Capítulo 3 Análisis en 2D del problema directo de ...

Capitulo 3: Análisis en 2D del problema directo de excavación de un túnel mediante MEF Ingeniería Geológica

36

Capítulo 3 Análisis en 2D del problema directo de excavación de un túnel mediante un programa de elementos finitos 3.1 Introducción

En el capitulo número dos de la presente tesina se hacía referencia a la falta de

existencia de soluciones analíticas en elasticidad en el caso de una excavación

en tres dimensiones. Es por ello que al tener la necesidad de utilizar un

programa informático para realizar el estudio tridimensional, en primer lugar se

ha querido contrastar la solución analítica en dos dimensiones con los resultados

obtenidos con los programas de elementos finitos. Esta comparación es de vital

importancia ya que al no conocer soluciones en 3D, los resultados obtenidos con

los programas numéricos se han de dar por válidos.

La solución analítica de los desplazamientos y tensiones provocadas por la

excavación de una cavidad circular en medio infinito para un problema elástico

fueron descritas en [25]. Dentro de la teoría de la elasticidad se acepta que el

cambio de las tensiones octaédricas es directamente proporcional al cambio en

la presión de agua producido por la excavación, tomando el parámetro B de

Skempton.

Para llevar a cabo la comparación se ha trabajado con dos programas de

elementos finitos, llamados Plaxis y Code Bright. El programa Plaxis se ha

utilizado para contrastar los resultados en desplazamientos y tensiones, aunque

las tensiones proporcionadas por dicho programa sólo están referidas a los

puntos de Gauss. El programa Plaxis no ha podido utilizarse para los cálculos de

la presión de agua, ya que presenta unas limitaciones que no permiten la

modelización correcta del problema, tales como la imposibilidad de la aplicación

de una presión de agua en un contorno curvo. El programa Code Bright se ha


37

tomado como programa básico de estudio, ya que permite la modelización

bidimensional y tridimensional del problema.

Un aspecto importante para poder comparar la solución analítica para la presión

de agua generada por la excavación de un túnel y los valores de la Pw

proporcionados por el programa Code Bright ha sido encontrar un tiempo para el

cual se puede decir que tenemos un problema no drenado, que es lo que puede

simularse con la solución analítica en tensiones. En los siguientes apartados se

justifica la elección de un determinado tiempo, aunque esto puede significar la

primera fuente de error de la solución numérica respecto la analítica, ya que en

ningún momento, dentro de las formulas analíticas se introduce la variable

tiempo.

Antes de presentar los problemas relacionados con el análisis del problema

directo en su versión analítica y numérica, es conveniente hacer mención a una

serie de resultados que son importantes para la posterior resolución del

problema inverso, tales como el estudio de la permeabilidad y porosidad del

terreno.

3.2 Consideraciones generales para el problema numérico

En este apartado se quiere hacer referencia al marco de trabajo dentro del

problema analizado por MEF, que se mantiene constante para el resto de la

tesina. Cuando exista alguna diferencia respecto al marco general se hará

mención explicita en el correspondiente apartado.

Los punto básicos del modelo utilizado son los siguientes. Se ha prescindido de

la gravedad en todos los casos de estudio. Para todos los cálculos, el modelo del

terreno ha sido elástico, con un valor del modulo de elasticidad de E=104 MPa y

coeficiente de piosson de υ= 0.2. La permeabilidad base ha sido Kint= 10-21 m2 (

permeabilidad intrínseca) y la porosidad de n=0.15. El coeficiente Ko ha variado

según el caso estudiado. La presión de agua inicial en el dominio ha sido de 1.1

MPa y la presión aplicada en el contorno del túnel una vez excavado era de


38

0.1MPa. Se ha tomado una malla cuadrada de 10 m , que en realidad

representa diez radios de túnel, ya se al radio del túnel se le ha asignado el valor

unidad para hablar en términos relativos.

La geometría básica del problema esta representada en la siguiente figura-3.1.

Figura- 3.1. Geometría del problema modelizado

El túnel dibujado tiene un valor unidad de radio y el espacio es cuadrado, con

una longitud de diez unidades.

Las condiciones de contorno aplicadas a los cuatro contornos exteriores, que

están representados en la figura-3.1, han sido las siguientes:

• Para la línea x=0, existe la restricción Ux= 0

• Para la línea y=0 tenemos otra condición en desplazamientos, Uy= 0

• La línea con coordenada x=10m, tendrá aplicada la carga horizontal

correspondiente a cada caso.


39

• La línea de coordenada y=10m, tendrá aplicada la carga vertical

adecuada al problema modelizado.

Los nodos de estudio que se han tomado para realizar todos los cálculos tienen

las siguientes coordenadas y están representados en la figura-3.2:

Punto Coordenada-X (m)

Coordenada-Y (m)

Punto-A 1.5 0 Punto-B 2 0 Punto-C 0 1.5 Punto-D 0 2

Tabla-3.1: Coordenadas cartesianas de los nodos base

Figura-3.2: Situación espacial de los nodos o puntos base

Para todos los cálculos realizados en la presente tesina se ha tomado con valor

unidad el radio del túnel, para así poder referenciar todos los resultados en

términos relativos. Así tenemos que los puntos A y C están a una distancia de

medio radio y los puntos C y D se encuentran a un radio de distancia. En la

tabla-3.1 se dan unidades de metros, aunque como se ha comentado quieren

estar representadas de forma relativa.


40

3.3 Estudio de la permeabilidad y la porosidad El estudio de la permeabilidad (K) y la porosidad (n) del terreno es básico ya que

marcan la posibilidad de realizar una identificación de parámetros a través de las

medidas de los cambios de la presión del agua. Estos dos parámetros marcarán

la naturaleza del problema, sí es drenado o no drenado, y también marcarán la

magnitud de los incrementos de la presión de agua. Este estudio nos podría

ayudar a validar o descartar la opción de llevar a cabo una identificación de

parámetros mediante medidas de presión del agua.

El primer parámetro analizado ha sido la permeabilidad del terreno. Se ha

realizado un estudio de la variación de la presión del agua para diferentes

instantes de tiempo para cuatro valores de permeabilidad. Dentro del programa

Code Bright, se habla de permeabilidad intrínseca del terreno, que está

relacionada con la permeabilidad del terreno según un factor 10-7, aunque no

tienen las mismas unidades.

En la siguiente tabla se dan los valores de las diferentes permeabilidades

analizadas para una valor de Ko=1.5:

Caso Valor de Kint (m2)

Caso-1 10-21

Caso-2 10-18

Caso-3 10-15

Caso-4 10-11

Tabla-3.2: Valores de la permeabilidad intrínseca del terreno analizados.

Todos los parámetros introducidos en el cálculo con el programa Code Bright se

han mantenido constantes para los cuatro casos estudiados. A continuación se

presentan los diferentes gráficos de la variación de la presión del agua respecto

al tiempo. La figura-3.3 corresponde al valor de Kint =10-21m2.


41

Variación de Pw en el tiempo

-4,00000

-3,00000

-2,00000

-1,00000

0,00000

1,00000

2,00000

3,00000

4,00000

1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09

Tiempo ( seg )

Pw (

MPa

) Pw ( Mpa) ( Nodo-A)Pw ( Mpa) ( Nodo-C)Pw ( Mpa) ( Nodo-B)Pw ( Mpa) ( Nodo-D)

Figura- 3.3: Variación de la Pw (MPa) en el tiempo para un valor de Kint=10-21m2

La figura-3.4 corresponde al cálculo con una Kint =10-18m2

Variación de la Pw en el tiempo

-4,00000

-3,00000

-2,00000

-1,00000

0,00000

1,00000

2,00000

3,00000

4,00000

1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09

Tiempo ( seg )

Pw (

MPa


Figura- 3.4: Variación de la Pw (MPa) en el tiempo para un valor de Kint=10-18 m2


42

La tercera gráfica de la serie es para una Kint=10-15 m2:


-4,00000

-3,00000

-2,00000

-1,00000

0,00000

1,00000

2,00000

3,00000

4,00000

1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09

Tiempo ( seg )

Pw (

Mpa


Figura- 3.5 Variación de la Pw (MPa) en el tiempo para un valor de Kint=10-15 m2

Por último tenemos la figura-3.6, que nos da la variación de la Pw para el caso

de una Kint =10-11m2.


0,00000

0,20000

0,40000

0,60000

0,80000

1,00000

1,20000

1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09

Tiempo ( seg )

Pw (

MPa

)

Pw ( Mpa) ( Nodo-A)

Pw ( Mpa) ( Nodo-C)

Pw ( Mpa) ( Nodo-B)

Pw ( Mpa) ( Nodo-D)

Figura- 3.6 Variación de la Pw (MPa) en el tiempo para un valor de Kint=10-11 m2


43

La conclusión más importante que se puede extraer del estudio de la

permeabilidad del terreno es que K marca el ámbito del problema. Nos dice si es

drenado o estamos en un caso no drenado. Esto es muy importante ya que para

realizar el análisis inverso necesitamos conocer la presión de agua generado en

el caso no drenado y si sabemos que el terreno tiene una permeabilidad baja la

presión de agua no drenada se dará en un intervalo mayor de tiempo, con lo que

podremos estar más seguros de las medidas realizadas “in situ”.

Para el estudio de la porosidad también se han analizado cuatro casos,

correspondientes a valores de n=0.05, 0.15, 0.3 y 0.45. Las graficas para estos

casos estudiados se adjuntan dentro del anexo-1 del presente trabajo.

La porosidad influye directamente en la magnitud del incremento de la presión

de agua después de realizar la excavación. Esto es muy importante dentro del

análisis inverso, ya que dicho análisis trabaja con incrementos de presiones.

Para porosidades bajas tales como n= 0.05 o 0.15 los incrementos de presión

son más importantes. Sin embargo, sí el incremento de presión es bajo,

porosidad de 0.3 o 0.45, podemos tener problemas con las medidas y su

análisis.

Un aspecto importante a tener en cuenta es que la porosidad juega un papel

determinante un cierto papel en la resolución del problema directo mediante un

programa de elementos finitos. Para el programa CB, es necesario la inclusión

de una valor de la porosidad para la resolución del problema hidráulico, mientras

que en la solución analítica la porosidad no aparece en los cálculos, ya que esta

basada en la fórmula de Henkel con B=1.

No obstante, el parámetro B también puede estimarse con precisión, para tener

en cuenta el efecto de la porosidad, ya que podemos obtenerlo de la expresión-

3.1:

nCB

w **111

Κ+= (3.1)


44

, donde lK es el modulo de rigidez volumétrica, Cw es la compresibilidad del

agua y n es la porosidad. Al depender de n, podemos estudiar el efecto de la

porosidad.

3.4 Comparación respecto a los desplazamientos. Efecto de los contornos En este apartado se quiere reflejar los resultados encontrados respecto a los

desplazamientos que no son básicos para el análisis inverso, pero que en

cualquier caso nos ayudan a verificar la validez de la resolución del problema

directo. Cabe destacar que el programa Plaxis y Code Bright (CB) con un

número elevado de elementos coinciden con la solución analítica para el Ko= 1.

Para los demás valores del coeficiente de empuje al reposo, se consiguen

valores con un margen de error poco significativo, el cual se puede deber a

problemas de resolución numérica. Este correcto funcionamiento de los

programas de MEF puede asociarse al hecho de encontrar los resultados de los

desplazamientos en los nodos y por tanto ser los desplazamientos la variable

principal del sistema de resolución de las ecuaciones que gobiernan el problema.

Los análisis realizados en este apartado corresponden a un estudio mecánico

del problema (excavación de un túnel en 2D,en un medio con un cierto Ko), no

incluyendo el problema hidráulico. Los puntos de medida son los descritos en la

tabla-3.1.

Un punto muy importante que cabe señalar es que se han realizado diferentes

pruebas para distintos Ko con la malla cuadrada. Posteriormente a este estudio,

se realizaron unas pruebas con los mismos valores de Ko, pero con unas

dimensiones de la malla acordes a un factor de proporcionalidad respecto al

valor de Ko. Este factor se busca para incrementar la distancia al túnel, cuando

existe una carga en una cierta dirección que tiene una mayor magnitud que la

carga aplicada o existente en otra dirección.


45

Tabla-3.3: Dimensiones de las mallas no cuadradas estudiadas

El factor se ha definido como el inverso de Ko calculado para Ko 0.4, 0.6 y 0.8.

Posteriormente el factor aplicado a Ko 0.8 se ha utilizado con el Ko 1.2, el factor

de Ko 0.6 en Ko 1.4 y el factor de Ko 0.4 en Ko 1.6

En la siguiente tabla (3.3) se dan los valores de las dimensiones de la malla para

los diferentes casos:

Estas pruebas han constatado que se obtienen mejores resultados con una

malla no cuadrada cuando Ko es diferente de 1 respecto a los desplazamientos.

Esta mejoría no es tan clara cuando se obtienen resultados referentes a las

tensiones y la presión del agua, por lo que los análisis en tensiones y Pw se han

realizado con la malla cuadrada.

Como anteriormente se ha comentado, los resultados obtenidos con una malla

no cuadrada son más precisos. Los valores para el caso de una malla cuadrada

y no cuadrada quedan reflejados en las tablas-3.4 y 3.5.

Ko Longitud-X

(m)

Longitud-Y

(m)

Factor de

Proporcionalidad

1 10 10 -----

0.4 10 25 250%

0.6 10 16 66%

0.8 10 12.5 25%

1.2 12.5 10 25%

1.4 16 10 66%

1.6 25 10 250%


46

Caso-Ko = 0. 6 Code Bright Analítico Malla

Cuadrada Desplazamiento-Radial ( m ) Despla-Radial ( m ) Nodo-D -0.87679E-03 0.83400E-03 Nodo-B -0.11016E-03 0.126E-03 Nodo-C -0.11211E-02 0.108089E-02 Nodo-A -0.18325E-03 0.19911E-03

Caso-Ko = 0.6 Code Bright Analítico Malla No-


Tabla-3.4: Valores de los desplazamientos para el caso Ko= 0.6,

obtenidos de forma analítica y los obtenidos con el programa CB

para una malla cuadrada y no cuadrada.

Caso-Ko = 1. 6 Code Bright Analítico Malla


Caso-Ko = 1.6 Code Bright Analítico Malla No-


Tabla-3.5: Valores de los desplazamientos para el caso Ko= 1.6,

obtenidos de forma analítica y los obtenidos con el programa CB

para una malla cuadrada y no cuadrada.

Se han incluido las tablas para dos casos, aunque se han analizado otros casos.

Como queda reflejado en las mismas, la malla no cuadrada obtiene unos

resultados más próximos a la solución analítica.


47

3.5 Comparación de las tensiones y los valores de presión del agua. Valores analíticos y numéricos.

En el presente subapartado se quieren mostrar las diferencias existentes entre la

solución analítica y la numérica en lo que a tensiones se refiere.

En las siguientes tablas 3.6, 3.7 y 3.8 podemos ver los valores del incremento de

la tensión octaédrica para los cuatro nodos de estudio, una geometría cuadrada

y varios Ko. Nótese que en Code Bright las tensiones de compresión son

negativas. En todos los problemas no se ha modelizado el agua, ya que para un

primer estudio de las tensiones sólo era necesario conocer valores referentes al

problema mecánico. Se incluyen las tablas para Ko= 0.4, 1 y 1.2, aunque se han

analizado cuatro casos más. En cualquier caso con estos ejemplos quedan

perfectamente reflejados los problemas encontrados en el análisis numérico.

Los valores de ∆σoct en el caso de Pender se obtienen del cálculo del incremento

de la tensión radial y circunferencial dados en [25]. El termino del incremento en

z se calcula sumando las dos incrementos anteriores y multiplicándolos por le

coeficiente de poisson.

Para el caso propuesto por Martino Peschiera, la fórmula es un desarrollo de los

resultados obtenidos por Pender y Jiménez Salas y quedan reflejados en la

fórmula-2.17.

Tabla-3.6: Valores del incremento de tensión octaédrica para el caso Ko=0.4 en los nodos base

Ko = 0.4 Nodo-A Nodo-B Nodo-C Nodo-D

∆σoct Pender (MPa) 2.13333 1.2 -2.13333 -1.2

∆σoct Martino (MPa) 2,13333 1,2 -2,13333 -1.2

∆σoct Code Bright

( MPa) -2.24103 -1.2678 2.14603 1.1692


48

Tabla-3.7: Valores del incremento de tensión octaédrica para el caso Ko=1.0 en los nodos base


∆σoct Pender ( MPa) -0.7111 -0.4 0.7111 0.4

∆σoct Martino ( MPa) -0.7111 -0.4 0.7111 -0.4

∆σoct Code Bright

( MPa) 0.6567 0.3286 -0.8058 -0.4836

Tabla-3.8: Valores del incremento de tensión octaédrica para el caso Ko=1.2 en los nodos base.

Como puede observarse en las diferentes tablas los valores analíticos difieren de

los numéricos. Dentro de la teoría analítica el incremento de tensión octaédrica

es igual al incremento de presión de agua ( formula de Henkel (2.15) con B=1).

En el programa numérico el valor de B es igual a 0.721, para una porosidad

concreta de n=0.15, con lo que esto ya representa una diferencia en las

presiones de agua. El problema existente es que esta relación de 0.721 entre

tensión octaédrica y presión de agua se da en ciertos nodos para un caso de Ko

concreto y en otros nodos diferentes para otro valor de Ko, con lo que existen

unas diferencias notables entre la Pw obtenida por la teoría analítica y la presión

obtenida de forma numérica. Es por ello que en este punto no se han incluido los

valores de las presiones de agua para los diferentes métodos, ya que las

diferencias quedan mostradas para el problema de las tensiones octaédricas, las

cuales están directamente relacionadas con la presión de agua.


∆σoct Pender (MPa) 0 0 0 0

∆σoct Martino ( MPa) 0 0 0 0 ∆σoct Code Bright

( MPa) -0.067 -0.703 -0.067 -0.703


49

También se ha realizado un estudio del efecto de la malla sobre las tensiones. El

tener una malla muy refinada lleva a la obtención de mejores resultados por lo

que respecta a las tensiones, aunque siguen existiendo algunas diferencias con

la solución analítica que pueden ser debidas a la extrapolación de los valores

para presentar los resultados en los nodos.

En la tabla-3.9 se exponen los valores de la tensión para los nodos C y D, para

el caso Ko= 0.4, con dos mallas diferentes. El valor de las tensiones está dado

para un instante inmediatamente posterior a la excavación del túnel.

Número

de elementos Punto de

control

Tensión

σx ( MPa) Tensión

σy ( MPa) Valor Analítico

σx ( MPa)

Valor Analítico

σy ( MPa) Nodo-C -5.24910 -3.3876 5.33333 3.33333

Malla-1 700 Nodo-D -5.13950 -5.91770 5.1875 5.8125

Nodo-C -5.24780 -3.35820 5.33333 3.33333 Malla-2 2800

Nodo-D -5.1340 -5.8109 5.1875 5.8125

Tabla-3.9: Valores de las tensiones para un problema con dos mallas diferentes.

Como reseña final, cabe destacar que en este estudio se ha podido constatar

que las zonas donde existen unos mayores cambios en tensiones y presión de

agua, corresponden a las zonas donde se han ubicado los puntos de control.

Este resultado tiene una importancia significativa, ya que nos marca en qué

zonas se debe instrumentar la presión del agua y en qué zonas las variaciones

de Pw serán muy poco significativas y por tanto son zonas donde no conviene

colocar la instrumentación. Las dos figuras siguientes(3.7 y 3.8) nos muestran

las zonas donde varia la Pw de forma significativa.

Las figuras nos muestran un caso en el cual el Ko del terreno es 0.4 y la Pw que

está ilustrada, es la distribución de Pw en una etapa inmediatamente posterior a

la excavación del túnel. La presión inicial era de 1.1 MPa y podemos ver que las

zonas donde varía en mayor cantidad dicha presión inicial, son la clave del túnel

y la zona horizontal perpendicular al eje del túnel. La bisectriz del cuadrante de


50

túnel representado sería una zona con poca variación de la presión del agua y

por tanto no sería conveniente situar puntos de control. Las zonas óptimas de

medida serian entre [0º- 15º] y [75º-90º], analizando únicamente una cuarta parte

del túnel.

Figura- 3.7: Representación de la Pw en el terreno en una etapa posterior a la

excavación de un túnel para el caso Ko= 0’4

Figura- 3.8: Ampliación de la figura-3.7


51

3.6 Estudio de los desplazamientos para el caso particular

Ko=0.4 En este apartado y el siguiente, se incluye un análisis más detallado de los

aspectos ya explicados en los apartados 3.2 y 3.3 del presente trabajo. En el

caso de los desplazamientos por ejemplo se ha calculado los desplazamientos

horizontales y verticales de forma analítica, que no vienen dados por Pender

[25], ya que en dicho articulo sólo están reseñados los desplazamientos radiales

y circunferenciales. Se ha aplicado un cambio de base de coordenadas

cilíndricas a cartesianas para obtener un resultado que es directamente

comparable con los resultados obtenidos con el programa Plaxis y el programa

Code Bright.

Los siguientes gráficos muestran las diferentes vías de análisis. En el caso de

los programas numéricos la malla escogida ha sido cuadrada, con una

dimensión equivalente a diez radios del túnel. En la figura-3.9 se puede ver que

existen unos puntos del espacio que están etiquetados. Dichos puntos se han

marcado porque son los que posteriormente se han estudiado y se ha elaborado

una tabla de resultados referente a los mismos. No se han marcado en las

demás graficas ya que los resultados siempre se darán sobre esos puntos y

quedan ya marcados en la primera figura.

La tabla-3.10 presenta los resultados numéricos de estos análisis. Se pueden

ver los valores para los puntos marcados en la figura-3.9.


52

Figura- 3.9: Representación de los desplazamientos horizontales (m) obtenidos

con el programa CB para el caso Ko= 0.4

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��

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��

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

��

-0.00012

-0.0001

-8E-005

-6E-005

-4E-005

-2E-005

1.3552527156069E-020

2E-005

4E-005

6E-005

8E-005

0.0001

0.00012

Representación de los desplazamientos horizontales (m)

Valores en metros

Figura- 3.10: Representación de los desplazamientos horizontales (m)

analíticamente para el caso Ko= 0.4


53

Figura- 3.11: Representación de los desplazamientos verticales (m) obtenidos


��

��

��

��

��

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��

��

��

��

��

��

��

��

��0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

��

-0.000100.00010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.00090.0010.00110.00120.00130.00140.00150.0016

Reprsentación gráfica de los desplazamientos verticales (m)

Valores enmetros

Figura- 3.12 Representación de los desplazamientos verticales (m) obtenidos



54

Tabla-3.10: Valores de los desplazamientos para el caso Ko= 0’4 obtenidos mediante

una resolución analítica, mediante el programa CB y el programa Plaxis.

Coordenadas

(m)

Método de

análisis

Desplazamiento-X

(m)

Desplazamiento-Y

( m) Analítico 4.8E-05 0

Code Bright -0.19497E-04 -0.37523E-09 Punto (1,0)

Plaxis -0.15312E-04 0

Analítico -0.101333E-03 0 Code Bright 0.13320E-03 -0.45519E-09 Punto (1.5,0)

Plaxis 0.136E-03 0

Analítico -0.111 E-03 0 Code Bright 0.14363E-03 -0.40465E-09 Punto (2,0)

Plaxis 0.146E-03 0

Analítico 0 0. 1632 E-02 Code Bright -0.35242E-10 -0.16814E-02 Punto (0,1)

Plaxis 0 -0.1689E-02

Analítico 0 0.1221333E-02 Code Bright -0.15710E-09 -0.12746E-02 Punto (0,1.5)

Plaxis 0 -0.1280E-02

Analítico 0 0,951E-03 Code Bright -0.16689E-09 -0.10073E-02 Punto (0,2)

Plaxis 0 0.1013E-02

Analítico 0.9075E-04 0.32925E-03 Code Bright -0.71829E-04 -0.36847E-03 Punto (2,2)

Plaxis -0.7148E-04 -0.370E-03

Analítico 2.75307E-05 0.171641E-03 Code Bright -0.12683E-03 -0.29977E-03 Punto (3,10)

Plaxis -0.134E-03 -0.292E-03

Analítico -2.43929E-05 1.18699E-05 Code Bright 0.79132E-04 0.79132E-04 Punto (10,2)

Plaxis -0.772E-04 -0.15E-04


55

Las diferencias entre los valores numéricos y los valores analíticos quedan

constatadas, aunque sí se construye una malla con mayor número de elementos

las diferencias casi son inexistentes, imputables a errores de redondeo o

truncamiento numéricos. A continuación se dan diversos datos referentes a los

cálculos de errores respecto al desplazamiento en Y, ya que presenta unos

valores mayores que los desplazamientos horizontales. El valor que se ha

tomado como exacto ha sido el correspondiente a las expresiones analíticas de

[23].

El error absoluto mayor para el programa CB respecto al desplazamiento vertical

se da en el punto (3, 10) y tiene un valor de 0.000128m. El error relativo mayor

en las mismas condiciones anteriores se da para el punto (10, 2) y es de 500%.

Para el programa Plaxis el error absoluto mayor se da en el punto (3, 10), al

igual que en el caso del CB. Tiene un valor de 0.0001201m. El error relativo

mayor corresponde al mismo punto (3, 10) y alcanza un valor de 70.1%.

Los errores relativos mayores se dan en los puntos del contorno y=10 y por

tanto las cifras, aunque tienen una magnitud elevada, se dan en puntos poco

relevantes.

El conjunto de los errores relativos en los demás puntos se sitúa entre el 3 y el

11%, para los dos programas.

3.7 Estudio de las tensiones para el caso particular Ko=0.4 En el estudio de las tensiones sólo se comparan directamente la solución

analítica con los valores del programa Code Bright, ya que el programa Plaxis

proporciona las tensiones en los puntos de Gauss y no en los nodos que son los

puntos de medida, aunque cabe resaltar que un estudio en los puntos de Gauss

tiene una mayor fiabilidad ya que se evita extrapolar o interpolar. De la misma

forma que en el caso de los desplazamientos se ha realizado una transformación

de las tensiones radiales y circunferenciales de la solución analítica a las

tensiones en los ejes cartesianos.


56

En los gráficos siguientes se muestran los valores de las tensiones horizontal y

vertical para los dos casos.

Figura- 3.13: Representación de las tensiones horizontales (MPa) obtenidas


Figura- 3.14: Representación de las tensiones horizontales (MPa) obtenidas



57

Figura- 3.15: Representación de las tensiones verticales (MPa) obtenidas


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Representacion de las tensiones verticales

Valoresen MPa

Figura- 3.16: Representación de las tensiones verticales (MPa) obtenidas analíticamente para el caso Ko= 0.4


58

En la tabla-3.11 se pueden ver los valores para los puntos marcados en la figura-

3.13, que son los mismos para los cuatro casos.

Existen unas diferencias importantes en algunos puntos, que son las que llevan

a unos errores mayores cuando se trabaja con presiones de agua. Este punto es

clave, ya que una correcta resolución del problema directo nos conduciría a unos

resultados óptimos en el proceso de identificación. Las diferencias entre las

tensiones analíticas y numéricas se incrementan cuando se estudia el problema

acoplado, en el cual se incluye la modelización hidráulica. Las posibles causas

de estas diferencias se apuntaron en el apartado-3.5.

Para la tensión horizontal el error absoluto mayor se da para el punto (1, 0) y

tiene un valor de 1.566MPa. El mayor error relativo se encuentra también en el

punto (1; 0) ya que la tensión analítica es cero y el valor numérico es diferente

de cero. Hay que resaltar que los errores relativos para los restantes puntos se

sitúan entre el 0,2-3%.

Para la tensión vertical el error absoluto mayor se encuentra en el punto (1, 0) y

tiene un valor de 5.398MPa. El mayor error relativo se encuentra en el punto (1;

0) nuevamente y alcanza un valor de 20.7%. También en este caso los errores

relativos para los restantes puntos son muy bajos y se sitúan entre el 0,9-2%.


59

Tabla-3.11: Valores de los desplazamientos para el caso Ko= 0.4 obtenidos

mediante una resolución analítica y mediante el programa CB.

Coordenadas

(m)

Método de

análisis

Tensión-σx

(MPa)

Tensión-σy

( MPa) Analítico 0 26 Punto (1,0)

Code Bright -1.5666 -20.602

Analítico 4.444444444 14.88888889 Punto (1.5,0) Code Bright -4.48000 -15.11300

Analítico 4.6875 12.3125 Punto (2,0) Code Bright -4.69930 -12.48000

Analítico 2 0 Punto (0,1)

Code Bright -2.7584 -3.5130

Analítico 5.333333333 3.333333333 Punto (0,1.5) Code Bright -5.24910 -3.38760



Analítico 4.029048381 9.879040164 Punto (3,10) Code Bright -4,2943 -9.9819


Capítulo 3 Análisis en 2D del problema directo de ...

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