación de operaciones que estudia los sistemas que tienen que ver con clientes que necesitan un servicio, llegan a las instalaciones físicas donde se les brinda el servicio requerido y esperan mientras son atendidos. Después de recibido el servicio, se marchan de las instalaciones.

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilización promedio de las instalaciones.

 Históricamente, los primeros trabajos que comenzaron a dar cuerpo a la teoría de colas son los debidos al matemático-ingeniero danés A.K. Erlang, quien en 1909 publicó la teoría de probabilidades y las conversaciones telefónicas. Erlang era por entonces empleado de la compañía telefónica existente en teoría de probabilidad al problema de determinar el número óptimo de líneas telefónicas en una centralita, teniendo en cuenta la frecuencia de las llamadas y su duración. A él se le atribuye la distribución Erlang.A pesar de que a comienzos del estudio de la teoría, las aportaciones fueron muy escasas, esta situación cambió notablemente a partir de los años 50, comenzando a publicarse gran número de trabajos sobre el tema. En la actualidad las aplicaciones de la teoría de colas en los campos de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías abren un mayor porvenir a esta teoría matemática[2].

ELEMENTOS O PARTES DEL SISTEMA

1.       Sistema de la Población: La conforman todos los clientes potenciales del sistema, que mas tarde o más temprano requerirán de algún servicio que brinda ese sistema. Su principal característica es su tamaño, el cual puede ser finito o infinito. Cada elemento de la población es llamado entidad.

2.       Sistema de cola: Está compuesto por todos los clientes que esperan por servicio3.       Sistema de servidor: Es el componente del sistema de colas que se encarga de brindar el servicio a los clientes que

lo requieren, está compuesta por uno o más canales de servicio o servidores, los cuales están en paralelo en caso de que sean varios[3].

A continuación se presenta una gráfica que ilustra los elementos del sistema de colas y cada uno de los procesos que se llevan a cabo en ellos:

El proceso de llegada puede ser medido de dos formas:

1.       Tiempo entre llegadas o lapso de tiempo: este se distribuye exponencialmente.El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente, ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribuciones es que no tienen “memoria”. Por ejemplo, su pongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera

estado 2 horas, 10 horas o las que sea[4].

La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:

P(x)=λe-λx

Donde x representa el tiempo de servicio y λ el tiempo promedio de servicio.En general nos interesa encontrar P(X<x), la probabilidad de que el tiempo de servicio T sea inferior o igual a un valor específico x. este valor es igual al área por debajo de la función de densidad.

1.       Tasa o Número de entidades en un intervalo de tiempo; la distribución poisson  proporciona una buena descripción del patrón de llegadas y esta caracterizado por cumplir las siguientes condiciones:

·         La probabilidad de que un suceso tenga lugar en un intervalo de tiempo o en una región es proporcional a la amplitud de dicho intervalo o región.

·         El número de sucesos que tienen lugar en un intervalo o región es independiente del número de sucesos que tienen

lugar en otro intervalo o región[5].

La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico:

         Donde λ>0  es el parámetro que representa el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región.

A continuación se muestran gráficas de la distribución poisson para diferentes valores de λ

El proceso de servicio también puede ser medido de dos formas:·         Tiempo entre llegadas o lapso de tiempo·         Tasa de servicio

A.      K. Erlang, desarrolló principios para que el sistema de líneas de espera funcione, y definió lo siguiente:

·         Cola: hay cola cuando el número de entidades es mayor que el número de servidores; es decir, n>s.·         Colapso del sistema: se da cuando la velocidad de entrada de las entidades al sistema es mayor que la velocidad

del servicio.·         La tasa de llegada debe ser estrictamente menor que el tiempo de servicio, es decir: λ<µ.·         El proceso de cola debe ser poissoniano, es decir, el patrón de comportamiento de llegada debe seguir una

distribución poisson y el de servicio, una distribución exponencial.

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE COLAS

       Una Sola Fase o fase sencilla:

  Multifase o Cascada:

 Fase sencilla con varios servidores:

NOTA: el canal o los canales es el número de servidores, no el número de colas.

[1] investigación de operaciones, Hamdy A. Taha pág. 579[2] Introducción a la Simulación y a la teoría de colas, Ricardo Cao, pág. 113[3] Control de inventarios y teoría de colas, Marcos Javier Molla, pág. 100-102[4] Métodos cuantitativos para la toma de decisiones, Daniel serra de la Figuera pag 126[5] Estadística descriptiva e inferencial, Antonio Vargas Sabadías, pág. 270

ROCESO DE LLEGADA

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Cada llegada ocurre aleatoriamente e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá[2]. La distribución que proporciona una buena descripción del patrón de llegadas es la de Poisson. La función de probabilidad es:

Donde:λ= La cantidad de llegadas en el periodo.x= La cantidad promedio de llegadas por periodo.

PROCESO DE SERVICIO

El proceso de servicio de un sistema de líneas

de espera se especifica una distribución de probabilidad la cual rige el tiempo de servicio a un cliente. La distribución de probabilidad para el tiempo de servicio es la exponencial[3]. La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de duración t es:

Donde:µ= La cantidad de unidades que pueden servirse por periodo.

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE COLA

1. Sistema de una sola etapa.

-Una línea de espera(cola), un servidor (o un canal)

-Una línea de espera(cola), múltiples servidores (o múltiples canales)

-Varias líneas de espera (cola), múltiples servidores (o múltiples canales)

"En los sitemas de múltiples canales o servidores, la cola unificada (una sola línea de espera) es mejor que el de varias colas". 

2. Sistema de Multietapas. Es cuando hay varios sistemas interconectados.

NOTACIÓN KENDALL-LEE

Kendall y Lee Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera: (a/b/c)(d/e/f)[4].a) Distribución de probabilidad del tiempo de llegadas.b) Distribución de probabilidad del tiempo de servicio.

c) Número de servidores o canales.d) Orden de atención de los cliente.e) Número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.f) Número de clientes potenciales del sistema de línea de espera.

 Notación Kendall-Lee

SISTEMA M/M/1- Proceso de Llegada Poisson.- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.- Existe un solo servidor.-Cola de capacidad infinita y población infinita.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera

SISTEMA M/M/k- Los clientes llegan de acuerdo a la distribución poisson.- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.- Existen k servidores.-Existe una población infinita e infinitas colas.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera

ECUACIONES DE LITTLELittle muestra que: el número promedio de unidades en la línea de espera (Lq), el número de unidades en el sistema (Ls), el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera (Wq) y el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (Ws) estan

relacionadas en toma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera independiente.

Primera Ecuación: El número de unidades en el sistema es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:

Igualmente, el número promedio de unidades en la cola es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en la cola:

Segunda Ecuación: El tiempo promedio en el sistema es igual al tiempo en espera mas el tiempo promedio de servicio:

La importancia de las ecuaciones de little es que se aplican a cualquier modelo de espera independientemente de que si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de servicios siguen una distribución exponencial o no.

MODELO DE COSTO DE UN M/M/K

Es un costo unitario por unidad de tiempo.

CT= Costo de Espera/Período + Costo de Servir/Período

CT= Ls.Cw/Período + K.Cs/Período

El Siguiente documento adjunto muestra una serie de ejercicios propuestos de los Sistemas de Cola para la aplicación de todo lo aprendido en esta sección.

_________________[1] http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf[2] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 601[3] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 603[4] http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf[5] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 605,622

CONDICIÓN:

MÍNIMO TIENE QUE A VER UNA PERSONA EN ESPERA,PARA QUE HALLA COLA,EL NUMERO DE ENTIDADES ES DIFERENTE ALA CANTIDAD PARA HACER

ATENDIDOS POR EL SERVIDOR , ES DECIR QUE SON INVERSAMENTE PROPORCIONAL PARA QUE SE CUMPLA ESTA CONDICIÓN. E>S   ( COLA)

E=S (NO HAY COLA )

E<S(NO HAY COLA)

Donde :E= Entidades. S=Servidores.

PROCESO DE ENTRADA O LLEGADA

El proceso de entrada se denomina, por lo regular,  proceso de llegada. Las llegadas se llaman clientes. En todos los modelos que se estudian, se supone que no más de una llegada ocurre en un instante dado. 

Existen dos situaciones comunes en las cuales el proceso de llegadas podría depender de la cantidad de clientes presentes. La primera se presenta cuando las llegadas se extraen de una pequeña población,los modelos  en los cuales las llegadas se toman de una pequeña población reciben nombre  de modelos de origen finito.

PROCESO DE  SALIDA O DE SERVICIO

Para poder definir el proceso de salida de un sistema de linea de espera o un sistema de colas , se especifica una distribución de probabilidad , llamada distribución del tiempo de servicio, la cual rige el tiempo de servicio de un cliente, lo cual se supone que la distribución de l tiempo de servicio es independiente de la cantidad de clientes presentes, de aquí se infiere que el servidor o canal , no trabajara mas rápido cuando hay mas clientes presentes.

en lo cual se encuentran dos tipos de servidores : servidores en paralelo y servidores en serie. los servidores están en paralelo si todos ofrecen el mismo tipo de servicio y un cliente solo requiere pasar por un servidor o canal para completar su servicio por ejemplo : los cajeros de bancos, los servidores están en serie cuando un cliente debe pasar por varios servidores antes de terminar el servicio por ejemplo: una linea de ensamble.

DISCIPLINA DE  LAS LINEAS DE ESPERA.

Explica el método usando para determinar el orden con cual se atienden los clientes. la disciplina mas común es la disciplina FCFS(frist come,frist served, es decir , al primero que llega es al primero que se le atiende),en la cual se atiende  a los clientes según  el orden en que llegan, en la disciplina LCFC(last come,frist served,el

ultimo en llegar es el primero en salir),las llegadas mas recientes son los primeros en entrar al servicio ejemplo de este caso el elevador, disciplina SIRO(service in random order, servicio en orden aleatorio),cuando una persona que llama a una areolinia se le hace esperar, la suerte determina con frecuencia quien sera el siguiente persona en ser atendida por un operador, y por ultimo las disciplina de la prioridad en las colas , una disciplina de prioridad clasifica cada llegada  en una categoría por ejemplo las salas de urgencia de un hospital. 

SISTEMAS DE COLAS BÁSICO

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON UN SOLO SERVIDOR

SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON MÚLTIPLES SERVIDORES

SISTEMA DE COLAS CON MÚLTIPLES CANALES CON MÚLTIPLES SERVIDORES

SISTEMA DE COLAS MULTIFACETICO

 CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE

En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde:

a       distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones. b       distribución de probabilidad del tiempo de servicio.

Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:

D:     constante.Ek:    distribución Erlang con parámetro k.G:     cualquier tipo de distribución.GI:    distribución general independiente.H:     distribución hiperexponencial.M :   distribución exponencial. C   número de servidores D  orden de atención a los clientes.

Los símbolos utilizados en este campo son:

FCFS:  primeras entradas, primeros servicios.LCFS:  últimas entradas, primeros servicios SIRÓ:   orden aleatorio.  PR:       con base en prioridades.  GD:       en forma general.E :  número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo./       número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera. 

Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común.

CAPACIDAD DEL SISTEMA

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

¿COMO DETERMINAR SI MI SISTEMA TIENE RENDIMIENTO?

La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos:

a) establecer mecanismos para medir la efectividad del sistema.

b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).

Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de “no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales .A partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información necesaria para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas de un proceso de atención al cliente.En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede dar en alguno de los siguientes tres aspectos:

a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)

b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)

c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)

TERMINOLOGÍA 

λ:Número de llegadas por unidad de tiempo

µ:Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado

K : Número de servidores en paralelo

N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t

Nq(t): Número de clientes en la cola en el instante t

Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t

Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n}

N: Número de clientes en el sistema en el estado estable

Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n}

L : Número medio de clientes en el sistema

Lq : Número medio de clientes en la cola

Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola

S : Representa el tiempo de servicio

T =Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema

Wq=[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

W=[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

r: número medio de clientes que se atienden por término medio

Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado

NOTA: cuando λ es constante para toda n , cuando la tasa medida de servicio  por

servidor ocupado es constante para toda n >=1, esta constante se denota por muí.en

estas circunstancias ; los tiempos entre llegadas esperadas y los tiempos de servicio

esperados que conforman el factor de utilizaron para la instalación de servicio;es

decir;la fracción de tiempo que los servidores individua les están ocupados  entre  la

fracción de capacidad de servicio de sistema que utilizan en promedio los clientes que

ll